Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ... Principia Newton, Isaac, Sir, 1642-1727. 1687 Approx. 972 KB of XML-encoded text transcribed from 253 1-bit group-IV TIFF page images. Text Creation Partnership, Ann Arbor, MI ; Oxford (UK) : 2003-05 (EEBO-TCP Phase 1). A52251 Wing N1048 ESTC R5707 12903105 ocm 12903105 95262

This keyboarded and encoded edition of the work described above is co-owned by the institutions providing financial support to the Early English Books Online Text Creation Partnership. This Phase I text is available for reuse, according to the terms of Creative Commons 0 1.0 Universal. The text can be copied, modified, distributed and performed, even for commercial purposes, all without asking permission.

Early English books online. (EEBO-TCP ; phase 1, no. A52251) Transcribed from: (Early English Books Online ; image set 95262) Images scanned from microfilm: (Early English books, 1641-1700 ; 156:8) Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ... Principia Newton, Isaac, Sir, 1642-1727. [9], 383, 400-510, [1] p., [1] leaf of folded plates : ill. Jussu Societatis Regiae ac Typis Josephi Streater ..., Londini : 1687. The second and third books were apparently printed by different printers as indicated by the different type in the headings and the break in paging between the two books. Errata: p. [1] at end. Reproduction of original in Huntington Library. Imperfect: folded plate missing in filmed copy.

Created by converting TCP files to TEI P5 using tcp2tei.xsl, TEI @ Oxford.

EEBO-TCP is a partnership between the Universities of Michigan and Oxford and the publisher ProQuest to create accurately transcribed and encoded texts based on the image sets published by ProQuest via their Early English Books Online (EEBO) database (http://eebo.chadwyck.com). The general aim of EEBO-TCP is to encode one copy (usually the first edition) of every monographic English-language title published between 1473 and 1700 available in EEBO.

EEBO-TCP aimed to produce large quantities of textual data within the usual project restraints of time and funding, and therefore chose to create diplomatic transcriptions (as opposed to critical editions) with light-touch, mainly structural encoding based on the Text Encoding Initiative (http://www.tei-c.org).

The EEBO-TCP project was divided into two phases. The 25,363 texts created during Phase 1 of the project have been released into the public domain as of 1 January 2015. Anyone can now take and use these texts for their own purposes, but we respectfully request that due credit and attribution is given to their original source.

Users should be aware of the process of creating the TCP texts, and therefore of any assumptions that can be made about the data.

Text selection was based on the New Cambridge Bibliography of English Literature (NCBEL). If an author (or for an anonymous work, the title) appears in NCBEL, then their works are eligible for inclusion. Selection was intended to range over a wide variety of subject areas, to reflect the true nature of the print record of the period. In general, first editions of a works in English were prioritized, although there are a number of works in other languages, notably Latin and Welsh, included and sometimes a second or later edition of a work was chosen if there was a compelling reason to do so.

Image sets were sent to external keying companies for transcription and basic encoding. Quality assurance was then carried out by editorial teams in Oxford and Michigan. 5% (or 5 pages, whichever is the greater) of each text was proofread for accuracy and those which did not meet QA standards were returned to the keyers to be redone. After proofreading, the encoding was enhanced and/or corrected and characters marked as illegible were corrected where possible up to a limit of 100 instances per text. Any remaining illegibles were encoded as <gap>s. Understanding these processes should make clear that, while the overall quality of TCP data is very good, some errors will remain and some readable characters will be marked as illegible. Users should bear in mind that in all likelihood such instances will never have been looked at by a TCP editor.

The texts were encoded and linked to page images in accordance with level 4 of the TEI in Libraries guidelines.

Copies of the texts have been issued variously as SGML (TCP schema; ASCII text with mnemonic sdata character entities); displayable XML (TCP schema; characters represented either as UTF-8 Unicode or text strings within braces); or lossless XML (TEI P5, characters represented either as UTF-8 Unicode or TEI g elements).

Keying and markup guidelines are available at the Text Creation Partnership web site.

lat Mechanics -- Early works to 1800. Celestial mechanics -- Early works to 1800. 2002-10 Assigned for keying and markup 2002-11 Keyed and coded from ProQuest page images 2003-02 Sampled and proofread 2003-02 Text and markup reviewed and edited 2003-04 Batch review (QC) and XML conversion

PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA.

Autore I S. NEWTON, Trin. Coll. Cantab. Soc. Matheseos Professore Lucasiano, & Societatis Regalis Sodali.

IMPRIMATUR. S. PEPYS, Reg. Soc. PRAESES. Iulii 5. 1686.

LONDINI, Jussu Societatis Regiae ac Typis Iosephi Streater. Prostat apud plures Bibliopolas. Anno MDCLXXXVII.

ILLUSTRISSIMAE SOCIETATI REGALI a Serenissimo REGE CAROLO II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM FUNDATAE, ET AUSPICIIS POTENTISSIMI MONARCHAE JACOBI II FLORENTI. Tractatum hunc humillime D. D. D. I S. NEWTON.

PRAEFATIO AD LECTOREM

CVm Veteres Mechanicam (uti Author est Pappus) in rerum Naturalium investigatione maximi fecerint, & recentiores, missis formis substantialibus & qualitatibus occultis, Phaenomena Naturae ac leges Mathematicas re o •• re aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu Mathesin excolere quatenus ea ad Philosophiam spectat. Mechanicam vero duplicem Veteres constituerunt: Rationalem quae per Demonstrationes accurate pro edit, & Practicam. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus uti que Mechanica nomen mutuata est. Cum autem Artifices parum accurate operari soleant, fit ut Mechanica omnis a Geometria ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad Geometriam referatur, quicquid minus accuratum ad Mechanicam. Attamen errores non sunt Artis sed Artificum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus, & si quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium perfectissimus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum descriptiones in quibus Geometria fundatur, ad Mechanicam pertinent. Has lineas describere Geometria non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate describere prius didicerit quam limen attingat Geometriae; dein, quomodo per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas & circulos describere Pro lemata sunt sed non Ge metrica. Ex Mechanica postulatur horum solutio, in Geometria docetur solutorum usus. Ac gloriatur Geometria qu d tam paucis principiis aliunde petitis tam multa praestet. Fundatur igitur Geometria in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam Mechanicae universalis pars illa quae artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis prae ipue versentur, fit ut Geometria ad magnitudinem, Mechanica ad motum vulgo reseratur. Quo sensu Mechanica rationalis erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscun que resultant, & virium quae ad motus quoscun que requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars haec Mechanicae a Veteribus in Potentiis quinque ad artes man ales spectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus sed Philosophiae consulentes, de que potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea maxime tractamus quae ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resistentiam Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant: Et ea propter haec nostra tanquam Philosophiae principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophiae difficultas in eo versari videtur, ut a Phaenomenis motuum investigemus vires Naturae, deinde ab his viribus demonstremus phaenomena reliqua. Et huc spectant Propositiones generales quas Libro primo & secundo pertractavimus. In Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem Systematis mundani. Ibi enim, ex phaenomenis caelestibus, per Propositiones in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad Solem & Planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum, Cometarum, Lunae & Maris. Vtinam caetera Naturae phaenomena ex principiis Mechanicis codem argumentandi genere derivare liceret. Nam multa me movent ut n nnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corporum particulae per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur & secundum figuras regulares cohaerent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis, Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem quod vel huic Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam praebebunt.

In his edendis, Vir acutissimus & in omni literarum genere eruditissimus Edmundus Halleius operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata correxit & Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium caelestium impetraverat, rogare non destitit ut eadem cum Societate Regali communicarem, Quae deinde hortatibus & benignis suis auspiciis effecit ut de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium inaequalitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare caepissem quae ad leges & mensuras Gravitatis & aliarum virium, ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis resistentibus, ad vires, densitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & similia spectant, editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut caetera rimarer & una in publicum darem. Quae ad motus Lunares spectant, (imperfecta cum sint,) in Corollariis Propositionis LXVI. simul complexus sum, ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & sigillatim demonstrare tenerer, & seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum & citationes mutare. Vt omnia candide legantur, & defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus investigentur, & benigne suppleantur, enixe rogo.

IN VIRI PRAESTANTISSIMI D. ISAACI NEWTONI OPUS HOCCE MATHEMATICO-PHYSICUM Saeculi Gentisque nostrae Decus egregium. EN tibi norma Poli, & divae libramina Molis, Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum Pangeret, omniparens Leges violare Creator Noluit, aeternique operis fundamina fixit. Intima panduntur victi penetralia caeli, Nec latet extremos quae Vis circumrotat Orbes. Sol solio residens ad se jubet omnia prono Tendere descensu, nec recto tramite currus Sidereos patitur vastum per inane moveri; Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris. Jam patet horrificis quae sit via flexa Cometis; Jam non miramur barbati Phaenomena Astri. Discimus hinc tandem qua causa argentea Phoebe Passibus haud aequis graditur; cur subdita nulli Hactenus Astronomo numerorum fraena recuset: Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur. Discimus & quantis refluum vaga Cynthia Pontum Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas; Alternis vicibus suprema ad littora pulsans. Quae toties animos veterum torsere Sophorum, Quaeque Scholas frustra rauco certamine vexant Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi. Jam dubios nulla caligine praegravat error Queis Superum penetrare domos atque ardua Coeli Scandere sublimis Genii concessit acumen. Surgite Mortales, terrenas mittite curas Atque hinc coeligenae vires dignoscite Mentis A pecudum vita longe lateque remotae. Qui scriptis jussit Tabulis compescere Caedes Furta & Adulteria, & perjurae crimina Fraudis; Quive vagis populis circumdare moenibus Urbes Autor erat; Cererisve beavit munere gentes; Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva; Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos Consociare sonos, oculisque exponere Voces; Humanam sortem minus extulit; utpote pauca Respiciens miserae solummodo commoda vitae. Jam vero Superis convivae admittimur, alti Jura poli tractare licet, jamque abdita coecae Claustra patent Terrae, rerumque immobilis ordo, Et quae pra teriti latuerunt saecula mundi. Talia monstrantem mecum celebrate Camaenis, Vos qui coelesti gaudetis nectare vesci, NEWTONVM clausi reserantem scrinia Veri, NEWTONVM Musis charum, cui pectore puro Phoebus adest, totoque incessit Numine mentem: Nec fas est propius Mortali attingere Divos. EDM. HALLEY.
PHILOSOPHIAE NATURALIS Principia MATHEMATICA Definitiones.
Def. I. Quantitas Materiae est mensura ejusdem orta ex illius Densitate & Magnitudine conjunctim.

AEr duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et Pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, quae per causas quascun que diversimode condensantur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel Massae in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujus que pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur.

Def. II. Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate Materiae conjunctim.

Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeo que in corpore duplo majore aequali cum Velocitate duplus est, et dupla cum Velocitate quadruplus.

Def. III. Materiae vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquod que , quantum in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.

Haec semper proportionalis est suo corpori, ne que differt quicquam ab inertia Massae, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materiae fit ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo vis inertiae dici possit. Exercet vero corpus hanc vim so ummodo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta, est que exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur vi impressae; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus Resistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus et quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, ne que semper vere quiescunt quae vulgo tanquam quiescentia spectantur.

Def. IV. Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.

Consistit haec vis in actione sola, ne que post actionem permanet in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam vim inertiae. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, expressione, ex vi centripeta.

Def. V. Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum trahitur, impellitur, vel utcun que tendit.

Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terrae: Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quaecun que sit, qua Planetae perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Est autem vis centripetae quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix et motrix.

Def. VI. Vis centripetae quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro efficacia causae eam propagantis a centro per regiones in circuitu.

Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.

Def. VII. Vis centripetae quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati proportionalis, quam dato tempore generat.

Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: vel vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus praealtorum montium (ut experimento pendulorum constat) at que adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a Terra; in aequalibus autem distantiis eadem undi que propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata Aeris resistentia, aequaliter accelerat.

Def. VIII. Vis centripetae quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui, quem dato tempore generat.

Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; in que corpore eodem majus prope terram, minus in caelis. Haec vis est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum & (ut ita dicam) pondus, & innotescit semper per vim ipsi contrariam & aequalem, qua descensus corporis impediri potest.

Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas, acceleratrices & motrices, & distinctionis gratia referre ad corpora, ad corporum loca, & ad centrum virium: Nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum & propensionem totius in centrum, ex propensionibus omnium partium compositum; & vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca singula in circuitu diffusam, ad movenda corpora quae in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua praeditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Magnes in centro vis Magneticae vel Terra in centro vis gravitantis) sive alia aliqua quae non apparet. Mathematicus saltem est hic conceptus. Nam virium causas & sedes physicas jam non expendo.

Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem Materiae, & vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materiae. Nam summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta Superficiem Terrae, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus pariter minuetur, erit que semper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus.

Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscun que in centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum considerando. Unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi definire, vel centris (quae sunt puncta Mathematica) vires vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires centrorum esse dixero.

Scholium.

Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiendae sunt, explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum et motum ut omnibus notissima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hascc non aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur praejudicia quaedam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras & apparentes, Mathematicas et vulgares distingui.

I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua abs que relatione ad externum quodvis, aequabiliter fluit, alio que nomine dicitur Duratio; relativum apparens & vulgare est sensibilis & externa quaevis Durationis per motum mensura, (seu accurata seu inaequabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.

II. Spatium absolutum natura sua abs que relatione ad externum quodvis semper manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio quaelibet mobilis, quae a sensibus nostris per situm suum ad corpora definitur, & a vulgo pro spatio immobili usurpatur: uti dimensio spatii subterranei, aerei vel caelestis definita per situm suum ad Terram. Idem sunt spatium absolutum & relativum, specie & magnitudine, sed non permanent idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur, spatium Aeris nostri quod relative & respectu Terrae semper manet idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, & sic absolute mutabitur perpetuo.

III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, est que pro ratione spatii vel absolotus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel superficiem ambientem. Nam solidorum aequalium aequales semper sunt loci; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum inaequales sunt; situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, ne que tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium, hoc est, translatio totius de ipsius loco eadam cum summa translationum partium de locis suis, adeo que locus totius idem cum summa locorum partium, & propterea internus & in corpore toto.

IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quae velis passis fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quae que adeo movetur una cum Navi: & Quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis. At Quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod relative quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus corporis motus partim ex Terrae motu vero in spatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra: et si corpus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus partim ex vero motu Terrae in spatio immoto, partim ex relativis motibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terrae pars illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum Volocitate partium 10010, et velis vento que feratur Navis in Occidentem cum Velocitate partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Orientem versus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis partibus novem.

Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per Aequationem Temporis vulgi. Inaequales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam aequales pro Mensura Temporis habentur. Hanc inaequalitatem corrigunt Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent motus caelestes. Possibile est ut nullus sit motus aequabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio seu persevenrantia existentiae rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli; proinde haec a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur, & ex ijsdem colligitur per Aequationem Astronomicam. Hujus autem aequationis in determinandis Phaenomenis necessitas, tum per experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum Jovis evincitur.

Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium Spatii. Moveantur hae de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam Tempora & Spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In Tempore quoad ordinem successionis; in Spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illorum Essentia est ut sint loca, & loca primaria moveri absurdum est. Haec sunt igitur absoluta loca, & solae translationes de his locis sunt absoluti motus.

Verum quoniam hae spatii partes videri nequeunt, & ab invicem per sensus nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore aliquo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa; deinde etiam & omnes motus aestimamus cum respectu ad praedicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferii concipimus. Sic vice locorum & motuum absolutorum relativis utimur, nec incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca motus que referantur.

Distinguuntur autem Quies & Motus absoluti & relativi ab invicem per eorum proprietates, causas & effectus. Quietis proprietas est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideo que cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus fixa rum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum aliquod ad longinquum illud datam positionem servet, quies vera ex horum situ inter se definiri nequit.

Motus proprietas est, quod partes quae datas servant positiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur quae in ambientibus relative quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum, quae tanquam quiescentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam quie scentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia, praeter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur; sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, abs que translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur.

Praecedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum, adeo que corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic deinceps, us que dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautae supra memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota definiri possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra retuli: Loca autem immota non sunt, nisi quae omnia ab infinito in infinitum datas servant positiones ad invicem, at que adeo semper manent immota, spatium que constituunt quod immobile appello.

Causae, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in corpora impressae ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas: at motus relativus generari et mutari potest abs que viribus impressis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia solum corpora ad quae fit relatio, ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur, at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eaedem vires in alia etiam corpora, ad quae fit relatio, sic imprimantur ut situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus ubi verus conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit.

Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hae vires nullae sunt, in vero autem et absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla a filo praelongo, agatur que perpetuo in orbem donec filum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, et una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem, et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies aquae sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi in aquam paulatim impressa, effecit vas, ut haec quo que sensibiliter revolvi incipiat, recedet ipsa paulatime medio, ascendet que ad latera vasis, figuram concavam induens, (ut ipse expertus sum) et incitatiore semper motu ascendet magis & magis, donec revolutiones in aequalibus cum vase temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum recedendi ab axe motus, & per talem conatum innotescit & mensuratur motus aquae circularis verus & absolutus, motui que relativo hic omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquae motus relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, & propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut aquae motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe. at que hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative. Igitur conatus iste non pendet a translatione aquae respectu corporum ambientium, & propterea motus circularis verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis cujus que revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio & adaequato effectui respondens; motus autem relativi pro varijs relationibus ad externa innumeri sunt, & relationum instar, effectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus de vero illo & unico motu participant. Unde & in Systemate eorum qui Caelos nostros infra Caelos fixarum in orbem revolvi volunt, & Planetas secum deferre; Planetae & singulae Caelorum partes, qui relative quidem in Caelis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) una que cum caelis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur.

Igitur quantitates relativae non sunt eae ipsae quantitates quarum nomina prae se ferunt, sed earum mensurae illae sensibiles (verae an errantes) quibus vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu definiendae sunt verborum significationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci & Motus proprie intelligendae erunt hae mensurae; & sermo erit insolens & pure Mathematicus si quantitates mensuratae hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur. Ne que minus contaminant Mathesin & Philosophiam qui quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris confundunt.

Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatij illius immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui sunt motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae sunt motuum verorum causae & effectus. Ut si globi duo ad datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari posset. Deinde si vires quaelibet aequales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fili tensione augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur, id est facies posticae, sive quae in motu circulari sequuntur. Cognitis autem faciebus quae sequuntur & faciebus oppositis quae praecedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri posset & quantitas & determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum & sensibile, quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se positionem servantia, qualia sunt stellae fixae in regionibus nostris: ciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter orpora, utrum his an illis tribuendus esset motus. At si at enderetur ad filum & inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse uam motus globorum requireret; concludere liceret motum esse •• oborum, & tum demum ex translatione globorum inter corpora, eterminationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex orum causis, effectibus & apparentibus differentijs colligere, & •• ntra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas & ef •• ctus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem Tra tum sequentem composui.

AXIOMATA SIVE LEGES MOTUS
Lex. I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

PRojectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohaerendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius.

Lex. II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa fuerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utrius que determinationem componitur.

Lex. III. Actioni contrariam semper & aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales & in partes contrarias dirigi.

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus aequaliter in lapidem: nam funis utrin que distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantum que impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq: mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius (ob aequalitatem pressionis mutuae) subibit. His actionibus aequales fiunt mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factae, quia motus aequaliter mutantur, sunt corporibus reciproce proportionales.

Corol. I. Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere, quo latera separatis.

Si corpus dato tempore, vi sola M,

ferretur ab A ad B, & vi sola N, ab A ad C, compleatur parallelogrammum ABDC, & vi utra que feretur id eodem tempore ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secundum lineam AC ipsi BD parallelam, haec vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam BD a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD sive vis N imprimatur, sive non, at que adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea illa BD. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea CD, & idcirco in utrius que lineae concursu D reperiri necesse est.

Corol. II. Et hinc patet compositio vis directae AD ex viribus quibusvis obliquis AB & BD, & vicissim resolutio vis cujusvis directae AD in obliquas quascun que AB & BD. Quae quidem Compositio & resolutio abunde confirmatur ex Mechanica.

Ut si de rotae alicujus centro O exeuntes radij inaequales OM, ON filis MA, NP sustineant pondera A & P, & quaerantur vires ponderum ad movendam rotam: per centrum O agatur recta KOL filis perpendiculariter occurrens in K & L, centro que O & intervallorum OK, OL majore OL

describatur circulus occurrens filo MA in D: & actae rectae OD parallela sit AC & perpendicularis DC. Quoniam nihil refert utrum filorum puncta K, L, D affixa sint vel non affixa ad planum rotae, pondera idem valebunt ac si suspenderentur a punctis K & L vel D & L. Ponderis autem A exponatur vis tota per lineam AD, & haec resolvetur in vires AC, CD, quarum AC trahendo radium OD directe a centro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera DC, trahendo radium DO perpendiculariter, idem valet ac si perpendiculariter traheret radium OL ipsi OD aequalem; hoc est idem at que pondus P, quod sit ad pondus A ut vis DC ad vim DA, id est (ob similia triangula ADC, DOK,) ut DO (seu OL) ad OK. Pondera igitur A & P, quae sunt reciproce ut radii in directum positi OK & OL, idem pollebunt & sie consistent in aequilibrio: (quae est proprietas notissima Librae, Vectis & Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit ma ••• quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.

Quod si pondus p ponderi P aequale partim suspendatur silo Np, partim incumbat plano obliquo pG: agantur pH, NH, prior horizonti, posterior plano pG perpendicularis; & si vis ponderis p deorsum tendens, exponatur per lineam pH, resolvi potest haec in vires pN, HN. Si filo pN perpendiculare esset planum aliquod pQ secans planum alterum pG in linea ad horizentem parallela; & pondus p his planis pQ, pG solummodo incumberet; urgeret illud haec plana viribus pN, HN perpendiculariter, nimirum planum pQ vi pN & planum pG vi HN. Ideoque si tollatur planum pQ ut pondus tendat silum, quoniam silum sustinendo pondus, jam vicem praestat plani sublati, tendetur illud eadem vi pN, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis PN, ut pN ad pH. Ideo que si pondus p sit ad pondus A in ratione quae componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum AM, pN a centro rotae, & ratione directa pH ad pN; pondera idem valebunt ad rotam movendam, at que adeo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest.

Pondus autem p planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fissi facies internas: & inde vires cunei & mallei innotescunt: utpote cum vis qua pondus p urget planum pQ sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam pH in plano, ut pN ad pH; at que ad vim qua urget planum alterum pG ut pN ad NH. Sed & vis Cochleae per similem virium divisionem colligitur; quippe quae cuneus est a vecte impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, & late patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur vires Machinarum, quae ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, radijs volubilibus, nervis tensis & ponderibus directe vel oblique ascendentibus, caeteris que potentij, Mechanicis componi solent, ut & vires Nervorum ad animalium ossa movenda.

Corol. III. Quantitas motus quae colligitur capiendo summam motuum factorum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter se.

Etenim actio ei que contraria reactio aequales sunt per Legem 3, adeo que per legem 2, aequales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem quae prius. Sin corpora obviam eant, aequalis erit subductio de motu utrius que , adeo que differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.

Ut si corpus sphaericum A sit triplo majus corpore sphaerico B, habeat que duas velocitatis partes, et B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem, adeo que motus ipsius A sit ad motum ipsius B ut sex ad decem: ponantur motus illis esse partium sex & decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quin que corpus B amittet partes totidem, adeo que perget corpus A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim, & B cum partibus septem vel sex vel quin que existente semper summa partium sexdecim ut prius. Sin corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeo que progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus B amittendo, tot partes quot A lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus novem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel regredietur cum una parte amisso motu suo & (ut ita dicam) na parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detra •• m motum progressivum partium duodecim. At que ita sum •• m motuum conspirantium 15+1 vel 16+0, differentiae contrariorum 17−1 & 18−2 semper erunt partium sexdecim ut ante concursum & reflexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, invenietur cujus que velocitas ponende eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A motus erat partium sex ante reflexionem & partium octodecim postea, & velocitas partium duarum ante reflexionem; invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes duae ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea.

Quod si corpora vel non Sphaerica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique, & requirantur corum motus post reflexionem, cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto concursus; dein corporis utrius que motus (per Corol. 2.) distinguendus est in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem at que antea, & motibus perpendicularibus mutationes aequales in partes contrarias tribuendae sunt sie, ut summa conspirantium & differentia contrariorum maneat eadem quae prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non considero, & nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare.

Corol. IIII. Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat statum suum vel motus vel quietis, & propterea corporum omnium in se mutuo agentium (exclusis actionibus & impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis & distantia corum dividatur in ratione data, punctum dividens vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea arecta. Hoc postea in Lemmate xxiii demonstratur in plano, & eadem ratione demonstrari potest in loco solido. Ergo si corpora quotcun que moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in ratione data: similiter & commune centrum horum duorum & tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum quae actionibus in se invicem, alijs que omnibus in se extrinsecus impressis, omnino vacant, adeo que moventur singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.

Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distantiae centrorum utrius que a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, aequales inter se. Proinde centrum illud a motuum aequalibus mutationibus in partes contrarias factis, at que adeo ab actionibus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus mutat statum suum; & reliquorum, quibuscum actio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; distantia autem horum duorum centrorum dividitur, a communi corporum omnium centro, in partes summis totalibus corporum, quorum sunt centra, reciproce proportionales, adeo que centris illis duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bin compositae, & propterea communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta aliqua progreditur uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum actionibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem quae corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri gravitatis aestimari semper debet.

Corol. V. Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum abs que motu circulari.

Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & summae tendentium ad contrarias, ea dem sunt sub ii. icio in utro que casu (ex hypothesi) & ex his summis vel differentiis oriuntur congressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem a aequales erunt congressuum effectus in utro que casu, & propterea manebunt motus inter se in uno casu aequales motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum.

Corol. VI. Si corpora moveantur quomodocun que inter se & a viribus acceleratricibus aequalibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata.

Nam vires illae aequaliter (pro quantitatibus movendorum corporum) & secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter (quoad velocitatem) movebunt per Legem 2.) adeo que nunquam mutabunt positiones & motus eorum inter se.

Scholium

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experientia multiplici confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit Galilaeus descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum projectilium fieri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege tertia D. Christopherus Wrennus Eques auratus, Iohannes Wallisius S.T.D. & D. Christianus Hugenius, hujus aetatis Geometrarum facile Principes, regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem D. Wallisius, dein D. Wrennus & D. Hugenius inventum prodidit. Sed & veritas comprobata est a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum, quod etiam Clarissimus Mariottus Libro integro exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim congruat, habenda est ratio tum resistentiae aeris, tum etiam vis Elasticae concurrentium corporum. Pendeant corpora A, B filis parallelis AC, BD a centris C, D. His centris & intervallis describantur semicirculi EAF, GBH radijs CA, DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis R, & (subducto corpore B) demittatur inde, redeat que post unam oscillationem ad punctum V. Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV fiat ST pars

quarta sita in medio, & haec exhibebit retardationem in descensu ab S ad A quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto S, & velocitas ejus in loco reflexionis A, abs que errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur haec velocitas per chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduli in puncto insimo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post reflexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B & inveniatur locus v, a quo si corpus A demittatur & post unam oscillationem redeat ad locum r, sit st pars quarta ipsius rv sita in medio, & per chordam arcus tA exponatur velocitas quam corpus A proxime post reflexionem habuit in loco A. Namt erit locus ille verus & correctus ad quem corpus A, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus locus l, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quae velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde in chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus B l, ut habeatur motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utrius que tam ante, quam post reflexionem; & tum demum conferendi sunt motus inter se & colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, id que in corporibus tam maequalibus quam aequalibus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant, quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utri que illata, at que adeo quod actio & reactio semper erant aequales. Ut si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus, corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A cum duabus, redibat B cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur alioe partes duae & fiet motus duarum partium in plagam contrariam. & sic de motu corporis B partium sex subducendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant ad eandam
plagam, A velocius cum partibus quatuordecim & B tardius cum partibus quin que & post reflexionem pergebat A cum quin que partibus, pergebat B cum quatuordecim, facta translatione partium novem de A in B. Et sic in reliquis. A congressu & collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus quae ex summa motuum conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Nam que errorem digiti unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficil erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimo AB, tum loca s, k notare ad quae corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inaequalis partium densitas, & textura aliis de causis irregularis, er •• o •• s inducebant.

Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum praesupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elasticae. In Theoria Wrenni & Hugenij corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu la duntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciat que corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quae sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reflexionem, inveni quantitatem vis Elasticae; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper pilae ab invicem cum velocitate relativa, quae esset ad velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilae ex chalybe: aliae ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. At que hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata est, quae cum experientia plane congruit.

In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis A, B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus corpus alterum B, quam illud alterum B in prius A, obstaculum magis urgebitur pressione corporis A quam pressione corporis B; proinde que non manebit in aequilibrio. Praevalebit pressio fortior, faciet que systema corporum duorum & obstaculi moveri in directum in partes versus B, motu que in spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum. Qoud est absurdum & Legi primae contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proinde que corpora aequaliter urgebunt obstaculum, & idcirco aequaliter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & ferro. Si haec in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed aequalitate attractionis utrin que sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem in aequilibrio constituta quiescent.

Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt reciproce ut vires insitae: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium aestimatae, sunt reciproce ut vires. Sic pondera aequipollent ad movenda brachia Librae, quae oscillante Libra, sunt reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta ascendunt & descendunt, aequipollent, quae sunt reciproce ut punctorum a quibus suspenduntur distantiae ab axe Librae; sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, aequipollent quae sunt ut ascensus & descensusquatenus facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quae sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus instrumentis, quae ex rotulis commissis constructa sunt, vires contrariae ad motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleae ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam Cochleae versus corpus pressum. Vires quibus cuneus urget partes duas li ni s si est ad vim mallei in cuneum, 〈◊〉 progressus cunei secundum determinationem vis a malle in ipsum impressae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum omnium.

Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere Problema; Datum pondus data vi movendi, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si Machinae ita formentur ut velocitates Agentis & Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, & majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quae tam ex contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab invicem separandorum cohaesione & elevandorum ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machinae, partim in corpore resistente producet. Caeterum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quam que certa sit Lex ter ia motus. Nam si aestimetur Agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim; & Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, cohaesione, pondere & acceleratione oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper aequal •• . Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria.

DE MOTU CORPORUM Liber PRIMUS
SECT I. De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.
LEMMA I. QVantitates, ut & quantitatum rationes, quae ad aequalitatem dato tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo aequales.

Si negas, sit earum ultima differentia D. 〈…〉 o nequeunt propius ad aequalitatem accedere quam pr ••• data differentia D: contra hypothesin.

Lemma II. Si in figura quavis Aa cE rectis Aa, AE, & curva AcE comprehensa, inscribentur parallelogramma quotcun que Ab, Bc, Cd, &c. sub besibus AB BC, CD, &c.
aequalibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. figurae lateri Aa parallelis comenta; & compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn, &c, Dein horum parallelogrammorum •••• do minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimae rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta AKbLcMdD, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea AabcdE, sunt rationes aequalitatis.

Nam figurae inscriptae & circumscriptae differentia est summa parallelogrammorum Kl+Lm+Mn+Do, hoc est (ob aequales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum ABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo aequales. Q.E.D.

Lemma III. Eaedem rationes ultimae sunt etiam aequalitatis, ubi parallelogramomrum latitudines AB, BC, CD, &c. sunt inaequales, & omnes minuuntur in infinitum.

Sit enim AF aequalis latitudini maximae, & compleatur parallelogrammum FAaf. Hoc erit majus quam differentia figurae inscriptae & figurae circumscriptae, at latitudine sua AF in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum.

Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quae chordis evanescentium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.

Corol. 3. Ut & figura rectilinea quae tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.

Corol. 4. Et propterea hae figurae ultimae (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineae, sed rectilinearum limites curvilinci.

Lemma IV. Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duae parallelogrammorum series, sit que idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimae parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eaedem; dico quod figurae duae AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura ad figuram; existente rimirum figura priore (per Lemma 111.) ad summam priorem, & posteriore figura ad summam posteriorem in ratione aequalitatis.

Corol. Hinc si duae cujuscun que generis quantitates in eundem partium numerum utcun que dividantur, & partes illae, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam caeterae que suo ordine ad caeteras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summae partium semper erunt ut summae parallelogrammorum; at que adeo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.

Lemma V.

Similium figurarum latera omnia, quae sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areae sunt in duplicata ratione laterum.

Lemma VI. Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in puncto aliquo A, in medio curvaturae
continuae, tangatur a recta utrin que producta AD; dein puncta A, B ad invicem accedant & coeant; dico quod angulus BAD sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ultimo evanescet.

Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B coeuntibus, nulla que adeo ipsius Ab parte AB jacente amplius intra curvam, manifestum est quod haec recta Ab, vel coincidet eum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem & curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturae, ergo prior obtinet. Q.E.D.

Lemma. VII. Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordae & tangentis ad invicem est ratio aequalitatis. Vide Fig. Lem. 6 & 8 vi.

Nam producantur AB & AD ad b & d & secanti BD parallela agatur bd. Sit que arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma superius, ••• nescet; adeo que rectae Ab, Ad & arcus intermedius Ab coincident, & propterea aequales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectae AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt aequalitatis. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si per B ducatur tangenti parallela BF rectam quamvis AF per A transeuntem

perpetuo secans in F, haec ultimo ad arcum evanescentem AB rationem habebit aequalitatis, eo quod completo parallelogrammo AFBD, rationem semper habet aequalitatis ad AD.

Corol. 2. Et si per B & A ducantur plures rectae BE, BD, AF, AG, secantes tangentem AD & ipsius parallelam BF, ratio ultima abscissarum omnium AD, AE, BF, BG, chordae que & arcus AB ad invicem erit ratio aequalitatis.

Corol. 3. Et propterea hae omnes lineae in omni de rationibus ul imis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

Lemma VIII. Si rectae datae AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD, triangula tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio aequalitatis.

Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, & arcui AB similis ducatur arcus Ab. Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd

evanescet, & propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, sunt que eo nomine similia & aequalia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB, RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & aequalia. Q.E.D.

Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

Lemma IX. Si recta AE & Curva AC positione datae se mutuo secent in angulo dato A, & ad rectam illam in
alio dato angulo ordinatim applicentur BD, EC, curvae occurrentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad punctum A: dico quod areae triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.

Etenim in AD producta capiantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinatae db, ec ordinatis DB, EC parallelae & proportionales. Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi AbC similis, & recta Ag tangatur curva utra que in A; & secantur ordinatim applicatae in F, G, f, g. Tum coeant puncta B, C cum puncto A, & angulo c Ag evanescente, coincident areae curvilineae Abd, Ace cum rectilincis Afd, Age, adeo que per Lemma V, erunt in duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areae ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areae ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. Q.E.D.

Lemma X. Spatia, quae corpus urgente quacun que vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitae per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areae ABD, ACE his ordinatis descriptae, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q.E.D.

Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus aequalibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quae corpora temporibus ijsdem proportionalibus abs que viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.

Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.

Lemma XI. Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensae arcus contermini.

Cas. 1. Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis BD, subtensa arcus AB. Huic subtensae AB & tangenti AD perpendiculares erigantur AG, BG, concurrentes in G; dein accedant puncta D, B, G, ad puncta d, b, g, sit que I intersectio linearum BG, AG ultimo facta ubi puncta D, B accedunt us que ad A. Manifestum est quod distantia G I minor esse potest quam assignata quaevis. Est autem (ex natura circulorum per puncta ABG, Abg transeuntium) AB quad. aequale AG×BD & Ab quad. aequale

Ag×bd, adeo que ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex rationibus AG ad Ag & BD ad bd. Sed quoniam IG assumi potest minor longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratio AG ad Ag minus differat a ratione aequalitatis quam pro differentia quavis assignata, adeo que ut ratio AB quad. ad Ab quad. minus differat a ratione BD ad bd quam pro differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultima AB quad. ad Ab quad. aequalis rationi ultimae BD ad bd. Q.E.D.

Cas. 2. Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, & eadem semper erit ratio ultima BD ad bd quae prius, adeo que eadem ac AB quad. ad Ab quad. Q.E.D.

Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D, d ad aequalitatem semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, adeo que ultimo aequales erunt, per Lem. I. & propterea lineae BD, bd in eadem ratione ad invicem ac prius. Q.E.D.

Corol. 1. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & eorum sinus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Ab aequales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensae BD, bd.

Corol. 2. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in triplicata ratione laterum AD, Ad, in que sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia. Sic & triangula ABC, Abc sunt ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.

Corol. 3. Et quoniam DB, db sunt ultimo parallela & in duplicata ratione ipsarum AD, Ad; erunt areae ultimae curvilineae ADB, Adb (ex natura Parabolae) duae tertiae partes triangulorum rectilineorum ADB, Adb, & segmenta AB, Ab partes tertiae eorundem triangulorum. Et inde hae areae & haec segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum chordarum & arcuum AB, Ab.

Scholium.

Caeterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AI finitae esse magnitudinis. Capi enim potest DB ut AD 3: quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proinde que angulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB successive ut AD 4, AD 5, AD 6, AD 7, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiat DB successive ut AD 2, AD3/2, AD4/5, AD5, AD6/5, AD7/6, &c. habebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, & quilibet posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrin que in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminos AD 2 & AD 3 inseratur series AD 13/5, AD11/5, AD •• , AD7/ , AD5/2, AD8/3, AD11/4, AD 14/ , AD17/ , &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Ne que novit natura limitem.

Quae de curvis lineis de que superficiebus comprehensis demonstrata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas & contenta. Praemisi vero haec Lemmata ut effugerem taedium deducendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primas que nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate praemittere. His enim idem praestatur quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vim que talium demonstrationum ad methodum praecedentium Lemmatum semper revocari.

Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio; quippe quae, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est. Sed & eodem argumento aeque contendi posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur ne que antequam attingit locum ultimum & motus cessat, ne que postea, sed tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. Haec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cum que hic limes sit certus & definitus, Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.

Contendi etiam potest, quod si dentur ultimae quantitatum evanescentium rationes, dabuntur & ultimae magnitudines; & sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam Euclides de incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonstravit. Verum haec Objectio falsae innititur hypothesi. Ultimae rationes illae quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi, ne que prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duae quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimate seu maximae quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper diminuendas sine limite.

SECT. II. De Inventione Virium Centripetarum.
Prop. I. Theorema. I. Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.

Dividatur tempus in partes aequales, & prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad c, (per Leg. I) describens lineam Bc aequalem ipsi AB, adeo ut radiis AS, BS, cS ad centrum actis,

confectae forent aequales areae ASB, BSc. Verum ubi corpus venit ad B, agat viscentripeta impulsu unico sed magno, faciat que corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS parallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. 1) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo ASB. Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, aequale erit triangulo SBc, at que adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD, DE EF, &c. jacebunt hae in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi SDE aequale erit. Aequalibus igitur temporibus aequales areae in plano immoto describuntur: & componendo, sunt arearum summae quaevis SADS, SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter ADF, (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeo que vis centripeta qua corpus de tangente hujus curvae perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areae vero quaevis descriptae SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales. Q.E.D.

Corol. 1. In mediis non resistentibus, si areae non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.

Corol. 2. In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non tendunt concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.

Pro. II. Theor. II. Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum

Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. 1.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minima SAB, SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus aequalibus aequalia describere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam BS, & in loco C secundum lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. Q.E.D.

Cas. 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in directum.

Scholium.

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quae ex omnibus componitur, tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptae perpendicularem, haec faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei descriptae nec augebit nec minuet, & propterea in compositione virium negligenda est.

Prop. III. Theor. III. Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcun que moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.

Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quae aequalis & contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrum que secundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi aequalem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (pet Theor. 2.) differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, at que de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.

Corol. 2. Et si areae illae sunt temporibus quamproxime proportionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.

Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt areae illae temporibus quamproxime proportionales.

Corol. 4. Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quae, cum temporibus collatae, sunt valde inaequales, & corpus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetae ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Vis que tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod aequabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi corpus alterum motu quocun que movetur, si modo vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.

Scholium

Quoniam aequabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus a quabil m arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis pera itur?

Prop. IV. Theor. IV. Corporum quae diversos circalos aequabili motu describunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.

Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyrantia, simul describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita describerent tangentes BC, bc his arcubus aequales, manifestum est quod vires centripetae sunt quae

perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, at que adeo hae sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium CD, cd: tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II, propterea quod areae radiis descriptae ponuntur temporibus proportionales. Fiat figura tkb figurae DCB similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum bt: nec non, per Lemma XI; lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad bd quad. & ex aequo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD×bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD×bt / Sb ad bd / Sb quad. adeo que (ob aequales rationes bt / Sb & BD / SB) ut BD quad./SB ad bd/Sb quad. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc vires centripetae sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.

Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad radios ita sunt hae vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hae vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.

Corol. 3. Unde si tempora periodica aequantur, erunt tum vires centripetae tum velocitates ut radii, & vice versa.

Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetae sunt aequales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.

Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut radii, & velocitates aequales: Et vice versa.

Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.

Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcun que similium, centra que similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione praecedentium ad hosce casus applicata.

Scholium

Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus caelestibus (ut seorsum colligerunt etiam nostrates Wrennus, Hockius & Halleus) & propterea quae spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi susius in sequentibus exponere.

Porro praecedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio aequale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato aequale; adeo que est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.

Demonstrari etiam possunt praecedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcun que Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeo que summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeo que si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis qua corpus urget circ lum, & huic aequalis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.

Prop. V. Prob. I. Data quibuscun que in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.

Figuram descriptam tangant rectae tres PT, TQV, VR in punctis totidem P, Q, R, concurrentes in T & V. Ad tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC, velocitatibus corporis in punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur reciproce proportionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad velocitatem in P, & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem in Q. Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur AD, DBE, EC concurrentia in D & E: Et actae TD, VE concurrent in centro quaesito S.

Nam cum corpus in P & Q

radiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales, sint que areae illae simul descriptae ut velocitates in P & Q ductae respective in perpendicula a centro in tangentes PT, QT demissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeo que ut perpendicula AP, BQ directe, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa. Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea centrum S in concursu rectarum TD, VE versatur. Q.E.D.

Pro. VI. Theor. V. Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam quamvis curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad tangentem ab alio quovis curvae puncto Q agatur QR distantiae SP parallela, ac demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum SP quad.×QT quad./QR, si modo solidi illius ea semper sumatur quantilas quae ultimo fit
ubi coeunt puncta P & Q.

Nam que in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, data tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) & data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) at que adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeo que vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejusve dupla SQT, id est ut SP & QT conjunctim, adeo que vis centripeta ut QR directe at que SP quad. in QT quad. inverse, id est ut SP quad.×QT quad./QR inverse. Q.E.D.

Corol. Hinc si detur figura quaevis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetae quae corpus in figurae illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum SP quad.×QT quad./QR huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.

Prop. VII. Prob. II. Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetae tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetae S, corpus in circumferentia latum

P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte perpendicula PK, QT, S per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & co ant LQ, PR in Z. Ob similitudinem triangulo um ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo QRL×SP quad./SA quad. aequatur QT quad. Ducantur haec aequalia in SP quad./QR, & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL Sic fiet SPqc/SAq aequale QTq×SPq / QR Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc/SAq, id est (ob datum SA quad) ut quadrato-cubus distantiae SP. Quod erat inveniendum.

Prop. VIII. Prob. III. Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetae tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineae omnes PS, RS ad id ductae, pro parallelis haberi possint.

A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel

(per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut PQq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR×RN+QN aequale est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P, Q sit RN+QN aequlis 2 PM. Ergo est CP quad. ad PM quad. ut QR×2 PM ad QT quad. adeo que QT quad./QR aequale 2 PM cub / CP quad., & QT quad.×SP quad./QR aequale 2 PM cub.×SP quad./CP quad.. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2 PM cub.×SP quad./CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2 SP quad./CP quad.) reciproce ut PM cub. Q.E.I.

Scholium.

Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quae sit reciproce ut cubus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime longinquum tendentis.

Prop. IX. Prob. IV. Gyretur corpus in spirali PQS secante radios omnes SP, SQ &c. in angulo dicto: Requiritur lex
vis centripetae tendentis ad centrum spiralis.

Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos omnes an ulos dabitur specie figura S Q T. Ergo datur ratio Q /RQ, QT quad./QR ut QT, hoc est ut SP. Mutetur jam utcun que angulus PSQ, & recta QR angulum contactus QPR subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius PR vel QT. Ergo manebit QT quad./QR eadem quae prius, hoc est ut SP. Quare QTq×SPq/QR est ut SP cub. id est (per Corol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiae SP.Q.E.I.

Lemma XII. Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se aequalia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.

Constat utrum que ex Conicis.

Prop. X. Prob. V. Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetae tendentis ad centrum Ellipseos.

Sunto CA, CB

semiaxes Ellipseos; GP, DK diametri conjugatae; PF, Qt perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applicata ad diametrum GP; & si compleatur parallelogrammum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut PC quad. ad CD quad. & (ob similia triangula Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt quad. ut PC quad. ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt quad. ut PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est vG ad Qt quad./Pv ut PC quad. ad CDq×PFq/PCq. Scribe QR pro Pv, & (per Lemma xii.) BC×CA pro CD×PF, nec non (punctis P & Q coeuntibus) 2 PC pro vG, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fiet Qtq×PCq / QR aequale 2 BCq×CAq/PC Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2 BCq×CAq/PC, id est (ob datum 2 BCq.×CAq.) ut 1 PC, hoc est, directe ut distantia PC.Q.E.I.

Corol. 1. Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest.

Corol. 2. Et aequalia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus aequalia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areae totae directe & arearum particulae simul descriptae inverse; id est ut axes minores directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe & ordinatim applicatae ad axes alteros inverse, & propterea (ob aequalitatem rationum directarum & inversarum) in ratione aequalitatis.

Scholium.

Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens, evadet aequabilis. Hoc est Theorema Galilei. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.

SECT. III. De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.
Prop. XI. Prob. VI. Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetae tendentis ad umbilicum Ellipseos.

Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellipseos tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & compleatur parallelogrammum PR. Patet EP aequalem esse semiaxi

majori AC, eo quod acta ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, (ob aequales CS, CH) aequentur ES, EI, adeo ut EP semisumma sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos aequales IP R, HPZ) ipsorum PS, PH, quae conjunctim axem totum 2 AC adaequant. Ad SP demittatur perpendicularis QT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC / AC quad.) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC: & L×Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qv uad. ut CP quad. ad CD quad; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio aequalitatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad, id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationibus, L×QR sit ad QT quad. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq ad CDq+CDq. ad CBq. id est ut AC×L (seu 2 CBq.)×C Pq. ad PC×Gv×CBq. sive ut 2 PC ad Gv. Sed punctis Q & P coeuntibus, aequantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportionalia L×QR & QT quad. aequantur. Ducantur haec a qualia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq.×QTq./QK Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq. id est reciproce in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casucaeteros demonstratione confirmare.

Prop. XII. Prob. VII. Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetae tendentis ad umbilicum figurae.

Sunto A, CB semi-axes Hyperbolae; PG, KD diametri conjugatae; PF, Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP. Agatur SP secans tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & compleatur parallelogrammum QRPx. Patet EP aequalem esse semiaxi transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolae umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob aequales CS, CH, aequentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos aequales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2 AC adaequat. Ad SP demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolae latere recto principali (seu 2BCq / AC) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L×Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq.

ad CDq; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq, punctis Q & P coeuntibus fit ratio aequalitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq, id est ut CAq. ad PFq, sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq: & conjunctis his omnibus rationibus L×QR fit ad QTq. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq. ad CDq.+CDq. ad CBq: id est ut AC×L (seu 2 BCq.)×PCq. ad PC×Gv×CB quad. sive ut 2 PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus aequantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportionalia L×QR & QTq. aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq×QTq / QR Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq, id est in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I.

Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Lemma XIII.

Latus rectum Parabolae ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum distantiae verticis illius ab umbilico figurae. Patet ex Conicis.

Lemma XIV. Perpendiculum quod ab umbilico Parabolae ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figurae.

Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, P punctum

contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum principalem, PM tangens diametro principali occurrens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur AN, & ob aequales MS & SP, MN & NP, MA & AO, parallelae erunt rectae AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A & simile triangulis aequalibus SMN, SPN, Ergo PS est ad SN ut SN ad SA.Q.ED.

Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quae ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quae Parabolam tangit in vertice principali.

Prop. XIII. Prob. VIII. Moveatur corpus in perimetro Parabolae: requiritur Lex vis centripetae tendentis ad umbilicum hujus figurae.

Maneat constructio Lemmatis, sit que P corpus in perimetro Parabolae, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangenti parallelam & occurentem tum diametro YPG in v, tum distantiae SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP & aequalia unius latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4 PS×Pv seu 4 PS×QR; & punctis P & Q coeuntibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit aequalitatis. Ergo Q×q. eo in

casu, aequale est rectangulo 4 PS×QR. Est autem (ob aequales angulos Q×T, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4 PS×QR ad 4 AQR, & inde (per Prop. 9. Lib. V Elem.) QTq. & 4 AS×QR aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR, & fiet SPq.×QTq./QR aequale SPq.×4 AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce ut SPq.×4 AS, id est, ob datam 4 AS, reciproce in duplicata ratione distantiae SP.Q.E.I.

Corol. I. Ex tribus novissimis Propositionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacun que cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra.

Corol. II. Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua lineola PR in minima aliqua temporis particula describi possit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium QR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est quantitas illa QTq./QR quae ultimo sit ubi lineolae PR, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.

Prop. XIV. Theor. VI. Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.

Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L aequale est quantitati QTq./QR quae ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut SPq. Ergo QTq./QR est ut QTq.×SPq. hoc est, latus rectum L in duplicata ratione areae QT×SP.Q.E.D.

Corol. Hinc Ellipseos area tota, ei que proportionale rectangulum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione temporis periodici.

Prop. XV. Theor. VII. Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata transversorum axium.

Nam que axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem transversum appello) & latus rectum, at que adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione periodici temporis. Dematur utrobi que dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi aequalis rationi periodici temporis. Q.E.D.

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus Ellipseon.

Prop. XVI. Theor. VIII. Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quae ibidem tangant orbitas, demissis que ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe. VideFig. Prop. X. & XI.

Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis SYq./L Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT & SP ad SY) ut SP×QT / SY, sive ut SY reciproce & SQT directe; est que SP×QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris recti Q.E.D.

Corol. 1. Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.

Corol. 2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula jam sunt ipsae distantiae.

Corol. 3. Ideo que velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.

Corol. 4. Corpurum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt eaedem quae corporum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae proportionales inter distantias & latera recta. Componatur haec ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.

Corol. 5. In eadem vel aequalibus figuris, vel etiam in figuris inaequalibus, quarum latera recta sunt aequalia, velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem

Corol. 6. In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione distantiae corporis ab umbilico figurae, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem Parabolae est in dimidiata ratione distantiae.

Corol. 7. In Parabola, velocitas ubi que est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabolae est in hac ratione, & per Corollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubi que aequalis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.

Corol. 8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.

Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex aequo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum.

Prop. XVII. Prob. IX. Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiae a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens.

Vis centripeta tendens ad punctum Sea sit quae corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus velocitas in loco p. De loco P secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rectum orbitae datae, in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum, at que adeo datur. Sit istud L. Datur

praeterea Conisectionis umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat angulus RPH, & dabitur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpendiculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq.−2 KPH+PHq. (per Prop. 13. Lib. II. Elem.)=SHq.=4 CHq.=4 BHq.−4 BCq.=SP+PH quad.L×SP+PH=SPq.+2 SPH+PHq.L×SP+PH. Addantur utrobi que 2 KPH+L×SP+PH−SPq.−PHq. & fiet L×SP+PH=2 SPH+2 K PH, seu SP+PH ad PH ut 2 SP+2 KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 SP+2 KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum linea PS, adeo que figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe principali SP+PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus rectum L aequale fuerit 2 SP+2 KP, longitudo PH infinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens SH parallelum lineae PK, & inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeo que tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem aequalem differentiae linearum SP & PH, & inde dabitur. Q.E.I.

Corol. 1 Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali D, latere recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo DH ad DS ut est latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS. Nam proportio SP+PH ad PH ut 2 SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS+DH ad DH ut 4 DS ad L, & divisim DS ad DH ut 4 DS−L ad L.

Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principali D, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datae ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS.

Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun que Conica, & ex orbe suo impulsu quocun que exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

Corol. 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia, mutationes continuas in locis intermediis aestimando.

SECT. IV. De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex umbilico dato.
Lemma XV. Si ab Ellipseos vel Hyperbolae cujusvis umbilicis duobus S, H, ad punctum quodvis tertium V inflectantur rectae duae SV, HV, quarum una HV aequalis fit axi transverso figurae, altera SV a perpendiculo TR in se d •• isso bisecetur in T; perpendiculum illud TR sectionem Conicam alicubi tangit: &
contra, si tangit, erit VH aequalis axi figurae.

Secet enim VH sectionem conicam in R, & jungatur SR. Ob aequales rectas TS, TV, aequales erunt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propterea figuram tangit: & contra. Q.E.D.

Prop. XVIII. Prob. X. Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas & Hyperbolicas, quae transibunt per puncta data, & rectas positione datas contingent.

Sit S communis umbilicus figuraram; AC longitudo axis transversi Trajectoriae cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB−SP, si orbita sit Ellipsis, vel AB+SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur perpendiculum ST, & producatur ea ad V, ut sit TV aequalis ST; centro que V & intervallo AC describatur circulus FH. Hac methodo

sive dentur duo puncta P, p, sive duae tangentes TR, tr, sive punctum P & tangens TR, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajectoria descripta (eo quod PH+SP in Ellipsi, & PH−SP in Hyperbola aequatur axi) transibit per punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam TR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget rectas duas TR, tr. Q.E.F.

Prop. XIX. Prob. XI. Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quae transibit per puncta data, & rectas positione datas continget.

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriae describendae.

Centro P, intervallo PS describe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, & produc eam ad V, ut fit TV aequalis ST. Eodem modo describendus est alter circulus fg, si datur alterum punctum p; vel inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr; dein ducenda recta IF quae tangat duos circulos FG, fg si dantur duo puncta P, p; vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duae tangentes TR, tr, vel tangat ci culum PG & transeat per punctum V, si datur punctum P & tangens TR. Ad FI d mitte perpendicularem SI, eam que biseca in K, & axe SK, vertice principali K describatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob aequales SK & IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob aequales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR.Q.E.F.

Prop. XX. Prob. XII. Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere, quae per data puncta transibit & rectas tanget positione datas.

Cas. 1. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur

ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione cape KB ad BS, & LC ad CS. Centris B, C, intervallis BK, CL, describe circulos duos, & ad rectam KL, quae tangat eosdem in K & L, demitte perpendiculum SG, idem que seca in A & a, ita ut sit SA ad AG & Sa ad aG, ut est SB ad BK, & axe Aa, verticibus A, a, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim Humbilicus alter figurae descriptae, & cum sit SA ad AG ut Sa ad aG, erit divisim SaSA seu SH ad aG−AG seu Aa in eadem ratione, adeo que in ratione quam habet axis transversus figurae describendae ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cum que sint KB ad BS & LC ad CS in eadem ratione, transibit haec Figura per puncta B, C, ut ex Conicis manifestum est.

Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria quae rectas duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula ST, St & produc eadem ad V, v, ut sint TV, tv aequales TS, ts. Biseca Vv

in O, & erige perpendiculum infinitum OH, rectam que VS infinite productam seca in K & k ita, ut sit VK ad KS & Vk ad kS ut est Trajectoriae describendae axis transversus and umbilicorum distantiam. Super diametro Kk describatur circulus secans rectam OH in H; & umbilicis S, H, axe transverso ipsam VH aequante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK and KS ut Vk ad kS; & composite ut VK+Vk ad KS+kS; divisim que ut Vk−VK ad kS−KS id est ut 2 VX ad 2 KX & 2 KX ad 2 SX, adeo que ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeo que ut VK ad KS. Habet igitur Trajectoria descriptae axis transversus VH eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriae describendae axis transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH, vH aequentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR, tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere. Q.E.F.

Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quae rectam TR tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte perpendicularem ST, & produc eandem ad V, ut sit TV aequalis ST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendae axis transversus ad distantiam umbilicorum; circulo que super diametro Kk descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso rectam HV aequante, describatur Trajectoria. Dico

factum. Nam que VH esse ad SH ut VK ad SK, at que adeo ut axis transversus Trajectoriae describendae ad distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Casu secundo, & propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R, patet ex Conicis Q.E.F.

Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quae tangat rectam TR, transeat que per punctum quodvis P extra tangentem datum, quae que similis sit figurae apb, axe

transverso ab & umbilicis s, h descriptae. In tangentem TR demitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV aequalis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq aequales; centro que q & intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe circulum secantem figuram apb in p. Junge sp & age SH quae sit ad sh ut est SP ad sp, quae que angulum PSH angulo psh & angulum VSH angulo psq aequales constituat. Deni que umbilicis S, H, axe distantiam VH aequante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quae sit ad sp ut est sh ad sq, quae que constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq aequales, triangula svh, spq erunt similia, & propterea vb erit ad pq ut est sh ad sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq. Aequantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh, est VH ad SH ut vh ad sh, id est, axis Conicae sectionis jam descriptae ad ilius umbilicorum intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh, & propterea figura jam descripta similis est figurae apb. Transit autem haec figura per punctum P, co quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH a quatur ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR, tangit eadem rectam TR.Q.E.F.

Lemma XVI. A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiae vel dan ••• vel nullae sunt.

Cas. 1. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum AZ BZ, locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa data. Sit axis ille MN. Cape PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR perpendicular ad AB, demisso que ZR perpendiculari ad PR, erit ex natura hujus Hyperbolae ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discursu punctum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A, C & axis transversus differentia inter AZ & CZ, duci que potest QS ipsi AC perpendicularis, ad quam si ab Hyperbolae hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS, haec fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem; adeo que

rectis RP, SQ concurrentibus in T, locabitur punctum Z in recta TZ positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici sunt B & C & axis transversus differentia rectarum BZ, CZ, inveniri potest alia recta in qua punctum Z locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punctum quaesitum Z in earum intersectione. Q.E.I.

Cas. 2. Si duae ex tribus lineis, puta AZ & BZ aequantur, punctum Z locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius rectilineus invenietur ut supra. Q.E.I.

Cas. 3. Si omnes tres aequantur, locabitur punctum Z in centro circuli per puncta A, B, C transeuntis. Q.E.I.

Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum Apollonii a Vieta restitutum.

Prop. XXI. Prob. XIII. Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quae transibit per puncta data & rectas positione datas continget.

Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & inveniendus sit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit TY aequalis ST, & erit YH aequalis axi transverso. Junge SP, HP, & erit SP differentia inter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures tangentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem YH, vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, at que adeo quae vel aequantur

sibi invicem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum axis longitudine (quae vel est YH, vel si Trajectoria Ellipsis est, PH+SP; sin Hyperbola, PH−SP) habetur Trajectoria. Q.E.I.

Scholium.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, in que GS infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A vertex, & Aa axis transversus Trajectoriae: quae, perinde ut GA minor, aequalis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto

a in primo casu cadente ad eandem partem lineae GK cum puncto A; in secundo casu abeunin infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineae GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectae omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop XXV.

SECT. V. Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.
Lemma XVII. Si a datae conicae sectionis puncto quovis P, ad Trapezii alicujus ABCD, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta AB, CD, AC, DB, totidem rectae PQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur, singulae
ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo latera PQ×PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita PS×PT in data ratione.

Cas. 1. Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse alterutri reliquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB. Sint que insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta quae bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conicae sectionis, & bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK aequalis PO, & erit OK ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. III Apollonii) rectangulum PQK ad rectangulum AQB in data ratione. Sed QK & PR aequales sunt, utpote aequalium OK, OP, & OQ, OR differentiae, & inde etiam rectangula PQK & PQ×PR aequalia sunt; at que adeo rectangulum PQ×PR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangulum PS×PT in data ratione. Q.E.D.

Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectae ST in t, tum Conicae sectioni in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM

secantem Cd in M & AB in N. Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu PQ ad Tt ut DN ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Ergo ducendo antecedentes in antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Tt in PS, ita rectangulum NDM est ad rectangulum ANB, & (per Cas. 1) ita rectangulum QPr est ad rectangulum SP , ac divisim ita rectangulum QPR est ad rectangulum PS×PT.Q.E.D.

Cas. 3. Ponamus deni que lineas

quatuor PQ, PR, PS, PT non esse parallelas lateribus AC, AB, sed ad ea utcun que inclinatas. Earum vice age Pq, Pr parallelas ipsi AC; & Ps, Pt parallelas ipsi AB; & propter datos angulos triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur rationes PQ ad Pq, PR ad Pr, PS ad Ps & PT ad Pt, at que adeo rationes compositae PQ in PR ad Pq in Pr, & PS in PT ad Ps in Pt. Sed, per superi •• s demonstrata, ratio Pq. in Pr ad Ps in Pt data est: Ergo & ratio PQ in PR ad PS in PT.Q.E.D.

Lemma XVIII. Iisdem posit is, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Trapezii PPR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS×PT in data ratione; punctum P, a quo lineae ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.

Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum P hane semper tangere. Si negas,

junge AP secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in P si fieri potest, puta in b. Ergo si ab his punctis p & b ducantur in datis angulis ad latera Trapezii rectae pq, pr, ps, pt & bk, br, bs, bd, erit ut bk×br ad bd×bs ita (per Lemma XVII) pq×pr ad ps×pt & ita (per hypoth.) PQ×PR ad PS×PT. Est & propter similitudinem Trapeziorum bkAs, PQAS, ut bk ad bs ita PQ ad PS. Quare applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus, erit br ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia aequiangula Drbd, DRPT similia sunt, & eorum diagonales Db, DP propterea coincidunt. Incidit ita que b in intersectionem rectarum AP, DP adeo que coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicun que sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem. Q.E.D.

Corol. Hinc si rectae tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulae ad singulas, in datis angulis ducantur, sit que rectangulum sub duabus ductis PQ×PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione Conica quae tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS×PT evadet PS quad. rectae que AB, CD quae curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.

Scholium.

Nomen Conicae sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela includatur. Nam si punctum p incidi in rectam, qua quaevis ex punctis quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti aequentur duobus rectis, & lineae quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis aequalibus, sit que rectangulum sub duabus ductis PS×PR aequale rectangulo sub duabus aliis PS×PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineae quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ×PR sit ad rectangulum sub aliis duabus PS×PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duae ultimae PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duae primae PQ, PR ducuntur. Caeteris in casibus Locus puncti P erit aliqua trium sigurarum quae vulgo nominantur Sectiones Conicae. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in infinitum, eo que pacto latera figurae quae ad puncta illa convergunt, evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per caetera puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.

Lemma XIX. Invenire punctum P, a quo si rectae quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulae ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus, PS×PT, in data ratione.

Lineae AB, CD, ad quas rectae duae PQ, PR, unum rectangulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione

datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam quamlibet AH, in qua velis punctum P reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob datos omnes angulos figurae, dabuntur rationes PQ ad PA & PA ad PS, adeo que ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a data ratione PQ×PR ad PS×PT, dabitur ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio PI ad PH at que adeo punctum P.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punctum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD ubi puncta P ac D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E, & DE tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH parallelae sunt, & in E & P similiter sectae.

Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri potest. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis punctum B duc tangenti

parallelam BF occurrentem Loco in F. Invenietur autem punctum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG diameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Haec AG occurrat Loco in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AGH. Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Locus erit Parabola & latus rectum ejus BGq./AG Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte angulus AGB rectus sit & insuper BG quad. aequale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.

At que ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide incaepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc Corollario exhibetur.

Lemma XX. Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicae in B & C; a punctis autem occursuum B & C ad quintum quodvis sectionis Conicae punctum D agantur rectae duae B D, C D occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt semper abscissae latcrum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illae abscissae sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem.

Cas. 1. Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectae duae

DG, DE, quarum prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera DE parallela sit ipsi AC & occurrat PC, PS, AB in F, K, E: & erit (per Lemma XVII.) rectangulum DDF ad rectangulum DG×DH in ratione data. Sed est PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeo que ut PT ad DH; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH. Est & PR ad DF ut RC ad DC, adeo que ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR ad PS ut DF ad DG; & conjunctis rationibus sit rectangulum PQ×PR ad rectangulum PS×PT ut rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH, at que adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data, adeo que punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, P, C.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Conicae sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt

Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicae sectionis punctum D conveniant BD, CD; erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicae sectionis punctum aliquod D.

Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae Conicae sectiones per quin que puncta A, B, C, D, P, eas que secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invicem aequantur, contra Hypothesin.

Lemma XXI. Si rectae duae mobiles & infinitae BM, CM per data puncta B, C,
ceu polos ductae, concursu suo M describant tertiam positione datam rectam MN; & aliae duae infinitae rectae BD, CD cum prioribus duabus ad puncta illa data B, C datos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hae duae BD, CD concursu suo D describent sectionem Conicam. Et vice versa, si rectae BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A, cum alierae duae BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M continget rectam positione datam.

Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immotum P. Junge CN,

BN, CP, BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, & facientes angulum BPT aequalem angulo B NM & angulum CPR aequalem angulo CNM. Cum ergo (ex Hypothesi) aequales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer communes NBD & MCP, & restabunt aequales NBM & PBT, NCM & PCR: adeo que triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proinde que datam rationem inter se, at que adeo, per Lemma XX, punctum P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem Conicam. Q.E.D.

Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transeuntem per puncta B, C, A, & ubi rectae BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum illud D incidit in aliquod sectionis punctum A; ubi vero punctum D incidit successive in alia duo quavis sectionis puncta p, P, punctum mobile M incidit successive in puncta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta nN, & haec erit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri potest, versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum D sectionem Conicam per puncta quin que C, p, P, B, A transeuntem, ubi punctum M. perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem Conicam per eadem quin que puncta C, p, P, B, A transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones Conicae transibunt per eadem quin que puncta, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. Q.E.D.

Prop. XXII. Prob. XIV. Trajectoriam per data quin que puncta describere.

Dentur puncta quin que A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quaevis B, C, quae poli nominentur, age rectas AB, AC his que parallelas TPS,

PRQ per punctum quartum P. Deinde a polis duobus B, C age per punctum quintum D infinitas duas BDT, CRD, novissime ductis TPS, PRQ (priorem priori & posteriorem posteriori) occurentes in T & R. Deni que de rectis PT, PR, acta recta tr ipsi TR parallela, abscinde quasvis Pt, Pr ipsis PT, PR proportionales, & si per earum terminos t, r & polos B, C actae Bt, Cr concurrant in d, locabitur punctum illud d in
Trajectoria quaesita. Nam punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuor A, B, P, C transeunte; & lineis Rr, Tt evanescentibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio Conica per puncta quin que A, B C, D, P. Q.E.D.

Idem aliter.

E punctis datis junge

tria quaevis A, B, C, & circum duo eorum B, C ceu polos, rotando angulos magnitudine datos ABC, ACB, applicentur crura BA, CA primo ad punctum D, deinde ad punctum P, & notentur puncta M, N in quibus altera crura BL, CL casu utro que se decussant. Agatur recta insinita MN, & rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut crurum BA, CA, vel BD, CD intersectio, quae jam sit d, Trajectoriam quaesitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI continget sectionem Conicam per puncta B, C transeuntem & ubi punctum m accedit ad puncta L, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A, D, P. Describetur ita que sectio Conica transiens per puncta quin que A, B, C, D, P. Q.E.F.

Corol. 1. Hinc rectae expedite duci possunt quae trajectoriam in punctis quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum C & recta Cd evadet tangens quaesita.

Corol. 2. Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX

Schol.

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam insinitam pD ipsi SPT parallelam, in que ea capiendo semper pD aequalem Pr, & agendo rectas BD, Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR ad PT, pB ad PB, pD ad Pt in eadem ratione, erunt pD & Pr semper aequales. Hac methodo puncta Trajectoriae inveniuntur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.

Prop. XXIII. Prob. XV. Trajectoriam describere quae per data quatour puncta transibit, & rectam contingent positione datam.

Cas. 1. Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D, P. Junge BC, & agendo PS parallelam BH, & PQ parallelam BC, comple parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in

T, & CD secantem PQ in R. Deni que agendo quamvis tr ipsi TR parallelam, de PQ, PS abscinde Pr, Pt ipsis PR, PT proportionales respective; & actarum Cr, Bt concursus d (per Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajectoriam describendam.

Idem aliter.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius

quilibet rectilineus & utrin que productus DC circa polum C. Notentur puncta M, N in quibus anguli crus BC secat radium illum ubicrus alterum BH concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Diende ad actam infinitam MN concurrant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, & cruris alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quaesitam.

Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad punctum B, lineae CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet tangens BH, at que adeo constructiones ibi positae evadent eaedem cum constructionibus hic descriptis Delineabit igitur cruris BH concursus cum radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH tangentem in puncto B. Q.E.F.

Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge bin a BD, CP concurrentia in G, tangenti que occurrentia in H & I. Secetur

tangens in A, ita ut sit HA ad AI, ut est rectangulum sub media proportionali inter BH & HD & media proportionali inter CG & GP, ad rectangulum sub media proportionali inter PI & IC & media proportionali inter DG & GB, & erit A punctum contactus. Nam si rectae PI parallela HX trajectoriam secet in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad. ad AI quad. ut rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad rectangulum DGB) & rectangulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim. Invento autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo. Q.E.F. Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter describi.

Prop. XXIV. Prob. XVI. Trajectoriam describere quae transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.

Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD tangentibus occurrentem in punctis H, K, & CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca in R & S, ut sit HR ad KR ut est media proportionalis

inter BH & HD ad mediam proportionalem inter BK & KD; & IS ad LS ut est media proportionalis inter CI & ID ad mediam proportionalem inter CL & LD. Age RS secantem tangentes in A & P, & erunt A & P puncta contractus. Nam si per punctorum H, I, K, L quodvis I agatur recta IY tangenti KL parallela & occurrens curvae in X & Y, & in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD; id est (per constructionem) ut SI quad. ad SL quad. at que adeo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad., adeo que IZ ad IA ut GP ad GA. Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeo que puncta S, P & A sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR. Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q.E.F.

Lemma XXII. Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.

Transmutanda sit figura quaevis HGI. Ducantur pro subitu rectae duae parallelae AO, BL tertiam quamvis positione datam AB secantes in A

& B, & a figurae puncto quovis G, ad rectam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. Deinde a puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL occurrens in d; & a puncto occursus erigatur recta gd, datum quemvis angulum cum recta BL continens, at que eam habens rationem ad Od quam habet GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figurae primae dabunt puncta totidem figurae novae. Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figurae primae, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figurae novae & eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg ordinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum OABa completur) radium ordinatum novum.

Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam. Si punctum G tangit Conicam sectionem, punctum g tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum g tanget lineam

tertii itidem ordinis; & sic de curvis lineis superiorum ordinum: Lineae duae erunt ejusdem semper ordinis Analytici quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad DG, & AB ad AD; adeo que AD aequalis est OA×AB / ad & DG aequalis est OA×dg / ad. Jam si punctum D tangit rectam lineam, at que adeo in aequatione quavis, qua relatio inter abscissam AD & ordinatam DG habetur, indeterminatae illae AD & DG ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac aequatione OA×AB / ad pro AD, & OA×dg / ad pro DG, producetur aequatio nova, in qua abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent, at que adeo quae designat lineam rectam. Sin AD & DG (vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in aequatione prima, ascendent itidem ad & dg ad duas in aequatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatae ad, dg in aequatione secunda & AD, DG in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineae, quas puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.

Dico praeterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in figura prima; haec recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt in figura nova, at que adeo rectae, quibus haec puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utra que . Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sussicit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliae rectae quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectae quaevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quamvis rectam, quae per concursum convergentium transit: id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineae autem parallelae sunt quae ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes transmutetur haec figura in figuram primam, habebitur Solutio quaesita.

Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum intersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam & circulum.

Prop. XXV. Prob. XVII. Trajectoriam describere quae per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.

Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiae cum recta illa, quae per puncta duo data transit, age rectam infinitam; ea que adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illae duae evadent parallelae, & tangens tertia fiet parallela rectae

per puncta duo transeunti. Sunto hi, kl tangentes duae parallelae, ik tangens tertia, & hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quae Conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hikl complens. Secentur rectae hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus quadratum rectanguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alterae duae sunt latera quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb, ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad omnes consequentes, quae sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik & latus quadratum rectanguli alb. Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur haec puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. Q.E.F. Caeterum perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, debent puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum extra, Problema impossibile est.

Prop. XXVI. Prob. XVIII. Trajectoriam describere quae transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem. XXII) in figuram novam, & Tangentes binae, quae ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent parallelae. Sunto illae hi & kl, ik & hl continentes parallelogrammum hikl. Sit que p punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figurae centrum O agatur pq, & existente Oq aequali Op, erit q punctum alterum per quod sectio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam, & ibi habebuntur puncta duo per quae Trajectoria describenda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII. Q.E.F.

Lemma XXIII. Si rectae duae positione datae AC,
BD ad data puncta A, B terminentur, datam que habeant rationem ad invicem, & recta CD, qua puncta indeterminata C, D junguntur, secetur in ratione data in K: dico quod punctum K locabitur in recta positione data.

Concurrant enim rectae, AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad AC, sit que FD aequalis EG, & erit EC ad GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeo que in ratione data, & propterea dabitur specie ttiangulum EFC. Secetur CF in L in ratione CK ad CD, & dabitur

etiam specie triangulum EFL, proinde que punctum L locabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob datam FD & datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic aequalis capiatur EH, & erit ELKH parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi latere positione dato HK.Q.E.D.

Lemma. XXIV. Si rectae tres tangant quamcun que conisectionem, quarum duae parallelae sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela,
sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis contactuum & tangenti tertiae interjecta.

Sunto AF, GB parallelae duae Conisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta tertia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F & G; sit que CD semidiameter Figurae tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.

Nam si diametri conjugatae, AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, se que mutuo secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC−CA ad CA−CL seu EA ad AL, & composite EA ad EA+AL seu EL ut EC ad EC+CA seu EB; adeo que (ob similitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG. Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH, at que adeo ex aequo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si tangentes duae FG, PQ tangentibus parallelis AF, BG occurrant in F & G, P & Q, se que mutuo secent in O, erit (ex aequo perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divisim ut FP ad GQ, at que adeo ut FO ad OG.

Corol. 2. Unde etiam rectae duae PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductae, concurrent ad rectam ACB per centrum figurae & puncta contactuum A, B transeuntem.

Lemma XXV. Si parallelogrammi latera quatuor infinite producta tangant sectionem quamcun que Conicam,
& abscindantur ad tangentem quamvisquintam; sumantur autem abscissae terminatae ad angulos oppositos parallelogrammi: dico quod abscissa unius lateris sit ad latus illud, ut pars lateris contermini inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam lateris hujus contermini.

Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK, KL, MI sectionem Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ haec latera in F, Q, H & E: dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ,

& KH ad KL ut AM ad MF. Nam per Corollarium Lemmatis superioris, est ME ad EI ut AM seu BK ad BQ, & componendo ME ad MI ut BK ad KQ.Q.E.D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad AF, & dividendo KH ad KL ut AM ad MF. QE.D.

Corol. 1. Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ×ME, ut & huic aequale rectangulum KH×MF. Aequantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum KQH, MFE.

Corol. 2. Et si sexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI occurrens in e & q, rectangulum KQ×ME aequabitur rectangulo Kq×Me, erit que KQ ad Me ut Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.

Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit haec per centrum Sectionis Conicae. Nam cum sit Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK; (per Lemma XXIII) & medium rectae MK est centrum Sectionis.

Prop. XXVII. Prob. XIX. Trajectoriam describere quae rectas quin que positione datas continget.

Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figurae quadrilaterae sub quatuor quibusvis contentae AB FE diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajectoriae. Rursus figurae quadrilaterae BGDF, sub alijs quibusvis quatuor

tangentibus contentae, diagonales (ut ita dicam) BD, GF biseca, & recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud O. Tangenti cuivis BC parallelam age KL, ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, & acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet haec tangentes alias quasvis duas CD, FD E in L & K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum parallelis CF, KL concursus C & K, F & L age CK, FL concurrentes in R, & recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere. Q.E.F.

Schol.

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti, includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliae que tangentes a centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in Asymptoton, at que constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI,

fac ut angulorum mobilium PBN, PCN crura BP, CP quorum concursu Trajectoria describebatur sint sibi invicem parallela, eum que servantia situm revolvantur circa polos suos B, C in figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum crura CN, BN, concursu suo K vel k, circulum IBKGC. Sit circuli hujus centrum O. Ab hoc centro ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalem OH circulo occurrentem in K & L. Et ubi crura illa altera CK, BK concurrunt ad punctum istud K quod Regulae propius est, crura prima CP, BP parallela erunt axi majori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriae centrum, dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centro que O & intervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum agendo rectam quae circulum illum tangat, dabitur regula MN cujus ope Trajectoria describetur. Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriae specie datae datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quae datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, at que axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.

Lemma XXVI. Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quae non sunt omnes parallelae, singulos ad singulas ponere.

Dantur positione tres rectae infinitae AB, AC, BC, & oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF,

EMF, quae capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB aequales respective. Describantur autem haec segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literae DRED eodem ordine cum literis BACB, literae DGFD eodem cum literis ABCA, & literae EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur haec segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in G,
sint que centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad PQ, & centro G, intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum DGE in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE secans circulum tertium G Ec in c. Et compleatur figura abcDEF similis & aequalis figurae ABCdef. Dico factum.

Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG, bG, PD, QD & producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo CAB, & angulus EcF aequalis angulo ACB, adeo que triangulum anc triangulo ABC aequiangulum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeo que angulo FbD aequalis est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui dimidius est anguli ad centrum G PD, aequalis est angulo ad circumferentiam GaD; & angulus G QR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD, aequalis est angulo ad circumferentiam GbD, adeo que eorum complementa PQG, abG aequantur, sunt que ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP ad PQ; id est (ex constructione) ut Ga ad AB. Aequantur ita que ab & AB & propterea triangula abc, ABC, quae modo similia esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF anguli D, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABC def figurae abc DEF similis & aequalis, at que eam complendo solvetur Problema. Q.EF.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF accedente, & lateribus DE, DF in directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE, rectis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis positione datis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem praecedentem ad hunc casum solvetur Problema.

Prop. XXVIII. Prob. XX. Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datae rectis tribus positione datis interjacebunt.

Describenda sit Trajectoria quae sit similis & aequalis lineae curvae DEF, qua que a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in partes datis hujus partibus DE & EF similes & aequales secabitur.

Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angulos

D, E, F ad rectas illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe Trajectoriam curvae DEF similem & aequalem. Q.E.F.

Lemma XXVII. Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione datas (quae ne que omnes parallelae sunt, ne que ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.

Dentur positione rectae quatuor ABC, AD, BD, CE, quarum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F aequalis, tangat rectam ABC, caeteri que anguli g, h, i caeteris angulis datis G, H, I aequales tangant caeteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH, FI describantur totidem 〈…〉 ulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum aequalem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum aequalem angulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum aequalem angulo AC E. Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui literarum BADB, ut que literae FTHF eodem ordine cum literis CBEC, & literae FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos, sir que P centrum circuli primi FSG, & Q centrum secundi FTH. Jungatur & utrin que

producatur PQ, & in ea capiatur QR in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis at que literarum A, B, C: centro que R & intervallo RF describatur circulus quartus F Nc secans circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans circulum primum in a & secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figurae abcFGHI similis constituatur figura ABCfghi: Erit que Trapezium fghi illud ipsum quod constituere oportuit.

Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK, aK, bK, cK & producatur QP ad L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeo que angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRK aequales. Est ergo figura PQRK figurae abcK aequiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC. Angulis insuper F aG, FbH, FcI aequantur fAg, fBh, fCi per constructionem.

Ergo figurae abc FGHI figura similis ABCfghi compleri potest. Quo facto Trapezium fghi constituetur simile Trapezio FGHI & angulis suis f, g, h, i tanget rectas AB, AD, BD, CE.Q.E.F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FGH, GHI us que eo, ut rectae FG, GH, HI in directum jaceant, & in hoc casu construendo Problema, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh, hi, rectis quatuor positione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectae, erunt ad invicem ut linea FG, GH, HI, eundem que servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius.

Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectae CE in i. Producatur iL ad M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectae que AD occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.

Secet enim

Mg rectam AB in Q, & AD rectam KL in S, & agatur AP, quae sit ipsi BD parallela & occurat iL in P, & erunt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi, AK ad BK) & AP ad BL in eadem ratione. Secetur DL in R ut sit DL ad RL in eadem illa ratione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP, & DS ad DL, erit ex aequo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL−RL ad Lh−BL ut AS−DS ad gS−AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeo que ut BD ad gQ. Et vicissim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructione est BR ad BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG. Cum igitur sit etiam ig ad ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lincas FI, fi in g & h, G & H similiter sectas esse. Q.E.F.

In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans CE in i, producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam ipsi BD. Eodem recidit si centro i, intervallo IH describatur circulus secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY aequalis IF, & agatur Yf ipsi BD parallela.

Prop. XXIX. Prob. XIX. Trajectoriam specie datam describere, quae a rectis quatuor positione datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.

Describenda sit Trajectoria fghi, quae similis sit lineae curvae FGHI, & cujus partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes &

proportionales, rectis A B & AD AD & BD, B D & EC positione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis FG, GH, HI, FI, describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f, g, h, i tangant rectas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli singulas dicto ordine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvae lincae FGHI consimilis.

Scholium.

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, junge que FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL aequales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde agantur KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM aequalem angulo GHI, sit que ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum ALN aequalem angulo FHI, sit que ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut literae CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & acta MN occurrat rectae

CE in i. Fac angulum iEP aequalem angulo IGF, sit que PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quae cum recta AED contineat angulum PQE aequalem angulo FIG, rectae que AB occurrat in f, & jungatur fi. Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP & PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi eodem quo que literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum in orbibus inventis determinemus.

SECT. VI. De inventione motuum in Orbibus datis.
Prop. XXX. Prob. XXII. Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.

Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolae, sit que 4 AS×M area Parabolica APS, quae radio SP, vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante

appulsum ejus ad verticem describenda est. Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca AS in G, erige que perpendiculum GH aequale 3 M, & circulus centro H, intervallo HS descriptus secabit Parabolam in loco quaesito P. Nam demissa ad axem perpendiculari PO, est HGq.+GSq. (=HSq=G Oq.+HG−POq.)=GOq.+HGq−2 HG×PO+POq. Et deleto utrin que HGq. fiet GSq.=GOq.−2 HG×PO+POq. seu 2 H G×PO (=GOq.+POq.−GSq.=AOq.−2 GAO+POq.) =AOq.+¾ POq. Pro AOq. scribe AO×POq./4 AS, & applicatis terminis omnibus ad 3 PO, ductis que in 2 AS, fiet ⅓ GH×AS (= ⅙ AO×PO+½ AS×PO=AO+3 AS / 6×PO=4AO−3 SO/6×PO= areae APO−SPO)=areae APS. Sed GH erat 3 M, & inde 4 HG×AS est 4 AS×M. Ergo area APS aequalis est 4 AS×M.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descripsit arcum AP ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem ab umbilico S erectum.

Corol. 2. Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas puncti Gest ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8; adeo que in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A, describere posset.

Corol. 3. Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectae GH occurrens in H.

Lemma XXVIII. Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per aequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergat que semper ea cum velocitate, quae sit ut rectae illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a polo, quae huic areae proportionalis est, adeo que omnia Spiralis puncta per aequationem finitam inveniri possunt: & propterea rectae cujusvis positione datae intersectio cum spirali inveniri etiam potest per aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, & aequatio, qua incersectio aliqua duarum linearum in venitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, adeo que ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquo que & propterea eadem semper concsusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binae rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum; ternae rectarum & curvarum tertiae potestatis per aequationes trium, quaternae rectarum & curvarum quartae potestatis per aequationes dimensionum quatuor, & sic in infinium. Ergo intersectiones numero infinitae rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt aequationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quae que prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur a quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, aequatio redibit ad formam primam, adeo que una eadem que exhibebit intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem aequationem generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequationem generaliter exhiberi.

Corollarium.

Hinc area Ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per aequationem finitam, & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines aequationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari possunt; caeteras que (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.

Prop. XXXI. Prob. XXIII. Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum.

Ellipseos APB sit A vertex principalis, S umbilicus, O centrum, sit que P corporis locus inveniendus. Produc OA ad G ut sit OG ad OA ut OA ad OS. Erige perpendiculum GH, centro que O & intervallo OG describe circulum EFG, & super regula GH, ceu fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem suum, & interea puncto suo A describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK in ratione ad rotae perimetrum GEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum AP, ad tempus

revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculum KL occurrens Trochoidi in L, & acta LP ipsi KG parallela occurret Ellipsi in corporis loco quaesito P.

Nam centro O, intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ occurrat LP producta in Q, jungantur que SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F, & in eandem OQ demittatur perpendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut differentia rectangulorum ½ OQ×AQ & ½ OQ×SR, hoc est, ob datam ½ OQ, ut differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeo que (ob aequalitatem rationum SR ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ−SR ad GF− sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum arcus AQ.Q.E.D.

Scholium.

Caeterum ob difficultatem describendi hanc curvam praestat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S umbilicus, OD semiaxis minor, & AK dimidium lateris recti. Secetur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quaeratur longitudo L, quae sit ad ½ GK ut est AO quad. ad rectangulum AOD. Bisecetur OG in C, centro que C & intervallo CG describatur semicirculus GFO. Deni que capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor

rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quaesitum AP, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis FE, & producatur eadem versus F ad us que N, ut sit EN ad longitudinem L, ut anguli illius sinus EF ad radium CF; centro que N & intervallo AN descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quaesito P quam proxime.

Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in Apside summa B, & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum ASP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP & OCF, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis P, F & N incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proximis; ob aequales An, pn, recta nq, quae ad arcum Ap perpendicularis est, adeo que concurrit cum axe in puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½ Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn ut 2 AK ad GK. Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut GK×AOq./2 AS×OD ad CF, seu GK×AOq. ad 2 AS×OD×CF, & ex aequo Ap ad Gf ut 2 AK ad GK+GK×AOq. ad 2 AS×OD×CF, id est, ut AK×AOq. ad AOD×CF, hoc est, ob aequalia AK×AO & ODq. ut AO×OD ad ACF. Proinde Ap×½ AS est ad Gf×½ GC ut AO×OD×AS ad AS×CF×GC, seu AO×OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO×OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q.E.D. Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus BSP, OCF: ideo que locus puncti P prope Apsides satis accurate

inventus est. In quadraturis error quasi quingentesimae partis areae Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.

Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justae magnitudinis; dein produc EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut ½ L ad CF; centro que N & intervallo AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus autem GTO determinabitur quaerendo ejus punctum aliquod T; quod constructionem in illo casu accuratam reddet.

Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, & motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e puncto G rectam GI axi AB perpendicularem, & in ea ratione ad GK quam habet area AVPS ad rectangulum AK×AS; dein centro I & intervallo AI circulum describere. Hic enim secabit Ellipsim in corporis loco quaesito P quamproxime. Et eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hae autem constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulteriore B in infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem Problematis. XXII.

Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio aequalis subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum etiam longitudo quaedam L, quae sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructionem

superiorem (vel utcun que conjecturam faciendo) cognoscatur corporis locus P quam proxime. Demissa que ad axem Ellipseos ordinatim applicata PR, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quae sinus est anguli ACQ existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori porportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N−ACQ+D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ+½ D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum augulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ+E ad radium, tum angulus G ad angulum N−ACQ−E+F ut est longitudo L ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ+E+½ F diminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ+E+G ad radium; & angulus I ad angulum N−ACQ−E−G+H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ+E+G+½ H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam
ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deni que capiatur angulus ACq aequalis angulo ACQ+E+G+I &c. & ex cosinu ejus Cr & ordinata pr, quae est ab sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus p. Siquando angulus N−ACQ+D negativus est, debet signum + ipsius E ubi que mutari in −, & signum − in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N−ACQ−E+F, & N−ACQ−E−G+H negative prodeunt. Convergit autem series infinita ACQ+E+G+I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.

Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C, Vertex A, Umbilicus S & Asymtotos CK. Cognoscatur quantitas areae APS tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectae SP, quae aream illam abscindat quamproxime. Jungatur CP, &

ab A & P ad Asymptoton agantur AI, PK Asymptoto alteri parallelae, & per Tabulam Logarithmorum dabitur Area AIKP, ei que aequalis area CPA, quae subducta de triangulo CPS relinquet aream APS. Applicando arearum A & APS semidifferentiam ½ APS−½ A vel ½ A−½ APS ad lineam SN, quae ab umbilico S in tangentem PT perpendicularis est, orietur longitudo PQ. Capiatur autem PQ inter A & P, si area APS major sit area A, secus ad puncti P contrarias partes: & punctum Q erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.

At que his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (Vide fig. pag. 109.110.) & L ipsius latere recto, quaere tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium differentia AO−OD ad eorum summam AO+OD; tum angulum Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH & semiaxium differentia AO−OD ad triplum rectangulum sub OQ semiaxe minore & AO−¼ L differentia inter semiaxem majorem & quartam partem lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) aequalem; & angulum V (primam medii motus aequationem) ad angulum Y (aequationem maximam primam) ut est sinus anguli T duplicati ad radium; at que angulum X (aequationem secundam) ad angulum Z (aequationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli T ad quadratum Radii. Angulorum T, V, X vel summae T+X+V, si angulus T recto minor est, vel differentiae T+X−V, si is recto major est rectis que duobus minor, aequalem cape angulum BHP (motum medium aequatum;) & si HP occurrat Ellipsi in P, acta SP abscindet aream BSP tempori proportionalem quamproxime. Haec Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii aequati BHP, angulus veri motus HSP & distantia SP in promptu sunt per methodum notissimam Dris. Sethi Wardi Episcopi Salisburiensis mihi plurimum colendi,

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quae ad istiusmodi motus spectant, pergo jam exponere.

SECT. VII. De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo.
Prop. XXXII. Prob. XXIV. Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiae locorum a centro, spatia definire quae corpus recta cadendo datis temporibus describit.

Cas. 1. Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corollariis constat. Sit sectio illa Conica ARPB

& umbilicus inferior S. Et primo si Figura illa Ellipsis est, super hujus axe majore AB describatur semicirculus ADB, & per corpus decidens transeat recta DPC perpendicularis ad axem; actis que DS, PS erit area ASD areae ASP at que adeo etiam tempori proportionalis. Manente axe AB minuatur perpetuo latitudo Ellipseos, & semper manebit area ASD tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbe APB jam coincidente cum axe AB & umbilico S cum axis termino B, descendet corpus in recta AC, & area ABD evadet tempori proportionalis. Dabitur ita que spatium AC, quod corpus de loco A perpendiculariter cadendo tempore dato describit, si modo tempori proportionalis capatur area ABD, & a puncto D ad rectam AB demittatur perpendicularis DC.Q.E.I.

Cas. 2. Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areae CSP, CBfP, SPfB sunt ad areas C SD, CBED, SDEB, singulae ad singulas, in data ratione altitudinum CP, CD; & area SPfB

proportionalis est tempori quo corpus P movebitur per arcum PB, erit etiam are SDEB eidem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum Hyperbolae RPB in infinitum manente latere transverso, & coibit arcus PB cum recta CB, & umbilicus S cum vertice B & recta SD cum recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto descensu describit lineam CB.Q.E.I.

Cas. 3. Et simili argumento si figura RPB Parabola est, & eodem vertice principali B describatur alia Parabola BED, quae semper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P movetur, diminuto & in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum linea CB; fiet segmentum Parabolicum BDEB proportionale tempori quo corpus illud P vel C descendet ad centrum B.Q.E.I.

Prop. XXXIII. Theor. IX. Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolae vertice ulteriore A, habet ad figurae semidiametrum principalem ½ AB.

Nam que ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utrius que figurae RPB, DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quae tangat figuram RPB in P, at que etiam secet communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T; sit que SY ad hanc rectam & BQ ad

hanc diametrum perpendicularis, at que figurae RPB latus rectum ponatur L. Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½ L×SP ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2 AO ad L, adeo que 2 CPq.×AO / ACB aequale L. Ergo velocitates illae sunt ad invicem in dimidiata ratione CPq.×AO×SP/ACB ad SY quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT. Unde dividendo vel componendo fit BO−uel+CO ad BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad BQ; inde que CPq.×AO×SP / ACB aequale est BQq.×AC×SP / AO×BC. Minuatur jam in infinitum figurae RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat cum puncto, C, punctum que S cum puncto B, & linea SP cum linea BC, linea que SY cum linea BQ; & corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius BQq.×AC×SP / AO×BC ad SYq. hoc est (neglectis aequalitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq.) in dimidiata ratione AC ad AO.Q.E.D.

Corol. Punctis B & S coeuntibus, fit TC and ST ut AC ad AO.

Prop. XXXIV. Theor. X. Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C aequalis est velocitati qua corpus centro b dimidio intervalli sui BC circulum
uniformiter describere potest.

Nam corporis Parabolam R PB circa centrum S describentis velocitas in loco quovis S (per Corol. 7. Theor. VIII) aequalis est velocitati corporis dimidio intervalli SP circulum circa idem S uniformiter describentis. Minuatur Parabolae latitudo CP in infinitum eo, ut arcus Parabolicus CP cum recta CB, centrum S cum vertice B, & interuallum SP cum intervallo CP coincidat, & constabit Propositio. Q.E.D.

Prop. XXXV. Theor. XI. Iisdem positis, dico quod area figurae DES, radio indefinito SD descripta, aequalis sit areae quam corpus, radio dimidium lateris recti figurae DES aequante, circa centrum S uniformiter gyrando, eodem tempore describere potest.

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in circulo OKk circa centrum S gyrando, arcum Kk describere. Erigantur perpendicula CD, cd occurrentia figurae DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.

Cas. 1 Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisecetur ejus transversa diameter AS in O, & erit

SO dimidium Lateris recti. Et quoniam est TC ad TD ut Cc ad Dd, & TD ad TS ut CD ad SY, erit ex aequo TC ad TS ut CD×Cc ad SY×Dd. Sed per Corol. Prop. 33. est TC ad ST ut AC ad AO, puta si in coita punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimae. Ergo AC est ad AO, id est ad SK, ut CD×Cc ad SY×Dd. Porro corporis descendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis circulum intervallo SC circa centrum S describentis in dimidiata ratione AC ad A O vel SK (per Theor IX.) Et haec velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum OKk in dimidiata ratione SK ad SC per Cor. 6. Theor. IV. & ex aequo velocitas prima ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in dimidiata ratione AC ad SC, id est in ratione AC ad CD. Quare est CD×Cc aequale AC×Kk, & propterea AC ad SK ut AC×Kk ad SY×Dd, inde que SK×Kk aequale SY×Dd, & ½ SK×Kk aequale ½ SY×Dd, id est area KSk aequalis areae SDd. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulae KSk, SDd, quae, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent aequalitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areae totae simul genitae sunt semper aequales. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD×Cc esse ad SY×Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, adeo que ¼ CD×Cc aequalem esse ½ SY×Dd. Sedcorporis cadentis velocitas in C aequalis est velocitati

qua circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit. (per Theor. X.) Et haec velocitas ad velocitatem qua circulus radio SK describi possit, hoc est, lineola Cc ad arcum Kk est in dimidiata ratione SK ad ½ Sc, id est, in ratione SK ad ½ CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare est ½ SK×Kk aequale ¼ CD×Cc, adeo que aequale SY×Dd, hoc est, area KSk aequalis Areae SDd, ut supra. Quod erat demonstrandum.

Prop. XXXVI. Prob. XXV. Corporis de loco dato A cadentis determinare tempora
descensus.

Super diametro AS (distantia corporis a centro sub initio) describe semicirculum ADS, ut & huic aequalem semicirculum OKH circa centrum S. De corporis loco quovis C erige ordinatim applicatam CD. Junge SD, & areae ASD aequalem constitue Sectionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa centrum S gyrando, describere potest arcum OK. Quod erat faciendum.

Prop. XXXVII. Prob. XXVI. Corporis de loco dato sursum vel deersum projecti definire tempora ascensus vel descensus.

Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum velocitate quacun que . In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA

ad ½ AS. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice S, axe SC, latere quovis recto describenda est. Patet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola rectangula super diametro SA describi debet. Patet per Theorema IX. Tum centro S, intervallo aequante dimidium lateris recti, describatur circulus HKk, & ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quaevis G, C, erigantur perpendicula GI, CD occurrentia Conicae Sectioni vel circulo in I ac D. Dein junctis SI, SD, fiant segmentis SEIS, SEDS Sectores HSK, HSk aequales, & per Theorema XI. corpus G describet spatium GC eodem tempore quo corpus K describere potest arcum Kk. Q.E.F.

Prop. XXXVIII. Theor. XII. Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiae locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuum que sinibus
versis & sinibus rectis respective proportionales.

Cadat corpus de loco quovis A secundum rectam AS; & centro virium S, intervallo AS, describatur circuli quadrans AE, sit que CD sinus rectus arcus cujusvis AD, & corpus A, tempore AD, cadendo describet spatium AC, in que loco C acquisierit velocitatem CD. Demonstratur eodem modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc aequalia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo provenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalem ADE.

Corol. 2. Proinde aequalia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad us que centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) aequantur.

Prop. XXXIX. Prob. XXVII. Posita cujuscun que generis vi centripeta, & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.

De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, de que loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG, vi centripetae in loco illo ad centrum C tendenti proportionalis:

Sit que BFG linea curva quam punctum G perpetuo tangit. Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendiculari AB, & erit corporis velocitas in loco quovis E ut areae curvilineae ABGE latus quadratum. Q.E.I. In EG capiatur EM lateri quadrato areae ABGE reciproce proportionalis, & sit ALM linea curva quam punctum L perpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo describit lineam AE ut area curvilinea ALME. Quod erat Inveniendum.

Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datae longitudinis, sit que DLF locus lineae EMG ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut area ABGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur V & V+I, erit area ABFD ut V2, & area ABGE ut V2+2VI+I2, & divisim area DFGE ut 2 VI+I2, adeo que DFGE / DE ut 2I×V+½I/DE, id est, si primae quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas 2I×V / DE, adeo que etiam ut quantitatis hujus dimidium I×V / DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, est que vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus inverse, adeo que si primae nascentium rationes sumantur, ut I×V / DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quae sit ut areae ABGE latus quadratum Q.E.D.

Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lincola DE describatur, sit ut velocitas, adeo que ut areae ABFD latus quadratum inverse; sit que DL, at que adeo area nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME. Q.E.D.

Corol. 1. Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati quam corpus aliud vi quacun que cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quae sit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum PDRQ, ei que aequalis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Nam que completo rectangulo EDRS, cum sit area ABFD ad aream DFGE ut VV ad 2 V×I, adeo que ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inaequabili cadentis; & similiter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis

uniformi vi cadentis; fint que incrementa illa (ob aequalitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicatae DF, DR, adeo que ut areae nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex aequo) areae totae ABFD, PQRD ad invicem ut semisses totarum velocitatum, & propterea (ob aequalitatem velocitatum) aequantur.

Corol. 2. Unde si corpus quodlibet de loco quocun que D data cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetae, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadratum rectanguli PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli solius PQRD, id est ut 〈 math 〉 ad √PQRD.

Corol. 3. Tempus quo que innotescet erigendo ordinatam em reciproce proportionalem lateri quadrato ex PQRD+vel−DFge, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineam De ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P & cadendo pervenit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum 2 PD×DL. Nam que tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam PD est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam PE in dimidiata ratione PD ad PE, id est (lineola DE jamjam nascente) in ratione PD ad PD+½DE seu 2 PD ad 2 PD+DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam DE ut 2 PD ad DE, adeo que ut rectangulum 2 PE×DL ad aream DLME; est que tempus quo corpus utrum que descripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2 PD×DL ad aream DLme.

SECT. VIII. De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscun que centripetis agitata revolventur.
Prop. XL. Theor. XIII. Si corpus, cogente vi quacun que centripeta, moveatur utcun que , & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sunt que eorum velocitates in aliquo aequalium altitudinum casu aequales, velocitates corum in omnibus altitudinibus erunt aequales.

Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus aliud a V in linea curva VIKk. Centro C intervallis quibusvis describantur circuli concentrici DI, EK rectae AC in D & E, curvae que VIK in I & K occurentes. Jungatur IC occurrens ipsi KE in N; & in IK demittatur perpendiculum NT; sit que circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN quam minimum, & habeant corpora in D & I velocitates aequales. Quoniam distantiae CD, CI aequantur, erunt vires centripetae in D & I aequales. Exponantur hae vires per aequales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, faciet que ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, in que via curvilinea ITKk progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera IT, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum in D & I accelerationes aequalibus temporibus factae

(si sumantur linearum nascentium DE, IN, IK, IT, NT rationes primae) sunt ut lineae DE, IT: temporibus autem inaequalibus ut lineae illae & tempora conjunctim. Tempora ob aequalitatem velocitatum sunt ut viae descriptae DE & IK, adeo que accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK, sunt ut DE & IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT×IK rectangulum. Sed rectangulum IT×IK aequale est IN quadrato, hoc est, aequale DE quadrato & propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K aequales generantur. Aequales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem argumento semper reperientur aequales in subsequentibus aequalibus distantiis. Q.E.D. Sed & eodem argumento corpora aequivelocia & aequaliter a centro distantia, in ascensu ad aequales distantias aequaliter retardabuntur. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sint que velocitates eorum in eadem quacun que altitudine aequales: erunt velocitates eorum in aliis quibuscun que aequalibus altitudinibus aequales. Nam que impedimento vasis absolute lubrici idem praestatur quod vi transversa NT. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere.

Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacun que revolvens, de que quovis trajectoriae puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sit que quantitas A distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas quaelibet An−1, cujus Index n−1 est numerus quilibet n unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut 〈 math 〉 , at que adeo datur. Nam que velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.

Prop. XLI. Prob. XXVIII. Posita cujuscun que generis vi centripeta & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriae in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.

Tendat vis quaelibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk. Detur circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centro que eodem describantur alii quivis circuli ID, KE trajectoriam secantes in I & K rectam que CV in D & E. Age tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N & X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y. Sint autem puncta I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sit que A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat aequalem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quae in Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas at que adeo ut latus quadratum areae ABFD, & triangulum ICK

tempori proportionale datur, adeo que KN est reciproce ut altitudo IC, id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut Q / A; quam nominemus Z. Ponamus eam esse magnitud inem ipsius Q ut sit √ABFD in aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper √ABFD ad Z ut IK ad KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD−ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. adeo que 〈 math 〉 ad Z ut IN ad KN, & propterea A×KN aequale 〈 math 〉 . Unde cum YX×XC sit ad A×KN in duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX×XC aequale 〈 math 〉 . Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db, Dc ipsis 〈 math 〉 & 〈 math 〉 aequales respective, & describantur curvae lineae ab, cd quas puncta, b, c perpetuo tangunt; de que puncto V ad lineam AC erigatur perpendiculum Vad abscindens areas curvilineas VDba, VDdc, & erigantur etiam ordinatae Ez, Ex: quoniam rectangulum Db×IN seu DbzE aequale est dimidio rectanguli A×KN, seu triangulo ICK; & rectangulum Dc×IN seu Dc×E aequale est dimidio rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam, arearum VDba, VIC aequales semper sunt nascentes particulae DbzE, ICK, & arearum VDcd, VCX aequales semper sunt nascentes particulae DE×c, XCY, erit area genita VDba aequalis areae genitae VIC, adeo que tempori proportionalis, & area genita VDdc aequalis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, ei que aequalis Sector VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & altitudine CI datur locus I, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q.E.I.

Corol. 1. Hinc maximae minimae que corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectae IK & NK aequantur, adeo que ubi area ABFD aequalis est ZZ.

Corol. 2. Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areae ABFD.

Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio quaelibet Conica VRS, & a quovis ejus puncto R agatur Tangens RT occurrens axi infinite producto CV in puncto T; dein juncta CR ducatur recta CP, quae aequalis sit abscissae CT, angulum que

VCP Sectori VCR proportionalem constituat; tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiae locorum a centro reciproce proportionalis, & exeat corpus de loco V justa cum velocitate secundum lineam rectae CV perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit; adeo que si conica sectio C VRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacun que cum velocitate exeat de loco V, & perinde ut incaeperit vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura CVRS vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Traj ctoria augendo vel minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quae invenitur capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem, & longitudinem CP longitudini CT aequalem: ut supra. Consequuntur haec omnia ex Propositione praecedente, per Curvae cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis facilem brevitatis gratia missam facio.

Prop. XLII. Prob. XXIX. Data lege vis centripetae, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.

Stantibus quae in tribus Propositionibus praecedentibus: exeat corpus de loco I secundum lineolam IT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco P cadendo acquirere posset in D: sit que haec vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I, ut DR ad DF. Pergat autem corpus versus k; centro que C & intervallo Ck describatur circulus ke occurrens rectae PD in e, & erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzvdcxw ordinatim applicatae em, eg, ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, data que lege vis centripetae qua corpus primum agitatur, dantur curvae lineae BFGg, ALMm, per constructionem Problematis XXVII. & ejus Corol. 1. Deinde ex dato angulo CIT datur proportio nascentium IK, KN, & inde, per constructionem Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis abzv, dcxw: adeo que completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel Ck, tum area Dcwe, ei que aequalis Sector XCy, angulus que XCy & locus k in quo corpus tunc versabitur. Q.E.I.

Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcun que quam quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse undi que eandem. At que hactenus corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.

SECT. IX. De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, de que motu Apsidum.
Prop. XLIII. Prob. XXX. Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacun que circa centrum virium revolvente perinde moveri possit, at que corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.

In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A centro C agatur semper Cp, quae sit ipsi CP aequalis, angulum que VCp angulo VCP proportionalem constituat; & area quam linea Cp describit erit ad aream VCP quam linea

CP describit, ut velocitas lineae describentis Cp ad velocitatem lineae describentis CP; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCP, adeo que in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis sit quam linea Cp in plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente justae quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum puncto p in curva illa linea quam punctum idem p ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus VCv angulo PCp, & linea Cv lineae CV, at que figura vCp figurae VCP aequalis, & corpus in p semper existens movebitur in perimetro figurae revolventis vCp, eodem que tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi similem & aequalem VP in figura quiescente VPK describere potest. Quaeratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, & solvetur Problema. Q.E.F.

Prop. XLIV. Theor. XIV. Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente aequaliter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.

Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & aequales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto k in rectam pC den ••• perpendiculum kr, idem que produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam corporum altitudines PC & pC, KC & kC semper aequantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas PC, pC; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis PC, pC perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineae pC ad motum angularem lineae PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utro que pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum motu aequaliter movebitur a P versus C, adeo que completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, quae per punctum k in lineam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret distantiam a linea pC, quae sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum transversum alterius. Quare cum kr aequalis sit distantiae quam corpus alterum acquirit a linea pC, sit que mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m. Haec ita se habebunt ubi corpora P & p aequaliter secundum lineas pC & PC moventur, adeo que aequalibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus VCp ad angulum VCP, sit que nC aequalis kC, & corpus p completo illo tempore revera reperietur in n; adeo que vi majore urgetur, si modo angulus mCp

angulo kCp major est, id est si orbis Vpk movetur in consequentia, & minore, si orbis regreditur; est que virium differentia ut locorum intervallum mn, per quod corpus illud p ipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet. Centro C intervallo Cn vel Ck describi intelligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn×mt aequale rectangulo mk×ms, adeo que mn aequale mk×ms / mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earum que differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeo que rectangulum mk×ms est reciproce ut quadratum altitudinis pC. Est & mt directe ut ½ mt, id est ut altitudo pC. Hae sunt primae rationes linearum nascentium; & hinc fit mk×ms / mt, id est lineola nascens mn, ei que proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis pC. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum PK, ut mk×ms ad rk quadratum; hoc est si capiantur datae quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq.−Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis aequalis areae toti VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq.−Fq. ad Fq. Nam que sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.

Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Apsidem summam V; ei que similis & aequalis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc aequalis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2 R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq./Aq., & vis in V erit Fq./CV quad.. Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeo que valet RFq./CV cub.: & vis quae sit ad hanc ut Gq.−Fq. ad Fq., valet RGq.−RFq./CV cub.: est que haec vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad seipsam in altitudine CV ut 1/A cub. ad 1/CV cub., eadem differentia in omne altitudine A valebit RGq.−RFq./A cub.. Igitur ad vim Fq./Aq. qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur excessus RGq.−RFq./A cub. & componetur vis tota Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. qua corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.

Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis VPK Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; ei que similis, aequalis & concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sit que 2 R Ellipseos hujus latus rectum, & 2 T latus transversum, at que angulus VCp semper sit ad angulum VCP ut G ad F; vires quibus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus aequalibus revolvi possunt, erunt ut Fq.A / T cub. & Fq.A / T cub.+RGq.−RFq./A cub. respective.

Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV nominetur T, & radius curvaturae quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli aequaliter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacun que immobili VPK revolvi potest, in loco V dicatur Fq./Tq. V, at que aliis in locis P indefinite dicatur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk circulariter mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium X+VRGq.−VRFq./A cub.

Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocun que immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

Corol. 6. Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur perpendiculum VP longitudinis indeterminatae, jungatur que PC, & ipsi aequalis agatur Cp, constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua corpus

gyrari potest in Curva illa Vpk quam punctum p perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitudinis Cp. Nam corpus P, per vim inertiae, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis CP vel Cp reciproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est autem haec Curva Vpk eadem cum Curva illa VPQ in Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere.

Prop. XLV. Prob. XXXI. Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.

Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quaerendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetae quibus describuntur, inter se collatae, in aequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine maxima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro altitudinum differentia CV−CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C (ut in Corollario 2.) revolvente movetur, quae que in Corollario 2. erat ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. id est ut Fq.A+RGq.−RFq./A cub., substituendo T−X pro A, erit ut RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X / A cub. Reducenda similiter est vis alia quaevis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cub., & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis patebit.

Exempl. 1. Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeo que ut A cub./A cub., sive (scribendo T−X pro A in Numeratore) ut T cub.−3Tq.X+3TXq.−X cub./A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad T cub. ut −Fq.X ad −3Tq.X+3TXq.−X cub. sive ut −Fq. ad −3Tq.+3TX−X q. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factas R, T aequales, at que X in infinitum diminutam, rationes ultimae erunt RGq. ad T cub. ut −Fq. ad −3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq. ad 3Tq. & vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3 T quad. id est, ut 1 ad 3; adeo que G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √3. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo conficiat angulum VCP (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, at que adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum 180/√3: id adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180/√3 graduum, seu 103 gr. 55 m. ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsidem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.

Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dignitas quaelibet An−3 seu An / A3: ubi n−3 & n significant dignitatum indices quoscun que integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille An seu T−X n in seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evadit Tn−nXTn−1+nn−n/2 Xq.Tn−2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X, fit RGq.−RFq.+TFq. ad Tn ut −Fq. ad −nTn−1+nn−n/2 XTn−2 &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit RGq. ad Tn ut −Fq. ad −nTn−1, seu Gq. ad Tn−1 ut Fq. ad nTn−1, & vicissim Gq. ad Fq. ut Tn 1 ad nTn−1 id est ut 1 ad n; adeo que G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √n. Quare cum angulus VCP, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati An−3 proportionali describit, aequalis angulo graduum 180/√n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad apsid m summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut A seu A4/A3, erit n aequalis 4 & √4 aequalis 2; adeo que angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam aequalis 180/2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1/A seu A2/A3, erit n=2, adeo que inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum 180/√2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in aeternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimae dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A11/4, adeo que directe ut 1/A 11/4 seu ut A ¼ / A3 erit n aequalis ¼, & 180/√n gr. aequalis 360 gr. & propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram; dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in aeternum.

Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam effe ut b Am+c An / A cub., id est ut b in T−Xm+c in T−Xn / A cub. seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut bTm−mbXTm 1+mm−m/2bX2Tm 2+cTn−ncXTn 1+nn−n/2 cX2 Tn 2 &c./A Cub. & collatis numeratorum terminis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad bTm+cTn, ut −Fq. ad −mbTm−1ncTn−1+mm−m/2−XTm−2+nn−n/2 XTn−2 &c. Et sumendo rationes ultimas quae prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bTm−1+cTn−1, ut Fq. ad mbTm−1+ncTn−1, & vicissim Gq. ad Fq. ut bTm−1+cTn−1 ad mbTm−1+ncTn−1. Quae proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b+c ad mb+nc, adeo que ut 1 ad mb+nc / b+c. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √mb+nc / b+c. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati bAm+cAn / A cub. proportionali describit, aequalis angulo graduum 180 √b+c / mb+nc. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut bAm−cAn / A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √b−c / mb−nc graduum. Nec secus resolvetur Problema in casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponendae sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendo que unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra-Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A nn / mm−3, cujus Index est nn / mm−3. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens de que Apside discedens, si caeperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem minimam, sed descendet us que ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin caeperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, ne que unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut caeperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum us que vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacun que Corpus nunquam descendet ad centrum us que sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 ½ de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1 ½ ad 1, adeo que nn / mm−3 ualeat 1/64−3 vel 1/16−3 vel ¼−3 vel 4/9−3, erit vis ut A 1/64−3 vel A 1/16−3 vel A ¼−3 vel A 4/9−3, id est reciproce ut A3−1/64 vel A3−1/16 vel A3−¼ vel A3−4/9. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit, m ad n ut 1 ad 1, adeo que A nn / mm−3 aequalis A−2 seu 1/A2, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in praecedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut ¾ vel vel ⅓ vel ¼ ad 1, adeo que A nn / mm−3 aequalis A16/9−3 vel A9/4−3 vel A9−3 vel A16−3, & propterea Vis aut reciproce ut A 11/9 vel A ¾, aut directe ut A6 vel A13. Deni que si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & praeterea gradus tres, adeo que Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363 gr. ad 360 gr. adeo que A nn / mm−3 erit aequale A−2/1 6/3 5/1 9/7 0/6 7/9, & propterea Vis centripeta reciproce ut A2/1 6/3 5/1 7/7 9/6 7/9 seu A2 4/243. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quae vicibus 60¾ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.

Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quae sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic vi centripetae addatur vel auferatur vis alia quaevis extranea; cognosci potest (per Exempla tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1/A2, & vis extranea ablata ut cA, adeo que vis reliqua ut A−cA4/A3; erit (in Exemplis tertiis) A aequalis 1 & n aequalis 4, adeo que angulus revolutionis inter Apsides aequalis angulo graduum 180 √1−c/1−4 c. Ponatur vim illam extraneam esse 357, 43 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 3 1/5 0/7 0/4 3, & 180 √1−c/1−4 c evadet 180 √3/3 5/5 6/3 4/4 5/5 seu 180, 7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeo que Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.

Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent a scensus & descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscun que datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscun que centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quas que tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.

SECT. X. De Motu Corporum in Superficiebus datis, de que Funipendulorum Motu reciproco.
Prop. XLVI. Prob. XXXII. Posita cujuscun que generis vi centripeta, dato que tum virium centro tum plano quocun que in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.

Sit S centrum virium, SC distantia minima centri hujus a plano dato, P corpus de loco P secundum rectam PZ egrediens, Q corpus idem in Trajectoria

sua revolvens, & PQR Trajectoria illa in plano dato descripta, quam invenire oportet. Jungantur CQ QS, & si in QS capiatur SV proportionalis vi centripetae qua corpus tra hitur versus centrum S, & agatur VT quae sit parallela CQ & occurrat SC in T: Vis SV resolvetur (per Legum Corol. 2.) in vires ST, TV; quarum ST trahendo corpus secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TV, agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus punctum C in plano datum, adeo que facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis ST tolleretur, & corpus vi sola TV revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi centripeta TV qua corpus Q in spatio libero circa centrum datum C revolvitur, datur per Prop. XLII. tum Trajectoria PQR quam corpus describit, tum locus Q in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum deni que velocitas corporis in loco illo Q; & contra. Q.E.I.

Prop. XLVII. Theor. XV. Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiae corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscun que revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus aequalibus peragent; quae que moventur in lineis rectis ultro citro que discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.

Nam stantibus quae in superiore Propositione; vis SV qua corpus Q in plano quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ;

at que adeo ob proportionales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur versus punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratione distantiarum aequales viribus quibus corpora undiqua que trahuntur versus centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano quovis PQR circa punctum C, at que in spatiis liberis circa centrum S, adeo que (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper aequalibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro citro que in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis, complebunt. Q.E.D.

Scholium.

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus pe •• etuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro citro que peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, at que adeo in lineis curvis quarum revolutione curvae illae superficies genitae sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.

Prop. XLVIII. Theor. XVI.

Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rotae perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi & rotae ad semidiametrum globi.

Prop. XLIX. Theor XVII. Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei quod punctum quodvis in Rotae Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi & rotae ad semidiametrum globi.

Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei insistens, E centrum rotae, B punctum contactus, & P punctum datum in perimetro rotae. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo

ABL ab A per B versus L, & inter eundum ita revolvi ut arcus AB, PB sibi invicem semper aequentur, at que punctum illud P in Perimetro rotae datum interea describere viam curvilineam AP. Sit autem AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in A, & erit viae hujus longitudo AP ad duplum sinum versum arcus ½ PB, ut 2 CE ad CB. Nam recta CE (si opus est producta) occurrat Rotae in V, jungantur que CP, BP, EP, VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tangant PH, VH circulum in P & V concurrentes in H, secet que PH ipsam VF in G, & ad VP demittantur Normales GI, HK. Centro item C & intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n, Rotae perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m, centro que V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q.

Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam Rotae punctum P describit, at que adeo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto P. Circuli nom radius sensim auctus aequetur tandem distantiae CP, & ob similitudinem figurae evanescentris Pnomq & figurae PFGVI, ratio ultima lineolarum evanescentis Pm, Pn, Po, Pq, id est ratio incrementorum momentaneorum curvae AP, rectae CP & arcus circularis BP, ac decrementi rectae VP, eadem erit quae linearum PV, PF, PG, PI respective. Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt, anguli que HVG, VCF propterea aequales; & angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos, adeo que angulo CEP aequalis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequentibus ut CB ad 2 CE ita PI ad PV. Est igitur decrementum lineae VP, id est incrementum lineae BV−VP, ad incrementum lineae curvae AP in data ratione CB ad 2 CE, & propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudines BV−VP & AP incrementis illis genitae sunt in eadem ratione. Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu ½ BEP, adeo que BV−VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½ BV, erit BV−VP duplus sinus versus arcus ½ BP. Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½ BP ut 2 CE ad CB. Q.E.D.

Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.

Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisecetur ea in S, erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quae duplus est sinus anguli VBP, existente EB radio) ut 2 CE ad CB, at que adeo in ratione data.

Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS aequabitur lineae rectae, quae est ad Rotae diametrum BV ut 2 CE ad CB.

Corol. 3. Ideo que longitudo illa est ut rectangulum BEC, si modo Globi detur semidiameter.

Prop. L. Prob. XXXIII. Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.

Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis extremis Q & S superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O, & producatur ea ad A, ut sit CA ad CO ut CO ad CR. Centro C intervallo CA describatur Globus exterior ABD, & intra hunc globum Rota, cujus diameter sit AO, describantur duae semicycloides AQ, AS, quae globum interiorem tangant in Q & S & globo exteriori occurrant in A. A puncto illo A, filo APT longitudinem AR aequante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides AQ, AS oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte sui superiore AP applicetur ad semicycloidem illam APS, versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur, parte que reliqua PT cui semicyclois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in Cycloide data QRS. Q.E.F.

Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum circulo QOS in V, agatur que CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e punctis extremis P ac T, erigantur perpendicula PB, TW, occurrentia rectae CV in B & W. Patetenim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW abscindent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR aequales, at que adeo quod punctum B incidet in circulum ABD. Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente ½ BV radio) ut BW ad BV, seu AO+OR ad AO, id est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad OR proportionales,) ut CA+CO

seu 2 CE ad CA. Proinde per Corol. 1. Prop. XLIX. longitudo PT aequatur Cycloidis arcui PS, & filum totum APT aequatur Cycloidis arcui dimidio APS, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX longitudini AR. Et propterea vicissim si filum manet semper aequale longitudini AR movebitur punctum T in Cycloide QRS. Q.E.D.

Corol. Filum AR aequatur Cycloidis arcui dimidio APS.

Prop. LI. Theor. XVIII. Si vis centripeta tendens undi que ad Globi centrum C sit in locis singulis ut distantia loci cujus que a centro, & hac sola vi agente Corpus T oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis QRS: dico quod oscillationum utcun que inaequalium aequalia erunt Tempora

Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iis que proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT, Apt de perpendiculo AR inaequaliter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem partes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est ut totae sub initio describendae, & propterea partes quae manent describendae & accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totae; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes at que adeo velocitates genitae & partes his velocitatibus descriptae partes que describendae, semper ut totae; & propterea partes describendae datam servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum AR. Cum que vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum aequales esse, at que adeo temporibus aequalibus fieri; & propterea cum Cycloidis partes duae RS & RQ ad utrum que perpendiculi latus jacentes sint similes & aequales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragant. Q.E.D.

Prop. LII. Prob. XXXIV. Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totae, tum singulae oscillationum partes peraguntur.

Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS aequante, describe semicirculum HKMG semidiametro GK bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis tendat ad centrum G, sit que ea in perimetro HIK aequalis vi centripetae in perimetro globi QOS (Vide Fig. Prop. L. & LI.) ad ipsius centrum tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S, cadat corpus aliquod L ab H ad G: quoniam vires quibus corpora urgentur

sunt aequales sub initio & spatiis describendis TR, GL semper proportionales, at que adeo, si aequantur TR ad LG, aequales in locis T & L; patet corpora illa describere spatia ST, HL aequalia sub initio, adeo que subinde pergere aequaliter urgeri, & aequalia spatia describere. Quare, per Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum ST est ad tempus oscillationis unius, ut arcus HI (tempus quo corpus H perveniet ad L) ad semicirculum HKM (tempus quo corpus H perveniet ad M.) Et velocitas corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, (hoc est velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu incrementum momentaneum lineae HL ad incrementum momentaneum lineae HG, arcubus HI, HK aequabili fluxu crescentibus) ut ordinatim applicata LI ad radium GK, sive ut 〈 math 〉 ad SR. Unde cum in Oscillationibus inaequalibus describantur aequalibus temporibus arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis temporibus & velocitates & arcus descripti in Oscillationibus universis. Quae erant primo invenienda.

Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inaequalibus & earum semiarcubus aequales capiantur rectae GH, gh, centris que G, g & intervallis GH, gh describantur semicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hm capiantur lineolae aequales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz circumferentiis occurrentes in Z & z. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi QOS, adeo que a viribus aequalibus urgentur in centrum, incipiunt que directe versus centrum moveri, spatia simul confecta aequalia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a viribus iisdem in H & h, sint que

HY, hy spatia aequalia ipso motus initio descripta, & arcus HZ hz denotabunt aequalia tempora. Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem quae rectangulorum GHY, ghy, id est, eadem quae linearum GH, gh; adeo que arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum denotant aequalia tempora. Est ergo tempus totum in circulo HKM, Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulo hkm Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia HKM ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli alterius hkm, id est in dimidiata ratione diametri HM ad diametrum hm, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primae ad perimetrum Cycloidis alterius, adeo que tempus illud in Cycloide quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadratum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotae, qua Cyclois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & semidiametrum globi. Q.E.I. Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis fili AR.Q.E.I.

Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiae locorum a communi globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, at que adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, aqualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscillationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes omnes erunt Isochronae. Cum igitur Oscillationum tempora in Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, at que adeo (ob datam AC) in dimidiata ratione numeri AR / AC, id est in ratione integra numeri √AR / AC; & hic numerus √AR / AC servata ratione AR ad AC (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, at que adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √AR / AC, id est, in ratione composita ex dimidiata ratione longitudinis fili AR directe & dimidiata ratione semidiametri globi AC inverse. Q.E.I

Deni que si vires absolutae diversorum globorum ponantur inaequales, accelerationes temporibus aequalibus factae, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt aequalia quae his temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscun que cum viribus absolutis factae, sunt in ratione quae componitur ex dimidiata ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata ratione distantiae inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutae etiam inverse, id est, si vis illa dicatur V, in ratione numeri √AR / AC×V.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotae, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequalis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½ BC ad √BEC.

Corol. 2. Hinc etiam consectantur quae D. C. Wrennus & D. C. Hugenius de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphaerica in planum, vis que centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, & yclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, aequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotae inter idem planum & punctum describens; ut invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmodi Cycloides in simili & aequali Cycloide temporibus aequalibus Oscillabitur, ut demonstravit Hugenius. Sed & descensus gravium, tempore Oscillationis unius, is erit quem Hugenius indicavit.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratae ad veram constitutionem Terrae, quatenus Rotae eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terrae suspensa, in Cycloidibus intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochronae. Nam gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie Terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici.

Prop. LIII. Prob. XXXV. Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.

Oscilletur corpus

T in curva quavis linea STRQ, cujus axis sit OR transiens per virium centrum C. Agatur TX quae curvam illam in corporis loco quovis T contingat, in que hac Tangente TX capiatur TY aequalis arcui TR. Nam longitudo arcus illius exfigurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotescit. De puncto Y educatur recta YZ Tangenti perpendicularis. Agatur CT perpendiculari illi occurrens in Z, & erit vis centripeta proportionalis rectae TZ.Q.E.I.

Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur haec in vires TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum haec sit ut via describenda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea facient ut partes illae simul describantur. Corpora autem quae partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pendens, describat arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quae sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus TR ad ejus sinum TN: aequalia erun Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea TZ erit ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscillationes evadent Isochronae, erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY aequalis ad arcus illius sinum TN.

Corol. 2. Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressae ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quae oritur applicando rectangulum sub arcu TR & radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronae.

Prop. LIV. Prob. XXXVI. Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscun que curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.

Descendat enim corpus de loco quovis S per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS & dividatur cadem in partes innumeras aequales, sit que Dd partium illarum aliqua. Centro C, intervallis CD, Cd describantur circuli DT, dt, Lineae curvae STtR occurrentes in T & t. Et ex data tum lege vis centripetae, tum altitudine CS dequa corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine CT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus describit lineolam Tt, est ut lineolae hujus

longitudo (id est ut secans anguli tTC) directe, & velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit ordinatim applicata DN ad rectam CS per punctum D perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum Dd×DN, hoc est area DNnd, eidem tempori proportionale. Ergo si SNn sit curva illa linea quam punctum N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam ST; proinde que ex inventa illa area dabitur tempus. Q.E.I.

Prop. LV. Theor. XIX. Si corpus movetur in superficie quacun que curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendicularis, ei que parallela & aequalis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.

Sit BSKL superficies curva, T corpus in ea revolvens, STtR Trajectoria quam corpus in eadem describit, S initium Trajectoriae, OMNK axis superficiei curvae, TN recta a corpore in axem perpendicularis, OP huic parallela & aequalis a puncto O quod in axe datur educta, AP vestigium Trajectoriae a puncto P in lineae volubilis OP plano AOP descriptum, A vestigii initium puncto S respondens, TC recta a corpore ad centrum ducta; TG pars ejus vi centripetae qua corpus urgetur in centrum C proportionalis; TM recta ad superficiem curvam perpendicularis; TI pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissim que urgetur versus M a superficie, proportionalis; PHTF recta axi parallela per corpus transiens,

& GF, IH rectae a punctis G & I in parallelam illam PHTF perpendiculariter demissae. Dico jam quod area AOP, radio OP ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam vis TG (per Legum Corol. 2.) resolvitur in vires TF, FG; & vis TI in vires TH, HI: Vires autem TF, TH agendo secundum lineam PF plano AOP perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideo que motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P, quo Trajectoriae vestigium AP in hoc plano describitur, idem est ac si vires TF, TH tollerentur, & corpus solis viribus FG, HI agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summan virium FG & HI aequante, describeret curvam AP. Sed vi tali describetur area AOP (per Prop. I.) tempori proportionalis. Q.E.D.

Corol. Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra duo vel plura in eadem quavis recta CO data tendentibus, describeret in spatio libero lineam quamcun que curvam ST, foret area AOP tempori semper proportionalis.

Prop. LVI. Prob. XXXVII. Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datis que tum lege vis centripetae ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.

Stantibus quae in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco S in Trajectoriam inveniendam STtR, & ex data ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriae suae particulam Tt, sit que Pp vestigium ejus plano AOP descriptum. Jungatur Op, & circelli centro T intervallo Tt in superficie curva descripti sit PpQ vestigium Ellipticum in eodem plano OAPp descriptum. Et ob datum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa PpQ. Cum que area POp sit tempori proportionalis, at que adeo ex dato tempore detur, dabitur Op positione, & inde dabitur communis ejus & Ellipseos intersectio p, una cum angulo OPp, in quo Trajectoriae vestigium APp secat lineam OP. Inde autem invenietur Trajectoriae vestigium illud APp, eadem methodo qua curva linea VIKk in Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit. Tum ex singulis vestigii punctis P erigendo ad planum AOP perpendicula PT superficiei curvae occurrentia in T, dabuntur singula Trajectoriae puncta T.Q.E.I.

SECT. XI. De Motu Corporum Sphaericorum viribus centripetis se mutuo petentium.

Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuae sunt & aequales, per Legem tertiam: adeo ut ne que attrahens possit quiescere ne que attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & si plura sint corpora (quae vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) haec ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune. vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.

Prop. LVII. Theor. XX. Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.

Sunt enim distantiae a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus, at que adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hae distantiae circum terminos suos communi motu angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineae autem rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quae una cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figurae quae his distantiis circumactis describuntur. Q.E.D.

Prop. LVIII. Theor. XXI. Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & aequalis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.

Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de S ad T de que P ad Q. A dato puncto s ipsis SP, TQ aequales & parallelae ducantur semper sp, sq; & curva pqv quam punctum p, revolvendo circum punctum immotum s, describit,

erit similis & aequalis curvis quas corpora S, P describunt circum se mutuo: proinde que (per Theor. XX.) similis curvis ST & PQV, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum C: id adeo quia proportiones linearum SC, CP & SP vel sp ad invicem dantur.

Cas. 1. Commune illud gravitatis centrum C, per Legum Corollarium quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Ponamus primo quod id quiescit, in que s & p locentur corpora duo, immobile in s, mobile in p, corporibus S & P similia & aequalia. Dein tangant rectae PR & pr curvas PQ & pq in P & p, & producantur CQ & sq ad R & r. Et ob similitudinem figurarum CPRQ, sprq, erit RQ ad rq ut CP ad sp, adeo que in data ratione. Proinde si vis qua Corpus P versus Corpus S, at que adeo versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim qua corpus p versus centrum s attrahitur in eadem illa ratione data, hae vires aequalibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus PR, pr ad arcus PQ, pq, per intervalla ipsis proportionalia

RQ, rq; adeo que vis posterior efficeret ut corpus p gyraretur in curva pqv, quae similis esset curvae PQV, in qua vis prior efficit ut corpus P gyretur, & revolutiones iisdem temporibus complerentur. At quoniam vires illae non sunt ad invicem in ratione CP ad sp, sed (ob similitudinem & aequalitatem corporum S & s, P & p, & aequalitatem distantiarum SP, sp) sibi mutuo aequales, corpora aequalibus temporibus aequaliter trahentur de Tangentibus; & propterea ut corpus posterius p trahatur per intervallum majus rq, requiritur tempus majus, id que in dimidiata ratione intervallorum; propterea quod, per Lemma decimum, spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p esse ad velocitatem corporis P in dimidiata ratione distantiae sp ad distantiam CP, eo ut temporibus quae sint in eadem dimidiata ratione describantur arcus PQ, pq, qui sunt in ratione integra: Et corpora P, p viribus aequalibus semper attracta describent circum centra quiescentia C & s figuras similes PQV, pqv, quarum posterior pqv similis est & aequalis figurae quam corpus P circum corpus mobile S describit. Q.E.D.

Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uniformiter in directum; &, per Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeo que corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea figurae pqv similes & aequales. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc corpora duo viribus distantiae suae proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses concentricas: & vice versa, si tales figurae describuntur, sunt vires distantiae proportionales.

Corol. 2. Et corpora duo viribus quadrato distantiae suae reciproce proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune gravitatis centrum & circum se mutuo sectiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figurae describuntur. Et vice versa, si tales figurae describuntur, vires centripetae sunt quadrato distantiae reciproce proportionales.

Corol. 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.

Prop. LIX. Theor. XXII. Corporum duorum S & P circa commune gravitatis centrum C revolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius P, circa alterum immotum S gyrantis & figuris quae corpora circum se mutuo describunt figuram similem & aequalem describentis, in dimidiata ratione corporis alterius S, ad summant corporum S+P.

Nam que ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum CP & SP vel sp, hoc est, in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S+P. Et componendo, summae temporum quibus arcus omnes similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figurae totae similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. Q.E.D.

Prop. LX. Theor. XXIII. Si corpora duo S & P, viribus quadrato distantiae suae reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revoluntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum P hoc motu circa alterum S describit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idem P circa alterum quiescens S eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorum S+P ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summan & corpus illud alterum S.

Nam si descriptae Ellipses essent sibi invicem aequales, tempora periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S+P. Minuatur in hac ratine tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodica evadent aequalia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus haec est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad S+P est triplicata; adeo que ad axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter S+P & S ad S+P. Et inverse, axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descriptae erit ad axem transversum descriptae circa immobile, ut S+P ad primam duarum medie proportionalium inter S+P & S. Q.E.D.

Prop. LXI. Theor. XXIV. Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, ne que alias agitata vel impedita, quomodocun que moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrum que a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distantiae corporum a centro illo communi at que respectu distantiae totius inter corpora.

Nam vires illae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeo que eaedem sunt ac si a corpore intermedio manarent. Q.E.D.

Et quoniam data est ratio distantiae corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiae unius ad eandem potestatem distantiae alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus datis utcun que derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datam que illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quaelibet hujus distantiae potestas; vel deni que ut quantitas quaevis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocun que derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiae hujus potestas, vel deni que ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distantiae utrius que . Q.E.D.

Prop. LXII. Prob. XXXVIII. Corporum duorum quae viribus quadrato distantiae suae reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.

Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur; & centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) & propterea (per Legum Corol. 4.) semper quiescet. Determinandi sunt igitur motus Corporum (per Probl. XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebuntur motus corporum se mutuo trahentium. Q.E.I.

Prop. LXIII. Prob. XXXIX. Corporum duorum quae viribus quadrato distantiae suae reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, de que locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.

Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum & Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul motus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo gyrantium motus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili. Q.E.I.

Prop. LXIV. Prob. XL. Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.

Ponantur imprimis corpora duo T & L commune habentia gravitatis centrum D. Describent haec per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in D, quarum magnitudo ex Problemate V. innotescit.

Trahat jam corpus tertium S priora duo T & L viribus acceleratricibus ST, SL, & ab

ipsis vicissim trahatur. Vis ST per Legum Corol. 2. resolvitur in vires SD, DT; & vis SL in vires SD, DL. Vires autem DT, DL, quae sunt ut ipsarum summa TL, at que adeo ut vires acceleratrices quibus corpora T & L se mutuo trahunt, additae his viribus corporum T & L, prior priori & posterior posteriori, componunt vires distantiis DT ac DL proportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeo que (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 7. Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore. Vires reliquae acceleratrice 〈…〉 & SD, actionibus motricibus SD×T & SD×L, quae sunt ut •• rpora, trahendo corpora illa aequaliter & secundum lineas TI, LK ipsi DS parallelas, nil mutant situs earum ad invicem, sed faciunt ipsa aequaliter accedere ad lineam IK; quam ductam concipe per medium corporis S, & lineae DS perpendicularem. Impedietur autem iste ad lineam IK accessus faciendo ut Systema corporum T & L ex una parte, & corpus S ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum C. Tali motu corpus S (eo quod summa virium motricium SD×T & SD×L, distantiae CS proportionalium, trahitur versus centrum C) describit Ellipsin circa idem C; & punctum D ob proportionales CS, CD describet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autem T & L viribus motricibus SD×T & SD×L, (prius priore, posterius posteriore) aequaliter & secundum lineas parallelas TI & LK (ut dictum est) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa centrum mobile D Ellipses suas describendo, ut prius. Q.E.I.

Addatur jam corpus quartum

V, & simili argumento concludetur hoc & punctum C Ellipses circa omnium commune centrum gravitatis B describere; manentibus motibus priorum corporum T, L & S circa centra D & C, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. Q.E.I.

Haec ita se habent ubi corpora T & L trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuae omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distantiae ductae in corpora trahentia, & ex pracedentibus facile deducetur quod corpora omnia aequalibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa mnium commune gravitatis centrum B 〈…〉 plano immobili describunt. Q.E.I.

Prop. LXV. Theor. XXV. Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.

In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, ne que fieri potest ut corpora secundam legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab Ellipsibus errabitur.

Cas. 1. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendant que ad singula vires absolutae proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum.) vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpora minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro; & maximum illud vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, abs que errore sensibili; minora autem revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, at que radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt corpora minora us que donec error iste & actiones mutuae sint datis quibusvis minores, at que adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, & areae respondeant temporibus, abs que errore qui non sit minor quovis dato. Q.E.O.

Cas. 2. Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam aequales vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas parallelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut Systema totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum, nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum acceleratricum inaequalitate, vel ex inclinatione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, & augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum minores sint differentiae & inclinationes ad invicem quam datae quaevis, perseverabunt motus partium Systematis inter se abs que erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema totum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravitatis describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Conicam (viz. Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipsim fortiore,) & Radio ad maximum ducto, verret areas temporibus proportionales, abs que ullis erroribus, nisi quas partium distantiae (perexiguae sane & pro lubitu minuendae) valeant efficere. Q.E.O.

Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.

Corol. 1. In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem, major que proportionis inaequalitas.

Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; praesertim si proportionis hujus inaequalitas major sit quam inaequalitas proportionis distantiarum a corpore maximo: Nam si vis acceleratrix, aequaliter & secundum lineas parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis inaequalitate perturbatio oriatur, major que sit vel minor pro majore vel minore inaequalitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario mutabunt situnreorum inter se. Et haec perturbatio addita perturbationi, quae ex linearum inclinatione & inaequalitate oritur, majorem reddet perturbationem totam.

Corol. 3. Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eaedem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur aequaliter & secundum lineas parallelas quamproxime.

Prop. LXVI. Theor. XXVI. Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcun que in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.

Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis praecedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.

Cas. 1. Revolvantur corpora minora P & Q in eodem plano circa maximum S, quorum P describat orbem interiorem PAB, & Q exteriorem QE. Sit QK mediocris distantia corporum P & Q; & corporis P versus Q attractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem. In duplicata ratione QK ad QP capiatur QL ad QK, & erit QL attractio acceleratrix corporis P versus Q in distantia quavis QP. Junge PS, ei que parallelam age LM occurrentem QS in M, & attractio QL resolvetur (per Legum Corol. 2.) in attractiones QM, LM. Et sic urgebitur corpus P vi acceleratrice triplici: una tendente ad S & oriunda a mutua attractione corporum S & P. Hac vi sola corpus P, circum corpus S sive immotum, sive hac attractione agitatum, describere deberet & areas, radio PS temporibus proportionales, & Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis S. Patet hoc per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXI. Vis altera est attractionis LM, quae

quoniam tendit a P ad S, superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areae etiamnum temporibus proportionales describantur per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non est quadrato distantiae PS reciproce proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, id que eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim priorem, caeteris paribus. Proinde cum (per Corol. 1. Prob. VIII. & Corol. 2. Theor XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum S describitur tendere debeat ad umbilicum illum, & esse quadrato distantiae PS reciproce proportionalis; vis illa composita aberrando ab hac proportione, faciet ut Orbis PAB aberret a forma Ellipseos umbilicum habentis in S; id que eo magis quo major est aberratio ab hac proportione; at que adeo etiam quo major est proportio vis secundae LM ad vim primam, caeteris paribus. Jam vero vis tertia QM, trahendo corpus P secundum lineam ipsi QS parallelam, componet cum viribus prioribus vim quae non amplius dirigitur a P in S, quae que ab hac determinatione tanto magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiae vis ad vires priores, caeteris paribus; at que adeo quae faciet ut corpus P, radio SP, areas non amplius temporibus proportionales describet, at que aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertiae ad vires caeteras. Orbis vero PAB aberrationem a forma Elliptica praefata hac vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a P ad S, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiae PS. Quibus intellectis, manifestum est quod areae temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus caeteris, fit minima; & quod Orbis PAB tum maxime accedit ad praefatam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed praecipue vis tertia, sit minima, vi prima manente.

Exponatur corporis S attractio acceleratrix versus Q per lineam QN; & si attractiones acceleratrices QM, QN aequales essent, hae trahendo corpora S & P aequaliter & secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (per Legum Corol. 6.) ac si hae attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio QN minor esset attractione QM, tolleret ipsa attractionis QM partem QN, & maneret pars sola MN, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitae forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio QN major esset attractione QM, oriretur ex differentia sola MN perturbatio proportionalitatis & Orbitae. Sic per attractionem QN reducitur semper attractio tertia superior QM ad attractionem MN, attractione prima & secunda manentibus prorsus immutatis: & propterea areae ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita PAB ad formam praefatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum P & S attractiones acceleratrices, factae versus corpus Q, accedunt quantum fieri potest ad aequalitatem; id est ubi attractio QN non est nulla, ne que minor minima attractionum omnium QM, sed inter attractionum omnium QM maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major ne que multo minor attractione QK. Q.E.D.

Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, Q circa maximum S in planis diversis, & vis LM, agendo secundum lineam PS in plano Orbitae PAB sitam, eundem habebit effectumac prius, ne que corpus P de plano Orbitae suae deturbabit. At vis altera NM, agendo secundum lineam quae ipsi QS parallela est, (at que adeo, quando corpus Q versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitae PAB;) praeter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, trahendo corpus P de plano suae Orbitae. Et haec perturbatio in dato quovis corporum P & S ad invicem situ, erit ut vis illa generans MN, adeo que minima evadet ubi MN est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractio QN non est multo major ne que multo minor attractione QK. Q.E.D.

Corol. 1. Ex his facile colligitur quod si corpora plura minora P, Q, R &c. revolvantur circa maximum S: motus corporis intimi P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum S pariter a caeteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur at que caeteri a se mutuo.

Carol. 2. In Systemate vero trium corporum S, P, Q; si attractiones acceleratrices binorum quorumcun que in tertium sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum, corpus P radio PS aream circa corpus S velocius describet prope conjunctionem A & oppositionem B, quam prope quadraturas C, D. Nam que vis omnis qua corpus P urgetur & corpus S non urgetur, quae que non agit secundum lineam PS, accelerat vel retardat descriptionem areae, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Talis est vis NM, Haec in transitu corporis P a C ad A tendit in antecedentia, motum que accelerat; dein us que ad D in consequentia, & motum retardat; tum in antecedentia us que ad B, & ultimo in conseqentia transeundo a B ad C.

Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, caeteris paribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.

Corol. 4. Orbita corporis P caeteris paribus curvior est in quadraturis quam in Conjunctione & Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et praeterea vis NM, in Conjunctione & Oppositione, contraria est vi qua corpus S trahit corpus P, adeo que vim illam minuit; corpus autem P minus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus S.

Corol. 5. Unde corpus P, caeteris paribus, longius recedet a corpore S in quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositione. Haec ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis P excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; inde que fieri potest ut corpus P, ad Apsidem summam appellans, absit longius a corpore S in Syzygiis quam in Quadraturis.

Corol. 6. Quoniam

vis centripeta corporis centralis S, qua corpus P retinetur in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis KL, & ob magnitudinem vis KL, magis diminuitur quam augeatur; est autem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii SP directe & ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis KL, adeo que tempus periodicum, si maneat Orbis radius SP, augeri, id que in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur: aucto que adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel diminui minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpus P minus semper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro S; & contra, si vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui Q, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur Radius SP per vices, & tempus periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis S per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui Q diminuitur vel augetur.

Corol. 7. Ex praemissis consequitur etiam quod Ellipseos a corpore P descriptae axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, & in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpus P urgetur in corpus S in Quadraturis, ubi vis MN evanuit, componitur ex vi LM & vi centripeta qua corpus S trahit corpus P. Vis prior LM, si augeatur distantia PS, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, adeo que summa harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distantiae PS, & propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunctione vero & Oppositione, vis qua corpus P urgetur in corpus S differentia est inter vim qua corpus S trahit corpus P & vim KL; & differentia illa, propterea quod vis KL augetur quamproxime in ratione distantiae PS, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiae PS, adeo que per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem progredi. In locis inter Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utra que conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis KL in Syzygiis sit quasi dupla vis LM in quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim KL, transferet que Augem singulis revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus & praecedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum duorum S, P corporibus pluribus Q, Q, Q &c. in Orbe QE consistentibus, unde que cingi. Nam que horum actionibus actio ipsius S minuetur undi que decrescet que in ratione plusquam duplicata distantiae.

Corol. 8. Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus a decremento vis centripetae facto in majori vel minori quam duplicata ratione distantiae SP, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut & a simili incremento in reditu ad Apsidem imam; at que adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in

Apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in Syzygiis suis, per vim ablatitiam KL seu NM−LM, progredientur velocius, in que Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam LM. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit haec inaequalitas longe maxima.

Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi, & mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novae augeretur in ratione plusquam duplicata distantiae diminutae: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novae impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiae diminutae, adeo que Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu hujus vis novae, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem, adeo que si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi & decrementi vis centripetae singulis revolutionibus augeatur, augebitur semper Excentricitas, & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat. Jam vero in Systemate corporum S, P, Q, ubi Apsides orbis PAB sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit ubi Apsides sunt in Syzygiis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsides minor est, & prope Syzygias major quam duplicata distantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu inter Apsides, haec minor est quam duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distantiae Apsidis summae ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imae ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata ratione distantiarum. Nam vires LM in quadraturis additae viribus corporis S componunt vires in ratione minore, & vires KL in Syzygiis subductae viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, auget que Excentricitatem Ellipsieos; in que transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, & Excentricitatem diminuit.

Corol. 10. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum Orbis QES immobile manere; & ex errorum exposita causa manifestum est, quod ex viribus NM, ML, quae sunt causa illa tota, vis ML agendo semper secundum planum Orbis PAB, nunquam perturbat motus in latitudinem, quod que vis NM ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpus que P de plano Orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, auget que vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeat que ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter C & A, D & B, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporis P a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, us que ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, us que ad nodum proximum, diminuitur. Magis ita que diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam in praecedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminui 〈…〉 , ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter A & D, B & C. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium maxima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fit que omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis & corpus in Syzygiis: dein creseit iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodis que ad Syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur.

Corol. 11. Quoniam corpus P ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano Orbis sui, id que in partem versus Q, in transitu suo a nodo C per Conjunctionem A ad nodum D; & in contrariam partem in transitu a nodo D per Oppositionem B ad nodum C; manifestum est quod in motu suo a nodo C, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo CD, us que dum perventum est ad nodum proximum; adeo que in hoc nodo longissime distans a plano illo primo CD, transit per planum Orbis QES, non in plani illius Nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis Q, quod que proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis intermediis conditionis utrius que participes recedunt tardius, adeo que semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia.

Corol. 12. Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione Corporum P, Q quam in eorum Oppositione, id que ob majores vires generantes NM & ML.

Corol. 13. Cum que rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporis Q, obtinent praecedentia omnia, ubi corporis Q tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum S & P Systema. Et ex aucto corpore Q, aucta que adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis P oriuntur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus Q circum Systema corporum P & S revolvitur.

Corol. 14 Cum autem vires NM, ML, ubi corpus Q longinquum est, sint quamproxime ut vis QK & ratio PS ad QS conjunctim, hoc est, si detur tum distantia PS, tum corporis Q vis absoluta, ut QS cub. reciproce; sint autem vires illae NM, ML causae errorum & effectuum omnium de quibus actum est in praecedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes, stante corporum S & P Systemate, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolutae corporis Q & ratione triplicata inversa distantiae QS. Unde si Systema corporum S & P revolvatur circa corpus longinquum Q, vires illae NM, ML & earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo corporis Q proportionalis sit ipsius vi absolutae, erunt vires illae NM, ML & carum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis Qe corpore S spectati, & vice versa. Nam que hae rationes eaedem sunt at que ratio superior composita.

Corol. 15. Et quoniam si, manentibus Orbium QE & PAB forma, proportionibus & inclinatione ad invicem, inutetur eorum magnitudo, & si corporum Q & S vel maneant vel mutentur vires in data quavis ratione, hae vires (hoc est vis corporis S, qua corpus P de recto tramite in Orbitam PAB deflectere, & vis corporis Q, qua corpus idem P de Orbita illa deviare cogitur) agunt semper eodem modo & eadem proportione: necesse est ut similes & proportionales sint effectus omnes & proportionalia effectuum tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium similium vel angularium aequalium tempora ut Orbium tempora periodica.

Corol. 16. Unde, si dentur Orbium formae & inclinatio ad invicem, & mutentur utcun que corporum magnitudines, vires & distantiae; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo. Vires NM, ML caeteris stantibus sunt ut Radius SP, & harum effectus periodici (per Corol. 2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici corporis P conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis P; & hinc errores angulares e centro S spectati (id est tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt in qualibet revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hae rationes cum rationibus Corollarii 14. & in quolibet corporum S, P, Q Systemate, ubi P circum S sibi propinquum, & S circum Q longinquum revolvitur, errores angulares corporis P, de centro S apparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illius P, ut quadratum temporis periodici corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse. Et inde motus medius Augis erit in data ratione ad motum medium Nodorum; & motus uter que erit ut tempus periodicum corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis PAB non mutantur motus Augis & Nodorum sensibilitur, nisi ubi eaedem sunt nimis magnae.

Corol. 17. Cum autem linea LM nunc major sit nunc minor quam radius PS, Exponatur vis mediocris LM per radium illum PS, & erit haec ad vim mediocrem QK vel QN (quam exponere licet per QS) ut longitudo PS ad longitudinem QS. Est autem vis mediocris QN vel QS, qua corpus retinetur in orbe suo circum Q, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S, in ratione composita ex ratione radii QS ad radium PS, & ratione duplicata temporis periodici corporis P circum S ad tempus periodicum corporis S circum Q. Et ex aequo, vis mediocris LM, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S (quave corpus idem P eodem tempore periodico circum punctum quodvis immobile S ad distantiam PS revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia PS, datur vis mediocris LM; & ea data datur etiam vis MN quamproxime per analogiam linearum PS, MN.

Corol. 18. Iisdem legibus quibus corpus P circum corpus S revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem S ad aequales ab ipso distantias moveri; deinde ex his contiguis factis conflari annulum fluidum, rotundum ac corpori S concentricum; & singulae annuli partes, motus suos omnes ad legem corporis P peragendo, propius accedent ad corpus S, & celerius movebuntur in Conjunctione & Oppositione ipsarum & corporis Q, quam in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano Orbitae corporis Q vel S, quiescent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia, & velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quo que inclinatio variabitur, & axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur, completa que revolutione ad pristinum situm redibit, nisi quatenus per praecessionem Nodorum circumfertur.

Corol. 19. Fingas jam globum corporis S ex materia non fluida constantem ampliari & extendi us que ad hunc annulum, & alveo per circuitum excavato continere Aquam, motu que eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies Globi, & sic fluet in alveo refluet que ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio Q, nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis circa centrum suum (per Legum Corol. 5) ut & Globi de cursu rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol. 6.) Accedat autem corpus Q, & ab ipsius inaequabili attractione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attractio aquae propioris, minor ea remotioris. Vis autem LM trahet aquam deorsum in Quadraturis, faciet que ipsam descendere us que ad Syzygias; & vis KL trahet eandem sursum in Syzygiis, sistet que descensum ejus & faciet ipsam ascendere us que ad Quadraturas.

Corol. 20. Si annulus jam rigeat & minuatur Globus, cessabit motus fluendi & refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis motus & praecessio Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum annulo, gyros que compleat iisdem temporibus, & superficie sua contingat ipsum interius, ei que inhaereat; & participando motum ejus, compages utrius que Oscillabitur & Nodi regredientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas impressiones omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in progressu Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam minuere, & isto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum impressum us que dum annulus conatu contrario motum hunc tollat, imprimat que motum novum in contrariam partem: At que hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis motus in Syzygiis & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem est ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus aequatoris vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiae in aequatoris regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcun que Globi hujus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phaenomena hujus & praecedentis Corollarii vix inde mutabuntur.

Corol. 21. Eadem ratione qua materia Globi juxta aequatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, at que adeo per hujus incrementum augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur & per ablationem tollitur; si materia plusquam redundans tollatur, hoc est, si Globus juxta aequatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in consequentia.

Corol. 22. Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit constitutio Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter servat & motus fit in antecedentia, materia juxta aequatorem redundat; si in consequentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiscere; dein impetu quocun que oblique in superficiem suam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet, ne que propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axis que inclinationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam Globus oblique in eadem illa superficiei parte qua prius, impulsu quocun que novo; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duo impulsus successive impressi eundem producent motum ac si simul impressi fuissent, hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utro que (per Legum Corol. 2.) composita impulsus fuisset, at que adeo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio impulsus secundi facti in locum alium quemvis in aequatore motus primi; ut & impulsus primi facti in locum quemvis in aequatore motus, quem impulsus secundus abs que primo generaret; at que adeo impulsuum amborum factorum in loca quaecun que : Generabunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in locum intersectionis aequatorum motuum illorum, quos seorsim generarent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu simplici & uniformi circa axem unicum inclinatione semper invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocun que per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo hemisphaeria, urgebit semper vis illa utrum que hemiphaerium aequaliter, & propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum & aequatorem materia nova in formam montis cumulata, & haec, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus, turbabit motum Globi, faciet que polos ejus errare per ipsius superficiem, & circulos circum se punctum que sibi oppositum perpetuo describere. Ne que corrigetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Casu, per Corol. 21, Nodi aequatoris progredientur; vel in aequatore, qua ratione, per Corol. 20, Nodi regredientur; vel deni que ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: & hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, perinde ut mons & haecce nova materia sunt vel polo vel aequatori propiores.

Prop. LXVII. Theor. XXVII. Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q, circa interiorum P, S commune Gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum & maximum S, radiis ad ipsum ductis, describere potest.

Nam corporis Q attractiones versus S & P componunt ipsius attractionem absolutam, quae magis dirigitur in corporum S & P commune gravitatis centrum C, quam in corpus maximum S, quae que quadrato distantiae QC magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiae QS: ut rem perpendenti facile constabit.

Prop. LXVIII. Theor. XXVIII. Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q circa interiorum P & S commune gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum & maximum his attractionibus perinde at que caetera agitetur, quam si id vel non attractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.

Demonstratur eodem fere modo cum Prop. LXVI, sed argumento prolixiore, quod ideo praetereo. Suffecerit rem sic aestimare. Ex demonstratione Propositionis novissimae liquet centrum in quod corpus Q conjunctis viribus urgetur, proximum esse communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quisceret commune centrum gravitatis corporum trium; describerent corpus Q ex una parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses accuratas. Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII. collatum cum demonstratis in Prop. LXIV. & LXV. Perturbatur iste motus Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod tertium Q attrahitur. Detur praeterea motus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proinde minima est perturbatio, ubi commune trium centrum quiescit, hoc est ubi corpus intimum & maximum S lege caeterorum attrahitur: sit que major semper ubi trium commune illud centrum, minuendo motum corporis S, moveri incipit & magis deinceps magis que agitatur.

Corol. Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa maximum, colligere licet

quod Orbitae descriptae propius accedent ad Ellipticas, & arearum descriptiones fient magis aequabiles, si corpora omnia viribus acceleratricibus, quae sunt ut eorum vires absolutae directa & quadrata distantiarum inverse, se mutuo trahent agitent que , & Orbitae cujus que umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbilicus Orbitae primae & intimae in centro gravitatis corporis maximi & intimi; ille Orbitae secundae, in communi centro gravitatis corporum duorum intimorum; iste tertiae, in communi centro gravitatis trium interiorum & sic deinceps) quam si corpus intimum quiescat & statuatur communis umbilicus orbitarum Omnium.

Prop. LXIX. Theor. XXIX. In Systemate corporum plurium A, B, C, D &c. si corpus aliquod A trahit caetera omnia B, C, D &c. viribus acceleratricibus quae sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus aliud B trahit etiam caetera A, C, D &c. viribus quae sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutae corporum trahentium A, B vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora A, B, quorum sunt vires.

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, D versus A, paribus distantiis, sibi invicem aequantur ex hypothesi, & similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus B, paribus distantiis, sibi invicem aequantur. Est autem absoluta vis attractiva corporis A ad vim absolutam attractivam corporis B, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus A ad attractionem acceleratricem corporum omnium versus B, paribus distantiis; & ita est attractio acceleratrix corporis B versus A, ad attractionem acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acceleratrix corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A versus B, ut massa corporis A ad massam corporis B; propterea quod vires motrices, quae (per Definitionem secundam, septimam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi invicem aequales. Ergo absoluta vis attractiva corporis A est ad absolutam vim attractivam corporis B, ut massa corporis A ad massam corporis B.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si singula Systematis corpora A, B, C, D, &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus quae sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires absolutae ad invicem ut sunt ipsa corpora.

Corol. 2. Eodem argumento, si singula Systematis corpora A, B, C, D &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus quae sunt vel reciproce vel directe in ratione dignitatis cujuscun que distantiarum a trahente, quaeve secundum legem quamcun que communem ex distantiis ab unoquo que trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolutae sunt ut corpora.

Corol. 3. In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in Ellipsibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest accuratissimis revolvantur, & radiis ad maximum illud ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum vires absolutae ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII. collatum cum hujus Corol, 1.

Scholium.

His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas & corpora centralia, ad quae vires illae dirigi solent. Rationi enim consentaneum est, ut vires quae ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut sit in Magneticis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, aestimandae erunt corporum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires proprias, & colligendo summas virium. Vocem attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocun que accedendi ad invicem, sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione Aetheris aut Aeris mediive cujuscun que seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcun que impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & proportiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens: ut in Definitionibus explicui. In Mathesi investigandae sunt virium quantitates & rationes illae, quae ex conditionibus quibuscun que positis consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, conferendae sunt hae rationes cum Phaenomenis, ut innotescat quaenam virium conditiones singulis corporum attractivorum generibus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis & rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sphaerica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, & quales motus inde consequantur.

SECT. XII. De Corporum Sphaericorum Viribus attractivis.
Prop. LXX. Theor. XXX. Si ad Sphaericae superficiei puncta singula tendant vires aequales centripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.

Sit HIKL superficies illa Sphaerica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineae duae HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangula HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi erunt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphaericae particulae quaevis, ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undi que terminatae, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus P exercitae sunt inter se aequales. Sunt enim ut particulae directe & quadrata distantiarum inverse. Et hae duae rationes componunt rationem

aequalitatis. Attractiones igitur in contrarias partes aequaliter factae se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphaericam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur. Q.E.D.

Prop. LXXI. Theor. XXXI. Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphaericam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphaerae, vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab eodem centro.

Sint AHKB, ahkb aequales duae superficies Sphaericae, centris S, s, diametris AB, ab descriptae, & P, p corpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineae

PHK, PIL, phk, pil, auferentes a circulis maximis AHB, ahb, aequales arcus quam minimos HK, hk & HL, hl: Et ad eas demittantur perpendicula SD, sd; SE, se; IR, ir; quorum SD, sd secent PL, pl in F & f. Demittantur etiam ad diametros perpendicula IQ, iq; & ob aequales DS & ds, ES & es, & angulos evanescentes DPE & dpe, lineae PE, PF & pe, pf & lineolae DF, df pro aequalibus habeantur: quippe quarum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe simul evanescentibus, est aequalitatis. His ita que constitutis, erit PI ad PF ut RI ad DF, & pf ad pi ut DF vel df ad ri; & ex aequo PI×pf ad PF×pi ut RI ad ri, hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut arcus IH ad arcum ih. Rursus PI ad PS ut IQ ad SE, & ps ad pi ut SE vel se ad iq; & ex aequo PI×ps ad PS×pi ut IQ ad iq. Et conjunctis rationibus PI quad.×pf×ps ad pi quad.×PF
×PS, ut IH×IQ ad ih×iq; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus IH convolutione semicirculi AKB circa diametrum AB describet, ad superficiem circularem, quam arcus ih convolutione semicirculi akb circa diametrum ab describet. Et vires, quibus hae superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula P & p, sunt (per Hypothesin) ut ipsae superficies applicatae ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut pf×ps ad PF×PS. Sunt que hae vires ad ipsarum partes obliquas quae (facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineas PS, ps ad centra tendunt, ut PI ad PQ, & pi ad pq; id est (ob similia triangula PIQ & PSF, piq & psf) ut PS ad PF & ps ad pf. Unde ex aequo fit attractio corpusculi hujus P versus S ad attractionem corpusculi p versus s, ut PF×pf×ps / PS ad pf×PF×PS / ps, hoc est ut ps quad. ad PS quad. Et simili argumento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl descriptae trahunt corpuscula, erunt ut ps quad. ad PS quad.; in que eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utra que superficies Sphaerica, capiendo semper sd=SD & se=SE, distingui potest. Et per Compositionem, vires totarum superficierum Sphaericarum in corpuscula exercitae erunt in eadem ratione. Q.E.D.

Prop. LXXII. Theor. XXXII. Si ad Sphaerae cujusvis puncta singula tendant vires aequales centripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur ratio diametri Sphaerae ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semidiametro Sphaerae.

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphaeris duabus attrahi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphaeras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula. Hinc attractiones corpusculi unius, factae versus singulas particulas Sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas Sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed particulae sunt ut Sphaerae, hoc est in ratione triplicata diametrorum, & distantiae sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpuscula in circulis circa Sphaeras ex materia aequaliter attractiva constantes revolvantur, sint que distantiae a centris Sphaerarum proportionales earundem diametris; tempora periodica erunt aequalia.

Corol. 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt aequalia; distantiae erunt proportionales diametris. Constant haec duo per Corol. 3. Theor. IV.

Prop. LXXIII. Theor. XXXIII. Si ad sphaerae alicujus datae puncta singula tendant aequales vires centripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra Sphaeram constitutum attrahitur vi proportionali distantiae suae ab ipsius centro.

In Sphaera ABCD, centro S descripta, locetur corpusculum P, & centro eodem S intervallo SP concipe Sphaeram interiorem PEQF describi. Manifestum est, per

Theor. XXX. quod Sphaericae superficies concentricae, ex quibus Sphaerarum differentia AEBF componitur, attractionibus per attractiones contrarias destructis, nil agunt in corpus P. Restat sola attractio Sphaerae interioris PEQF. Et per Theor. XXXII. haec est ut distantia PS.Q.E.D.

Scholium.

Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicae, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sphaera ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis generalibus expositam. Similiter per puncta, ex quibus lineae, superficies & solida componi dicuntur, intelligendae sunt particulae aequales magnitudinis contemnendae.

Prop. LXXIV. Theor. XXXIV. Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphaeram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius centro.

Nam distinguatur Sphaera in superficies Sphaericas innumeras concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriundae erunt reciproce proportionales quadrato distantiae corpusculi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphaerae totius, in eadem ratione. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in aequalibus distantiis a centris homogenearum Sphaerarum, attractiones sunt ut Sphaerae. Nam per Theor. XXXII. si distantiae sunt proportionales diametris Sphaerarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione, & distantiis jam factis aequalibus, augebitur attractio in duplicata illa ratione, adeo que erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc est in ratione Sphaerarum.

Corol. 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sphaerae applicatae ad quadrata distantiarum.

Corol. 3. Si corpusculum extra Sphaeram homogeneam positum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius centro, constet autem Sphaera ex particulis attractivis; decrescet vis particulae cujus que in duplicata ratione distantiae a particula.

Prop. LXXV. Theor. XXXV. Si ad Sphaerae datae puncta singula tendant vires aequales centripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphaera quaevis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae centrorum.

Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiae ejus a centro Sphaerae trahentis, (per Theor. XXXI,) & propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sphaerae. Haec autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphaerae attractae particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distantiae ejus a centro Sphaerae; adeo que huic aequalis attractio Sphaerae est in eadem ratione. Q.E.D.

Corol. 1. Attractiones Sphaerarum, versus alias Sphaeras homogeneas, sunt ut Sphaerae trahentes applicatae ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.

Corol. 2. Idem valet ubi Sphaera attracta etiam attrahit. Nam que hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeo que cum in omni attractione urgeatur (per Legem 3.) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuae, conservatis proportionibus.

Corol. 3. Eadem omnia, quae superius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphaera attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphaeram.

Corol. 4. Ea vero quae de motu corporum circa centrum Conicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphaeram.

Prop. LXXVI. Theor. XXXVI. Si Sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiae densitatem & vim attractivam) utcun que dissimilares, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undi que similares, & vis attractiva puncti cujus que decrescit in duplicata ratione distantiae corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphaera una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distantiae centrorum.

Sunto Sphaerae quotcun que concentricae similares AB, CD, EF &c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subductae relinquant tenuiorem; & hae, per Theor. XXXV, trahent Sphaeras alias quotcun que concentricas similares GH, IK, LM, &c. singulae singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distantiae SP. Et componendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sphaera tota ex concentricis quibuscun que vel concentricarum differentiis composita AB, trahit totam ex concentricis quibuscun que vel concentricarum differentiis

compositam GH, erit in eadem ratione. Augeatur numerus Sphaerarum concentricarum in infinitum sic, ut materiae densitas una cum vi attractiva, in progressu a circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcun que crescat vel decrescat: & addita materia non attractiva compleatur ubivis densitas deficiens, eo ut Sphaerae acquirant formam quamvis optatam; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum superius) in eadem illa distantiae quadratae ratione inversa. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si ejusmodi Sphaerae complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum in singulas erunt in aequalibus quibusvis centrorum distantiis ut Sphaerae attrahentes.

Corol. 2. In que distantiis quibusvis inaequalibus, ut Sphaerae attrahentes applicatae ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera Sphaerarum in Sphaeras erunt, in aequalibus centrorum distantiis, ut Sphaerae attrahentes & attractae conjunctim, id est, ut contenta sub Sphaeris per multiplicationem producta.

Corol. 4. In que distantiis inaequalibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol. 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphaerae utrius que virtute attractiva, mutuo exercita in Sphaeram alteram. Nam viribus ambabus geminatur attractio, proportione servata.

Corol. 6. Si hujusmodi Sphaerae aliquae circa alias quiescentes revolvantur, singulae circa singulas, sint que distantiae inter centra revolventium & quiescentium proportionales quiescentium diametris; aequalia erunt tempora periodica.

Corol. 7. Et vicissim, si tempora periodica sunt aequalia, distantiae erunt proportionales diametris.

Corol. 8. Eadem omnia, quae superius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphaera attrahens, formae & conditionis cujusvis jam descriptae, locatur in umbilico.

Corol. 9. Ut & ubi gyrantia sunt etiam Sphaerae attrahentes, conditionis cujusvis jam descriptae.

Prop. LXXVII. Theor. XXXVII. Si ad singula Sphaerarum puncta tendant vires centripetae proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphaerae duae se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphaerarum.

Cas 1. Sit ABCD Sphaera, S centrum ejus, P corpusculum attractum, PASB axis Sphaerae per centrum corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus Sphaera secatur, huic axi perpendicularia, & hinc inde aequaliter distantia a centro Sphaerae; Gg intersectiones planorum & axis, & H punctum quodvis in plano EF. Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secuncundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igitur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut planum illud ductum in distantiam suam Pg; sive ut huic aequale planum EF ductum in distantiam illam Pg; & summa virium plani utrius que ut planum EF ductum in

summam distantiarum PG+Pg, id est, ut planum illud ductum in duplam centri & corpusculi distantiam PS, hoc est, ut duplum planum EF ductum in distantiam PS, vel ut summa aequalium planorum EF+ef ducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sphaera tota, hinc inde aequaliter a centro Sphaerae distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam PS, hoc est, ut Sphaera tota ducta in distantiam centri sui Sa corpusculo P.Q.E.D.

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphaeram ACBD. Et codem argumento probabitur quod vis, qua Sphaera illa trahitur, erit ut distantia PS.Q.E.D.

Cas 3. Componatur jam Sphaera altera ex corpusculis innumeris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquod que trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphaerae primae ducta in Sphaeram eandem, at que adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphaerae; vis tota qua corpuscula omnia in Sphaera secunda trahuntur, hoc est, qua Sphaera illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphaera illa traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in centro Sphaerae primae, & propterea proportionalis est distantiae inter centra Sphaerarum. Q.E.D.

Cas. 4. Trahant Sphaerae se mutuo, & vis geminata proportionem priorem servabit. Q.E.D.

Cas, 5. Locetur jam corpusculum p intra Sphaeram ACBD, & quoniam vis plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; & vis contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex utra que composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa aequalium planorum ducta in. semissem differentiae distantiarum, id est, ut summa illa ducta in pS, distantiam

corpusculi a centro Sphaerae. Et simili argumento attractio planorum omnium EF, ef in Sphaera tota, hoc est attractio Sphaerae totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphaera tota, ducta in pS distantiam corpusculi a centro Sphaerae. Q.E.D.

Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphaera nova intra Sphaeram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sphaerae unius in alteram, sive mutua utrius que in se invicem, erit ut distantia centrorum pS.Q.E.D.

Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII. Si Sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam sint utcun que dissimilares & inaequabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undi que similares; & vis attractiva puncti cujus que sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphaerae duae se mutuo trahunt sit proportionalis distantiae inter centra Sphaerarum.

Demonstratur ex Propositione praecedente, eodem modo quo Propositio LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.

Corol. Quae superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphaericorum, conditionis jam descriptae, sunt que corpora attracta Sphaerae conditionis ejusdem.

Scholium.

Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires centripetae decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utro que Casu ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphaericorum vires centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones minus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.

Lemma XXIX. Si describantur centro S circulus quilibet AEB, (Vide Fig. Prop. sequentis) & centro P circuli duo EF, ef, secantes priorem in E, e, lineam que PS in F, f; & ad PS demittantur perpendicula ED, ed: dico quod si distantia arcuum EF, ef in infinitum minui intelligatur, ratio ultima lineae evanescentis Dd ad lineam evanescentem Ff ea sit, quae lineae PE ad lineam PS.

Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quae cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectae PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee ut DT ad ET seu DE ad ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex aequo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS.Q.E.D.

Prop. LXXIX. Theor. XXXIX. Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens EFfe, convolutione sui circa axem PS, describat solidum Sphaericum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas aequales tendant aequales vires centripetae: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi DEq.×Ff & ratione vis qua particula data in loco Ff traheret idem corpusculum.

Nam si primo consideremus vim superficiei Sphaericae FE, quae convolutione arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superficiei

pars annularis, convolutione arcus rE genita, ut lineola Dd, manente Sphaerae radio PE, (uti demonstravit Archimedes in Lib. de Sphaera & Cylindro.) Et hujus vis secundum lineas PE vel Pr undi que in superficie conica sitas exercita, ut haec ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola Dd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphaerae radio PE & lineola illa Dd: at secundum lineam PS ad centrum S tendentem minor, in ratione PD ad PE, adeo que ut PD×Dd. Dividi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem aequales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD×Dd, hoc est, cum lineolae omnes Dd sibi invicem aequentur, adeo que pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut ½ PFq.−½ PDq. sive ½ PEq.−½ PDq. vel ½ DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data ½ Dd, ut DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq.×Ff: puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq.×Ff & vis illa non data conjunctim. Q.E.D.

Prop. LXXX. Theor. XL. Si ad Sphaerae alicujus AEB, centro S descriptae, particulas singulas aequales tendant aequales vires centripetae, & ad Sphaerae axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctis singulis D perpendicula DE, Sphaerae occurentia in E, & in ipsis capiantur longitudines DN, quae sint ut quantitas DEq.×PS / PE & vis quam Sphaerae particula sita in axe ad distantiam PE exercet in corpusculum P conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphaeram, est ut area comprehensa sub axe Sphaerae AB & linea curva ANB, quam punctum N perpetuo tangit.

Etenim stantibus quae in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphaerae AB dividi in particulas innumeras aequales Dd, & Sphaeram totam dividi in totidem laminas Sphaericas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq.×Ff & vis particulae unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff aequalis PS×Dd / PE; & DEq.×Ff aequale Dd in DEq.×PS / PE, & propterea vis laminae EFfe est ut Dd in DEq.×PS / PE & vis particulae ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN×Dd, seu area evanescens DNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitae, ut areae omnes DNnd, hoc est Sphaerae vis tota ut area tota ABNA.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq.×PS / PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphaera attrahitur, ut area ABNA.

Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq.×PS / PEq.: erit vis qua corpusculum P a Sphaera tota attrahitur ut area ABNA.

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiae corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq.×PS / PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphaera attrahitur ut area ABNA.

Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut DEq.×PS / PE×V; erit vis qua corpusculum a Sphaera tota attahitur ut area ABNA.

Prop. LXXXI. Prob. XLI. Stantibus jam positis, mensuranda est area ABNA.

A puncto P. ducatur recta PH Sphaeram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. aequale PSq.+SEq.+ 2 PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangulorum SPH, SHI) aequale rectangulo PSI. Ergo PEq. aequale est contento

sub PS & PS+SI+ 2 SD, hoc est, sub PS & 2 LS+ 2SD, id est, sub PS & 2 LD. Porro DE quad aequale est SEq.−SDq. seu SEq.−LSq.+2 SLD−LDq. id est, SLD−LDq.−ALB. Na 〈…〉 LSq.−SEq. seu LSq.−SAq. (per Prop. 6. Lib. 2. Elem) aequatur rectangulo ALB. Scribatur ita que 2SLD−LDq.−ALB pro DEq. & quantitas DEq.×PS / PE×V, quae secundum Corollarium quartum Propositionis praecedentis est ut longitudo ordinatim applicatae DN, resolvet sese in tres partes 2SLD×PS / PE×V−LDq.×PS / PE×V−ALB×PS / PE×V: ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetae, & pro PE medium proportionale inter PS & 2 LD; tres illae partes evadent ordinatim applicatae linearum totidem curvarum, quarum areae per Methodos vulgatas innotescunt. Q.E.F.

Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2 PS×LD pro PEq., & fiet DN ut SL−½ LD−ALB/2LD Pone DN aequalem duplo ejus 2 SL−LD−ALB / LD: & ordinatae pars data 2 SL ducta in longitudinem AB describet aream rectangulam 2 SAB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel descrescendo aequetur semper longitudini LD, describet aream LBq.−LAq./2, id est, aream SL×AB; quae subducta de area priore 2 SL×AB relinquit aream SL×AB. Pars autem tertia ALB / LD ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quae subducta de area SL×AB relinquet aream quaesitam ABNA. Unde talis emergit Problematis

constructio. Ad puncta, L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb, quorum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA aequetur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areae quaesitae ABNA aequalem.

Exempl. 2. Si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens sit reciproce ut cubus distantiae, vel (quod perinde est) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; scribe PE cub./2 ASq. pro V, dein 2 PS×LD pro Pq.; & fiet DN ut SL×ASq./PS×LD−ASq./2PS−ALB×ASq./2 PS×LDq. id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut LSI / LD−½ SI−ALB×SI/2 LDq.. Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima LSI / LD generabit aream Hyperbolicam; secunda ½ SI aream ½ AB×SI; tertia ALB×SI/2 LDq. aream ALB×SI/2 LA−ALB×SI/2 LB, id est ½ AB×SI. De prima subducatur summa secundae ac tertiae, &

manebit area quaesita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI aequetur, per que punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2 ASI subductum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quaesitam ABNA.

Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphaerae particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiae a particulis, scribe PE4/2AS3 pro V, dein √2PS×LD pro PE, & fiet DN ut SL×SI½ / √2×LD3/2−SI3/2/2 √2×LD½−ALB×SI½ / 2 √2×LD½. Cujus tres partes ductae in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz. √2×SL×SI 3/2/LA½−√2×SL×SI 3/2/LB½, LB ½×SI 3/2−LA½×SI½ / √2 & ALB×SI32/3 √2×LA3/2−ALB×SI3/2/3 √2×LB3/2. Et hae post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt 8 SI cub./3 LI. Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphaerae centrum trahitur, est ut SI cub./PI, id est reciproce ut PS cub.×PI.Q.E.I.

Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphaeram, sed expeditius per Theorema sequens.

Prop. LXXXII. Theor. XLI. In Sphaera centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphaeram in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphaeram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis P & I, ad centrum tendentium.

Ut si vires centripetae particularum Sphaerae sint reciproce ut distantiae corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphaera tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratione composita

ex dimidiata ratione distantiae SI ad distantiam SP & ratione dimidiata vis centripetae in loco I, a particula aliqua in centro oriundae, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hae duae rationes dimidiatae componunt rationem aequalitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphaera tota factae aequantur. Simili computo, si vires particularum Sphaerae sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphaerae semidiametrum SA: Si vires illae sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PS cub.×PI, attractio in I erit reciproce ut SA cub.×PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut DEq.×PS / PE×V. Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet ut DEq.×IS / IE×V. Pone vires centripetas, e Sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEn ad IEn, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatae illae fient ut DEq.×PS / PE×PEn & DEq.×IS / IE×IEn, quarum ratio ad invicem est ut PS×IE×IEn ad IS×PE×PEn. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS×IEn ad SA×PEn. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEn ad PEn dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS. Ergo ordinatae, & propterea areae quas ordinatae describunt, his que proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q.E.D.

Prop. LXXXIII. Prob. XLII. Invenire vim qua corpusculum in centro Sphaerae locatum ad ejus segmentum quodcun que attrahitur.

Sit P corpus in centro Sphaerae, & RBSD segmentum ejus plano RDS & superficie Sphaerica RBS contentum. Superficie Sphaerica EFG centro P descripta

secetur DB in F, ac distinguatur segmentum in partes BREFGS, FEDG. Sit autem superficies illa non pure Mathematica, sed Physica, profunditatem habens quam minimam. Nominetur ista profunditas O, & erit haec superficies (per demonstata Archimedis) ut PF×DF×O. Ponamus praeterea vires attractivas particularum Sphaerae esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus Index est n; & vis qua superficies FE trahit corpus P erit ut DF×O / PFn−1. Huic proportionale sit perpendiculum FN ductum in O; & area curvilinea BDLIB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD trahit corpus P.Q.E.I.

Prop. LXXXIV. Prob. XLIII. Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphaerae in axe segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.

A segmento EBK trahatur corpus P (Vide Fig. Prop. 79.80.81.) in ejus axe ADB locatum. Centro P intervallo PE describatur superficies Sphaerica EFK, qua distinguatur segmentum in partes duas EBKF & EFKD. Quaeratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop. LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD.Q.E.I.

Scholium.

Explicatis attractionibus corporum Sphaericorum, jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, de que motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem usum, subjungere.

SECT. XIII. De Corporum etiam non Sphaericorum viribus attractivis.
Prop. LXXXV. Theor. XLII. Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis.

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sphaericum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distantiae attracti corporis a centro Sphaerae, haud sensibiliter augebitur ex contactu; at que adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igitur Propositio de Sphaeris attractivis. Et par est ratio Orbium Sphaericorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop. LXX.) tollantur, ideo que vel in ipso contactu nullae sunt. Quod si Sphaeris hisce Orbibus que Sphaericis partes quaelibet a loco contactus remotae auferantur, & partes novae ubivis addantur: mutari possunt figurae horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additae vel subductae, cum sint a loco contactus remotae, augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igitur Propositio de corporibus figurarum omnium. Q.E.D.

Prop. LXXXVI. Theor. XLIII. Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.

Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphaeram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa & Theorema XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphaeris & Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit Propositio de corporibus universis. Q.E.D.

Prop. LXXXVII. Theor. XLIV. Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia aequaliter attractiva constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales & in totis similiter positas.

Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis proportionales & in totis similiter sitae; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q.E.D.

Corol. 1. Ergo si vires attractivae particularum, augendo distantias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & distantiarum dignitates illae inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis, corpora autem sint ut A cub. & B cub. adeo que tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum distantiae a corporibus, ut A & B: attractiones acceleratrices in corpora erunt ut A cub./A quad. & B cub./B quad. id est, ut corporum latera illa cubica A & B. Si vires particularum decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut A cub./A cub. & B cub./B cub. id est aquales. Si vires decrescunt in ratione quadruplicata, attractiones in corpora erunt ut A cub./Aqq. & B cub./Bqq. id est reciproce ut latera cubica A & B. Et sic in caeteris.

Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum.

Prop. LXXXVIII. Theor. XLV. Si particularum aequalium corporis cujuscun que vires attractivae sint ut distantiae locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili & aequali constantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis.

Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus quae, si particulae aequantur inter se, sint ut distantiae AZ, BZ; sin particulae statuantur

inaequales, sint ut hae particulae in distantias suas AZ, BZ respective ductae. Et exponantur hae vires per contenta illa A×AZ & B×BZ. Jungatur AB, & secetur ea in G ut sit AG ad BG ut particula B ad particulam A; & erit G commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis A×AZ per Legum Corol. 2. resolvitur in vires A×GZ & A×AG, & vis B×BZ in vires B×GZ & B×BG. Vires autem A×AG & B×BG, ob proportionales A ad B & BG ad AG, aequantur, adeo que , cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo destruunt. Restant vires A×GZ & B×GZ. Tendunt hae ab Z versus centrum G, & vim A+B×GZ componunt; hoc est, vim eandem ac si particulae attractivae A & B consisterent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes.

Eodem argumento si adjungatur particula tertia C; & componatur hujus vis cum vi A+B×GZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius G & particulae C; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit ac si globus & particula C consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscun que RSTV ac si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q.E.D.

Corol. Hinc motus corporis attracti Z idem erit ac si corpus attrahens RSTV esset Sphaericum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis.

Prop. LXXXIX. Theor. XLVI. Si corpora sint plura ex particulis aequalibus constantia, quarum vires sunt ut distantiae locorum a singulis; vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcun que trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in globum formarentur.

Demonstratur eodem modo, at que Propositio superior.

Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideo que si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.

Prop. XC. Prob. XLIV. Si ad singula circuli cujuscun que puncta tendant vires centripetae decrescentes in quacun que distantiarum ratione: invenire vim qua corpusculum attrahitur ubivis in recta quae ad planum circuli per centrum ejus perpendicularis consistit.

Centro A intervallo quovis AD, in plano cui recta AP perpendicularis est, describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvis P in eundem attrahitur. A circuli puncto quovis E ad corpus attractum P agatur recta PE: In recta PA capiatur PF ipsi PE aequalis,

& erigatur Normalis FK, quae sit ut vis qua punctum E trahit corpusculum P. Sit que IKL curva linea quam punctum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in L. In PA capiatur PH aequalis PD, & erigatur perpendiculum HI curvae praedictae occurrens in I; & erit corpusculi P attractio in circulum ut area AHIL ducta in altitudinem AP. Q.E.I.

Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur Pf ipsi Pe aequalis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus P versus A est ut AP×FK / PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus & AP×FK / PE conjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob proportionales PE & AE, Ee & cE) aequatur rectangulo PE ×cE seu PE×Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE×Ff & AP×FK / PE conjunctim, id est, ut contentum Ff×AP×FK, sive ut area FKkf ducta in AP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut area tota AHIKL ducta in AP. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vires punctorum descrescunt in duplicata distantiarum ratione, hoc est, si sit FK ut 1/Pf quad., at que adeo area AHIKL ut 1/PA=1/PH; erit attractio corpusculi P in circulum ut 1−PA / PH, id est, ut AH / PH.

Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint reciproce ut distantiarum dignitas quaelibet Dn, hoc est, si sit FK ut 1/Dn, adeo que area AHIKL ut 1/PAn−1=1/PHn−1; erit attractio corpusculi P in circulum ut 1/PAn−1PA / PHn−1.

Corol. 3. Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & numerus n sit unitate major; attractio corpusculi P in planum totum infinitum erit reciproce ut PAn−2, propterea quod terminus alter PA / PHn−1 evanescet.

Prop. XCI. Prob. XLV. Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula tendunt vires centripetae in quacun que distantiarum ratione decrescentes.

In solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe AB. Circulo quolibet RFS ad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus diametro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per Prop. XC.) longitudo FK vi qua corpusculum P in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem

punctum K curvam lineam LKI, planis extimorum circulorum AL & BI occurrentem in A & B; & erit attractio corpusculi P in solidum ut area LABI. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo ADEB circa axem AB revoluto descriptus, & vires centripetae in singula ejus puncta tendentes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attractio corpusculi P in hunc Cylindrum ut BA−PE+PD. Nam ordinatim applicata FK (per Corol. 1. Prop. XC) erit ut 1−PF / PR. Hujus pars 1 ducta in longitudinem AB, describit aream 1×AB; & pars altera PF / PR ducta in longitudinem PB, describit aream 1 in PE−AD (in quod ex curvae LKI quadratura facile ostendi potest:) & similiter pars eadem ducta in longitudinem PA describit aream 1 in PD−AD, ducta que in ipsarum PB, PA differentiam AB describit arearum differentiam 1 in PE−PD. De contento primo 1×AB auferatur contentum postremum 1 in PE−PD, & restabit area LABI aequalis 1 in AB−PE+PD. Ergo vis huic areae proportionalis est ut AB−PE=PD.

Corol. 2. Hinc etiam vis innotescit qua Sphaerois AGBCD attrahit corpus quodvis P, exterius in axe suo AB situm. Sit NKRM Sectio Conica cujus ordinatim applicata ER, ipsi PE perpendicularis, aequetur semper longitudini PD, quae ducitur ad punctum illud D, in quo applicata ista Sphaeroidem secat. A Sphaeroidis verticibus A, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula AK, BM ipsis

AP, BP aequalia respective, & propterea Sectioni Conicae occurrentia in K & M; & jungantur KM auferens ab eadem segmentum KMRK. Sit autem Sphaeroidis centrum S & semidiameter maxima SC: & vis qua Sphaerois trahit corpus P erit at vim qua Sphaera, diametro AB descripta, trahit idem corpus, ut AS×CSq.−PS×KMRK / PSq.+CSq.−ASq. ad AS cub./3 PSquad.. Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum Sphaeroidis.

Corol. 3. Quod si corpusculum intra Sphaeroidem in data quavis ejusdem diametro collocetur; attractio

erit ut ipsius distantia a centro. Id quo facilius colligetur hoc argumento. Sit AGOF Sphaerois attrahens, S centrum ejus & P corpus attractum. Per corpus illud P agantur tum semidiameter SPA, tum rectae duae quaevis DE, FG Sphaeroidi hinc inde occurrentes in D & E, F & G: Sint que PCM, HLN superficies Sphaeroidum duarum interiorum, exteriori similium & concentricarum, quarum prior transeat per corpus P & secet rectas DE & FG in B & C, posterior secet easdem rectas in H, I & K, L. Habeant autem Sphaeroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc inde interceptae DP & BE, FP & CG, DH & IE, FK & LG sibi mutuo aequales; propterea quod rectae DE, PB & HI bisecantur in eodem puncto, ut & rectae FG, PC & KL. Concipe jam DPF, EPG designare Conos oppositos, angulis verticalibus DPF, EPG infinite parvis descriptos, & lineas etiam DH, EI infinite parvas esse; & Conorum particulae Sphaeroidum superficiebus abscissae DHKF, GLIE, ob aequalitatem linearum DH, EI, erunt ad invicem ut
quadrata distantiarum suarum a corpusculo P, & propterea corpusculum illud aequaliter trahent. Et pariratione, si superficiebus Sphaeroidum innumerarum similium concentricarum & axem communem habentium dividantur spatia DPF, EGCB in particulas, hae omnes utrin que aequaliter trahent corpus P in partes contrarias. Aequales igitur sunt vires coni DPF & segmenti Conici EGCB, & per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiae omnis extra Sphaeroidem intimam PCBM. Trahitur igitur corpus P a sola Sphaeroide intima PCBM, & propterea (per Corol. 3. Prop. LXXII.) attractio ejus est ad vim, qua corpus A trahitur a Sphaeroide tota AGOD, ut distantia PS ad distantiam AS. Q.E.I.

Prop. XCII. Prob. XLVI. Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium.

E corpore dato formanda est Sphaera vel Cylindrus aliave figura regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens (per Prop. LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit.

Prop. XCIII. Theor. XLVII. Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infinitum, constet ex particulis aequalibus aequaliter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum plusquam quadraticae, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.

Cas. 1. Sit LGl planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus I, in que plana innumera mHM, nIN &c. ipsi GL

parallela resolvatur. Et primo collocetur corpus attractum C extra solidum. Agatur autem CGHI planis illis innumeris perpendicularis, & decrescant vires attractivae punctorum solidi in ratione potestatis distantiarum, cujus index sit numerus n ternario non minor. Ergo (per Corol. 3. Prop. XC) vis qua planum quodvis mHM trahit punctum C est reciproce ut CHn−2. In plano mHM capiatur longitudo HM ipsi CHn−2 reciproce proportionalis, & erit vis illa ut HM. Similiter in planis singulis lGL, nIN, oKO &c, capiantur longitudines GL, IN, KO &c. ipsis CGn−2, CIn−2, CKn−2 &c. reciproce proportionales; & vires planorum eorundem erunt ut longitudines captae, adeo que summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut area GLOK in infinitum versus OK producta. Sed area illa per notas quadraturarum methodos est reciproce ut CGn−3, & propterea vis solidi totius est reciproce ut CGn−3 Q.E.D.

Cas. 2. Collocetur jam corpusculum C ex parte plani lGL intra solidum, & capiatur

distantia CK aequalis distantiae CG. Et solidi pars LGloKO, planis parallelis lGL, oKO terminata, corpusculum C in medio situm nullam in partem trahet, contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per aequalitatem tollentibus. Proinde corpusculum C sola vi solidi ultra planum OK siti trahitur. Haec autem vis (per Casum primum) est reciproce ut CKn−3, hoc est (ob aequales CG, CK) reciproce ut CGn−3. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis parallelis LG, IN utrin que terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris NIKO, in infinitum versus KO productae.

Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis CGn−3.

Corol. 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, & distantia inter corpusculum & planum collata cum dimensionibus corporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivae decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatae distantiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore exparticulis constante, quarum vires attractivae decrescunt in ratione potestatis triplicatae distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris.

Scholium.

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur, & ex data lege attractionis quaeratur motus corporis: Solvetur Problema quaerendo (per Prop. XXVII.) motum corporis recta descendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quaeratur Lex attractionis in planum secundum lineas perpendiculares factae, ea conditione ut corpus attractum in data quacun& curva linea moveatur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B, quae sit ut basis dignitas quaelibet A m / n; & quaeratur vis qua corpus, secundum positionem ordinatim applicatae, vel in basem attractum vel a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri parte quam minima O, & ordinatim applicatam m / A+On resolvo in Seriem infinitam A m / n+n / m OA m−n / n+mm−mn / 2nn O2A m−2n / n&c. at que hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino mm−mn / 2nn O2A m−2n / n vim proportionalem esse suppono. Est igitur vis quaesita ut mm−mn / nn A m−2n / n, vel quod perinde est, ut mm−mn / nn B m−2n / m. Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat, existente m=2, & n=1: fiet vis ut data 2B0, adeo que dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodum Galilaeus demonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente m=0−1, & n=1; feit vis ut 2B−3 seu 2/B cub.: adeo que vi, quae sit reciproce ut cubus ordinatim applicatae, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hujusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.

SECT. XIV. De motu corporum minimorum, quae viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.
Prop. XCIV. Theor. XLVIII. Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin que terminato, distinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum, ne que ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in aequalibus ab utro que plano distantiis ad eandem ipsius partem captis, ubi que eadem: dico quod sinus incidentiae in planum alterutrum erit ad sinum emergentiae ex plano altero in ratione data.

Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus

in planum prius Aa secundam lineam GH, ac toto suo per spatium intermedium transitu attrahatur vel impellatur versus medium incidentiae, ea que actione describat lineam curvam HI, & emergat secundum lineam IK. Ad planum emergentiae Bb erigatur perpendiculum IM, occurrens tum lineae incidentiae GH productae in M, tum plano incidentiae Aa in R; & linea emergentiae KI producta occurrat HM in L. Centro L intervallo LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N; & primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstatis Galilaei) curva HI Parabola, cujus haec est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM aequale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur
in L. Unde si ad MI demittatur perpendiculum LO, aequales erunt MO, OR; & additis aequalibus IO, ON, fient totae aequales MN, IR. Proinde cum IR detur, datur etiam MN, est que rectangulum NMI ad rectangulum sub latere recto & IM, hoc est, ad HMq., in data ratione. Sed rectangulum NMI aequale est rectangulo PMQ, id est, differentiae quadratorum MLq. & PLq. seu LIq.; & HMq. datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem LMq.: ergo datur ratio MLq.−LIq. ad MLq., & divisim, ratio LIq. ad MLq., & ratio dimidiata LI ad ML. Sed in omni triangulo LMI, sinus angulorum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiae LMR ad sinum anguli emergentiae LIR. Q.E.D.

Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis terminata, Aa bB, Bb cC &c. agitetur vi quae sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiae in planum primum Aa erit ad sinum emergentiae ex plano secundo Bb, in data ratione; & hic sinus, qui est sinus incidentiae in planum secundum Bb, erit ad sinum emergentiae ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiae ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex aequo sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla

& augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcun que assignatam continua reddatur; & ratio sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. Q.E.D.

Prop. XCV. Theor. XLIX. Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae.

Capiantur AH, Id aequales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidentiae & emergentiae GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH aequalis IK, & ad planum Aa demittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c. perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet aequalibus temporibus aequalia illa secundum parallelas intervalla, quae sunt inter lineam AG & punctum H, inter que punctum I & lineam dK; hoc est, aequalibus temporibus describet lineas GH, IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est (respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q.E.D.

Prop. XCVI. Theor. L. Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiae, reflectetur tandem, & angulus reflexionis fiet aequalis angulo incidentiae.

Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sint que arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineae incidentiae GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiae ad sinum emergentiae ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emergentiae jam factum aequalem radio, angulus emergentiae erit rectus, adeo que linea emergentiae

coincidet cum plano Dd. Perveniat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea emergentiae coincidit cum eodem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest idem pergere in linea emergentiae Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiae. Revertetur ita que inter plana Cc, Dd describendo arcum Parabolae QRq, cujus vertex principalis (juxta demonstrata Galilaei) est in R; secabit planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q; dein pergendo in arcubus parabolicis qp, ph &c. arcubus prioribus QP, PH similibus & aequalibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in p, h &c. ac prius in P, H &c. emerget que tandem eadem obliquitate in h, qua incidit in H. Concipe jam planorum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui & numerum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcun que assignatam continua reddatur; & angulus emergentiae semper angulo incidentiae aequalis existens, eidem etiamnum manebit aequalis. Q.E.D.

Scholium.

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflexiones & refractiones, factae secundum datam Secantium rationem, ut invenit Snellius, & per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit Cartesius. Nam que Lucem successive propagari & spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam constat per Phaenomena Satellitum Iovis, Observationibus diversorum Astronomorum confirmata. Radii autem in aere existentes (ubi dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quo que expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos (quales sunt nummorum

ex auro, argento & aere cusorum termini rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, quasi attracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse etiam diligenter observavi. In figura designat s aciem cultri vel cunei cujusvis AsB; & gowog, fnvnf, emtme, dlsld sunt radii, arcubus owo, nvn, mtm, lsl versus cultrum incurvati; id que magis vel minus pro distantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiae, sed paulatim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxha incidentibus ad r, q, p, & inter k & z,
i & y, h & x incurvatis, delineatum est. Igitur ob analogiam quae est inter propagationem radiorum lucis & progressum corporum, visum est Propositiones sequentes in usus opticos subjungere; interea de natura radiorum (utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo determinans.

Prop. XCVII. Prob. XLVII. Posito quod sinus incidentiae in superficiem aliquam sit ad sinum emergentiae in data ratione, quod que incurvatio viae corporum juxta superficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considerari possit; determinare superficiem quae corpuscula omnia de loco dato successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.

Sit A locus a quo corpuscula divergunt; B locus in quem convergere debent; CDE curva linea quae circa axem AB revoluta describat superficiem quaesitam; D, E curvae illius puncta duo quaevis; & EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB demissa. Accedat punctum D ad punctum E; & lineae DF qua AD augetur, ad lineam DG qua DB diminuitur, ratio ultima erit eadem quae sinus incidentiae ad sinum emergentiae. Datur ergo ratio incrementi lineae AD ad decrementum lineae DB; & propterea si in axe AB sumatur ubivis punctum C, per quod curva CDE transire debet, & capiatur ipsius AC incrementum CM, ad ipsius BC decrementum CN in data ratione; centris que A, B, & intervallis AM, BN describantur circuli duo se mutuo secantes in D: punctum illud D tanget curvam quaesitam CDE, eandem que ubivis tangendo determinabit. Q.E.I.

Corol. 1. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad

alteras partes puncti C, habebuntur figurae illae omnes quas Cartesius in Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum inventionem cum Cartesius maximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit hic propositione exponere.

Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis CD, secundum lineam rectam AD lege quavis ductam incidens, emergat secundum aliam quamvis rectam

DK, & a puncto C duci intelligantur lineae curvae CP, CQ ipsis AD, DK semper perpendiculares: erunt incrementa linearum PD, QD, at que adeo lineae ipsae PD, QD, incrementis istis genitae, ut sinus incidentiae & emergentiae ad invicem: & contra.

Prop. XCVIII. Prob. XLVIII. Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacun que attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam EF, quae corpora illa ad locum datum B convergere faciat.

Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E, puncto D utcun que assumpto. Et posito sinu incidentiae in superficiem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergentiae e superficie secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M−N ad N, tum AD ad H ut sit AH aequalis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Junge KB, & centro D intervallo DH describe circulum occurrentem KB productae in L, ipsi que DL parallelam age BF: & punctum F tanget lineam EF, quae circa axem AB revoluta describet superficiem quaesitam. Q.E.F.

Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & lineas ER, ES ipsis FB, FD ubi que perpendiculares esse, adeo que QS ipsi CE semper aequalem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut

M ad N, adeo que ut DL ad DK vel FB ad FK; & divisim ut DL−FB seu PH−PD−FB ad FD seu FQ−QD; & composite ut HP−FB ad FQ, id est (ob aequales HP & CG, QS & CE) CE+BG−FR ad CE−FS. Verum (ob proportionales BG ad CE & M−N ad N) est etiam CE+BG ad CE ut M ad N: adeo que divisim FR ad FS ut M ad N, & propterea per Corol. 2. Prop. XCVII. superficies EF cogit corpus in se secundum lineam DF incidens pergere in linea FR, ad locum B. Q.E.D.

Scholium.

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatae sunt figurae Sphaericae. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphaerice figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri potest ut a refractionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis praeferenda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphaericas vel alias quascun que perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur.

DE MOTU CORPORUM Liber SECUNDUS.
SECT. I. De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.
Prop. I. Theor. I. Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia amissus est ut spatium movendo confectum.

NAm cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit componendo motus toto tempore amissus ut iter totum. Q.E.D.

Corol. Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.

Lemma. I. Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportionales.

Sit A ad A−B ut B ad B−C & C ad C−D &c. & dividendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q.E.D.

Prop. II. Theor. II. Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per Medium similare moveatur, sumantur autem tempora aequalia: velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geometrica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates.

Cas. 1. Dividatur tempus in particulas aequales, & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiae impulsu unico, quae sit ut velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue proportionales. Proinde si ex aequali particularum numero componantur tempora quaelibet aequalia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim aequali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex aequalibus rationibus terminorum intermediorum aequaliter repetitis, & propterea sunt aequales. Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur jam aequales illae temporum particulae, & augeatur earum numerus in infinitum, eo ut resistentiae impulsus redditur continuus, & velocitates in principiis aequalium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportionales. Q.E.D.

Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiae, hoc est earum partes singulis temporibus amissae, sunt ut totae: Spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissae, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea etiam ut totae. Q.E.D.

Corol. Hinc si Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola BG, sint que AB, DG ad Asymptoton AC perpendiculares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Medii, ipso motus initio, per lineam quamvis

datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGD, & spatium eo tempore descriptum per lineam AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta DC in ratione Geometrica ad modum velocitatis, & partes rectae AC aequalibus temporibus descriptae decrescent in eadem ratione.

Prop. III. Prob. I. Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, resistitur in ratione velocitatis, quod que ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.

Corpore ascendente, exponatur

gravitas per datum quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio ascensus per rectangulum BD sumptum ad contrarias partes. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tempore DG gd, describet spatium EG ge, tempore DGBA spatium ascensus totius EGB, tempore AB 2G 2D spatium descensus BF 2G, at que tempore 2D 2G 2g 2d spatium descensus 2 GF 2e 2g: & velocitates corporis (resistentiae Medii proportionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF 2D, AB 2e 2d respective; at que maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.

Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quae sint ut incrementa velocitatum aequalibus totidem temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totae, at que adeo (per Hypothesin) ut resistentia Medii in

principio singulorum temporum aequalium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, de que vi gravitatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur, at que adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectae Kk, Ll, Mm, Nn &c. productae occurrant Hyperbolae in q, r, s, t &c. erunt areae ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. aequales, adeo que tum temporibus tum viribus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem area ABqK (per Corol. 3 Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut K.q ad ½kq seu AC ad ½ AK, hoc est ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areae qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt &c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi, tertii, quarti, &c. Proinde cum areae aequales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogae, erunt areae Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per
Hypothesin) velocitatibus, at que adeo descriptis spatiis analogae. Sumantur analogarum summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis descriptis analogae; necnon areae ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. temporibus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis ABrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q.E.D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur.

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu (at que etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressione Geometrica.

Corol. 3. Sed & differentiae spatiorum, quae in aequalibus temporum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.

Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descensus initio aequantur inter se.

Prop. IV. Prob. II. Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis.

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quamvis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam Horizontalem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum sub DA & DP

ad rect ngulum sub AC & PC ut resist ntia tota sub initio motus ad vim Gravitatis. Describatur Hyperbola quaevis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; & compleatur parallelogrammum DGKC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectae DC punctum quodvis R erecto perpendiculo RT, quod Hyperbolae in T, & rectis GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr aequalem tGT / N, & Projectile tempore DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper appropinquans ad Asymptoton PLC.. Est que velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvae Tangens rL.Q.E.D.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeo que RV aequalis DR×QB / N, & Rr (id est RV−Vr seu DR×QB−tGT / N) aequalis DR×AB−RDGT / N. Exponatur jam tempus per aream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas partibus motus proportionales & contrarias: ideo que longitudo a motu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, altitudo vero (per Prop. III. hujus) ut area DR×AB−RDGT, hoc est ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT aequalis est rectangulo DR×AQ, ideo que linea illa Rr (seu DR×AB−DR×AQ / N) tunc est ad DR ut AB−AQ (seu QB) ad N, id est ut CP

ad DC; at que adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, at que Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpetuo tangit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si Vertice D, Diametro DE deorsum producta, & latere recto quod sit ad 2 DP ut resistentia tota, ipso motus initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in Medio uniformi resistente describat Curvam DraF, ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolae hujus, ipso motus initio, est DV quad./Vr & Vr est tGT / N seu DR×Tt/2N. Recta autem, quae, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideo que Tt est CK×DR / DC, & N erat QB×DC / CP. Et propterea Vr est DRq.×CK×CP/2 CDq.×Q, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) DVq.×CK×CP/2 DPq.×QB. & Latus rectum DV quad./Vr. prodit 2 DPq.×QB / CK×CP, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) 2 DPq.×DA / AC×CP, adeo que ad 2 DP ut DP×DA ad PC×AC; hoc est ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 2. Unde si corpus de loco quovis D, data cum velocitate, secundum rectam quamvis positione datam DP projiciatur, & resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate datur latus rectum Parabolae, ut notum est. Et sumendo 2 DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resistentiae, datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP×AC ad DP×DA in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum A. Et inde datur Curva DraF.

Corol. 3. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & velocitas corporis & resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex data ratione CP×AC ad DP×DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabolae: & inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati proportionalis resistentia in loco quovis r.

Corol. 4. Cum autem longitudo 2 DP sit ad latus rectum Parabolae ut gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Velocitate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Parabolae augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeo que velocitati semper proportionalem esse, ne que ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quo que velocitas.

Corol. 5. Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phaenominis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & aequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum literarum locis subintellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum assumpta quacun que longitudine pro DP vel Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de ratione Ff / DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & exponatur differentia per

perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistentiae ad gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiae affirmativae ad unam partem rectae SM, & negativae ad alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudo DF per calculum; & longitudo quae sit ad assumptam longitudinem DP ut modo inventa longitudo DF ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF quam corpus describit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

Scholium.

Caeterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet haec ratio quamproxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo praeditis tardissime moventur. In Mediis autem quae rigore omni vacant (uti posthac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione velocitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis, adeo que tempore aequali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, est que resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiae.

SECT. II. De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.
Prop. V. Theor. III. Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione Geometrica inverse, & quod spatia sunt aequalia quae singulis temporibus describuntur.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia Medii, & resistentiae proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras aequales dividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionales. Sunto temporis particulae illae AK, KL, LM, &c. in recta

CD sumptae, & erigantur perpendicula AB, Kk, Ll, Mm, &c. Hyperbolae BKlmG, centro C Asymptotis rectangulis CD, CH, descriptae occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB−Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB−Kk ad AK ut Kk ad CA, adeo que ut AB×Kk ad AB×CA. Unde cum AK & AB×CA dentur, erit AB−Kk ut AB×Kk; & ultimo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento erunt Kk−Ll, Ll−Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differentiae, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiae, similis erit ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut areae his lineis descriptae sint in progressione consimili cum spatiis quae velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per aream AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptae per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes illae in eadem progressione, & velocitates AB, Kk, Ll, Mm, &c. in progressione eadem inversa, at que spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. aequalia. Q.E.D.

Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon spatium quod corpus aliquod eodem tempore AD, velocitate prima AB, in Medio non resistente describere posset, per rectangulum. AB×AD.

Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capi ndo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Medio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB×AD.

Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio aqualem esse vi uniformi centripetae, quae, in cadente corpore, tempore AC, in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quae tangat Hyperbolam in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT aequalis erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.

Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

Corol. 5. Et viceversa, si datur proportio resistentiae ad datam quamvis vim centripetam, datur tempus AC, quo vis centripeta resistentiae aequalis generare possit velocitatem quamvis AB; & inde datur punctum B per quod Hyperbola Asymptotis CH, CD describi debet; ut & spatium ABGD, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quovis AD, in Medio similari resistente describere potest.

Prop. VI. Theor. IV. Corpora Sphaerica homogenea & aequalia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, temporibus quae sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper aequalia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.

Asymptotis rectangulis CD, CH descripta Hyperbola quavis BbEe secante perpendicula

AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates initiales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd. Est ergo ut Aa ad Dd ita (per Hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natura Hyperbolae) CA ad CD; & componendo, ita Ca ad Cd. Ergo areae ABba, DEed, hoc est spatia descripta aequantur inter se, & velocitates primae AB, DE sunt ultimis ab, de, & propterea (dividendo) partibus etiam suis amissis AB−ab, DE−de proportionales. Q.E.D.

Prop. VII. Theor. V. Corpora Sphaerica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quae sunt ut motus primi directe & resistentiae primae inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia.

Nam que motuum partes amissae sunt ut resistentiae & tempora conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis proportionales, debebit resistentia & corpus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut Motus directe & resistentia inverse. Quare temporum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeo que retinebunt velocitates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia quae sunt ut velocitates primae & tempora conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si aequivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscun que cum velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cujus que erit ut ejus velocitas & Massa conjunctim, id est ut velocitas & cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe & ratione posteriore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse; adeo que spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.

Corol. 2. Si aequivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera diametrorum: Globi homogenei quibuscun que cum velccitatibus moti, describendo spatia in sesquialtera ratione diametrorum, amittent partes motuum proportionales totis. Nam tempus augetur in ratione resistentiae diminutae, & spatium augetur in ratione temporis.

Corol. 3. Et universaliter, si aequivelocia corpora resistuntur in ratione dignitatis cujuscun que diametrorum, spatia quibus Globi homogenei, quibuscun que cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata. Sunto diametri D & E; & si resistentiae sint ut Dn & En, spatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D 3− n & E 3− n. Igitur describendo spatia ipsis D 3− n & E 3− n proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.

Corol. 4. Quod si Globi non sint homogen i, spatium a Globo densiore descriptum augeri deber in ratione densiratis. Motus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratione temporis.

Corol. 5. Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiae. Tempus enim (per hanc Propositionem) diminuetur in ratione resistentiae, & spatium in ratione temporis.

Lemma. II. Momentum Genitae aequatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.

Genitam voco quantitatem omnem quae ex Terminis quibuscun que in Arithmetica per multiplicationem, divisionem & extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium abs que additione & subductione generatur. Ejusmodi quantitates sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut in determinatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitae sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnant aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Ne que enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitae quaevis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujus que Generantis coefficiens est quantitas, quae oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.

Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcun que perpetuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Momenta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab+aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc+AbC+aBC: & dignitatum A2, A3, A4, A½, A½, A⅓, A⅔, A1, A½, & A1½ momenta 2Aa, 3aA2, 4aA3, ½aA−½ ½ aA½, ⅓aA−⅔, ⅔ aA−⅓,−aA−2,−2aA−3, & −½ aA−½ respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscun que A n / m momentum fuerit n / m aA n−m / m. Item ut Genitae A quad.×B momentum fuerit 2aAB+A2 b; & Genitae A3 B4 C2 momentum 3 aA2 B4 C2++4A3 bB3 C2+2A3 B4 Cc; & Genitae A3/B2 sive A3 B−2 momentum 3aA2 B−2−2A3 bB−3: & sic in caeteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.

Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia ½ a & ½ b, fuit A−½ a in B−½ b, seu AB−½ aB−½ Abab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit Aa in Bb seu ABaBAbab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB+Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum aB+Ab.Q.E.D.

Cas. 2. Ponatur AB aequale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas. 1.) erit gC+Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB+Ab) aBC+AbC+ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcun que . Q.E.D.

Cas. 3. Ponantur A, B, C aequalia; & ipsius A2, id est rectanguli AB, momentum aB+Ab erit 2aA, ipsius autem A3, id est contenti ABC, momentum aBC+AbC+ABc erit 3aA2. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscun que An est naAn−1. Q.E.D.

Cas. 4. Unde cum 1/A in A sit 1, momentum ipsius 1/A ductum in A, una cum 1/A ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius 1/A sue A−1 est −a/A2. Et generaliter cum 1/An in An sit 1, momentum ipsius 1/An ductum in An una cum 1/An in naAn−1 erit nihil. Et propterea momentum ipsius 1/An seu A−n erit −na / An +1. Q.E.D.

Cas. 5. Et cum A½ in A ½ sit A, momentum ipsius A ½ in 2A ½ erit a, per Cas. 3: ideo que momentum ipsius A ½ erit a/2 A ½ sive 2aA−½. Et generaliter si ponatur A m / n aequalem B, erit Am aequale Bn, ideo que maAm−1 aequale nbBn−1, & maA−1 aequale nbB−1 seu nb / A m / n, adeo que m / n aA m−n / n aequale b, id est aequale momento ipsius Am / n. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur Genitae cujuscun que Am Bn momentum est momentum ipsius Am ductum in Bn, una cum momento ipsius Bn ducto in Am, id est maAm−1+nbBn−1; id que sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut −2A,B, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duae mediae dentur, momenta extremarum erunt ut caedem extremae. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscun que dati.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In literis quae mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio annis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi Tangentes, & similia peragendi, quae in terminis surdis aeque ac in rationalibus procederet, & literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data aequatione quotcun que fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa] eandem celarem: rescripsit Vir Clarissimus se quo que in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem praeterquam in verborum & notarum formulis. Utrius que fundamentum continetur in hoc Lemmate.

Prop. VIII. Theor. VI. Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in partes aequales, in que principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutae; dico quod vires illae absolutae sunt in progressione Geometrica.

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resistentia per lineam indensinitam AK; vis absoluta in descensu corporis per differentiam KC; velocitas corporis per lineam AP (quae sit media proportionalis inter AK & AC, ideo que in dimidiata ratione resistentiae) incrementum resistentiae data temporis particula factum per lineolam KL, & contemporaneum velocitatis incrementum per lineolam PQ; & centro C Asymptotis rectangulis CA, CH describatur Hyperbola quaevis BNS, erectis perpendiculis AB, KN, LO, PR, QS occurrens in B, N, O, R, S. Quoniam AK est ut APq., erit hujus momentum KL ut illius momentum 2 APQ, id est ut AP in KC. Nam velocitatis incrementum PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generanti KC. Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum KL×KN ut AP×KC×KN; hoc est, ob datum rectangulum KC×KN, ut AP. Atqui areae Hyperbolicae KNOL ad rectangulum KL×KN ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est aequalitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens est ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes aequales ABMI, IMNK,

KNOL, &c. & vires absolutae AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q.E.D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti A, aequales areas ABmi, imnk, knol, &c. constabit quod vires absolutae AC, iC, kC, lC, &c. sunt continue proportionales. Ideo que si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur aequalia; omnes vires absolutae lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. erunt continue proportionales. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii per lineas AC, AP & AK respective; & vice versa.

Corol. 2. Et velocitatis maximae, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, exponens est linea AC.

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.

Corol. 4. Sed & particula temporis, quo spatii particula quam minima NKLO in descensu describitur, est ut rectangulum KN×PQ. Nam quoniam spatium NKLO est ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam minimum KN×KL applicatum ad AP. Erat supra KL ut AP×PQ. Ergo particula temporis est ut KN×PQ, vel quod perinde est, ut PQ / CK Q.E.D.

Corol. 5. Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula nklo in ascensu describitur, est ut Pq / Ck.

Prop. IX. Theor. VII. Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justae magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus praeteriti ut sector Hyperbolae.

Rectae AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & aequalis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum Hyperbola rectangula AVZ axem habens AX, verticem principalem A & Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit Sector circularis AtD ut tempus ascensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis praeteriti.

Cas 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas

tDv & pDq. Cum particulae illae, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp / pD quad.. Sed pD quad. est AD quad.+Ap quad. id est AD quad.+Ak×AD seu AD×Ck; & qDp est ½ AD×pq. Ergo Sectoris particula vDt est ut pq / Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq respondentium, us que dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q.E.D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum trianguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hae particulae ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelae sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq.−TXq. ad ADq.−APq. Sed ex natura

Hyperbolae DXq.−TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD×AK. Ergo particulae sunt ad invicem ut ADq. ad ADq.−AD×AK; id est ut AD ad AD−AK seu AC ad CK: ideo que Sectoris particula TDV est PDQ×AC / CK, at que adeo ob datas AC & AD, ut PQ / CK; & propterea per Corol. 5. Prop. VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulae PQ generantur, ut summa particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si AB aequetur quartae parti ipsus AC, spatium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximae AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ aequale AC×KL (per Cool 1. Lem. II. hujus) adeo que KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ×½ AD seu DPQ ut 2AP×KN ad ½ AC×AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex aequo LKN est ad DTV ut 2AP×KN×CK ad ½ AC cub.; id est, ob aequales CKN & ¼ ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitae ut spatia simul descripta, ideo que areae totae ab initio genitae ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q.E.D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illae initio descensus aequantur inter se, perinde ut areae illae ATD, APD.

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD; sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. inde que datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quae est ad Sectorem ut spatium quaesitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

Prop. X. Prob. III. Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sit que resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quae faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.

Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tangens in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu aeque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem

semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas. Aequalibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens arcum Cg; & sint CH, Ch longitudines aequales rectilineae, quas corpora de loco C exeuntia, his temporibus, abs que Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis transfertur corpus de F in G: adeo que lineola HF vi resistentiae, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lin •• la FG est ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeo que (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF / FG. Haec ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitae magnitudinis hae rationes non sunt accuratae.

Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeo que ob aequalia tempora aequatur ipsi FG; & impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut hf / fg. Sed impulsus corporis regredientis & resistentia progredientis ipso motus initio aequantur, adeo que & ipsis proportionales hf / fg & HF / FG aequantur; & propterea ob aequales fg & FG, aequantur etiam hf & HF, sunt que adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quae supra fuit ut HF / FG, est ut Cf−CF / FG.

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus √FG inverse, hoc est ut CF / √FG, adeo que quadratum velocitatis ut CFq./FG. Quare resistentia, ipsi que proportionalis Cf−CF / FG est ut Medii densitas & CFq./FG conjunctim; & inde Medii densitas ut Cf−CF / FG directe & CFq./FG inverse, id est ut CF−CF / CFq.. Q.E.D.

Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck aequalis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut FG−kl / CF×FG+kl Erit enim fC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf−CF ad CF ut √FG−√kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uter que in √FG+√kl) ut FG−kl ad kl+ √FG×kl, sive ad FG+kl. Nam ratio prima nascentium kl+√FG×kl & FG+kl est aequalitatis. Scribatur ita que FG−kl / FG+kl pro Cf−CF / CF; & Medii densitas, quae fuit ut Cf−CF / CF quad. evadet ut FG−kl / CF×FG+kl.

Corol. 2. Unde cum 2 HF & Cf−CF aequentur, & FG & kl (ob rationem aequalitatis) componant 2 FG; erit 2 HF ad CF ut FG−kl ad 2FG; & inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG−kl ad 4 FG quad.

Corol. 3. Et hinc si curva linea desiniatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicat am BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatae resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.

Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quae faciat ut Projectile in hac linea moveatur.

Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq.−ODq. aequale nn−aa−2ao−oo seu ee−2ao−oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG=e−ao / e−oo/2e−aaoo/2e3ao3/2e3a3 o3/2e5 &c. Hic scribatur nn pro ee+aa & evadet DG =e−ao / e−nnoo/2e3anno3/2e5 &c.

Hujusmodi Series distinguo

in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatae BC insistentis ad indefinitae quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ao / e, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quae abscinditur complendo parallelogrammum BCID, at que adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao / e ad o seu a ad e. Terminus tertius, qui hic est nnoo/2e3 designabit lineolam FG, quae jacet inter Tangentem & Curvam, adeo que determinat angulum contactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si lineola illa FG finitae est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideo que negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno3/2e5, exhibet variationem Curvaturae; quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quae pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.

Praeterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Est que FG+kl aequalis duplo termini tertii, & FG−kl aequalis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu −o pro +o. Proinde cum FG sit −nnoo/2e3anno3/2e5 &c. erit kl=−nnoo/2e3+anno3/2e5 &c. Et horum summa est −nnoo / e3, differentia −anno3/e5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Ita que si designetur Series universaliter his terminis ±Qo−Roo−So3 &c. erit CF aequalis √oo+QQoo, FG+kl aequalis 2Roo, & FG−kl aequalis 2So3. Pro CF, FG+kl & FG−kl scribantur hi earum valores, & Medii densitas quae erat ut FG−kl / CF in FG+kl jam fiet ut S / R√1+QQ. Deducendo igitur Problema unumquod que ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S 〈 math 〉 ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum 1+QQ / R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.

Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur 〈 math 〉 seu n / e pro 〈 math 〉 , nn / 2e3 pro R, & ann/2e5 pro S, prodibit Medii densitas ut a / ne, hoc est (ob datam n) ut a / e seu OB / BC, id est ut Tangentis longitudo illa CT, quae ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem terminatur;

& resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q.E.I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK perpendicularem egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum −a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut −a / c. Negativam autem densitatem (hoc est quae motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quae faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura Parabolae, rectangulum ADK aequale est rectangulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a+o in c−a−o seu ac−aa−2ao+co−oo aequale est rectangulo b in DG, adeo que DG aequale ac−aa / b+c−2a / b o−oo / b. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus c−2a / b o pro Qo, & ejus coefficiens c−2a / b pro Q; tertius item terminus oo / b pro Roo, & ejus coefficiens 1/b pro R. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S / R 〈 math 〉 cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilaeus. Q.E.I.

Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quaeratur Medii densitas quae faciat ut Projectile moveatur in hac linea.

Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatae DG productae occurrens in V, & ex natura Hyperbolae, rectangulum

XV in VG dabitur. Datur autem ratio DN ad VX, & propterea datur etiam rectangulum DN in VG. Sit illud bb; & completo parallelogrammo DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio data VZ ad ZX vel DN ponatur esse m / n. Et erit DN aequalis a−o, VG aequalis bb / a−o, VZ aequalis m / n/a−o, & GD seu NX−VZ−VG aequalis c−m / n a+m / n o−bb / a−o. Resolvatur terminus bb / a−o in seriem convergentem bb / a+bb / aa o+bb / a3 oo+bb / a4 o3 &c. & fiet GD aequalis c−m / n a−bb / a+m / n o−bb / aa o−bb / a3 o2 −bb / a4 o3 &c. Hujus seriei terminus secundus m / n o−bb / aa o usurpandus est pro Qo, tertius cum signo mutato bb / a3 o2 pro Ro2, & quartus cum signo etiam mutato bb / a4 o3 pro So3, eorum que coefficientes m / n−bb / aa2 bb / a3 & bb / a4 scribendae sunt, in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut bb / a4/bb / a3 〈 math 〉 seu 1/ 〈 math 〉 id est, si in VZ sumatur VY aequalis VG, ut 1/XY. Nam que aa & mm / nn aa−2mbb / n+b4/aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad./VG habente. Ponatur ita que quod Medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiae XY, quod que resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q.E.I.

Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus n: & quaeratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

Pro DN, BD NX scribantur A, O, C respective, sit que VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG aequalis bb / DN n, & erit DN aequalis A−O, VG=bb / A−On, VZ=d / e in A−O, & GD seu NX−VZ−VG aequalis C−d / e A+d / e O−bb / A−On. Resolvatur terminus ille bb / A−On in seriem infinitam bb / An+nbbO / An +1+nn+n/2An +2 bbO++n3+3nn+2n/6An +3 bbO3 &c. ac fiet GD aequalis C−d / e A−bb / An+ +d / e O−nbb / An +1 O−nn+n/2An +2 bbO2n3+3nn+2n/6An +3 bbO3 &c. Hujus seriei terminus secundus d / e O−nbb / An +1 O usurpandus est pro Qo, tertius nn+n/2An +2 bbO2 pro Ro2, quartus n3+3nn+2n/6An +3 bbO3 pro So3. Et inde Medii densitas S / R× 〈 math 〉 , in loco quovis G, fit n+2/3 〈 math 〉 , adeo que si in VZ capiatur VY aequalis n×VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A2 & dd / ee A2−2dnbb / eAn in A+nnb4/A2 n ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY / A ad 2RR, id est XY ad 3nn+3n / n+2 VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & Latus rectum 1+QQ / R seu 2XY quad./nn+n in VG habente. Q.E.I.

Scholium.

Quoniam motus non sit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis sit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est uti que linea illa Hyperbolici generis, sed quae circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hae in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futurae sunt hae, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideo que densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √GTq./GV, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad 3nn+3n / n+2 GV.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, acta que AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √AHq./AI, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad 3nn+3n / n+2 in AI. Unde prodeunt sequentes Regulae.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideo que si longitudines illae in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitas que acceleratrix servetur, & proportio resistentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio AH ad AI in eadem ratione, manente Parabolae latere recto, ei que proportionali longitudine AHq./AI; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiae ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.

Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolae minor est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimae tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisummae Tangentium ad Tangentem AH.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX aequalis facto sub n+1 & AI; centro que X & Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVn ad XIn.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratae sunt hae Hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae in ejus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, est que c eteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quaeratur: occurrat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM aequalis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phaenominis. Projiciantur corpora duo similia & aequalia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAK, incident que in planum Horizontis in K & k; & no tetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcun que longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudinem SM aequalem assumptae AH, & erige perpendiculum MN aequale rationum differentiae AK / Ak−d / e ductae in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per omnia agatur Curva linea regularis NNXN,

haec abscindet SX quaesitae longitudini AH aequalem. Ad usus Mechanicos sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam resistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendae sunt semper hae longitudines per Regulam quartam.

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectae AH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum

incidit in punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectae AC, KF horizonti perpendiculares, quarum AC deorsum tandat, & aequetur ipsi AI seu ½ HX. Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centro que A & intervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q.E.I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & aequales AC, AI, erit AE aequalis AM, & propterea etiam aequalis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH aequantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq adeo reperitur in communi intersectione Hyperbolae hujus & circuli descripti. Q.E.D. Notandum est autem quod haec operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quod que ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequalis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitae.

Quae de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK. Parabolam designet quam recta XV tangat in

vertice X, sint que ordinatim applicatae IA, VG ut quaelibet abscissarum XI, XV dignitates XIn, XVn; agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum velocitate projectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret, in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diametrum VG deorsum productam, & latus rectum √2TGq./nn−nXVG habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad 3nn−3n / n−2 VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcun que angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolae vertex X, & positio rectae XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia Parabolae puncta G, per quae Projectile transibit.

SECT. III. De motu corporum quae resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.
Prop. XI. Theor. VIII. Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantisates velocitatibus reciproce proportionales, quadam quantitate auctae, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelae sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et fi tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica crescentem.

Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1/GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd / GDq., erit ut CD / GDq. seu CG+GD / GDq., id est, ut 1/GD+CG / GDq..

Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit 1/GD in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius 1/GD decrementum est ut summa quantitatum 1/GD & CG / GDq., quarum prior est ipsa 1/GD, & posterior CG / GDq. est ut 1/GDq. Proinde 1/GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1/GD reciproce proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam 1/GD.

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX. Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctae erunt in progressione Geometrica.

In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolae in S, exponatur descriptum spatium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut longitudo GD, quae cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RSED augetur in Arithmetica.

Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeo que directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineae GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes: nimirum velocitas & linea GD. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Invento autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.

Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X. Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolae diametris parallelae rectae per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quaedam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF,

& per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmentum AP velocitati proportionale. Et cum resistentiae pars aliqua sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum, fit resistentia tota in P ut AP quad. +2 PAB. Jungantur DA, DP circulum secantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq.+2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momento respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiae APq.+2 BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad; & area DTV, (quae est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq.+2 BAP, & si vis gravitatis minor sit quam quae per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.−BDq. gravitati proportionale,

sitque DF ipsi DB perpendicularis & aequalis, & per verticem F describatur Hyperbola FTVE cujus semidiametri conjugatae sint DB & DF, quae que secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tempus ascensus futuri ut Hyperbolae sector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiae APq.+2 ABP & gravitatis ABq.−BDq. id est ut BPq.−BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq−DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq.−DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq.−BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis aequalibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq.+2 ABP resistentia, & DBq.−ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice

principali B, describatur Hyperbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hyperbolae hujus sector DET ut tempus descensus.

Nam velocitatis incrementum PQ, ei que proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est ut DBq.−ABq.−2 ABP−APq. seu DBq.−BPq. Et area DTV est ad arcam DPQ ut DTq. ad DPq. adeo que ut GTq. seu GDq.−BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq.−BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq.−BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis aequalibus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q.E.D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utro que ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis, pro more Sectoris & Trianguli.

Prop. XIV. Prob. IV. Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areae per quam tempus exponitur, & areae cujusdam alterius quae augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositae sumantur in progressione Geometrica.

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiae proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quae sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae AbNK supra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq.+2 BAP; assumatur data quaevis quantitas Z, & ponatur AK aequalis APq.+2 BAP / Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL aequale 2 APQ+2 BA×PB / Z seu 2 BPQ / Z, & areae AbNK momentum KLON aequale 2 BPQ×LO / Z seu BPQ×BD cub./2 Z×CK×AB

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq.+BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quae gravitati proportionalis est, erit ABq.+BDq / Z. & DPq. seu APq.+2 BAP+ABq.+BDq. erit AK×Z+AC×Z seu CK×Z: ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK×Z.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq−BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit ABq.−BDq./Z & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq−BDq. seu APq.+2 BAP+ABq−BDq. id est ad AK×Z+AC×Z seu CK×Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq.−ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. praeced.) aequetur BDq.−ABq./Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z: ut supra.

Cum igitur areae illae semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD×m, erit area DPQ, id est ½ BD×PQ; ad BD×m ut CK in Z ad BDq. At que inde fit PQ in BD cub. aequale 2BD×m×CK×Z, & areae AbNK momentum KLON superius inventum, fit BP×BD×m / AB. Auferatur areae DET momentum DTV seu BD×m, & restabit AP×BD×m / AB. Est igitur differentia momentorum, id est momentum differentiae arearum, aequalis AP×BD×m / AB; & propterea (ob datum BD×m / AB) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia sunt proportionalia. Q.E.D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia ad BD×V2/4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V2, & ob datas BD & AB, ut BD×V2/4AB. Tempus autem est ut DET seu ½ BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut BD×V/2 AB ductum in momentum ipsius V & ½ BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD×V/2AB in DAq.×2 m / DEq. & ½ BD×2 m, sive ut BD×V×DAq.×m / AB×DEq. & BD×m. Et propterea momentum areae V2 est ad momentum differentiae arearum DET & AKNb, ut BD×V×DA×m / AB×DE ad AP×BD×m / AB sive ut V×DA / DE ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimae sunt, in ratione aequalitatis. Aequalis igitur est area quam minima BD×V2/4AB differentiae quam minimae arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad aequalitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area BD×V2/4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in aequalibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa BD×V2/4AB & arearum DET & AKNb differentia. Q.E.D.

SECT. IV. De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.
LEM. III. Sit PQRr Spiralis quae secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in aequalibus angulis. Agatur recta PT quaetangat eandem in puncto quovis P, secetque radium SQ in T; & ad Spiralem erectis perpendiculis PO, QO concurrentibus in O, jungatur SO. Dico quod fi puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ×PS ad PQ quad. erit ratio aequalitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli aequales SPQ, SQR, & manebunt anguli aequales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per

puncta O, S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic circulus in loco coitus PQ tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus. Q.E.D.

Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum rationes ultimae erunt hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut PQ ad PO. Et ex aequo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq. aequalis PQ×PS. Q.E.D.

Prop. XV. Theor. XI. Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quae in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV aequalis SP. Temporibus aequalibus describat corpus arcus quam minimos PQ & QR, sintque areae PSQ, QSr aequales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. &

(per Lem. X. Lib. I.) lineola TQ, quae vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ×SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq.×SP, in ratione duplicata temporis, adeoque tempus est ut PQ×√SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ / PQ×√SP seu 1/√SP, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP×√SQ; & ob aequales angulos SPQ, SQr & aequales areas PSQ, QSr, est arcus PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium consequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP−SP½×SQ ½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima SP−SP ½×SQ ½ ad ½VQ fit aequalitatis. In Medio non resistente areae aequales PSQ, QSr (per Theor. I. Lib. I.) temporibus aequalibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lincolae Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr / PQq.×SP. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr / PQq.×SP fit ut ½VQ / PQ×SP×SQ sive ut ½OS / OP×SPq. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS / OP×SPq. ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio 1/SP, & manebit Medii densitas in P ut OS / OP×SP. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, densitas Medii in P erit ut 1/SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q.E.D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut OS / OP, sin distantia illa non datur, ut OS / OP×SP. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centripetam in eodem loco ut ½OS ad OP. Nam vires illae sunt ut lineae Rr & TQ seu ut ½VQ×PQ / SQ & PQq./SP quas simul generant, hoc est ut ½VQ & PQ, seu ½OS & OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiae ad vim centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur Spiralis.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat resistentia aequalis dimidio vis centripetae & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolae (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.

Corol. 5. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis velocitas eadem est in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectae PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad OS; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione, proindeque datur.

Corol. 6. Si centro S intervallis duobus datis describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere potest, est ut PS / OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revolutionum earundem ut OP / OS, id est reciproce ut Medii densitas.

Corol. 7. Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut distantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEB circa centrum illud fecerit, & Radium primum AS in codem angulo secuerit in B quo prius in A, idque cum velocitate quae fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce in dimidiata ratione distantiarum

a centro (id est ut BS ad mediam proportiona lem inter AS & CS:) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones BFC, CGD, &c. facere, & intersectionibus distinguet Radium AS in partes AS, BS, CS, DS &c. continue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Perimetri orbitarum AEB, BFC, CGD &c. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est ut AS½, BS½, CS½. At que tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primae ut summa omnium continue proportionalium AS½, BS½, CS½ pergentium in infinitum, ad terminum primum AS½; id est ut terminus ille primus AS½ ad differentiam duorum primorum AS3/2−BS3/2, & quam proxime ut ⅔AS ad AB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

Corol. 8. Ex his etiam praeterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. Centro S intervallis continue proportionalibus SA, SB, SC &c. describe circulos quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorum vis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime; Sed & in eadem quo que ratione esse Tangentem anguli quo Spiralis praefinita, in Medio de quo egimus, secat radium AS, ad tangentem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio proposito: At que etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.

Prop. XVI. Theor. XII. Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distantiae locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiae SP dignitas quaelibet SPn+1 cujus index est n+1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvis PQ erit ut PQ×SP½ n & resistentia in P ut Rr / PQq.×SPn sive ut ½nVQ / PQ×SPn×SQ, adeque ut ½nOS / OP×SPn+1. Et propterea densitas in P est reciproce ut SPn.

Scholium.

Caeterum haec Propositio & superiores, quae ad Media inaequaliter densa spectant, intelligendae sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque caeteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

Prop. XVII. Prob. V. Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest. Vide Fig. Prop. XV.

Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate qua corpus percurrit arcum quam minimum PQ dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quae est ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. Deinde ex arearum, aequalibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex retardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.

Prop. XVIII. Prob. VI. Data lege vis centripetae, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde ex velocitatis retardatione quaerenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.

Methodum vero tractandi haec Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines peraguntur.

SECT. V. De Densitate & compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.
Definitio Fluidi.

Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illatae, & cedendo facile movetur inter se.

Prop. XIX. Theor. XIII. Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensationis, gravitatis & virium omnium centripetarum consideratione) aequaliter premuntur undique, & absque omni motu a pressione illa orto permanent in locis suis.

Cas. 1. In vase sphaerico ABC claudatur & uniformiter comprimatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliqua D moveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; at que hoc adeo quia similis & aequalis est omnium pressio, & motus omnis exclusus supponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum condensetur; contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypothesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam quamcun que quia pari ratione movebuntur

in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non potest pars eadem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q.E.D.

Cas. 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphaericae aequaliter premuntur undique: sit enim EF pars sphaerica fluidi, & si haec undi que non premitur aequaliter, augeatur pressio minor, us que dum ipsa undi que prematur aequaliter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum, & additione pressionis novae movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Quae duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod Sphaera EF non undique premebatur aequaliter. Q.E.D.

Cas. 3. Dico praeterea quod diversarum partium sphaericarum aequalis sit pressio. Nam partes sphaericae contiguae se mutuo premunt aequaliter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed & per Casum secundum, undi que premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis sphaericae non contiguae, quia pars sphaerica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q.E.D.

Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubi que premuntur aequaliter. Nam partes duae quaevis tangi possunt a partibus Sphaericis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas Sphaericas aequaliter premunt, per Casum 3. & vicissim ab illis aequaliter premuntur, per Motus Legem Tertiam. Q.E.D.

Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quaelibet GHI in fluido reliquo tanquam in. vase claudatur, & undique prematur aequaliter, partes autem ejus se mutuo aequaliter premant & quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi cujuscunque GHI, quod undique premitur aequaliter, partes omnes se mutuo premunt aequaliter, & quiescunt inter se. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique non prematur aequaliter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis.

Cas. 7. Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, id que in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad aequalitatem verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad aequalitatem in momento temporis absque motu locali; & subinde, partes fluidi per Casum quintum, se mutuo prement aequaliter, & quiescent inter se. Q.E.D.

Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se.

Prop. XX. Theor. XIV. Si Fluidi Sphaerici, & in aequalibus a centro distantiis homogenei, fundo sphaerico concentrico incumbentis partes singulae versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis aequalis est superficiei fundi, & altitudo eadem quae Fluidi incumbentis.

Sit DHM superficies fundi, & AEI superficies superior fluidi. Superficiebus sphaericis innumeris BFK, CGL distinguatur fluidum in Orbes concentricos aequaliter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cujusque, & aequales esse actiones in aequales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema AE vi simplici gravitatis propriae, qua & omnes Orbis supremi partes & superficies secunda BFK (per Prop. XIX.) premuntur. Premitur praeterea superficies secunda BFK vi propriae gravitatis, quae addita vi priori facit pressionem duplam.

Hac pressione & insuper vi propriae gravitatis, id est pressione tripla, urgetur superficies tertia CGL. Et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta & sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaquaeque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; & aequatur gravitati Orbis insimi multiplicatae per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ultima ratio ad Cylindrum praefinirum, (si modo Orbium augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio aequalitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri praefiniti. Q.E.D. Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiae a centro, ut & ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet quae in Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato.

Corol. 2. In aequalibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluidorum.

Corol. 3. Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.

Corol. 4. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificae corpus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si Sphaericum est manebit sphaericum, non obstante pressione; si quadratum est manebit quadratum: id que sive molle sit, sive fluidissimum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quaelibet interna rationem corporis submersi, & par est ratio omnium ejusdem magitudinis, figurae & gravitatis specificae submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuum causae permanent. Atqui, per Cas. 5. Prop. XIX. jam quiesceret & figuram retineret. Ergo & prius.

Corol. 5. Proinde corpus quod specifice gravius est quam Fluidum sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascendet, motumque & figurae mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in aequilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra librae.

Corol. 6. Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit: relativa & vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; & pondus totius aequale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est inter se collata non praegravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quae in Aere sunt & non praegravant, Vulgus gravia non judicat. Quae praegravant vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quae sunt minus gravia, Aerique praegravanti cedendo superiora petunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quae ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative & apparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquae vel ab ea superatur. Quae vero nec praegravando descendunt, nec praegravanti cedendo ascendunt, etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum Casuum Demonstratio.

Corol. 7. Quae de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis.

Corol. 8. Proinde si Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacun que vi centripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium est vis illa motrix, quam in praecedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non mutabunt situm patium internarum inter se: proindeque, si Animalia immergantur, & sensatio omnis a motu partium oriatur; nec laedent corporibus immersis, nec sensationem ullam excitabunt, nisi quatenus haec corpora a compressione condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur.

Prop. XXI. Theor. XV. Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiae illae sumantur continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.

Designet ATV fundum Sphaericum cui fluidum incumbit, S centrum, SA, SB, SC, SD, SE, &c. distantias continue proportionales. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, DL, EM, &c. quae sint ut densitates Medii in locis A, B, C, D, E; & specificae gravitates in iisdem locis erunt ut AH / AS, BI / BS, CK / CS, &c. vel, quod perinde est, ut AH / AB, BI / BC, CK / CD &c. Finge primum

has gravitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D &c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D &c. Et hae gravitates ductae in altitudines AB, BC, CD &c. conficient pressiones AH, BI, CK, quibus fundum ATV (juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particula A pressiones omnes AH, BI, CK, DL, pergendo in infinitum; & particula B pressiones omnes praeter primam AH; & particula C omnes praeter duas primas AH, BI; & sic deinceps: adeoque particulae primae A densitas AH est ad particulae secundae B densitatem BI ut summa omnium AH+BI+CK+DL, in infinitum, ad summam omnium BI+CK+DL &c. Et BI densitas secundae B, est ad CK densitatem tertiae C, u summa omnium BI+CK+DL, &c. ad summam omnium CK+DL, &c. Sunt igitur summae illae differentiis suis AH, BI, CK, &c. proportionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem. I. proinde que differentiae AH, BI, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C sint ut AH, BI, CK, &c. erunt etiam hae continue proportionales. Pergatur per saltum, & (ex aequo) in distantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt densitates AH, CK, EM continue proportionales. Et eodem argumento in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ densitates AH, DL, QO erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem Fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ, densitates AH, DL, QT, semper existentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A & E, colligi potest ejus densitas

in alio quovis loco Q. Centro S, Asymptotis rectangulis SQ, SX describatur Hyperbola secans perpendicula AH, EM, QT in a, e, q, ut & perpendicula HX, MY, TZ ad asymptoton SX demissa in h, m, & t. Fiat area ZYmtZ ad aream datam YmhX ut area data EeqQ ad aream datam •• aA; 〈…〉 linea Zt producta 〈◊〉 li eam QT densitati proportionalem. Nam ue 〈◊〉 SA, E, SQ sunt continue proportionales, erunt areae EeqQ, EeaA aequales, & inde areae his proportionales YmtZ XhmY etiam aequales & lineae SX, SY, SZ id est AH, EM, QT continue proportionales, ut oportet. Et si lineae SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium, lineae AH, EM, QT, ob proportionales areas Hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium.

Prop. XXII. Theor. XVI. Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiae sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione Geometrica.

Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quae sint ut

Fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravitates specicae in iisdem locis erunt AH / SAq., BI / SBq., CK / SCq., &c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, secundam a B ad C, tertiam a C ad D, &c. Et hae ductae in altitudines AB, BC, CD, DE, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes pressionum AH / SA, BI / SB, CK / SC, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summae, differentiae densitatum AH−BI, BI−CK, &c. erunt ut summarum differentiae AH / SA, BI / SB, CK / SC, &c. Centro S Asymptotis SA, SX describatur Hyperbola quaevis, quae secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c; ut & perpendicula ad Asymptoton SX demissa H , •• , Kw in h, i, k; & densitatum differentiae tu, uw, &c. erunt ut AH / SA, BI / SB, &c. Et rectangula tu×th, uw×ui, &c. seu tp, uq. &c. ut AH×th/SA, BI×ui/SB, &c. id est ut Aa, Bb &c. Est enim ex natura Hyperbolae SA ad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque AH×th/SA aequale Aa. Et simili argumento est BI×ui/SB aequalis Bb, &c. Sunt autem Aa Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis suis Aa−Bb, B c, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportional •• sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis differentiarum Aa−Cc vel Aa−Dd summae rectangulorum tp+uq, vel tp+uq+wr Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa−Ff, erit summae omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiae punctorum A, B, C, &c. in infinitum, & rectangula illa evadent aequalia areae Hyperbolicae zthn, adeoque huic areae proportionalis est differentia Aa−Ff. Sumantur jam distantiae quaelibet, puta SA, SD, SF in Progressione Musica, & differentiae Aa−Dd, Dd−Ff erunt aequales; & propterea differentiis hisce proportionales areae thlx, xlnz aequales erunt inter se, & densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL, FN, continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si dentur Fluidi densitates duae quaevis, puta AH & CK, dabitur area thkw harum differentiae tw respondens; & inde invenietur densitas FN in al ••• udine quacunque SF, sumendo aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia Aa−Ff ad differentiam Aa−Cc.

Scholium

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; & quadratorum distantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nempe SA cub./SAq., SA cub./SBq., SA cub./SCq.) sumantur in progressione Arithmeca; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta SAqq./SA cub., SAqq./SB cub., SAqq./SC cub., &c.) sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus distantiis eadem sit, & distantiae sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Haec ita se habent ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi possunt aliae condensationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis aequalis quadruplicatae rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiae. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit reciproce in sesquiplicata ratione distantiae. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiae, & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset.

Prop. XXIII. Theor. XVII. Particulae viribus quae sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vires centrifugae particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum.

Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico ACE, dein compressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum similem situm inter se in utroque

spatio obtinentium distantiae erunt ut cuborum latera AB, ab; & Medii densitates reciproce ut spatia continentia AB cub. & ab cub. In latere cubi majoris ABCD capiatur quadratum DP aequale lateri cubi minoris db; & ex Hypothesi, pressio qua quadratum DP urget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadratum db urget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem, hoc est ab cub. ad AB cub. Sed pressio qua quadratum DB urget Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum DP urget idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoc est ut AB quad. ad ab quad. Ergo ex aequo pressio qua latus DB urget Fluidum, est ad pressionem qua latus db urget Fluidum, ut ab ad AB. Planis FGH, fgh per media cuborum ductis distinguatur Fluidum in duas partes, & hae se mutuo prement iisdem viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc est in proportione ab ad AB: adeoque vires centrifugae, quibus hae pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum similem que situm in utroque cubo, vires quas particulae omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt ut vires quas singulae exercent in singulas. Ergo vires, quas singulae exercent in singulas secundum planum FGH in cubo majore, sunt ad vires quas singulae exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore ut ab ad AB, hoc est reciproce ut distantiae particularum ad invicem. Q.E.D.

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiae, id est reciproce ut cuborum latera AB, ab; summae virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, db ut summae virium; & pressio quadrati DP ad pressionem lateris DB ut ab quad. ad AB quad. Et ex aequo pressio quadrati DP ad pressionem lateris db ut ab cub. ad AB cub. id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q.E.D.

Scholium.

Simili argumento si particularum vires centrifugae sin reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata desitatum. Si vires centrifugae sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadratocubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate Fluidi compressi, & vires centrifugae sint reciproce ut distantiae dignitas quaelibet Dn, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica Dignitatis En+2, cujus index est numerus n+2: & contra. Intelligenda vero sunt haec omnia de particularum Viribus centrifugis quae terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Horum Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminan ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulae fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particulas intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particulis componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulae cujus que virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem majoris quantitatis Fluidi. Ut si particula unaquae que vi sua, quae sit reciproce ut distantia locorum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vires quibus Fluidum in vasis similibus aequaliter comprimi & condensari possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Quaestio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam praebeamus Quaestionem illam tractandi.

SECT. VI. De Motu & resistentia Corporum Funependulorum.
Prop. XXIV. Theor. XVIII. Quantitates materiae in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum a centro suspensionis aequaliter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo aequaliter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi dividantur in partes aequales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora directe & quantitates materiae reciproce: adeoque quantitates materiae ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiae sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera & quadrata temporum. Q.E.D.

Corol. 1. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitates materiae in singulis corporibus erunt ut pondera.

Corol. 2. Si pondera sunt aequalia, quantitates materiae erunt ut quadrata temporum.

Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum.

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum caeteris paribus sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates materiae aequalia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiae pendulae est ut pondus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6. Sed & in Medio non resistente quantitas Materiae pendulae est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; ad 〈…〉 praestat in tali Medio non resistente atque pondus 〈…〉

Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiae in singulis, tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiae in corporibus singulis corum ponderi proportionalem esse.

Prop. XXV. Theor. XIX. Corpora Funependula quae in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quaeque in ejusdem gravitatis specificae Medio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.

Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & sumatur arcus Od in ratione

ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urgetur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco B, & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primae & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od erunt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiae CO, id est ut Oe; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione retardatae manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a morum omnem simul amittent. Isochronae sunt igitur oscillaciones totae, & arcubus totis BA, BE proportionales sunt arcuum partes quaelibet BD, Bd vel BE, Be quae simul describuntur. Q.E.D.

Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in punctum infimum, C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in desensu suo a B ad O.

Prop. XXVI. Theor. XX. Corporum Funependulorum, quae resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronae.

Nam si corpora duo a centris suspensionum aequaliter distantia, oscillando describant arcus inaequales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti: resistentiae velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem arcus, conferantur vel addantur hae resistentiae, erunt differentiae vel summae ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. Q.E.D.

Prop. XXVII. Theor. XXI. Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differentiae inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.

Nam pendulis aequalibus in Medio resistente describantur arcus inaequales A, B; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est ut A quad. ad B quad. quam proxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut rectangulum AB ad A quad. tempora in arcubus A & B forent aequalia per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia A quad. in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A supra tempus in Medio non resistente; & resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id est ut arcus A & B Q.E.D.

Corol. 1. Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente in arcubus inaequalibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resistente. Nam si verbi gratia arcus alter sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.

Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis Isochronae, & brevissimae iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime. Earum vero quae in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione longitudinis in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, & corpora accelerata paulo magis quam quae uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur.

Prop. XXVIII. Theor. XXII. Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.

Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, & Aa differentiam arcuum: & stantibus quae in Propositione XXV. constructa & demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D, ad uim resistentia ut arcus CD ad arcum CO, qui semissis est differentiae illius Aa. Ideoque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus Cycloidis inter punctum illud supremum & punctum insimum C ad arcum CO; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum Aa. Q.E.D.

Prop. XXIX. Prob. VII. Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ratione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.

Sit Ba (Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloidis totius, longitudini Penduli aequalis; & quaeratur resistentia corporis in loco quovis

D. Secetur recta infinita OQ in punctis O, C, P, Q ea lege ut (si erigantur perpendicula OK, CT, PI, QE, centroque O & Asymptotis OK, OQ describatur Hyperbola TIGE secans perpendicula CT, PI, QE in T, I & E, & per punctum I agatur KF occurrens Asymptoto OK in K, & perpendiculis CT & QE in L & F) fuerit area Hyperbolica PIEQ ad aream Hyperbolicam PITC ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca ascensu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica PINM quae sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area Hyperbolica PIGR, quae sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD ad arcum BC descensu toto descriptum: erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area OR / OQ IEF−IGH ad aream PIENM.

Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areae PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa. Et areae OR / QR IEF−IGH incrementum GHhg−Rr / OQ IEF, seu Rr×HG−Rr / OQ IEF, erit ad areae PIGR decrementum RGgr seu Rr×RG, ut HG−IEF / OQ ad RG; adeoque ut OR×HG−OR / OQ IEF ad OR×GR seu OP×PI: hoc est (ob aequalia OR×HG, OR×HR−OR×GR, ORHK−OPIK, PIHR & PIGR+IGH) ut PIGR+IGH−OR / OQ IEF ad OPIK. Igitur si area OR / OQ IEF−IGH dicatur Y, atque areae PIGR decrementum RGgr detur, erit incrementum areae Y ut PIGR−Y.

Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describendo CD proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resistentia ponatur: erit V−R vis tota qua corpus urgetur in D, adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentia R (per Hypothesin) ut quadratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resistentiae ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum & V−R conjunctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut V−R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR−Z.

Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR−Y, & area Z in ratione PIGR−Z. Et propterea si areae Y & Z simul incipiant & sub initio aequales sint, hae per additionem aequalium momentorum pergent esse aequales, & aequalibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, aequalia habebunt momenta & semper erunt aequales: id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.

Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio & fine motus, ubi arcus CD, CD arcubus CB & Ca aequantur, adeoque ubi recta RG incidit in rectas QE & CT. Et area Y seu OR / OQ IEF−IGH incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi OR / OQ IEF & IGH aequalia sunt: hoc est (per constructionem) ubi recta RG incidit in rectam QE & CT. Proindeque areae illae simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt aequales. Igitur area OR / OQ IEF−IGH aequalis est areae Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut area OP / OQ IEF ad aream PINM.

Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum PIGR−Y) evadit nullum.

Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quae est in dimidiata ratione resistentiae, & ipso motus initio aequatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque omresistentia oscillantis.

Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendae sunt, visum est Propositionem sequentem subjungere, quae & generalior sit & ad usus Philosophicos abunde satis accurata.

Prop. XXX. Theor. XXIII. Si recta aB aequalis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quae sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuum eorundam semisummam, aequalis erit areae BKaB a perpendiculis omnibus DK occupatae, quamproxime.

Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra descriptus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repraesentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in C secundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiae. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describet autem corpus tempore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiae occurrentibus in E & e, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo

a puncto B, acquireret in locis D & d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur ita que hae velocitates per perpendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet velocitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN aequalis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpendiculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex aequo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex aequo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad ½ aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad ½ aB; ideoque summa omnium MN×½ aB, id est Aa×½ aB, aequalis erit summae omnium Dd×DR, id est areae BRrSa, quam rectangula omnia Dd×DR seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½ aB seu OB aequalis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, incidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu aequaliter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K circa medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu aequaliter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum aequatis inter se; & propterea in casu priore addita areae BRSa, in posteriore eidem subducta, relinquet aream BKTa areae BRSa aequalem quam proxime. Ergo rectangulum Aa×½ aB seu AaO, cum sit aequale areae BRSa, erit etiam aequale areae BKTa quamproxime. Q.E.D.

Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum Ca, CB defferentia Aa, colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkS rectangulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½ Ba & Aa. aequalis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK aequalis erit ½ Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiae, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½ Aa ad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.

Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkS Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA in Medio non resistente, aequalibus circiter temporibus describantur; adeoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel Ellipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeoque figura BKVTa Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiae in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus OB, OV descripta, figuram aBKVT, eique aequale rectangulum Aa×BO, aequabit quam proxime. Est igitur Aa×BO ad OV×BO ut area Ellipseos hujus ad OV×BO: id est Aa ad OV ut area semicirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et propterea: 7/11 Aa ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem gravitatem.

Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, figura BKTVa Parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque aequalis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub Ba & OV quam proxime. Est igitur rectangulum sub ½ Ba & Aa aequale rectangulo sub ⅔ Ba & OV, adeoque OV aequalis ¾ Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravitatem ut ¾ Aa ad longitudinem Penduli.

Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cumfigura BKVTa in puncto medio V, haec si ad partem alterutram BKV vel VTa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime.

Prop. XXXI. Theor. XXIV. Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.

Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangulum sub recta ½ aB & arcuum illorum CB, Ca differentia Aa, aequalis erat areae BKT. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc est in ratione resistentiae, adeoque est ut longitudo aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & ½ aB est ut aB & resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resistentia. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.

Corol. 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.

Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; & contra.

Corol. 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata; & contra. Eadem erit lex & ratio resistentiae pro velocitate, quae est differentiae illius pro longitudine arcus.

Corol. 5. Ideoque si, pendulo inaequales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiae hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiae pro velocitate majore vel minore.

SECT. VII. De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium.
Prop. XXXII. Theor. XXV. Si corporum Systemata duo ex aequali particularum numero constent & particulae correspondentes similes sint, singulae in uno System. singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eae inter se quae in uno sunt Systemate & eae inter se quae sunt in altero) & si non tangant se mutuo quae in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus quae sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systematum particulae ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri; & contra.

Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes: puta si particulae unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particulae correspondentes, ob similitudinem incaeptorum motuum, pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg. I. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, & vires illae sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe; quoniam particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totae quibus particulae correspondentes agitantur, ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium secundum) compositae, similes habebunt determinationes, perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; & erunt vires illae totae ad invicem ut vires singulae componentes, hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut correspondentes particulae figuras similes describere pergant. Haec ita se habebunt per Corol. 1.2, & 7. Prop. IV. si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducentur mutationes in figuris quas particulae describunt. Similes igitur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes motus inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpora duo quaevis, quae similia sint & ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum: haec pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utriusque atque particularum.

Corol. 2. Et si similes & similiter positae Systematum partes omnes quiescant inter se: & earum duae, quae caeteris majores sint, & sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant: hae similes in reliquis systematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia describere.

Prop. XXXIII. Theor. XXVI. Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particulae systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiae sunt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totae acceleratrices & quantitates materiae in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiae particularum correspondentium inverse & quantitates materiae in partibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiae particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter particulae vel partis in systemate priore ad diametrum particulae vel partis correspondentis in altero, & quantitates materiae sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiae sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. Q.E.D. Posterioris generis resistentiae sunt ut reflexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates partium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & diametrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiae partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora autem duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires autem motrices, quibus particulae Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis proportionalia describent.

Corol. 2. Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulae distantes se mutuo agitant, augerenter in duplicata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ratione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria A, B, C ex partibus similibus & aequalibus & secundum distantias aequales regulariter dispositis constantia. Partes Mediorum A & B fugiant se mutuo viribus quae sint ad invicem ut T & V, illae Medii C ejusmodi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor aequalia D, E, F, G in his Mediis moveantur, priora duo D & E in prioribus duobus A & B, & altera duo F & G in tertio C; sitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis E, & velocitas corporis F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium T ad vires V; resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis E, & resistentia corporis F ad resistentiam corporis G in velocitatum ratione duplicata; & propterea resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis F ut resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora D & F aequivelocia ut & corpora E & G; & augendo velocitates corporum D & F in ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem ratione duplicata, accedet Medium B ad formam & conditionem Medii C pro lubitu, & idcirco resistentiae corporum aequalium & aequivelocium E & G in his Mediis, perpetuo accedent ad aequalitatem, ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quaevis. Proinde cum resistentiae corporum D & F sint ad invicem ut resistantiae corporum E & G, accedent etiam hae similiter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur D & F, ubi velocissime moventur, resistantiae sunt aequales quam proxime: & propterea cum resistentia corporis F sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis D in eadem ratione quam proxime. Q.E.D.

Corol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.

Corol. 4. Proinde cum resistentiae similium & aequivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam aequivelocium & celerrime moventium corporum resistentiae in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.

Corol. 5. Et cum corpora similia, aequalia & aequivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulae se mutuo non fugiunt, sive particulae illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus inpingant, eique aequalem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus Legem tertiam) aequalem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, aequaliter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum resistentiae quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur.

Corol. 6. Cum autem particulae Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo dissicilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earum vires centrifugae, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebitur, quo vires illae sunt intensiores; & propterea si corporis velocissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.

Corol. 7. Porro cum vires centrifugae eo nomine a 〈…〉 uam resistentiam conducant, quod particulae motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum distantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: manifestum est quod augmentum resistentiae ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in Fluidis quae, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulae Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminuantur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistantiae quae prius: ut ex praecedentibus facile colligitur.

Corol. 9. Haec omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar Lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistantia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.

Prop. XXXIV. Theor. XXVII. Quae in praecedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulae Systematum se mutuo contingunt, si modo particulae illae sint summe lubricae.

Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vires illas in accessu ad superficies particularum augeri in insinitum, & contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui & statim evanescere. Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eorum se mutuo contingant, nisi quatenus vires illae contactum impediunt. Sint autem spatia per quae vires particularum diffunduntur quam angustissima, ita ut particulae se mutuo quam proxime contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubricae, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium praefatarum, perinde ac si essent Elasticae. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quatenus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: quae quidem diversitas diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero quae in praecedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per quae vires diffunduntur, diminuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus, exceptis solum differentiis quae tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quocunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quaevis. Ergo differentia falso assignatur, & propterea nulla est. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant inter se, exceptis duabus, quae caeteris majores sint & sibi mutuo correspondeant inter caeteras similiter sitae. Hae secundum lineas similiter positas utcunque projectae similes excitabunt motus in Systematibus, & temporibus proportionalibus pergent spatia similia & diametris suis proportionalia describere; & resistentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis Systematum.

Corol. 2. Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes duae majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulae summe lubricae, & quoad magnitudinem & densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis proportionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superiore definita.

Corol. 3. Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 4. At si particulae Fluidi non sint summe lubricae, vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas diminuitur: Proiectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam, & propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.

Prop. XXXV. Theor. XXVIII. Si Globus & Cylindrus aequalibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, aequali cum velocitate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia Cylindri.

Nam quoniam resistentia (per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mutuo fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus destitutas per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol. 5.) sive corpus in Medio quiescente moveatur, five Medii particulae eadem cum velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, & videamus qu impetu urgebitur a Medio movente. Designet igitur ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro

CA descriptum, & incidant particulae Medii data cum velocitate in corpus illud Sphaericum, secundum rectas ipsi AC parallelas: Sitque FB ejusmodi recta. In ea capiatur LB semidiametro CB aequalis, & ducatur BD quae Sphaeram tangat in B. In AC & BD demittantur perpendiculares BE, DL, & vis qua particula Medii, secundum rectam FB oblique incidendo, Globum ferit in B, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONGQ axe ACI circa Globum descriptum perpendiculariter feriret in b, ut LD ad LB vel BE ad BC. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiae suae plagam FB vel AC, est ad ejusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis suae, id est secundum plagam rectae BC qua globum directe urget, ut BE ad EC. Et conjunctis rationibus, efficacia particulae, in globum secundum rectam FB oblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidentiae suae, est ad efficaciam particulae ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, ut BE quadratum ad BC quadratum. Quare si ad cylindri basem circularem NAO erigatur perpendiculum bHE, & sit bE aequalis radio AC, & bH aequalis CE quad./CB, erit bH ad bE ut effectus particulae in globum ad effectum particulae in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus bH occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus bE occupatur, ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Parabolois vertice V, axe CA & latere recto CA descriptum, & solidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: & notum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in Cylindrum. Et propterea si particulae Medii quiescerent, & cylindrus ac globus aequali cum velocitate moverentur, foret resistentia globi duplo minor quam resistentia cylindri. Q.E.D.

Scholium.

Eadem methodo figurae aliae inter se quoad resistentiam comparari possunt, eaeque inveniri quae ad motus suos in Mediis resistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari CEBH, quae centro O, radio OC describitur, & altitudine

OD, construendum sit frustum coni CBGF, quod omnium eadem basi & altitudine constructorum & secundum plagam axis sui versus D progredientium frustorum minime resistatur: biseca altitudinem OD in Q & produc, OQ ad S ut sit QS aequalis QC, & erit S vertex coni cujus frustum quaeritur.

Unde obiter cum angulus CSB semper sit acutus, consequens est, quod si solidum ADBE convolutione figurae Ellipticae vel Ovalis ADBE circa axem AB facta generetur, & tangatur figura generans a rectis tribus FG, GH, HI in punctis F, B & I, ea lege ut GH sit perpendicularis ad axem in puncto contactus B, & FG, HI cum eadem GH contineant angulos FGB, BHI graduum 135: solidum, quod convolutione figurae ADFGHIE circa axem eundem CB generatur, minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagam axis sui AB progrediatur, & utriusque terminus B praecedat. Quam quidem propositionem in construendis Navibus

non inutilem futuram esse censeo.

Quod si figura DNFB ejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovis N ad axem AB demittatur perpendiculum NM, & a puncto dato G ducatur recta GR quae parallela sit rectae figuram tangenti in N, & axem productum secet in R, fuerit MN ad GR ut GR cub. ad 4 BR×GBq: Solidum quod figurae hujus revolutione circa axem AB facta describitur, in Medio raro & Elastico ab A versus B velocissime movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine descriptum Solidum circulare.

Prop. XXXVI. Prob. VIII. Invenire resistentiam corporis Sphaerici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis. (Vide Fig. Pag. 325.)

Designet ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro CA descriptum. Producatur CA primo ad S deinde ad R, ut sit AS pars tertia ipsius CA, & CR sit ad CS ut densitas corporis Sphaerici ad densitatem Medii. Ad CR erigantur perpendicula PC, RX, centroque R & Asymptotis CR, RX describatur Hyperbola quaevis PVY. In CR capiatur CT longitudinis cujusvis, & erigatur perpendiculum TV abscindens aream Hyperbolicam PCTV, & sit CZ latus hujus areae applicatae ad rectam PC. Dico quod motus quem globus, describendo spatium CZ, ex resistentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudo CT ad longitudinem CR quamproxime.

Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, aequalis est motui quem imprimeret in easdem particulas. Ponamus quod particulae singulae reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si modo particulae quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cylindrus ex reflexione particulae cujusque amittit, erit ad motum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Proinde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri ut 2 Ct×CS ad AI×CR. Ea enim est ratio materiae Medii, a cylindro protrusae & reflexae, ad massam cylindri. Unde cum globus sit duae tertiae partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut Ct×CS ad ⅔ AI×CR, sive ut Ct ad CR. Erigatur perpendiculum tv Hyperbolae occurrens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II) si corpus describendo longitudinem areae CtvP proportionalem, amittit motus sui totius CR partem quamvis Ct, idem describendo longitudinem areae CTVP proportionalem, amittet motus sui partem CT. Sed longitudo Ct aequalis est CPvt / CP, & longitudo OZ (per Hypothesin) aequalis est CPTV / CP, adeoque longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus sui partem, quae sit ad totum ut Ct ad CR, is describendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus sui partem quae sit ad totum ut CT ad CR. Q.E.D.

Corol. 1. Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus quo corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui partem Ct: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiae ad gravitatem Globi.

Corol. 2. Quoniam in his determinandis supposui quod particulae Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo reflectantur, & particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particulae vi omni Elastica aliaque omni vi reflexiva destituuntur, corpus Sphaericum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.

Corol. 3. Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis & Corollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit.

Corol. 4. Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: haec describendo longitudinem quamvis CZ amittent majorem motus sui partem, quam quae sit ad motum suum totum ut CT ad CR.

Corol. 5. Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistentiae pro ratione velocitatis inveniri potest.

Prop. XXXVII. Prob. IX. Aquae de vase dato per foramen effluentis definire motum.

Si vas impleatur aqua, & in fundo perforetur ut aqua per foramen defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aquae totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculariter imminet. Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, obstaculum sustineret pondus aquae sibi perpendiculariter incumbentis, & fundum vasis sustineret pondus aquae reliquae. Sublato autem obstaculo, fundum vasis eadem aquae pressione eodemve ipsius pondere urgebitur ac prius; & pondus quod obstaculum sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua descendat & per foramen defluat.

Unde consequens est, quod motus aquae totius effluentis is erit quem pondus aquae foramini perpendiculariter incumbentis generare possit. Nam aquae particula unaquaeque pondere suo, quatenus non impeditur, descendit, idque motu uniformiter accelerato; & quatenus impeditur, urgebit obstaculum. Obstaculum illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; & propterea ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit aquam defluentem & motum sibi proportionalem generabit.

Designet igitur F aream foraminis, A altitudinem aquae foramini perpendiculariter incumbentis, P pondus ejus, AF quantitatem ejus, S spatium quod dato quovis tempore T in vacuo libere cadendo describeret, & V velocitatem quam in fine temporis illius cadendo acquisierit: & motus ejus acquisitus AF×V aequalis erit motui aquae totius eodem tempore effluentis. Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem V ut d ad e; & cum aqua velocitate V describere posset spatium 2S, aqua effluens eodem tempore, velocitate sua d / e V, describere posset spatium 2d / e S. Et propterea columna aquae cujus longitudo sit 2d / e S & latitudo eadem quae foraminis, posset eo tempore defluendo egredi de vase, hoc est columna 2d / e SF. Quare motus 2dd / ee SFV, qui fiet ducendo quantitatem aquae effluentis in velocitatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius genitus, aequabitur motui AF×V. Et si aequales illi motus applicenter ad FV; fiet 2dd / ee S aequalis A. Unde est dd ad ee ut A ad 2S, & d ad e in dimidiata ratione ½ A ad S. Est igitur velocitas quacum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo describens spatium S acquireret, ut altitudo aquae foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam & spatium illud S, quod corpus tempore T cadendo describeret.

Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate V ascenderet ad altitudinem illam S de qua deciderat; & altitudines (uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem ½ A. Et propterea quantitas aquae effluentis, quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem ½ A, aequalis erit columnae aquae totius AF foramini perpendiculariter imminentis.

Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendiculariter surgeret ad dimidiam altitudinem aquae foramini incumbentis; consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cujus latus rectum est altitudo aquae in vase supra canalis orificium, & cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur, atque ordinatim applicatae parallelae sunt axi canalis.

Haec omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si aqua ex partibus crassioribus constet, haec tardius effluet quam pro ratione superius assignata, praesertim si foramen angustum sit per quod effluit.

Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum vasis integrum est, & eadem aquae incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas sustinebit pondus aquae totius, non obstante effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam sustineret si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur: quae quidem pressio aequalis est ponderi columnae aquae, cujus basis foramini aequatur & altitudo eadem est quae aquae totius supra foramen. Et propterea si vas, ad modum corporis penduli, filo praelongo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par est ratio motus pilarum, quae Pulvere tormentario madefacto implentur, &, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a regione flammae & in partem contrariam cum impetu feruntur.

Prop. XXXVIII. Theor. XXIX. Corporum Sphaericorum in Mediis quibusque Fluidissimis resistentiam in anteriore superficie definire.

Defluat aqua de vase Cylindrico ABCD, per canalem Cylindricum EFGH, in vas inferius IKLM; & inde effluat per vasis marginem IM. Sit autem margo ille ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo CD, eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu descendat; & in medio canalis collocetur Globus P, sitque PR altitudo aquae supra Globum, & SR ejusdem altitudo supra fundum vasis. Sustineatur autem Globus filo tenuissimo TV, lateribus canalis hinc inde affixo. Et manifestum est per proportionem superiorem, quod quantitas aquae dato tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod defluit; hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus adsit, ut spatium undique inter Globum & canalem. Nam velocitas aquae defluentis (per superiorem Propositionem) ea erit quam corpus cadendo, & casu suo describendo dimidiam aquae altitudinem SR, acquirere posset: adeoque eadem est sive Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aquae per spatium angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius, & propterea velocitas

ejus ubi Globus adest, non potest esse major quam cum tollitur: ideoque major aquae quantitas, ubi Globus adest, non effluet quampro ratione spatii per quod tran sit. Si aqua non sit liquor subtilissimus & fluidissimus, hujus transitus per spatium angustius, ob crassitudinem particularum, erit aliquanto tardior: at liquorem fluidissimum esse hic supponimus. Igitur quantitas aquae, cujus descensum Globus dato tempore impedit, est ad quantitatem aquae quae, si Globus tolleretur, eodem tempore descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium canalis; sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diametri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aquae cujus descensum Globus impedit, aequalis est quantitati aquae, quae eodem tempore per foramen circulare in fundo vasis, basi Cylindri illius aequale, descendere posset, & cujus descensus per fundi partem quamvis circularem basi illi aequalem impeditur.

Jam vero pondus aquae, quod vas & Globus conjunctim sustinent, est pondus aquae totius in vase, praeter partem illam quae aquam defluentem accelerat, & ad ejus motum generandum sufficit, quaeque, per Propositionem superiorem, aequalis est ponderi columnae aquae cujus basis aequatur spatio inter Globum & canalem per quod aqua defluit, & altitudo eadem cum altitudine aquae supra fundum vasis, per lineam SR designata. Vasis igitur fundum & Globus conjunctim sustinent pondus aquae totius in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis. Unde cum fundum vasis sustineat pondus aquae sibi perpendiculariter imminentis, reliquum est ut Globus etiam sustineat pondus aquae sibi perpendiculariter imminentis. Globus quidem non sustinet pondus aquae illius stagnantis & sibi absque omni motu incumbentis, sed aquae defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; adeoque vim aquae defluentis sustinet ponderi illi aequalem. Nam impedit descensum & effluxum quantitatis aquae quem pondus illud accurate efficeret si Globus tolleretur. Aqua pondere suo, quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne, ideoque obstaculum, quatenus descensum aquae impedit, vim sustinet aequalem ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem descensum quantitatis aquae impedit, quem pondus columnae aquae sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; & propterea vim aquae decurrentis sustinet ponderi illi aequalem. Actio & reactio aquae per motus Legem tertiam aequantur inter se, & in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam descendentem, ad ejus descensum impediendum, in superiora dirigitur, & est ut descendendi motus impeditus, eique tollendo adaequate sufficit: & propterea actio contraria aquae in Globum aequalis est vi quae motum eundem vel tollere vel generare possit, hoc est ponderi columnae aquae, quae Globo perpendiculariter imminet & cujus altitudo est RS.

Si jam canalis orificium superius obstruatur, sic ut aqua descendere nequeat, Globus quidem, pondere aquae in canali & vase inferiore IKLM stagnantis, premetur undique; sed non obstante pressione illa, si ejusdem sit specificae gravitatis cum aqua, quiescet. Pressio illa Globum nullam in partem impellet. Et propterea ubi canalis aperitur & aqua de vase superiore descendit, vis omnis, qua Globus impellitur deorsum, orietur ab aquae illius descensu, atque adeo aequalis erit ponderi columnae aquae, cujus altitudo est RS & diameter eadem quae Globi. Pondus autem istud, quo tempore data quaelibet aquae quantitas per foramen basi Cylindri circa Globum descripti a quale, sublato Globo effluere posset, sufficit ad ejus motum omnem generandum; atque adeo quo tempore aqua in Cylind o uniformiter decurrendo describit duas tertias partes diametri Globi, sufficit ad mo um omnem aqua Globo aequalis generandum. Nam Cylindres aquae, latitudine Globi & duabus tertiis partibus altitudinis d scriptus, Globo aequatur. Et propterea aquae currentis impetus in Globum quiescentem, quo tempore aqua currendo describit duas tertias partes diametri Globi, si uniformiter continuetur, generaret motum omnem partis Fluidi quae Globo aequatur.

Quae vero de aqua in canali demonstrata sunt, intelligenda sunt etiam de aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in ea quiescens urgetur. Quaeque de aqua demonstrata sunt obtinent etiam in Fluidis universis subtilissimis. De his omnibus idem valet argumentum.

Jam vero per Legum Corol. 5, vis Fluidi in Globum eadem est, sive Globus quiescat & Fluidum uniformi cum velocitate moveatur, sive Fluidum quiescat & Globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat. Et propterea resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suae describit, aequalis est vi, quae in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo & ejusdem densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suae progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare posset. Tanta est resistentia Globi in superficiei parte praecedente. Q.E.D.

Corol. 1. Si solidum Sphaericum in ejusdem secum densitatis Fluido subtilissimo libere moveatur, & inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiescit; ejusdem resistentia ea erit quam in Corollario secundo Propositionis xxxvi. descripsimus. Unde si computus ineatur, patebit quod solidum dimidiam motus sui partem prius amittet, quam progrediendo descripserit longitudinem diametri propriae; Quod si inter movendum minus urgeatur a tergo, magis retardabitur: & contra, si magis urgeatur, minus retardabitur.

Corol. 2. Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam projectilium per infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum diminui. Si Fluidum sit valde crassum, minuetur resistentia aliquantulum per divisionem partium ejus. At postquam competentem Fluiditatis gradum acquisiverit, (qualis forte est Fluiditas Aeris vel aquae vel argenti vivi) resistentia in anteriore superficie solidi, per ulteriorem partium divisionem non multum minuetur. Nunquam enim minor futura est quam pro limite quem in Corollario superiore assignavimus.

Corol. 3. Media igitur in quibus corpora projectilia sine sensibili motus diminutione longissime progrediuntur, non solum Fluidissima sunt, sed etiam longe rariora quam sunt corpora illa quae in ipsis moventur: nisi forte quis dixerit Medium omne Fluidissimum, impetu perpetuo in posticam projectilis partem facto, tantum promovere motum ejus quantum impedit & resistit in parte antica. Et motus quidem illius, quem projectile imprimit in Medium, partem aliquam a Medio circulariter lato reddi corpori a tergo verisimile est. Nam & experimentis quibusdam factis, reperi quod in Fluidis satis compressis pars aliqua redditur. Omnem vero in casu quocunque reddi nec rationi consentaneum videtur, neque cum experimentis hactenus a me tentatis bene quadrat. Fluidorum enim utcunque subtilium, si densa sint, vim ad solida movenda resistendaque permagnam esse, & quomodo vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius patebit per Propositiones duas quae sequuntur.

Lemmma IV.

Si vas Sphaericum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi impressa moveatur in directum, motuque progressivo semper accelerato ita pergat ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi, aequaliter participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtinebit in vase figurae cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget demonstratione.

Prop. XXXIX. Theor. XXX. Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis progreditur, & cujus partes inter se quiescunt, rapit omnia ejusdem densitatis innatantia corpora, & secum cum eadem velocitate defert.

Nam per Lemma superius si vas Sphaericum, rigidum, Fluidoque homogeneo quiescente plenum, motu paulatim impresso progrediatur; Fluidi motum vasis participantis partis omnes semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes aliquae congelarentur, pergerent hae quiescere inter partes reliquas. Nam quoniam partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluidae sint, sive aliquae earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa moveatur, & motum suum imprimat in Fluidum: Fluidum quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congelatas easque secum rapiet. Sed partes illae congelatae sunt corpora solida ejusdem densitates cum Fluido; & par est ratio Fluidi, sive id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad modum venti spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato fertur, & cujus partes inter se quiescunt, solida quaecunque ejusdem densitatis inclusa, quae sub initio quiescebant, rapit secum, & una moveri cogit. Q.E.D.

Prop. XL. Prob. X. Invenire resistentiam solidorum Sphaericorum in Mediis Fluidissimis densitate datis.

In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic: ut ejus motus amissus, quo tempore progrediendo longitudinem semidiametri suae describit, est ad ejus motum totum sub initio, ita motus quem solidum quodvis datum, in Fluido eodem jam facto subtilissimo, describendo diametri suae longitudinem amitteret, est ad ejus motum totum sub initio quamproxime. Nam si particulae minimae Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eundemque situm ad solidum datum in eo movens, quem particulae totidem minimae Fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum; sintque particulae Fluidi utrius que summe lubricae, & viribus centrifugis centripetisque omnino destituantur; incipiant autem solida temporibus quibuscunque proportionalibus in his Fluidis similiter moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis aequalia, amittent partes motuum proportionales totis; idque licet partes Medii subtiliati minuantur, & magnitudo solidi in Medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum. Ergo ex resistentia solidi aucti in Medio non subtiliato, dabitur per proportionem superiorem resistentia solidi non aucti in Medio subtiliato. Q.E.I.

Si particulae non sunt summe lubricae, supponendum est quod in utro que Fluido sunt aequaliter lubricae, eo ut ex defectu lubricitatis resistentia utrin que aequaliter augeatur: & Propositio etiamnum valebit.

Corol. 1. Ergo si ex aucta solidi Sphaerici magnitudine augeatur ejus resistentia in ratione duplicata; resistentia solidi Sphaerici dati ex diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus minuetur.

Corol. 2. Sin resistentia, augendo solidum Sphaericum, augeatur in minore quam duplicata ratione diametri: eadem diminuendo particulas Fluidi, diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata diametri.

Corol. 3. Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem partium Fluidi non multum diminui potest. Nam resistentia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas materiae fluidae resistentis, quam solidum illud movendo protrudit & a locis a se invasis & occupatis propellit: hoc est ut spatium Cylindricum per quod solidum movetur, adeoque in duplicata ratione semidiametri solidi quamproxime.

Corol. 4. Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod minus resistit est altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum densitates; praesertim si solida sint magna, & velociter moveantur, & Fluidorum aequalis sit compressio.

Scholium Generale.

Quae hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Globum ligneum pondere unciarum Romanarum 57 1/22, diametro digitorum Londinensium 6 ⅞ fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum & centrum oscillationis Globi distantia esset pedum 10½. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspensionis distans; & e regione puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quorum ope notarem longitudines arcuum a Pendulo descriptas. Deinde numeravi oscillationes quibus Globus quartam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor: idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo describaret arcum digitorum 3½. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 69, 35½, 18½ 9 ⅔ respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo & ascensu ultimo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum ¼, ½, 1, 2, 4, 8 respective. Dividantur eae differentiae per numerum oscillationum in casu unoquoque; & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3¾ 7½, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum, erit 1/656, 1/242, 1/69, 4/71, 8/37, 24/29 partes digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione, & propterea (per Corol. 2. Prop. xxxi. Libri hujus) resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxime; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in Corollariis Propositionis xxxii. demonstratum est.

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datae, & fingamus quod differentia arcuum sit AV+BV3/2+CV2. Et cum velocitates maximae in praedictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum 1 7/8, 3¾, 7½, 15, 30, 60 chordae, atque adeo ut arcus ipsi quam proxime, hoc est ut numeri ½, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Casu secundo quarto & sexto numeros 1, 4, & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia 1/242 aequalis A+B+C in Casu secundo; & 2/35½ aequalis 4A+8B+16C in casu quarto; & 8/9⅔ aequalis 16A+64B+256C in casu sexto. Unde si per has aequationes determinemus quantitates A, B, C; habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate quacunque data.

Caeterum cum velocitates maximae sint in Cycloide ut arcus oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordae, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tempora autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resistentia in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; & diminui in ratione chordae ad arcum, ob tempus (seu durationem resistentiae qua arcuum differentia praedicta generatur) diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjungamus) debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter. Haec ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto 12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia 1/242, 2/35½, & 8/9⅔ evadunt 6283/6279×242, 25132/12533×35½ & 201056/24869×9⅔, id est in numeris decimalibus 0, 004135, 0, 056486 & 0, 8363. Unde prodeunt aequationes A+B+C=0, 004135: 4A+8B+16C=0, 05648 & 16A+64B+256C=0, 8363. Et ex his per debitam terminorum collationem & reductionem Analyticam fit A=0, 0002097, B=0, 0008955 & C=0, 0030298. Est igitur differentia arcuum ut 0, 0002097V+0, 0008955V⅔+ 0,0030298V2: & propterea cum per Corol. Prop. xxx. resistentia Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut 7/11 AV+16/23BV½+¾CV2 ad longitudinem Penduli; si pro A, B & C scribantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut 0, 0001334 V+0, 000623 V½+0, 00227235V2 ad longitudinem Penduli inter centrum suspensionis & Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum V in casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resistentia ad pondus Globi in casu secundo ut 0.003029 ad 121, in quarto ut 0.042875 ad 121, in sexto ut 0.63013 ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in Casu sexto descripsit, erat 120−8/9 2/3 seu 119 5/29 digitorum. Et propterea cum radius esset 121 digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum Globi descripsit erat 124 3/31 digitorum. Quoniam corporis oscillantis velocitas maxima ob resitentiam Aeris non incidit in punctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: haec eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum 62 3/62; idque in Cycloide, ad quam motum penduli supra reduximus: & propterea velocitas illa aequalis erit velocitati quam Globus, perpendiculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus illius Sinui verso aequalem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum 62 3/62 ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, & propterea aequalis digitis 15, 278. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus cadendo & casu suo spatium 15, 278 digitorum describendo acquirere posset. Unde cum corpus tempore minuti unius secundi cadendo (uti per experimenta pendulorum determinavit Hugenius) describat pedes Parisienses 15 1/12, id est pedes Anglicos 16 11/24 seu digitos 197 ½, & tempora sint in dimidiata ratione spatiorum; Globus tempore minut. 16 tert. 38 quart. cadendo describet 15, 278 digitos, & velocitatem suam praedictam acquiret; & propterea cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem tempore longitudinem duplam 30, 556 digitorum. Tali igitur cum velocitate Globus resistentiam patitur, quae sit ad ejus pondus ut 0, 63013 ad 121, vel (si resistentiae pars illa sola spectetur quae est in velocitatis ratione duplicata) ut 0, 58172 ad 121.

Experimento autem Hydrostatico inveni quod pondus Globi hujus lignei esset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem, ut 55 ad 97: & propterea cum 121 sit ad 213, 4 in eadem ratione, erit resistentia Globi aquei praefata cum velocitate progredientis ad ipsius pondus ut 0, 58172 ad 213, 4, id est ut 1 ad 366 ⅚. Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinem pedum 30, 556, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare posset; manifestum est quod vis resistentiae uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione 1 ad 366⅚, hoc est velocitatis totius partem 1/366 ⅚. Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidiametri suae seu digitorum 3 7/16 describere posset, eodem amitteret motus sui partem 1/3262.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit In sequente Tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis & partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudinem arcus ascensu ultimo descripti; & loco infimo stant numeri oscillationum. Experimentum descripsi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

Descensus Primus 2 4 8 16 32 64 Ascensus ultimus 1 ½ 3 6 12 24 48 Num. Oscillat. 374 272 162 ½ 83 ⅓ 41 ⅔ 22 ⅓

Postea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum & pondere unciarum Romanarum 26 ¼ suspendi filo eodem, sic ut inter centrum Globi & punctum suspensionis intervallum esset pedum 10½, & numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum subsequentium prior exhibet numerum oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

Descensus primus 1 2 4 8 16 32 64 Ascensus ultimus 7/8 7/4 3 ½ 7 14 28 56 Numerus Oscillat. 226 228 193 140 90 ½ 53 30

Descensus primus 1 2 4 8 16 32 64 Ascensus ultimus ¾ 1 ½ 3 6 12 24 48 Numerus Oscillat. 510 518 420 318 204 121 70

In Tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam & septimam, & exponendo velocitates maximas in his observationibus particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, & generaliter per quantitatem V ut supra: emerget in observatione prima 2/193=A+B+C, in secunda 2/90 ½=4A+8B+16C, in tertia 8/30 aequ. 16A+64B+256C. Quae aequationes per reductiones superius expositas dant, A=0, 000145, B=0, 000217 & C=0, 0 09. Et inde prodit resistentia Globi cum velocitate V moventis, in ea ratione ad pondus suum unciarum 26 ¼, quam habet 0, 000923V + 0,000172V3/2+0, 000675V2 ad Penduli longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus eam solummodo resistentiae partem quae est in duplicata ratione velocitatis, haec erit ad pondus Globi ut 0, 000675V2 ad 121 digitos. Erat autem haec pars resistentiae in experimento primo ad pondus Globi lignei unciarum 57 7/22 ut 0, 00227235V2 ad 121: & inde fit resistentia Globi lignei ad resistentiam Globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut 57 7/22 in 0, 00227235 ad 26 ¼ in 0, 00 675, id est ut 130309 ad 17719 seu 7 ⅓ ad 1. Diametri Globorum duorum erant 6 ⅞ & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad invicem ut 47 ¼ & 4, seu 11 13/16 & 1 quamproxime. Ergo resistentiae Globorum aequivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quae certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistentiae totius minoris penduli, & inde didici quod resistentiae Globorum, dempta fili resistentia, sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum. Nam ratio 7 ⅓−⅓ ad 1−⅓, id est 7 ad ½ seu 10 ½ ad 1, non longe abest a diametrorum ratione duplicata 11 13/16 ad 1.

Cum resistentia fili in Globis majoribus minoris sit momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 18 ¼ digitorum. Longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum oscillationis erat digitorum 122 ¼, inter punctum suspensionis & nodum in filo 109 ½ dig. Arcus primo penduli descensu a nodo descriptus, 32 dig. arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem nodo descriptus, 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscillatione mediocri descriptus, 30 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima seu differentia inter descensum & ascensum in oscillatione mediocri ⅗ dig. Ut radius 109 ½ ad radium 122 ½, ita arcus totus 60 dig. oscillatione mediocri a Nodo descriptus, ad arcum totum 67 ⅛, oscillatione mediocri a centro Globi descriptum: & ita differentia 2/5 ad differentiam novam 0, 4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad 122 ½, velocitas ejus diminueretur in ratione illa dimidiata; & arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum differentia 0, 4475 diminueretur in ratione velocitatis, adeoque evaderet 0, 4412. Deinde si arcus descriptus augeretur in ratione 67 ⅛ ad 124 3/31, differentia ista 0, 4412 augeretur in duplicata illa ratione, adeoque, evaderet 1, 509. Haec ita se haberent, ex hypothesi quod resistentia Penduli esset in duplicata ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum totum 124 3/32 digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensionis & centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum foret 1, 509 dig. Et haec differentia ducta in pondus Globi penduli, quod erat unciarum 208, producit 3 3, 9. Rursus ubi pendulum superius ex Globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum totum 124 3/31 digitorum, differentia arcuum descensu & ascensu descriptorum fsuit 126/121 in 8/9 ⅔ seu 25/29, quae ducta in pondus Globi, quod erat unciarum 57 7/22, producit 48, 55. Duxi autem differentias hasce in pondera Globorum ut invenirem eorum resistentias. Nam differentiae oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistentiae directe & pondera inverse. Sunt igitur resistentiae ut numeri 313, 9 & 48, 55. Pars autem resistentiae Globi minoris, quae est in duplicata ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam ut 0, 5817. ad 0, 63013, id est ut 44, 4 ad 48, 5; & pars resistentiae Globi majoris propemodum aequatur ipsius resistentiae toti, adeoque partes illae sunt ut 313, 9 & 44, 4 quamproxime, id est ut 7, 7 ad 1. Sunt autem Globorum diametri 10 ¾ & 6 ⅞; & harum quadrata 351 ½ & 47 17/64 sunt ut 7, 38 & 1, id est ut Globorum, resistentiae 7, 07 & 1 quamproxime. Differentia rationum haud major est quam quae ex fili resistentia oriri potuit. Igitur resistentiarum partes illae quae sunt (paribus Globis) ut quadrata velocitatum, sunt etiam (paribus velocitatibus) ut quadrata diametrorum Globorum; & propterea (per Corollaria Prop. XL. Libri hujus) resistentia quam Globi majores & velociores in aere movendo sentiunt, haud multum per infinitam aeris divisionem & subtiliationem diminui potest, proindeque Media omnia in quibus corpora multo minus resistuntur, sunt aere rariora.

Caeterum Globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus non erat perfecte Sphaericus, & propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Optarim itaque (cum demonstratio vacui ex his dependeat) ut experimenta cum Globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si Globi sumantur in proportione Geometrica, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex progressione experimentorum colligetur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aquae oscillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere 166 ⅙ unciarum, diametro 3 ⅝ digitorum, movebatur ut in Tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudine penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum 134 ⅛ digitorum.

Arcus descensu primo a puncto in filo notato descriptus digitorum. 64 32 16 8 4 2 1 ½ ¼ Arcus ascensu ultimo descriptus digitorum. 48 24 12 6 3 1 ½ ¼ /8 /16 Arcuum differentia motui amisso proportionalis, digitorum. 16 8 4 2 1 ½ ¼ 4/8 1/16 Numerus oscillationum in aqua.     •• /60 1 ⅕ 3 7 11 ¼ 12 2/ 13 ⅓ Numerus oscillationum in aere. 85 ½   287 535          

In experimento columnae quartae, motus aequales oscillationibus 535 in aere, & 1 ⅕ in aqua amissi sunt. Erant autem oscillationes in aere paulo celeriores quam in aqua, nimirum in ratione 44 ad 41. Nam 14 ⅔ oscillationes in aqua, & 13 ⅔ in aere simul peragebantur. Et propterea si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utroque fierent aequiveloces, numerus oscillationum 1 ⅕ in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur (ob resistentiam auctam in ratione illa duplicata & tempus diminutum in ratione eadem simplici) diminueretur in eadem illa ratione 44 ad 41, adeoque evaderet 1 ⅓ in 41/44 seu 123/110. Paribus igitur Pendulorum velocitatibus motus aequales in aere oscillationibus 535 & in aqua oscillationibus 123/110 amissi sunt; ideoque resistentia penduli in aqua est ad ejus resistentiam in aere ut 535 ad 123/110. Haec est proportio resistentiarum totarum in Casu columnae quartae.

Designet jam AV+CV2 resistentiam Globi in aere cum velocitate V moventis, & cum velocitas maxima, in Casu columnae, quartae sit ad velocitatem maximam in casu columnae primae ut 1 ad 8, & resistentia in Casu columnae quartae ad resistentiam in Casu columnae primae in ratione arcuum differentiae in his casibus, ad numeros oscillationum applicatae, id est ut 2/535 ad 16/85 ½, seu ut 85 ½ ad 4280: scribamus in his Casibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque 85 ½ & 4280 pro resistentiis, & fiet A+C=85 ½ & 8 A+64 C=4280 seu A+8C=535, indeque per reductionem aequationum proveniet 7 C=449 ½ & C=64 3/14 & A=21 2/7; atque adeo resistentia ut 21 2/7 V+64 3/14 V2 quamproxime. Quare in Casu columnae quartae ubi velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis proportionalem, ut 21 2/7+64 3/14 seu 85 ½, ad 64 3/14; & idcirco resistentia penduli in aqua est ad resistentiae partem illam in aere quae quadrato velocitatis proportionalis est, quaeque sola in motibus velocioribus consideranda venit, ut 85 ½ ad 64 3/14 & 535 ad 123/110 conjunctim, id est ut 637 ad 1. Si penduli in aqua oscillantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major; adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa quae velocitatis quadrato proportionalis est, quaeque sola in corporibus velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum velocitate in aqua oscillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc est ut densitas aquae ad densitatem aeris quamproxime.

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiae penduli in aqua, quae esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mirum forte videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione velocitatis plusquam duplicata. Ejus rei causam investigando, in hanc incidi, quod Arca nimis angusta esset pro magnitudine Globi penduli, & motum aquae cedentis prae angustia sua nimis impediebat. Nam si Globus pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur, resistentia augebatur in duplicata ratione velocitatis quamproxime. Id tentabam construendo pendulum ex Globis duobus, quorum inferior & minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam filo assixus esset, & in Aere oscillando, adjuvaret motum penduli eumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc modo instituta se habebant ut in Tabula sequente describitur.

Arcus descensu primo descriptus 16 8 4 2 1 ½ ¼ Arcus ascensu ultimo descriptus. 12 6 3 1 ½ ¼ 1/16 Arcuum diff. motui amisso proportionalis 4 2 1 ½ ¼ 1/16 Numerus Oscillationum 3 ⅛ 6 ½ 12 1/12 21 ⅕ 34 53 62 ⅕

Resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plusquam duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verisimile est, si modo Arca augeatur in ratione penduli. Debebit tamen resistentia tam in aere quam in aqua, si velocitas per gradus in infinitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plusquam duplicata, propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in Libri hujus Prop. xxxvi & xxxviii. demonstrata. Nam corpora longe velocissima spatium a tergo relinquent vacuum, ideoque resistentia quam sentiunt in partibus praecedentibus, nullatenus minuetur per pressionem Medii in partibus posticis.

Conferedo resistentias Mediorum inter se, effeci etiam ut pendula ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quasi trium, & diameter Globi penduli quasi tertia pars digiti. Ad filum autem proxime supra Mercurium affixus erat Globus alius plumbeus satis magnus ad motum per duli diutius continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in Fluido utroque successive oscillante invenirem proportionem resistentiarum: & prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aquae ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est ut densitas argenti vivi ad densitatem aquae. Ubi Globum pendulum paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi ½ vel ⅔ partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratione ad resistentiam aquae quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circiter. Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine Globi immersi. Ampliato Globo, deberet etiam vas ampliari. Constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus & in liquoribus tum Metallorum fusorum, tum aliis quibusdam tam calidis quam frigidis repetere: sed omnia experiri non vacat, & ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam Spiritus vini. Verum in liquoribus qui ad sensum satis fluidi sunt, ut in Aere, in aqua seu dulci seu falsa, in Spiritibus vini, Terebinthi & Salium, in Oleo a foecibus per destillationem liberato & calefacto, Oleoque Vitrioli & Mercurio, ac Metallis liquefactis, & siqui sint alii, qui tam Fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius conservent, effusique liberrime in guttas decurrendo resolvantur, nullus dubito quin regula allata satis accurate obtineat: praesertim si experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis instituantur.

Quare cum Globus aqueus in aere movendo resistentiam patiatur qua motus sui pars 1/3261, interea dum longitudinem semidiametri suae describat (ut jam ante ostensum est) tollatur, sitque densitas aeris ad densitatem aquae ut 800 vel 850 ad 1 circiter, consequens est ut haec Regula generaliter obtineat. Si corpus quodlibet Sphaericum in Medio quocunque satis Fluido moveatur, & spectetur resistentiae pars illa sola quae est in duplicata ratione velocitatis, haec pars erit ad vim quae totum corporis motum, interea dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiametrorum motu illo uniformiter continuato describat, vel tollere posset vel eundem generare, ut densitas Medii ad densitatem corporis quamproxime. Igitur resistentia quasi triplo major est quam pro lege in Corollario primo Propositionis xxxviii. allata; & propterea partes quasi duae tertiae motus illius omnis quem Globi partes anticae movendo imprimunt in Medium, restituuntur in Globi partes posticas a Medio in orbem reduente, inque spatium irruente quod Globus alias vacuum post se relinqueret. Unde si velocitas Globi eousque augeatur ut Medium non posset adeo celeriter in spatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi semper relinquatur, resistentia tandem evadet quasi triplo major quam pro Regula generali novissime posita.

Hactenus experimentis usi sumus oscillantium pendulorum, eo quod eorum motus facilius & accuratius observari & mensurari possint. Motus autem pendulorum in gyrum actorum & in orbem redeundo circulos describentium, propterea quod sint uniformes & eo nomine ad investigandam resistentiam datae velocitati competentem longe aptiores videantur, in consilium etiam adhibui. Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duodecies revolveretur, notavi magnitudines circulorum duorum, quos prima & ultima revolutione descripsit. Et inde collegi velocitates corporis sub initio & fine. Tum dicendo quod corpus, velocitate mediocri describendo circulos duodecim mediocres, amitteret velocitatum illarum differentiam, collegi resistentiam qua differentia illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti posset; & resistentia inventa, quanquam hujus generis experimenta minus accurate tentare licuit, probe tamen cum praecedentibus congruebat.

Denique cum receptissima Philosophorum aetatis hujus opinio sit, Medium quoddam aethereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime permeet; a tali autem Medio per corporum poros fluente resistentia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes etiam internae in superficiebus propriis resistentiam notabilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitudinis, ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendulum longitudinis praedictae. Uncus sursum praeacutus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad quae redibat in fine oscillationis primae, secundae ac tertiae. Hoc repetebam saepius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quae ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte sili quae circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget.) Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum plenae. Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plenae non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuae quam 78 ad 77. Nam si aequales essent ambarum resistentiae, pyxis plena ob vim suam insitam septuagies & octies majorem vi ins ••• pyxidis vacui, motum suum oscillatorium tanto diutius c 〈…〉 vare deberet, atque adeo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77.

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipisius superficie externa, & B resistentiam pyxidis vacuae in partibus internis; & si resistentiae corporum aequivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum quae resistuntur: erit 78 B resistentia pyxidis plenae in ipsius partibus internis: adeoque pyxidis vacuae resistentia tota A+B erit ad pyxidis plenae resistentiam totam A+78 B ut 77 ad 78, & divisim A+B ad 77 B ut 77, ad 1, indeque A+B ad B ut 77×77 ad 1, & divisim A ad B ut 5928 ad 1. Est igitur resistentia pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenae oriatur ab actione Fluidi alicujus subtilis in Metallum inclusum. At causam longe aliam esse opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plenae minora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacuae, & propterea resistentia pyxidis plenae in externa superficie major est, pro ipsius velocitate & longitudine spatii oscillando descripti, quam ea pyxidis vacuae. Quod cum ita sir, resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis.

Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, quae memoria exciderunt, omittere compulsus sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quaerendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectetabur. Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, & tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus.

Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sphaericorum in Aqua & argento vivo, inveniri potest resistentia corporum figurarum aliarum; & sic Navium figurae variae in Typis exiguis contructae inter se conferri, ut quaenam ad navigandum aptissimae sint, sumptibus parvis tentetur.

SECT. VIII. De Motu per Fluida propagato.
Prop. XLI. Theor. XXXI. Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulae Fluidi in directum jacent.

Si jaceant particulae a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pressio directe propagari ab a ad e; at

particula e urgebit particulas oblique positas f & g oblique, & particulae illae f & g non sustinebunt pressionem illatam, nisi fulciantur a particulis ulterioribus h & k; quatenus autem fulciuntur, premunt particulas fulcientes; & hae non sustinebunt pressionem nisi fulciantur ab ulterioribus l & m easque premant, & sic deinceps in infinitum. Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas quae non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum; & postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores, quae non in directum jacent, iterum divaricabit; idque toties, quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D.

Corol. Si pressionis a dato puncto per Fluidum propagatae pars aliqua obstaculo intercipiatur, pars reliqua quae non intercipitur divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam

demonstrari potest. A puncto A propagetur pressio quaquaversum, idque si fieri potest secundum lineas rectas, & obstaculo NBCK perforato in BC, intercipiatur ea omnis, praeter partem Coniformem APQ, quae per foramen circulare BC transit. Planis transversis de, fg, hi distinguatur conus APQ in frusta & interea dum conus ABC, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fgih in superficie fg, & frustum illud urget frustum tertium, & sic deinceps in infinitum; manifestum est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur & premetur in superficie fg, quantum urget & premit frustum illud secundum. Frustum igitur degf inter Conum Ade & frustum fhig comprimitur utrinque, & propterea (per Corol. 6. Prop. XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de, fg conabitur cedere ad latera df, eg; ibique (cum rigidum non sit, sed omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur, nisi Fluidum ambiens adsit, quo conatus iste cohibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum ambiens ad latera df, eg quam frustum fghi eodem impetu; & propterea pressio non minus propagabitur a lateribus df, eg in spatia NO, KL hinc inde, quam propagatur a superficie fg versus PQ.Q.E.D.

Prop. XLII. Theor. XXXII. Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota.

Cas. 1. Propagetur motus a puncto A per foramen BC, pergatque (si fieri potest) in spatio conico BCQP, secundum lineas rectas divergentes a puncto C. Et ponamus primo quod motus iste sit undarum in superficie stagnantis aquae. Sintque de, fg, hi, kl, &c. undarum singularum partes altissimae, vallibus totidem intermediis ab invicem distinctae. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis LK, NO, defluet eadem de jugorum terminis e, g, i, l, &c. d, f, h, k, &c. hinc inde versus KL & NO: & quoniam in undarum vallibus depressior est quam in Fluidi partibus immotis KL, NO; defluet eadem de partibus illis immotis undarum valles. Defluxu priore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur & propagantur versus KL & NO. Et quoniam motus undarum ab A versus PQ fit per continuum defluxum jugorum in valles proximos, adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus & descensus aquae hinc inde versus KL & NO eadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus KL & NO, eadem velocitate qua undae ipsae ab A versus PQ recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde versus KL & NO ab undis dilatatis rfgr, shis, tklt, vmnv, &c occupabitur. Q.E.D. Haec ita se habere quilibet in aqua stagnante experiri potest.

Cas. 2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn designent pulsus a puncto A per Medium Elasticum successive propagatos.

Pulsus propagari concipe per successivas condensationes & rarefactiones Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sphaericam occupet superficiem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos aequalia intercedant intervalla. Designent autem lineae de, fg, hi, kl, &c. densissimas pulsuum partes per foramen BC propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus KL & NO, dilatabit sese tam versus spatia illa KL, NO utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eo que pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum versus antecedentia intervalla rariora; & pulsus eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes KL, NO hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota KL, NO, qua propagantur directe a centro A; adeoque spatium totum KLON occupabunt. Q.E.D. Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parietibus oppositis sed a fenestra directe propagati.

Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab A per foramen BC: & quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes Medii centro A propiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes quae urgentur Fluidae sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur: recedent eaedem versus Medii partes omnes quiescentes, tam laterales KL & NO, quam anteriores PQ, eoque pacto motus omnis, quam primum per foramen BC transiit, dilatari incipiet, & abinde tanquam a principio & centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D.

Prop. XLIII. Theor. XXXIII. Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsuum undique in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit.

Cas. 1. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo, itu suo urgebunt & propellent partes Medii sibi proximas, & urgendo compriment easdem & condensabunt; dein reditu suo sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igitur partes Medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, hae similibus tremoribus agitatae agitabunt partes sibi proximas, eaeque similiter agitatae agitabunt ulteriores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes primae eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic partes reliquae quoties eunt condensabuntur, & quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distantias servando non rarefierent & condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi condensantur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquae earum ibunt dum aliae redeunt; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condensatae, ob motum suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus; & propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque aequalibus circiter ab invicem distantiis, ob aequalia temporis initervalla, quibus corpus tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat. Q.E.D. Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per Medium propagati sese dilatabunt ad latera, per Propositionem praecedentem; & a corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum superficies propemodum Sphaericas & concentricas, undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, quae si digito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis Elasticae.

Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a corporis tremuli partibus vibratis pressae condensari nequeunt, propagabitur motus in instanti ad partes ubi Medium facillime cedit, hoc est ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circulum ad partes quae corpus relinquit, & quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes quae eidem cedunt.

Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammae sed a totius dilatatione derivari.

Prop. XLIV. Theor. XXXIV. Si Aqua in canalis cruribus erectis KL, MN vicibus alternis ascendat & descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis aequetur semissi longitudinis aquae in Canali: dico quod aqua ascendet & descendet iisdem temporibus quibus pendulum oscillatur.

Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & crurum, eandem summae horum axium aequando. Designent igitur AB, CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque; & ubi aqua in crure KL ascendit ad altitudinem EF, descenderit aqua in crure MN ad altitudinem GH. Sit autem P corpus pendulum, VP filum, V punctum suspensionis, SPQR Cyclois quam Pendulum describat, P ejus punctum infimum, PQ arcus altitudini AE aequalis. Vis, qua motus aquae alternis vicibus

acceleratur & retardatur, est excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure KL ascendit ad EF, & in crure altero descendit ad GH, vis illa est pondus duplicatum aquae EABF, & propterea est ad pondus aquae totius ut AE seu PQ ad VP seu PR. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur & retardatur in Cycloide, est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia PQ a loco infimo P, ad Cycloidis longitudinem PR. Quare aquae & penduli, aequalia spatia AE, PQ describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda; ideoque vires illae, si aqua & pendulum in principio, aequali cum velocitate moveantur; pergent eadem temporibus aequaliter movere, efficientque ut motu reciproco simul eant & redeant. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochronae.

Corol. 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisiensium 6 1/9, aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempore minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vicibus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum 3 1/18 longitudinis, tempore minuti unius secundi oscillatur.

Corol. 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, augetur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata.

Prop. XLV. Theor. XXXV. Vndarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.

Consequitur ex constructione Propositionis sequentis.

Prop. XLVI. Prob. XI. Invenire velocitatem Vndarum.

Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis aequetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Undae progrediendo latitudinem suam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco mensuram transversam quae vel vallibus imis vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac descendentem, sintque A, C, E, &c. undarum culmina, & B, D, F, &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae successivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes A, C, E, &c. quae nunc infimae sunt, mox fiant altissimae; & vis motrix, qua partes altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae; alternus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco aquae in canali, easdemque temporis leges observabit: & propterea (per Prop. XLIV) si distantiae inter undarum loca altissima A, C, E, & infima B, D, F aequentur duplae penduli longitudini, partes altissimae A, C, E tempore oscillationis unius evadent infimae, & tempore oscillationis alterius denuo ascendent. Igitur inter transitum Undarum singularum tempus erit oscillationum duarum; hoc est Unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est, adeoque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur Undae, quae pedes Parisienses 3 1/18 latae sunt, tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes 183⅓, & horae spatio pedes 11000 quam proxime.

Corol. 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.

Haec ita se habent ex Hypothesi quod partes aquae recta ascendunt vel recta descendunt; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo.

Prop. XLVII. Theor. XXXVI. Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis Elasticae directe & dimidiata ratione densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem condensationi proportionalis esse supponatur.

Cas. 1. Si Media sint homogenea, & pulsuum distantiae in his Mediis aequentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit: contractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non est haec proportio. Verum tamen nisi contractiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensibiliter, ideoque pro Physice accurata haberi potest. Sunt autem vires Elasticae motrices ut contractiones & dilatationes; & velocitates partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque aequales & correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus & reditus suos per spatia contractionibus & dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simul peragent: & propterea pulsus, qui tempore itus & reditus unius latitudinem suam progrediendo conficiunt, & in loca pulsuum proxime praecedentium semper succedunt, ob aequalitatem distantiarum, aequali cum velocitate in Medio utroque progredientur.

Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo & redeundo describant: & aequales erunt earum contractiones & dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, aequales erunt etiam vires illae Elasticae motrices quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum latitudo; & in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo & redeundo moveri debent. Estque tempus itus & reditus unius in ratione composita ex ratione dimidiata materiae & ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia percurrunt; & propterea sunt aequiveloces.

Cas. 3. In Mediis igitur densitate & vi elastica paribus, pulsus omnes sunt aequiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis Elastica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elasticae, & materia movenda in ratione densitatis augetur; tempus quo motus iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione densitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elasticae. Et propterea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione dimidiata densitatis Medii inverse & ratione dimidiata vis Elasticae directe. Q.E.D.

Prop. XLVIII. Theor. XXXVII. Pulsibus per Fluidum propagatis, singulae Fluidi particulae, motu reciproco brevissimo euntes & redeuntes, accelerantur semper & retardantur pro lege oscillantis Penduli.

Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivorum aequales distantias; ABC plagam motus pulsuum ab A versus B propagati; E, F, G puncta tria Physica Medii quiescentis, in recta AC ad aequales ab invicem distantias sita; Ee, Ff, Gg, spatia aequalia perbrevia per quae puncta illa motu reciproco singulis vibrationibus eunt & redeunt; ε, φ, γ loca quaevis intermedia eorundem punctorum; & EF, FG lineolas Physicas seu Medii partes lineares punctis illis interjectas, & successive translatas in loca εφ, φγ & ef,fg. Rectae Ee aequalis ducatur recta PS. Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo OP describatur circulus SIPi. Per

hujus circumferentiam totam cum partibus suis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus; sic ut completo tempore quovis PH vel PHSh, si demittatur ad PS perpendiculum HL vel hl, & capiatur Ee aequalis PL vel Pl, punctum Physicum E reperiatur in ε. Hac lege punctum quodvis E eundo ab E per ε ad e, & inde redeundo per ε ad E iisdem accelerationis ac retardationis gradibus, vibrationes singulas peraget cum oscillante Pendulo. Probandum est quod singula Medii puncta Physica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur Medium tali motu a causa quacunque cieri, & videamus quid inde sequatur.

In circumferentia PHSh capiantur aequales arcus HI, IK vel hi, ik, eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent aequales rectae EF, FG ad pulsuum intervallum totum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, F, G motibus similibus successive agitantur, si PH vel PHSk sit tempus ab initio motus puncti E, erit PI vel PHSi tempus ab initio motus puncti F, &

PK vel PHSh tempus ab initio motus puncti G; & propterea Eε, Fφ, Gγ erunt ipsis PL, PM, PN in itu punctorum, vel ipsis Pn, Pm, Pl in punctorum reditu, aequales respective. Unde εγ in itu punctorum aequalis erit EG−LN, in reditu autem aequalis EG+ln. Sed εγ latitudo est seu expansio partis Medii EG in loco εγ, & propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut EG−LN ad EG; in reditu autem ut EG+ln seu EG+LN ad EG. Quare cum sit LN ad KH ut IM ad radium OP, & EG ad BC ut HK ad circumferentiam PHShP, & vicissim EG ad HK ut BC ad circumferentiam PHShP; id est (si circumferentia dicatur Z) ut OP×BC / Z ad OP, & ex aequo LN ad EG ut IM ad OP×BC / Z: erit expansio partis EG in loco εγ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo EG, ut OP×BC / Z−IM ad OP×BC / Z in itu, utque OP×BC / Z+im ad OP×BC / Z in reditu. Unde si OP×BC / Z dicatur V, erit expansio partis EG, punctive Physici F, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut V−IM ad V, in reditu ut V+im ad V; & ejusdem vis elastica ad vim suam elasticam medioin itu, ut 1/V−IM ad 1/V; in reditu ut 1/V+im ad 1./V Et eodem argumento vires Elasticae punctorum Physicorum E & G in itu, sunt ut 1/V−HL & 1/V−KN ad 1/V; & virium differentia ad Medii vim elasticam mediocrem, ut HL−KN / VV−V×HL−V×KN+HL×KN ad 1/V. Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus HK & KN indefinite minores esse quantitate V) ut HL−KN / VV ad 1/V, sive ut HL−KN ad V. Quare cum quantitas V detur, differentia virium est ut HL−KN, hoc est (ob proportionales HL−KN ad HK & OM ad OI vel OP, datasque
HK & OP) ut OM; id est, si Ff bisecetur in Ω, ut Ωφ. Et eodem argumento differentia virium Elasticarum punctorum Physicorum ε & γ, in reditu lineolae Physicae εγ est ut Ωφ. Sed differentia illa (id est excessus vis Elasticae puncti ε supra vim elasticam puncti γ,) est vis qua interjecta Medii lineola Physica εγ acceleratur; & propterea vis acceleratrix lineolae Physicae εγ est ut ipsius distantia a Medio vibrationis loco Ω. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) recte exponitur per arcum PI; & Medii pars linearis εγ lege praescripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ratio partium omnium linearium ex quibus Medium totum componitur. Q.E.D.

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progressu. Nam lineola Physica εγ, quamprimum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt.

Prop. XLIX. Prob. XII. Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris nostri comprimi, sitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adaequet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis sit A; & quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio A descripti aequale.

Nam stantibus quae in Propositione superiore constructa sunt, si linea quaevis Physica, EF singulis vibrationibus describendo spatium PS, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & S, a vi Elastica quae ipsius ponderi aequetur; peraget haec vibrationes singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini PS aequalis est, oscillari posset: id adeo quia vires aequales aequalia corpuscula per aequalia spatia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione longitudinis pendulorum, & longitudo penduli aequetur dimidio arcui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione longitudinis ½ PS seu PO ad longitudinem A. Sed vis Elastica qua lineola Physica EG, in locis suis extremis P, S existens, urgetur, erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus vim totam Elasticam ut HL−KN ad V, hoc est (cum punctum K jam incidat in P) ut HK ad V: & vis illa tota, hoc est pondus incumbens, qua lineola EG comprimitur, est ad pondus lineolae ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem EG; adeoque ex aequo, vis qua lineola EG in locis suis P & S urgetur, est ad lineolae illius pondus ut HK×A ad V×EG. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tempus vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibrationis urgente vi ponderis, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A, atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A & PO ad A conjunctim; id est (cùm fuerit, in superiore Propositione, V aequalis PO×BC / Z, & HK aequalis EG×Z / BC) in dimidiata ratione POqu.×BC×EG / Z ad EG×Z×Aqu./BC seu POqu.×BCqu. ad Zqu.×Aqu. hoc est in ratione PO×BC ad Z×A, seu BC ad Z×A / PO. Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu compositae, pulsus progrediendo conficit latitudinem suam BC. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium BC, est ad tempus oscillationis unius ex itu & reditu compositae, ut BC ad Z×A / PO, id est ut BC ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium BC, est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem. Q.E.D.

Prop. L. Prob. XIII. Invenire pulsuum distantias.

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spatium quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inventa erit pulsus unius latitudo. Q.E.I.

Schol.

Spectant Propositiones novissimae ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per Prop. XLI. & XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quàm aeris pulsus propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modò vehementes sint & graves, quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatnr etiam ex velocitate sonorum. Nam cùm pondera specifica Aquae pluvialis & Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad 13⅔ circiter, & ubi Mercurius in Barometro altitudinem attingit digitorum Anglicorum 30, pondus specificum Aeris & aquae pluvialis sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu pedum Anglicorum 29042. Estque haec altitudo illa ipsa quam in constructione superioris Problematis nominavimus A. Circuli radio 29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et cum Pendulum digitos 39⅕ longum, oscillationem ex itu & reditu compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500, longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundorum 188 4/7 absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi pedes 968. Scribit Mersennus, in Balisticae suae Prop. XXXV. se factis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas Gallicas 1150 (id est pedes Gallicos 6900) percurrat. Unde cum pes Gallicus sit ad Anglicum ut 1068 ad 1000, debebit sonus tempore minuti unius secundi pedes Anglicos 1474 conficere. Scribit etiam idem Mersennus Robervallum Geometram clarissimum in Obsidione Theodonis observasse tormentorum fragorem exauditum esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cùm tamen vix dimidiam Leucam ab illis Tormentis abfuerit. Continer Leuca Gallica hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secundorum, ex Observatione Robervalli, confecit pedes Parisienses 7500, ac tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 560, Anglicos verò 600 circiter. Multum differunt hae Observationes ab invicem, & computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii nostri pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digitorum longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo & ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratè definire nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes nimis celeres esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde sonus eundo & redeundo confecit pedes 416 minore tempore quàm pendulum digitorum novem, & majore quàm pendulum digitorum quatuor oscillatur; id est minore tempore quàm 28¾ minutorum tertiorum, & majore quàm 19⅙; & propterea tempore minuti unius secundi conficit pedes Anglicos plures quàm 866 & pauciores quàm 1272, atque adeò velocior est quàm pro Observatione Robervalli, ac tardior quàm pro Observatione Mersenni. Quinetiam accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo penduli major esse deberet quàm digitorum quinque cum semisse, & minor quàm digitorum octo; adeoque quòd sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes Anglicos plures quàm 920 & pauciores quàm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geometricum superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum Phaenomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cùm motus iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni non in motu aetheris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris totius agitatione consistat.

Refragari videntur experimenta quaedam de sono in vasis aere vacuis propagato, sed vasa aere omni evacuari vix possunt; & ubi satis evacuantur soni notabiliter imminui solent; Ex. gr. Si aeris totius pars tantùm centesima in vase maneat, debebit sonus esse centuplo languidior, atque adeò non minus audiri quàm si quis sonum eundem in aere libero excitatum audiendo, subinde ad decuplam distantiam à corpore sonoro recederet. Conferenda sunt igitur corpora duo aequaliter sonora, quorum alterum in vase evacuato, alterum in aere libero consistat, & quorum distantiae ab auditore sint in dimidiata ratione densitatum aeris: & si sonus corporis prioris non superat sonum posterioris objectio cessabit.

Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pulsuum. Scribit Mersennus (Lib. I. Harmonicorum Prop. IV.) se (factis experimentis quibusdam quae ibidem describit) invenisse quod nervus tensus vicibus 104 recurrit spatio minuti unius secundi, quando facit Unisonum cum organica Fistula quadrupedali aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii C fa ut. Sunt igitur pulsus 104 in spatio pedum 968, quos sonus tempore minuti secundi describit: adeoque pulsus unus occupat spatium pedum 9¼ circiter; id est duplam circiter longitudinem fistulae. Unde verisimile est quòd latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistularum.

Porrò Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque diutiùs audiuntur ubi longissimè distamus à corporibus sonoris. quàm cum proximè absumus, patet ex Corollario Propositionis XLVIII. Libri hujus. Sed & cur soni in Tubis Stenterophonicis valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singulis recursibus à causa generante augeri solet. Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tardiùs amittitur & fortius recurrit, & propterea à motu novo singulis recursibus impresso magis augetur. Et haec sunt praecipua Phaenomena Sonorum.

SECT. IX. De motu Circulari Fluidorum.
Hypothesis.

REsistentiam, quae oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes Fluidi separantur ab invicem.

Prop. LI. Theor. XXXVIII. Si Cylindrus solidus infinitè longus in fluido uniformi & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agatur Fluidum in Orbem, perseveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu suo; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distantiae ab axe cylindri.

Sit AFL cylindrus uniformiter

circa axem S in orbem actus, & circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distinguatur fluidum in orbes cylindricos innumeros concentricos solidos ejusdem crassitudinis. Et quoniam homogeneum est Fluidum, impressiones contiguorum orbium in se mutuò factae, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in Orbem aliquem major est vel minor, ex parte concava quàm ex parte convexa, praevalebit impressio fortior, & motum Orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipsius motu, vel in contrariam dirigitur. Proinde ut Orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret, debent impressiones ex parte utraque sibi invicem aequari, & fieri in regiones contrarias. Unde cùm impressiones sunt ut contiguae superficies & harum translationes ab invicem, erunt translationes inversè ut superficies, hoc est inversè ut superficierum distantiae ab axe. Sunt autem differentiae motuum angularium circa axem ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translationes directè & distantiae inversè hoc est (conjunctis rationibus) ut quadrata distantiarum inversè. Quare si ad infinitae rectae SABCDEQ partes singulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum SA, SB, SC, SD, SE, &c. quadratis reciprocè proportionalia, & per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt summae distantiarum, hoc est motus toti angulares, ut respondentes summae linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id est, si ad constituendum Medium uniformiter fluidum orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areae Hyperbolicae his summis Analogae AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, &c. & tempora motibus angularibus reciprocè proportionalia erunt etiam his areis reciprocè proportionalia. Est igitur tempus periodicum particulae cujusvis D reciprocè ut area DdQ, hoc est (per notas Curvarum quadraturas) directè ut distantia SD. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciprocè ut ipsarum distantiae ab axe Cylindri, & velocitates absolutae sunt aequales.

Corol 2. Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinitae contineantur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fluidi pars unaquaeque in motu suo: erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum distantiae ab axe cylindrorum.

Corol. 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium ab invicem pendent ab attritu. Pars quaelibet in eo perseverabit motu, qui attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quàm retardatur.

Corol. 4. Unde si toti cylindrorum & fluidi Systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiescente.

Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus, revolvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius desinet augeri quàm fluidi partes singulae motum Corollario quarto definitum acquirant.

Corol. 6. Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi violenter detentus; & accelerabitur ejus motus quoad usque tempora periodica cylindri utriusque aequentur inter se. Quod si cylindrus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare, & nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecùs impressa motum illum conservet, efficiet ut idem paulatim cesset.

Quae omnia in aqua profunda stagnante experiri licet.

Prop. LII. Theor. XXXIX. Si Sphaera solida, in fluido uniformi & infinito, circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbem; perseveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu suo: dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata distantiarum à centro Sphaerae. Fig. Prop. LI.

Cas. 1. Sit AFL sphaera uniformiter circa axem S in orbem acta, & circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distinguatur fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis. Finge autem orbes illos esse solidos; & quoniam homogeneum est fluidum, impressiones contiguorum Orbium in se mutuò factae, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava quàm ex parte convexa, praevalebit impressio fortior, & velocitatem Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unusquisque in motu suo perseveret uniformiter, debebunt impressiones ex parte utraque sibi invicem aequari, & fieri in regiones contrarias. Unde cum impressiones sint ut contiguae superficies & harum translationes ab invicem; erunt translationes inversè ut superficies, hoc est inversè ut quadrata distantiarum superficierum à centro. Sunt autem differentiae motuum angularium circa axem ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translationes directè & distantiae inversè hoc est (conjunctis rationibus) ut cubi distantiarum inversè. Quare si ad rectae infinitae SABCDEQ partes singulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum SA, SB, SC, SD, SE, &c. cubis reciprocè proportionalia, erunt summae distantiarum, hoc est, motus toti angulares, ut respondentes summae linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id est (si ad constituendum Medium uniformiter fluidum, numerus Orbium augeatur & latitudo minuatur in infinitum) ut areae Hyperbolicae his summis analogae AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, &c. Et tempora periodica motibus angularibus reciprocè proportionalia erunt etiam his areis reciprocè proportionalia. Est igitur tempus periodicum orbis cujusvis DIO reciprocè ut area DdQ, hoc est, (per notas Curvarum quadraturas) directè ut quadratum distantiae SD. Id quod volui primò demonstrare.

Cas. 2. A centro Sphaerae ducantur infinitae rectae quam plurimae, quae cum axe datos contineant angulos, aequalibus differentiis se mutuò superantes; & his rectis circa axem revolutis concipe orbes in annulos innumeros secari; & annulus unusquisque habebit annulos quatuor sibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem & duos laterales. Attritu interioris & exterioris non potest annulus unusquisque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, aequaliter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus primi. Et propterea annulorum series quaelibet à globo in infinitum rectà pergens movebitur pro lege casus primi, nisi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto, attritus annulorum ad latera nullus est, neque adeò motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui à centro aequaliter distant, vel citiùs revolverentur vel tardiùs juxta polos quàm juxta aequatorem; tardiores accelerarentur, & velociores retardarentur ab attritu mutuo, & sic vergerent semper tempora periodica ad aequalitatem, pro lege casus primi. Non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat secundum legem casus primi, & propterea lex illa obtinebit: hoc est annulorum singulorum tempora periodica erunt ut quadrata distantiarum ipsorum à centro globi. Quod volui secundo demonstrare.

Cas. 3. Dividatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis in particulas innumeras constituentes substantiam absolutè & uniformiter fluidam; & quoniam hae sectiones non spectant ad legem motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt, perseverabit motus circularis ut priùs. His sectionibus annuli omnes quamminimi asperitatem & vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt aequaliter. Et manente causarum proportione manebit effectuum proportio, hoc est proportio motuum & periodicorum temporum. Q.E.D. Caeterum cum motus circularis, & abinde orta vis centrifuga, major sit ad Eclipticam quàm ad polos; debebit causa aliqua adesse qua particulae singulae in circulis suis retineantur, ne materia quae ad Eclipticam est recedat semper à centro & per exteriora Vorticis migret ad polos, indeque per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur.

Corol. 1. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi sunt reciprocè ut quadrata distantiarum à centro globi, & velocitates absolutae reciprocè ut eadem quadrata applicata ad distantias ab axe.

Corol. 2. Si globus in fluido quiescente similari & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communicabitur motus fluido in morem Vorticis, & motus iste paulatim propagabitur in infinitum; neque prius cessabit in singulis fluidi partibus accelerari, quàm tempora periodica singularum partium sint ut quadrata distantiarum à centro globi.

Corol. 3. Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem suam velocitatem atterunt & urgent exteriores, motumque ipsis ea actione perpetuò communicant, & exteriores illi eandem motus quantitatem in alios adhuc exteriores simul transferunt, eaque actione servant quantitatem motus sui planè invariatam; patet quod motus perpetuò transfertur à centro ad circumferentiam Vorticis, & per infinitatem circumferentiae absorbetur. Materia inter sphaericas duas quasvis superficies Vortici concentricas nunquam accelerabitur, eò quod motum omnem à materia interiore acceptum transfert semper in exteriorem.

Corol. 4. Proinde ad conservationem Vorticis constanter in eodem movendi statu, requiritur principium aliquod activum à quo globus eandem semper quantitatem motus accipiat quam imprimit in materiam vorticis. Absque tali principio necesse est ut globus & Vorticis partes interiores, propagantes semper motum suum in exteriores, neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paulatim & in orbem agi desinant.

Corol. 5. Si globus alter huic Vortici ad certam ab ipsius centro distantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi aliqua constanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in vorticem: & primò revolveretur hic vortex novus & exiguus una cum globo circa centrum alterius, & interea latiùs serperet ipsius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi. Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo circa intermedium aliquod punctum revolverentur, seque mutuò ob motum illum circularem fugerent, nisi per vim aliquam cohibiti. Postea si vires constanter impressae, quibus globi in motibus suis perseverant, cessarent, & omnia legibus Mechanicis permitterentur, languesceret paulatim motus globorum (ob rationem in Corol. 3. & 4. assignatam) & vortices tandem conquiescerent.

Corol. 6. Si globi plures datis in locis circum axes positione datos certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices totidem in infinitum pergentes. Nam globi singuli, eadem ratione qua unus aliquis motum suum propagat in infinitum, propagabunt etiam motus suos in infinitum, adeò ut fluidi infiniti pars unaquaeque eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, sed in se mutuò paulatim excurrent; globi que per actiones vorticum in se mutuò perpetuò movebuntur de locis suis; uti in Lemmate superiore expositum est; ne que certam quamvis inter se positionem servabunt, nisi per vim aliquam retenti. Cessantibus autem viribus illis quae in globos constanter impressae conservant hosce motus, materia ob rationem in Corollario tertio & quarto assignatam paulatim requiescet & in vortices agi desinet.

Corol. 7. Si Fluidum similare claudatur in vase sphaerico, ac globi in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, sint que eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum: partes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine acceleratione & retardatione, quàm sint eorum tempora periodica ut quadrata distantiarum à centro vorticis. Alia nulla Vorticis constitutio potest esse permanens.

Corol. 8. Si vas, Fluidum inclusum & globus servent hunc motum, & motu praeterea communi angulari circa axem quemvis datum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars quaelibet in eo perseverabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis tardetur quàm acceleretur attritu ex altero.

Corol. 9. Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi & motu contrario revolvi; & pone tempus revolutionis hujus esse ad summam hujus temporis & temporis revolutionis globi, ut quadratum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi: & tempora periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata distantiarum suarum à centro globi.

Corol. 10. Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diversum aliquem, data cum velocitate quacun que moveatur, dabitur motus fluidi. Nam si Systemati toti auferatur vasis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter se qui prius, per Corol. 8. Et motus isti per Corol. 9. dabuntur.

Corol. 11. Si vas & fluidum quiescant & globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas, & circumagetur vas nisi violenter detentum, ne que prius desinent fluidum & vas accelerari, quàm sint eorum tempora periodica aequalia temporibus periodicis globi. Quod si vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis constanti & uniformi, deveniet Medium paulatim ad statum motus in Corollariis 8.9 & 10 definiti, nec in alio unquam statu quocun que perseverabit. Deinde verò si, viribus illis cessantibus quibus vas & globus certis motibus revolvebantur, permittatur Systema totum Legibus Mechanicis; vas & globus in se invicem agent mediante fluido, ne que motus suos in se mutuò per fluidum propagare prius cessabunt, quàm eorum tempora periodica aequantur inter se, & Systema totum ad instar corporis unius solidi simul revolvatur.

Scholium.

In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem & fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes & aequales, ad aequales semper à distantias, ubivis in fluido constitutus, propagare possit. Conatur quidem materia per motum suum circularem recedere ab axe Vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior & separatio ab invicem difficilior; & per consequens diminuitur materiae fluiditas. Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes separentur ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione restitui suppono. Hoc nisi fiat, materia ubi minùs fluida est magis cohaerebit & segnior erit, adeo que motum tardiùs recipiet & longiùs propagabit quàm pro ratione superiùs assignata. Si figura vasis non sit Sphaerica, movebuntur particulae in lineis non circularibus sed conformibus eidem vasis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium distantiarum à centro quamproximè. In partibus inter centrum & circumferentiam, ubi latiora sunt spatia, tardiores erunt motus, ubi angustiora velociores; neque tamen particulae velociores petent circumferentiam. Arcus enim describent minus curvos, & conatus recedendi à centro non minus diminuetur per decrementum hujus curvaturae, quàm augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo à spatiis angustioribus in latiora recedent paulò longiùs à centro, sed isto recessu tardescent; & accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur, & sic per vices tardescent & accelerabuntur particulae singulae in perpetuum. Haec ita se habebunt in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio Vorticum innotescit per Propositionis hujus Corollarium sextum.

Proprietates autem Vorticum hac Propositione investigare conatus sum, ut pertentarem siqua ratione Phaenomena coelestia per Vortices explicari possint. Nam Phaenomenon est quod Planetarum circa Jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquialtera distantiarum à centro Jovis; & eadem Regula obtinet in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem hae Regulae in Planetis utrisque quam accuratissimè, quatenus observationes Astronomicae hactenus prodidêre. Ideo que si Planetae illi à Vorticibus circa Jovem & Solem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata distantiarum à centro motus: neque potest ratio illa diminui & ad rationem sesquialteram reduci, nisi vel materia vorticis eo fluidior sit quo longius distat à centro, vel resistentia, quae oritur ex defectu lubricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi separantur ab invicem, augeatur in majori ratione quàm ea est in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores & minus fluidae (nisi graves sint in centrum) circumferentiam petent; & verisimile est quod, etiamsi Demonstrationum gratia Hypothesin talem initio Sectionis hujus proposuerim ut Resistentia velocitati proportionalis esset, tamen Resistentia in minori sit ratione quàm ea velocitatis est. Quo concesso tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quàm duplicata ratione distantiarum ab ipsius centro. Quod si vortices (uti aliquorum est opinio) celeriùs moveantur prope centrum, dein tardiùs usque ad certum limitem, tum denuò celeriùs juxta circumferentiam; certè nec ratio sesquialtera neque alia quaevis certa ac determinata obtinere potest. Viderint ita que Philosophi quo pacto Phaenomenon illud rationis sesquialterae per Vortices explicari possit.

Prop. LIII. Theor. XL. Corpora quae in Vortice delata in orbem redeunt ejusdem sunt densitatis cum Vortice, & eadem lege cum ipsius partibus (quoad velocitatem & cursus determinationem) moventur.

Nam si vorticis pars aliqua exigua, cujus particulae seu puncta physica datum servant situm inter se, congelari supponatur: haec, quoniam ne que quoad densitatem suam, neque quoad vim insitam aut figuram suam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: & contra, si Vorticis pars congelata & solida ejusdem sit densitatis cum reliquo vortice, & resolvatur in fluidum; movebitur haec eadem lege ac prius, nisi quatenus ipsius particulae jam fluidae factae moveantur inter se. Negligatur igitur motus particularum inter se, tanquam ad totius motum progressivum nil spectans, & motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum Vorticis partium à centro aequaliter distantium, propterea quod solidum in Fluidum resolutum fit pars Vorticis caeteris partibus consimilis. Ergo solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia Vorticis, eodem motu cum ipsius partibus movebitur, in materia proximè ambiente relative quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere à centro Vorticis quàm priùs; adeo que Vorticis vim illam, qua priùs in Orbita sua tanquam in aequilibrio constitutum retinebatur, jam superans, recedet à centro & revolvendo describet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens. Et eodem argumento si rarius sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem nisi sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi à centro Vorticis aequaliter distantibus. Q.E.D.

Corol. 1. Ergo solidum quod in Vortice revolvitur & in eundem Orbem semper redit, relativè quiescit in fluido cui innatat.

Corol. 2. Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet à centro Vorticis distantiam revolvi potest.

Scholium.

Hinc liquet Planetas à Vorticibus corporeis non deferri. Nam Planetae secundum Hypothesin Copernicaeam circa Solem delati revolvuntur in Ellipsibus umbilicum habentibus in Sole & radiis ad Solem ductis areas describunt temporibus proportionales. At partes Vorticis tali motu revolvi nequeunt. Designent AD, BE, CF, orbes tres circa Solem S descriptos, quorum extimus CF circulus fit Soli concentricus, & interiorum duorum Aphelia sint A, B, & Perihelia D, E. Ergo corpus quod revolvitur in orbe CF, radio ad Solem ducto areas temporibus proportionales describendo, movebitur uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur in Orbe BE, tardiùs movebitur in Aphelio B & velociùs in Perihelio C, secundum leges Astronomicas; cum tamen secundum leges Mechanicas ma 〈…〉 ia Vorticis in spatio angustiore inter A & C velociùs moveri debeat quàm in spatio latiore inter D & F; id est in Aphelio velociùs quàm in Perihelio. Quae duo repugnant inter se. Sic

in principio Signi Virginis, ubi Aphelium Martis jam versatur, distantia inter orbes Martis & Veneris est ad distantiam eorundem orbium in principio Signi Piscium ut tria ad duo circiter, & propterea materia Vorticis inter Orbes illos in principio Piscium debet esse velocior quàm in principio Virginis in ratione trium ad duo. Nam quo angustius est spatium per quod eadem Materiae quantitas eodem revolutionis unius tempore transit, eo majori cum velocitate transire debet. Igitur si Terra in hac Materia coelesti relativè quiescens ab ea deferretur, & una circa Solem revolveretur, foret hujus velocitas in principio Piscium ad ejusdem velocitatem in principio Virginis in ratione sesquialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in principio Virginis major esset quàm minutorum primorum septuaginta, & in principio Piscium minor quàm minutorum quadraginta & octo: cum tamen (experientia teste) apparens iste Solis motus major sit in principio Piscium quàm in principio Virginis, & propterea Terra velocior in principio Virginis quàm in principio Piscium. Ita que Hypothesis Vorticum cum Phaenomenis Astronomicis omninò pugnat, & non tam ad explicandos quàm ad perturbandos motus coelestes conducit. Quomodo verò motus isti in spatiis liberis absque Vorticibus peraguntur intelligi potest ex Libro primo, & in Mundi Systemate pleniùs docebitur.

DE Mundi Systemate LIBER TERTIUS.

IN Libris praecedentibus principia Philosophiae tradidi, non tamen Philosophica sed Mathematica tantum, ex quibus videlicet in rebus Philosophicis disputari possit. Haec sunt motuum & virium leges & conditiones, quae ad Philosophiam maximè spectant. Eadem tamen, ne sterilia videantur, illustravi Scholiis quibusdam Philosophicis, ea tractans quae generalia sunt & in quibus Philosophia maximè fundari videtur, uti corporum densitatem & resistentiam, spatia corporibus vacua, motumque Lucis & Sonorum. Superest ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem Systematis Mundani. De hoc argumento composueram Librum tertium methodo populari, ut à pluribus legeretur. Sed quibus Principia posita satis intellecta non fuerint, ij vim consequentiarum minimè percipient, neque praejudicia deponent quibus à multis retro annis insueverunt: & propterea ne res in disputationes trahatur, summam libri illius transtuli in Propositiones, more Mathematico, ut ab iis solis legantur qui principia prius evolverint. Veruntamen quoniam Propositiones ibi quam plurimae occurrant, quae Lectoribus etiam Mathematicè doctis moram nimiam injicere possint, author esse nolo ut quisquam eas omnes evolvat; suffecerit siquis Definitiones, Leges motuum & sectiones tres priores Libri primi sedulò legat, dein transeat ad hunc Librum de Mundi Systemate, & reliquas Librorum priorum Propositiones hic citatas pro lubitu consulat.

HYPOTHESES.
Hypoth. I.

Causas rerum naturalium non plures admitti debere, quàm quae & vera sint & earum Phaenomenis explicandis sufficiunt.

Natura enim simplex est & rerum causis superfluis non luxuriat.

Hypoth II.

Ideoque effectuum naturalium ejusdem generis eaedem sunt causae.

Uti respirationis in Homine & in Bestia; descensûs lapidum in Europa & in America; Lucis in Igne culinari & in Sole; reflexionis lucis in Terra & in Planetis.

Hypoth. III.

Corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus transformari posse, & qualitatum gradus omnes intermedios successivè induere.

Hypoth. IV.

Centrum Systematis Mundani quiescere.

Hoc ab omnibus concessum est, dum aliqui Terram alii Solem in centro quiescere contendant.

Hypoth. V.

Planetas circumjoviales, radiis ad centrum Iovis ductis, areas describere temporibus proportionales, eorumque tempora periodica esse in ratione ses quialtera distantiarum ab ipsius centro.

Constat ex observationibus Astronomicis. Orbes horum Planetarum non differunt sensibiliter à circulis Jovi concentricis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora verò periodica esse in ratione sesquialtera semidiametrorum orbium consentiunt Astronomici: & Flamstedius, qui omnia Micrometro & per Eclipses Satellitum accuratius definivit, literis ad me datis, quinetiam numeris suis mecum communicatis, significavit rationem illam sesquialteram tam accurateè obtinere, quàm sit possibile sensu deprehendere. Id quod ex Tabula sequente manifestum est.

Satellitum tempora periodica. 1d. 18h. 28'⅗. 3d. 13h. 17'9/10. 7d. 3h. 59'⅗. 16d. 18h. 5'⅕.

Distantiae Satellitum à centro Iovis. Ex Observationibus 1. 2 3 4 Cassini 5. 8. 13. 23. Semidiam. Jovis. Borelli 5 ⅔. 8 ⅔. 14. 24 ⅔. Semidiam. Jovis. Tounlei per Micromet- 5, 51. 8, 78. 13, 47. 24, 72. Semidiam. Jovis. Flamstedii per Microm. 5, 31. 8, 85. 13, 98. 24, 23. Semidiam. Jovis. Flamst. per Eclips. Satel. 5, 578. 8, 876. 14, 159. 24, 903. Semidiam. Jovis. Ex temporibus periodicis. 5, 578. 8, 878. 14, 168. 24, 968.

Hypoth. VI.

Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Martem, Iovem & Saturnum Orbibus suis Solem cingere.

Mercurium & Venerem circa Solem revolvi ex eorum phasibus lunaribus demonstratur. Plenâ facie lucentes ultra Solem siti sunt, dimidiatâ è regione Solis, falcatâ cis Solem; per discum ejus ad modum macularum nonnunquam transeuntes. Ex Martis quoque plena facie prope Solis conjunctionem, & gibbosa in quadraturis, certum est quod is Solem ambit. De Jove etiam & Saturno idem ex eorum phasibus semper plenis demonstratur.

Hypoth. VII.

Planetarum quinque primariorum, & (vel Solis circa Terram vel) Terrae circa Solem tempora periodica esse in ratione sesquialtera mediocrium distantiarum à Sole.

Haec à Keplero inventa ratio in confesso est apud omnes. Eadem utique sunt tempora periodica, eaedem que orbium dimensiones, sive Planetae circa Terram, sive iidem circa Solem revolvantur. Ac de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter Astronomos universos. Magnitudines autem Orbium Keplerus & Bullialdus omnium diligentissimè ex Observationibus determinaverunt: & distantiae mediocres, quae temporibus periodicis respondent, non differunt sensibiliter à distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum intermediae; uti in Tabula sequente videre licet.

Planetarum ac Telluris Distantiae mediocres à Sole.   Secundum Keplerum 951000. 519650. 152350. 100000. 72400. 38806. Secundum Bullialdum 954198. 522520. 152350. 100000. 72398. 38585. Secundum tempora periodica 953806. 520116. 152399. 100000. 72333. 38710.

De distantiis Mercurii & Veneris à Sole disputandi non est locus, cum hae per eorum Elongationes à Sole determinentur. De distantiis etiam superiorum Planetarum à Sole tollitur omnis disputatio per Eclipses Satellitum Jovis. Etenim per Eclipses illas determinatur positio umbrae quam Jupiter projicit, & eo nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter se collatis determinatur distantia Jovis.

Hypoth. VIII.

Planetas primarios radiis ad Terram ductis areas describere temporibus minimè proportionales; at radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales percurrere.

Nam respectu terrae nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, nunc etiam regrediuntur: At Solis respectu semper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis, sic ut arearum aequabilis sit descriptio. Propositio est Astronomis notissima, & in Jove apprimè demonstratur per Eclipses Satellitum, quibus Eclipsibus Heliocentricas Planetae hujus longitudines & distantias à Sole determinari diximus.

Hypoth. IX.

Lunam radio ad centrum terrae ducto aream tempori proportionalem describere.

Patet ex Lunae motu apparente cum ipsius diametro apparente collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum à vi Solis, sed errorum insensibiles minutias Physicis in hisce Hypothesibus negligo.

Prop. I. Theor. I. Vires, quibus Planetae circumjoviales perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis & in orbibus suis retinentur, respicere centrum Iovis, & esse reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro.

Patet pars prior Propositionis per Hypoth. V. & Prop. II. vol III. Lib. I. & pars posterior per Hypoth. V. & Corol. 6. Prop. IV. ejusdem Libri.

Prop. II. Theor. II. Vires, quibus Planetae primarii perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis, & in Orbibus suis retinentur, respicere Solem, & esse reciproce ut quadrata distantiarum ab ipsius centro.

Patet pars prior Propositionis per Hypoth. VIII. & Prop. II. Lib. I. & pars posterior per Hypoth. VII. & Prop. IV. ejusdem Libri. Accuratissimè autem demonstratur haec pars Propositionis per quietem Apheliorum. Nam aberratio quam minima à ratione duplicata (per Coral. I. Prop. XLV. Lib. I.) motum Apsidum in singulis revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere deberet.

Prop. III. Theor. III. Vim qua Luna retinetur in Orbe suo respicere terram, & esse reciprocò ut quadratum distantiae locorum ab ipsius centro.

Patet assertionis pars prior, per Hypoth. IX. & Prop. II. vol III. Lib. I. & pars posterior per motum tardissimum Lunaris Apogaei. Nam motus ille, qui singulis revolutionibus est graduum tantum trium in consequentia, contemni potest. Patet enim, per Corol 1. Prop. XLV. Lib. I. quod si distantia Lunae à centro Terrae dicatur D, vis à qua motus talis oriatur, sit reciproce ut D 2 4/243, id est reciprocè ut ea ipsius D dignitas, cujus index est 2 4/243, hoc est in ratione distantiae paulo majore quam duplicata inverse, sed quae vicibus 60¾ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Tantillus autem accessus meritò contemnendus est. Oritur verò ab actione Solis (uti posthac dicetur) & propterea hic negligendus est. Restat igitur ut vis illa, quae ad Terram spectat, sit reciprocè ut D2; id quod etiam plenius constabit, conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in Propositione sequente.

Prop. IV. Theor. IV. Lunam gravitare in terram, & vi gravitatis retrahi semper à motu rectilineo, & in orbe suo retineri.

Lunae distantia mediocris à centro Terrae est semidiametrorum terrestrium, secundum plerosque Astronomorum 59, secundum Vendelinum 60, secundum Copernicum 60⅓, secundum Kircherum 62½, & secundum Tychonem 56½. Ast Tycho, & quotquot ejus Tabulas refractionum sequuntur, constituendo refractiones Solis & Lunae (omnino contra naturam Lucis) majores quam fixarum, idque scrupulis quasi quatuor vel quinque, auxerunt Parallaxin Lunae scrupulis totidem, hoc est quasi duodecima vel decima quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur iste error, & distantia evadet quasi 61 semidiametrorum terrestrium, fere ut ab aliis assignatum est. Assumamus distantiam mediocrem sexaginta semidiametrorum; & Lunarem periodum respectu fixarum compleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab Astronomis statuitur; atque ambitum Terrae esse pedum Parisiensium 123249600, uti à Gallis mensurantibus nuper definitum est: & si Luna motu omni privari fingatur, ac dimitti ut, urgente vi illa omni qua in Orbe suo retinetur, descendat in terram; haec spatio minuti primi cadendo describet pedes Parisienses 15 1/12. Colligitur hoc ex calculo, vel per Propositionem xxxvi Libri primi, vel (quod eodem recedit) per Scholium Propositionis quartae ejusdem Libri, confecto. Unde cum vis illa accedendo ad terram augeatur in duplicata distantiae ratione inversâ, adeoque ad superficiem Terrae major sit vicibus 60×60 quam ad Lunam, corpus vi illa in regionibus nostris cadendo describere deberet spatio minuti unius primi pedes Parisienses 60×60×15 1/12, & spatio minuti unius secundi pedes 15 1/12. Atqui corpora in regionibus nostris vi gravitatis cadendo describunt tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 15 1/12, uti Hugenius, factis pendulorum experimentis & computo inde inito, demonstravit: & propterea vis qua Luna in orbe suo retinetur, illa ipsa est quam nos gravitatem dicere solemus. Nam si gravitas ab ea diversa est, corpora viribus utrisque conjunctis Terram petendo duplo velocius descendent, & spatio minuti unius secundi cadendo describent pedes Parisienses 30⅙: omnino contra experientiam.

Calculus hic fundatur in Hypothesi quod Terra quiescit. Nam si Terra & Luna circa Solem moveantur, & interea quoque circa commune gravitatis centrum revolvantur: distantia centrorum Lunae ac Terrae ab invicem erit 60½ semidiametrorum terrestrium; uti computationem (per Prop. LX. Lib. I.) ineunti patebit.

Prop. V. Theor. V. Planetas circumjoviales gravitare in Iovem, & circumsolares in Solem, & vi gravitatis suae retrahi semper à motibus rectilineis, & in orbibus curvilineis retineri.

Nam revolutiones Planetarum circumjovialium circa Jovem, & Mercurii ac Veneris reliquorumque circumsolarium circa Solem sunt Phaenomena ejusdem generis cum revolutione Lunae circa Terram; & propterea per Hypoth. II. à causis ejusdem generis dependent: praesertim cùm demonstratum sit quod vires, à quibus revolutiones illae dependent, respiciant centra Jovis ac Solis, & recedendo 〈2 pages missing〉 centri Orbis Satellitis à Sole minor foret quàm distantia centri Jovis à Sole in ratione illa dimidiata. Igitur si in aequalibus à Sole distantiis, gravitas acceleratrix Satellitis cujusvis in Solem major esset vel minor quàm gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum millesima gravitatis totius; foret distantia centri Orbis Satellitis à Sole major vel minor quàm distantia Jovis à Sole parte 1/2600 distantiae totius, id est parte quinta distantiae Satellitis extimi à centro Jovis: Quae quidem Orbis excentricitas foret valde sensibilis. Sed Orbes Satellitum sunt Jovi concentrici, & propterea gravitates acceleratrices Jovis & Satellitum in Solem aequantur inter se. Et eodem argumento pondera Saturni & Comitis ejus in Solem, in aequalibus à Sole distantiis, sunt ut quantitates materiae in ipsis: Et pondera Lunae ac Terrae in Solem vel nulla sunt, vel earum massis accuratè proportionalia.

Quinetiam pondera partium singularum Planetae cujusque in alium quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam si partes aliquae plus gravitarent, aliae minus, quàm pro quantitate materiae, Planeta totus, pro genere partium quibus maximè abundet, gravitaret magis vel minus quàm pro quantitate materiae totius. Sed nec refert utrum partes illae externae sint vel internae. Nam si verbi gratia corpora Terrestria, quae apud nos sunt, in Orbem Lunae elevari fingantur, & conferantur cum corpore Lunae: Si horum pondera essent ad pondera partium externarum Lunae ut quantitates materiae in iisdem, ad pondera verò partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunae totius in majori vel minori ratione: contra quam supra ostensum est.

Corol. 1. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis & texturis. Nam si cum formis variari possent, forent majora vel minora pro varietate formarum in aequali materia: omninò contra experientiam.

Corol. 2. Igitur corpora universa quae circa Terram sunt, gravia sunt in Terram; & pondera omnium, quae aequaliter à centro Terrae distant, sunt ut quantitates materiae in iisdem. Nam si aether aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino destitueretur vel pro quantitate materiae suae minus gravitaret, quoniam id non differt ab aliis corporibus nisi in forma materiae, posset idem per mutationem formae gradatim transmutari in corpus ejusdem conditionis cum iis quae pro quantitate materiae quam maximè gravitant, (per Hypoth. III.) & vicissim corpora maxime gravia, formam illius gradatim induendo, possent gravitatem suam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent à formis corporum, possentque cum formis variari, contra quam probatum est in Corollario superiore.

Corol. 3. Itaque Vacuum necessariò datur. Nam si spatia omnia plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob summam densitatem materiae, nil cederet gravitati specificae argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque densissimi; & propterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descendere posset. Nam corpora in fluidis, nisi specificè graviora sint, minimè descendunt.

Corol. 4. Gravitatem diversi generis esse à vi magnetica. Nam attractio magnetica non est ut materia attracta. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Estque vis magnetica longe major pro quantitate materiae quam vis gravitatis: sed & in eodem corpore intendi potest & remitti; in recessu verò à magnete decrescit in ratione distantiae plusquam duplicata; propterea quod vis longe fortior sit in contactu, quam cum attrahentia vel minimum separantur ab invicem.

Prop. VII. Theor. VII. Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse quantitati materiae in singulis.

Planetas omnes in se mutuò graves esse jam ante probavimus, ut & gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciprocè ut quadratum distantiae locorum à centro Planetae: Et inde consequens est, (per Prop. LXIX. Lib. I. & ejus Corollaria) gravitatem in omnes proportionalem esse materiae in iisdem.

Porrò cum Planetae cujusvis A partes omnes graves sint in Planetam quemvis B, & gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius, ut materia partis ad materiam totius, & actioni omni reactio (per motus Legem tertiam) aequalis sit; Planeta B in partes omnes Planetae A vicissim gravitabit, & erit gravitas sua in partem unamquamque ad gravitatem suam in totum, ut materia partis ad materiam totius. Q.E.D.

Corol. 1. Oritur igitur & componitur gravitas in Planetam totum ex gravitate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis & Electricis. Oritur enim attractio omnis in totum ex attractionibus in partes singulas. Res intelligetur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Globum coire & Planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora omnia, quae apud nos sunt, hac lege gravitare deberent in se mutuò, cùm tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur: Respondeo quod gravitas in haec corpora, cum sit ad gravitatem in Terram totam ut sunt haec corpora ad Terram totam, longe minor est quam quae sentiri possit.

Corol. 2. Gravitatio in singulas corporis particulas aequales est reciprocè ut quadratum distantiae locorum à particulis. Patet per Corol. 3. Prop. LXXIV. Lib. I.

Prop. VIII. Theor. VIII. Si Globorum duorum in se mutuò gravitantium materia undique, in regionibus quae à centris aequaliter distant, homogenea sit: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciprocè ut quadratum distantiae inter centra.

Postquam invenissem gravitatem in Planetam totum oriri & componi ex gravitatibus in partes; & esse in partes singulas reciprocè proportionalem quadratis distantiarum à partibus: dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accuratè in vi tota ex viribus pluribus composita, an verò quam proximè. Nam fieri posset ut proportio illa in majoribus distantiis satis obtineret, at prope superficiem Planetae, ob inaequales particularum distantias & situs dissimiles, notabiliter erraret. Tandem verò, per Prop. LXXV. Libri primi & ipsius Corollaria, intellexi veritatem Propositionis de qua hic agitur.

Corol. 1. Hinc inveniri & inter se comparari possunt pondera corporum in diversos Planetas. Nam pondera corporum aequalium circum Planetas in circulis revolventium sunt (per Prop. IV. Lib. I.) ut diametri circulorum directè & quadrata temporum periodicorum inversè; & pondera ad superficies Planetarum aliasve quasvis à centro distantias majora sunt vel minora (per hanc Propositionem) in duplicata ratione distantiarum inversa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum 224⅔, Satellitis extimi circumjovialis circa Jovem dierum 16¾, Satellitis Hugeniani circa Saturnum dierum 15 & horarum 22⅔, & Lunae circa Terram 27 dier. 7 hor. 43 min. collatis cum distantia mediocri Veneris à Sole; cum Elongatione maxima Heliocentrica Satellitis extimi circumjovialis, quae (in mediocri Jovis à Sole distantia juxta observationes Flamstedii) est 8'.13"; cum elongatione maximae Heliocentrica Satellitis Saturnii 3'.20"; & cum distantia Lunae à Terra, ex Hypothesi quod Solis parallaxis horizontalis seu semidiameter Terrae è Sole visae sit quasi 20"; calculum ineundo inveni quod corporum aequalium & à Sole, Jove, Saturno ac Terra aequaliter distantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram forent ad invicem ut 1, 1/1100, 2/2360 & 1/28700 respectiveè. Est autem Solis semidiameter mediocris apparens quasi 16'.6". Illam Jovis è Sole visam Flamstedius, ex umbrae Jovialis diametro per Eclipses Satellitum inventa, determinavit esse ad elongationem Satellitis extimi ut 1 ad 24, 9 adeoque cum. elongatio illa sit 8'. 13" semidiameter Jovis è Sole visi erit 19"¾. Diameter Saturni est ad diametrum Annuli ejus ut 4 ad 9, & diameter annuli è Sole visi (mensurante Flamstedio) 50", adeoque semidiameter Saturni è Sole visi 11". Malim dicere 10" vel 9", propterea quod globus Saturni per lucis inaequalem refrangibilitatem nonnihil dilatatur. Hinc inito calculo prodeunt verae Solis, Jovis, Saturni ac Terrae semidiametri ad invicem ut 10000, 1063, 889 & 208. Unde cum pondera aequalium corporum à centris Solis, Jovis, Saturni ac Telluris aequaliter distantium sint in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram ut 1, 1/1100, 1/2360, 1/28700 respective, & auctis vel diminutis distantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione; erunt pondera eorundem aequalium corporum in Solem, Jovem, Saturnum & Terram, in distantiis 10000, 1063, 889, & 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum superficiebus versantium, ut 10000, 804½, 536 & 805½ respectivè. Pondera corporum in superficie Lunae ferè duplo minora esse quam pondera corporum in superficie Terrae dicemus in sequentibus.

Corol. 2. Igitur pondera corporum aequalium, in superficiebus Terrae & Planetarum, sunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium è Sole visarum. De Terrae quidem diametro è Sole visa nondum constat. Hanc assumpsi 40", propterea quod observationes Kepleri, Riccioli & Vendelini non multo majorem esse permittunt; eam Horroxii & Flamstedii observationes paulo minorem adstruere videntur. Et malui in excessu peccare. Quòd si fortè diameter illa & gravitas in superficie Terrae mediocris sit inter diametros Planetarum & gravitatem in eorum superficiebus: quoniam Saturni, Jovis, Martis, Veneris & Mercurii è Sole visorum diametri sunt 18", 39"½, 8",28", 20" circiter, erit diameter Terrae quasi 24", adeoque Parallaxis Solis quasi 12", ut Horroxius & Flamstedius propemodum statuere. Sed diameter paulo major melius congruit cum Regula hujus Corollarii.

Corol. 3. Innotescit etiam quantitas materiae in Planetis singulis. Nam quantitates illae sunt ut Planetarum Vires in distantiis à se aequalibus; id est in Sole, Jove, Saturno ac Terra ut 1, 1/1100, 1/2360, 1/28700 respectivè. Si Parallaxis Solis statuatur minor quàm 20", debebit quantitas materiae in Terra diminui in triplicata ratione.

Corol. 4. Innotescunt etiam densitates Planetarum. Nam corporum aequalium & homogeneorum pondera in Sphaeras homogeneas in superficiebus Sphaerarum, sunt ut Sphaerarum diametri per Prop. LXXII. Lib. I. ideoque Sphaerarum heterogenearum densitates sunt ut pondera applicata ad diametros. Erant autem verae Solis, Saturni, Jovis ac Terrae diametri ad invicem ut 10000, 889, 1063 & 208, & pondera in eosdem ut 10000, 536, 804½ & 805½, & propterea densitates sunt ut 100, 60, 76, 387. Densitas autem Terrae, quae hic colligitur, non pendet à Parallaxi Solis, sed determinatur per parallaxin Lunae, & propterea hic recte definitur. Est igitur Sol paulo densior quàm Jupiter, & Terra multo densior quàm Sol.

Corol. 5. Planetarum autem densitates inter se fere sunt in ratione composita ex ratione distantiarum à Sole & ratione dimidiata diametrorum apparentium è Sole visarum. Nempe Saturni, Jovis, Terrae & Lunae densitates 60, 76, 387 & 700, fere sunt ut distantiarum reciproca 1/9538, 1/5201, 1/1000 & 1/1000, ducta in radices diametrorum apparentium 18", 39"½, 40", & 11". Diximus utique, in Corollario secundo, gravitatem ad superficies Planetarum esse quam proximè in ratione dimidiata apparentium diametrorum è Sole visarum; & in Lemmate quarto densitates esse ut gravitates illae applicatae ad diametros veras: ideoque densitates fere sunt ut radices diametrorum apparentium applicatae ad diametros veras, hoc est reciproce ut distantiae Planetarum à Sole ductae in radices diametrorum apparentium. Collocavit igitur Deus Planetas in diversis distantiis à Sole, ut quilibet pro gradu densitatis calore Solis majore vel minore fruatur. Aqua nostra, si Terra locaretur in orbe Saturni, rigesceret, si in orbe Mercurii in vapores statim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis est, septuplo densior est in orbe Mercurii quàm apud nos: & Thermometro expertus sum quod septuplo Solis aestivi calore aqua ebullit. Dubium verò non est quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, & propterea densior sit hac nostra; cum materia omnis densior ad operationes Naturales obeundas majorem calorem requirat.

Prop. IX. Theor. IX. Gravitatem pergendo à superficiebus Planetarum deorsum decrescere in ratione distantiarum à centro quam proximè.

Si materia Planetae quoad densitatem uniformis esset, obtineret haec Propositio accuratè: per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus est, quantus ab inaequabili densitate oriri possit.

Prop. X. Theor. X. Motus Planetarum in Coelis diutissimè conservari posse.

In Scholio Propositionis XL. Lib. II. ostensum est quod globus Aquae congelatae in Aere nostro, liberè movendo & longitudinem semidiametri suae describendo, ex resistentia Aeris amitteret motus sui partem 1/32000. Obtinet autem eadem proportio quam proximè (per Prop. XL. Lib. II.) in globis utcunque magnis & velocibus. Jam verò Globum Terrae nostrae densiorem esse quam si totus ex Aqua constaret, sic colligo. Si Globus hicce totus esset aqueus, quaecunque rariora essent quàm aqua, ob minorem specificam gravitatem emergerent & supernatarent. Eaque de causa Globus terreus aquis undique coopertus, si rarior esset quam aqua, emergeret alicubi, & aqua omnis inde defluens congregaretur in regione opposita. Et par est ratio Terrae nostrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec si densior non esset, emergeret ex maribus, & parte sui pro gradu levitatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in regionem oppositam confluentibus. Eodem argumento maculae Solares leviores sunt quàm materia lucida Solaris cui supernatant. Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore massa tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum Terra communis suprema quasi duplo gravior sit quam aqua, & paulo inferius in fodinis quasi triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur: verisimile est quod copia materiae totius in Terra quasi quintuplo vel sextuplo major sit quàm si tota ex aqua constaret; praesertim cum Terram quasi quintuplo densiorem esse quàm Jovem jam ante ostensum sit. Igitur si Jupiter paulo densior sit quàm aqua, hic spatio dierum viginti & unius, quibus longitudinem 320 semidiametrorum suarum describit, amitteret in Medio ejusdem densitatis cum Aere nostro motus sui partem fere decimam. Verum cum resistentia Mediorum minuatur in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, quae vicibus 13⅔ levior est quàm argentum vivum, minus resistat in eadem ratione; & aer, qui vicibus 800 levior est quàm aqua, minus resistat in eadem ratione: si ascendatur in coelos ubi pondus Medii, in quo Planetae moventur, diminuitur in immensum, resistentia prope cessabit.

Prop. XI. Theor. XI. Commune centrum gravitatis Terrae Solis & Planetarum omnium quiescere.

Nam centrum illud (per Legum Corol. 4.) vel quiescet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hypothesin quartam.

〈2 pages missing〉 Huic autem differentiae proportionalis est maxima Saturni efficacia ad perturbandum motum Jovis, & propterea perturbatio orbis Jovialis longe minor est quàm ea Saturnii. Reliquorum orbium perturbationes sunt adhuc longe minores.

Prop. XIV. Theor. XIV. Orbium Aphelia & Nodi quiescunt.

Aphelia quiescunt, per Prop. XI. Lib. I. ut & orbium plana, per ejusdem Libri Prop. I. & quiescentibus planis quiescunt Nodi. Attamen à Planetarum revolventium & Cometarum actionibus in se invicem orientur inaequalitates aliquae, sed quae ob parvitatem contemni possunt.

Corol. 1. Quiescunt etiam Stellae fixae, propterea quod datas ad Aphelia Nodosque positiones servant.

Corol. 2. Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex Terrae motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione Systematis nostri.

Prop. XV. Theor. XV. Invenire Orbium transversas diametros.

Capiendae sunt hae in ratione sesquialtera temporum periodicotum, per Prop. XV. Lib. I. deinde sigillatim augendae in ratione summae massarum Solis & Planetae cujusque revolventis ad primam duarum mediè proportionalium inter summam illam & Solem, per. Prop. LX. Lib. 1.

Prop. XVI. Prob. I. Invenire Orbium Excentricitates & Aphelia.

Problema confit per Prop. XVIII. Lib. I.

Prop. XVII. Theor. XVI. Planetarum motus diurnos uniformes esse, & librationem Lunae ex ipsius motu diurno oriri.

Patet per motus Legem I, & Corol. 22. Prop. LXVI. Lib. I. Quoniam verò Lunae, circa axem suum uniformiter revolventis, dies menstruus est; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis ipsius semper respiciet, & propterea pro situ umbilici illius deviabit hinc inde à Terra. Haec est libratio in longitudinem. Nam libratio in latitudinem orta est ex inclinatione axis Lunaris ad planum orbis. Porrò haec ita se habere, ex Phaenomenis manifestum est.

Prop. XVIII. Theor. XVII. Axes Planetarum diametris quae ad eosdem axes normaliter ducuntur minores esse.

Planetae sublato omni motu circulari diurno figuram Sphaericam, ob aequalem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta aequatorem ascendere conentur. Ideoque materia si fluida sit ascensu suo ad aequatorem diametros adaugebit, axem verò descensu suo ad polos diminuet. Sic Jovis diameter (consentientibus observationibus Cassini & Flamstedii) b evior deprehenditur inter polos quàm ab oriente in occidente 〈…〉 Eodem argumento, nisi Terra nostra. paulò altior esset sub aequatore quàm ad polos, Maria ad polos subsiderent, & juxta aequatorem ascendendo, ibi omnia inundarent.

Prop. XIX. Prob. II. Invenire proportionem axis Planetae ad diametros eidem perpendiculares.

Ad hujus Problematis solutionem requiritur computatio multiplex, quae facilius exemplis quàm praeceptis addiscitur. Inito igitur calculo invenio, per Prop. IV. Lib. I. quod vis centrifuga partium Terrae sub aequatore, ex motu diurno oriunda, sit ad vim gravitatis ut 1 ad 290⅘. Unde si APBQ figuram Terrae designet revolutione Ellipfeos circa axem minorem PQ genitam; sitque ACQqca canalis aquae plena, à polo Qq ad centrum Cc, & inde ad aequatorem Aa pergens: debebit pondus aquae in canalis crure ACca esse ad pondus aquae in crure altero QCcq ut 291 ad 290, eò quòd

vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam è ponderis partibus 291 sustinebit & detrahet, & pondus 290 in altero crure sustinebit partes reliquas. Porrò (ex Propositionis XCI. Corollario secundo, Lib. I.) computationem ineundo, invenio quod si Terra constaret ex uniformi materia, motuque omni privaretur, & esset ejus axis PQ ad diametrum AB ut 100 ad 101: gravitas in loco Q in Terram, foret ad gravitatem in eodem loco Q in sphaeram centro C radio PC vel QC descriptam, ut 126 2/15 ad 125 2/ 5. Et eodem argumento gravitas in loco A in Sphaeroidem, convolutione Ellipseos APBQ circa axem AB descriptam, est ad gravitatem in eodem loco A in Sphaeram centro C radio AC descriptam, ut 125 2/15 ad 126 2/15. Est autem gravitas in loco A in Terram, media proportionalis inter gravitates in dictam Sphaeroidem & Sphaeram, propterea quod Sphaera, diminuendo diametrum PQ in ratione 101 ad 100, vertitur in figuram Terrae; & haec figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam, quae diametris duabus AP, PQ perpendicularis est, vertitur in dictam Sphaeroidem, & gravitas in A, in casu utroque, diminuitur in eadem ratione quam proximè. Est igitur gravitas in A in Sphaeram centro C radio AC descriptam, ad gravitatem in A in Terram ut 126 ad 125½, & gravitas in loco Q in Sphaeram centro C radio QC descriptam, est ad gravitatem in loco A in Sphaeram centro C radio AC descriptam, in ratione diametrorum (per Prop. LXXII. Lib. I.) id est ut 100 ad 101: Conjungantur jam hae tres rationes, 126 2/15 ad 125 2/15, 125½ ad 126 & 100 ad 101 & fiet gravitas in loco Q in Terram ad gravitatem in loco A in Terram, ut 126×126×100 ad 125×125½×101, seu ut 501 ad 500.

Jam cum per Corol. 3. Prop. XCI. Lib. I. gravitas in canalis crure utrovis ACca vel QCcq sit ut distantia locorum à centro Terrae; si crura illa superficiebus transversis & aequidistantibus distinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium singularum in crure ACca ad pondera partium totidem in crure altero, ut magnitudines & gravitates acceleratrices conjunctim; id est ut 101 ad 100 & 500 ad 501, hoc est ut 505 ad 501. Ac proinde si vis centrifuga partis cujusque in crure ACca ex motu diurno oriunda, fuisset ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eò ut de pondere partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret; manerent pondera in utroque crure aequalia, & propterea fluidum consisteret in aequilibrio. Verum vis centrifuga partis cujusque est ad pondus ejusdem ut 1 ad 290. Hoc est, vis centripeta quae deberet esse ponderis pars 4/505 est tantum pars 1/290, & propterea dico, secundum Regulam auream, quod si vis centrifuga 4/505 faciat ut altitudo aquae in crure ACca superet altitudinem aquae in crure QCcq parte centesima totius altitudinis: vis centrifuga 1/290 faciet ut excessus altitudinis in crure ACca sit altitudinis in crure altero QCcq pars tantum 3/689. Est igitur diameter Terrae secundum aequatorem ad ipsius diametrum per polos ut 692 ad 689. Ideoque cùm Terrae semidiameter mediocris, juxta nuperam Gallorum mensuram, sit pedum Parisiensium 19615800 seu milliarium 3923 (posito quod milliare sit mensura pedum 5000;) Terra altior erit ad aequatorem quàm ad polos, excessu pedum 85200 seu milliarium 17.

Si Planeta vel major sit vel densior, minorve aut rarior quàm Terra, manente tempore periodico revolutionis diurnae, manebit proportio vis centrifugae ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum secundum aequatorem. At si motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, & propterea differentia diametrorum augebitur in eadem duplicata ratione. Unde cum Terra respectu fixarum revolvatur horis 23, 56', Iupiter autem horis 9, 56', sintque temporum quadrata ut 29 ad 5, differentia diametrorum Iovis erit ad ipsius diametrum minorem ut 29×3/5×689 ad 1, seu 1 ad 39⅗. Est igitur diameter Iovis ab oriente in occidentem ducta, ad ipsius diametrum inter polos ut 40⅗ ad 39⅗ quam proximè. Haec ita se habent ex Hypothesi quod uniformis sit Planetarum materia. Nam si materia densior sit ad centrum quàm ad circumferentiam, diameter, quae ab oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major.

Prop. XX. Prob. III. Invenire & inter se comparare pondera corporum in regionibus diversis.

Quoniam pondera inaequalium crurum canalis aqueae ACQqca aequalia sunt; & pondera partium, cruribus totis proportionalium & similiter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam aequantur inter se; erunt pondera aequalium & in cruribus similiter sitarum partium' reciprocè ut crura, id est reciprocè ut 692 ad 689. Et par est ratio homogeneorum & aequalium quorumvis & in canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum pondera sunt reciprocè ut crura, id est reciprocè ut distantiae corporum à centro Terrae. Proinde si corpora in supremis canalium partibus, sive in superficie Terrae consistant; erunt pondera eorum ad invicem reciprocè ut distantiae eorum à centro. Et eodem argumento pondera, in aliis quibuscunque per totam Terrae superficiem regionibus, sunt reciprocè ut distantiae locorum à centro; & propterea, ex Hypothesi quod Terra Sphaerois sit, dantur proportione.

Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis, pergendo ab Aequatore ad Polos, sit quam proximè ut Sinus versus latitudinis duplicatae, vel quod perinde est ut quadratum Sinus recti Latitudinis. Exempli gratia, Latitudo Lutetiae Parisiorum est 48 gr. 45': Ea Insulae Goree prope Cape Verde 14 gr. 15': ea Cayennae ad littus Guaianae quasi 5 gr. ea locorum sub Polo 90 gr. Duplorum 97½ gr. 28½ gr. 10 gr. & 180 gr. Sinus versi sunt 11305, 1211, 152, & 20000. Proinde cum gravitas in Polo sit ad gravitatem sub Aequatore ut 692 ad 689, & excessus ille gravitatis sub Polo ad gravitatem sub Aequatore ut 3 ad 689; erit excessus gravitatis Lutetiae, in Insula Goree & Cayennae, ad gravitatem sub aequatore ut 3×11305/20000, 3×1211/20000 & 2×152/20000 ad 689, seu 33915, 3633, & 456 ad 13780000, & propterea gravitates totae in his locis erunt ad invicem ut 13813915, 13783633, 13780456. & 13780000. Quare cum longitudines Pendulorum aequalibus temporibus oscillantium sint ut gravitates, & Lutetiae Parisiorum longitudo penduli singulis minutis secundis oscillantis sit pedum trium Parisiensium & 17/24 partium digiti; longitudines Pendulorum in Insulâ Goree, in illâ Cayennae & sub Aequatore, minutis singulis secundis oscillantium superabuntur à longitudine Penduli Parisiensis excessibus 81/1000, 89/1 00 & 90/1000 partium digiti. Haec omnia ita se habebunt, ex Hypothesi quod Terra ex uniformi materia constat. Nam si materia ad centrum paulò densior sit quàm ad superficiem, excessus illi erunt paulò majores; propterea quod, si materia ad centrum redundans, qua densitas ibi major redditur, subducatur & seorsim spectetur, gravitas in Terram reliquam uniformiter densam erit reciprocè ut distantia ponderis à centro; in materiam verò redundantem reciprocè ut quadratum distantiae à materia illa quam proximè. Gravitas igitur sub aequatore minor erit in materiam illam redundantem quàm pro computo superiore, & propterea Terra ibi propter defectum gravitatis paulò altius ascendet quàm in praecedentibus definitum est. Jam verò Galli factis experimentis invenerunt quod Pendulorum minutis singulis secundis oscillantium longitudo Parisiis major sit quàm in Insula Goree, parte decima digiti, & major quàm Cayennae parte octava. Paulò majores sunt hae differentiae quam differentiae 81/1000 & 89/1000 quae per computationem superiorem prodiere: & propterea (si crassis hisce Observationibus satìs confidendum sit) Terra aliquanto altior erit sub aequatore quàm pro superiore calculo, & densior ad centrum quàm in fodinis prope superficiem. Si excessus gravitatis in locis hisce Borealibus supra gravitatem ad aequatorem, experimentis majori cum diligentia institutis, accuratè tandem determinetur, deinde excessus ejus ubique sumatur in ratione Sinus versi latitudinis duplicatae; determinabitur tum Mensura Universalis, tum Aequatio temporis per aequalia pendula in locis diversis indicati, tum etiam proportio diametrorum Terrae ac densitas ejus ad centrum; ex Hypothesi quod densitas illa, pergendo ad circumferentiam, uniformiter decrescat. Quae quidem Hypothesis, licet accurata non sit, ad ineundum tamen calculum assumi potest.

Prop. XXI. Theor. XVIII. Puncta Aequinoctialia regredi, & axem Terrae singulis revolutionibus nutando bis inclinari in Eclipticam & bis redire ad positionem priorem.

Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen iste nutandi perexiguus esse debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis.

Prop. XXII. Theor. XIX. Motus omnes Lunares, omnesque motuum inaequalitates ex allatis Principiis consequi.

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios minores circum se revolventes Planetas deferre, & minores illos in Ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per Prop. LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturbabuntur eorum motus multimode, iisque adficientur inaequalitatibus quae in Luna nostra notantur. Haec utique (per Corol. 2, 3, 4, & 5 Prop. LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto describit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvam, atque adeò propius accedit ad Terram, in Syzygiis quàm in Quadraturis, nisi quatenus impedit motus Excentricitatis. Excentricitas enim maxima est (per Corol. 9. Prop. LXVI.) ubi Apogaeum Lunae in Syzygiis versatur, & minima ubi idem in Quadraturis consistit; & inde Luna in Perigaeo velocior est & nobis propior, in Apogaeo autem tardior & remotior in Syzygiis quàm in Quadraturis. Progreditur insuper Apogaeum, & regrediuntur Nodi, sed motu inaequabili. Et Apogaeum quidem (per Corol. 7 & 8 Prop. LXVI.) velocius progreditur in Syzygiis suis, tardius regreditur in Quadraturis, & excessu progressus supra regressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per Corol. 11. Prop. LXVI.) quiescunt in Syzygiis suis, & velocissimè regrediuntur in Quadraturis. Sed & major est Lunae latitudo maxima in ipsius Quadraturis (per Corol. 10. Prop. LXVI.) quàm in Syzygiis: & motus medius velocior in Perihelio Terrae (per Corol. 6. Prop. LXVI.) quàm in ipsius Aphelio. Atque hae sunt inaequalitates insigniores ab Astronomis notatae.

Sunt etiam aliae quaedam nondum observatae inaequalitates, quibus motus Lunares adeò perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim seu motus horarii Apogaei & Nodorum Lunae, & eorundem aequationes, ut & differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis & minimam in Quadraturis, & inaequalitas quae Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. LXVI.) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio praeterea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas quam proximè (per Corol. 1 & 2. Lem. X. & Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) Sed haec inaequalitas in calculo Astronomico, ad Prostaphaeresin Lunae referri solet, & cum ea confundi.

Prop. XXIII. Prob. IV. Motus inaequales Satellitum Iovis & Saturni à motibus Lunaribus derivare.

Ex motibus Lunae nostrae motus analogi Lunarum seu Satellitum Jovis sic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis extimi Jovialis est ad motum medium Nodorum Lunae nostrae, in ratione composita ex ratione duplicata temporis periodici Terrae circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Lunae circa Terram: (per Corol. 16. Prop. LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus iste 9 gr. 34'. in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum sunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, & inde dantur. Motus autem Augis Satellitis cujusque in consequentia est ad motum Nodorum ipsius in antecedentia ut motus Apogaei Lunae nostrae ad hujus motum Nodorum (per idem Corol.) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis sic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob causam quam hic exponere non vacat. Aequationes maximae Nodorum & Augis Satellitis cujusque fere sunt ad aequationes maximas Nodorum & Augis Lunae respectivè, ut motus Nodorum & Augis Satellitum, tempore unius revolutionis aequationum priorum, ad motus Nodorum & Apogaei Lunae tempore unius revolutionis aequationum posteriorum. Variatio Satellitis è Jove spectati, est ad Variationem Lunae ut sunt toti motus Nodorum temporibus periodicis Satellitis & Lunae ad invicem, per idem Corollarium, adeoque in Satellite extimo non superat 6".22'''. Parvitate harum inaequalitatum & tarditate mortuum fit ut motus Satellitum summè regulares reperiantur, utque Astronomi recentiores aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissimè retrogradum. Nam Flamstedius collatis suis cum Cassini Observationibus Nodos tarde regredi deprehendit.

Prop. XXIV. Theor. XX. Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunae oriri debere.

Mare singulis diebus tam Lunaribus quàm Solaribus bis intumescere debere ac bis defluere patet per Corol. 19. Prop. LXVI. Lib. I. ut & aquae maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appulsum Luminarium ad Meridianum loci minori quàm sex horarum spatio sequi, uti fit in Maris Atlantici & Aethiopici tractu toto orientali inter Galliam & Promontorium Bonae Spei, ut & in Maris Pacifici littore Chilensi & Peruviano: in quibus omnibus littoribus aestus in horam circiter tertiam incidit, nisi ubi motus per loca vadosa propagatus aliquantulum retardatur. Horas numero ab appulsu Luminaris utriusque ad Meridianum loci, tam infra Horizontem quàm supra, & per horas diei Lunaris intelligo vigesimas quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum loci revolvitur.

Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernentur distinctè, sed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium Conjunctione vel Oppositione conjungentur eorum effectus, & componetur fluxus & refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex effectuum differentia aestus omnium minimus orietur. Et quoniam, experientia teste, major est effectus Lunae quàm Solis, incidet aquae maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Extra Syzygias & Quadraturas, aestus maximus qui sola vi Lunari incidere semper deberet in horam tertiam Lunarem, & sola Solari in tertiam Solarem, compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiae Lunari propinquius est; adeoque in transitu Lunae à Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris praecedit tertiam Lunarem, maxima aquae altitudo praecedet etiam tertiam Lunarem, idque maximo intervallo paulo post Octantes Lunae; & paribus intervallis aestus maximus sequetur horam tertiam Lunarem in transitu Lunae à Quadraturis ad Syzygias. Haec ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis Fluviorum fluxus majores caeteris paribus tardius ad 〈 in non-Latin alphabet 〉 venient.

Pendent autem effectus Luminarium ex eorum distantiis à Terra. In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium. Igitur Sol tempore hyberno, in Perigaeo existens, majores edit effectus, efficitque ut aestus in Syzygiis paulo majores sint, & in Quadraturis paulo minores (caeteris paribus) quàm tempore aestivo; & Luna in Perigaeo singulis mensibus majores ciet aestus quàm ante vel post dies quindecim, ubi in Apogaeo versatur. Unde fit ut aestus duo omnino maximi in Syzygiis continuis se mutuo non sequantur.

Pendet etiam effectus utriusque Luminaris ex ipsius Declinatione seu distantia ab Aequatore. Nam si Luminare in polo constitueretur, traheret illud singulas aquae partes constanter, absque actionis intensione & remissione, adeoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab aequatore polum versus effectus suos gradatim amittent, & propterea minores ciebunt aestus in Syzygiis Solstitialibus quàm in Aequinoctialibus. In Quadraturis autem Solstitialibus majores ciebunt aestus quàm in Quadraturis Aequinoctialibus; eò quod Lunae jam in aequatore constitutae effectus maxime superat effectum Solis. Incidunt igitur aestus maximi in Syzygias & minimi in Quadraturas Luminarium, circa tempora Aequinoctii utriusque. Et aestum maximum in Syzygiis comitatur semper minimus in Quadraturis, ut experientiâ compertum est. Per minorem autem distantiam Solis à Terra, tempore hyberno quàm tempore aestivo, fit ut aestus maximi & minimi saepius praecedant Aequinoctium vernum quàm sequantur, & saepius sequantur autumnale quàm praecedant.

Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. Designet ApEP Tellurem aquis profundis undique coopertam; C centrum ejus; Pp, polos; AE Aequatorem; F locum quemvis extra Aequatorem; Ff parallelum loci; Dd parallelum ei respondentem ex altera parte aequatoris; L locum quem Luna tribus ante horis occupabat; H locum Telluris ei perpendiculariter subjectum; h locum huic oppositum;

K, k loca inde gradibus 90 distantia, CH, Ch Maris altitudines maximas mensuratas à centro Telluris; & CK, Ck altitudines minimas: & si axibus Hh, Kk describatur Ellipsis, deinde Ellipseos hujus revolutione circa axem majorem Hh describatur Sphaerois HPKhpk; designabit haec figuram Maris quam proximè, & erunt CF, Cf, CD, Cd altitudines Maris in locis F, f, D, d. Quinetiam si in praefata Ellipseos revolutione punctum quodvis N describat circulum NM, secantem parallelos Ff, Dd in locis quibusvis R, T, & aequatorem AE in S; erit CN altitudo Maris in locis omnibus R, S, T, sitis in hoc circulo. Hinc in revolutione diurna loci cujusvis F, affluxus erit maximus in F, hora tertia post appulsum Lunae ad Meridianum supra Horizontem; postea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum Lunae; dein affluxus maximus in f hora tertia post appulsum Lunae ad Meridianum infra Horizontem; ultimò defluxus maximus in Q hora tertia post ortum Lunae; & affluxus posterior in f erit minor quàm affluxus prior in F. Distinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemisphaericos, unum in Hemisphaerio KHkC ad Boream vergentem, alterum in Haemisphaerio opposito KhkC; quos igitur fluctum Borealem & fluctum Australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuò oppositi veniunt per vices ad Meridianos locorum singulorum, interposito intervallo horarum Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem, & Australes magis Australem, inde oriuntur aestus alternis vicibus majores & minores, in locis singulis extra aequatorem. Aestus autem major, Lunâ in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam post appulsum Lunae ad Meridianum supra Horizontem, & Lunâ declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solstitiorum; praesertim si Lunae Nodus ascendens versatur in principio Arietis. Sic experientiâ compertum est, quod aestus matutini tempore hyberno superent vespertinos & vespertini tempore aestivo matutinos, ad Plymuthum quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam verò altitudine quindecim digitorum: Observantibus Colepressio & Sturmio.

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua Maris aestus, etiam cessantibus Luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio haecce motus impressi minuit differentiam aestuum alternorum; & aestus proximè post Syzygias majores reddit, eosque proximè post Quadraturas minuit. Unde fit ut aestus alterni ad Plymuthum & Bristoliam non multo magis differant ab invicem quàm altitudine pedis unius vel digitorum quindecim; utque aestus omnium maximi in iisdem portubus non sint primi à Syzygiis sed tertii. Retardantur etiam motus omnes in transitu per vada, adeò ut aestus omnium maximi, in fretis quibusdam & Fluviorum ostiis, sint quarti vel etiam quinti à Syzygiis.

Porrò fieri potest ut aestus propagetur ab Oceano per freta diversa ad eundem portum, & citius transeat per aliqua freta quàm per alia, quo in casu aestus idem, in duos vel plures successive advenientes divisus, componere possit motus novos diversorum generum. Fingamus aestus duos aequales à diversis locis in eundem portum venire, quorum prior praecedat alterum spatio horarum sex, incidatque in horam tertiam ab appulsu Lunae ad Meridianum portus. Si Luna in hocce suo ad Meridianum appulsu versabatur in aequatore, venient singulis horis senis aequales affluxus, qui in mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus aequabunt, & sic spatio diei illius efficient ut aqua tranquillè stagnet. Si Luna tunc declinabar ab Aequatore, fient aestus in Oceano vicibus alternis majores & minores, uti dictum est; & inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores & bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altissimam in medio inter utrumque, affluxus major & minor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in Medio ipsorum, & inter affluxus binos minores aqua ascendet ad altitudinem minimam. Sic spatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel tantum perveniet ad maximam altitudinem & semel ad minimam; & altitudo maxima, si Luna declinat in polum supra Horizontem loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lunae ad Meridianum, atque Lunâ declinationem mutante mutabitur in defluxum. Quorum omnium exemplum, in portu regni Tunquini ad Batsham, sub latitudine Boreali 20 gr. 50 min. Halleius ex Nautarum Observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum Lunae per Aequatorem sequente stagnat, dein Lunâ ad Boream declinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus; & aestus incidit in occasum Lunae, defluxus maximus in ortum. Cum Lunae declinatione augetur hic aestus, usque ad diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit, quibus antea creverat; & Lunâ declinationem mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum Lunae & affluxus in ortum, donec Luna iterum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano Sinensi inter Continentem & Insulam Luconiam, alter à Mari Indico inter Continentem & Insulam Borneo. An aestus spatio horarum duodecim à Mari Indico, & spatio horarum sex à Mari Sinensi per freta illa venientes, & sic in horam tertiam & nonam Lunarem incidentes, componant hujusmodi motus; sitne alia Marium illorum conditio, observationibus vicinorum littorum determinandum relinquo.

Hactenus causas motuum Lunae & Marium reddidi. De quantitate motuum jam convenit aliqua subjungere.

Prop. XXV. Prob. V. Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunae.

Designet Q Solem, S Terram, P Lunam, PADB orbem Lunae. In QP capiatur QK aequalis QS; sitque QL ad QK

in duplicata ratione QK ad QP, & ipsi PS agatur parallela LM; & si gravitas acceleratrix Terrae in Solem exponatur per distantiam QS vel QK, erit QL gravitas acceleratrix Lunae in Solem. Ea componitur ex partibus QM, LM, quarum LM & ipsius QM pars SM perturbat motum Lunae, ut in Libri primi Prop. LXVI. & ejus Corollariis expositum est. Quatenus Terra & Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur, perturbabitur motus Terrae circa centrum illud à viribus consimilibus; sed summas tam virium quàm motuum referre licet ad Lunam, & summas virium per lineas ipsis analogas SM & ML designare. Vis ML (in mediocri sua quantitate) est ad vim gravitatis, qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem ad distantiam PS revolvi posset, in duplicata ratione temporum periodicorum Lunae circa Terram & Terrae circa Solem, (per Corol. 17. Prop. LXVI. Lib. 1.) hoc est in duplicata ratione dierum 27. hor. 7. min. 43. ad dies 365. hor. 6. min. 9. id est ut 1000 ad 178725, seu 1 ad 178 8/11. Vis qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem, ad distantiam PS semidiametrorum terrestrium 60½ revolvi posset, est ad vim, qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum 60 revolvi posset, ut 60½ ad 60; & haec vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 60×60. Ideoque vis mediocris ML est ad vim gravitatis in superficie Terrae, ut 1×60½ ad 60×60×60×178 8/11 seu 1 ad 638092, 6. Unde ex proportione linearum SM, ML, datur etiam vis SM: & hae sunt vires Solis quibus motus Lunae perturbantur. Q.E.I.

Prop. XXVI. Prob. VI. Invenire incrementum areae quam Luna radio ad Terram ducto describit.

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. Inaequalitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunae circularem esse, & inaequalitates omnes negligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem verò Solis distantiam ponamus etiam lineas QP, QS sibi invicem parallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantitatem SP, ut & vis SM ad mediocrem suam quantitatem 3 PK. Hae vires, per Legum Corol. 2. componunt vim SL; & haec vis, si in radium SP demittatur perpendiculum LE, resolvitur in vires SE, EL, quarum SE, agendo semper secundum radium SP, nec accelerat nec retardat descriptionem areae QSP

radio illo SP factam; & EL agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunae, in transitu ipsius à Quadratura C ad conjunctionem A, singulis temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans EL, hoc est ut 3 PK×SK / SP. Exponatur tempus per motum medium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum CSP, vel etiam per arcum CP. Ad CS erigatur Normalis CG ipsi CS aequalis. Et diviso arcu quadrantali AC in particulas innumeras aequales Pp &c. per quas aequales totidem particulae temporis exponi possint, ductâque pk perpendiculari ad CS, jungatur SG ipsis KP, kp productis occurrens in F & f; & erit Kk ad PK ut Pp ad Sp, hoc est in data ratione, adeoque FK×Kk seu area FKkf ut 3 PK×SK / SP id est ut EL; & compositè, area tota GCKF ut summa omnium virium EL tempore toto CP impressarum in Lunam, atque adeò etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut acceleratio descriptionis areae CSP, seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam SP, tempore suo periodico CADBC dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvi posset, efficeret ut corpus, tempore CS cadendo, describeret longitudinem ½ CS, & velocitatem simul acquireret aequalem velocitati, qua Luna in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpendiculum Kd in SP demissum sit ipsius EL pars tertia, & ipsius SP seu ML in octantibus pars dimidia, vis EL in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim ML in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad ⅔×17872½ seu 11915, & tempore CS velocitatem generare deberet quae esset pars 100/11915 velocitatis Lunaris, tempore autem CPA velocitatem majorem generaret in ratione CA ad CS seu SP. Exponatur vis maxima EL in Octantibus per aream FK×Kk rectangulo ½ SP×Pp aequalem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis CP generare posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor EL eodem tempore generat ut rectangulum ½ SP×CP ad aream KCGF: tempore autem toto CPA, velocitates genitae erunt ad invicem ut rectangulum ½ SP×CA & triangulum SCG, sive ut arcus quadrantalis CA ad radium SP. Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitas posterior, toto tempore genita, erit pars 100/11915 velocitatis Lunae. Huic Lunae velocitati, quae areae momento mediocri analoga est, addatur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & si momentum mediocre exponatur per numerum 11915 summa 11915+50 seu 11965 exhibebit momentum maximum areae in Syzygia A, ac differentia 11915−50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur areae temporibus aequalibus in Syzygiis & Quadraturis descriptae, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad momentorum differentiam 100 ut trapezium FKCG ad triangulum SCG (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus PK ad quadratum Radii SP, id est ut Pd ad SP) & summa exhibebit momentum areae, ubi Luna est in loco quovis intermedio P.

Haec omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol & Terra quiescunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris verè sit dierum 29. hor. 12. & min. 44. augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars 100/11915 momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars 100/11023. Ideoque momentum areae in Quadratura Lunae erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023−50 ad 11023+50, seu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio P versatur, ut 10973 ad 10973+Pd, existente videlicet SP aequali 100.

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis temporis particulis aequalibus describit, est quam proximè ut summa numeri 219 46/100 & Sinus versi duplicatae distantiae Lunae à Quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. Haec ita se habent ubi Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in eadem ratione.

Prop. XXVII. Prob. VII. Ex motu horario Lunae invenire ipsius distantiam à Terra.

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis momentis, describit, est ut motus horarius Lunae & quadratum distantiae Lunae à Terrâ conjunctim; & propterea distantia Lunae à Terrâ est in ratione compositâ ex dimidiatâ ratione Areae directè & dimidiatâ ratione motus horarii inversè. Q.E.I.

Corol. 1. Hinc datur Lunae diameter apparens: quippe quae sit reciprocè ut ipsius distantia à Terra. Tentent Astronomi quàm probè haec Regula cum Phaenomenis congruat.

Corol. 2. Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiùs ex Phaenomenis quàm antehac definiri potest.

Prop. XXVIII. Prob. VIII. Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.

Curvatura Trajectoriae, quam mobile, si secundum Trajectoriae illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios aequales, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lunae in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem 2 PK (Vide Figur. pag. 434.) qua gravitas acceleratrix Lunae in Solem superat gravitatem acceleratricem Terrae

in Solem. In Quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis Lunae in Terram & vis Solaris KS, qua Luna in Terram trahitur. Et hae attractiones, si AS+CS/2 dicatur N, sunt ut 178725/ASq.−2000/CS×N & 178725/CSq.+1000/AS×N quam proxime; seu ut 178725 N in CSq.−2000 ASq. in CS, & 178725 N in ASq.+1000 CSq.×AS. Nam si gravitas acceleratrix Terrae in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML, quae in Quadraturis est PS vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur à Terra, quamque jam ante nominavi 2 PK. Velocitas autem Lunae in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS & momentum areae quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areae in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073 CS ad 10973 AS. Sumatur haec ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407×178725 ASq.×CSq.×N−120407×2000 ASqq.×CS ad 122611×178725 ASq.×CSq.×N+122611×1000 CSqq.×AS, id est ut 2151969 AS×CS×N−24081 AS cub. ad 2191371 AS×CS×N+12261 CS cub.

Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunae representet, & ducendo Sp aequalem SP, ea lege ut angulus PSp aequalis sit motui apparenti Solis à tempore Quadraturae C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicae Lunaris ad tempus revolutionis Periodicae seu 29 d. 12. h. 44', ad 27 d. 7 h. 43'. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa aequalis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figurae Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quae quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilè colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figurae Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub.+16824/100000CSq.×AS ad CS cub.+16824/100000 ASq.×CS. Ubi numerus 16824/100000 designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est) differentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43', & 29 d. 12 h. 44', applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43'.

Igitur cum a designet Syzygiam Lunae, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturae Orbis Lunae in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS×CS applicati, fiunt 2062, 79 CSqq.−2151969 N×CS cub.+368682 N×AS×CSq.+36342 ASq.×CSq.−362046 N×ASq.×CS+2191371 N×AS cub.+4051, 4 ASqq.=0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ N scribo 1, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit CS=1+x, & AS=1−x: quibus in aequatione scriptis, & aequatione prodeunte resolutâ, obtinetur x aequalis 0, 0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0, 9928, qui numeri sunt ut 69 11/12 & 68 11/12 quam proximè. Est igitur distantia Lunae à Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut 68 11/12 ad 69 11/12, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

Prop. XXIX. Prob. IX. Invenire Variationem Lunae.

Oritur haec inaequalitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inaequalitate momentorum areae, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si Luna P in Ellipsi DBCA circa Terram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori proportionalem;

esset autem Ellipseos semidiameter maxima CS ad semidiametrum minimam SA ut 69 10/11 ad 68 10/11: foret Tangens anguli CSP ad Tangentem anguli motus medii à quadratura C computati, ut Ellipseos semidiameter SA ad ejusdem semidiametrum SC seu 68 10/11 ad 69 10/11. Debet autem descriptio areae CSP, in progressu Lunae à Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunae sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, utabque; excessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli CSP. Id quod satis accuratè fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri 68 5958/10000 ad numerum 68 11/12. Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad tangentem motus medii ut 68 5958/10000 ad 69 11/12, & angulus CSP in Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 27'.29": qui subductus de angulo motus medii 45 gr. relinquit Variationem 32'.31". Haec ita se haberent si Luna, pergendo à Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terrae, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodicae ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 44'. ad 27 d. 7 h. 43'. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S dilatantur in eadem ratione, & Variatio quae secus esset 32'.31". jam aucta in eadem ratione, fit 35'.9". Haec ab Astronomis constituitur 40', & ex recentioribus Observationibus 38'. Halleius autem recentissimè deprehendit esse 38' in Octantibus versus oppositionem Solis, & 32' in Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 35': quae cum magnitudine à nobis inventa 35'.9" probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentiis, quae à curvaturâ Orbis magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam & plenam, oriri possint.

Prop. XXX. Prob. X. Invenire motum horarium Nodorum Lunae in Orbe circulari.

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lunae, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticae; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinite productam, PI, PK; perpendicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in planum Eclipticae; Q, q Quadraturas Lunae in plano Eclipticae & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunae (per Prop. XXV.) duplex erit, altera lineae 2 IT vel 2 Kp, altera lineae PI proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineam ST trahitur. Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT & PT, quarum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Haec igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2 IT componit vim totam 3 IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et haec vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in

circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3 IT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178, 725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59, 575. Caeterum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineae quae à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quaerimus, neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum redderent.

Designet jam PM arcum, quem Luna dato tempore quam minimo describit, & ML lineolam quam Luna, impellente vi praefata 3 IT, eodem tempore describere posset. Jungantur PL, MP, & producantur eae ad m & l, ubi secent planum Eclipticae; inque Tm demittatur perpendiculum PH. Et quoniam ML parallela est ipsi ST, si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticae, & contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticae, parallela erit ipsi ML, & similia erunt triangula LMP, Lmp. Jam cum MPm sit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset LP, atque adeò transferret Lunam de plano MPmT in planum LPlT; motus Nodorum à vi illa genitus aequalis erit angulo mTl. Est autem ml ad mP ut ML ad MP, adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut rectangulum ML×mP, id est ut rectangulum IT×mP. Et angulus mTl, si modo angulus Tml rectus sit, est ut ml / Tm, & propterea ut IT×Pm / Tm id est (ob proportionales Tm & mP, TP & PH) ut IT×PH / TP, adeoque ob datam TP, ut IT×PH. Quod si angulus Tml, seu STN obliquus sit, erit angulus mTl adhuc minor, in ratione Sinus anguli STN ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut IT×PH & Sinus anguli STN conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum TPI, PTN & STN.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existentibus, recti sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mTl evadet angulo mPl aequalis. Hoc autem in casu, angulus mPl est ad angulum PTM, quem Luna eodem tempore motu suo apparente circa Terram describit ut 1 ad 59, 575. Nam angulus mPl aequalis est angulo LPM, id est angulo deflexionis Lunae à. recto tramite, quam praefata vis Solaris 3 IT dato illo tempore generare possit; & angulus PTM aequalis est angulo deflexionis Lunae à recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo retinetur, eodem tempore generat. Et hae vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59, 575. Ergo cum motus medius horarius Lunae (respectu fixarum) sit 32'.56".27'''.12iv ½, motus horarius Nodi in hoc casu erit 33".10'''.33iv.12v. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad 33".10'''.33iv.12v. ut contentum sub sinibus angulorum trium TPI, PTN, & STN (seu distantiarum Lunae à Quadratura, Lunae à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturae proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis mensibus feruntur in antecedentia.

Corol. 1. Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec secent lineam Nodorum

Nn in D & d; 3erit motus horarius Nodorum ut area MPDd & quadratum lineae AZ conjunctim. Sunto enim PK, PH & AZ praedicti tres Sinus. Nempe PK Sinus distantiae Lunae à Quadratura, PH Sinus distantiae Lunae à Nodo, & AZ Sinus distantiae Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum PK×PH×AZ. Est autem PT ad PK ut PM ad Kk, adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD×AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, PK×PH est ut contentum Kk×PD×AZ, & PK×PH×AZ ut Kk×PD×AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim. Q.E.D.

Corol. 2. In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunae, ideoque est ad 16".35'''.16iv.36v. ut quadratum Sinus distantiae Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad M, erit area QMdE quae ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quae, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum aequalis sit areae QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic aequalium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit aequale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inaequabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunae. Unde cum motus horarius maximus, si Nodi in Quadraturis vertantur, sic 33".10'''.33,12, motus mediocris horarius in hoc casu erit 16".35'''.16iv.36v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunae ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, id est (ob datam aream PDdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16".35'''.16iv.36v. ut AZ qu. ad AT qu. Q.E.D.

Prop. XXXI. Prob. XI. Invenire motum horarium Nodorum Lunae in Orbe Elliptico.

Designet Qpmaq Ellipsim, axe majore Qq, minore ab descriptam, QAq circulum circumscriptum, T Terram in utriusque

centro communi, S Solem, p Lunam in Ellipsi moventem, & pm arcum quem data temporis particula quam minima describit, N & n Nodos linea Nn junctos, pK & mk perpendicula in axem Qq demissa & hinc inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & lineae Nodorum in D & d. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipsi ut area pKkm.

Nam si PF tangat circulum in P, & producta occurrat TN in F, & pf tangat Ellipsin in p & producta occurrat eidem TN in f, conveniant autem hae Tangentes in axe TQ ad Y; & si ML designet spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum PM, urgente & impellente vi praedicta 3 IT, motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 IT, describere posset; & producantur LP & lp donec occurrant plano Eclipticae in G & g; & jungantur FG & fg, quarum FG producta secet pf, pg & TQ in c, e & R respectivè, & fg producta secet TQ in r: Quoniam vis 3 IT seu 3 PK in circulo est ad vim 3 IT seu 3 pK in Ellipsi, ut PK ad pK, seu AT ad aT; erit spatium ML vi priore genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut PK ad pK, id est ob similes figuras PYKp & FYRc, ut FR ad cR. Est autem ML ad FG (ob similia triangula PLM, PGF) ut PL ad PG, hoc est (ob parallelas Lk, PK, GR) ut pl ad pe, id est (ob similia triangula plm, cpe) ut lm ad ce; & inversè ut LM est ad lm, seu FR ad cR, ita est FG ad ce. Et propterea si fg esset ad ce ut fY ad cY, id est ut fr ad cR, (hoc est ut fr ad FR & FR ad cR conjunctim, id est ut fT ad FT & FG ad ce conjunctim,) quoniam ratio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG & fT ad FT, foret fg ad FG ut fT ad FT; propterea quod anguli, quos FG & fg subtenderent ad Terram T, aequarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quae in praecedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum PM, in Ellipsi arcum pm percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi aequarentur inter se. Haec ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad cY, id est si fg aequalis esset ce×fY / cY. Verum ob similia triangula fgp, cep, est fg ad ce ut fp ad cp; ideoque fg aequalis est ce×fp / cp, & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut haec fg seu ce×fp / cp ad priorem fg seu ce×fY / cY, id est ut fp×cY ad cp×fY, seu fp ad fY & cY ad cp; hoc est, si pb ipsi TN parallela occurrat FP in b, ut Fb ad FY & FY ad FP; hoc est ut Fb ad FP seu Dp ad DP, adeoque ut area Dpmd ad aream DPmd. Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi. Q.E.D.

Corol. Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearum pDdm, quo tempore Luna pergit à Quadratura ad locum quemvis m, sit area mpQEd, quae ad Ellipseos Tangentem QE terminatur; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est ut Ta ad TA, seu 68 11/12 ad 69 11/12. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 16".35'''.16iv.36v. ut AZ qu. ad AT qu. si capiatur angulus 16".21'''.2iv.36v. ad angulum 16".35'''.16iv.36v. ut 68 11/12 ad 69 11/12, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 16".21'''.2iv.36v. ut AZq. ad ATq.; hoc est ut quadratum Sinus distantiae Nodi à Sole ad quadratum Radii.

Caeterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis quàm in Quadraturis, & eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areae in Quadraturis Lunae ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; & propterea momentum mediocre in Octantibus est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifterentiam 50. Unde cum tempus Lunae in singulis Orbis particulis aequalibus sit reciprocè ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem à Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum areae in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis, sit ut quadratum Sinus distantiae Lunae à Quadrantibus quam proximè; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia inter quadratum Sinus distantiae Lunae à Quadraturis & quadratum Sinus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis singulis inter Octantes & Quadraturas, & decrementum ejus inter Octantes & Syzygias est in eadem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas aequales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit PM, (caeteris paribus) ut ML, & ML est in duplicata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verò totum ut 100 ad 11073 quam proximè. Decrementum autem in locis inter Octantes & Syzygias, & incrementum in locis inter Octantes & Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum Sinus distantiae Lunae à Quadratura & semissem quadrati Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in Quadraturis versentur, & capiantur loca duo aequaliter ab Octante hinc inde distantia, & alia duo à Syzygiâ & Quadraturâ iisdem intervallis distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam & Octantem, subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quae sunt inter Octantem & Quadraturam; decrementum reliquum aequale erit decremento in Syzygia: uti rationem ineunti facilè constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem describere supponebatur) erat 32".42'''.5iv.12v. Et decrementum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior describit idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decrementum illud est 17'''.43iv.10v, cujus pars quarta 4'''.25iv.48', motui horario mediocri superius invento 16".21'''.2iv.36v. subducta, relinquit 16".16'''.36iv.48v. motum mediocrem horarium correctum.

Si Nodi versantur extra Quadraturas, & spectentur loca bina à Syzygiis hinc inde aequaliter distantia; summa motuum Nodorum, ubi Luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi Luna in iisdem locis & Nodi in Quadraturis versantur, ut AZ qu. ad AT qu. Et decrementa motuum, à causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem ut ipsi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut AZ qu. ad AT qu. & motus mediocres ut motus reliqui. Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum situ, ad 16".16'''.36iv.48v. ut AZ qu. ad AT qu.; id est ut quadratum Sinus distantiae Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii.

Prop. XXXII. Prob. XII. Invenire motum medium Nodorum Lunae.

Motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Concipe Nodum versari in N, & singulis horis completis retrahi in locum suum priorem, ut non obstante motu suo proprio, datum semper servet situm ad Stellas Fixas. Interea verò Solem S, per motum Terrae, progredi à Nodo, & cursum annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem Aa arcus datus quam minimus, quem recta TS ad Solem semper ducta, intersectione sua & circuli NAn, dato tempore quam minimo describit: & motus horarius mediocris (per jam ostensa) erit ut AZq. id est (ob proportionales AZ, ZY) ut rectangulum sub AZ & ZY, hoc est ut area AZYa. Et summa omnium horariorum motuum mediocrium

ab initio, ut summa omnium arearum aYZA, id est ut area NAZ. Est autem maxima AZYa aequalis rectangulo sub arcu Aa & radio circuli; & propterea summa omnium rectangulorum in circulo toto ad summam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangulum sub circumferentia tota & radio; id est ut 1 ad 2. Motus autem horarius, rectangulo maximo respondens, erat 16".16'''.36iv.48v. Et hic motus, anno toto sidereo dierum 365.6 hor. 9 min. fit 39 gr. 38'.5".39'''. Ideoque hujus dimidium 19 gr. 49'.2".49'''½ est motus medius Nodorum circulo toti respondens. Et motus Nodorum, quo tempore Sol pergit ab N ad A, est ad 19 gr. 49'.2".49'''½ ut area NAZ ad circulum totum.

Haec ita se habent, ex Hypothesi quod Nodus horis singulis in locum priorem retrahitur, sic ut Sol anno toto completo ad Nodum eundem redeat à quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & computanda jam est abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, & Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39 gr. 38'.5".39''' seu 39, 6349 gradus; & motus mediocris. Nodi in loco quovis N sit ad ipsius motum mediocrem in Quadraturis suis, ut AZq. ad ATq. erit motus Solis ad motum Nodi in N, ut 360 ATq. ad 39, 6349 AZq.; id est ut 9, 0829032 ATq. ad AZq. Unde si circuli totius circumferentia NAn dividatur in particulas aequales Aa, tempus quo Sol percurrat particulam Aa, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si circulus una cum Nodis circa centrum T revolvatur, reciprocè ut 9, 0829032 ATq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq. Nam tempus est reciprocè ut velocitas qua particula percurritur, & haec velocitas est summa velocitatum Solis & Nodi. Igitur si tempus, quo Sol absque motu Nodi percurreret arcum NA, exponatur per Sectorem NTA, & particula temporis quo percurreret arcum quam minimum Aa, exponatur per Sectoris particulam ATa; & (perpendiculo aY in Nn demisso) si in AZ capiatur dZ, ejus longitudinis ut sit rectangulum dZ in ZY ad Sectoris particulam ATa ut AZq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq. id est ut sit dZ ad ½AZ ut ATq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq.; rectangulum dZ in ZY designabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus Aa percurritur. Et si punctum d tangit curvam NdGn, area curvilinea NdZ erit decrementum totum, quo tempore arcus totus NA percurritur; & propterea excessus Sectoris NAT supra aream NdZ erit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area AaYZ diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur in AZ longitudo eZ, quae sit ad longitudinem AZ ut AZq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq. Sic enim rectangulum eZ in ZY erit ad aream AZYa ut decrementum temporis, quo arcus Aa percurritur, ad tempus totum, quo percurreretur si Nodus quiesceret: Et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus Nodi. Et si punctum e tangat curvam NeFn, area tota NeZ, quae summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti, quo tempore arcus AN percurritur; & area reliqua NAe respondebit motui reliquo, qui verus est Nodi motus quo tempore arcus totus NA, per Solis & Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam verò si circuli radius AT ponatur 1, erit area semicirculi 1, 570796; & area figurae NeFnT, per methodum Serierum infinitarum quaesita, prodibit 0, 1188478. Motus autem qui respondet circulo toti erat 19 gr. 49'.2".49'''½; & propterea motus, qui figurae NeFnT duplicatae respondet, est 1 gr. 29'.57".51'''½. Qui de motu priore subductus relinquit 18 gr. 19'.4".58'''. motum totum Nodi inter sui ipsius Conjunctiones cum Sole; & hic motus de Solis motu annuo graduum 360 subductus, relinquit 341 gr. 40'.55".2'''. motum Solis inter easdem Conjunctiones. Iste autem motus est ad motum annuum 360 gr. ut Nodi motus jam inventus 18 gr. 19'.4".58'''. ad ipsius motum annuum, qui propterea erit 19 gr. 18'.0".22'''. Hic est motus medius Nodorum in anno sidereo. Idem per Tabulas Astronomicas est 19 gr. 20'.31".1'''. Differentia minor est parte quadringentesima motus totius, & ab Orbis Lunaris Excentricitate & Inclinatione ad planum Eclipticae oriri videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur, & per ejus Inclinationem vicissim retardatur aliquantulum, & ad justam velocitatem reducitur.

Prop. XXXIII. Prob. XIII. Invenire motum verum Nodorum Lunae.

In tempore quod est ut area NTA−NdZ, (in Fig. praeced.) motus iste est ut area NAeN, & inde datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem, praestat sequentem Problematis constructionem adhibere. Centro C, intervallo quovis CD, describatur circulus BEFD. Producatur DC ad A, ut sit AB ad AC ut motus medius ad semissem motus veri mediocris, ubi Nodi sunt in Quadraturis: (id est ut 19 gr. 18'.0".22'''. ad 19 gr. 49'.2".49'''½, atque adeo BC ad AC ut motuum differentia 0 gr. 31'.2".27'''½, ad motum superiorem 19 gr. 49'.2".49'''½, hoc est, ut 1 ad 38⅓) dein per punctum D ducatur infinita Gg, quae tangat circulum in D; & si capiatur angulus BCE vel BCF aequalis semissi

distantiae Solis à loco Nodi, per motum medium invento; & agatur AE vel AF secans perpendiculum DG in G; & capiatur angulus qui sit ad motum Nodi inter ipsius Syzygias (id est ad 9 gr. 10'.40".) ut tangens DG ad circuli BED circumferentiam totam, atque angulus iste ad motum medium Nodorum addatur; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus sic inventus congruet quam proximè cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream NTA−NdZ, & motum Nodi per aream NAeN; ut rem perpendenti constabit. Haec est aequatio annua motus Nodorum. Est & aequatio menstrua, sed quae ad inventionem Latitudinis Lunae minimè necessaria est. Nam cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticae duplici inaequalitati obnoxia sit, alteri annuae, alteri autem menstruae; hujus menstrua inaequalitas & aequatio menstrua Nodorum ita se mutuò contemperant & corrigunt, ut ambae in determinanda Latitudine Lunae negligi possint.

Corol. Ex hac & praecedente Propositione liquet quod Nodi in Syzygiis suis quiescunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16".18'''.41iv½. Et quod aequatio motus Nodorum in Octantibus sit 1 gr. 30'. Quae omnia cum Phaenomenis coelestibus probè quadrant.

Prop. XXXIV. Prob. XIV. Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticae.

Designent A & a Syzygias; Q & q Quadraturas; N & n Nodos; P locum Lunae in Orbe suo; p vestigium loci illius in plano Eclipticae, & mTl motum momentaneum Nodorum ut supra. Et si ad lineam Tm demittatur perpendiculum PG, jungatur pG,

& producatur ea donec occurrat Tl in g, & jungatur etiam Pg: erit angulus PGp inclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticae, ubi Luna versatur in P; & angulus Pgp inclinatio ejusdem post momentum temporis completum, adeoque angulus GPg Variatio momentanea inclinationis. Est autem hic angulus GPg ad angulum GTg ut TG ad PG & Pp ad PG conjunctim. Et propterea si pro momento temporis substituatur hora; cum angulus GTg (per Prop. XXX.) sit ad angulum 33".10'''.33iv. ut IT×PG×AZ ad AT cub. erit angulus GPg (seu inclinationis horaria Variatio) ad angulum 33".10'''.33iv. ut IT×AZ×TG×Pp / PG ad AT cub. Q.E.I.

Haec ita se habent ex Hypothesi quod Luna in Orbe circulari uniformiter gyratur. Quod si orbis ille Ellipticus sit, motus mediocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam Sinus IT. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum Sinus IT, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum; & propterea idem manebit atque prius.

Corol. 1. Si ad Nn erigatur perpendiculum TF, sitque pM motus horarius Lunae in plano Eclipticae; & perpendicula pK, Mk in QT demissa & utrinque producta occurrant TF in H & h: erit Kk ad Mp ut pK seu IT ad AT, & TZ ad AT ut TG ad Hp; ideoque IT×TG aequale Kk×Hp×TZ / Mp, hoc est aequale areae HpMh ductae in rationem TZ / Mp: & propterea inclinationis Variatio horaria ad 33".10'''.33•v. ut HpMh ducta in AZ×TZ / Mp×Pp / PG ad AT cub.

Corol. 2. Ideoque si Terra & Nodi singulis horis completis retraherentur à locis suis novis, & in loca priora in instanti semper reducerentur, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore mensis illius foret ad 33".10'''.33iv, ut aggregatum omnium arearum HpMh, in revolutione puncti p genetarum, & sub signis propriis + & − conjunctarum, ductum in AZ×TZ×Pp / PG, ad Mp×AT cub. id est ut circulus totus QAqa ductus in AZ×TZ×Pp / PG ad Mp×AT cub. hoc est ut circumferentia QAqa ducta in AZ×TZ×Pp / PG ad 2 Mp×PT quad.

Corol. 3. Proinde in dato Nodorum situ, Variatio mediocris horaria, ex quâ per mensem uniformiter continuatâ Variatio illa menstrua generari posset, est ad 33".10'''.33iv. ut AZ×TZ×Pp / PG ad 2 ATq. id est (cum Pp sit ad PG ut Sinus Inclinationis praedictae ad Radium, & AZ×TZ / AT sid ad ½AT ut sinus duplicati anguli ATn ad Radium) ut inclinationis ejusdem Sinus ductus in Sinum duplicatae distantiae Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii.

Corol. 4. Quoniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis versantur, est (per Propositionem superiorem) ad angulum 33".10'''.33iv. ut IT×AZ×TG×Pp / PG ad AT cub. id est ut IT×TG / AT×Pp / PG ad AT; hoc est ut Sinus duplicatae distantiae Lunae à Quadraturis ductus in Pp / PG ad radium duplicatum: summa omnium Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc situ Nodorum transit à Quadratura ad Syzygiam, (id est spatio horarum 177⅙,) erit ad summam totidem angulorum 33".10'''.33iv. seu 5878" ½, ut summa omnium sinuum duplicatae distantiae Lunae à Quadraturis ducta in Pp / PG ad summam totidem diametrorum; hoc est ut diameter ducta in Pp / PG, ad circumferentiam; id est si inclinatio sit 5 gr. 2', ut 7×876/10000 ad 22, seu 279 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex summa omnium horariarum Variationum tempore praedicto conflata, est 164", seu 2'.44".

Prop. XXXV. Prob. XV. Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticae.

Sit AD Sinus inclinationis maximae, & AB Sinus Inclinationis minimae. Bisecetur BD in C, & centro C, intervallo BC, describatur

Circulus BGD. In AC capiatur CE in ea ratione ad EB quam EB habet ad 2 BA: Et si dato tempore constituatur angulus AEG aequalis duplicatae distantiae Nodorum à Quadraturis, & ad AD demittatur perpendiculum GH: erit AH Sinus inclinationis quaesitae.

Nam GEq. aequale est GHq.+HEq.=BHD+HEq. =HBD+HEq.−BHq.=HBD+BEq.−2BH×BE=BEq.+2EC×BH=2EC×AB+2EC×BH=2EC×AH. Ideoque cum 2 EC detur, est GEq. ut AH. Designet jam AEg distantiam Nodorum à Quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum, & arcus Gg, ob datum angulum GEg, erit ut distantia GE. Est autem Hh ad Gg ut GH ad GC, & propterea Hh est ut contentum GH×Gg seu GH×GE; id est ut GH / GE×GE qu. seu GH / GE×AH, id est ut AH & sinus anguli AEG conjunctim. Igitur si AH in casu aliquo sit Sinus inclinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis, per Corol. 3. Propositionis superioris, & propterea sinui illi aequalis semper manebit. Sed AH ubi punctum G incidit in punctum alterutrum B vel D huic Sinui aequalis est, & propterea eidem semper aequalis manet. Q.E.D.

In hac demonstratione supposui angulum BEG, qui distantia est Nodorum à Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes inaequalitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum BEG rectum esse, & Gg esse augmentum horarium distantiae Nodorum & Solis ab invicem; & inclinationis Variatio horaria (per Corol. 3. Prop. novissimae) erit ad 33".10'''.33iv. ut contentum sub inclinationis Sinu AH & Sinu anguli recti BEG, qui est duplicata distantia Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii; id est ut mediocris inclinationis Sinus AH ad radium quadruplicatum; hoc est (cum inclinatio illa mediocris sit quasi 5 gr. 8 ½.) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, sive ut 224 ad 10000. Est autem Variatio tota, Sinuum differentiae BD respondens, ad variationem illam horariam ut diameter BD ad arcum Gg; id est ut diameter BD ad semicircumferentiam BGD & tempus horarum 2080, quo Nodus pergit à Quadraturis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc est ut 7 ad 11 & 2080 ad 1. Quare si rationes omnes conjungantur, fiet Variatio tota BD ad 33".10'''.33iv. ut 224×7×2080 ad 110000, id est ut 2965 ad 100, & inde Variatio illa BD prodibit 16'.24".

Haec est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunae in Orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si Nodi in Syzygiis versantur, nil mutatur ex vario situ Lunae. At si Nodi in Quadraturis consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis, quàm ubi ea versatur in Quadraturis, excessu 2'.44"; uti in Propositionis superioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus excessus dimidio 1'.22" Variatio tota mediocris BD in Quadraturis Lunaribus diminuta fit 15'.2", in ipsius autem Syzygiis aucta fit 17'.46". Si Luna igitur in Syzygiis constituatur, Variatio tota, in transitu Nodorum à Quadraturis ad Syzygias, erit 17'.46". adeoque si Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis versantur, sit 5 gr. 17'.46". eadem, ubi Nodi sunt in Quadraturis, & Luna in Syzygiis, erit 5 gr. Atque haec ita se habere confirmatur ex Observationibus. Nam statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticae, ubi Nodi sunt in Quadraturis & Luna in oppositione Solis, esse quasi 5 gr. Ubi verò Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent esse 5 gr. 17'½ vel 5 gr. 18'.

Si jam desideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzgiis & Nodi ubivis versantur; fiat AB ad AD ut Sinus 5 gr. ad Sinum

5 gr. 17.46", & capiatur angulus AEG aequalis duplicatae distantiae Nodorum à Quadraturis; & erit AH Sinus Inclinationis quaesitae. Huic Orbis Inclinationi aequalis est ejusdem Inclinatio, ubi Luna distat 90 gr. à Nodis. Aliis in Lunae locis inaequalitas menstrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunae compensatur & quodammodo tollitur per inaequalitatem menstruam motus Nodorum, (ut supra diximus) adeoque in calculo Latitudinis illius negligi potest.

Scholium.

Hactenus de motibus Lunae quatenus Excentricitas Orbis non consideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apogaeum, ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur singulis diebus 23' respectu Fixarum; ubi verò in Quadraturis est, regreditur singulis diebus 16⅓ circiter: quodque ipsius motus medius annuus sit quasi 40 gr. Per Tabulas Astronomicas à Cl. Flamstedio ad Hypothesin Horroxii accommodatas, Apogaeum in ipsius Syzygiis progreditur cum motu diurno 24'.28", in Quadraturis autem regreditur cum motu diurno 20'.12", & motu medio annuo 40 gr. 41' fertur in consequentia. Quod differentia inter motum diurnum progressivum Apogaei in ipsius Syzygiis, & motum diurnum regressivum in ipsius Quadraturis, per Tabulas sit 4'.16", per computationem verò nostram 6'⅔, vitio Tabularum tribuendum esse suspicamur. Sed neque computationem nostram satis accuratam esse putamus. Nam rationem quandam ineundo prodiere Apogaei motus diurnus progressivus in ipsius Syzygiis, & motus diurnus regressivus in ipsius Quadraturis, paulo majores. Computationes autem, ut nimis perplexas & approximationibus impeditas, neque satis accuratas, apponere non lubet.

Prop. XXXVI. Prob. XVI. Invenire vim Solis ad Mare movendum.

Solis vis ML seu PS, in Quadraturis Lunaribus, ad perturbandos motus Lunares, erat (per Prop. XXV. hujus) ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad

638092, 6. Et vis SM−LM seu 2 PK in Syzygiis Lunaribus est duplo major. Hae autem vires, si descendatur ad superficiem Terrae, diminuuntur in ratione distantiarum à centro Terrae, id est in ratione 60½ ad 1; adeoque vis prior in superficie Terrae est ad vim gravitatis ut 1 ad 38604600. Hac vi Mare deprimitur in locis quae 90 gr. distant à Sole. Vi alterâ quae duplo major est Mare elevatur, & sub Sole & in regione Soli opposita. Summa virium est ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum, sive ea deprimat Aquam in regionibus quae 90 gr. distant à Sole, sive elevet eandem in regionibus sub Sole & Soli oppositis, haec summa erit tota Solis vis ad Mare agitandum; & eundem habebit effectum ac si tota in regionibus sub Sole & Soli oppositis mare elevaret, in regionibus autem quae 90 gr. distant à Sole nil ageret.

Corol. Hinc cum vis centrifuga partium Terrae à diurno Terrae motu oriunda, quae est ad vim gravitatis ut 1 ad 291, efficiat ut altitudo Aquae sub Aequatore superet ejus altitudinem sub polis mensura pedum Parisiensium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 291 ad 12868200 seu 1 ad 44221, efficiet ut altitudo aquae in regionibus sub Sole & Soli oppositis superet altitudinem ejus in locis quae 90 gradibus distant à Sole, mensura tantum pedis unius Parisiensis & digitorum undecim. Est enim haec mensura ad mensuram pedum 85200 ut 1 ad 44221.

Prop. XXXVII. Prob. XVII. Invenire vim Lunae ad Mare movendum.

Vis Lunae ad mare movendum colligenda est ex ejus proportione ad vim Solis, & haec proportio colligenda ex proportione motuum maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante ostium fluvii Avonae, ad lapidem tertium infra Bristoliam, tempore verno & autumnali totus aquae ascensus in Conjunctione & Oppositione Luminarium (observante Samuele Sturmio) est pedum plus minus 45, in Quadraturis autem est pedum tantum 25: Altitudo prior ex summa virium, posterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur & Lunae in Aequatore versantium & mediocriter à Terra distantium, sunto vires S & L. Et quoniam Luna in Quadraturis, tempore verno & autumnali extra Aequatorem in declinatione graduum plus minus 23½ versatur, & Luminaris ab Aequatore declinantis vis ad mare movendum minor sit, idque (quantum sentio) in duplicata ratione Sinus complementi declinationis quam proximè, vis Lunae in Quadraturis, (cum sinus ille sit ad radium ut 91706 ad 100000) erit 841/1000 L, & summa virium in Syzygiis erit L+S, ac differentia in Quadraturis 841/1000 L−S, adeoque L+S erit ad 841/1000 L−S ut 45 ad 25 seu 9 ad 5, & inde 5 L+5S aequalis erit 7569/1000 L−9S, & 14 S aequalis 2569/1000 L, & propterea L ad S ut 14000 ad 2569 seu 5 7/15 ad 1. In Portu Plymuthi aestus maris (ex observatione Samuelis Colepressi) ad pedes plus minus sexdecim, altitudine mediocri attollitur, ac tempore verno & autumnali altitudo aestus in Syzygiis Lunae superare potest altitudinem ejus in Quadraturis pedibus septem vel octo. Si excessus mediocris his temporibus sit pedum septem cum dimidio; aestus in Syzygiis ascendet ad pedes 19¾, in Quadraturis ad pedes 12¼, & sic L+S erit ad 841/1000 L−S ut 19¾ ad 12¼, & inde L ad S ut 734 ad 100 seu 7⅓ ad 1. Est igitur vis Lunae ad vim Solis per computationem priorem ut 5 7/15 ad 1, per posteriorem ut 7⅓ ad 1. Donec aliquid certius ex Observationibus accuratius institutis constiterit, usurpabimus proportionem mediocrem 6⅓ ad 1. Unde cum vis Solis sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis Lunae erit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821.

Corol. 1. Igitur cum aqua vi Solis agitata ad altitudinem pedis unius & undecim digitorum ascendat, eadem vi Lunae ascendet ad altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit, & quantitati motuum probe respondet. Nam in maribus quae ab Oriente in Occidentem latè patent, uti in Mari Pacifico, & Maris Atlantici & Aethiopici partibus extra Tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex, novem duodecim vel quindecim. In mari autem Pacifico, quod profundius est & latius patet, aestus dicuntur esse majores quàm in Atlantico & Aethiopico. Etenim ut plenus sit aestus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor esse debet quàm graduum nonaginta. In Mari Aethiopico, ascensus aquae intra Tropicos minor est quàm in Zonis temperatis, propter angustiam Maris inter Africam & Australem partem Americae. In medio Mari aqua nequit ascendere nisi ad littus utrumque & orientale & occidentale simul descendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus & refluxus in Insulis, quae à littoribus longissimè absunt, perexiguus esse solet. In Portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca vadosa, ad Sinus alternis vicibus implendos & evacuandos, influere & effluere cogitur, fluxus & refluxus sunt solito majores, uti ad Plymuthum & pontem Chepstowae in Anglia; ad montes S. Michaelis & urbem Abrincatuorum (vulgo Auranches) in Normania; ad Cambaiam & Pegu in India orientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa Milliaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40 vel 50 & amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum & vadosorum, uti Magellanici & ejus quo Anglia circundatur. Aestus in hujusmodi portubus & fretis per impetum cursus & recursus supra modum augetur. Ad littora, verò quae descensu praecipiti ad mare profundum & apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi & remeandi attolli & subsidere potest, magnitudo aestus respondet viribus Solis & Lunae.

Corol. 2. Cum vis Lunae ad mare movendum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821, perspicuum est quod vis illa sit longè minor quàm quae vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis aut Hydrostaticis quibuscunque sentiri possit. In aestu solo marino haec vis sensibilem edit effectum.

Corol. 3. Quoniam vis Lunae ad mare movendum est ad Solis vim consimilem ut 6⅓ ad 1, & vires illae sunt ut densitates corporum Lunae & Solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim; erit densitas Lunae ad densitatem Solis ut 6⅓ ad 1 directè & cubus diametri Solis ad cubum diametri Lunae inversè, id est (cum diametri mediocres apparentes Solis & Lunae sint 31'.27".&32'.12".) ut 34 ad 5. Densitas autem Solis erat ad densitatem Terrae ut 100 ad 387, & propterea densitas Lunae est ad densitatem Terrae ut 680 ad 387, seu 9 ad 5 quam proximè. Est igitur corpus Lunae densius & magis terrestre quàm Terra nostra.

Corol. 4. Unde cum vera diameter Lunae sit ad veram diametrum Terrae ut 1 ad 3, 6½, erit massa Lunae ad massam Terrae ut 1 ad 26 quam proximè.

Corol. 5. Et gravitas acceleratrix in superficie Lunae, erit quasi duplo minor quàm gravitas acceleratrix in superficie Terrae.

Prop. XXXVIII. Prob. XVIII. Invenire figuram corporis Lunae.

Si corpus Lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis Terrae ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum, esset ad vim Lunae, qua mare nostrum in partibus & sub Luna & Lunae oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lunae in Terram ad gravitatem acceleratricem Terrae in Lunam & diameter Lunae ad diametrum Terrae conjunctim; id est ut 26 ad 1 & 5 ad 18 conjunctim seu 65 ad 9. Unde cum mare nostrum vi Lunae attollatur ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi Terrae attolli deberet ad pedes fere nonaginta. Eaque de causa figura Lunae Sphaerois esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum Terrae, & superaret diametros perpendiculares excessu pedum 180. Talem igitur figuram Luna affectat, eamque sub initio induere debuit. Q.E.I.

Corol. Inde verò fit ut eadem semper Lunae facies in Terram obvertatur. In alio enim situ corpus Lunare quiescere non potest, sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes ob parvitatem virium agitantium essent longè tardissimae: adeò ut facies illa, quae Terram semper respicere deberet, possit alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem superius allatam respicere, neque statim abinde retrahi & in Terram converti.

Lemma I. Si APEp Terram designet uniformiter densam, centroque C & polis P, p & aequatore AE delineatam; & si centro C radio CP describi intelligatur sphaera Pape; sit autem QR planum, cui recta à centro Solis ad centrum Terrae ducta normaliter insistit; & Terrae totius exterioris PapAPepE, quae Sphaerâ modò descriptâ altior est, particulae
singulae conantur recedere hinc inde à plano QR, sitque conatus particulae cujusque ut ejusdem distantia à plano: erit vis & efficacia tota particularum omnium, ad Terram circulariter movendam, quadruplo minor quàm vis tota particularum totidem in Aequatoris circulo AE, uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum, ad Terram consimili motu circulari movendam. Et motus iste circularis circa axem in plano QR jacentem, & axi Pp perpendiculariter insistentem, peragetur.

Sit enim IK circulus minor Aequatori AE parallelus, sitque L particula Terrae in circulo illo extra globum Pape sita. Et si in planum QR demittatur perpendiculum LM, vis tota particulae illius ad Terram circa ipsius centrum convertendum proportionalis erit eidem LM: & si haec vis LM (per Legum Corol. 2.) distinguatur in vires LN, NM; efficacia virium MN particularum omnium L, in circuitu Terrae totius extra globum Pape consistentium, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem literarum ApEP convertendam, erit ad efficaciam virium LN particularum omnium L, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem contrarium earundem literarum convertendam, ut tria ad duo. Ideoque efficacia virium omnium MN erit ad excessum efficaciae hujus supra efficaciam virium omnium LN ut tria ad unum. Et si particulae illae omnes locarentur in Aequatore, efficacia virium omnium LN evanesceret, & efficacia virium omnium MN augeretur in ratione quatuor ad tria. Quare excessus ille, qui est efficacia absoluta particularum in locis propriis, est pars quarta efficaciae particularum earundem in Aequatore. Motus autem aequinoctiorum est ut haec efficacia. Singula examinet qui volet. Brevitati consulo.

Lemma II. Motus autem Terrae totius circa axem illum, ex motibus particularum omnium compositus, erit ad motum annuli circa axem eundem, in ratione composita ex ratione materiae in Terra ad materiam in annulo, & ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque, ad duo quadrata ex diametro; id est in ratione materiae ad materiam & numeri 925275 & 1000000.

Est enim motus Cylindri circa axem suum immotum revolventis, ad motum Sphaerae inscriptae & simul revolventis, ut quaelibet quatuor aequalia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis: & motus Cylindri ad motum annuli tenuissimi, Sphaeram & Cylindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materiae in Cylindro ad triplum materiae in annulo; & annuli motus iste circa axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejusdem motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri.

Lemma III.

Si annulus, Terra omni reliqua sublata, solus in orbe Terrae motu annuo circa Solem ferretur, & interea circa axem suum, ad planum Eclipticae in angulo graduum 23 ½ inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum Aequinoctialium sive annulus iste fluidus esset, sive is ex materia rigida & firma constaret.

Prop. XXXIX. Prob. XIX. Invenire Praecessionem Aequinoctiorum.

Motus mediocris horarius Nodorum Lunae in Orbe circulari, ubi Nodi sunt in Quadraturis, erat 16".35'''.16iv.36v. & hujus dimidium 8".17'''.38iv.18v. (ob rationes supra explicatas) est motus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto sidereo 20 gr. 11'.46". Quoniam igitur Nodi Lunae in tali Orbe conficerent annuatim 20 gr. 11'.46". in antecedentia; & si plures essent Lunae motus Nodorum cujusque, per Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I. forent reciprocè ut tempora periodica; & propterea si Luna spatio diei siderei juxta superficiem Terrae revolveretur, motus annuus Nodorum foret ad 20 gr. 11'.46". ut dies sidereus horarum 23.56'. ad tempus periodicum Lunae dierum 27.7 hor. 43'; id est ut 1436 ad 39343. Et par est ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; sive Lunae illae se mutuò non contingant, sive liquescant & in annulum continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat & inflexibilis reddatur.

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiae

aequalis sit Terrae omni PapAPepE, quae globo PapE superior est; & quoniam globus iste est ad Terram illam superiorem ut aC qu. ad AC qu. − aC qu. id est (cum Terrae diameter minor PC vel aC sit ad diametrum majorem AC ut 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 seu 1000 ad 114584; si annulus iste Terram secundum aequatorem cingeret, & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per hujus Lem. II.) ut 4143 ad 474721 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli & globi, ut 4143 ad 443391. Unde si annulus globo adhaereat, & motum suum, quo ipsius Nodi seu puncta aequinoctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut 4143 ad 443391; & propterea motus punctorum aequinoctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum aequinoctialium corporis ex globo & annulo compositi, ad motum 20 gr. 11'.46", ut 1436 ad 39343 & 4143 ad 443391 conjunctim, id est ut 1 ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lunarum (ut supra explicui) atque adeò quibus puncta aequinoctialia annuli regrediuntur (id est vires 3 IT, in Fig. pag. 444.) sunt in singulis particulis ut distantiae particularum à plano QR, & his viribus particulae illae planum fugiunt; & propterea (per Lem. I.) si materia annuli per totam globi superficiem, in morem figurae PapAPepE, ad superiorem illam Terrae partem constituendam spargeretur, vis & efficacia tota particularum omnium ad Terram circa quamvis Aequatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta aequinoctialia, evaderet quadruplo minor quàm prius. Ideoque annuus aequinoctiorum regressus jam esset ad 20 gr. 11'.46". ut 1 ad 11728, ac proinde fieret 6".12'''.2iv. Haec est praecessio Aequinoctiorum à vi Solis oriunda. Vis autem Lunae ad mare movendum erat ad vim Solis ut 6⅓ ad 1, & haec vis pro quantitate sua augebit etiam praecessionem Aequinoctiorum. Ideoque praecessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione 7⅓ ad 1, & sic erit 45".24'''.15iv. Hic est motus punctorum aequinoctialium ab actionibus Solis & Lunae in partes Terrae, quae globo Pape incumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest.

Designet jam APEp corpus Terrae figurâ Ellipticâ praeditum, & ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figuras innumeras Ellipticas concentricas & consimiles, APEp, BQbq, CRcr, DSds, &c. quarum diametri sint in progressione Geometrica: quoniam figurae consimiles sunt, vires Solis & Lunae, quibus puncta aequinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem aequinoctialia eadem

cum velocitate regrederentur. Et par est ratio motus orbium singulorum AQEq, BRbr, CScs, &c. qui sunt figurarum illarum differentiae. Orbis uniuscujusque, si solus esset, puncta aequinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert utrum orbis quilibet densior sit an rarior, si modò ex materia uniformiter densa confletur. Unde etiam si orbes ad centrum densiores sint quàm ad circumferentiam, idem erit motus aequinoctiorum Terrae totius ac prius; si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet, & figura orbis non mutetur. Quod si figurae orbium mutentur, Terraque ad aequatorem AE, ob densitatem materiae ad centrum, jam altius ascendat quàm prius; regressus aequinoctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materiae juxta orbis illius aequatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis materiae juxta aequatorem orbis non extimi AQEq, non intimi Gg, sed mediocris alicujus CScs. Terram autem ad centrum densiorem esse, & propterea sub Aequatore altiorem esse quàm ad polos in majore ratione quàm 692 ad 689, in superioribus insinuavimus. Et ratio majoris altitudinis, colligi ferè potest ex majore diminutione gravitatis sub aequatore, quàm quae ex ratione 692 ad 689 consequi debeat. Excessus longitudinis penduli, quod in Insula Goree & in illâ Cayennae minutis singulis secundis oscillatur, supra longitudinem Penduli quod Parisiis eodem tempore oscillatur, à Gallis inventi sunt pars decima & pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689 prodiere 81/1000 & 89/1000. Major est itaque longitudo Penduli Cayennae quàm oportet, in ratione, ⅛ ad 8 /10 0, seu 1000 ad 712; & in Insula Goree in ratione 1/10 ad 81/1000 seu 1000 ad 810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda erit gravitas Terrae ad aequatorem, & ibidem augenda ejus al titudo, in ratione 1000 ad 760 quam proximè. Unde motus aequinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis Terrae, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad intermedium aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad 8⅓ vel 6 ad 5, evadet annuatim 54".29'''.6iv.

Rursus hic motus, ob inclinationem plani Aequatoris ad planum Eclipticae, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Nam distantia particulae cujusque terrestris à plano QR, quo tempore particula illa à plano Eclipticae longissimè distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminuitur, per inclinationem planorum Eclipticae & Aequatoris ad invicem, in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Et in ratione distantiae illius diminuitur etiam vis particulae ad aequinoctia movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium particulae ejusdem, in locis hinc inde à Tropico aequaliter distantibus: uti ex praedemonstratis facilè ostendi possit: & propterea vis tota particulae illius, in revolutione integrâ, ad aequinoctia movenda, ut & vis tota particularum omnium, & motus aequinoctiorum à vi illa oriundus, diminuitur in eadem ratione. Igitur cum inclinatio illa sit 23½ gr. diminuendus est motus 54".29'''. in ratione Sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum 23 1/ ) ad Radium 100000. Qua ratione motus iste jam fiet 49".58'''. Regrediuntur igitur puncta aequinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) 49".58''', fere ut Phaenomena coelestia requirunt. Nam regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est 50".

Descripsimus jam Systema Solis, Terrae & Planetarum; superest ut de Cometis nonnulla adjiciantur.

Lemma IV. Cometas esse Lunâ superiores & in regione Planetarum versari.

Ut defectus Parallaxeos diurnae extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Cometae qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos & Solem; at justo celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et è contra, qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis, si Terra versatur inter ipsos & Solem; & justo tardiores vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maximè ex motu Terrae in vario ipsius fitu, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terrae vel conspirante vel contrario, nunc retrogradi sunt, nunc tardiùs moveri videntur, nunc verò celeriùs. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angulari circa Solem celerius fertur, Cometa è Terra spectatus, ob motum suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra tardiùs fertur, motus Cometae, (detracto motu Terrae) fit saltem tardior. At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia Cometae in

hunc modum colligitur. Sunto ♈ QA,QB,QC observatae tres longitudines Cometae, sub initio motus, sitque ♈ QF longitudo ultimò observata, ubi Cometa videri desinit. Agatur recta ABC, cujus partes AB, BC rectis QA & QB, QB & QC interjectae, sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas. Producatur AC ad G, ut sit AG ad AB ut tempus inter observationem primam & ultimam, ad tempus inter observationem primam & secundam, & jungatur QG. Et si Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quiesceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrederetur; foret angulus ♈ QG longitudo Cometae tempore Observationis ultimae. Angulus igitur FQG, qui longitudinum differentia est, oritur ab inaequalitate motuum Cometae ac Terrae. Hic autem angulus, si Terra & Cometa in contrarias partes moventur, additur angulo AQG, & sic motum apparentem Cometae velociorem reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, eidem subducitur, motumque Cometae vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modò exposui. Oritur igitur hic angulus praecipuè ex motu Terrae, & idcirco pro parallaxi Cometae meritò habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod à Cometae motu inaequabili in orbe proprio oriri possit. Distantia verò Cometae ex hac parallaxi sic colligitur. Designet S Solem, acT orbem magnum,
a locum Terrae in observatione prima, c locum Terrae in observatione secunda, T locum Terrae in observatione ultima, & T ♈ lineam rectam versus principium Arietis ductam. Sumatur angulus ♈ TV aequalis angulo ♈ QF, hoc est aequalis longitudini Cometae ubi Terra versatur in T. Jungatur ac, & producatur ea ad g, ut sit ag ad ac ut AG ad AC, & erit g locus quem Terra tempore observationis ultimae, motu in recta ac uniformiter continuato, attingeret. Ideoque si ducatur g ♈ ipsi T ♈ parallela, & capiatur angulus ♈ gV angulo ♈ QG aequalis, erit hic angulus gV aequalis longitudini Cometae è loco g spectati; & angulus TVg parallaxis erit, quae oritur à translatione Terrae de loco g in locum T: ac proinde V locus erit Cometae in plano Eclipticae. Hic autem locus V orbe Jovis inferior esse solet.

Idem colligitur ex curvatura viae Cometarum. Pergunt haec corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa quae à parallaxi oritur majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab his circulis, & quoties Terra movetur in unam partem abire in partem contrariam. Oritur haec deflexio maximè ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terrae; & insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas satis longè infra Jovem. Unde consequens est quòd in Perigaeis & Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt saepius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis coelestis à Sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiae: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam à Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometae, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planetae in ratione integra diametri ad diametrum directè & ratione dimidiata lucis ad lucem inversè. Sic minima Capillitii Cometae anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum à Cl. Flamstedio observata & micrometro mensurata, aequabat 2'.0". Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11" vel 12". Luce verò & claritate capitis superabit caput Cometae anni 1680, stellasque primae vel secundae magnitudinis aemulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: & quoniam lux annuli propemodum aequabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 21", adeoque lux globi & annuli conjunctim aequaret lucem globi, cujus diameter esset 30": erit distantiae Cometae ad distantiam Saturni ut 1 ad √4 inversè, & 12" ad 30" directè, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa anni 1665 mense Aprili, ut Author est Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris videlicet longè vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni praecedentis apparuerat & cum stellis primae magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi 6', at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi aequalis judicabatur. Porrò cum diameter Capillitii Cometarum rarò superet 8' vel 12', diameter verò Nuclei seu stellae centralis sit quasi decima vel fortè decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarò conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Cometae omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto coelo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certè ratione non magis illustrari deberent à Sole nostro, quàm Planetae, qui hic sunt, illustrantur à Stellis fixis.

Haec disputavimus non considerando obscurationem Cometarum per fumum illum maximè copiosum & crassum, quo caput circundatur, quasi per nubem obtusè semper lucens. Nam quanto obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat necesse est, ut copia lucis à se reflexa Planetas aemuletur. Inde verisimile fit Cometas longe infra Sphaeram Saturni descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verò quam maximè confirmatur ex Caudis. Hae vel ex reflexione fumi sparsi per aethera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia Cometarum, ne fumus à Capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate & expansione propagetur. In posteriore referenda est lux omnis tam caudae quàm capillitii ad Nucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari & intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certè, quoties caudam maximam & fulgentissimam emittit, Jovem ipsum splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multò magis illustrabitur à Sole, adeoque erit Soli multò proprior. Quinetiam capita sub Sole delitescentia, & caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque superaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum à Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu à Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observante Hevelio,) ex quo conspici caepit, remittebat semper de motu suo, adeoque praeterierat Perigaeum; Splendor verò capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem Hevelio, in fine Mensis Iulii ubi primum conspectus est, tardissimò movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad Sept. 4. quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur: quippe quam Hevelius reperit Aug. 6. esse tantum 6'.5" inclusâ comâ, at Sept. 2. esse 9'.7". Caput igitur initio longe minus apparuit quàm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quàm circa finem, ut refert idem Hevelius. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius à Sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Mensis Decembris, & iste Anni 1680 circa finem ejusdem Mensis, celerrimè movebantur, adeoque tunc erant in Perigaeis. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere septimanas, ubi modo exierant de radiis Solaribus; & splendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometae prioris, juxta observationes Cysati, Decem. 1. majus videbatur stellis primae magnitudinis, & Decem. 16. (jam in Perigaeo existens) magnitudine parùm, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. Ian. 7. Kepterus de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis Decemb. conspectum & à Flamstedio observatum est caput Cometae posterioris, in distantia novem graduum à Sole; id quod stellae tertiae magnitudinis vix concessum fuisset. Decem. 15 & 17 apparuit idem ut stella tertiae magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentem. Decem. 26. velocissime motus, inque Perigaeo propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stellae tertiae magnitudinis. Ian. 3. apparebat ut Stella quartae, Ian. 9. ut Stella quintae, Ian. 13. ob splendorem Lunae crescentis disparuit. Ian. 25. vix aequabat Stellas magnitudinis septimae. Si sumantur aequalia à Perigaeo hinc inde tempora, capita quae temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob aequales à Terra distantias, aequaliter lucere debuissent, in plaga Solis, maxime splenduere, ex altera Perigaei parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis & Cometae vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis esse solet, & maxima apparere ubi capita velocissimè moventur, atque adeo sunt in Perigaeis; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis.

Corol. 1. Splendent igitur Cometae luce Solis à se reflexa.

Corol. 2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometae tantopere frequentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longè ultra Saturnum deberent saepius apparere in partibus Soli oppositis. Forent enim Terrae viciniores qui in his partibus versarentur, & Sol interpositus obscuraret caeteros. Verum percurrendo historias Cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphaerio Solem versus, quàm in Hemisphaerio opposito, praeter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur à Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quàm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem descripti pars longè major sita est à latere Terrae quod Solem respicit; inque parte illa majore Cometae Soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent.

Corol. 3. Hinc etiam manifestum est, quod coeli resistentia destituuntur. Nam Cometae vias obliquas & nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimè, & motus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimè conservant. Fallor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum à capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmosphaeris ingentibus cinguntur; & Atmosphaerae infernè densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes illae visuntur. Sic Terra si è Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetae illius formata, situm mutant inter se, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosphaeris & profundioribus & crassioribus abscondi debent.

Prop. XL. Theor. XXI. Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.

Patet per Corol. 1. Prop. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

Corol. 1. Hinc si Cometae in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in ratione sequialtera transversorum axium. Ideoque Cometae maxima ex parte supra Planetas versantes, & eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Cometae sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Cometae erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut 4 √4 (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

Corol. 2. Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolae absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

Corol. 3. Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velocitas Cometae omnis erit semper ad velocitatem Planetae cujusvis circa Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicatae distantiae Cometae à centro Solis ad distantiam Planetae à centro Solis quamproximè. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium 100000000, & Terra motu suo diurno mediocri describet partes 1720212, & motu horario partes 71675½. Ideoque Cometa in eadem Telluris à Sole distantia mediocri, ea cum velocitate quae sit ad velocitatem Telluris ut √2 ad 1, describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario partes 101364½. In majoribus autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in dimidiata ratione distantiarum respectivè, ideoque datur.

Lemma V. Invenire lineam curvam generis Parabolici, quae per data quotcunque puncta transibit.

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datam HN demitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, DL, EM, FN.

Cas. 1. Si punctorum H, I, K, L, M, N aequalia sunt intervalla HI, IK, KL, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK &c. differentias primas b, 2 b, 3 b, 4 b, 5 b, &c. secundas c, 2 c, 3 c, 4 c, &c. tertias d, 2 d, 3 d, &c. id est, ita ut sit HA−BI=b, BI−CK=2 b, CK−DL=3 b, DL+EM=4 b, −EM+FN=5 b, &c. dein b−2 b=c &c. Deinde erecta

quacunque perpendiculari RS, quae fuerit ordinatim applicata ad curvam quaesitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, KL, LM, &c. unitates esse, & dic AH=a, −HS=p, ½ p in −IS=q,q in +SK=r, ¼ r in +SL=s,s in +SM=t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum ME, & praeponendo signa negativa terminis HS, IS, &c. qui jacent ad partes puncti S versus A, & signa affirmativa terminis SK, SL, &c. qui jacent ad alteras partes puncti S. Et signis probe observatis erit RS=a+bp, +cq+dr+es+ft &c.

Cas. 2. Quod si punctorum H, I, K, L, &c. inaequalia sint intervalla HI, IK, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b, 2 b, 3 b, 4 b, 5 b; secundas per intervalla bina divisas c, 2 c, 3 c, 4 c, &c. tertias per intervalla terna divisas d, 2 d, 3 d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2 e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b=AH−BI / HI, 2 b=BI−CK / IK, 3 b=CK−DL / KL &c. dein c=b−2 b / HK, 2c=2 b−3b / IL, 3 c=3 b−4 b / KM &c. Postea d=c−2 c / HL 2 d=2 c−3 c / IM &c. Inventis differentiis, dic AH=a, −HS=p, p in −IS=q, q in +SK=r, r in +SL=S, S in +SM=t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ME, & erit ordinatim applicata RS=a+bp+cq+dr+es+ft, &c.

Corol. Hinc areae curvarum omnium inveniri possunt quamproximè. Nam si curvae cujusvis quadrandae inveniantur puncta aliquot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolae hujus eadem quam proximè cum area curvae illius quadrandae. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricè.

Lemma VI. Ex observatis aliquot locis Cometae invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.

Designent HI, IK, KL, LM tempora inter observationes, (in Fig. praeced.) HA, IB, KC, LD, ME, observatas quinque longitudines Cometae, HS tempus datum inter observationem primam & longitudinem quaesitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci intelligatur curva regularis ABCDE; & per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata RS, erit RS longitudo quaesita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parvae sint differentiae, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiae, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi.

Lemma VII. Per datum punctum P ducere rectam lineam BC, cujus partes PB, PC, rectis duabus positione datis AB, AC abscissae, datam habeant rationem ad invicem.

A puncto illo P ad rectarum alterutram AB ducatur recta quaevis PD, & producatur eadem versus rectam alteram AC usque ad E, ut sit PE ad PD in data illa ratione. Ipsi AD parallela sit EC; & si agatur CPB, erit PC ad PB ut PE ad PD.Q.E.F.

Lemma VIII. Sit ABC Parabola umbilicum habens S. Chordâ AC bisectâ in I abscindatur segmentum ABCI, cujus diameter sit I μ & vertex μ. In I μ productâ capiatur μ O aequalis dimidio ipsius I μ. Iungatur OS, &
producatur ea ad ξ, ut sit S ξ aequalis 2 SO. Et si Cometa B moveatur in arcu CBA, & agatur ξ B secans AC in E: dico quod punctum E abscindet de chorda AC segmentum AE tempori proportionale quamproxime.

Jungatur enim EO secans arcum Parabolicum ABC in Y, & erit area curvilinea AEY ad aream curvilineam ACY ut AE ad AC quamproximè. Ideoque cum triangulum ASE sie ad triangulum ASC in eadem ratione, erit area tota ASEY ad aream totam ASCY ut AE ad AC quamproximè. Cum autem ξ O sit ad SO ut 3 ad 1 & EO ad YO prope in eadem ratione, erit SY ipsi EB parallela quamproximè, & propterea triangulum SEB, triangulo YEB quamproximè aequale. Unde si ad aream ASEY addatur triangulum EYB, & de summa auferatur triangulum SEB, manebit area ASBY areae ASEY aequalis quamproximè, atque adeo ad aream ASCY ut AE ad AC. Sed area ASBY est ad aream ASCY ut tempus descripti arcus AB ad tempus descripti arcus totius. Ideoque AE est ad AC in ratione temporum quamproximè. Q.E.D.

Lemma IX.

Rectae I μ & μ M & longitudo AIC / 4S μ aequantur inter se. Nam 4 S μ est latus rectum Parabolae pertinens ad verticem B.

Lemma X. Si producatur S μ ad N & P, ut μ N sit pars tertia ipsius μ I, & SP sit ad SN ut SN ad S μ. Cometa quo tempore describit arcum A μ C, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi SP aequali, describeret longitudinem aequalem chordae AC.

Nam si velocitate quam habet in μ, eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quae Parabolam tangit in μ; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, aequalis esset areae Parabolicae ASC μ. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente descripta & longitudine S μ, esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASC μ ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut S μ ad SN. Cum autem velocitas Cometae in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine S μ in dimidiata ratione SP ad S μ

inversè, id est in ratione S μ ad SN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut S μ ad SN. Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, aequantur inter se. Q.E.D.

Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine S μ+⅔I μ, eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.

Lemma XI. Si Cometa motu omni privatus de altitudine SN seu Sμ+⅓Iμ demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem quo tempore in orbe suo describat arcum AC, descensu suo describeret spatium longitudini Iμ aequale.

Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium aequale quadrato semissis chordae illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq./4 SP. Unde cum pondus Cometae in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad Sμ: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq./4 Sμ, id est spatium longitudini Iμ vel Mμ aequale. Q.E.D.

Prop. XLI. Prob. XX. Cometae in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.

Problema hocce longe difficillimum multimodè aggressus, composui Problemata quaedam in Libro primo quae ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulò simpliciorem excogitavi.

Seligantur tres observationes aequalibus temporum intervallis ab invicem quamproximè distantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summa tempoporum ad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non praesto sint, inveniendus est novus Cometae locus per Lemma sextum.

Designent S Solem, T, t, τ tria loca Terrae in orbe magno, TA, tB, τ C observatas tres longitudines Cometae, V tempus inter observationem primam & secundam, W tempus inter secundam ac tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole distantia, describere posset, & tV perpendiculum in chordam Tτ. In longitudine media tB sumatur utcunque punctum B, & inde versus Solem S

ducatur linea BE, quae sit ad Sagittam tV ut contentum sub SB & St quadrato ad cubum hypotenusae trianguli rectanguli, cujus latera sunt SB & tangens latitudinis Cometae in observatione secunda ad radium tB. Et per punctum E agatur recta AEC, cujus partes AE, EC ad rectas TA & τC terminatae, sint ad invicem ut tempora V & W: Tum per puncta A, B, C, duc circumferentiam circuli, eamque biseca in i, ut & chordam AC in I. Age occultam Si secantem AC in λ, & comple parallelogrammum iIλμ. Cape Iσ aequalem 3 Iλ, & per Solem S age occultam σξ aequalem 3 Sσ+3 iλ. Et deletis jam literis A, E, C, I, à puncto B versus punctum ξ duc occultam novam BE, quae sit ad priorem BE in duplicata ratione distantiae BS ad quantitatem Sμ+⅓ iλ. Et per punctum E iterum duc rectam AEC eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes AE & EC sint ad invicem ut tempora inter observationes, V & W.

Ad AC bisectam in I erigantur perpendicula AM, CN, IO, quarum AM & CN sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios TA & μα. Jungatur MN secans IO in O. Constituatur rectangulum iIλμ, ut prius. In IA producta capiatur ID aequalis Sμ+⅔ iλ, & agatur occulta OD. Deinde in MN versus N capiatur MP, quae sit ad longitudinem supra inventam X in dimidiata ratione mediocris distantiae Telluris à Sole (seu semi-diametri orbis magni) ad distantiam OD. Et in AC capiatur CG ipsi NP aequalis, ita ut puncta G & P ad easdem partes rectae NC jaceant.

Eadem methodo qua puncta E, A, C, G, ex assumpto puncto B inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis b & β puncta nova e, a, c, g, & ε, α χ, γ. Deinde si per G, g, γ ducatur circumferentia circuli Ggγ secans rectam τC in Z: erit Z locus Cometae in plano Eclipticae. Et si in AC, ac, α χ capiantur AF, af, αφ ipsis CG, cg, χ γ respectivè aequales, & per puncta F, f, φ ducatur circumferentia circuli Ffφ secans rectam AT in X; erit punctum X alius Cometae locus in plano Eclipticae. Ad puncta X & Z erigantur tangentes latitudinum Cometae ad radios TX & τ Z; & habebuntur loca duo Cometae in orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S, per loca illa duo describatur Parabola, & haec erit Trajectoria Cometae. Q.E.I.

Constructionis hujus demonstratio ex Lemmatibus consequitur: quippe cum recta AC secetur in E in ratione temporum, per Lemma VIII: & BE per Lem. XI. sit pars rectae BS in plano Eclipticae arcui ABC & chordae AEG interjecta; & MP (per Lem. VIII.) longitudo sit chordae arcus, quem Cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam describere debet, ideoque ipsi MN aequalis fuerit, si modò B sit verus Cometae locus in plano Eclipticae.

Caeterum puncta B, b, β non quaelibet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulus AQt in quo vestigium orbis in plano Eclipticae descriptum secabit rectam tB praeterpropter innotescat, in angulo illo ducenda erit recta occulta AC, quae sit ad 4/3 Tt in dimidiata ratione St ad SQ. Et agendo rectam SEB cujus pars EB aequetur longitudini Vt, determinabitur punctum B quod prima vice usurpare licet. Tum rectâ AC deletâ & secundum praecedentem constructionem iterum ductâ, & inventâ insuper longitudine MP; in tB capiatur punctum b, ea lege, ut si TA, TC se mutuò secuerint in Y, sit distantia Yb ad distantiam YB in ratione composita ex ratione MN ad MP & ratione dimidata SB ad Sb. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium β; si modò operationem tertiò repetere lubet. Sed hac methodo operationes duae ut plurimum suffecerint. Nam si distantia Bb perexigua obvenerit, postquam inventa sunt puncta F, f & G, g, actae rectae Ff & Gg secabunt TA & τC in punctis quaesitis X & Z.

Exemplum.

Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum à Flamstedio observatum Tabula sequens exhibet.

  Tem. appar. Temp. verū Long. Solis Long. Cometae Lat. Cometae 1680 December 12 4.46 4.46.00 ♑ 1.53.2 ♑ 6.33.0 8.26.0 21 6.32½ 6.36.59 11.8.10 ♒ 5.7.38 21.45.30 24 6.12 6.17.52 14.10.49 18.49.10 25.23.24 26 5.14 5.20.44 16.10.38 28.24.6 27.00.57 29 7.55 8.03.2 19.20.56 ♓ 13.11.45 28.10.05 30 8.2 8.10.26 20.22.20 17.37.5 28.11.12 1681 Ianuary 5 5.51 6.1.38 26.23.19 ♈ 8.49.10 26.15.26 9 6.49 7.0.53 ♒ 0.29.54 18.43.18 24.12.42 10 5.54 6.6.10 1.28.34 20.40.57 23.44.00 13 6.56 7.8.55 4.34.6 25.59.34 22.17.36 25 7.44 7.58.42 16.45.58 ♉ 9.55.48 17.56.54 30 8.07 8.21.53 21.50.9 ♉ 13.19.36 16.40.57 February 2 6.20 6.34.51 24.47.4 15.13.48 16.02.02 5 6.50 7.4.41 27.49.51 16.59.52 15.27.23

In his observationibus Flamstedius eâ usus est diligentiâ, ut postquam bis observasset distantiam Cometae à Stella aliqua fixa, deinde etiam distantiam bis ab alia stella fixa, rediret ad stellam priorem & distantiam Cometae ab eadem iterum observaret, idque bis, ac deinde ex distantiae illius incremento vel decremento tempori proportionali colligeret distantiam tempore intermedio, quando distantia à stella altera observabatur. Ex hujusmodi observationibus loca Cometae festinanter computata Flamstedius primò cum amicis communicavit, & postea easdem ad examen revocatas calculo diligentiore correxit. Nos loca correcta hic descripsimus.

His adde observationes quasdam è nostris.

  Temp. appar. Cometae Longit. Com. Lat. Febru. 25 8h.30' ♉ 26.19'.22" 12.46 7/8 27 8.15 27.4.28 12.36 Mart. 1 11.0 27.53.8 12.24 3/ 2 8.0 28.12.29 12.19 1/ 5 11.30 29.20.51 12.2⅔ 9 8.30 ♊ 0.43.2 11.44 ⅗

Hae observationes Telescopio septupedali, & Micrometro filisque in foco Telescopii locatis paractae sunt: quibus instrumentis & positiones fixarum inter se & positiones Cometae ad fixas determinavimus. Designet A stellam in sinistro calcaneo Persei (Bayero ο) B stellam sequentem in sinistro pede (Bayero ζ) & C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N stellas alias minores in eodem pede. Sintque P, Q, R, S, T loca Cometae in observationibus supra descriptis: & existente distantiâ AB partium 80 7/12, erat AC partium 52¼, BC 58 ⅚ AD 57 5/12;, BD 82 6/11, CD 23⅔, AE 29 4/7 CE 57½, DE 49 11/12, AK 38⅔, BK 43, CK 31 5/9, FK 29, FB 23, FC 36¼, AH 18 6/7, DH 53 5/11, BN 46 5/12, CN 31⅓, BL 45 5/12, NL 31 5/7. LM erat ad LB ut 2 ad 9 & producta transibat per stellam H. His determinabantur positiones fixarum inter se.

Die Veneris Feb. 25. St. vet. Hor. 8½ P. M. Cometae in p existentis distantia à stella E erat major quàm 3/13 AE, minor quàm ⅕ AE, adeoque aequalis 3/14 AE proximè; & angulus ApE nonnihil

obtusus erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur ad pE perpendiculum ab A, distantia Cometae à perpendiculo illo erat ⅕ pE.

Eadem nocte, horâ 9½, Cometae in P existentis distantia à stella E erat major quàm 1/4½ AE, minor quàm 1/5¼ AE, adeoque aequalis 1/4⅞ AE, seu 8/39 AE quamproximè. A perpendiculo autem à Stella A ad rectam PE demisso distantia Cometae erat ⅘ PE.

Die ♂tis, Mart. 1, hor. 11. P.M. Cometa in R existens, stellis K & C accuratè interjacebat, & rectae CRK pars CR paulo major erat quàm ⅓ CK, & paulo minor quam ⅓ CK+⅛ CR, adeoque aequalis ⅓ CK+1/16 CR seu 16/45 CK.

Die ☿ii, Mart. 2. hor. 8. P. M. Cometae existentis in S, distantia à stella C erat 4/9 FC quam proximè. Distantia stellae F à recta CS producta erat 1/24 FC; & distantia stellae B ab eadem recta erat quintuplo major quàm distantia stellae F. Item recta NS producta

〈1 page duplicate〉 〈1 page duplicate〉 transibat inter stellas H & I, quintuplo vel sextuplo propior existens stellae H quàm stellae I.

Die ♄ni, Mart. 5. hor. 11 ½. P. M. Cometa existente in T, recta MT aequalis erat ½ ML & recta LT producta transibat inter B & F, quadruplo vel quintuplo propior F quàm B, auferens à BF quintam vel sextam ejus partem versus F. Et MT producta transibat extra spatium BF ad partes stellae B, quadruplo propior existens stellae B quam stellae F. Erat M stella perexigua quae per Telescopium videri vix potuit, & L stella major quasi magnitudinis octavae.

Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum & computationes (posito quod stellarum A & B distantia esset 2 gr. 6⅘, & stellae A longitudo ♉ 26 gr. 41'.48" & latitudo borealis 12 gr. 8'½, stellaeque B longitudo ♉ 28 gr. 40'.16". latitudo borealis 11 gr. 17⅕; quemadmodum à Flamstedio observatas accepi) derivabam longitudines & latitudines Cometae. Micrometro parum affabre constructâ usus sum, sed Longitudinum tamen & Latitudinum errores (quatenus ab observationibus nostris oriantur) dimidium minuti unius primi vix superant, praeterquam in observatione ultimâ Mart. 9. ubi positiones fixarum ad stellas A & B minus accuratè determinare potui. Cassinus qui Cometam eodem tempore observavit, se declinationem ejus tanquam invariatam manentem parum diligenter definivisse fassus est. Nam Cometa (juxta observationes nostras) in fine motus sui notabiliter deflectere caepit boream versus, à parallelo quem in fine Mensis Februarii tenuerat.

Jam ad orbem Cometae determinandum; selegi ex observationibus hactenus descriptis tres, quas Flamstedius habuit Dec. 21, Ian. 5. & Ian. 25. Ex his inveni St partium 9842, 1 & Vt partium 455, quales 10000 sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem primam assumendo tB partium 5657, inveni SB 9747, BE prima vice 412, S 9503, iλ=413: BE secunda vice 421, OD 10186, X 8528, , MP 8450, MN 8475, NP−25. Unde ad operationem secundam collegi distantiam tb 5640. Et per hanc operationem inveni tandem distantias TX 4775 & τ Z 11322. Ex quibus orbem definiendo inveni Nodos in ejus ♋ & ♑ 1 gr. 53'; Inclinationem plani ejus ad planum Eclipticae 61 gr. 20⅓; verticem ejus (seu perihelium Cometae) in ♏ 27 gr. 43' cum latitudine australi 7 gr. 34'; & ejus latus rectum 236, 8, aream que radio ad Solem ducto singulis diebus descriptam 93585; Cometam verò Decemb. 8 d. o h. 4'. P. M. in vertice orbis seu perihelio fuisse. Haec omnia per scalam partium aequalium & chordas angulorum ex Tabula Sinuum naturalium collectas determinavi graphicè; construendo Schema satis amplum, in quo videlicet semidiameter orbis magni (partium 10000) aequalis esset digitis 16⅓ pedis Anglicani.

Tandem ut constaret an Cometa in Orbe sic invento verè moveretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Graphicas, loca Cometae in hoc orbe ad observationum quarundam tempora: uti in Tabula sequente videre licet.

COMETAE   Distant. Cometae à Sole Lon. Collect. Lat. Collect. Long. Obs. Lat. Obs. Differ. Long. Differ. Lat. Decemb. 12 2792 ♑ 6.32 8.18 ½ ♑ 6.33 8.26 − 2 − 7½ 29 8403 ♓ 13.133 28.0 ♓ 13.11 ¾ 28.10 1 ½ + 2 − 10½ Febr. 5 16669 ♉ 17.0 15.29 2/ ♉ 16.59⅞ 15.27 2/5; 0 + 2 ⅕ Mar. 5 21737 ♉ 29.19 ¾ 12.4 ♉ 29.20 6/7; 12.2⅔ − 1 + 1⅓

Praeterea cum Cl. Flamstedius Cometam, qui Mense Novembri apparuerat, eundem esse cum Cometa mensium subsequentium, literis ad me datis aliquando disputaret, & Trajectoriam quandam ab orbe hocce Parabolico non longe aberrantem delinearet, visum est loca Cometae in hoc orbe Mense Novembri computare, & cum Observationibus conferre. Observationes ita se habent.

Nov. 17. St. Vet. Ponthaeus & alii hora sexta matutina Romae, (id est hora 5.10' Londini) Cometam observarunt in ♎ 8 gr. 30' cum latitudine Australi 0 gr. 40'. Extant autem eorum observationes in tractatu quem Ponthaeus de hoc Cometa in lucem edidit. Eadem horâ Galletius etiam Romae, Cometam vidit in ♎ 8 gr. sine Latitudine.

Nov. 18. Ponthaeus & Socii horâ matutinâ 6, 30' Romae (i.e. hor. 5.40' Londini) Cometam viderunt in ♎ 13 1/ ;, cum Lat. Austr. 1 gr. 20'. Eodem die R. P. Ango in Academia Flechensi apud Gallos, horâ quintâ matutinâ, Cometam vidit in medio Stellarum duarum parvarum, quarum una media est trium in recta linea in Virginis Australi manu, & altera est extrema alae. Unde Cometa tunc fuit in 12 gr. 46' cum Lat. Austr. 50'. Eodem die Bostoniae in Nova Anglia in Lat. 42⅓, horâ quintâ matutinâ (id est Londini hora Mat. 9⅔) Cometa visus est in ♎ 14 circiter, cum Lat. Austr. 1 gr. 30'; uti à Cl. Halleio accepi.

Nov. 19. hora Mat. 4½ Cantabrigiae, Cometa (observante juvene quodam) distabat à Spica ♍ quasi 2 gr. Boreazephyrum versus. Eodem die hor. 5. Mat. Bostoniae in Nova-Anglia Cometa distabat à Spica ♍ gradu uno, differentiâ latitudinum existente 40', atque adeo differentia Long. 44' circiter. Unde Cometa erat in ♎ 18 gr. 40'. cum Lat. Austr. 1 gr. 19'. Eodem die D. Arthurus Storer ad fluvium Patuxent prope Hunting-Creek in Mary-Land, in Confinio Virginiae in Lat. 38 ½ gr. horâ quintâ matutinâ (id est horâ 10a Londini) Cometam vidit supra Spicam ♍, & cum Spica propemodum conjunctum, existente distantia inter eosdem quasi ¾ gr. Observator idem, eadem horâ diei sequentis, Cometam vidit quasi 2 gr. inferiorem Spicâ. Congruent hae observationes cum observationibus in Nova Anglia factis, si modò distantiae (pro motu diurno Cometae) nonnihil augeantur, ita ut Cometa die priore superior esset Spica ♍ altitudine 52' circiter, ac die posteriore inferior eadem stellâ altitudine perpendiculari 2 gr. 40'.

Nov. 20. D. Montenarus Astronomiae Professor Paduensis, hora sexta Matutina, Venetiis (id est hora 5.10' Londini) Cometam vidit in ♎ 23 gr. cum Lat. Austr. 1 gr. 30'. Eodem die Bostoniae distabat Cometa à Spica ♍, 4 gr. longitudinis in orientem, adeoque erat in ♎ 23 gr. 24 circiter.

Nov. 21 Ponthaeus & Socii hor. mat. 7 ¼ Cometam observarunt in ♎ 27 gr. 50' cum Latitudine Australi 1 gr. 16'. Ango horâ quintâ mat. in ♎ 27 gr. 45'. Montenarus in ♎ 27 gr. 51'. Eodem die in Insulâ Iamaicâ visus est prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id est 1 gr. 59'.

Novem. 22. Visus est à Montenaro in ♏ 2°.33'. Bostoniae autem in Novâ Angliâ apparuit in ♏ 3 gr. circiter, eadem fere cum latitudine ac prius.

Deinde visus est à Montenaro Novem. 24. in ♏ 12 gr. 52'. & Nov. 25. in ♏ 17 gr. 45. Latitudinem Galletius jam ponit 2 gr. Eandem Ponthaeus & Galletius decrevisse, Montenarus & Ango semper crevisse testantur. Crassae sunt horum omnium observationes, sed eae Montenari, Angonis & observatoris in Nova-Anglia praeferendae videntur. Ex omnibus autem inter se collatis, & ad meridianum Londini, hora mat. 5.10' reductis, colligo Cometam hujusmodi cursum quamproximè descripsisse.

  Long. Com. Latit. Com. Nov. 17 ♎ 8.0 0.45 Austr. 18 12.52 1.2 19 17.48 1.18 20 22.45 1.32 21 27.46 1.44 22 ♏ 2.48 1.55 23 7.50 2.4 24 12.52 2.12 25 17.45 2.18

Loca autem Cometae iisdem horis in orbe Parabolico inventa ita se habent.

  Comet. Lon. Com. Lat. Nov. 17 ♎ 8.3 0.23 A 21 ♎ 28.0 1.22 A 25 ♏ 18.17 2.6 A

Congruunt igitur observationes tam mense Novembri, quam mensibus tribus subsequentibus cum motu Cometae circa Solem in Trajectoriâ hacce Parabolicâ, atque adeo hanc esse veram hujus Cometae Trajectoriam confirmant. Nam differentia inter loca observata & loca computata tam ex erroribus observationum quam ex erroribus operationum Graphicarum in Orbe definiendo admissis, facilè oriri potuere.

Caeterum Trajectoriam quam Cometa descripsit, & caudam veram quam singulis in locis projecit, visum est annexo schemate in plano Trajectoriae opticè delineatas exhibere: observationibus sequentibus in cauda definienda adhibitis.

Nov. 17. Cauda gradus amplius quindecim longa Ponthaeo apparuit. Nov. 18. cauda 30 gr. longa, Solique directe opposita in Nova Anglia cernebatur, & protendebatur usque ad stellam ♂, qui tunc erat in ♍ 9 gr. 54'. Nov. 19. in Mary-Land cauda visa fuit gradus 15 vel 20 longa. Dec. 10. cauda (observante Flamstedio) transibat per medium distantiae inter caudam serpentis Ophiuchi & stellam ♌ in Aquilae australi ala, & desinebat prope stellas A, ω, b in Tabulis Bayeri. Terminus igitur erat in ♑ 19 ½ cum lat. bor. 34¼ gr. circiter. Dec. 11. surgebat ad usque caput sagittae (Bayero, α, β,) desinens in ♑ 26 gr. 43' cum lat. bor. 38 gr. 34'. Dec. 12. transibat per medium Sagittae, nec longe ultra protendebatur, desinens in ♒ 4°, cum lat. bor. 42 ½ circiter. Intelligenda sunt haec de longitudine caudae clarioris. Nam luce obscuriore, in coelo forsan magis sereno, cauda Dec. 12. hora 5, 40' Romae (observante Ponthaeo) supra cygni Uropygium ad gr. 10. sese extulit; atque ab hac stella ejus latus ad occasum & boream min. 45. destitit. Lata autem erat cauda his diebus gr. 3. juxta terminum superiorem, ideoque medium ejus distabat à Stella illa 2 gr. 15' austrum versus, & terminus superior erat in ♓ 22 gr. cum lat. bor. 61 gr. Dec. 21. surgebat fere ad cathedram Cassiopeiae, aequaliter distans à β & Schedir, & distantiam ab utraque distantiae earum ab invicem aequalem habens, adeoque desinens in ♓ 24 gr. cum lat. 47½ gr. Dec. 29. tangebat Scheat sitam ad sinistram, & intervallum stellarum duarum in pede boreali Andromedae accuratè complebat, & longa erat 54 gr. adeoque desinebat in ♉ 19 gr. cum lat. 35. gr. Ian. 5. tetigit stellam π in pectore Andromedae, ad latus suum dextrum, & stellam μ in ejus cingulo ad latus sinistrum; & (juxta observationes nostras) longa erat 40 gr.; curva autem erat & convexo latere spectabat ad austrum. Cum circulo per Solem & caput Cometae transeunte angulum confecit graduum 4 juxta caput Cometae; at juxta terminum alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 grad. & chorda caudae cum circulo illo continebat angulum graduum octo. Ian. 13. Cauda luce satis sensibili terminabatur inter Alamech & Algol, & luce tenuissima desinebat è regione stellae χ in latere Persei. Distantia termini caudae à circulo Solem & Cometam jungente erat 3 gr. 50', & inclinatio chordae caudae ad circulum illum 8½ gr. Ian. 25 & 26 luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7; & ubi coelum valde serenum erat, luce tenuissimâ & aegerrimè sensibili attingebat longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad Lucidam in humero orientali Aurigae accuratè, adeoque declinabat ab oppositione Solis Boream versus in angulo graduum decem. Denique Feb. 10. caudam oculis armatis aspexi gradus duos longam. Nam lux praedicta tenuior per vitra non apparuit. Ponthaeus autem Feb. 7. se caudam ad longitudinem gr. 12. vidisse scribit.

Orbem jam descriptum spectanti & reliqua Cometae hujus Phaenomena in animo revolventi haud difficulter constabit quod corpora Cometarum sunt solida, compacta, fixa ac durabilia ad instar corporum Planetarum. Nam si nihil aliud essent quàm vapores vel exhalationes Terrae, Solis & Planetarum, Cometa hicce in transitu suo per viciniam Solis statim dissipari debuisset. Est enim calor Solis ut radiorum densitas, hoc est reciprocè ut quadratum distantiae locorum à Sole. Ideoque cum distantia Cometae à Sole Dec. 8. ubi in Perihelio versabatur, esset ad distantiam Terrae à Sole ut 6 ad 1000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore erat ad calorem Solis aestivi apud nos ut 1000000 ad 36, seu 28000 ad 1. Sed calor aquae ebullientis est quasi triplo major quàm calor quem terra arida concipit ad aestivum Solem; ut expertus sum: & calor ferri candentis (si rectè conjector) quasi triplo vel quadruplo major quam calor aquae ebullientis; adeoque calor quem terra arida apud Cometam in perihelio versantem ex radiis Solaribus concipere posset; quasi 2000 vicibus major quàm calor ferri candentis. Tanto autem calore vapores & exhalationes, omnisque materia volatilis statim consumi ac dissipari debuissent.

Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad Solem concepit, & calorem illum diutissimè conservare potest. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem suum omnem spatio horae unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem major calorem d utius conservaret in ratione diametri, propterea quod superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrigeratur) in illa ratione minor est pro quantitate materiae suae calidae inclusae. Ideoque globus ferri candentis huic Terrae aequalis, id est pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, & idcirco annis 50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio Caloris ob causas latentes augeatur in minore ratione quam ea diametri: & optarim rationem veram per experimenta investigari.

Porrò notandum est quod Cometa Mense Decembri, ubi ad Solem modò incaluerat, caudam emittebat longe majorem & splendidiorem quàm antea Mense Novembri; ubi perihelium nondum attigerat. Et universaliter caudae omnes maximae & fulgentissimae è Cometis oriuntur, statim post transitum eorum per regionem Solis. Conducit igitur calefactio Cometae ad magnitudinem caudae. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus, quem caput seu Nucleus Cometae per calorem suum emittit.

Caeterum de Cometarum caudis triplex est opinio, eas vel jubar esse Solis per translucida Cometarum capita propagatum; vel oriri ex refractione lucis in progressu ipsius à capite Cometae in Terram: vel denique nubem esse seu vaporem à capite Cometae jugiter surgentem & abeuntem in partes à Sole aversas. Opinio prima eorum est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebroso non cernitur nisi quatenus lux reflectitur è pulverum & fumorum particulis per aerem semper volitantibus: adeoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est, & sensum fortius ferit; in aere clariore tenuius est & aegrius sentitur: in coelis autem absque materia reflectente nullum esse potest. Lux non cernitur quatenus in jubare est, sed quatenus inde reflectitur ad oculos nostros. Nam visio non fit nisi per radios qui in oculos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione Caudae, ne coelum totum luce Solis illustratum uniformiter splendeat. Opinio secunda multis premitur difficultatibus. Caudae nunquam variegantur coloribus: qui tamen refractionum solent esse comites inseparabiles. Lux Fixarum & Planetarum distinctè ad nos transmissa demonstrat medium coeleste nulla vi refractiva pollere. Nam quod dicitur fixas ab Aegyptiis comatas nonnunquam visas fuisse, id quoniam rarissimè contingit, ascribendum est nubium refractioni fortuitae. Fixarum quoque radiatio & scintillatio ad refractiones tum Oculorum tum aeris tremuli referendae sunt: quippe quae admotis oculo Telescopiis evanescunt. Aeris & ascendentium vaporum tremore fit ut radii facile de angusto pupilli spatio per vices detorqueantur, de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde est quod scintillatio in priori casu generetur, in posteriore autem cesset: & cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis per coelos absque omni refractione sensibili. Nequis contendat quod caudae non soleant videri in Cometis cum eorum lux non est satis fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos movendos, & propterea caudas fixarum non cerni: sciendum est quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus Telescopiis, nec tamen caudae cernuntur. Planetarum quoque lux copiosior est, caudae verò nullae: Cometae autem saepe caudatissimi sunt, ubi capitum lux tenuis est & valde obtusa: sic enim Cometa Anni 1680, Mense Decembri, quo tempore caput luce sua vix aequabat stellas secundae magnitudinis, caudam emittebat splendore notabili usque ad gradus 40, 50, 60 longitudinis & ultra: postea Ian. 27 & 28 caput apparebat ut stella septimae tantum magnitudinis, cauda verò luce quidem pertenui sed satis sensibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce obscurissima, quae cerni vix posset, porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra: ut supra dictum est. Sed & Feb. 9. & 10 ubi caput nudis oculis videri desierat, caudam gradus duos longam per Telescopium contemplatus sum. Porro si cauda oriretur ex refractione materiae coelestis, & pro figura coelorum deflecteretur de Solis oppositione, deberet deflexio illa in iisdem coeli regionibus in eandem semper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 Decemb. 28 hora 8½ P. M. Londini, versabatur in ♓ 8 gr. 41 cum latitudine boreali 28 gr. 6', Sole existente in ♑ 18 gr. 26'. Et Cometa Anni 1577 Dec. 29. versabatur in ♓ 8 gr. 41' cum latitudine boreali 28 gr. 40'. Sole etiam existente in ♑ 18 gr. 26' circiter. Utroque in casu Terra versabatur in eodem loco & Cometa apparebat in eadem coeli parte: in priori tamen casu cauda Cometae (ex meis & aliorum observationibus) declinabat angulo graduum 4½ ab oppositione Solis Aquilonem versus; in posteriore verò (ex Observationibus Tychonis) declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata coelorum refractione, superest ut Phaenomena Caudarum ex materia aliqua reflectente deriventur.

Caudas autem à capitibus oriri & in regiones à Sole aversas ascendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis orbium Cometarum per Solem transeuntibus jacentes, deviant ab oppositione Solis in eas semper partes quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto apparent in partibus à Sole directè aversis; digrediente autem spectatore de his planis, deviatio paulatim sentitur, & indies apparet major. Quod deviatio caeteris paribus minor est ubi cauda obliquior est ad orbem Cometae, ut & ubi caput Cometae ad Solem propius accedit; praesertim si spectetur deviationis angulus juxta caput Cometae. Praeterea quod caudae non deviantes apparent rectae, deviantes autem incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, & magis sensibilis ubi cauda caeteris paribus longior est: nam in brevioribus curvatura aegre animadvertitur. Quod deviationis angulus minor est juxta caput Cometae, major juxta caudae extremitatem alteram, atque adeò quod cauda convexo sui latere partes respicit à quibus fit deviatio, quaeque in rectâ sunt lineâ à Sole per caput Cometae in infinitum ductâ. Et quod caudae quae prolixiores sunt & latiores, & luce vegetiore micant, sint ad latera convexa paulò splendidiores & limite minus indistincto terminatae quam ad concava. Pendent igitur Phaenomena caudae à motu capitis, non autem à regione coeli in qua caput conspicitur; & propterea non fiunt per refractionem coelorum, sed à capite suppeditante materiam oriuntur. Etenim ut in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora, idque vel perpendiculariter si corpus quiescat, vel obliquè si corpus moveatur in latus; ita in coelis ubi corpora gravitant in Solem, fumi & vapores ascendere debent à Sole (uti jam dictum est) & superiora vel rectâ petere, si corpus fumans quiescit; vel obliquè, si corpus progrediendo loca semper deserit à quibus superiores vaporis partes ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis velocior est: nimirum in vicinia Solis & juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna: & quia vapor in columnae latere praecedente paulo recentior est, ideo etiam is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius reflectet, & limite minus indistincto terminabitur. De caudarum agitationibus subitaneis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoque describunt, hic nihil adjicio; propterea quod vel à mutationibus aeris nostri, & motibus nubium caudas aliqua ex parte obscurantium oriantur; vel forte à partibus Viae Lacteae, quae cum caudis praetereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes spectari.

Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufficiant, ex Cometarum Atmosphaeris oriri posse, intelligetur ex raritate aeris nostri. Nam aer juxta superficiem Terrae spatium occupat quasi 850 vicibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris columna Cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aquae columna pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad summitatem Atmosphaerae assurgens aequat pondere suo columnam aquae pedes 33 altam circiter; & propterea si columnae totius aereae pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua superior aequabit pondere suo columnam aquae altam pedes 32. Inde verò (ex Hypothesi multis experimentis confirmata, quod compressio aeris sit ut pondus Atmosphaerae incumbentis, quodque gravitas sit reciproce ut quadratum distantiae locorum à centro Terrae) computationem per. Corol. Prop. XXII. Lib. II. ineundo, inveni quod aer, si ascendatur à superficie Terrae ad altitudinem semidiametri unius terrestris, rarior sit quàm apud nos in ratione longe majori, quàm spatii omnis infra orbem Saturni ad globum diametro digiti unius descriptum. Ideoque globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate quam haberet in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret omnes Planetarum regiones ad usque sphaeram Saturni & longe ultra. Proinde cum aer adhuc altior in immensum rarescat; & coma seu Atmosphaera Cometae, ascendendo ab illius centro, quasi decuplo altior sit quàm superficies nuclei, deinde cauda adhuc altius ascendat, debebit cauda esse quàm rarissima. Et quam vis, ob longe crassiorem Cometarum Atmosphaeram, magnamque corporum gravitationem Solem versus, & gravitationem particularum Aeris & vaporum in se mutuo, fieri possit ut aer in spatiis coelestibus inque Cometarum caudis non adeo rarescat; perexiguam tamen quantitatem aeris & vaporum ad omnia illa caudarum phaenomena abunde sufficere ex hac computatione perspicuum est. Nam & caudarum insignis raritas colligitur ex astris per eas translucentibus. Atmosphaera terrestris luce Solis splendens, crassitudine sua paucorum milliarium, & astra omnia & ipsam Lunam obscurat & extinguit penitus: per immensam verò caudarum crassitudinem, luce pariter Solari illustratam, astra minima absque claritatis detrimento translucere noscuntur. Neque major esse solet caudarum plurimarum splendor, quam aeris nostri in tenebroso cubiculo latitudine digiti unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis.

Quo tempore vapor à capite ad terminum caudae ascendit, cognosci fere potest ducendo rectam à termino caudae ad Solem, & notando locum ubi recta illa Trajectoriam secat. Nam vapor in termino caudae, si rectà ascendat à Sole, ascendere caepit à capite quo tempore caput erat in loco intersectionis. At vapor non rectà ascendit à Sole, sed motum Cometae, quem ante ascensum suum habebat, retinendo, & cum motu ascensus sui eundem componendo, ascendit oblique. Unde verior erit Problematis solutio, ut recta illa quae orbem secat, parallela sit longitudini caudae, vel potius (ob motum curvilineum Cometae) ut eadem à linea caudae divergat. Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caudae Ian. 25. ascendere caeperat à capite ante Decemb. 11. adeoque ascensu suo toto dies plus 45 consumpserat. At cauda illa omnis quae Dec. 10. apparuit, ascenderat spatio dierum illorum duorum, qui à tempore perihelii Cometae elapsi fuerant. Vapor igitur sub initio in vicinia Solis celerrimè ascendebat, & postea cum motu per gravitatem suam semper retardato ascendere pergebat; & ascendendo augebat longidinem caudae: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni constabat qui à tempore perihelii ascenderat; & vapor, qui primus ascendit, & terminum caudae composuit, non prius evanuit quàm ob nimiam suam tam à Sole illustrante quam ab oculis nostris distantiam videri desiit. Unde etiam caudae Cometarum aliorum quae breves sunt, non ascendunt motu celeri & perpetuo à capitibus & mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum & exhalationum columnae, à capitibus lentissimo multorum dierum motu propagatae, quae, participando motum illum capitum quem habuere sub initio, per coelos una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rursus colligitur spatia caelestia vi resistendi destitui; utpote in quibus non solum solida Planetarum & Cometarum corpora, sed etiam rarissimi caudarum vapores motus suos velocissimos liberrimè peragunt ac diutissimè conservant.

Ascensum caudarum ex Atmosphaeris capitum & progressum in partes à Sole aversas Keplerus ascribit actioni radiorum lucis materiam caudae secum rapientium. Et auram longe tenuissimam in spatiis liberrimis actioni radiorum cedere, non est à ratione prorsus alienum, non obstante quod substantiae crassae, impeditissimis in regionibus nostris, à radiis Solis sensibiliter propelli nequeant. Alius particulas tam leves quam graves dari posse existimat, & materiam caudarum levitare, perque levitatem suam à Sole ascendere. Cùm autem gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus, ideoque servata quantitate materiae intendi & remitti nequeat, suspicor ascensum illum ex rarefactione materiae caudarum potius oriri. Ascendit fumus in camino impulsu aeris cui innatat. Aer ille per calorem rarefactus ascendit, ob diminutam suam gravitatem specificam, & fumum implicatum rapit secum. Quidni cauda Cometae ad eundem modum ascenderit à Sole? Nam radii Solares non agitant Media quae permeant, nisi in reflexione & refractione Particulae reflectentes ea actione calefactae calefacient auram aetheream cui implicantur. Illa calore sibi communicato rarefiet, & ob diminutam ea raritate gravitatem suam specificam qua prius tendebat in Solem, ascendet & secum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur: Ad ascensum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa Solem & ea actione conantur à Sole recedere, at Solis Atmosphaera & materia coelorum vel plane quiescit, vel motu solo quem à Solis rotatione acceperint, tardius gyratur. Hae sunt causae ascensus caudarum in vicinia Solis, ubi orbes curviores sunt, & Cometae intra densiorem & ea ratione graviorem Solis Atmosphaeram consistunt, & caudas quàm longissimas mox emittunt. Nam caudae quae tunc nascuntur, conservando motum suum & interea versus Solem gravitando, movebuntur circa Solem in Ellipsibus pro more capitum, & per motum illum capita semper comitabuntur & iis liberrimè adhaerebunt. Gravitas enim vaporum in Solem non magis efficiet ut caudae postea decidant à capitibus Solem versus, quam gravitas capitum efficere possit ut haec decidant à caudis. Communi gravitate vel simul in Solem cadunt, vel simul in ascensu suo retardabuntur, adeoque gravitas illa non impedit, quo minus caudae & capita positionem quamcunque ad invicem à causis jam descriptis aut aliis quibuscunque facillimè accipiant & postea liberrime servent.

Caudae igitur quae in Cometarum periheliis nascuntur, in regiones longinquas cum eorum capitibus abibunt, & vel inde post longam annorum seriem cum iisdem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefacti paulatim evanescent. Nam postea in descensu capitum ad Solem caudae novae breviusculae lento motu à capitibus propagari debebunt, & subinde, in Periheliis Cometarum illorum qui adus que Atmosphaeram Solis descendunt, in immensum augeri. Vapor enim in spatiis illis liberrimis perpetuò rarescit ac dilatatur. Qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem superiorem latior sit quam juxta caput Cometae. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum diffundi tandem & spargi per coelos universos, deinde paulatim in Planetas per gravitatem suam attrahi & cum eorum Atmosphaeris misceri rationi consentaneum videtur. Nam quemadmodum Maria ad constitutionem Terrae hujus omnino requiruntur, idque ut ex iis per calorem Solis vapores copiose satis excitentur, qui vel in nubes coacti decidant in pluviis, & terram omnem ad procreationem vegitabilium irrigent & nutriant; vel in frigidis montium verticibus condensati (ut aliqui cum ratione philosophantur) decurrant in fontes & flumina: sic ad conservationem marium & humorum in Planetis Cometae requiri videntur; ex quorum exhalationibus & vaporibus condensatis, quicquid liquoris per vegetationem & putrefactionem consumitur & in terram aridam convertitur, continuò suppleri & refici possit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino crescunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt, & limus ex liquoribus putrefactis perpetuò decidit. Hinc moles Terrae aridae indies augetur, & liquores, nisi aliunde augmentum sumerent, perpetuò decrescere deberent, ac tandem deficere. Porrò suspicor spiritum illum, qui aeris nostri pars minima est sed subtilissima & optima, & ad rerum omnium vitam requiritur, ex Cometis praecipue venire.

Atmosphaerae Cometarum in descensu eorum in Solem excurrendo in caudas diminuuntur, & (ea certe in parte quae Solem respicit) angustiores redduntur: & vicissim in recessu eorum à Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; si modò Phaenomena eorum Hevelius recte notavit. Minimae autem apparent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas & fulgentissimas abiere, & nuclei fumo forsan crassiore & nigriore in Atmosphaerarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus crassior & nigrior esse solet. Sic caput Cometae de quo egimus, in aequalibus à Sole ac Terrâ distantiis, obscurius apparuit post perihelium suum quam antea. Mense enim Decem. cum stellis tertiae magnitudinis conferri solebat, at Mense Novem. cum stellis primae & secundae. Et qui utrum que viderant, majorem describunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam Cantabrigiensi Novem. 19. Cometa hicce luce sua quamtumvis plumbea & obtusa aequabat Spicam Virginis, & clarius micabat quàm postea. Et D. Storer literis quae in manus nostras incidêre, scripsit caput ejus Mense Decembri, ubi caudam maximam & fulgentissimam emittebat, parvum esse & magnitudine visibili longe cedere Cometae qui Mense Novembri ante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem esse conjectabatur quod materia capitis sub initio copiosior esset & paulatim consumeretur.

Eodem spectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui caudas maximas & fulgentissimas emiserunt, describantur subobscura & exigua. Nam Anno 1668 Mart. 5. St. nov. hora septima Vesp. R.P. Valentinus Estancius, Brasiliae agens, Cometam vidit Horizonti proximum ad occasum Solis brumalem, capite minimo & vix conspicuo, cauda verò supra modum fulgente, ut stantes in littore speciem ejus è mati reflexam facilè cernerent. Speciem utique habebat trabis splendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in austrum vergens, & Horizonti fere parallela. Tantus autem splendor tres solum dies durabat, subinde notabiliter decrescens; & interea decrescente splendore aucta est magnitudine cauda. Unde etiam in Portugallia quartam fere coeli partem (id est gradus 45) occupasse dicitur, ab occidente in orientem splendore cum insigni protensa; nec tamen tota apparuit, capite semper in his regionibus infra Horizontem delitescente. Ex incremento caudae & decremento splendoris manifestum est quod caput à Sole recessit, eique proximum fuit sub initio, pro more Cometae anni 1680. Et similis legitur Cometa anni 1101 vel 1106, cujus Stella erat parva & obscura (ut ille anni 1680) sed splendor qui ex ea exivit valde clarus & quasi ingens trabs ad orientem & Aquilonem tendebat, ut habet Hevelius ex Simeone Dunelmensi Monacho. Apparuit initio Mensis Feb. circa vesperam ad occasum Solis brumalem. Inde verò & ex situ caudae colligitur caput fuisse Soli vicinum. A Sole, inquit Matthaeus Parisiensis, distabat quasi cubito uno, ab hora tertia [rectius sexta] usque ad horam nonam radium ex se longum emittens. Talis etiam erat ardentissimus ille Cometa ab Aristotele descriptus Lib. I. Meteor. 6. cujus caput primo die non conspectum est, eo quod ante Solem vel saltem sub radiis solaribus occidisset, sequente verò die quantum potuit visum est. Nam quam minimâ fieri potest distantiâ Solem reliquit, & mox occubuit. Ob nimium ardorem [caudae scilicet] nondum apparebat capitis sparsus ignis, sed procedente tempore (ait Aristoteles) cum [cauda] jam minus flagraret, reddita est [capiti] Cometae sua facies. Et splendorem suum ad tertiam usque coeli partem [id est ad 60 gr.] extendit. Apparuit autem tempore byberno, & ascendens usque ad cingulum Orionis ibi evanuit. Cometa ille anni 1618, qui è radiis Solaribus caudatissimus emersit, stellas primae magnitudinis aequare vel paulo superare videbatur, sed majores apparuere Cometae non pauci qui caudas breviores habuere. Horum aliqui Jovem, alii Venerem vel etiam Lunam aequasse traduntur.

Diximus Cometas esse genus Planetarum in Orbibus valde excentricis circa Solem revolventium. Et quemadmodum è Planetis non caudatis, minores esse solent qui in orbibus minoribus & Soli proprioribus gyrantur, sic etiam Cometas, qui in Periheliis suis ad Solem propius accedunt, ut plurimum minores esse & in orbibus minoribus revolvi rationi consentaneum videtur. Orbium verò transversas diametros & revolutionum tempora periodica ex collatione Cometarum in iisdem orbibus post longa temporum intervalla redeuntium determinanda relinquo. Interea huic negotio Propositio sequens Lumen accendere potest.

Prop. XLII. Prob. XXI. Trajectoriam Cometae graphicè inventam corrigere.

Oper. 1. Assumatur positio plani Trajectoriae, per Propositionem superiorem graphicè inventa; & seligantur tria loca Cometae observationibus accuratissimis definita, & ab invicem quam maximè distantia; sitque A tempus inter primam & secundam, ac B tempus inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perigaeo versari convenit, vel saltem non longe à Perigaeo abesse. Ex his locis apparentibus inveniantur per operationes Trigonometricas loca tria vera Cometae in assumpto illo plano Trajectoriae. Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arithmeticas, ope Prop. XXI. Lib. I. institutas, describatur Sectio Conica: & ejus areae, radiis à Sole ad loca inventa ductis terminatae, sunto D & E; nempe D area inter observationem primam & secundam, & E area inter secundam ac tertiam. Sitque T tempus totum quo area tota D+E, velocitate Cometae per Prop. XVI. Lib. I. inventa, describi debet.

Oper. 2. Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectoriae, additis ad longitudinem illam 20' vel 30', quae dicantur P; & servetur plani illius inclinatio ad planum Eclipticae. Deinde ex praedictis tribus Cometae locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera (ut supra): deinde etiam orbis per loca illa transiens, & ejusdem areae duae inter observationes descriptae, quae sint d & e, nec non tempus totum t quo area tota d+e describi debeat.

Oper. 3. Servetur Longitudo Nodorum in operatione prima, & augeatur inclinatio Plani Trajectoriae ad planum Eclipticae, additis ad inclinationem illam 20' vel 30', quae dicantur Q. Deinde ex observatis praedictis tribus Cometae locis apparentibus, inveniantur in hoc novo Plano loca tria vera, Orbisque per loca illa transiens, ut & ejusdem areae duae inter observationes descriptae, quae sint δ & ε, & tempus totum τ quo area tota δ+ε describi debeat.

Jam sit C ad 1 ut A ad B, & G ad 1 ut D ad E, & g ad 1 ut d ad e, & γ ad 1 ut δ ad ε; sitque S tempus verum inter observationem primam ac tertiam; & signis + & − probe observatis quaerantur numeri m & n, ea lege ut sit G−C=mG−mg+nG−nγ, & T−S aequale mT−mt+nT−nτ. Et si, in operatione prima, I designet inclinationem plani Trajectoriae ad planum Eclipticae, & K longitudinem Nodi alterutrius: erit I+nQ vera inclinatio Plani Trajectoriae ad Planum Eclipticae, & K+mP vera longitudo Nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quantitates R, r & ρ designent Latera recta Trajectoriae, & quantitates I / L, I / l, I / λ ejusdem Latera transversa respectivè: erit R+mr−mR+nρ−nR verum Latus rectum, & I / L+ml−mL+nλ−nL verum Latus transversum Trajectoriae quàm Cometa describit. Dato autem Latere transverso datur etiam tempus periodicum Cometae. Q.E.I.

FINIS.
Errata Sensum turbantia sic Emenda.

Pag. 14 lin. 30 lege. ut OK ad OD seu OL. p. 18l. 1 recta. p. 61 l. 22 & p. 62 l. 2 pro AC lege AB. p. 81 l. 1. crurum BL, CL vel BM, CM intersectio, quae jam sit m, incidat semper in rectam illam infinitam MN, & crurum BA, CA &c. p. 84 l. 17 post verba Nam si lege A & P sint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, &. p. 91 l. ult. ML, IK. p. 95 l. 3 post majori adde, & perpendicularia minori. p. 96 l. 30 & 31 lege ABCdef, & l. 32 abcDEF. p. 104 l. 16 pro GO q.+HG−POq.) lege HPq.=GOq.+PO−HGq.) p. 105 l. 7 pro G scribe H. p. 118 l. 17 pro CP lege PfB & l. 19 pro CP lege BP. p. 122 l. 28, pro L. scribe M. p. 123 l. 13, pro DF lege DF vel EG. p. 125 l. 16 pro omnibus altitudinibus, lege omnibus aequalibus altitudinibus. p. 152 l. 7 per cujus. p. 153 l. 16 & LG. p. 178 l. penult. sit quasi duplo major quam. p. 209 l. 18 pro SL×SI½, lege SL×SI½. p. 226 l. 11 pro 2 B−2 seu 2/B cub. lege 2 B & dele reciproce.

Pag. 242 lin. 2, & p. 262 l. 13, & p. 336 l. 5, pro Q.E.D. lege Q.E.I. p. 243 l. 10 2 CDq.×QB. p. 246 l. 14 proportionalia. p. 249 l. 12 resistentia & tempus. p. 250 l. 1-rum inverse, amittent. q. 2 7 l. 4 praeteriti, si modo Sectorem tangentes Ap & AP sint ut velocitates. p. 274 l. 17 data quadam. p. 283 l. ult. TQ×PS. p. 296 in Schemate pro O scribe T. p. 307 l. 9 arcus auferantur. p. 312 l. 26 corpus in D. p. 313 l. 3 Describat. p. 314 l. 21 & 28, pro a BKkS lege a BKkT. p. 325 l. 26 BE ad BC. ib. l. ult. aequalis BE quad./CB p. 3 8 l. 27 & longitudo CZ.

Pag. 411 l. 22 plusquam duplicata, per Prop. LXXXV Lib. I. p. 413 l. 28 1/2360 p. 4 6 l. 17 1/3200 p. 439 l. 9 aequales pertinentium p. 442 l. 11 69 11/12 ad 68 11/12. ib. l. 18 68 11/12 ad 69 11/12. p. 449 l. 5 area pDdm p. 450 l. 9 ad aream DPMd. p. 455 l. 30 motum posteriorem. p. 459 l. 2 2MP×AT qu. p. 482 l. 3 dein b−2b=c &c. & sic pergatur ad differentiam ultimam, quae hic est f. ib. in Schemate infra d 2d 3d scribe e f2 e p. 494 l. 4 pro ♏ 27 lege ♐ 27.