PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA.

Autore I S. NEWTON, Trin. Coll. Cantab. Soc. Matheseos Professore Lucasiano, & Societatis Regalis Sodali.

IMPRIMATUR. S. PEPYS, Reg. Soc. PRAESES. Iulii 5. 1686.

LONDINI, Jussu Societatis Regiae ac Typis Iosephi Streater. Prostat apud plures Bibliopolas. Anno MDCLXXXVII.

ILLUSTRISSIMAE SOCIETATI REGALI a Serenissimo REGE CAROLO II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM FUNDATAE, ET AUSPICIIS POTENTISSIMI MONARCHAE JACOBI II FLORENTI. Tractatum hunc humillime D. D. D. I S. NEWTON.

PRAEFATIO AD LECTOREM

CVm Veteres Mechanicam (uti Author est Pappus) in rerum Naturalium investigatione maximi fecerint, & recentiores, missis formis[?] substantiali­bus & qualitatibus occultis, Phaenomena Naturae ac leges Mathematicas re [...]o [...] ­re aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu Mathesin excolere quatenus ea ad Philosophiam spectat. Mechanicam vero duplicem Veteres constituerunt: Rationalem quae per Demonstrationes accurate pro [...]edit, & Practicam. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus uti (que) Mechanica nomen mu­tuata est. Cum autem Artifices parum accurate operari soleant, fit ut Mechanica omnis a Geometria ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad Geometriam referatur, quicquid minus accuratum ad Mechanicam. Attamen errores non sunt Artis sed Artificum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Me­chanicus, & si quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium per­fectissimus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum descriptiones in quibus Geometria fundatur, ad Mechanicam pertinent. Has lineas describere Geo­metria non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate descri­bere prius didicerit quam limen attingat Geometriae; dein, quomodo per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas & circulos describere Pro [...]lemata sunt sed non Ge [...]metrica. Ex Mechanica postulatur horum solutio, in Geometria docetur solutorum usus. Ac gloriatur Geometria qu [...]d tam paucis principiis aliunde petitis tam multa praestet. Fundatur igitur Geometria in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam Mechanicae universalis pars illa quae artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat. Cum autem ar­tes Manuales in corporibus movendis prae [...]ipue versentur, fit ut Geometria ad magnitudinem, Mechanica ad motum vulgo reseratur. Quo sensu Mecha­nica rationalis erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscun (que) resultant, & vi­rium quae ad motus quoscun (que) requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars haec Mechanicae a Veteribus in Potentiis quinque ad artes man [...]ales spectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus sed Philosophiae consulentes, de (que) potentiis non manualibus sed naturalibus scriben­tes, ea maxime tractamus quae ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resisten­tiam [Page] Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant: Et ea propter haec nostra tanquam Philosophiae principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophiae difficultas in eo versari videtur, ut a Phaenomenis motu­um investigemus vires Naturae, deinde ab his viribus demonstremus phaenomena reliqua. Et huc spectant Propositiones generales quas Libro primo & secundo pertractavimus. In Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem Systematis mundani. Ibi enim, ex phaenomenis caelestibus, per Propositiones in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad Solem & Planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum, Cometarum, Lunae & Maris. Vtinam caetera Naturae phaenomena ex principi­is Mechanicis codem argumentandi genere derivare liceret. Nam multa me mo­vent ut n [...]nnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus cor­porum particulae per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur & se­cundum figuras regulares cohaerent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis, Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero au­tem quod vel huic Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam praebebunt.

In his edendis, Vir acutissimus & in omni literarum genere eruditissimus Edmundus Halleius operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata cor­rexit & Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum editionem ag­grederer. Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium caelestium impetra­verat, rogare non destitit ut eadem cum Societate Regali communicarem, Quae deinde hortatibus & benignis suis auspiciis effecit ut de eadem in lucem emitten­da cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium inaequalitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare caepissem quae ad leges & mensuras Gravitatis & aliarum virium, ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis resistentibus, ad vires, densitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & similia spectant, editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut caetera ri­marer & una in publicum darem. Quae ad motus Lunares spectant, (imperfec­ta cum sint,) in Corollariis Propositionis LXVI. simul complexus sum, ne sin­gula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & sigillatim demon­strare tenerer, & seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum & cita­tiones mutare. Vt omnia candide legantur, & defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus investigentur, & benigne suppleantur, enixe rogo.

IN VIRI PRAESTANTISSIMI D. ISAACI NEWTONI OPUS HOCCE MATHEMATICO-PHYSICUM Saeculi Gentisque nostrae Decus egregium.

EN tibi norma Poli, & divae libramina Molis,
Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum
Pangeret, omniparens Leges violare Creator
Noluit, aeternique operis fundamina fixit.
Intima panduntur victi penetralia caeli,
Nec latet extremos quae Vis circumrotat Orbes.
Sol solio residens ad se jubet omnia prono
Tendere descensu, nec recto tramite currus
Sidereos patitur vastum per inane moveri;
Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris.
Jam patet horrificis quae sit via flexa Cometis;
Jam non miramur barbati Phaenomena Astri.
Discimus hinc tandem qua causa argentea Phoebe
Passibus haud aequis graditur; cur subdita nulli
Hactenus Astronomo numerorum fraena recuset:
Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur.
Discimus & quantis refluum vaga Cynthia Pontum
Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam
[Page]Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas;
Alternis vicibus suprema ad littora pulsans.
Quae toties animos veterum torsere Sophorum,
Quaeque Scholas frustra rauco certamine vexant
Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi.
Jam dubios nulla caligine praegravat error
Queis Superum penetrare domos atque ardua Coeli
Scandere sublimis Genii concessit acumen.
Surgite Mortales, terrenas mittite curas
Atque hinc coeligenae vires dignoscite Mentis
A pecudum vita longe lateque remotae.
Qui scriptis jussit Tabulis compescere Caedes
Furta & Adulteria, & perjurae crimina Fraudis;
Quive vagis populis circumdare moenibus Urbes
Autor erat; Cererisve beavit munere gentes;
Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva;
Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos
Consociare sonos, oculisque exponere Voces;
Humanam sortem minus extulit; utpote pauca
Respiciens miserae solummodo commoda vitae.
Jam vero Superis convivae admittimur, alti
Jura poli tractare licet, jamque abdita coecae
Claustra patent Terrae, rerumque immobilis ordo,
Et quae pra teriti latuerunt saecula mundi.
Talia monstrantem mecum celebrate Camaenis,
Vos qui coelesti gaudetis nectare vesci,
NEWTONVM clausi reserantem scrinia Veri,
NEWTONVM Musis charum, cui pectore puro
Phoebus adest, totoque incessit Numine mentem:
Nec fas est propius Mortali attingere Divos.
EDM. HALLEY.

PHILOSOPHIAE NATURALIS Principia MATHEMATICA Definitiones.

Def. I.

‘Quantitas Materiae est mensura ejusdem orta ex illius Densitate & Magnitudine conjunctim.’

AEr duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et Pulveribus per compressionem vel lique­factionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, quae per causas quascun (que) diversimode condensantur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic nullam ra­tionem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel Massae in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cu­jus (que) pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per expe­rimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebi­tur.

Def. II.

‘Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate Materiae conjunctim.’

Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeo (que) in corpore duplo majore aequali cum Velocitate duplus est, et du­pla cum Velocitate quadruplus.

Def. III.

‘Materiae vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquod (que), quan­tum in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.’

Haec semper proportionalis est suo corpori, ne (que) differt quic­quam ab inertia Massae, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materiae fit ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel moven­di difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significan­tissimo vis inertiae dici possit. Exercet vero corpus hanc vim so um­modo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta, est (que) exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluct­atur vi impressae; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis ob­staculi difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus Re­sistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed mo­tus et quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, ne (que) semper vere quiescunt quae vulgo tanquam quiescen­tia spectantur.

Def. IV.

‘Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.’

Consistit haec vis in actione sola, ne (que) post actionem permanet in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam [Page 3] vim inertiae. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, expressione, ex vi centripeta.

Def. V.

‘Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad cen­trum trahitur, impellitur, vel utcun (que) tendit.’

Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terrae: Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quaecun (que) sit, qua Planetae perpetuo retrahuntur a motibus recti­lineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Est autem vis centripetae quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix et motrix.

Def. VI.

‘Vis centripetae quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro efficacia causae eam propagantis a centro per regiones in circuitu.’

Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.

Def. VII.

‘Vis centripetae quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati pro­portionalis, quam dato tempore generat.’

Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: vel vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus praealtorum montium (ut experimento pendulorum constat) at (que) adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a Terra; in aequalibus autem distantiis eadem undi (que) propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata Aeris resistentia, aequaliter accelerat.

Def. VIII.

‘Vis centripetae quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis mo­tui, quem dato tempore generat.’

Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; in (que) cor­pore [Page 4] eodem majus prope terram, minus in caelis. Haec vis est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum & (ut ita di­cam) pondus, & innotescit semper per vim ipsi contrariam & ae­qualem, qua descensus corporis impediri potest.

Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas, acceleratrices & motrices, & distinctionis gratia referre ad corpora, ad corporum loca, & ad centrum virium: Nimirum vim motri­cem ad corpus, tanquam conatum & propensionem totius in centrum, ex propensionibus omnium partium compositum; & vim acceleratri­cem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca singula in circuitu diffusam, ad movenda corpora quae in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua praeditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Mag­nes in centro vis Magneticae vel Terra in centro vis gravitantis) sive alia aliqua quae non apparet. Mathematicus saltem est hic concep­tus. Nam virium causas & sedes physicas jam non expendo.

Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad mo­tum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quanti­tatem Materiae, & vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quanti­tatem ejusdem materiae. Nam summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta Superficiem Terrae, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit mi­nor, pondus pariter minuetur, erit (que) semper ut corpus in gravita­tem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas accele­ratrix duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus.

Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propen­sionis cujuscun (que) in centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum conside­rando. [Page 5] Unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam ali­cubi definire, vel centris (quae sunt puncta Mathematica) vires vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires cen­trorum esse dixero.

Scholium.

Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus ac­cipiendae sunt, explicare visum est. Nam tempus, spatium, lo­cum et motum ut omnibus notissima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hascc non aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur praejudicia quaedam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras & appa­rentes, Mathematicas et vulgares distingui.

I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua abs (que) relatione ad externum quodvis, aequabiliter fluit, alio (que) nomine dicitur Duratio; relativum apparens & vulgare est sensi­bilis & externa quaevis Durationis per motum mensura, (seu ac­curata seu inaequabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.

II. Spatium absolutum natura sua abs (que) relatione ad externum quodvis semper manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio quaelibet mobilis, quae a sensibus nostris per situm suum ad corpora definitur, & a vulgo pro spatio im­mobili usurpatur: uti dimensio spatii subterranei, aerei vel cae­lestis definita per situm suum ad Terram. Idem sunt spatium ab­solutum & relativum, specie & magnitudine, sed non permanent idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur, spatium Aeris nostri quod relative & respectu Terrae semper ma­net idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, & sic absolute mutabitur perpetuo.

III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, est (que) pro ra­tione [Page 6] spatii vel absolotus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel superficiem ambientem. Nam solidorum aequa­lium aequales semper sunt loci; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum inaequales sunt; situs vero proprie loquen­do quantitatem non habent, ne (que) tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium, hoc est, translatio totius de ipsius loco eadam cum summa transla­tionum partium de locis suis, adeo (que) locus totius idem cum summa locorum partium, & propterea internus & in corpore toto.

IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quae velis passis fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quae (que) adeo movetur una cum Navi: & Quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavita­tis. At Quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod rela­tive quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus corporis motus partim ex Terrae motu vero in spatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra: et si cor­pus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus par­tim ex vero motu Terrae in spatio immoto, partim ex relativis mo­tibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terrae pars illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum Volocitate partium 10010, et velis vento (que) feratur Navis in Occidentem cum Velocitate partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Ori­entem versus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in O­rientem, et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis partibus novem.

[Page 7]Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per Ae­quationem Temporis vulgi. Inaequales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam aequales pro Mensura Temporis habentur. Hanc inaequalitatem corrigunt Astronomi ut ex veriore Tempore mensu­rent motus caelestes. Possibile est ut nullus sit motus aequabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est du­ratio seu persevenrantia existentiae rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli; proinde haec a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur, & ex ijsdem colligitur per Aequationem Astronomi­cam. Hujus autem aequationis in determinandis Phaenomenis ne­cessitas, tum per experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum Jovis evincitur.

Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo par­tium Spatii. Moveantur hae de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam Tempora & Spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In Tempore quoad ordinem successi­onis; in Spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illo­rum Essentia est ut sint loca, & loca primaria moveri absurdum est. Haec sunt igitur absoluta loca, & solae translationes de his lo­cis sunt absoluti motus.

Verum quoniam hae spatii partes videri nequeunt, & ab invi­cem per sensus nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore ali­quo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa; deinde etiam & omnes motus aestimamus cum respectu ad praedicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferii concipimus. Sic vice loco­rum & motuum absolutorum relativis utimur, nec incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca motus (que) referantur.

Distinguuntur autem Quies & Motus absoluti & relativi ab invi­cem per eorum proprietates, causas & effectus. Quietis proprietas [Page 8] est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideo (que) cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus fixa rum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum aliquod ad longin­quum illud datam positionem servet, quies vera ex horum situ in­ter se definiri nequit.

Motus proprietas est, quod partes quae datas servant positiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur quae in ambientibus rela­tive quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum, quae tanquam qui­escentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam quie scentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia, praeter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabun­tur; sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, abs (que) translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur.

Praecedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum, adeo (que) corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic deinceps, us (que) dum perveniatur ad locum immotum, ut in ex­emplo Nautae supra memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota definiri possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra retuli: Loca autem im­mota non sunt, nisi quae omnia ab infinito in infinitum datas ser­vant [Page 9] positiones ad invicem, at (que) adeo semper manent immota, spa­tium (que) constituunt quod immobile appello.

Causae, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in corpora impressae ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus mo­tum impressas: at motus relativus generari et mutari potest abs (que) viribus impressis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia solum corpora ad quae fit relatio, ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rur­sus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper muta­tur, at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eaedem vires in alia etiam corpora, ad quae fit relatio, sic impri­mantur ut situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus consistit. Mutari igitur potest motus omnis rela­tivus ubi verus conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit.

Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invi­cem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hae vires nullae sunt, in vero autem et abso­luto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla a filo praelongo, agatur (que) perpetuo in orbem donec filum a con­torsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, et una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem, et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies a­quae sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi in aquam paulatim impressa, effecit vas, ut haec quo­ (que) sensibiliter revolvi incipiat, recedet ipsa paulatime medio, ascen­det (que) ad latera vasis, figuram concavam induens, (ut ipse exper­tus sum) et incitatiore semper motu ascendet magis & magis, do­nec revolutiones in aequalibus cum vase temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum rece­dendi ab axe motus, & per talem conatum innotescit & mensura­tur motus aquae circularis verus & absolutus, motui (que) relativo hic [Page 10] omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquae motus relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, & propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut aquae motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe. at (que) hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo cre­scentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative. Igitur conatus iste non pendet a translatione aquae re­spectu corporum ambientium, & propterea motus circularis verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis cujus (que) revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio & adaequato effectui respondens; motus autem relativi pro varijs re­lationibus ad externa innumeri sunt, & relationum instar, effecti­bus veris omnino destituuntur, nisi quatenus de vero illo & unico motu participant. Unde & in Systemate eorum qui Caelos nostros infra Caelos fixarum in orbem revolvi volunt, & Planetas secum de­ferre; Planetae & singulae Caelorum partes, qui relative quidem in Caelis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim po­sitiones suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) u­na (que) cum caelis delati participant eorum motus, & ut partes revol­ventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur.

Igitur quantitates relativae non sunt eae ipsae quantitates quarum nomina prae se ferunt, sed earum mensurae illae sensibiles (verae an er­rantes) quibus vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu de­finiendae sunt verborum significationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci & Motus proprie intelligendae erunt hae mensurae; & sermo erit insolens & pure Mathematicus si quantitates mensuratae hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur. Ne (que) mi­nus contaminant Mathesin & Philosophiam qui quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris confundunt.

[Page 11]Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatij illius immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui sunt motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae sunt motuum verorum causae & effectus. Ut si globi duo ad datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circu­laris computari posset. Deinde si vires quaelibet aequales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fili ten­sione augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveni­ri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur, id est facies posticae, sive quae in motu circu­lari sequuntur. Cognitis autem faciebus quae sequuntur & faciebus oppositis quae praecedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri posset & quantitas & determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret exter­num & sensibile, quocum globi conferri possent. Si jam consti­tuerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se positionem servantia, qualia sunt stellae fixae in regionibus nostris: [...]ciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter [...]orpora, utrum his an illis tribuendus esset motus. At si at­ [...]enderetur ad filum & inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse [...]uam motus globorum requireret; concludere liceret motum esse [...]oborum, & tum demum ex translatione globorum inter corpora, [...]eterminationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex [...]orum causis, effectibus & apparentibus differentijs colligere, & [...]ntra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas & ef­ [...]ctus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem Tra­ [...]tum sequentem composui.

AXIOMATA SIVE LEGES MOTUS

Lex. I.

‘Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi unifor­miter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.’

PRojectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resisten­tia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohaerendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere re­tardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora mo­tus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius.

Lex. II.

‘Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, & fieri se­cundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.’

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla tri­plum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive im­pressa fuerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, mo­tui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obli­quo oblique adjicitur, & cum eo secundum utrius (que) determinatio­nem componitur.

Lex. III.

‘Actioni contrariam semper & aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales & in partes contra­rias dirigi.’

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahe­tur etiam & equus aequaliter in lapidem: nam funis utrin (que) distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac la­pidem versus equum, tantum (que) impediet progressum unius quan­tum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq: mutaverit, i­dem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in par­tem contrariam vi alterius (ob aequalitatem pressionis mutuae) subibit. His actionibus aequales fiunt mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mu­tationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factae, quia motus aequaliter mutantur, sunt corporibus reciproce proportio­nales.

Corol. I.

‘Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere, quo latera separatis.’

Si corpus dato tempore, vi sola M,

[figure]

ferretur ab A ad B, & vi sola N, ab A ad C, compleatur parallelogram­mum ABDC, & vi utra (que) feretur id eodem tempore ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secundum lineam AC ipsi BD parallelam, haec vis nihil mutabit velocitatem acce­dendi ad lineam illam BD a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD sive vis N imprimatur, sive non, at (que) adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea [Page 14] illa BD. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea CD, & idcirco in utrius (que) lineae concursu D repe­riri necesse est.

Corol. II.

‘Et hinc patet compositio vis directae AD ex viribus quibusvis obli­quis AB & BD, & vicissim resolutio vis cujusvis directae AD in obliquas quascun (que) AB & BD. Quae quidem Compositio & resolutio abunde confirmatur ex Mechanica.’

Ut si de rotae alicujus centro O exeuntes radij inaequales OM, ON filis MA, NP sustineant pondera A & P, & quaerantur vires pon­derum ad movendam rotam: per centrum O agatur recta KOL filis perpendiculariter occurrens in K & L, centro (que) O & inter­vallorum OK, OL majore OL

[figure]

describatur circulus occurrens fi­lo MA in D: & actae rectae OD parallela sit AC & perpen­dicularis DC. Quoniam nihil re­fert utrum filorum puncta K, L, D affixa sint vel non affixa ad planum rotae, pondera idem vale­bunt ac si suspenderentur a pun­ctis K & L vel D & L. Pon­deris autem A exponatur vis to­ta per lineam AD, & haec resolvetur in vires AC, CD, quarum AC trahendo radium OD directe a centro nihil valet ad moven­dam rotam; vis autem altera DC, trahendo radium DO perpen­diculariter, idem valet ac si perpendiculariter traheret radium OL ipsi OD aequalem; hoc est idem at (que) pondus P, quod sit ad pondus A ut vis DC ad vim DA, id est (ob similia triangula ADC, DOK,) ut DO (seu OL) ad OK. Pondera igitur A & P, quae sunt reciproce ut radii in directum positi OK & OL, idem pollebunt & sie consistent in aequilibrio: (quae est proprietas notissima Librae, [Page 15] Vectis & Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit ma [...] quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.

Quod si pondus p ponderi P aequale partim suspendatur silo Np, partim incumbat plano obliquo pG: agantur pH, NH, pri­or horizonti, posterior plano pG perpendicularis; & si vis pon­deris p deorsum tendens, exponatur per lineam pH, resolvi potest haec in vires pN, HN. Si filo pN perpendiculare esset planum a­liquod pQ secans planum alterum pG in linea ad horizentem pa­rallela; & pondus p his planis pQ, pG solummodo incumberet; urgeret illud haec plana viribus pN, HN perpendiculariter, ni­mirum planum pQ vi pN & planum pG vi HN. Ideoque si tolla­tur planum pQ ut pondus tendat silum, quoniam silum sustinen­do pondus, jam vicem praestat plani sublati, tendetur illud eadem vi pN, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus obli­qui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis PN, ut pN ad pH. Ideo (que) si pondus p sit ad pondus A in ratione quae compo­nitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum AM, pN a centro rotae, & ratione directa pH ad pN; pondera idem valebunt ad rotam movendam, at (que) adeo se mutuo sustine­bunt, ut quilibet experiri potest.

Pondus autem p planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fissi facies internas: & inde vires cunei & mallei innotescunt: utpote cum vis qua pondus p urget planum pQ sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur se­cundum lineam pH in plano, ut pN ad pH; at (que) ad vim qua ur­get planum alterum pG ut pN ad NH. Sed & vis Cochleae per similem virium divisionem colligitur; quippe quae cuneus est a vec­te impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, & la­te patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Me­chanica tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur vires Machinarum, quae ex Rotis, Tympa­nis, Trochleis, Vectibus, radijs volubilibus, nervis tensis & ponderi­bus directe vel oblique ascendentibus, caeteris (que) potentij, Mecha­nicis [Page 16] componi solent, ut & vires Nervorum ad animalium ossa mo­venda.

Corol. III.

‘Quantitas motus quae colligitur capiendo summam motuum factorum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non muta­tur ab actione corporum inter se.’

Etenim actio ei (que) contraria reactio aequales sunt per Legem 3, adeo (que) per legem 2, aequales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quic­quid additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem quae prius. Sin corpora obviam eant, aequalis erit subductio de motu utrius (que), adeo (que) diffe­rentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.

Ut si corpus sphaericum A sit triplo majus corpore sphaerico B, ha­beat (que) duas velocitatis partes, et B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem, adeo (que) motus ipsius A sit ad motum ipsius B ut sex ad decem: ponantur motus illis esse partium sex & decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quin (que) corpus B amittet partes totidem, adeo (que) perget cor­pus A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel unde­cim, & B cum partibus septem vel sex vel quin (que) existente semper summa partium sexdecim ut prius. Sin corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeo (que) progredia­tur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus B amittendo, tot partes quot A lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus no­vem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel regredietur cum una parte amisso motu suo & (ut ita dicam) [...]na parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detra­ [...]m motum progressivum partium duodecim. At (que) ita sum­ [...]m motuum conspirantium 15+1 vel 16+0, differentiae contrario­rum [Page 17] 17−1 & 18−2 semper erunt partium sexdecim ut ante concur­sum & reflexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, invenietur cujus (que) velocitas ponende eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post ad mo­tum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A motus erat partium sex ante reflexionem & partium octodecim postea, & velocitas par­tium duarum ante reflexionem; invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflex­ionem ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes duae ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea.

Quod si corpora vel non Sphaerica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique, & requirantur corum motus post re­flexionem, cognoscendus est situs plani a quo corpora concurren­tia tanguntur in puncto concursus; dein corporis utrius (que) motus (per Corol. 2.) distinguendus est in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus autem pa­ralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum line­am huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflex­ionem at (que) antea, & motibus perpendicularibus mutationes ae­quales in partes contrarias tribuendae sunt sie, ut summa conspi­rantium & differentia contrariorum maneat eadem quae prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corpo­rum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non con­sidero, & nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare.

Corol. IIII.

‘Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mu­tat statum suum vel motus vel quietis, & propterea corporum om­nium in se mutuo agentium (exclusis actionibus & impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.’

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis & distantia corum dividatur in ratione data, punctum divi­dens [Page 18] vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea arecta. Hoc postea in Lemmate xxiii demonstratur in plano, & eadem ratio­ne demonstrari potest in loco solido. Ergo si corpora quotcun (que) moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravita­tis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro com­muni in ratione data: similiter & commune centrum horum duo­rum & tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia centri com­munis corporum duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum quae actionibus in se invicem, alijs (que)[?] omni­bus in se extrinsecus impressis, omnino vacant, adeo (que) moventur singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.

Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distantiae centrorum utrius (que) a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, aequales inter se. Proinde centrum illud a motuum aequalibus mutationi­bus in partes contrarias factis, at (que) adeo ab actionibus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutatio­nem patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systema­te autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mu­tuo agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nul­latenus mutat statum suum; & reliquorum, quibuscum actio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; dis­tantia autem horum duorum centrorum dividitur, a communi cor­porum omnium centro, in partes summis totalibus corporum, quo­rum [Page 19] sunt centra, reciproce proportionales, adeo (que) centris illis duo­bus statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bin [...] compositae, & prop­terea communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpo­ra non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta aliqua progre­ditur uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum actioni­bus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbe­tur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex ea­dem quae corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri gravitatis aestimari semper de­bet.

Corol. V.

‘Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spa­tium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum abs (que) motu circulari.’

Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & summae tendentium ad contrarias, ea dem sunt sub ii. icio in utro (que) casu (ex hypothesi) & ex his summis vel differentiis oriuntur con­gressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem a aequales erunt congressuum effectus in utro (que) casu, & propterea manebunt motus inter se in uno casu aequales motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum.

Corol. VI.

‘Si corpora moveantur quomodocun (que) inter se & a viribus acceleratri­cibus aequalibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergent om­nia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent inci­tata.’

Nam vires illae aequaliter (pro quantitatibus movendorum cor­porum) & secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter (quoad velocitatem) movebunt per Legem 2.) ade­o (que) nunquam mutabunt positiones & motus eorum inter se.

Scholium

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experien­tia multiplici confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit Galilaeus descensum gravium esse in duplicata ra­tione temporis, & motum projectilium fieri in Parabola, conspi­rante experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam a­liquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege ter­tia D. Christopherus Wrennus Eques auratus, Iohannes Wallisius S.T.D. & D. Christianus Hugenius, hujus aetatis Geometrarum facile Principes, regulas congressuum & reflexionum duorum cor­porum seorsim adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societa­te Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino con­spirantes; Et primus quidem D. Wallisius, dein D. Wrennus & D. Hugenius inventum prodidit. Sed & veritas comprobata est a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum, quod etiam Clarissimus Mariottus Libro integro exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad a­mussim congruat, habenda est ratio tum resistentiae aeris, tum e­tiam vis Elasticae concurrentium corporum. Pendeant corpora A, B filis parallelis AC, BD a centris C, D. His centris & inter­vallis [Page 21] describantur semicirculi EAF, GBH radijs CA, DB bi­secti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis R, & (subducto corpore B) demittatur inde, redeat (que) post unam oscillationem ad punctum V. Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV fiat ST pars

[figure]

quarta sita in medio, & haec exhibebit retardationem in descensu ab S ad A quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat cor­pus A de puncto S, & veloci­tas ejus in loco reflexionis A, abs (que) errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur haec velocitas per chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduli in puncto insimo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post re­flexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B & inveniatur locus v, a quo si corpus A de­mittatur & post unam oscillationem redeat ad locum r, sit st pars quarta ipsius rv sita in medio, & per chordam arcus tA expona­tur velocitas quam corpus A proxime post reflexionem habuit in loco A. Namt erit locus ille verus & correctus ad quem corpus A, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & invenien­dus locus l, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quae velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde in chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus B l, ut habea­tur motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utrius (que) tam ante, quam post reflexionem; & tum [Page 22] demum conferendi sunt motus inter se & colligendi effectus re­flexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, id (que) in corporibus tam maequalibus quam aequalibus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digi­torum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant, quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utri (que) illata, at (que) adeo quod actio & reactio semper erant aequales. Ut si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus, corpus B resilie­bat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A cum duabus, redibat B cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur alioe partes duae & fiet motus duarum partium in pla­gam contrariam. & sic de motu corporis B partium sex subdu­cendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant ad ean­dam

[figure]

plagam, A velocius cum partibus quatuordecim & B tardius cum partibus quin (que) & post reflexionem pergebat A cum quin (que) partibus, perge­bat B cum quatuordecim, fac­ta translatione partium no­vem de A in B. Et sic in reliquis. A congressu & collisione cor­porum nunquam mutabatur quantitas motus quae ex summa motu­um conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Nam (que) errorem digiti unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficil [...] erat tum pendula si­mul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco in­fimo AB, tum loca s, k notare ad quae corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inaequalis[?] partium densitas, & tex­tura aliis de causis irregularis, er [...]o [...]s inducebant.

[Page 23]Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum praesupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descrip­ta succedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elasticae. In Theoria Wrenni & Hugenij corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de per­fecte Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu la duntur, vel extensionem aliqualem qua­si sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciat (que) corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quae sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic tentavi. Primum demit­tendo Pendula & mensurando reflexionem, inveni quantitatem vis Elasticae; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper pilae ab invicem cum velocitate relativa, quae esset ad veloci­tatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilae ex chalybe: aliae ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. At (que) hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per Theoriam com­probata est, quae cum experientia plane congruit.

In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duo­bus quibusvis A, B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus corpus alterum B, quam illud al­terum B in prius A, obstaculum magis urgebitur pressione corpo­ris A quam pressione corporis B; proinde (que) non manebit in aequi­librio. Praevalebit pressio fortior, faciet (que) systema corporum duo­rum [Page 24] & obstaculi moveri in directum in partes versus B, motu (que) in spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum. Qoud est ab­surdum & Legi primae contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proinde (que) corpora aequaliter urgebunt ob­staculum, & idcirco aequaliter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & ferro. Si haec in vasculis propriis sese contin­gentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed aequalitate attractionis utrin (que) sustinebunt co­natus in se mutuos, ac tandem in aequilibrio constituta quiescent.

Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velo­citates sunt reciproce ut vires insitae: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium ae­stimatae, sunt reciproce ut vires. Sic pondera aequipollent ad movenda brachia Librae, quae oscillante Libra, sunt reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta ascendunt & descendunt, aequipollent, quae sunt reciproce ut pun­ctorum a quibus suspenduntur distantiae ab axe Librae; sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descen­dunt oblique, aequipollent quae sunt ut ascensus & descensusquatenus facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gra­vitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quae sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & simili­bus instrumentis, quae ex rotulis commissis constructa sunt, vires contrariae ad motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas impri­muntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleae ad premendum cor­pus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velo­citas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam Cochleae versus corpus pressum. Vires quibus cu­neus [Page 25] urget partes duas li [...]ni s [...]si est ad vim mallei in cuneum, [...] progressus cunei secundum determinationem vis a malle [...] in ipsum impressae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machi­narum omnium.

Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo ve­locitatem augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni apto­rum instrumentorum genere Problema; Datum pondus data vi movendi, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si Machinae ita formentur ut velocitates Agentis & Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, & majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velo­citatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quae tam ex contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab invicem separandorum cohaesione & elevan­dorum ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machinae, partim in corpore resistente producet. Cae­terum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce vo­lui tantum ostendere quam late pateat, quam (que) certa sit Lex ter [...]ia motus. Nam si aestimetur Agentis actio ex ejus vi & velo­citate conjunctim; & Resistentis reactio ex ejus partium singula­rum velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, co­haesione, pondere & acceleratione oriundis; erunt actio & re­actio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper aequal [...]. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo im­primitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio de­terminationi reactionis semper erit contraria.

DE MOTU CORPORUM Liber PRIMUS

SECT I. De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequen­tia demonstrantur.

LEMMA I.

‘QVantitates, ut & quantitatum rationes, quae ad aequalitatem da­to tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo aequales.’

Si negas, sit earum ultima differentia D. [...]o nequeunt pro­pius ad aequalitatem accedere quam pr [...]data differentia D: contra hypothesin.

Lemma II.

Si in figura quavis Aa cE rectis Aa, AE, & curva AcE comprehensa, inscribentur parallelogramma quotcun (que) Ab, Bc, Cd, &c. sub besibus AB▪ BC, CD, &c.
[figure]
aequalibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. figurae lateri Aa parallelis comen­ta; & compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn, &c, Dein horum parallelogrammorum [...]do minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimae rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta AKbLcMdD, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea AabcdE, sunt rationes aequalitatis.

Nam figurae inscriptae & circumscriptae differentia est summa parallelogrammorum Kl+Lm+Mn+Do, hoc est (ob ae­quales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudi­num summa Aa, id est rectangulum ABla. Sed hoc rectangu­lum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circum­scripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo aequales. Q.E.D.

Lemma III.

‘Eaedem rationes ultimae sunt etiam aequalitatis, ubi parallelogramom­rum latitudines AB, BC, CD, &c. sunt inaequales, & omnes minuuntur in infinitum.’

Sit enim AF aequalis latitudini maximae, & compleatur pa­rallelogrammum FAaf. Hoc erit majus quam differentia figurae inscriptae & figurae circumscriptae, at latitudine sua AF [Page 28] in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectan­gulum.

Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescenti­um coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quae chordis evanes­centium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ul­timo cum figura curvilinea.

Corol. 3. Ut & figura rectilinea quae tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.

Corol. 4. Et propterea hae figurae ultimae (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineae, sed rectilinearum limites curvilinci.

Lemma IV.

‘Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duae parallelogrammorum series, sit (que) idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimae paralle­logrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulo­rum ad singula, sint eaedem; dico quod figurae duae AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.’
[figure]

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (com­ponendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura [Page 29] ad figuram; existente rimirum figura priore (per Lemma 111.) ad summam priorem, & posteriore figura ad summam posterio­rem in ratione aequalitatis.

Corol. Hinc si duae cujuscun (que) generis quantitates in eundem partium numerum utcun (que) dividantur, & partes illae, ubi nume­rus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad se­cundam caeterae (que) suo ordine ad caeteras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summae partium sem­per erunt ut summae parallelogrammorum; at (que) adeo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminui­tur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelo­grammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.

Lemma V.

Similium figurarum latera omnia, quae sibi mutuo respondent, sunt pro­portionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areae sunt in dupli­cata ratione laterum.

Lemma VI.

Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in puncto aliquo A, in medio curvaturae
[figure]
continuae, tangatur a recta utrin (que) pro­ducta AD; dein puncta A, B ad in­vicem accedant & coeant; dico quod angulus BAD sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ul­timo evanescet.

Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B coeuntibus, nul­la (que) adeo ipsius Ab parte AB jacen­te amplius intra curvam, manifestum est quod haec recta Ab, [Page 30] vel coincidet eum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem & curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturae, er­go prior obtinet. Q.E.D.

Lemma. VII.

‘Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordae & tangentis ad invicem est ratio aequalitatis. Vide Fig. Lem. 6 & 8 vi.’

Nam producantur AB & AD ad b & d & secanti BD paral­lela agatur bd. Sit (que) arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma superius, [...]nescet; adeo (que) rectae Ab, Ad & arcus intermedius Ab coincident, & prop­terea aequales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectae AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt aequalitatis. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si per B ducatur tangenti parallela BF rectam quamvis AF per A transeuntem

[figure]

perpetuo secans in F, haec ultimo ad arcum evanescentem AB rati­onem habebit aequalitatis, eo quod completo parallelogrammo AFB­D, rationem semper habet aequa­litatis ad AD.

Corol. 2. Et si per B & A ducantur plures rectae BE, BD, AF, AG, secantes tangentem AD & ipsius parallelam BF, ratio ul­tima abscissarum omnium AD, AE, BF, BG, chordae (que) & arcus AB ad invicem erit ratio aequalitatis.

Corol. 3. Et propterea hae omnes lineae in omni de rationibus ul [...]imis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

Lemma VIII.

‘Si rectae datae AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD, triangula tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio aequalitatis.’

[Page 31]Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, & arcui AB similis ducatur arcus Ab. Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd

[figure]

evanescet, & propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, sunt (que) eo nomine similia & aequalia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB, RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & aequalia. Q.E.D.

Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

Lemma IX.

Si recta AE & Curva AC positione datae se mutuo secent in angulo dato A, & ad rectam illam in
[figure]
alio dato angulo ordinatim ap­plicentur BD, EC, curvae oc­currentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad punctum A: dico quod areae triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione la­terum.

Etenim in AD producta ca­piantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, & erigantur or­dinatae db, ec ordinatis DB, EC parallelae & proportionales. Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi AbC similis, & recta Ag tangatur curva utra (que) in A; & secantur ordinatim appli­catae in F, G, f, g. Tum coeant puncta B, C cum puncto A, & angulo c Ag evanescente, coincident areae curvilineae Abd, Ace cum rectilincis Afd, Age, adeo (que) per Lemma V, erunt in du­plicata [Page 32] ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areae ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areae ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione late­rum AD, AE. Q.E.D.

Lemma X.

‘Spatia, quae corpus urgente quacun (que) vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.’

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates geni­tae per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areae ABD, ACE his ordinatis descriptae, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q.E.D.

Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes simi­lium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus aequalibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quae corpora temporibus ijsdem proportionalibus abs (que) viribus istis per­venirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.

Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum con­junctim.

Lemma XI.

‘Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensae arcus contermini.’

Cas. 1. Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis BD, subtensa arcus AB. Huic subtensae AB & tangenti AD perpendiculares erigantur AG, BG, concurrentes in G; dein accedant puncta D, B, G, ad puncta d, b, g, sit (que) I intersectio linearum BG, AG ultimo facta ubi puncta D, B accedunt us (que) ad A. Manifestum est quod distan­tia [Page 33] G I minor esse potest quam assignata quaevis. Est autem (ex natura circulorum per puncta ABG, Abg transeuntium) AB quad. aequale AG×BD & Ab quad. ae­quale

[figure]

Ag×bd, adeo (que) ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex rationibus AG ad Ag & BD ad bd. Sed quoniam IG assu­mi potest minor longitudine quavis assigna­ta, fieri potest ut ratio AG ad Ag minus differat a ratione aequalitatis quam pro differentia quavis assignata, adeo (que) ut ratio AB quad. ad Ab quad. minus differat a ra­tione BD ad bd quam pro differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultima AB quad. ad Ab quad. aequalis rationi ultimae BD ad bd. Q.E.D.

Cas. 2. Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, & eadem semper erit ratio ultima BD ad bd quae prius, adeo (que) ea­dem ac AB quad. ad Ab quad. Q.E.D.

Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D, d ad aequalitatem semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, adeo (que) ultimo aequales e­runt, per Lem. I. & propterea lineae BD, bd in eadem ratione ad invicem ac prius. Q.E.D.

Corol. 1. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & e­orum sinus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Ab aequales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensae BD, bd.

Corol. 2. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in tri­plicata ratione laterum AD, Ad, in (que) sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia. Sic & triangula ABC, Abc sunt ultimo in triplica­ta ratione laterum BC, bc.

Corol. 3. Et quoniam DB, db sunt ultimo parallela & in du­plicata ratione ipsarum AD, Ad; erunt areae ultimae curvilineae [Page 34] ADB, Adb (ex natura Parabolae) duae tertiae partes triangu­lorum rectilineorum ADB, Adb, & segmenta AB, Ab partes tertiae eorundem triangulorum. Et inde hae areae & haec segmen­ta erunt in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum chor­darum & arcuum AB, Ab.

Scholium.

Caeterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est cur­vaturam ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite mag­nam, seu intervallum AI finitae esse magnitudinis. Capi enim potest DB ut AD 3: quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proinde (que) an­gulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argu­mento si fiat DB successive ut AD 4, AD 5, AD 6, AD 7, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quo­rum quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiat DB successive ut AD 2, AD3/2, AD4/5, AD5, AD6/5, AD7/6, &c. ha­bebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, & qui­libet posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrin (que) in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite ma­jor priore. Ut si inter terminos AD 2 & AD 3 inseratur series AD 13/5, AD11/5, AD [...], AD7/ [...], AD5/2, AD8/3, AD11/4, AD 14/ [...], AD17/ [...], &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri po­test series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis in­tervallis differentium. Ne (que) novit natura limitem.

Quae de curvis lineis de (que) superficiebus comprehensis demon­strata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas & [Page 35] contenta. Praemisi vero haec Lemmata ut effugerem taedium dedu­cendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica cen­setur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quan­titatum evanescentium summas & rationes, primas (que) nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate praemittere. His enim idem praestatur quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequenti­bus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consi­deravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim in­divisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed summarum & rationum limites sem­per intelligi, vim (que) talium demonstrationum ad methodum prae­cedentium Lemmatum semper revocari.

Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio; quippe quae, antequam evanuerunt, non est ultima, u­bi evanuerunt, nulla est. Sed & eodem argumento aeque conten­di posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis veloci­tatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur ne (que) ante­quam attingit locum ultimum & motus cessat, ne (que) postea, sed tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. [Page 36] Haec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cum (que) hic li­mes sit certus & definitus, Problema est vere Geometricum eun­dem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.

Contendi etiam potest, quod si dentur ultimae quantitatum e­vanescentium rationes, dabuntur & ultimae magnitudines; & sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam Euclides de incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demon­stravit. Verum haec Objectio falsae innititur hypothesi. Ultimae rationes illae quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nun­quam vero transgredi, ne (que) prius attingere quam quantitates di­minuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duae quarum data est differentia augeantur in infi­nitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimate seu maximae quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum ima­ginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel eva­nescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine de­terminatas, sed cogita semper diminuendas sine limite.

SECT. II. De Inventione Virium Centripetarum.

Prop. I. Theorema. I.

‘Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse tem­poribus proportionales.’

Dividatur tempus in partes aequales, & prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad c, (per Leg. I) describens lineam Bc aequalem ipsi AB, adeo ut radiis AS, BS, cS ad centrum actis,

[figure]

confectae forent aequales areae ASB, BSc. Ve­rum ubi corpus venit ad B, agat viscentripeta im­pulsu unico sed magno, faciat (que) corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS pa­rallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Co­rol. 1) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo ASB. Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, aequale erit trian­gulo SBc, at (que) adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si [Page 38] vis centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD, DE EF, &c. jacebunt hae in eodem plano, & triangulum SCD trian­gulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi SDE aequale erit. Ae­qualibus igitur temporibus aequales areae in plano immoto descri­buntur: & componendo, sunt arearum summae quaevis SADS, SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eo­rum ultima perimeter ADF, (per Corollarium quartum Lemma­tis tertii) erit linea curva; adeo (que) vis centripeta qua corpus de tan­gente hujus curvae perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areae vero quaevis descriptae SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu pro­portionales. Q.E.D.

Corol. 1. In mediis non resistentibus, si areae non sunt tempo­ribus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.

Corol. 2. In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non tendunt concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.

Pro. II. Theor. II.

‘Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progredi­ens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum▪’

Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, de­torquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. 1.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detor­quetur & cogitur triangula quam minima SAB, SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus aequalibus aequalia de­scribere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam [Page 39] BS, & in loco C secundum lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. Q.E.D.

Cas. 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in directum.

Scholium.

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quae ex omnibus componitur, tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptae perpendicularem, haec faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superfi­ciei descriptae nec augebit nec minuet, & propterea in composi­tione virium negligenda est.

Prop. III. Theor. III.

‘Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcun (que) moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.’

Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quae aequalis & contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrum (que) se­cundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua cor­pus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi aequalem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus pro­portionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (pet Theor. 2.) differentia virium ad corpus illud alterum ut cen­trum. Q.E.D.

[Page 40] Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, at (que) de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, com­posita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Le­gum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urge­tur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.

Corol. 2. Et si areae illae sunt temporibus quamproxime pro­portionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.

Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt areae illae temporibus quamproxime pro­portionales.

Corol. 4. Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quae, cum temporibus collatae, sunt valde inaequales, & cor­pus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in direct­um; actio vis centripetae ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Vis (que) tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod aequabilis est arearum descriptio. Idem ob­tinet ubi corpus alterum motu quocun (que) movetur, si modo vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius agen­tis in corpus illud alterum.

Scholium

Quoniam aequabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus re­trahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usur­pemus in sequentibus a [...]quabil [...]m arearum descriptionem ut Indi­cem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis pera [...]itur?

Prop. IV. Theor. IV.

‘Corporum quae diversos circalos aequabili motu describunt, vires cen­tripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum ra­dios.’

Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyran­tia, simul describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita de­scriberent tangentes BC, bc his arcubus aequales, manifestum est quod vires centripetae sunt quae

[figure]

perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, at (que) adeo hae sunt ad invicem in ratione prima spa­tiorum nascentium CD, cd: ten­dunt vero ad centra circulo­rum per Theor. II, propterea quod areae radiis descriptae po­nuntur temporibus proportiona­les. Fiat figura tkb figurae DCB similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum bt: nec non, per Lemma XI; lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad bd quad. & ex ae­quo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD×bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD×bt / Sb ad bd / Sb quad. a­deo (que) (ob aequales rationes bt / Sb & BD / SB) ut BD quad./SB ad bd/Sb quad. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc vires centripetae sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.

Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum ap­plicata [Page 42] ad radios ita sunt hae vires inter se. Id est (ut cum Ge­ometris loquar) hae vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.

Corol. 3. Unde si tempora periodica aequantur, erunt tum vi­res centripetae tum velocitates ut radii, & vice versa.

Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetae sunt aequales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.

Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut qua­drata radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut radii, & ve­locitates aequales: Et vice versa.

Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi ra­diorum, vires centripetae sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.

Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcun (que) similium, centra (que) similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione praecedentium ad hosce casus applicata.

Scholium

Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus caelestibus (ut se­orsum colligerunt etiam nostrates Wrennus, Hockius & Halleus) & propterea quae spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi susius in sequenti­bus exponere.

Porro praecedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio aequale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam [Page 43] continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum de­scribit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spati­um quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato aequale; adeo (que) est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Proposi­tionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillato­rio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.

Demonstrari etiam possunt praecedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcun (que) Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis re­flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeo (que) summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus re­flexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem appli­cata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius ap­plicatum ad Radium; adeo (que) si Polygonum lateribus infinite dimi­nutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis qua corpus urget circ [...]lum, & huic aequalis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.

Prop. V. Prob. I.

‘Data quibuscun (que) in locis velocitate, qua corpus figuram datam viri­bus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.’

Figuram descriptam tangant rectae tres PT, TQV, VR in punctis totidem P, Q, R, concurrentes in T & V. Ad tangen­tes erigantur perpendicula PA, QB, RC, velocitatibus corpo­ris in punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur reciproce pro­portionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad ve­locitatem in P, & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem [Page 44] in Q. Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rect­os ducantur AD, DBE, EC concurrentia in D & E: Et actae TD, VE concurrent in centro quaesito S.

Nam cum corpus in P & Q

[figure]

radiis ad centrum ductis areas describat temporibus propor­tionales, sint (que) areae illae si­mul descriptae ut velocitates in P & Q ductae respective in perpendicula a centro in tan­gentes PT, QT demissa: E­runt perpendicula illa ut ve­locitates reciproce, adeo (que) ut perpendicula AP, BQ di­recte, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa. Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea centrum S in concursu rectarum TD, VE versatur. Q.E.D.

Pro. VI. Theor. V.

Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam quamvis curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad tangentem ab alio quovis curvae puncto Q agatur QR distantiae SP parallela, ac demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut so­lidum SP quad.×QT quad./QR, si modo solidi illius ea semper su­matur quantilas quae ultimo fit
[figure]
ubi coeunt puncta P & Q.

Nam (que) in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, data tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) & [Page 45] data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) at (que) adeo, neu­tro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, ade­o (que) vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejusve dupla SP×QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeo (que) vis centripeta ut QR di­recte at (que) SP quad. in QT quad. inverse, id est ut SP quad.×QT quad./QR inverse. Q.E.D.

Corol. Hinc si detur figura quaevis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetae quae corpus in figurae illius perimetro gyrari faciet. Nimirum compu­tandum est solidum SP quad.×QT quad./QR huic vi reciproce pro­portionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequenti­bus.

Prop. VII. Prob. II.

‘Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripe­tae tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.’

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetae S, corpus in circumferentia latum

[figure]

P, locus proximus in quem mo­vebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte perpendi­cula PK, QT, S per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem[?] circulo in L & tangenti PR in R, & co [...]ant LQ[?], PR in Z. Ob similitudinem triangulo um ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo QRL×SP quad./SA quad. aequatur QT quad. Ducantur haec aequa­lia [Page 46] in SP quad./QR, & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL Sic fiet SPqc/SAq aequale QTq×SPq / QR Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc/SAq, id est (ob datum SA quad) ut quadrato-cubus distantiae SP. Quod erat inveniendum.

Prop. VIII. Prob. III.

‘Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetae tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineae om­nes PS, RS ad id ductae, pro parallelis haberi possint.’

A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas per­pendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel

[figure]

(per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut PQq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natu­ra circuli rectangulum QR×RN+QN aequale est PR quadra­to. Coeuntibus autem punctis P, Q sit RN+QN aequlis 2 PM. Ergo est CP quad. ad PM quad. ut QR×2 PM ad QT quad. ade­o (que) QT quad./QR aequale 2 PM cub / CP quad., & QT quad.×SP quad./QR aequale 2 PM cub.×SP quad./CP quad.. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis cen­tripeta reciproce ut 2 PM cub.×SP quad./CP quad. hoc est (neglecta rati­one determinata 2 SP quad./CP quad.) reciproce ut PM cub. Q.E.I.

Scholium.

Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quae sit reciproce ut cu­bus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime longinquum tendentis.

Prop. IX. Prob. IV.

Gyretur corpus in spirali PQS secante radios omnes SP, SQ &c. in angulo dicto[?]: Requiritur lex
[figure]
vis centripetae tendentis ad cen­trum spiralis.

Detur angulus indefinite par­vus PSQ, & ob datos omnes an [...]ulos dabitur specie figura S [...]Q [...]T. Ergo datur ratio Q [...]/RQ, [...] QT quad./QR ut QT, hoc est ut SP. Mutetur jam ut­cun (que) angulus PSQ, & recta QR angulum contactus QPR subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius PR vel QT. Ergo manebit QT quad./QR eadem quae prius, hoc est ut SP. Quare QTq×SPq/QR est ut SP cub. id est (per Co­rol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiae SP.Q.E.I.

Lemma XII.

‘Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se ae­qualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.’

Constat utrum (que) ex Conicis.

Prop. X. Prob. V.

‘Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetae tendentis ad centrum Ellipseos.’

Sunto CA, CB

[figure]

semiaxes Ellipseos; GP, DK diame­tri conjugatae; PF, Qt perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applica­ta ad diametrum GP; & si complea­tur parallelogram­mum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut PC quad. ad CD quad. & (ob simi­lia triangula Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt quad. ut PC quad. ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt quad. ut PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est vG ad Qt quad./Pv ut PC quad. ad CDq×PFq/PCq. Scribe QR pro Pv, & (per Lemma xii.) BC×CA pro CD×PF, nec non (punctis P & Q coeun­tibus) 2 PC pro vG, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fiet Qtq×PCq / QR aequale 2 BCq×CAq/PC Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2 BCq×CAq/PC, id est [Page 49] (ob datum 2 BCq.×CAq.) ut 1 [...]PC, hoc est, directe ut distantia PC.Q.E.I.

Corol. 1. Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest.

Corol. 2. Et aequalia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus aequalia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areae totae directe & arearum parti­culae simul descriptae inverse; id est ut axes minores directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe & ordinatim applicatae ad axes alteros inverse, & propterea (ob aequalitatem rationum directarum & inversa­rum) in ratione aequalitatis.

Scholium.

Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabo­lam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infini­te distans jam tendens, evadet aequabilis. Hoc est Theorema Galilei. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.

SECT. III. De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.

Prop. XI. Prob. VI.

‘Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetae tenden­tis ad umbilicum Ellipseos.’

Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellip­seos tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & compleatur parallelogrammum Q×PR. Patet EP ae­qualem esse semi­axi

[figure]

majori AC, eo quod acta ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, (ob ae­quales CS, CH) aequentur ES, EI, a­deo ut EP semisum­ma sit ipsarum PS, PI, id est (ob pa­rallelas HI, PR & angulos aequales IP R, HPZ) ipso­rum PS, PH, quae conjunctim axem totum 2 AC adaequant. Ad SP demittatur perpendicularis QT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC / AC quad.) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC: & L×Pv ad GvP ut L ad Gv; [Page 51] & GvP ad Qv [...]uad. ut CP quad. ad CD quad; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio aequa­litatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad, id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationi­bus, L×QR sit ad QT quad. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq ad CDq+CDq. ad CBq. id est ut AC×L (seu 2 CBq.)×C ­Pq. ad PC×Gv×CBq. sive ut 2 PC ad Gv. Sed punctis Q & P coeuntibus, aequantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportio­nalia L×QR & QT quad. aequantur. Ducantur haec a qualia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq.×QTq./QK Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq. id est recipro­ce in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo­lam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignita­tem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casu­caeteros demonstratione confirmare.

Prop. XII. Prob. VII.

‘Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetae tenden­tis ad umbilicum figurae.’

Sunto [...]A, CB semi-axes Hyperbolae; PG, KD diametri conjugatae; PF, Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordina­tim applicata ad diametrum GP. Agatur SP secans tum diame­trum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & comple­atur parallelogrammum QRPx. Patet EP aequalem esse semi­axi transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolae umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob aequales CS, CH, aequentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos aequales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2 AC adaequat. Ad SP [Page 52] demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolae latere recto principali (seu 2BCq / AC) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L×Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq.

[figure]

ad CDq; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq, punctis Q & P coeuntibus fit ratio aequalitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq, id est ut CAq. ad PFq, sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq: & conjunctis his om­nibus rationibus L×QR fit ad QTq. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq. ad CDq.+CDq. ad CBq: id est ut AC×L (seu 2 BCq.)×P­Cq. ad PC×Gv×CB quad. sive ut 2 PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus ae­quantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportionalia L×QR & QTq. aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq×QTq / QR Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq, id est in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I.

[Page 53]Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Lemma XIII.

Latus rectum Parabolae ad verticem quemvis pertinens, est quadru­plum distantiae verticis illius ab umbilico figurae. Patet ex Conicis.

Lemma XIV.

‘Perpendiculum quod ab umbilico Parabolae ad tangentem ejus demit­titur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figurae.’

Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex princi­palis, P punct­um

[figure]

contact­us, PO ordi­natim applica­ta ad diame­trum princi­palem, PM tangens dia­metro princi­pali occur­rens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur AN, & ob aequales MS & SP, MN & NP, MA & AO, parallelae erunt rectae AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A & simile triangulis aequalibus SMN, SPN, Ergo PS est ad SN ut SN ad SA.Q.ED.

Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quae ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quae Parabolam tangit in vertice principali.

Prop. XIII. Prob. VIII.

‘Moveatur corpus in perimetro Parabolae: requiritur Lex vis centripe­tae tendentis ad umbilicum hujus figurae.’

Maneat constructio Lemmatis, sit (que) P corpus in perimetro Para­bolae, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangenti pa­rallelam & occurentem tum diametro YPG in v, tum distantiae SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP & aequalia unius latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4 PS×Pv seu 4 PS×QR; & punctis P & Q coeun­tibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit aequalitatis. Ergo Q×q. eo in

[figure]

casu, aequale est rectangu­lo 4 PS×QR. Est au­tem (ob ae­quales angu­los Q×T, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4 PS×QR ad 4 AS×QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V Elem.) QTq. & 4 AS×QR aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR, & fiet SPq.×QTq./QR aequale SPq.×4 AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est recipro­ce ut SPq.×4 AS, id est, ob datam 4 AS, reciproce in dupli­cata ratione distantiae SP.Q.E.I.

[Page 55] Corol. I. Ex tribus novissimis Propositionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacun (que) cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae a centro, simul agite­tur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbi­licum habente in centro virium; & contra.

Corol. II. Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua lineola PR in minima aliqua temporis particula describi po­ssit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem move­re per spatium QR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sect­ione cujus latus rectum est quantitas illa QTq./QR quae ultimo sit ubi lineolae PR, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.

Prop. XIV. Theor. VI.

‘Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centri­peta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.’

Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L aequale est quantitati QTq./QR quae ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut SPq. Ergo QTq./QR est ut QTq.×SPq. hoc est, latus rectum L in duplicata ratione a­reae QT×SP.Q.E.D.

Corol. Hinc Ellipseos area tota, ei (que) proportionale rectangu­lum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione late­ris recti & integra ratione temporis periodici.

Prop. XV. Theor. VII.

‘Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in rati­one sesquiplicata transversorum axium.’

Nam (que) axis minor est medius proportionalis inter axem ma­jorem (quem transversum appello) & latus rectum, at (que) adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata rati­one lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione pe­riodici temporis. Dematur utrobi (que) dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi aequalis rationi peri­odici temporis. Q.E.D.

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus El­lipseon.

Prop. XVI. Theor. VIII.

‘Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quae ibidem tangant orbitas, demissis (que) ab umbilico communi ad has tangentes perpen­dicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione compo­sita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione late­rum rectorum directe. VideFig. Prop. X. & XI.’

Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quanti­tatis SYq./L Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT & SP ad SY) ut SP×QT / SY, sive ut SY reciproce & SP×QT directe; est (que) [Page 57] SP×QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris recti Q.E.D.

Corol. 1. Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.

Corol. 2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab um­bilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum di­recte. Nam perpendicula jam sunt ipsae distantiae.

Corol. 3. Ideo (que) velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a cen­tro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.

Corol. 4. Corpurum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt eaedem quae cor­porum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione distantia­rum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae proportionales inter distantias & latera recta. Compo­natur haec ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.

Corol. 5. In eadem vel aequalibus figuris, vel etiam in figuris inaequalibus, quarum latera recta sunt aequalia, velocitas corpo­ris est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tan­gentem

Corol. 6. In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ra­tione distantiae corporis ab umbilico figurae, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangen­tem Parabolae est in dimidiata ratione distantiae.

Corol. 7. In Parabola, velocitas ubi (que) est ad velocitatem corpo­ris revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola ma­jor [Page 58] quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secun­dum, velocitas in vertice Parabolae est in hac ratione, & per Co­rollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur eadem pro­portio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubi (que) aequalis est velocitati corporis revolventis in circulo ad di­midiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.

Corol. 8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad ve­locitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sect­ionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangen­tem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.

Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quo­vis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex ae­quo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distan­tiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad per­pendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis de­missum.

Prop. XVII. Prob. IX.

‘Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distan­tiae a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; re­quiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velo­citate secundum datam rectam egrediens.’

Vis centripeta tendens ad punctum Sea sit quae corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus veloci­tas in loco p. De loco P secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflect­at illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rect­um [Page 59] orbitae datae, in ratione composita ex duplicata ratione per­pendiculorum & duplicata ratione velocitatum, at (que) adeo datur. Sit istud L. Datur

[figure]

praeterea Conisecti­onis umbilicus S. Anguli RPS com­plementum ad du­os rectos fiat angu­lus RPH, & dabi­tur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpen­diculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq.−2 KPH+PHq. (per Prop. 13. Lib. II. Elem.)=SHq.=4 CHq.=4 BHq.−4 BCq.=SP+PH quad.−L×SP+PH=SPq.+2 SPH+PHq.−L×SP+PH. Addantur utrobi (que) 2 KPH+L×SP+PH−SPq.−PHq. & fiet L×SP+PH=2 SPH+2 K [...]PH, seu SP+PH ad PH ut 2 SP+2 KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corpo­ris in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 SP+2 KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum linea PS, adeo (que) figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe prin­cipali SP+PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut la­tus rectum L aequale fuerit 2 SP+2 KP, longitudo PH infinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens SH parallel­um lineae PK, & inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeo (que) tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem aequa­lem differentiae linearum SP & PH, & inde dabitur. Q.E.I.

Corol. 1 Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principa­li D, latere recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H ca­piendo DH ad DS ut est latus rectum ad differentiam inter la­tus [Page 60] rectum & 4 DS. Nam proportio SP+PH ad PH ut 2 SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS+DH ad DH ut 4 DS ad L, & divisim DS ad DH ut 4 DS−L ad L.

Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principa­li D, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datae ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS.

Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun­ (que) Conica, & ex orbe suo impulsu quocun (que) exturbetur; cog­nosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im­pulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

Corol. 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa con­tinuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex se­riei analogia, mutationes continuas in locis intermediis aestiman­do.

SECT. IV. De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolico­rum ex umbilico dato.

Lemma XV.

Si ab Ellipseos vel Hyperbolae cujusvis umbilicis duobus S, H, ad punct­um quodvis tertium V inflectantur rectae duae SV, HV, quarum u­na HV aequalis fit axi transverso figurae, altera SV a perpendicu­lo TR in se d [...]isso bisecetur in T; perpendiculum illud TR sec­tionem Conicam alicubi tangit: &
[figure]
contra, si tangit, erit VH aequalis axi figurae.

Secet enim VH sectionem coni­cam in R, & jungatur SR. Ob ae­quales rectas TS, TV, aequales e­runt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propte­rea figuram tangit: & contra. Q.E.D.

Prop. XVIII. Prob. X.

‘Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipti­cas & Hyperbolicas, quae transibunt per puncta data, & rectas po­sitione datas contingent.’

Sit S communis umbilicus figuraram; AC longitudo axis trans­versi Trajectoriae cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB−SP, si orbita sit Ellipsis, vel AB+SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur per­pendiculum [Page 62] ST, & producatur ea ad V, ut sit TV aequalis ST; centro (que) V & intervallo AC describatur circulus FH. Hac me­thodo

[figure]

sive dentur duo puncta P, p, sive duae tangentes TR, tr, sive punctum P & tan­gens TR, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & um­bilicis S, H, axe illo dato describatur Trajectoria. Di­co factum. Nam Trajecto­ria descripta (eo quod PH+SP in Ellipsi, & PH−SP in Hyperbola aequatur axi) transibit per punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam TR. Et eodem argu­mento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget rectas duas TR, tr. Q.E.F.

Prop. XIX. Prob. XI.

‘Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quae tran­sibit per puncta data, & rectas positione datas continget.’

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriae descri­bendae.

[figure]

Centro P, intervallo PS describe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, & produc e­am ad V, ut fit TV aequalis ST. Eodem modo describendus est alter circulus fg, si da­tur alterum punctum p; vel inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr; dein ducenda recta IF quae tangat du­os circulos FG, fg si dantur duo puncta P, [Page 63] p; vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duae tangentes TR, tr, vel tangat ci [...]culum PG & transeat per punctum V, si da­tur punctum P & tangens TR. Ad FI d [...]mitte perpendicula­rem SI, eam (que) biseca in K, & axe SK, vertice principali K de­scribatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob aequales SK & IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemma­tis XIV. Corol. 3.) ob aequales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR.Q.E.F.

Prop. XX. Prob. XII.

‘Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describe­re, quae per data puncta transibit & rectas tanget positione da­tas.’

Cas. 1. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, da­bitur

[figure]

ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione cape KB ad BS, & LC ad CS. Centris B, C, interval­lis BK, CL, describe▪ circulos duos, & ad rectam KL, quae tangat eosdem in K & L, de­mitte perpendiculum SG, idem (que) seca in A & a, ita ut sit SA ad AG & Sa ad aG, ut est SB ad BK, & axe Aa, verticibus A, a, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim Humbilicus al­ter figurae descriptae, & cum sit SA ad AG ut Sa ad aG, erit di­visim Sa−SA seu SH ad aG−AG seu Aa in eadem ratione, adeo (que) in ratione quam habet axis transversus figurae describen­dae ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea figura descrip­ta est ejusdem speciei cum describenda. Cum (que) sint KB ad BS & LC ad CS in eadem ratione, transibit haec Figura per puncta B, C, ut ex Conicis manifestum est.

[Page 64] Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria quae rect­as duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes de­mitte perpendicula ST, St & produc eadem ad V, v, ut sint TV, tv aequales TS, ts. Biseca Vv

[figure]

in O, & erige perpendiculum in­finitum OH, rectam (que) VS infi­nite productam seca in K & k ita, ut sit VK ad KS & Vk ad kS ut est Trajectoriae describen­dae axis transversus and umbilico­rum distantiam. Super diame­tro Kk describatur circulus se­cans rectam OH in H; & umbi­licis S, H, axe transverso ipsam VH aequante, describatur Tra­jectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK and KS ut Vk ad kS; & composite ut VK+Vk ad KS+kS; divisim (que) ut Vk−VK ad kS−KS id est ut 2 VX ad 2 KX & 2 KX ad 2 SX, adeo (que) ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeo (que) ut VK ad KS. Habet igitur Trajectoria descriptae axis transver­sus VH eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriae describendae axis transversus ad ipsius umbilico­rum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH, vH aequentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR, tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere. Q.E.F.

Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quae rect­am TR tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte per­pendicularem ST, & produc eandem ad V, ut sit TV aequalis ST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendae axis trans­versus ad distantiam umbilicorum; circulo (que) super diametro Kk [Page 65] descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso rectam HV aequante, describatur Trajectoria. Di­co

[figure]

factum. Nam (que) VH esse ad SH ut VK ad SK, at (que) a­deo ut axis transversus Tra­jectoriae describendae ad dist­antiam umbilicorum ejus, pa­tet ex demonstratis in Casu se­cundo, & propterea Trajec­toriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R, patet ex Conicis Q.E.F.

Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quae tangat rectam TR, transeat (que) per punctum quodvis P extra tangentem datum, quae (que) similis sit figurae apb, axe

[figure]

transverso ab & umbilicis s, h descriptae. In tangentem TR de­mitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV aequalis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq aequa­les; centro (que) q & intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe [Page 66] circulum secantem figuram apb in p. Junge sp & age SH quae sit ad sh ut est SP ad sp, quae (que) angulum PSH angulo psh & angulum VSH angulo psq aequales constituat. Deni (que) umbi­licis S, H, axe distantiam VH aequante, describatur sectio conica.

[figure]

Dico factum. Nam si agatur sv quae sit ad sp ut est sh ad sq, quae (que) constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh an­gulo psq aequales, triangula svh, spq erunt similia, & propte­rea vb erit ad pq ut est sh ad sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq. Aequantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh, est VH ad SH ut vh ad sh, id est, axis Conicae sectionis jam descriptae ad il­ius umbilicorum intervallum, ut axis ab ad umbilicorum inter­vallum sh, & propterea figura jam descripta similis est figurae a­pb. Transit autem haec figura per punctum P, co quod trian­gulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH a quatur ip­sius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR, tangit ea­dem rectam TR.Q.E.F.

Lemma XVI.

‘A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiae vel dan [...] vel nullae sunt.’

Cas. 1. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum AZ▪ BZ, locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa data. Sit axis ille MN. Ca­pe PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR perpendicular ad AB, demisso (que) ZR perpendiculari ad PR, erit ex natura hujus Hyperbolae ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discur­su punctum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A, C & axis transversus differentia inter AZ & CZ, duci (que) potest QS ipsi AC perpendicularis, ad quam si ab Hyperbolae hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS, haec fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem; adeo (que)

[figure]

rectis RP, SQ concurrentibus in T, locabitur punctum Z in rec­ta TZ positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam ter­tiam, cujus umbilici sunt B & C & axis transversus differentia rectarum BZ, CZ, inveniri po­test alia recta in qua punctum Z locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punct­um quaesitum Z in earum intersectione. Q.E.I.

Cas. 2. Si duae ex tribus lineis, puta AZ & BZ aequantur, punctum Z locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius rectilineus invenietur ut supra. Q.E.I.

[Page 68] Cas. 3. Si omnes tres aequantur, locabitur punctum Z in cen­tro circuli per puncta A, B, C transeuntis. Q.E.I.

Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tacti­onum Apollonii a Vieta restitutum.

Prop. XXI. Prob. XIII.

‘Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quae transibit per puncta data & rectas positione datas continget.’

Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & invenien­dus sit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit TY aequalis ST, & erit YH aequalis axi transverso. Junge SP, HP, & erit SP differentia in­ter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures tan­gentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas toti­dem YH, vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, at (que) adeo quae vel aequan­tur

[figure]

sibi invicem, vel datas habent diffe­rentias; & inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum axis longitu­dine (quae vel est YH, vel si Trajecto­ria Ellipsis est, PH+SP; sin Hy­perbola, PH−SP) habetur Trajectoria. Q.E.I.

Scholium.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, in (que) GS infinite produc­ta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A [Page 69] vertex, & Aa axis transversus Trajectoriae: quae, perinde ut GA minor, aequalis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto

[figure]

a in primo casu ca­dente ad eandem partem lineae GK cum puncto A; in secundo casu abeun­in infinitum; in tertio cadente ad contrari­am partem lineae GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectae omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iis­dem ad rectam GK demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop XXV.

SECT. V. Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.

Lemma XVII.

Si a datae conicae sectionis puncto quovis P, ad Trapezii alicujus ABCD, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta AB, CD, AC, DB, totidem rectae PQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur, sin­gulae
[figure]
ad singula: rectangu­lum ductarum ad opposita duo latera PQ×PR, erit ad rectangulum ductarum ad a­lia duo latera opposita PS×PT in data ratione.

Cas. 1. Ponamus imprimis lineas ad opposita latera duct­as parallelas esse alterutri re­liquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB. Sint (que) insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta quae bise­cat parallela illa latera erit una ex diametris Conicae sectionis, & bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK aequalis PO, & erit OK ordinatim applicata ad con­trarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. III Apollonii) rectangulum PQK ad rectan­gulum AQB in data ratione. Sed QK & PR aequales sunt, ut­pote aequalium OK, OP, & OQ, OR differentiae, & inde etiam [Page 71] rectangula PQK & PQ×PR aequalia sunt; at (que) adeo rectan­gulum PQ×PR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangu­lum PS×PT in data ratione. Q.E.D.

Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectae ST in t, tum Conicae sectioni in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM

[figure]

secantem Cd in M & AB in N. Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu PQ ad Tt ut DN ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Er­go ducendo antecedentes in an­tecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Tt in PS, ita rectangulum N­DM est ad rectangulum ANB, & (per Cas. 1) ita rectangu­lum QPr est ad rectangulum SP [...], ac divisim ita rectangulum QPR est ad rectangulum PS×PT.Q.E.D.

Cas. 3. Ponamus deni (que) line­as

[figure]

quatuor PQ, PR, PS, PT non esse parallelas lateribus AC, AB, sed ad ea utcun (que) inclina­tas. Earum vice age Pq, Pr pa­rallelas ipsi AC; & Ps, Pt pa­rallelas ipsi AB; & propter da­tos angulos triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur ra­tiones PQ ad Pq, PR ad Pr, PS ad Ps & PT ad Pt, at (que) adeo rationes compositae PQ in PR ad Pq in Pr, & PS in PT ad Ps in Pt. Sed, per superi [...]s demonstrata, ratio Pq. in Pr ad Ps in Pt data est: Ergo & ratio PQ in PR ad PS in PT.Q.E.D.

Lemma XVIII.

‘Iisdem posit is, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Tra­pezii PQ×PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS×PT in data ratione; punctum P, a quo lineae ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.’

Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum P hane semper tangere. Si ne­gas,

[figure]

junge AP secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in P si fieri potest, pu­ta in b. Ergo si ab his punct­is p & b ducantur in datis an­gulis ad latera Trapezii rectae pq, pr, ps, pt & bk, br, bs, bd, erit ut bk×br ad bd×bs ita (per Lemma XVII) pq×pr ad ps×pt & ita (per hypoth.) PQ×PR ad PS×PT. Est & propter similitudinem Trapeziorum bkAs, PQAS, ut bk ad bs ita PQ ad PS. Qua­re applicando terminos prioris propositionis ad terminos corres­pondentes hujus, erit br ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia ae­quiangula Drbd, DRPT similia sunt, & eorum diagonales Db, DP propterea coincidunt. Incidit ita (que) b in intersectionem rect­arum AP, DP adeo (que) coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicun (que) sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem. Q.E.D.

Corol. Hinc si rectae tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulae ad sin­gulas, in datis angulis ducantur, sit (que) rectangulum sub duabus duct­is PQ×PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum [Page 73] P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione Conica quae tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; de­in coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS×PT evadet PS quad. rectae (que) AB, CD quae curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am­plius secare possunt sed tantum tangent.

Scholium.

Nomen Conicae sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circu­laris basi parallela includatur. Nam si punctum p incidi [...] in rectam, qua quaevis ex punctis quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi si­mul sumpti aequentur duobus rectis, & lineae quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angu­lis quibusvis aequalibus, sit (que) rectangulum sub duabus ductis PS×PR aequale rectangulo sub duabus aliis PS×PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineae quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ×PR sit ad rect­angulum sub aliis duabus PS×PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duae ultimae PS, PT ducuntur, ad rect­angulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duae primae PQ, PR ducuntur. Caeteris in casibus Locus puncti P erit aliqua tri­um sigurarum quae vulgo nominantur Sectiones Conicae. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum cujus late­ra duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in in­finitum, eo (que) pacto latera figurae quae ad puncta illa convergunt, [Page 74] evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per caete­ra puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.

Lemma XIX.

‘Invenire punctum P, a quo si rectae quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulae ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus, PS×PT, in data ratione.’

Lineae AB, CD, ad quas rectae duae PQ, PR, unum rectan­gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus po­sitione

[figure]

datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum a­liquo A age rectam quam­libet AH, in qua velis punc­tum P reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob datos omnes an­gulos figurae, dabuntur rati­ones PQ ad PA & PA ad PS, adeo (que) ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a da­ta ratione PQ×PR ad PS×PT, dabitur ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio PI ad PH at (que) adeo punctum P.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punc­tum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD ubi punc­ta P ac D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E, [Page 75] & DE tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH pa­rallelae sunt, & in E & P similiter sectae.

Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri po­test. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis punctum B duc tangenti

[figure]

parallelam BF occurrentem Lo­co in F. Invenietur autem punc­tum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG di­ameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Haec AG occurrat Loco in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AG­H. Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Lo­cus erit Parabola & latus rectum ejus BGq./AG Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte an­gulus AGB rectus sit & insuper BG quad. aequale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.

At (que) ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide in­caepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc Corollario ex­hibetur.

Lemma XX.

‘Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicae in B & C; a punctis autem occur­suum [Page 76] B & C ad quintum quodvis sectionis Conicae punctum D agantur rectae duae B D, C D occurrentes alteris duobus infinite pro­ductis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt sem­per abscissae latcrum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illae abscissae sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem.’

Cas. 1. Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectae duae

[figure]

DG, DE, quarum prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera DE pa­rallela sit ipsi AC & occur­rat PC, PS, AB in F, K, E: & erit (per Lemma XVII.) rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data. Sed est PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeo (que) ut PT ad DH; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH. Est & PR ad DF ut RC ad DC, adeo (que) ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR ad PS ut DF ad DG; & conjunctis rationibus sit rectangulum PQ×PR ad rectangulum PS×PT ut rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH, at (que) adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invi­cem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangu­lum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data, ade­o (que) punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sec­tionem transeuntem per puncta A, B, P, C.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens [Page 77] Conicae sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D co­ire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt ▪

Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Coni­cae sectionis punctum D conveniant BD, CD; erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, conve­nient BD, CD ad Conicae sectionis punctum aliquod D.

Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punc­tis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae Conicae sectiones per quin (que) puncta A, B, C, D, P, eas (que) secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invi­cem aequantur, contra Hypothesin.

Lemma XXI.

Si rectae duae mobiles & infinitae BM, CM per data puncta B, C,
[figure]
ceu polos ductae, concursu suo M de­scribant tertiam positione datam rectam MN; & aliae duae infinitae rectae BD, CD cum prioribus du­abus ad puncta illa data B, C da­tos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hae duae BD, CD concursu suo D describent sec­tionem [Page 78] Conicam. Et vice versa, si rectae BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A, cum alierae duae BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M con­tinget rectam positione datam.

Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immo­tum P. Junge CN,

[figure]

BN, CP, BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurren­tes ipsis BD, CD in T & R, & faci­entes angulum BPT aequalem angulo B­ NM & angulum CPR aequalem an­gulo CNM. Cum ergo (ex Hypo­thesi) aequales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer com­munes NBD & MCP, & restabunt aequales NBM & PBT, NC­M & PCR: adeo (que) triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proinde (que) datam rationem inter se, at (que) adeo, per Lemma XX, punctum P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem Conicam. Q.E.D.

Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transe­untem per puncta B, C, A, & ubi rectae BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum illud D incidit in aliquod sectionis punctum [Page 79] A; ubi vero punctum D incidit successive in alia duo quavis sec­tionis puncta p, P, punctum mobile M incidit successive in punc­ta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta nN, & haec e­rit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri potest, versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punc­tum D sectionem Conicam per puncta quin (que) C, p, P, B, A tran­seuntem, ubi punctum M. perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem Co­nicam per eadem quin (que) puncta C, p, P, B, A transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones Conicae transibunt per eadem quin (que) puncta, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. Q.E.D.

Prop. XXII. Prob. XIV.

‘Trajectoriam per data quin (que) puncta describere.’

Dentur puncta quin (que) A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quaevis B, C, quae poli nominentur, age rectas AB, AC his (que) parallelas TPS,

[figure]

PRQ per punctum quartum P. Dein­de a polis duobus B, C age per punc­tum quintum D in­finitas duas BDT, CRD, novissime duc­tis TPS, PRQ (priorem priori & posteriorem posteri­ori) occurentes in T & R. Deni (que) de rectis PT, PR, acta recta tr ipsi TR parallela, abscinde quas­vis [Page 80] Pt, Pr ipsis PT, PR proportionales, & si per earum termi­nos t, r & polos B, C actae Bt, Cr concurrant in d, locabitur punctum illud d in

[figure]

Trajectoria quaesita. Nam punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuor A, B, P, C transeunte; & line­is Rr, Tt evanescen­tibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio Conica per puncta quin (que) A, B C, D, P. Q.E.D.

Idem aliter.

E punctis datis jun­ge

[figure]

tria quaevis A, B, C, & circum duo eorum B, C ceu polos, ro­tando angulos magni­tudine datos ABC, ACB, applicentur cru­ra BA, CA primo ad punctum D, deinde ad punctum P, & no­tentur puncta M, N in quibus altera crura BL, CL casu utro (que) se decussant. Agatur recta insinita MN, & rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut [Page 81] crurum BA, CA, vel BD, CD intersectio, quae jam sit d, Tra­jectoriam quaesitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI continget sectionem Conicam per puncta B, C trans­euntem & ubi punctum m accedit ad puncta L, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A, D, P. Describetur ita (que) sectio Conica transiens per puncta quin (que) A, B, C, D, P. Q.E.F.

Corol. 1. Hinc rectae expedite duci possunt quae trajectoriam in punctis quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum C & recta Cd evadet tangens quaesita.

Corol. 2. Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & la­tera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX

Schol.

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam insinitam pD ipsi SPT pa­rallelam, in (que) ea capiendo semper pD aequalem Pr, & agendo rectas BD, Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR ad PT, pB ad PB, pD ad Pt in eadem ratione, erunt pD & Pr semper aequales. Hac methodo puncta Trajectoriae inveni­untur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, de­scribere Mechanice.

Prop. XXIII. Prob. XV.

‘Trajectoriam describere quae per data quatour puncta transibit, & rectam contingent positione datam.’

Cas. 1. Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D, P. Junge BC, & agendo PS parallelam [Page 82] BH, & PQ parallelam BC, comple parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in

[figure]

T, & CD secantem PQ in R. Deni (que) agendo quam­vis tr ipsi TR parallelam, de PQ, PS abscinde Pr, Pt ipsis PR, PT propor­tionales respective; & acta­rum Cr, Bt concursus d (per Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajec­toriam describendam.

Idem aliter.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius

[figure]

quilibet rec­tilineus & u­trin (que) pro­ductus DC circa polum C. Notentur puncta M, N in quibus an­guli crus BC secat radium illum ubicrus alterum BH concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Diende ad actam infinitam MN con­currant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, & [Page 83] cruris alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quaesitam.

Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad punctum B, lineae CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet tangens BH, at (que) adeo constructi­ones ibi positae evadent eaedem cum constructionibus hic descrip­tis Delineabit igitur cruris BH concursus cum radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH tan­gentem in puncto B. Q.E.F.

Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge bin a BD, CP concurrentia in G, tangenti (que) oc­currentia in H & I. Se­cetur

[figure]

tangens in A, ita ut sit HA ad AI, ut est rect­angulum sub media pro­portionali inter BH & H­D & media proportionali inter CG & GP, ad rect­angulum sub media pro­portionali inter PI & IC & media proportionali in­ter DG & GB, & erit A punctum contactus. Nam si rectae PI parallela HX trajectoriam secet in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad. ad AI quad. ut rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad rectangulum DGB) & rect­angulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim. Invento autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo. Q.E.F. Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter describi.

Prop. XXIV. Prob. XVI.

‘Trajectoriam describere quae transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.’

Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD tangentibus occurrentem in punctis H, K, & CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca in R & S, ut sit HR ad KR ut est media propor­tionalis

[figure]

inter BH & HD ad mediam proportionalem in­ter BK & KD; & IS ad LS ut est media proportio­nalis inter CI & ID ad me­diam proportionalem inter CL & LD. Age RS secan­tem tangentes in A & P, & erunt A & P puncta contrac­tus. Nam si per punctorum H, I, K, L quodvis I agatur recta IY tangenti KL paral­lela & occurrens curvae in X & Y, & in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD; id est (per con­structionem) ut SI quad. ad SL quad. at (que) adeo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro tan­gentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad., adeo (que) IZ ad IA ut GP ad GA. Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeo (que) puncta S, P & A sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR. [Page 85] Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q.E.F.

Lemma XXII.

‘Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.’

Transmutanda sit figura quaevis HGI. Ducantur pro subi­tu rectae duae parallelae AO, BL tertiam quamvis positione da­tam AB secantes in A

[figure]

& B, & a figurae punc­to quovis G, ad rec­tam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. De­inde a puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL oc­currens in d; & a punc­to occursus erigatur recta gd, datum quemvis angulum cum recta BL continens, at (que) eam habens rationem ad Od quam habet GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figurae primae dabunt puncta totidem fi­gurae novae. Concipe igitur punctum G motu continuo percur­rere puncta omnia figurae primae, & punctum g motu itidem con­tinuo percurret puncta omnia figurae novae & eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg or­dinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum OABa completur) ra­dium ordinatum novum.

Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam. [Page 86] Si punctum G tangit Conicam sectionem, punctum g tanget eti­am conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annu­mero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum g tanget li­neam

[figure]

tertii itidem or­dinis; & sic de curvis lineis superiorum ordi­num: Lineae duae e­runt ejusdem semper ordinis Analytici quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad DG, & AB ad AD; adeo (que) AD aequalis est OA×AB / ad & DG aequa­lis est OA×dg / ad. Jam si punctum D tangit rectam lineam, at (que) adeo in aequatione quavis, qua relatio inter abscissam AD & or­dinatam DG habetur, indeterminatae illae AD & DG ad uni­cam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac aequatione OA×AB / ad pro AD, & OA×dg / ad pro DG, producetur aequatio nova, in qua abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tan­tum dimensionem ascendent, at (que) adeo quae designat lineam rec­tam. Sin AD & DG (vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in aequatione prima, ascendent itidem ad & dg ad duas in aequatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus di­mensionibus. Indeterminatae ad, dg in aequatione secunda & AD, DG in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineae, quas puncta G, g tangunt, sunt e­jusdem ordinis Analytici.

Dico praeterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in [Page 87] figura prima; haec recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata co­ibunt in figura nova, at (que) adeo rectae, quibus haec puncta jun­guntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utra (que). Com­poni possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sussicit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliae rectae quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni dif­ficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectae quaevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quam­vis rectam, quae per concursum convergentium transit: id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineae autem pa­rallelae sunt quae ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operati­ones transmutetur haec figura in figuram primam, habebitur So­lutio quaesita.

Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problema­tum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum in­tersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione plano­rum problematum vertuntur in rectam & circulum.

Prop. XXV. Prob. XVII.

‘Trajectoriam describere quae per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.’

Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiae cum recta illa, quae per puncta duo [Page 88] data transit, age rectam infinitam; ea (que) adhibita pro radio ordina­to primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illae duae evadent parallelae, & tangens tertia fiet parallela rectae

[figure]

per puncta duo transeunti. Sun­to hi, kl tangentes duae paral­lelae, ik tangens tertia, & hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quae Conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hi­kl complens. Secentur rectae hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus quadratum rect­anguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alterae duae sunt latera quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad id quadratum, & ke quadratum ad kd qua­dratum, & el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb, ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata illa ra­tione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad omnes consequentes, quae sunt latus quadratum rectangu­li ahb & recta ik & latus quadratum rectanguli alb. Haben­tur igitur ex data illa ratione puncta contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferan­tur haec puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Pro­blematis XIV, describetur Trajectoria. Q.E.F. Caeterum per­inde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, de­bent puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum ex­tra, Problema impossibile est.

Prop. XXVI. Prob. XVIII.

‘Trajectoriam describere quae transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.’

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmu­tetur figura (per Lem. XXII) in figuram novam, & Tangentes binae, quae ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent paral­lelae. Sunto illae hi & kl, ik & hl continentes parallelogrammum hikl. Sit (que) p punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figurae centrum O agatur pq, & existente Oq aequali Op, erit q punctum alterum per quod sec­tio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram pri­mam, & ibi habebuntur puncta duo per quae Trajectoria descri­benda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII. Q.E.F.

Lemma XXIII.

Si rectae duae positione datae A­C,
[figure]
BD ad data puncta A, B terminentur, datam (que) ha­beant rationem ad invicem, & recta CD, qua puncta indeterminata C, D jungun­tur, secetur in ratione data in K: dico quod punctum K locabitur in recta positione data.

Concurrant enim rectae, AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad AC, sit (que) FD aequalis EG, & erit EC ad [Page 90] GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeo (que) in ratione data, & prop­terea dabitur specie ttiangulum EFC. Secetur CF in L in rati­one CK ad CD, & dabitur

[figure]

etiam specie triangulum EF­L, proinde (que) punctum L lo­cabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob da­tam FD & datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic aequalis capiatur EH, & erit ELKH parallelogram­mum. Locatur igitur punc­tum K in parallelogrammi latere positione dato HK.Q.E.D.

Lemma. XXIV.

Si rectae tres tangant quamcun (que) conisectionem, quarum duae paralle­lae sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela,
[figure]
sit media propor­tionalis inter ha­rum segmenta, punctis contactu­um & tangenti tertiae interjecta.

Sunto AF, GB parallelae duae Co­nisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta ter­tia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F & G; sit (que) CD semidiameter Figurae tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.

[Page 91]Nam si diametri conjugatae, AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, se (que) mutuo secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC−CA ad CA−CL seu EA ad AL, & composite EA ad EA+AL seu EL ut EC ad EC+C­A seu EB; adeo (que) (ob similitudinem triangulorum EAF, EL­I, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG. Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH, at (que) adeo ex aequo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si tangentes duae FG, PQ tangentibus paralle­lis AF, BG occurrant in F & G, P & Q, se (que) mutuo secent in O, erit (ex aequo perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divi­sim ut FP ad GQ, at (que) adeo ut FO ad OG.

Corol. 2. Unde etiam rectae duae PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductae, concurrent ad rectam ACB per centrum fi­gurae & puncta contactuum A, B transeuntem.

Lemma XXV.

Si parallelogrammi latera quatuor infinite producta tangant sectionem quamcun (que) Coni­cam,
[figure]
& abscin­dantur ad tangen­tem quamvisquin­tam; sumantur au­tem abscissae ter­minatae ad angu­los oppositos pa­rallelogrammi: di­co quod abscissa unius lateris sit ad latus illud, ut pars lateris con­termini inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam la­teris hujus contermini.

Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK, [Page 92] KL, MI sectionem Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ haec latera in F, Q, H & E: dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ,

[figure]

& KH ad KL ut AM ad MF. Nam per Corollarium Lemmatis superio­ris, est ME ad EI ut AM seu BK ad BQ, & componen­do ME ad MI ut BK ad KQ.Q.E.D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad AF, & dividendo KH ad KL ut AM ad MF. QE.D.

Corol. 1. Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ×ME, ut & huic aequale rectangulum KH×MF. Aequantur enim rectangula illa ob similitudinem triangu­lorum KQH, MFE.

Corol. 2. Et si sexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI occurrens in e & q, rectangulum KQ×ME aequabitur rectangu­lo Kq×Me, erit (que)[?] KQ ad Me ut Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.

Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit haec per centrum Sectionis Conicae. Nam cum sit Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK; (per Lemma XXIII) & medium rectae MK est centrum Sectionis.

Prop. XXVII. Prob. XIX.

‘Trajectoriam describere quae rectas quin (que) positione datas continget.’

Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figurae quadrilaterae sub quatuor quibusvis contentae AB [Page 93] FE diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajec­toriae. Rursus figurae quadrilaterae BGDF, sub alijs quibusvis quatuor

[figure]

tangenti­bus con­tentae, dia­gonales (ut ita di­cam) B­D, GF bi­seca, & recta per puncta bi­sectionum acta transi­bit per centrum secti­onis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud O. Tangenti cui­vis BC parallelam age KL, ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, & acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet haec tangentes alias quasvis duas CD, FD ­E in L & K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum parallelis CF, KL concursus C & K, F & L age CK, FL con­currentes in R, & recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis contactuum. Patet hoc per Co­rol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia con­tactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere. Q.E.F.

Schol.

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymp­toti, includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangen­tibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliae (que) tangentes a centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens verte­tur in Asymptoton, at (que) constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbili­cos ejus hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI,

[figure]

fac ut angulorum mobi­lium PBN, PCN cru­ra BP, CP quorum concursu Trajectoria de­scribebatur sint sibi in­vicem parallela, eum (que) servantia situm revol­vantur circa polos suos B, C in figura illa. In­terea vero describant altera angulorum illo­rum crura CN, BN, con­cursu suo K vel k, cir­culum IBKGC. Sit circuli hujus centrum O. Ab hoc centro ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demit­te normalem OH circulo occurrentem in K & L. Et ubi cru­ra [Page 95] illa altera CK, BK concurrunt ad punctum istud K quod Regulae propius est, crura prima CP, BP parallela erunt axi majori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriae centrum, da­buntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta de­scribere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centro (que) O & in­tervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum a­gendo rectam quae circulum illum tangat, dabitur regula MN cu­jus ope Trajectoria describetur. Unde etiam vicissim Trapezi­um specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriae specie datae datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum du­catur, quae datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, at (que) axes ha­bentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis uti­lia.

Lemma XXVI.

‘Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quae non sunt omnes parallelae, singulos ad singulas ponere.’

Dantur positione tres rectae infinitae AB, AC, BC, & opor­tet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, [Page 96] angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF,

[figure]

EMF, quae capiant angu­los angulis BAC, ABC, ACB aequales respective. Describantur autem haec segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literae DRED eodem ordine cum literis BAC­B, literae DGFD eo­dem cum literis ABCA, & literae EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur haec segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in G,

[figure]

sint (que) centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad P­Q, & centro G, in­tervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum D­GE in a. Jungatur tum aD secans circu­lum secundum DFG in b, tum aE secans circulum tertium G­Ec in c. Et com­pleatur figura abc­DEF similis & aequa­lis figurae ABCdef. Dico factum.

Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG, [Page 97] bG, PD, QD & producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo CAB, & angulus EcF aequalis an­gulo ACB, adeo (que) triangulum anc triangulo ABC aequiangu­lum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeo (que) angulo FbD aequalis est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui dimidius est anguli ad centrum G ­PD, aequalis est angulo ad circumferentiam GaD; & angulus G­ QR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD, aequalis est angulo ad circumferentiam GbD, adeo (que) eorum com­plementa PQG, abG aequantur, sunt (que) ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP ad PQ; id est (ex construc­tione) ut Ga ad AB. Aequantur ita (que) ab & AB & propterea triangula abc, ABC, quae modo similia esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF angu­li D, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABC def figurae abc DEF similis & aequalis, at (que) eam complendo solvetur Problema. Q.E▪F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF accedente, & lateribus DE, DF in di­rectum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE, rec­tis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis positione da­tis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem prae­cedentem ad hunc casum solvetur Problema.

Prop. XXVIII. Prob. XX.

‘Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datae rectis tribus positione datis interjacebunt.’

Describenda sit Trajectoria quae sit similis & aequalis lineae cur­vae DEF, qua (que) a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in [Page 98] partes datis hujus partibus DE & EF similes & aequales secabitur.

Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angu­los

[figure]

D, E, F ad rectas illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe Trajectoriam curvae DEF simi­lem & aequalem. Q.E.F.

Lemma XXVII.

‘Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor po­sitione datas (quae ne (que) omnes parallelae sunt, ne (que) ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.’

Dentur positione rectae quatuor ABC, AD, BD, CE, qua­rum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F aequalis, tangat rectam A­BC, caeteri (que) anguli g, h, i caeteris angulis datis G, H, I aequales tangant caeteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH, FI describantur totidem [...]ulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum aequa­lem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum aequalem an­gulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum aequalem angulo AC ­E. [Page 99] Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui litera­rum BADB, ut (que) literae FTHF eodem ordine cum literis CB­EC, & literae FVIF eodem cum literis ACEA in orbem rede­ant. Compleantur segmenta in circulos, sir (que) P centrum circuli primi FSG, & Q centrum secundi FTH. Jungatur & utrin (que)

[figure]

producatur PQ, & in ea capiatur QR in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis at (que) literarum A, B, C: centro (que) R & intervallo RF describatur circulus quartus F­ Nc secans circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans cir­culum primum in a & secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figurae abcFGHI similis constituatur figura ABCfghi: Erit (que) Trapezium fghi illud ipsum quod constituere oportuit.

Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK, aK, bK, cK & producatur QP ad [Page 100] L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeo (que) angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRK aequales. Est ergo figura PQRK figurae abcK aequiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC. Angulis insuper F­ aG, FbH, FcI aequantur fAg, fBh, fCi per constructionem.

[figure]

Ergo figurae abc FGHI figura similis ABCfghi compleri potest. Quo facto Trapezium fghi constituetur simile Trapezio FGHI & angulis suis f, g, h, i tanget rectas AB, AD, BD, CE.Q.E.F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor posi­tione datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FGH, GHI us (que) eo, ut rectae FG, GH, HI in directum jaceant, & in hoc casu construendo Proble­ma, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh, hi, rectis quatuor po­sitione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectae, e­runt ad invicem ut linea FG, GH, HI, eundem (que) servabunt ordi­nem inter se. Idem vero sic fit expeditius.

[Page 101]Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectae CE in i. Producatur iL ad M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectae (que) AD occur­rens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.

Secet e­nim

[figure]

Mg rec­tam AB in Q, & AD rectam KL in S, & aga­tur AP, quae sit ipsi BD parallela & occurat iL in P, & e­runt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi, AK ad BK) & AP ad B­L in eadem ratione. Secetur DL in R ut sit DL ad RL in eadem illa ratione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP, & DS ad DL, erit ex aequo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL−RL ad Lh−BL ut AS−DS ad gS−AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeo (que) ut BD ad gQ. Et vicis­sim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructi­one est BR ad BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG. Cum igitur sit etiam ig ad ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lincas FI, fi in g & h, G & H similiter sectas esse. Q.E.F.

In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans [Page 102] CE in i, producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam ipsi BD. Eodem recidit si centro i, in­tervallo IH describatur circulus secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY aequalis IF, & agatur Yf ipsi BD parallela.

Prop. XXIX. Prob. XIX.

‘Trajectoriam specie datam describere, quae a rectis quatuor positione da­tis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.’

Describenda sit Trajectoria fghi, quae similis sit lineae curvae FGHI, & cujus partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes &

[figure]

propor­tionales, rectis A ­B & AD AD & BD, B­ D & EC positione datis, prima primis, secun­da secundis, tertia tertiis interjace­ant. Actis rectis FG, GH, HI, FI, describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f, g, h, i tangant rec­tas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli singulas dicto or­dine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvae lincae FGHI consimilis.

Scholium.

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, junge (que) FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL aequales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde agantur KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM aequalem angulo GHI, sit (que) ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum AL­N aequalem angulo FHI, sit (que) ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut literae CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & acta MN occurrat rectae

[figure]

CE in i. Fac angulum iEP aequalem angulo IGF, sit (que) PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quae cum recta AED contineat angulum PQE aequalem angulo FIG, rectae (que) AB oc­currat in f, & jungatur fi. Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP & PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi eodem quo (que) literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solve­tur Problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corpo­rum in orbibus inventis determinemus.

SECT. VI. De inventione motuum in Orbibus datis.

Prop. XXX. Prob. XXII.

‘Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.’

Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolae, sit (que) 4 AS×M area Parabolica APS, quae radio SP, vel post excessum corpo­ris de vertice descripta fuit, vel ante

[figure]

appulsum ejus ad verticem descri­benda est. Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Bise­ca AS in G, erige (que) perpendiculum GH aequale 3 M, & circulus centro H, intervallo HS descriptus secabit Parabolam in loco quaesito P. Nam demissa ad axem perpendiculari PO, est HGq.+GSq. (=HSq=G Oq.+HG−POq.)=GOq.+HGq−2 HG×PO+POq. Et deleto u­trin (que) HGq. fiet GSq.=GOq.−2 HG×PO+POq. seu 2 H ­G×PO (=GOq.+POq.−GSq.=AOq.−2 GAO+POq.) =AOq.+¾ POq. Pro AOq. scribe AO×POq./4 AS, & applicatis terminis omnibus ad 3 PO, ductis (que) in 2 AS, fiet ⅓ GH×AS (= ⅙ AO×PO+½ AS×PO=AO+3 AS / 6×PO=4AO−3 SO/6×PO= areae APO−SPO)=areae APS. Sed GH erat 3 M, & inde [Page 105] 4 HG×AS est 4 AS×M. Ergo area APS aequalis est 4 AS×M.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descrip­sit arcum AP ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verti­cem A & perpendiculum ad axem ab umbilico S erectum.

Corol. 2. Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transe­unte, velocitas puncti Gest ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8; adeo (que) in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A, describere posset.

Corol. 3. Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo cor­pus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectae GH occurrens in H.

Lemma XXVIII.

‘Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per aequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.’

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punc­tum mobile de polo, pergat (que) semper ea cum velocitate, quae sit ut rectae illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a polo, quae huic areae proportiona­lis est, adeo (que) omnia Spiralis puncta per aequationem finitam in­veniri possunt: & propterea rectae cujusvis positione datae inter­sectio cum spirali inveniri etiam potest per aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis nu­mero infinitis, & aequatio, qua incersectio aliqua duarum linearum in venitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, [Page 106] adeo (que) ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quo­niam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua in­tersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem quatuor dimensi­onum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquo (que) & propterea eadem semper concsusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex esse pos­sunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, & inter­sectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Soli­da ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binae rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum; ternae rectarum & curvarum tertiae potestatis per aequationes trium, quaternae rec­tarum & curvarum quartae potestatis per aequationes dimensio­num quatuor, & sic in infinium. Ergo intersectiones numero infini­tae rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt aequationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rect­am illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum u­na cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis trans­ibunt in se mutuo, quae (que) prima erat seu proxima, post unam revo­lutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur a quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, aequatio re­dibit ad formam primam, adeo (que) una eadem (que) exhibebit intersecti­ones [Page 107] omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla ex­tat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem ae­quationem generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, pro­bari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequati­onem generaliter exhiberi.

Corollarium.

Hinc area Ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per ae­quationem finitam, & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometri­ce rationales appello quarum puncta omnia per longitudines ae­quationibus definitas, id est, per longitudinum rationes compli­catas, determinari possunt; caeteras (que) (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irratio­nales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.

Prop. XXXI. Prob. XXIII.

‘Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tem­pus assignatum.’

Ellipseos APB sit A vertex principalis, S umbilicus, O centrum, sit (que) P corporis locus inveniendus. Produc OA ad G ut sit OG [Page 108] ad OA ut OA ad OS. Erige perpendiculum GH, centro (que) O & intervallo OG describe circulum EFG, & super regula GH, ceu fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem suum, & interea puncto suo A describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK in ratione ad rotae perimetrum GEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum AP, ad tempus

[figure]

revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculum KL oc­currens Trochoidi in L, & acta LP ipsi KG parallela occurret Ellipsi in corporis loco quaesito P.

Nam centro O, intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ occurrat LP producta in Q, jungantur (que) SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F, & in eandem OQ demittatur per­pendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id est, ut diffe­rentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut differen­tia rectangulorum ½ OQ×AQ & ½ OQ×SR, hoc est, ob datam ½ OQ, ut differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeo (que) (ob aequalitatem rationum SR ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ−SR ad GF− sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum ar­cus AQ.Q.E.D.

Scholium.

Caeterum ob difficultatem describendi hanc curvam praestat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. El­lipseos cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S umbili­cus, OD semiaxis minor, & AK dimidium lateris recti. Sece­tur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quaeratur longitudo L, quae sit ad ½ GK ut est AO quad. ad rectangulum AS×OD. Bisecetur OG in C, centro (que) C & intervallo CG describatur semi­circulus GFO. Deni (que) capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos qua­tuor

[figure]

rectos, quam habet tempus da­tum, quo corpus descrip­sit arcum quaesitum A­P, ad tempus periodicum seu revoluti­onis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis FE, & producatur eadem versus F ad us (que) N, ut sit EN ad longitudinem L, ut anguli illius sinus EF ad radium CF; centro (que) N & intervallo AN descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quaesito P quam proxime.

Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in Apside summa B, & completo altero temporis di­midio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero prox­ime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum A­SP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP & OCF, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis [Page 110] P, F & N incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proxi­mis; ob aequales An, pn, recta nq, quae ad arcum Ap perpendi­cularis est, adeo (que) concurrit cum axe in puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½ Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn ut 2 AK ad GK. Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut GK×AOq./2 AS×OD ad CF, seu GK×AOq. ad 2 AS×OD×CF, & ex aequo Ap ad Gf ut 2 AK ad GK+GK×AOq. ad 2 AS×OD×CF, id est, ut AK×AOq. ad AS×OD×CF, hoc est, ob aequalia AK×AO & ODq. ut AO×OD ad AS×CF. Proin­de Ap×½ AS est ad Gf×½ GC ut AO×OD×AS ad AS×C­F×GC, seu AO×OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO×OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q.E.D. Argu­mento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus e­vanescentibus BSP, OCF: ideo (que) locus puncti P prope Apsides satis accura­te

[figure]

inventus est. In qua­draturis er­ror quasi quingentesi­mae partis ar­eae Ellipseos totius vel paulo major obvenire so­let: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Construc­tionem sequentem.

Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justae magnitu­dinis; dein produc EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut ½ L ad CF; centro (que) N & intervallo AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus autem GTO determinabitur [Page 111] quaerendo ejus punctum aliquod T; quod constructionem in illo casu accuratam reddet.

Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rec­tum, & motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e puncto G rectam GI axi AB perpendicularem, & in ea ratione ad GK quam habet area AVPS ad rectangulum AK×AS; de­in centro I & intervallo AI circulum describere. Hic enim se­cabit Ellipsim in corporis loco quaesito P quamproxime. Et eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hae autem constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulteriore B in infinitum abeunte) verta­tur in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem Problematis. XXII.

Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, invenia­tur tum angulus quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio aequalis subtendit, ut est umbilicorum distan­tia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum etiam longitudo quae­dam L, quae sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus se­mel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructio­nem

[figure]

superiorem (vel utcun (que) con­jecturam facien­do) cognoscatur corporis locus P quam proxime. Demissa (que) ad ax­em Ellipseos or­dinatim applicata PR, ex propor­tione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quae sinus est anguli ACQ existen­te [Page 112] AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori por­portionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in El­lipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad an­gulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N−ACQ+D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ+½ D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum au­gulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ+E ad radium, tum angulus G ad angulum N−ACQ−E+F ut est longitudo L ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ+E+½ F dimi­nutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Ter­tia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli A­CQ+E+G ad radium; & angulus I ad angulum N−ACQ−E−G+H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ+E+G+½ H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam

[figure]

ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. De­ni (que) capiatur an­gulus ACq ae­qualis angulo A­CQ+E+G+I &c. & ex cosinu ejus Cr & ordi­nata pr, quae est ab sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habe­bitur corporis locus correctus p. Siquando angulus N−ACQ+D negativus est, debet signum + ipsius E ubi (que) mutari in −, & sig­num − in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N−ACQ−E+F, & N−ACQ−E−G+H nega­tive [Page 113] prodeunt. Convergit autem series infinita ACQ+E+G+I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra pro­gredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.

Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C, Vertex A, Umbilicus S & Asymtotos CK. Cog­noscatur quantitas areae APS tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectae SP, quae aream illam abscindat quamproxime. Jungatur CP, &

[figure]

ab A & P ad Asymptoton agantur AI, PK Asymptoto alteri paral­lelae, & per Tabulam Logarithmo­rum dabitur Area AIKP, ei (que) aequalis area CPA, quae subducta de triangulo CPS relinquet are­am APS. Applicando arearum A & APS semidifferentiam ½ APS−½ A vel ½ A−½ APS ad lineam SN, quae ab umbilico S in tangentem PT perpendicularis est, ori­etur longitudo PQ. Capiatur autem PQ inter A & P, si area APS major sit area A, secus ad puncti P contrarias partes: & punctum Q erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita in­venietur idem accuratius in perpetuum.

At (que) his calculis Problema generaliter confit Analytice. Ve­rum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (Vide fig. pag. 109.110.) & L ipsius latere recto, quaere tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium diffe­rentia AO−OD ad eorum summam AO+OD; tum angulum Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH & semiaxium differentia AO−OD ad triplum rec­tangulum sub OQ semiaxe minore & AO−¼ L differentia inter se­miaxem [Page 114] majorem & quartam partem lateris recti. His angulis se­mel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) aequalem; & angulum V (primam medii motus aequationem) ad angulum Y (aequatio­nem maximam primam) ut est sinus anguli T duplicati ad radi­um; at (que) angulum X (aequationem secundam) ad angulum Z (aequationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli T ad quadratum Radii. Angulorum T, V, X vel summae T+X+V, si angulus T recto minor est, vel differentiae T+X−V, si is recto major est rectis (que) duobus minor, aequalem cape angulum BHP (motum medium aequatum;) & si HP occurrat Ellipsi in P, acta SP abscindet aream BSP tem­pori proportionalem quamproxime. Haec Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii ae­quati BHP, angulus veri motus HSP & distantia SP in promptu sunt per methodum notissimam Dris. Sethi Wardi Episcopi Salis­buriensis mihi plurimum colendi,

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem po­test ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quae ad isti­usmodi motus spectant, pergo jam exponere.

SECT. VII. De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo.

Prop. XXXII. Prob. XXIV.

‘Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distan­tiae locorum a centro, spatia definire quae corpus recta cadendo datis temporibus describit.’

Cas. 1. Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sec­tionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corolla­riis constat. Sit sectio illa Conica ARPB

[figure]

& umbilicus inferior S. Et primo si Figu­ra illa Ellipsis est, super hujus axe majore AB describatur semicirculus ADB, & per corpus decidens transeat recta DPC per­pendicularis ad axem; actis (que) DS, PS erit area ASD areae ASP at (que) adeo etiam tem­pori proportionalis. Manente axe AB mi­nuatur perpetuo latitudo Ellipseos, & sem­per manebit area ASD tempori proportio­nalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbe APB jam coincidente cum axe AB & umbilico S cum axis termino B, descendet corpus in recta AC, & area ABD evadet tempori proportionalis. Dabitur ita (que) spa­tium AC, quod corpus de loco A perpendi­culariter cadendo tempore dato describit, si modo tempori pro­portionalis capatur area ABD, & a puncto D ad rectam AB de­mittatur perpendicularis DC.Q.E.I.

[Page 116] Cas. 2. Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areae CSP, CBfP, SPfB sunt ad areas C ­SD, CBED, SDEB, singulae ad singulas, in data ratione altitu­dinum CP, CD; & area SPfB

[figure]

proportionalis est tempori quo corpus P movebitur per arcum PB, erit etiam are SDEB ei­dem tempori proportionalis. Mi­nuatur latus rectum Hyperbolae RPB in infinitum manente la­tere transverso, & coibit arcus PB cum recta CB, & umbilicus S cum vertice B & recta SD cum recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto descensu descri­bit lineam CB.Q.E.I.

Cas. 3. Et simili argumento si figura RPB Parabola est, & eodem vertice principali B de­scribatur alia Parabola BED, quae semper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P movetur, dimi­nuto & in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum li­nea CB; fiet segmentum Parabolicum BDEB proportionale tem­pori quo corpus illud P vel C descendet ad centrum B.Q.E.I.

Prop. XXXIII. Theor. IX.

‘Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quo­vis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolae vertice ulteriore A, habet ad figurae semidi­ametrum principalem ½ AB.’

[Page 117]Nam (que) ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utrius (que) figurae RPB, DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quae tangat figuram RPB in P, at (que) etiam se­cet communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T; sit (que) SY ad hanc rectam & BQ ad

[figure]

hanc diametrum perpendicularis, at (que) figu­rae RPB latus rectum ponatur L. Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis velo­citas in loco quovis P sit ad velocitatem cor­poris intervallo SP circa idem centrum cir­culum describentis in dimidiata ratione rec­tanguli ½ L×SP ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2 AO ad L, adeo (que) 2 CPq.×AO / ACB aequale L. Ergo ve­locitates illae sunt ad invicem in dimidiata ratione CPq.×AO×SP/ACB ad SY quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT. Un­de dividendo vel componendo fit BO−uel+CO ad BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad BQ; inde (que) CPq.×AO×SP / ACB aequale est BQq.×AC×SP / AO×BC. Minuatur jam in infinitum figurae RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat cum puncto, C, punctum (que) S cum puncto B, & linea SP cum linea BC, linea (que) SY cum linea BQ; & corporis jam recta descenden­tis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B in­teruallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius BQq.×AC×SP / AO×BC ad SYq. hoc est (neglectis aequalitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq.) in dimidiata ratione AC ad AO.Q.E.D.

[Page 118] Corol. Punctis B & S coeuntibus, fit TC and ST ut AC ad AO.

Prop. XXXIV. Theor. X.

Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C aequalis est velocitati qua corpus centro b dimi­dio intervalli sui BC circulum
[figure]
uniformiter describere potest.

Nam corporis Parabolam R ­PB circa centrum S describen­tis velocitas in loco quovis S (per Corol. 7. Theor. VIII) aequalis est velocitati corporis di­midio intervalli SP circulum cir­ca idem S uniformiter describen­tis. Minuatur Parabolae latitu­do CP in infinitum eo, ut arcus Parabolicus CP cum recta CB, centrum S cum vertice B, & in­teruallum SP cum intervallo CP coincidat, & constabit Proposi­tio. Q.E.D.

Prop. XXXV. Theor. XI.

‘Iisdem positis, dico quod area figurae DES, radio indefinito SD de­scripta, aequalis sit areae quam corpus, radio dimidium lateris recti figurae DES aequante, circa centrum S uniformiter gyrando, eo­dem tempore describere potest.’

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineo­lam Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformi­ter in circulo OKk circa centrum S gyrando, arcum Kk descri­bere. [Page 119] Erigantur perpendicula CD, cd occurrentia figurae DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.

Cas. 1 Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisece­tur ejus transversa diameter AS in O, & erit

[figure]

SO dimidium Lateris recti. Et quoniam est TC ad TD ut Cc ad Dd, & TD ad TS ut CD ad SY, erit ex aequo TC ad TS ut CD×Cc ad SY×Dd. Sed per Corol. Prop. 33. est TC ad ST ut AC ad AO, puta si in coita punct­orum D, d capiantur linearum rationes ulti­mae. Ergo AC est ad AO, id est ad SK, ut CD×Cc ad SY×Dd. Porro corporis de­scendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis circulum intervallo SC circa centrum S describentis in dimidiata ratione AC ad A­ O vel SK (per Theor IX.) Et haec veloci­tas ad velocitatem corporis describentis circu­lum OKk in dimidiata ratione SK ad SC per Cor. 6. Theor. IV. & ex aequo velocitas pri­ma ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in dimidiata ratione AC ad SC, id est in ratione AC ad CD. Quare est CD×Cc aequale AC×Kk, & propterea AC ad SK ut AC×Kk ad SY×Dd, inde (que) SK×Kk aequale SY×Dd, & ½ SK×Kk aequale ½ SY×Dd, id est area KSk aequalis areae SDd. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulae KSk, SDd, quae, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent aequalitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areae totae simul geni­tae sunt semper aequales. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD×Cc esse ad SY×Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, a­deo (que) ¼ CD×Cc aequalem esse ½ SY×Dd. Sedcorporis caden­tis [Page 120] velocitas in C aequalis est ve­locitati

[figure]

qua circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit. (per Theor. X.) Et haec velocitas ad ve­locitatem qua circulus radio SK describi possit, hoc est, lineola Cc ad arcum Kk est in dimidiata ra­tione SK ad ½ Sc, id est, in ratione SK ad ½ CD, per Corol. 6. The­orem. IV. Quare est ½ SK×Kk aequale ¼ CD×Cc, adeo (que) aequale [...] SY×Dd, hoc est, area KSk ae­qualis Areae SDd, ut supra. Quod erat demonstrandum.

Prop. XXXVI. Prob. XXV.

Corporis de loco dato A cadentis determinare tempora
[figure]
descensus.

Super diametro AS (distantia corporis a cen­tro sub initio) describe semicirculum ADS, ut & huic aequalem semicirculum OKH circa centrum S. De corporis loco quovis C erige ordinatim ap­plicatam CD. Junge SD, & areae ASD aequa­lem constitue Sectionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter cir­ca centrum S gyrando, describere potest arcum OK. Quod erat faciendum.

Prop. XXXVII. Prob. XXVI.

‘Corporis de loco dato sursum vel deersum projecti definire tempora ascensus vel descensus.’

[Page 121]Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum ve­locitate quacun (que). In duplicata ratione hujus velocitatis ad uni­formem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA

[figure]

ad ½ AS. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad infinitam dis­tantiam, quo in casu Parabola uertice S, axe SC, latere quovis recto describenda est. Pa­tet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circu­lus, posteriore Hyperbola rectangula super di­ametro SA describi debet. Patet per Theore­ma IX. Tum centro S, intervallo aequante di­midium lateris recti, describatur circulus HKk, & ad corporis ascendentis vel descendentis lo­ca duo quaevis G, C, erigantur perpendicula GI, CD occurrentia Conicae Sectioni vel cir­culo in I ac D. Dein junctis SI, SD, fiant seg­mentis SEIS, SEDS Sectores HSK, HSk aequales, & per Theorema XI. corpus G de­scribet spatium GC eodem tempore quo cor­pus K describere potest arcum Kk. Q.E.F.

Prop. XXXVIII. Theor. XII.

Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiae loco­rum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuum (que) sinibus
[figure]
versis & sinibus rectis respective pro­portionales.

Cadat corpus de loco quovis A secun­dum rectam AS; & centro virium S, in­tervallo AS, describatur circuli quadrans AE, sit (que) CD sinus rectus arcus cujus­vis [Page 122] AD, & corpus A, tempore AD, cadendo describet spatium AC, in (que) loco C acquisierit velocitatem CD. Demonstratur eo­dem modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Pro­positione XI. demonstrata fuit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc aequalia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo provenit ad centrum S, & corpus aliud revolven­do describit arcum quadrantalem ADE.

Corol. 2. Proinde aequalia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad us (que) centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) aequan­tur.

Prop. XXXIX. Prob. XXVII.

‘Posita cujuscun (que) generis vi centripeta, & concessis figurarum curvili­nearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel de­scendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.’

De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, de (que) loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG, vi centripetae in loco illo ad centrum C tendenti proportiona­lis:

[figure]

Sit (que) BFG linea curva quam punc­tum G perpetuo tangit. Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendicula­ri AB, & erit corporis velocitas in loco quovis E ut areae curvilineae ABGE la­tus quadratum. Q.E.I. In EG ca­piatur EM lateri quadrato areae ABGE reciproce proportionalis, & sit ALM li­nea curva quam punctum L perpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo describit lineam AE ut area curvilinea A­LME. Quod erat Inveniendum.

Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datae longitudinis, sit (que) DLF locus lineae EMG [Page 123] ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut area A­BGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ip­sa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur V & V+I, erit area ABFD ut V2, & area AB­GE ut V2+2VI+I2, & divisim area DFGE ut 2 VI+I2, adeo (que) DFGE / DE ut 2I×V+½I/DE, id est, si primae quantitatum nas­centium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas 2I×V / DE, adeo (que) etiam ut quantitatis hujus dimidium I×V / DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, est (que) vis ut velocitatis incre­mentum I directe & tempus inverse, adeo (que) si primae nascentium rationes sumantur, ut I×V / DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quae sit ut areae ABGE latus quadratum Q.E.D.

Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lincola DE describatur, sit ut velocitas, adeo (que) ut areae ABFD latus qua­dratum inverse; sit (que) DL, at (que) adeo area nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME. Q.E.D.

Corol. 1. Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, ur­gente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponi­tur gravitas) velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati quam corpus aliud vi quacun (que) cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quae sit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum PDRQ, ei (que) aequalis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Nam (que) completo rectangulo [Page 124] EDRS, cum sit area ABFD ad aream DFGE ut VV ad 2 V×I, adeo (que) ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis totius ad in­crementum velocitatis corporis vi inaequabili cadentis; & simili­ter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis

[figure]

uniformi vi cadentis; fint (que) incremen­ta illa (ob aequalitatem temporum na­scentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicatae DF, DR, ade­o (que) ut areae nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex aequo) areae totae ABFD, PQRD ad invicem ut semisses tota­rum velocitatum, & propterea (ob ae­qualitatem velocitatum) aequantur.

Corol. 2. Unde si corpus quodlibet de loco quocun (que) D data cum veloci­tate vel sursum vel deorsum projicia­tur, & detur lex vis centripetae, inve­nietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadra­tum rectanguli PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus qua­dratum rectanguli solius PQRD, id est ut [...] ad √PQRD.

Corol. 3. Tempus quo (que) innotescet erigendo ordinatam em re­ciproce proportionalem lateri quadrato ex PQRD+vel−DF­ge, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineam De ad tem­pus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P & cadendo per­venit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum 2 PD×DL. Nam (que) tempus quo corpus vi uniformi descendens de­scripsit lineam PD est ad tempus quo corpus idem descripsit li­neam PE in dimidiata ratione PD ad PE, id est (lineola DE [Page 125] jamjam nascente) in ratione PD ad PD+½DE seu 2 PD ad 2 PD+DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam DE ut 2 PD ad DE, adeo (que) ut rectangulum 2 PE×DL ad aream DLME; est (que) tempus quo corpus utrum (que) de­scripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2 PD×DL ad aream DLme.

SECT. VIII. De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscun (que) cen­tripetis agitata revolventur.

Prop. XL. Theor. XIII.

‘Si corpus, cogente vi quacun (que) centripeta, moveatur utcun (que), & cor­pus aliud recta ascendat vel descendat, sunt (que) eorum velocitates in aliquo aequalium altitudinum casu aequales, velocitates corum in omnibus altitudinibus erunt aequales.’

Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus aliud a V in linea curva VIKk. Centro C in­tervallis quibusvis describantur circuli concentrici DI, EK rectae AC in D & E, curvae (que) VIK in I & K occurentes. Junga­tur IC occurrens ipsi KE in N; & in IK demittatur perpendi­culum NT; sit (que) circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN quam minimum, & habeant corpora in D & I velocita­tes aequales. Quoniam distantiae CD, CI aequantur, erunt vi­res centripetae in D & I aequales. Exponantur hae vires per ae­quales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam [Page 126] NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocita­tem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cur­su rectilineo, faciet (que) ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, in (que) via curvilinea ITKk progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera IT, secundum corpo­ris cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Pro­inde corporum in D & I accelerationes aequalibus temporibus fac­tae

[figure]

(si sumantur linearum nascentium DE, IN, IK, IT, NT rationes primae) sunt ut lineae DE, IT: temporibus autem in­aequalibus ut lineae illae & tempora conjunctim. Tempora ob ae­qualitatem velocitatum sunt ut viae descriptae DE & IK, adeo (que) accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK, sunt ut DE & IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT×IK rectangulum. Sed rectangulum IT×IK aequale est IN qua­drato, hoc est, aequale DE quadrato ▪ & propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K aequales generantur. Ae­quales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem ar­gumento [Page 127] semper reperientur aequales in subsequentibus aequalibus distantiis. Q.E.D. Sed & eodem argumento corpora aequi­velocia & aequaliter a centro distantia, in ascensu ad aequales dis­tantias aequaliter retardabuntur. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel im­pedimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in li­nea curva moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sint (que) velocitates eorum in eadem quacun (que) altitudine aequales: e­runt velocitates eorum in aliis quibuscun (que) aequalibus altitudini­bus aequales. Nam (que) impedimento vasis absolute lubrici idem praestatur quod vi transversa NT. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo disce­dere.

Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro di­stantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacun (que) revolvens, de (que) quovis trajectoriae puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sit (que) quantitas A distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas quaelibet An−1, cujus Index n−1 est numerus quilibet n unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut [...], at (que) adeo datur. Nam (que) velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.

Prop. XLI. Prob. XXVIII.

‘Posita cujuscun (que) generis vi centripeta & concessis figurarum curvili­nearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriae in quibus corpo­ra movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.’

Tendat vis quaelibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk. Detur circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centro (que) eodem describantur alii quivis circuli ID, [Page 128] KE trajectoriam secantes in I & K rectam (que) CV in D & E. A­ge tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N & X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y. Sint autem puncta I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sit (que) A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat aequalem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quae in Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas at (que) adeo ut latus quadratum areae ABFD, & triangulum ICK

[figure]

tempori proportionale datur, adeo (que) KN est reciproce ut altitudo IC, id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitu­do IC nominetur A, ut Q / A; quam nominemus Z. Ponamus e­am esse magnitud inem ipsius Q ut sit √ABFD in aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper √ABFD ad Z ut IK ad KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD−ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. adeo (que) [...] ad Z ut IN ad KN, & propterea A×KN ae­quale [Page 129] [...]. Unde cum YX×XC sit ad A×KN in duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX×XC aequale [...]. Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db, Dc ipsis [...] & [...] aequales respective, & describantur curvae lineae ab, cd quas puncta, b, c perpetuo tangunt; de (que) puncto V ad lineam AC eriga­tur perpendiculum Vad abscindens areas curvilineas VDba, VD­dc, & erigantur etiam ordinatae Ez, Ex: quoniam rectangu­lum Db×IN seu DbzE aequale est dimidio rectanguli A×KN, seu triangulo ICK; & rectangulum Dc×IN seu Dc×E aequa­le est dimidio rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam, arearum VDba, VIC aequales semper sunt na­scentes particulae DbzE, ICK, & arearum VDcd, VCX ae­quales semper sunt nascentes particulae DE×c, XCY, erit area genita VDba aequalis areae genitae VIC, adeo (que) tempori propor­tionalis, & area genita VDdc aequalis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, da­bitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, ei (que) aequalis Sector VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & alti­tudine CI datur locus I, in quo corpus completo illo tempore re­perietur. Q.E.I.

Corol. 1. Hinc maximae minimae (que) corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt e­nim Apsides in puncta illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectae IK & NK aequantur, adeo (que) ubi area ABFD aequalis est ZZ.

Corol. 2. Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, [Page 130] nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areae ABFD.

Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio quaelibet Conica VRS, & a quovis ejus puncto R agatur Tan­gens RT occurrens axi infinite producto CV in puncto T; dein juncta CR ducatur recta CP, quae aequalis sit abscissae CT, angu­lum (que)

[figure]

VCP Sectori VCR proportiona­lem constitu­at; tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distan­tiae locorum a centro re­ciproce pro­portionalis, & exeat cor­pus de loco V justa cum velocitate secundum lineam rectae CV perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit; adeo (que) si conica sectio C ­VRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellip­sis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacun (que) cum velocitate exeat de loco V, & perinde ut in­caeperit vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique as­cendere, figura CVRS vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Traj [...]ctoria augendo vel minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quae invenitur capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem, & longitudinem CP lon­gitudini CT aequalem: ut supra. Consequuntur haec omnia ex [Page 131] Propositione praecedente, per Curvae cujusdam quadraturam, cu­jus inventionem ut satis facilem brevitatis gratia missam facio.

Prop. XLII. Prob. XXIX.

‘Data lege vis centripetae, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.’

Stantibus quae in tribus Propositionibus praecedentibus: exeat corpus de loco I secundum lineolam IT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco P cadendo ac­quirere posset in D: sit (que) haec vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I, ut DR ad DF. Pergat autem corpus ver­sus k; centro (que) C & intervallo Ck describatur circulus ke occur­rens rectae PD in e, & erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzvdcxw ordinatim applicatae em, eg, ev, ew. Ex dato rectan­gulo PDRQ, data (que) lege vis centripetae qua corpus primum agi­tatur, dantur curvae lineae BFGg, ALMm, per constructio­nem Problematis XXVII. & ejus Corol. 1. Deinde ex dato an­gulo CIT datur proportio nascentium IK, KN, & inde, per con­structionem Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis abzv, dcxw: adeo (que) completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel Ck, tum area Dcwe, ei (que) aequalis Sector XCy, angulus (que) XCy & locus k in quo corpus tunc versabitur. Q.E.I.

Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcun (que) quam quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse undi (que) eandem. At (que) hactenus corporum in Orbibus immobili­bus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.

SECT. IX. De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, de (que) motu Apsidum.

Prop. XLIII. Prob. XXX.

‘Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacun (que) circa centrum viri­um revolvente perinde moveri possit, at (que) corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.’

In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A centro C agatur semper Cp, quae sit ipsi CP ae­qualis, angulum (que) VCp angulo VCP proportionalem constitu­at; & area quam linea Cp describit erit ad aream VCP quam li­nea

[figure]

CP describit, ut ve­locitas lineae describen­tis Cp ad velocitatem li­neae describentis CP; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCP, adeo (que) in data ratione, & propte­rea tempori proportio­nalis. Cum area tem­pori proportionalis sit quam linea Cp in plano immobili describit, ma­nifestum est quod cor­pus, cogente justae quan­titatis vi centripeta, revolvi possit una cum puncto p in curva il­la linea quam punctum idem p ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus VCv angulo PCp, & linea Cv li­neae [Page 133] CV, at (que) figura vCp figurae VCP aequalis, & corpus in p semper existens movebitur in perimetro figurae revolventis vCp, eodem (que) tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi similem & aequalem VP in figura quiescente VPK de­scribere potest. Quaeratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, & solvetur Proble­ma. Q.E.F.

Prop. XLIV. Theor. XIV.

‘Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente aequaliter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.’

Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & aequales orbis revolventis partes[?] vp, pk. A puncto k in rectam pC de­n [...] perpendiculum kr, idem (que) produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam corporum altitu­dines PC & pC, KC & kC semper aequantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur mo­tus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas PC, pC; alteri prioribus trans­versi secundum lineas ipsis PC, pC perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineae pC ad motum angularem lineae PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utro (que) pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum mo­tu aequaliter movebitur a P versus C, adeo (que) completo illo tem­pore reperietur alicubi in linea mkr, quae per punctum k in li­neam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret dis­tantiam a linea pC, quae sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum [Page 134] transversum alterius. Quare cum kr aequalis sit distantiae quam corpus alterum acquirit a linea pC, sit (que) mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m. Haec ita se habe­bunt ubi corpora P & p aequaliter secundum lineas pC & PC mo­ventur, adeo (que) aequalibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus V­Cp ad angulum VCP, sit (que) nC aequalis kC, & corpus p comple­to illo tempore revera reperietur in n; adeo (que) vi majore urgetur, si modo angulus mCp

[figure]

angulo kCp major est, id est si orbis Vpk mo­vetur in consequentia, & minore, si orbis regredi­tur; est (que) virium diffe­rentia ut locorum inter­vallum mn, per quod corpus illud p ipsius ac­tione, dato illo tempo­ris spatio transferri de­bet. Centro C interval­lo Cn vel Ck describi in­telligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn×mt aequale rectangulo mk×ms, adeo (que) mn aequale mk×ms / mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earum (que) differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeo (que) rectangulum mk×ms est reciproce ut quadratum altitudi­nis pC. Est & mt directe ut ½ mt, id est ut altitudo pC. Hae sunt primae rationes linearum nascentium; & hinc fit mk×ms / mt, id [Page 135] est lineola nascens mn, ei (que) proportionalis virium differentia re­ciproce ut cubus altitudinis pC. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum PK, ut mk×ms ad rk quadratum; hoc est si capiantur datae quantita­tes F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq.−Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis aequalis areae toti VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobi­li revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus p in orbe mobili re­volvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq.−Fq. ad Fq. Nam (que) sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.

Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Ap­sidem summam V; ei (que) similis & aequalis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc aequalis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2 R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq./Aq., & vis in V erit Fq./CV quad.. Vis au­tem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeo (que) valet RFq./CV cub.: & vis quae sit ad hanc ut Gq.−Fq. [Page 136] ad Fq., valet RGq.−RFq./CV cub.: est (que) haec vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad se­ipsam in altitudine CV ut 1/A cub. ad 1/CV cub., eadem differentia in omne altitudine A valebit RGq.−RFq./A cub.. Igitur ad vim Fq./Aq. qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur ex­cessus RGq.−RFq./A cub. & componetur vis tota Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. qua corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.

Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immo­bilis VPK Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; ei (que) similis, aequalis & concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sit­ (que) 2 R Ellipseos hujus latus rectum, & 2 T latus transversum, at (que) angulus VCp semper sit ad angulum VCP ut G ad F; vires qui­bus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus aequali­bus revolvi possunt, erunt ut Fq.A / T cub. & Fq.A / T cub.+RGq.−RFq./A cub. respective.

Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV no­minetur T, & radius curvaturae quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli aequaliter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacun (que) immobili VPK revolvi po­test, in loco V dicatur Fq./Tq. V, at (que) aliis in locis P indefinite di­catur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk circula­riter [Page 137] mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium X+VRGq.−VRFq./A cub.

Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocun (que) immo­bili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

Corol. 6. Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur per­pendiculum VP longitudinis indeterminatae, jungatur (que) PC, & ipsi aequalis agatur Cp, constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua corpus

[figure]

gyrari potest in Curva illa Vpk quam punctum p perpetuo tangit, erit reci­proce ut cubus altitudinis Cp. Nam corpus P, per vim inertiae, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis CP vel Cp reci­proce proportionalis, & (per jam de­monstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est autem haec Curva Vpk eadem cum Curva illa VPQ in Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujus­modi viribus attracta oblique ascendere.

Prop. XLV. Prob. XXXI.

‘Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.’

Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quaerendo Apsides orbis quem cor­pus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem ac­quirent formam, si vires centripetae quibus describuntur, inter se [Page 138] collatae, in aequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine max­ima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro al­titudinum differentia CV−CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C (ut in Corollario 2.) revolvente move­tur, quae (que) in Corollario 2. erat ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. id est ut Fq.A+RGq.−RFq./A cub., substituendo T−X pro A, erit ut RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X / A cub. Reducenda similiter est vis alia quaevis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cub., & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statu­endi sunt analogi. Res Exemplis patebit.

Exempl. 1. Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeo (que) ut A cub./A cub., sive (scribendo T−X pro A in Numeratore) ut T cub.−3Tq.X+3TXq.−X cub./A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad T cub. ut −Fq.X ad −3Tq.X+3TXq.−X cub. sive ut −Fq. ad −3Tq.+3TX−X q. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factas R, T aequales, at (que) X in infi­nitum diminutam, rationes ultimae erunt RGq. ad T cub. ut −Fq. ad −3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq. ad 3Tq. & vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3 T quad. id est, ut 1 ad 3; adeo (que) G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √3. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Ap­sidem imam descendendo conficiat angulum VCP (ut ita di­cam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, at (que) adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum 180/√3: id [Page 139] adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi re­volvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per su­periorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180/√3 graduum, seu 103 gr. 55 m. ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Ap­sidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsi­dem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.

Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dig­nitas quaelibet An−3 seu An / A3: ubi n−3 & n significant dig­nitatum indices quoscun (que) integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille An seu T−Xn in seriem indeterminatam per Methodum nostram Seri­erum convergentium reducta, evadit Tn−nXTn−1+nn−n/2 Xq.Tn−2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numera­toris alterius RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X, fit RGq.−RFq.+TFq. ad Tn ut −Fq. ad −nTn−1+nn−n/2 XTn−2 &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem acce­dunt, fit RGq. ad Tn ut −Fq. ad −nTn−1, seu Gq. ad Tn−1 ut Fq. ad nTn−1, & vicissim Gq. ad Fq. ut Tn−1 ad nTn−1 id est ut 1 ad n; adeo (que) G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √n. Quare cum angulus VCP, in descensu cor­poris [Page 140] ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum cir­culari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati An−3 pro­portionali describit, aequalis angulo graduum 180/√n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad apsid [...]m summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia cor­poris a centro, id est ut A seu A4/A3, erit n aequalis 4 & √4 aequalis 2; adeo (que) angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam ae­qualis 180/2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte revoluti­onis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi im­mobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1/A seu A2/A3, erit n=2, a­deo (que) inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum 180/√2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi revolvens, perpe­tua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in aeternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimae dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A11/4, adeo (que) directe ut 1/A 11/4 seu ut A ¼ / A3 erit n aequalis ¼, & 180/√n gr. aequalis 360 gr. & prop­terea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo de­scendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutio­nem integram; dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutio­nem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in aeter­num.

[Page 141] Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim cen­tripetam effe ut b Am+c An / A cub., id est ut b in T−Xm+c in T−Xn / A cub. seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut bTm−mbXTm−1+mm−m/2bX2Tm−2+cTn−ncXTn−1+nn−n/2 cX2 Tn−2 &c./A Cub. & collatis numeratorum terminis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad bTm+cTn, ut −Fq. ad −mbTm−1−ncTn−1+mm−m/2−XTm−2+nn−n/2 XTn−2 &c. Et sumendo rationes ultimas quae prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bTm−1+cTn−1, ut Fq. ad mbTm−1+ncTn−1, & vicissim Gq. ad Fq. ut bTm−1+cTn−1 ad mbTm−1+ncTn−1. Quae proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arith­metice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b+c ad mb+nc, adeo (que) ut 1 ad mb+nc / b+c. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √mb+nc / b+c. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati bAm+cAn / A cub. proportionali describit, aequa­lis angulo graduum 180 √b+c / mb+nc. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut bAm−cAn / A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √b−c / mb−nc graduum. Nec secus resolvetur Problema in ca­sibus [Page 142] difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponen­dae sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendo (que) unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis digni­tas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra-Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem e­andem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo no­minetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A nn / mm−3, cujus In­dex est nn / mm−3. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis rati­one decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens de (que) Apside discedens, si caeperit descendere, nunquam perveniet ad Apsi­dem imam seu altitudinem minimam, sed descendet us (que) ad cen­trum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin caeperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, ne (que) unquam perveniet ad Ap­sidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua ac­tum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut caeperit descen­dere vel ascendere, vel descendet ad centrum us (que) vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacun (que) Corpus nunquam descendet ad centrum us (que) sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam ap­pellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in [Page 143] minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citi­us corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 ½ de Apside summa ad Apsidem summam alterno de­scensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1 ½ ad 1, adeo (que) nn / mm−3 ualeat 1/64−3 vel 1/16−3 vel ¼−3 vel 4/9−3, erit vis ut A 1/64−3 vel A 1/16−3 vel A ¼−3 vel A 4/9−3, id est reciproce ut A3−1/64 vel A3−1/16 vel A3−¼ vel A3−4/9. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immo­tam, erit, m ad n ut 1 ad 1, adeo (que) A nn / mm−3 aequalis A−2 seu 1/A2, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in praecedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revo­lutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una ter­tia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut ¾ vel [...] vel ⅓ vel ¼ ad 1, adeo (que) A nn / mm−3 aequalis A16/9−3 vel A9/4−3 vel A9−3 vel A16−3, & propterea Vis aut reciproce ut A 11/9 vel A ¾, aut directe ut A6 vel A13. Deni (que) si Corpus per­gendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolu­tionem integram, & praeterea gradus tres, adeo (que) Apsis illa singu­lis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363 gr. ad 360 gr. adeo (que) A nn / mm−3 erit aequale A−2/1 6/3 5/1 9/7 0/6 7/9, & propterea Vis centripeta reciproce ut A2/1 6/3 5/1 7/7 9/6 7/9 seu A2 4/243. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo ma­jore quam duplicata, sed quae vicibus 60¾ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.

Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quae sit recipro­ce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum ha­bente in centro virium, & huic vi centripetae addatur vel aufe­ratur vis alia quaevis extranea; cognosci potest (per Exempla [Page 144] tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & con­tra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1/A2, & vis extranea ablata ut cA, adeo (que) vis reliqua ut A−cA4/A3; erit (in Exemplis tertiis) A aequalis 1 & n aequalis 4, adeo (que) angulus re­volutionis inter Apsides aequalis angulo graduum 180 √1−c/1−4 c. Po­natur vim illam extraneam esse 357, 43 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 3 1/5 0/7 0/4 3, & 180 √1−c/1−4 c evadet 180 √3/3 5/5 6/3 4/4 5/5 seu 180, 7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeo (que) Apsis sum­ma singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.

Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per cen­trum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium trac­tant, considerare solent a scensus & descensus ponderum, tam ob­liquos in planis quibuscun (que) datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscun (que) centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana au­tem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora re­tardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum qui­bus corpora incumbunt quas (que) tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & or­bitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.

SECT. X. De Motu Corporum in Superficiebus datis, de (que) Funipendulorum Motu reciproco.

Prop. XLVI. Prob. XXXII.

‘Posita cujuscun (que) generis vi centripeta, dato (que) tum virium centro tum plano quocun (que) in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.’

Sit S centrum virium, SC distantia minima centri hujus a pla­no dato, P corpus de loco P secundum rectam PZ egrediens, Q corpus idem in Trajec­toria

[figure]

sua revolvens, & PQR Trajectoria illa in plano dato descrip­ta, quam invenire o­portet. Jungantur CQ QS, & si in QS capia­tur SV proportionalis vi centripetae qua cor­pus tra hitur versus centrum S, & agatur VT quae sit parallela CQ & occurrat SC in T: Vis SV resolvetur (per Legum Corol. 2.) in vires ST, TV; quarum ST trahendo cor­pus secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TV, agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus punctum C in plano [Page 146] datum, adeo (que) facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis ST tolleretur, & corpus vi sola TV revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi centripeta TV qua corpus Q in spatio libero circa centrum datum C revolvitur, datur per Prop. XLII. tum Trajectoria PQR quam corpus describit, tum locus Q in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum de­ni (que) velocitas corporis in loco illo Q; & contra. Q.E.I.

Prop. XLVII. Theor. XV.

‘Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiae corporis a cen­tro; corpora omnia in planis quibuscun (que) revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus aequalibus peragent; quae (que) moventur in lineis rectis ultro citro (que) discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.’

Nam stantibus quae in superiore Propositione; vis SV qua cor­pus Q in plano quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ;

[figure]

at (que) adeo ob proporti­onales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur versus punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano PQR ver­santia trahuntur ver­sus punctum C, sunt pro ratione distantiarum aequales viribus quibus corpora undiqua (que) trahuntur versus centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano [Page 147] quovis PQR circa punctum C, at (que) in spatiis liberis circa cen­trum S, adeo (que) (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper aequalibus, vel describent Ellip­ses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro ci­tro (que) ▪ in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis, comple­bunt. Q.E.D.

Scholium.

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficie­bus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus pe [...]etuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro ci­tro (que) peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, at (que) adeo in lineis curvis quarum revolutione curvae illae superfi­cies genitae sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.

Prop. XLVIII. Theor. XVI.

Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum re­volvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvi­linei, quod punctum quodvis in rotae perimetro datum, ex quo glo­bum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus di­midii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa dia­metrorum globi & rotae ad semidiametrum globi.

Prop. XLIX. Theor XVII.

‘Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolven­do progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei [Page 148] quod punctum quodvis in Rotae Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia di­ametrorum globi & rotae ad semidiametrum globi.’

Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei insistens, E centrum rotae, B punctum contactus, & P punctum datum in pe­rimetro rotae. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo

[figure]

ABL ab A per B versus L, & inter eundum ita revolvi ut ar­cus AB, PB sibi invicem semper aequentur, at (que) punctum illud P in Perimetro rotae datum interea describere viam curvilineam AP. Sit autem AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota glo­bum tetigit in A, & erit viae hujus longitudo AP ad duplum si­num versum arcus ½ PB, ut 2 CE ad CB. Nam recta CE (si [Page 149] opus est producta) occurrat Rotae in V, jungantur (que) CP, BP, EP, VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tan­gant PH, VH circulum in P & V concurrentes in H, secet (que) PH ipsam VF in G, & ad VP demittantur Normales GI, HK. Cen­tro item C & intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n, Rotae perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m, centro (que) V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q.

Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum con­tactus B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam Rotae punctum P describit, at (que) adeo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto P. Circuli nom radius sensim auctus aequetur tandem distantiae CP, & ob si­militudinem figurae evanescentris Pnomq & figurae PFGVI, ra­tio ultima lineolarum evanescentis Pm, Pn, Po, Pq, id est ra­tio incrementorum momentaneorum curvae AP, rectae CP & ar­cus circularis BP, ac decrementi rectae VP, eadem erit quae linea­rum PV, PF, PG, PI respective. Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt, anguli (que) HVG, VCF propte­rea aequales; & angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos, adeo (que) angulo CEP aequalis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequen­tibus ut CB ad 2 CE ita PI ad PV. Est igitur decrementum lineae VP, id est incrementum lineae BV−VP, ad incrementum lineae curvae AP in data ratione CB ad 2 CE, & propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudines BV−VP & AP incrementis illis genitae sunt in eadem ratione. Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu ½ BEP, adeo (que) BV−VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½ BV, erit BV−VP duplus sinus versus arcus ½ BP. Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½ BP ut 2 CE ad CB. Q.E.D.

[Page 150]Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinc­tionis gratia nominabimus.

Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisece­tur ea in S, erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quae duplus est sinus anguli VBP, existente EB radio) ut 2 CE ad CB, at (que) adeo in ratione data.

Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS aequabitur lineae rectae, quae est ad Rotae diametrum BV ut 2 CE ad CB.

Corol. 3. Ideo (que) longitudo illa est ut rectangulum BEC, si mo­do Globi detur semidiameter.

Prop. L. Prob. XXXIII.

‘Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.’

Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis extremis Q & S superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O, & produ­catur ea ad A, ut sit CA ad CO ut CO ad CR. Centro C inter­vallo CA describatur Globus exterior ABD, & intra hunc glo­bum Rota, cujus diameter sit AO, describantur duae semicycloides AQ, AS, quae globum interiorem tangant in Q & S & globo ex­teriori occurrant in A. A puncto illo A, filo APT longitudinem AR aequante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides AQ, AS oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte sui superiore AP applicetur ad semicycloidem illam APS, versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstacu­lum flectatur, parte (que) reliqua PT cui semicyclois nondum ob­jicitur, protendatur in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in Cycloide data QRS. Q.E.F.

Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum cir­culo QOS in V, agatur (que) CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e punctis extremis P ac T, erigantur [Page 151] perpendicula PB, TW, occurrentia rectae CV in B & W. Patet­enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW abscin­dent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR aequales, at (que) adeo quod punctum B incidet in circulum ABD. Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente ½ BV radio) ut BW ad BV, seu AO+OR ad AO, id est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad OR proportionales,) ut CA+CO

[figure]

seu 2 CE ad CA. Proin­de per Co­rol. 1. Prop. XLIX. lon­gitudo PT aequatur Cy­cloidis arcui PS, & fi­lum totum APT aequa­tur Cycloi­dis arcui di­midio APS, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX longitudini AR. Et propterea vicissim si filum manet semper ae­quale longitudini AR movebitur punctum T in Cycloide QRS. Q.E.D.

Corol. Filum AR aequatur Cycloidis arcui dimidio APS.

Prop. LI. Theor. XVIII.

‘Si vis centripeta tendens undi (que) ad Globi centrum C sit in locis singu­lis ut distantia loci cujus (que) a centro, & hac sola vi agente Corpus T [Page 152] oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis QRS: dico quod oscillationum utcun (que) inaequalium aequalia erunt Tempora’

Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellen­do corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistenti­am tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iis (que) proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longi­tudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT, Apt de perpendiculo AR inaequaliter deductis & simul dimissis, accele­rationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem partes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est ut totae sub initio describendae, & propterea partes quae manent describendae & accelerationes subsequentes his partibus pro­portionales sunt etiam ut totae; & sic deinceps. Sunt igitur ac­celerationes at (que) adeo velocitates genitae & partes his velocitati­bus descriptae partes (que) describendae, semper ut totae; & propterea partes describendae datam servantes rationem ad invicem simul e­vanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad per­pendiculum AR. Cum (que) vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descen­sus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum aequales esse, at (que) adeo temporibus ae­qualibus fieri; & propterea cum Cycloidis partes duae RS & RQ ad utrum (que) perpendiculi latus jacentes sint similes & aequales, pen­dula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem tem­poribus semper peragant. Q.E.D.

Prop. LII. Prob. XXXIV.

‘Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totae, tum singulae oscillationum partes per­aguntur.’

Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS aequante, describe semicirculum HKMG semidiametro GK bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis ten­dat ad centrum G, sit (que) ea in perimetro HIK aequalis vi centripetae in perimetro globi QOS (Vide Fig. Prop. L. & LI.) ad ipsius cen­trum tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S, cadat corpus aliquod L ab H ad G: quoniam vires quibus corpora urgentur

[figure]

sunt aequales sub initio & spati­is describendis TR, GL sem­per proportionales, at (que) adeo, si aequantur TR ad LG, aequales in locis T & L; patet corpora illa describere spatia ST, HL aequa­lia sub initio, adeo (que) subinde per­gere aequaliter urgeri, & aequalia spatia describere. Quare, per Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum ST est ad tem­pus oscillationis unius, ut arcus HI (tempus quo corpus H per­veniet ad L) ad semicirculum HKM (tempus quo corpus H perveniet ad M.) Et velocitas corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, (hoc est velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu incrementum mo­mentaneum lineae HL ad incrementum momentaneum lineae HG, arcubus HI, HK aequabili fluxu crescentibus) ut ordinatim ap­plicata LI ad radium GK, sive ut [...] ad SR. Unde cum in Oscillationibus inaequalibus describantur aequalibus temporibus arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis [Page 154] temporibus & velocitates & arcus descripti in Oscillationibus uni­versis. Quae erant primo invenienda.

Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inae­qualibus & earum semiarcubus aequales capiantur rectae GH, gh, centris (que) G, g & intervallis GH, gh describantur semicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hm capiantur li­neolae aequales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz circum­ferentiis occurrentes in Z & z. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi QOS, adeo (que) a vi­ribus aequalibus urgentur in centrum, incipiunt (que) directe versus centrum moveri, spatia simul confecta aequalia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a viribus iisdem in H & h, sint (que)

[figure]

HY, hy spatia aequalia ipso motus initio descripta, & arcus HZ hz denotabunt aequalia tempora. Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem quae rectangulorum GHY, ghy, id est, eadem quae linearum GH, gh; adeo (que) arcus capti in di­midiata ratione semidiametrorum denotant aequalia tempora. Est ergo tempus totum in circulo HKM, Oscillationi in una Cyclo­ide respondens, ad tempus totum in circulo hkm Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia HKM ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli alterius hkm, id est in dimidiata ratione diametri HM ad diame­trum hm, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis pri­mae ad perimetrum Cycloidis alterius, adeo (que) tempus illud in Cy­cloide [Page 155] quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadra­tum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotae, qua Cy­clois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & se­midiametrum globi. Q.E.I. Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis fili AR.Q.E.I.

Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiae locorum a com­muni globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, at (que) adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, a­qualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscil­lationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes om­nes erunt Isochronae. Cum igitur Oscillationum tempora in Glo­bo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, at (que) adeo (ob datam AC) in dimidiata ratione numeri AR / AC, id est in ra­tione integra numeri √AR / AC; & hic numerus √AR / AC servata ratio­ne AR ad AC (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper ma­neat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, at (que) adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √AR / AC, id est, in ratione composita ex dimidiata ra­tione longitudinis fili AR directe & dimidiata ratione semidiame­tri globi AC inverse. Q.E.I

Deni (que) si vires absolutae diversorum globorum ponantur inae­quales, accelerationes temporibus aequalibus factae, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt aequalia quae his temporibus describuntur. Ergo Os­cillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscun (que) cum viribus absolutis factae, sunt in ratione quae componitur ex di­midiata [Page 156] ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata rati­one distantiae inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutae etiam inverse, id est, si vis illa di­catur V, in ratione numeri √AR / AC×V.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotae, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequalis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quo­vis ad centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum se­cundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½ BC ad √BEC.

Corol. 2. Hinc etiam consectantur quae D. C. Wrennus & D. C. Hugenius de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi dia­meter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphaerica in planum, vis (que) centripeta aget uniformiter secundum lineas hu­ic plano perpendiculares, & yclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, aequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotae inter idem planum & punctum descri­bens; ut invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmo­di Cycloides in simili & aequali Cycloide temporibus aequalibus Oscillabitur, ut demonstravit Hugenius. Sed & descensus gra­vium, tempore Oscillationis unius, is erit quem Hugenius indi­cavit.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratae ad veram constitutionem Terrae, quatenus Rotae eundo in ejus circulis max­imis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pen­dula inferius in fodinis & cavernis Terrae suspensa, in Cycloidibus [Page 157] intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Iso­chronae. Nam gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decre­scit in progressu a superficie Terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione sim­plici.

Prop. LIII. Prob. XXXV.

‘Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires qui­bus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.’

Oscilletur cor­pus

[figure]

T in curva quavis linea ST­RQ, cujus axis sit OR transiens per virium cen­trum C. Agatur TX quae curvam illam in corporis loco quovis T contingat, in (que) hac Tangente T­X capiatur TY aequalis arcui T­R. Nam longitu­do arcus illius ex­figurarum Qua­draturis per Methodos vulgares innotescit. De puncto Y educa­tur recta YZ Tangenti perpendicularis. Agatur CT perpendi­culari illi occurrens in Z, & erit vis centripeta proportionalis rec­tae TZ.Q.E.I.

Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur haec in vires [Page 158] TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum haec sit ut via describenda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) par­tibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea facient ut partes illae simul describantur. Corpora autem quae partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pen­dens, describat arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quae sit ad vim u­niformem gravitatis, ut arcus TR ad ejus sinum TN: aequalia e­run Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea TZ erit ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis unifor­mis exponatur per longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscil­lationes evadent Isochronae, erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY aequalis ad arcus illius sinum TN.

Corol. 2. Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressae ita cum vi gravitatis compo­ni possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quae oritur ap­plicando rectangulum sub arcu TR & radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronae.

Prop. LIV. Prob. XXXVI.

‘Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora qui­bus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscun (que) curvis in pla­no per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.’

Descendat enim corpus de loco quovis S per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS & dividatur cadem in partes innumeras aequales, [Page 159] sit (que) Dd partium illarum aliqua. Centro C, intervallis CD, Cd describantur circuli DT, dt, Lineae curvae STtR occurrentes in T & t. Et ex data tum lege vis centripetae, tum altitudine CS de­qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis alti­tudine CT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus de­scribit lineolam Tt, est ut lineolae hu­jus

[figure]

longitudo (id est ut secans angu­li tTC) directe, & velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit ordi­natim applicata DN ad rectam CS per punctum D perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum Dd×DN, hoc est area DNnd, eidem tempori proportionale. Ergo si SNn sit curva illa linea quam punctum N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam ST; proinde (que) ex inventa illa area dabitur tempus. Q.E.I.

Prop. LV. Theor. XIX.

‘Si corpus movetur in superficie quacun (que) curva, cujus axis per cen­trum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendi­cularis, ei (que) parallela & aequalis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem descri­bet.’

Sit BSKL superficies curva, T corpus in ea revolvens, STtR Trajectoria quam corpus in eadem describit, S initium Trajecto­riae, OMNK axis superficiei curvae, TN recta a corpore in ax­em perpendicularis, OP huic parallela & aequalis a puncto O quod in axe datur educta, AP vestigium Trajectoriae a puncto P [Page 160] in lineae volubilis OP plano AOP descriptum, A vestigii initium puncto S respondens, TC recta a corpore ad centrum ducta; TG pars ejus vi centripetae qua corpus urgetur in centrum C propor­tionalis; TM recta ad superficiem curvam perpendicularis; TI pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissim (que) ur­getur versus M a superficie, proportionalis; PHTF recta axi pa­rallela per corpus transi­ens,

[figure]

& GF, IH rectae a punctis G & I in paral­lelam illam PHTF per­pendiculariter demissae. Dico jam quod area A­OP, radio OP ab initio motus descripta, sit tem­pori proportionalis. Nam vis TG (per Legum Co­rol. 2.) resolvitur in vires TF, FG; & vis TI in vi­res TH, HI: Vires au­tem TF, TH agendo se­cundum lineam PF pla­no AOP perpendicula­rem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideo (que) motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P, quo Trajectoriae vestigium AP in hoc plano de­scribitur, idem est ac si vires TF, TH tollerentur, & corpus so­lis viribus FG, HI agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summan viri­um FG & HI aequante, describeret curvam AP. Sed vi tali describetur area AOP (per Prop. I.) tempori proportionalis. Q.E.D.

Corol. Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra [Page 161] duo vel plura in eadem quavis recta CO data tendentibus, descri­beret in spatio libero lineam quamcun (que) curvam ST, foret area AOP tempori semper proportionalis.

Prop. LVI. Prob. XXXVII.

‘Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datis (que) tum lege vis centripetae ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cu­jus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velo­citate versus plagam in superficie illa datam egressum.’

Stantibus quae in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco S in Trajectoriam inveniendam STtR, & ex da­ta ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriae suae particulam Tt, sit (que) Pp vestigium ejus plano AOP descriptum. Jungatur Op, & circelli centro T intervallo Tt in superficie curva descripti sit PpQ vesti­gium Ellipticum in eodem plano OAPp descriptum. Et ob da­tum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa PpQ. Cum (que) area POp sit tempori proportionalis, at (que) adeo ex dato tempore detur, dabitur Op positione, & inde dabitur com­munis ejus & Ellipseos intersectio p, una cum angulo OPp, in quo Trajectoriae vestigium APp secat lineam OP. Inde autem invenietur Trajectoriae vestigium illud APp, eadem methodo qua curva linea VIKk in Propositione XLI. ex similibus datis in­venta fuit. Tum ex singulis vestigii punctis P erigendo ad pla­num AOP perpendicula PT superficiei curvae occurrentia in T, dabuntur singula Trajectoriae puncta T.Q.E.I.

SECT. XI. De Motu Corporum Sphaericorum viribus centripetis se mutuo peten­tium.

Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractio­nes enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & at­tractorum actiones semper mutuae sunt & aequales, per Legem tertiam: adeo ut ne (que) attrahens possit quiescere ne (que) attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quar­tum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum com­mune revolvantur: & si plura sint corpora (quae vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) haec ita inter se mo­veri debeant, ut gravitatis centrum commune. vel quiescat vel uni­formiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo mo­tum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice lo­quamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.

Prop. LVII. Theor. XX.

‘Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.’

Sunt enim distantiae a communi gravitatis centro reciproce pro­portionales corporibus, at (que) adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hae distantiae circum terminos suos communi mo­tu [Page 163] angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mu­tant inclinationem ad se mutuo. Lineae autem rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quae u­na cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figu­rae quae his distantiis circumactis describuntur. Q.E.D.

Prop. LVIII. Theor. XXI.

‘Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revol­vuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & aequalis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem de­scribi.’

Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de S ad T de (que) P ad Q. A dato puncto s ipsis SP, TQ aequales & parallelae ducantur semper sp, sq; & curva pqv quam punctum p, revolvendo circum punctum immotum s, descri­bit,

[figure]

erit similis & aequalis curvis quas corpora S, P describunt cir­cum se mutuo: proinde (que) (per Theor. XX.) similis curvis ST & PQV, quas eadem corpora describunt circum commune gravi­tatis centrum C: id adeo quia proportiones linearum SC, CP & SP vel sp ad invicem dantur.

Cas. 1. Commune illud gravitatis centrum C, per Legum Co­rollarium [Page 164] quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in direc­tum. Ponamus primo quod id quiescit, in (que) s & p locentur cor­pora duo, immobile in s, mobile in p, corporibus S & P similia & aequalia. Dein tangant rectae PR & pr curvas PQ & pq in P & p, & producantur CQ & sq ad R & r. Et ob similitudi­nem figurarum CPRQ, sprq, erit RQ ad rq ut CP ad sp, a­deo (que) in data ratione. Proinde si vis qua Corpus P versus Cor­pus S, at (que) adeo versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim qua corpus p versus centrum s attrahitur in eadem illa ratione data, hae vires aequalibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus PR, pr ad arcus PQ, pq, per intervalla ipsis pro­portionalia

[figure]

RQ, rq; adeo (que) vis posterior efficeret ut corpus p gyraretur in curva pqv, quae similis esset curvae PQV, in qua vis prior efficit ut corpus P gyretur, & revolutiones iisdem tempori­bus complerentur. At quoniam vires illae non sunt ad invicem in ratione CP ad sp, sed (ob similitudinem & aequalitatem cor­porum S & s, P & p, & aequalitatem distantiarum SP, sp) sibi mutuo aequales, corpora aequalibus temporibus aequaliter trahen­tur de Tangentibus; & propterea ut corpus posterius p trahatur per intervallum majus rq, requiritur tempus majus, id (que) in dimi­diata ratione intervallorum; propterea quod, per Lemma deci­mum, spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p esse ad velocita­tem corporis P in dimidiata ratione distantiae sp ad distantiam CP, eo ut temporibus quae sint in eadem dimidiata ratione de­scribantur [Page 165] arcus PQ, pq, qui sunt in ratione integra: Et cor­pora P, p viribus aequalibus semper attracta describent circum centra quiescentia C & s figuras similes PQV, pqv, quarum pos­terior pqv similis est & aequalis figurae quam corpus P circum cor­pus mobile S describit. Q.E.D.

Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uni­formiter in directum; &, per Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeo (que) corpora descri­bent circum se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea figu­rae pqv similes & aequales. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc corpora duo viribus distantiae suae proportio­nalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses con­centricas: & vice versa, si tales figurae describuntur, sunt vires distantiae proportionales.

Corol. 2. Et corpora duo viribus quadrato distantiae suae reci­proce proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune gravitatis centrum & circum se mutuo secti­ones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figurae de­scribuntur. Et vice versa, si tales figurae describuntur, vires cen­tripetae sunt quadrato distantiae reciproce proportionales.

Corol. 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum com­mune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.

Prop. LIX. Theor. XXII.

‘Corporum duorum S & P circa commune gravitatis centrum C revol­ventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis al­terutrius P, circa alterum immotum S gyrantis & figuris quae cor­pora circum se mutuo describunt figuram similem & aequalem de­scribentis, in dimidiata ratione corporis alterius S, ad summant corporum S+P.’

[Page 166]Nam (que) ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimi­diata ratione distantiarum CP & SP vel sp, hoc est, in dimidia­ta ratione corporis S ad summam corporum S+P. Et compo­nendo, summae temporum quibus arcus omnes similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figurae totae similes de­scribuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. Q.E.D.

Prop. LX. Theor. XXIII.

‘Si corpora duo S & P, viribus quadrato distantiae suae reciproce pro­portionalibus se mutuo trahentia, revoluntur circa gravitatis cen­trum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum P hoc motu circa alterum S describit, Axis transversus erit ad axem trans­versum Ellipseos, quam corpus idem P circa alterum quiescens S eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum du­orum S+P ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summan & corpus illud alterum S.’

Nam si descriptae Ellipses essent sibi invicem aequales, tempo­ra periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S+P. Minuatur in hac rati­ne tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodi­ca evadent aequalia, Ellipseos autem axis transversus per Theo­rema VII. minuetur in ratione cujus haec est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad S+P est triplicata; adeo (que) ad ax­em transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie pro­portionalium inter S+P & S ad S+P. Et inverse, axis trans­versus Ellipseos circa corpus mobile descriptae erit ad axem trans­versum descriptae circa immobile, ut S+P ad primam duarum me­die proportionalium inter S+P & S. Q.E.D.

Prop. LXI. Theor. XXIV.

‘Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, ne (que) alias agi­tata vel impedita, quomodocun (que) moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrum (que) a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem tra­heretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distan­tiae corporum a centro illo communi at (que) respectu distantiae totius in­ter corpora.’

Nam vires illae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeo (que) eaedem sunt ac si a corpore intermedio manarent. Q.E.D.

Et quoniam data est ratio distantiae corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, da­bitur ratio cujusvis potestatis distantiae unius ad eandem potesta­tem distantiae alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus datis utcun (que) derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datam (que) illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter deri­vatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quae­libet hujus distantiae potestas; vel deni (que) ut quantitas quaevis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocun (que) derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahi­tur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a cen­tro illo communi, vel ut eadem distantiae hujus potestas, vel de­ni (que) ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus da­tis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex res­pectu distantiae utrius (que). Q.E.D.

Prop. LXII. Prob. XXXVIII.

‘Corporum duorum quae viribus quadrato distantiae suae reciproce pro­portionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, deter­minare motus.’

Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traheren­tur; & centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) & propterea (per Legum Corol. 4.) semper quiescet. Determi­nandi sunt igitur motus Corporum (per Probl. XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebun­tur motus corporum se mutuo trahentium. Q.E.I.

Prop. LXIII. Prob. XXXIX.

‘Corporum duorum quae viribus quadrato distantiae suae reciproce pro­portionalibus se mutuo trahunt, de (que) locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.’

Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum mo­tus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum & Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum commu­ni illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Cor­poris igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul mo­tus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo gyrantium [Page 169] motus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili. Q.E.I.

Prop. LXIV. Prob. XL.

‘Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici rati­one distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.’

Ponantur imprimis corpora duo T & L commune habentia gravitatis centrum D. Describent haec per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in D, quarum magni­tudo ex Problemate V. innotescit.

Trahat jam corpus tertium S priora duo T & L viribus acce­leratricibus ST, SL, & ab

[figure]

ipsis vicissim trahatur. Vis ST per Legum Corol. 2. re­solvitur in vires SD, DT; & vis SL in vires SD, DL. Vires autem DT, DL, quae sunt ut ipsarum summa TL, at (que) adeo ut vires accelera­trices quibus corpora T & L se mutuo trahunt, additae his viribus corporum T & L, prior priori & posterior posteriori, componunt vires distantiis DT ac DL proportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeo (que) (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 7. Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore. Vi­res reliquae acceleratrice [...] & SD, actionibus motricibus SD×T & SD×L, quae sunt ut [...]rpora, trahendo corpora illa aequaliter & secundum lineas TI, LK ipsi DS parallelas, nil mutant situs e­arum ad invicem, sed faciunt ipsa aequaliter accedere ad lineam IK; quam ductam concipe per medium corporis S, & lineae DS per­pendicularem. Impedietur autem iste ad lineam IK accessus [Page 170] faciendo ut Systema corporum T & L ex una parte, & corpus S ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gra­vitatis centrum C. Tali motu corpus S (eo quod summa virium motricium SD×T & SD×L, distantiae CS proportionalium, tra­hitur versus centrum C) describit Ellipsin circa idem C; & punc­tum D ob proportionales CS, CD describet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autem T & L viribus motricibus SD×T & SD×L, (prius priore, posterius posteriore) aequaliter & secun­dum lineas parallelas TI & LK (ut dictum est) attracta, per­gent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa cen­trum mobile D Ellipses suas describendo, ut prius. Q.E.I.

Addatur jam corpus quar­tum

[figure]

V, & simili argumento concludetur hoc & punctum C Ellipses circa omnium com­mune centrum gravitatis B describere; manentibus mo­tibus priorum corporum T, L & S circa centra D & C, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. Q.E.I.

Haec ita se habent ubi corpora T & L trahunt se mutuo viri­bus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpo­ra reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuae omnium at­tractiones acceleratrices ad invicem ut distantiae ductae in corpo­ra trahentia, & ex pracedentibus facile deducetur quod corpo­ra omnia aequalibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa [...]m­nium commune gravitatis centrum B [...] plano immobili descri­bunt. Q.E.I.

Prop. LXV. Theor. XXV.

‘Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantia­rum [Page 171] ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportio­nales quam proxime.’

In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plu­res peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, ne (que) fieri potest ut corpora secundam legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem ca­sibus non multum ab Ellipsibus errabitur.

Cas. 1. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendant (que) ad singula vires abso­lutae proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium com­mune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum.) vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpo­ra minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro; & maximum illud vel quiescet vel mo­vebitur uniformiter in directum, abs (que) errore sensibili; minora au­tem revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, at (que) radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi qua­tenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mu­tuo. Diminui autem possunt corpora minora us (que) donec error iste & actiones mutuae sint datis quibusvis minores, at (que) adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, & areae respondeant tem­poribus, abs (que) errore qui non sit minor quovis dato. Q.E.O.

Cas. 2. Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uni­formiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maxi­mi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam ae­quales vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas paral­lelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut Sys­tema [Page 172] totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maxi­mum, nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum acceleratricum inaequalitate, vel ex incli­natione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, & augendo cor­poris maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua duc­tarum minores sint differentiae & inclinationes ad invicem quam datae quaevis, perseverabunt motus partium Systematis inter se abs (que) erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema to­tum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravi­tatis describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Coni­cam (viz. Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, El­lipsim fortiore,) & Radio ad maximum ducto, verret areas tem­poribus proportionales, abs (que) ullis erroribus, nisi quas partium dis­tantiae (perexiguae sane & pro lubitu minuendae) valeant effi­cere. Q.E.O.

Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.

Corol. 1. In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabun­tur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad in­vicem, major (que) proportionis inaequalitas.

Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attracti­ones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium ma­ximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; praesertim si proportionis hujus inaequali­tas major sit quam inaequalitas proportionis distantiarum a corpo­re maximo: Nam si vis acceleratrix, aequaliter & secundum lineas [Page 173] parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis inaequalitate perturbatio oriatur, major (que) sit vel minor pro majore vel minore inaequalitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario muta­bunt situnreorum inter se. Et haec perturbatio addita perturba­tioni, quae ex linearum inclinatione & inaequalitate oritur, majo­rem reddet perturbationem totam.

Corol. 3. Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Cir­culis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eaedem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur aequaliter & secundum lineas parallelas quamproxime.

Prop. LXVI. Theor. XXVI.

‘Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distan­tiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcun (que) in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distan­tiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvan­tur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum ha­bentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.’

Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositio­nis praecedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.

Cas. 1. Revolvantur corpora minora P & Q in eodem plano circa maximum S, quorum P describat orbem interiorem PAB, & Q exteriorem QE. Sit QK mediocris distantia corporum P & Q; & corporis P versus Q attractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem. In duplicata ratione QK [Page 174] ad QP capiatur QL ad QK, & erit QL attractio acceleratrix corporis P versus Q in distantia quavis QP. Junge PS, ei (que) pa­rallelam age LM occurrentem QS in M, & attractio QL resol­vetur (per Legum Corol. 2.) in attractiones QM, LM. Et sic urgebitur corpus P vi acceleratrice triplici: una tendente ad S & oriunda a mutua attractione corporum S & P. Hac vi sola corpus P, circum corpus S sive immotum, sive hac attractione a­gitatum, describere deberet & areas, radio PS temporibus pro­portionales, & Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis S. Pa­tet hoc per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXI. Vis altera est attractionis LM, quae

[figure]

quoniam tendit a P ad S, superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areae etiamnum tem­poribus proportio­nales describantur per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non est quadrato distantiae PS reciproce propor­tionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione ab­errantem, id (que) eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim priorem, caeteris paribus. Proinde cum (per Corol. 1. Prob. VIII. & Corol. 2. Theor XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum S describitur tendere debeat ad umbilicum illum, & esse quadrato distantiae PS reciproce proportionalis; vis illa composita aber­rando ab hac proportione, faciet ut Orbis PAB aberret a forma Ellipseos umbilicum habentis in S; id (que) eo magis quo major est aberratio ab hac proportione; at (que) adeo etiam quo major est proportio vis secundae LM ad vim primam, caeteris paribus. Jam vero vis tertia QM, trahendo corpus P secundum lineam ipsi QS parallelam, componet cum viribus prioribus vim quae non amplius dirigitur a P in S, quae (que) ab hac determinatione tanto [Page 175] magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiae vis ad vi­res priores, caeteris paribus; at (que) adeo quae faciet ut corpus P, radio SP, areas non amplius temporibus proportionales describet, at (que) aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertiae ad vires caeteras. Orbis vero PAB aberrationem a forma Elliptica praefata hac vis tertia du­plici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a P ad S, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiae PS. Qui­bus intellectis, manifestum est quod areae temporibus tum maxi­me fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus caeteris, fit minima; & quod Orbis PAB tum maxime accedit ad praefa­tam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed prae­cipue vis tertia, sit minima, vi prima manente.

Exponatur corporis S attractio acceleratrix versus Q per line­am QN; & si attractiones acceleratrices QM, QN aequales essent, hae trahendo corpora S & P aequaliter & secundum lineas paralle­las, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (per Legum Corol. 6.) ac si hae attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio QN mi­nor esset attractione QM, tolleret ipsa attractionis QM partem QN, & maneret pars sola MN, qua temporum & arearum pro­portionalitas & Orbitae forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio QN major esset attractione QM, oriretur ex differentia sola MN perturbatio proportionalitatis & Orbitae. Sic per attractionem QN reducitur semper attractio tertia superior QM ad attractionem MN, attractione prima & secunda manen­tibus prorsus immutatis: & propterea areae ac tempora ad pro­portionalitatem, & Orbita PAB ad formam praefatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum P & S attractiones ac­celeratrices, factae versus corpus Q, accedunt quantum fieri potest ad aequalitatem; id est ubi attractio QN non est nulla, ne (que) minor minima attractionum omnium QM, sed inter attractionum om­nium [Page 176] QM maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major ne (que) multo minor attractione QK. Q.E.D.

Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, Q circa maximum S in planis diversis, & vis LM, agendo secundum lineam PS in plano Orbitae PAB sitam, eundem habebit effectumac prius, ne­ (que) corpus P de plano Orbitae suae deturbabit. At vis altera NM, agendo secundum lineam quae ipsi QS parallela est, (at (que) adeo, quando corpus Q versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitae PAB;) praeter perturbationem motus in longitu­dinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in la­titudinem, trahendo corpus P de plano suae Orbitae. Et haec per­turbatio in dato quovis corporum P & S ad invicem situ, erit ut vis illa generans MN, adeo (que) minima evadet ubi MN est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractio QN non est multo ma­jor ne (que) multo minor attractione QK. Q.E.D.

Corol. 1. Ex his facile colligitur quod si corpora plura mino­ra P, Q, R &c. revolvantur circa maximum S: motus corporis in­timi P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi cor­pus maximum S pariter a caeteris, pro ratione virium acceleratri­cum, attrahitur & agitatur at (que) caeteri a se mutuo.

Carol. 2. In Systemate vero trium corporum S, P, Q; si attrac­tiones acceleratrices binorum quorumcun (que) in tertium sint ad in­vicem reciproce ut quadrata distantiarum, corpus P radio PS are­am circa corpus S velocius describet prope conjunctionem A & op­positionem B, quam prope quadraturas C, D. Nam (que) vis omnis qua corpus P urgetur & corpus S non urgetur, quae (que) non agit secundum lineam PS, accelerat vel retardat descriptionem areae, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Ta­lis est vis NM, Haec in transitu corporis P a C ad A tendit in antecedentia, motum (que) accelerat; dein us (que) ad D in consequentia, & motum retardat; tum in antecedentia us (que) ad B, & ultimo in conseqentia transeundo a B ad C.

Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, caeteris [Page 177] paribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.

Corol. 4. Orbita corporis P caeteris paribus curvior est in qua­draturis quam in Conjunctione & Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et praeterea vis NM, in Conjunctione & Oppositione, contraria est vi qua corpus S trahit corpus P, adeo (que) vim illam minuit; corpus autem P mi­nus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus S.

Corol. 5. Unde corpus P, caeteris paribus, longius recedet a corpore S in quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositio­ne. Haec ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis P excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; inde (que) fieri potest ut corpus P, ad Apsidem summam appellans, absit longius a corpore S in Syzygiis quam in Qua­draturis.

Corol. 6. Quo­niam

[figure]

vis centripeta corporis centralis S, qua corpus P retine­tur in Orbe suo, au­getur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in Syzygiis per abla­tionem vis KL, & ob magnitudinem vis KL, magis diminuitur quam augeatur; est autem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii SP di­recte & ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis KL, adeo (que) tem­pus periodicum, si maneat Orbis radius SP, augeri, id (que) in di­midiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur: aucto (que) adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel di­minui [Page 178] minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Co­rol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim langues­ceret, corpus P minus semper & minus attractum perpetuo rece­deret longius a centro S; & contra, si vis illa augeretur, accede­ret propius. Ergo si actio corporis longinqui Q, qua vis illa di­minuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur Radius SP per vices, & tempus periodicum augebi­tur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis cen­tralis S per incrementum vel decrementum actionis corporis lon­ginqui Q diminuitur vel augetur.

Corol. 7. Ex praemissis consequitur etiam quod Ellipseos a cor­pore P descriptae axis seu Apsidum linea, quoad motum angula­rem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen pro­greditur, & in singulis corporis revolutionibus per excessum pro­gressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpus P urge­tur in corpus S in Quadraturis, ubi vis MN evanuit, componitur ex vi LM & vi centripeta qua corpus S trahit corpus P. Vis pri­or LM, si augeatur distantia PS, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ra­tione, adeo (que) summa harum virium decrescit in minore quam du­plicata ratione distantiae PS, & propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunc­tione vero & Oppositione, vis qua corpus P urgetur in corpus S differentia est inter vim qua corpus S trahit corpus P & vim KL; & differentia illa, propterea quod vis KL augetur quamproxi­me in ratione distantiae PS, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiae PS, adeo (que) per Corol. 1. Prop. XLV. facit Au­gem progredi. In locis inter Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utra (que) conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis KL in Syzygiis sit quasi dupla vis LM in quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim KL, transferet (que) Augem singulis [Page 179] revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus & praeceden­tis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum duorum S, P corporibus pluribus Q, Q, Q &c. in Orbe QE con­sistentibus, unde (que) cingi. Nam (que) horum actionibus actio ipsius S mi­nuetur undi (que) decrescet (que) in ratione plusquam duplicata distantiae.

Corol. 8. Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regres­sus a decremento vis centripetae facto in majori vel minori quam duplicata ratione distantiae SP, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut & a simili incremento in reditu ad Ap­sidem imam; at (que) adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in

[figure]

Apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in Syzygiis suis, per vim ablatitiam KL seu NM−LM, progre­dientur velocius, in (que) Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam LM. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit haec inaequalitas longe maxima.

Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadra­to distantiae suae a centro, revolveretur circa hoc centrum in El­lipsi, & mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novae augeretur in ra­tione plusquam duplicata distantiae diminutae: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novae impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiae diminutae, adeo (que) Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu [Page 180] hujus vis novae, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam pri­orem, adeo (que) si vis decrescat in majori ratione, corpus jam mi­nus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic Orbis Excen­tricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi & de­crementi vis centripetae singulis revolutionibus augeatur, augebi­tur semper Excentricitas, & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat. Jam vero in Systemate corporum S, P, Q, ubi Apsides orbis PAB sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit ubi Apsides sunt in Syzy­giis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsi­des minor est, & prope Syzygias major quam duplicata distanti­arum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel de­crementi totius in progressu inter Apsides, haec minor est quam duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distantiae Apsidis sum­mae ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imae ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam dupli­cata ratione distantiarum. Nam vires LM in quadraturis additae viribus corporis S componunt vires in ratione minore, & vires KL in Syzygiis subductae viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Sy­zygiis: & propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzy­gias perpetuo augetur, auget (que) Excentricitatem Ellipsieos; in (que) transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, & Ex­centricitatem diminuit.

Corol. 10. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fin­gamus planum Orbis QES immobile manere; & ex errorum ex­posita causa manifestum est, quod ex viribus NM, ML, quae sunt [Page 181] causa illa tota, vis ML agendo semper secundum planum Orbis PAB, nunquam perturbat motus in latitudinem, quod (que) vis NM ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadratu­ris eos maxime perturbat, corpus (que) P de plano Orbis sui perpetu­o trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a qua­draturis ad Syzygias, auget (que) vicissim eandem in transitu a Syzy­giis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeat (que) ad priorem magni­tudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter C & A, D & B, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu cor­poris P a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclina­tio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, us (que) ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & pos­tea denuo in transitu per alios 45 gradus, us (que) ad nodum proxi­mum, diminuitur. Magis ita (que) diminuitur inclinatio quam auge­tur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam in praecedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminui [...], ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter A & D, B & C. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium max­ima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fit (que) omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis & corpus in Syzygiis: dein creseit iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodis (que) ad Syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur.

Corol. 11. Quoniam corpus P ubi nodi sunt in quadraturis per­petuo trahitur de plano Orbis sui, id (que) in partem versus Q, in transitu suo a nodo C per Conjunctionem A ad nodum D; & in contrariam partem in transitu a nodo D per Oppositionem B ad nodum C; manifestum est quod in motu suo a nodo C, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo CD, us (que) dum perven­tum est ad nodum proximum; adeo (que) in hoc nodo longissime distans a plano illo primo CD, transit per planum Orbis QES, [Page 182] non in plani illius Nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis Q, quod (que) proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igi­tur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis inter­mediis conditionis utrius (que) participes recedunt tardius, adeo (que) semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus ferun­tur in antecedentia.

Corol. 12. Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione Corporum P, Q quam in eorum Oppositione, id (que) ob majores vires generantes NM & ML.

Corol. 13. Cum (que) rationes horum Corollariorum non pende­ant a magnitudine corporis Q, obtinent praecedentia omnia, ubi corporis Q tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum S & P Systema. Et ex aucto corpore Q, aucta (que) adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis P oriun­tur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus Q circum Systema corporum P & S revolvitur.

Corol. 14 Cum autem vires NM, ML, ubi corpus Q longin­quum est, sint quamproxime ut vis QK & ratio PS ad QS con­junctim, hoc est, si detur tum distantia PS, tum corporis Q vis absoluta, ut QS cub. reciproce; sint autem vires illae NM, ML causae errorum & effectuum omnium de quibus actum est in prae­cedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes, stante corporum S & P Systemate, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolutae corporis Q & ratione triplicata inversa distantiae QS. Unde si Systema corporum S & P revolvatur circa corpus longinquum Q, vires illae NM, ML & earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) recipro­ce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo corporis Q proportionalis sit ipsius vi absolutae, erunt vires illae [Page 183] NM, ML & carum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis Qe corpore S spectati, & vice versa. Nam (que) hae rationes eaedem sunt at (que) ratio superior composita.

Corol. 15. Et quoniam si, manentibus Orbium QE & PAB forma, proportionibus & inclinatione ad invicem, inutetur eorum magnitudo, & si corporum Q & S vel maneant vel mutentur vi­res in data quavis ratione, hae vires (hoc est vis corporis S, qua corpus P de recto tramite in Orbitam PAB deflectere, & vis cor­poris Q, qua corpus idem P de Orbita illa deviare cogitur) agunt semper eodem modo & eadem proportione: necesse est ut simi­les & proportionales sint effectus omnes & proportionalia effec­tuum tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium similium vel angularium aequalium tempora ut Orbium tempora periodica.

Corol. 16. Unde, si dentur Orbium formae & inclinatio ad invicem, & mutentur utcun (que) corporum magnitudines, vires & distantiae; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo. Vires NM, ML caeteris stantibus sunt ut Radius SP, & harum effectus periodici (per Corol. 2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici cor­poris P conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis P; & hinc errores angulares e centro S spectati (id est tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in longitudinem & latitudinem errores ap­parentes) sunt in qualibet revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hae ratio­nes cum rationibus Corollarii 14. & in quolibet corporum S, P, Q Systemate, ubi P circum S sibi propinquum, & S circum Q longinquum revolvitur, errores angulares corporis P, de centro S apparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illius P, ut quadratum temporis periodici corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse. Et inde motus medius [Page 184] Augis erit in data ratione ad motum medium Nodorum; & motus uter (que) erit ut tempus periodicum corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis PAB non mutantur mo­tus Augis & Nodorum sensibilitur, nisi ubi eaedem sunt nimis magnae.

Corol. 17. Cum autem linea LM nunc major sit nunc minor quam radius PS, Exponatur vis mediocris LM per radium illum PS, & erit haec ad vim mediocrem QK vel QN (quam exponere licet per QS) ut longitudo PS ad longitudinem QS. Est autem vis mediocris QN vel QS, qua corpus retinetur in orbe suo circum Q, ad vim qua corpus P retinetur in Or­be suo circum S, in ratione composita ex ratione radii QS ad radium PS, & ratione duplicata temporis periodici corporis P circum S ad tempus periodicum corporis S circum Q. Et ex ae­quo, vis mediocris LM, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S (quave corpus idem P eodem tempore periodico circum punctum quodvis immobile S ad distantiam PS revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia PS, datur vis mediocris LM; & ea data datur etiam vis MN quamproxime per analogiam linearum PS, MN.

Corol. 18. Iisdem legibus quibus corpus P circum corpus S revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem S ad ae­quales ab ipso distantias moveri; deinde ex his contiguis factis con­flari annulum fluidum, rotundum ac corpori S concentricum; & singulae annuli partes, motus suos omnes ad legem corporis P peragendo, propius accedent ad corpus S, & celerius movebun­tur in Conjunctione & Oppositione ipsarum & corporis Q, quam in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano Orbitae corporis Q vel S, quiescent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia, & velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quo (que) inclinatio [Page 185] variabitur, & axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur, com­pleta (que) revolutione ad pristinum situm redibit, nisi quatenus per praecessionem Nodorum circumfertur.

Corol. 19. Fingas jam globum corporis S ex materia non flu­ida constantem ampliari & extendi us (que) ad hunc annulum, & al­veo per circuitum excavato continere Aquam, motu (que) eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies Globi, & sic fluet in alveo refluet (que) ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio Q, nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis cir­ca centrum suum (per Legum Corol. 5) ut & Globi de cursu rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol. 6.) Accedat au­tem corpus Q, & ab ipsius inaequabili attractione mox turbabi­tur Aqua. Etenim major erit attractio aquae propioris, minor ea remotioris. Vis autem LM trahet aquam deorsum in Quadra­turis, faciet (que) ipsam descendere us (que) ad Syzygias; & vis KL trahet eandem sursum in Syzygiis, sistet (que) descensum ejus & faciet ip­sam ascendere us (que) ad Quadraturas.

Corol. 20. Si annulus jam rigeat & minuatur Globus, cessa­bit motus fluendi & refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis motus & praecessio Nodorum manebunt. Habeat Globus eun­dem axem cum annulo, gyros (que) compleat iisdem temporibus, & superficie sua contingat ipsum interius, ei (que) inhaereat; & partici­pando motum ejus, compages utrius (que) Oscillabitur & Nodi regre­dientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas im­pressiones omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in pro­gressu Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam minuere, & isto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum impressum us (que) dum annulus conatu contrario [Page 186] motum hunc tollat, imprimat (que) motum novum in contrariam par­tem: At (que) hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis mo­tus in Syzygiis & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem est ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus aequatoris vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia pau­lo densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiae in aequa­toris regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcun (que) Globi hu­jus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phaenomena hujus & praecedentis Corollarii vix inde mutabuntur.

Corol. 21. Eadem ratione qua materia Globi juxta aequatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, at (que) adeo per hujus in­crementum augetur iste regressus, per diminutionem vero dimi­nuitur & per ablationem tollitur; si materia plusquam redun­dans tollatur, hoc est, si Globus juxta aequatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in consequentia.

Corol. 22. Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit con­stitutio Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter ser­vat & motus fit in antecedentia, materia juxta aequatorem re­dundat; si in consequentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiscere; dein im­petu quocun (que) oblique in superficiem suam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transe­untes indifferenter se habet, ne (que) propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axis (que) inclinationem vi propria nunquam muta­bit. Impellatur jam Globus oblique in eadem illa superficiei parte qua prius, impulsu quocun (que) novo; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duo impul­sus [Page 187] successive impressi eundem producent motum ac si simul im­pressi fuissent, hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utro­ (que) (per Legum Corol. 2.) composita impulsus fuisset, at (que) adeo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio im­pulsus secundi facti in locum alium quemvis in aequatore motus primi; ut & impulsus primi facti in locum quemvis in aequatore motus, quem impulsus secundus abs (que) primo generaret; at (que) a­deo impulsuum amborum factorum in loca quaecun (que): Genera­bunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in locum intersectionis aequatorum motuum illorum, quos seorsim genera­rent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu simplici & uniformi circa axem unicum inclinatione semper inva­riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rota­tionis velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocun (que) per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo hemisphaeria, urgebit semper vis illa u­trum (que) hemiphaerium aequaliter, & propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero a­licubi inter polum & aequatorem materia nova in formam mon­tis cumulata, & haec, perpetuo conatu recedendi a centro sui mo­tus, turbabit motum Globi, faciet (que) polos ejus errare per ipsius superficiem, & circulos circum se punctum (que) sibi oppositum per­petuo describere. Ne (que) corrigetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Casu, per Corol. 21, Nodi aequatoris progredientur; vel in aequatore, qua ratione, per Corol. 20, Nodi regredientur; vel deni (que) ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: & hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, per­inde ut mons & haecce nova materia sunt vel polo vel aequatori propiores.

Prop. LXVII. Theor. XXVII.

‘Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q, circa interiorum P, S commune Gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis ma­gis accedentem, quam circa corpus intimum & maximum S, radi­is ad ipsum ductis, describere potest.’

Nam corporis Q attractiones versus S & P componunt ipsius attractionem absolutam, quae magis dirigitur in corporum S & P commune gravitatis centrum C, quam in corpus maximum S, quae­ (que) quadrato distantiae QC magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiae QS: ut rem perpendenti facile con­stabit.

Prop. LXVIII. Theor. XXVIII.

‘Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q cir­ca interiorum P & S commune gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportio­nales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum & maximum his attractionibus perinde at (que) caetera agitetur, quam si id vel non at­tractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.’

Demonstratur eodem fere modo cum Prop. LXVI, sed argu­mento prolixiore, quod ideo praetereo. Suffecerit rem sic aesti­mare. Ex demonstratione Propositionis novissimae liquet cen­trum in quod corpus Q conjunctis viribus urgetur, proximum es­se communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quisceret commune centrum gravitatis corporum trium; describerent corpus Q ex u­na [Page 189] parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera par­te, circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses accuratas. Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII. col­latum cum demonstratis in Prop. LXIV. & LXV. Perturbatur iste motus Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod tertium Q attrahitur. Detur praeterea motus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proinde mi­nima est perturbatio, ubi commune trium centrum quiescit, hoc est ubi corpus intimum & maximum S lege caeterorum attrahi­tur: sit (que) major semper ubi trium commune illud centrum, mi­nuendo motum corporis S, moveri incipit & magis deinceps ma­gis (que) agitatur.

Corol. Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa max­imum, colligere licet

[figure]

quod Orbitae de­scriptae propius ac­cedent ad Ellipticas, & arearum descrip­tiones fient magis ae­quabiles, si corpo­ra omnia viribus ac­celeratricibus, quae sunt ut eorum vires absolutae directa & quadrata distantiarum inverse, se mutuo trahent agitent (que), & Orbitae cujus (que) umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium inte­riorum (nimirum umbilicus Orbitae primae & intimae in centro gravitatis corporis maximi & intimi; ille Orbitae secundae, in communi centro gravitatis corporum duorum intimorum; iste tertiae, in communi centro gravitatis trium interiorum & sic dein­ceps) quam si corpus intimum quiescat & statuatur communis umbilicus orbitarum Omnium.

Prop. LXIX. Theor. XXIX.

‘In Systemate corporum plurium A, B, C, D &c. si corpus aliquod A trahit caetera omnia B, C, D &c. viribus acceleratricibus quae sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus ali­ud B trahit etiam caetera A, C, D &c. viribus quae sunt recipro­ce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutae corporum trahentium A, B vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora A, B, quo­rum sunt vires.’

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, D versus A, paribus distantiis, sibi invicem aequantur ex hypothesi, & similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus B, paribus distantiis, sibi invicem aequantur. Est autem absolu­ta vis attractiva corporis A ad vim absolutam attractivam corporis B, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus A ad attrac­tionem acceleratricem corporum omnium versus B, paribus distan­tiis; & ita est attractio acceleratrix corporis B versus A, ad attrac­tionem acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acce­leratrix corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A versus B, ut massa corporis A ad massam corporis B; propterea quod vires motrices, quae (per Definitionem secun­dam, septimam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpo­ra attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi invicem aequales. Ergo absoluta vis attractiva corporis A est ad absolutam vim attractivam corporis B, ut massa corporis A ad massam corporis B.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si singula Systematis corpora A, B, C, D, &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus quae sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires absolutae ad invicem ut sunt ip­sa corpora.

[Page 191] Corol. 2. Eodem argumento, si singula Systematis corpora A, B, C, D &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus ac­celeratricibus quae sunt vel reciproce vel directe in ratione dig­nitatis cujuscun (que) distantiarum a trahente, quaeve secundum le­gem quamcun (que) communem ex distantiis ab unoquo (que) trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolutae sunt ut corpora.

Corol. 3. In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in El­lipsibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest accuratissimis revolvantur, & radiis ad maxi­mum illud ductis describant areas temporibus quam maxime pro­portionales: erunt corporum illorum vires absolutae ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII. collatum cum hujus Corol, 1.

Scholium.

His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen­tripetas & corpora centralia, ad quae vires illae dirigi solent. Ra­tioni enim consentaneum est, ut vires quae ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut sit in Magneti­cis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, aestimandae erunt cor­porum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires pro­prias, & colligendo summas virium. Vocem attractionis hic ge­neraliter usurpo pro corporum conatu quocun (que) accedendi ad invicem, sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione Aetheris aut Aeris mediive cujuscun (que) seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcun (que) impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & propor­tiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens: ut in Defi­nitionibus [Page 192] explicui. In Mathesi investigandae sunt virium quan­titates & rationes illae, quae ex conditionibus quibuscun (que) po­sitis consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, con­ferendae sunt hae rationes cum Phaenomenis, ut innotescat quae­nam virium conditiones singulis corporum attractivorum gene­ribus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis & rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur qui­bus viribus corpora Sphaerica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, & quales mo­tus inde consequantur.

SECT. XII. De Corporum Sphaericorum Viribus attractivis.

Prop. LXX. Theor. XXX.

‘Si ad Sphaericae superficiei puncta singula tendant vires aequales cen­tripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.’

Sit HIKL superficies illa Sphaerica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineae duae HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangu­la HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi e­runt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphaericae par­ticulae quaevis, ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undi (que) terminatae, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires [Page 193] harum particularum in corpus P exercitae sunt inter se aequales. Sunt enim ut particulae directe & quadrata distantiarum inverse. Et hae duae rationes componunt ra­tionem

[figure]

aequalitatis. Attractiones igitur in contrarias partes aequaliter factae se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphaericam superficiem a contrariis attractionibus destruun­tur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impelli­tur. Q.E.D.

Prop. LXXI. Theor. XXXI.

‘Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphaericam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphaerae, vi reciproce proportiona­li quadrato distantiae suae ab eodem centro.’

Sint AHKB, ahkb aequales duae superficies Sphaericae, centris S, s, diametris AB, ab descriptae, & P, p corpuscula sita extrin­secus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineae

[figure]

PHK, PIL, phk, pil, auferentes a circulis maximis AHB, ahb, aequales arcus quam minimos HK, hk & HL, hl: Et ad eas demittantur perpendicula SD, sd; SE, se; IR, ir; quorum [Page 194] SD, sd secent PL, pl in F & f. Demittantur etiam ad dia­metros perpendicula IQ, iq; & ob aequales DS & ds, ES & es, & angulos evanescentes DPE & dpe, lineae PE, PF & pe, pf & lineolae DF, df pro aequalibus habeantur: quippe qua­rum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe simul evanescentibus, est aequalitatis. His ita (que) constitutis, erit PI ad PF ut RI ad DF, & pf ad pi ut DF vel df ad ri; & ex aequo PI×pf ad PF×pi ut RI ad ri, hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut ar­cus IH ad arcum ih. Rursus PI ad PS ut IQ ad SE, & ps ad pi ut SE vel se ad iq; & ex aequo PI×ps ad PS×pi ut IQ ad iq. Et conjunctis rationibus PI quad.×pf×ps ad pi quad.×PF

[figure]

×PS, ut IH×IQ ad ih×iq; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus IH convolutione semicirculi AKB circa diametrum AB describet, ad superficiem circularem, quam arcus ih convolu­tione semicirculi akb circa diametrum ab describet. Et vires, qui­bus hae superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt cor­puscula P & p, sunt (per Hypothesin) ut ipsae superficies appli­catae ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut pf×ps ad PF×PS. Sunt (que) hae vires ad ipsarum partes obliquas quae (facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineas PS, ps ad centra tendunt, ut PI ad PQ, & pi ad pq; id est (ob similia triangula PIQ & PSF, piq & psf) ut PS ad PF & ps ad pf. Unde ex aequo fit attractio corpusculi hujus P versus S ad attractionem corpusculi p versus s, ut PF×pf×ps / PS ad [Page 195] pf×PF×PS / ps, hoc est ut ps quad. ad PS quad. Et simili argu­mento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl de­scriptae trahunt corpuscula, erunt ut ps quad. ad PS quad.; in­ (que) eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utra (que) superficies Sphaerica, capiendo semper sd=SD & se=SE, distingui potest. Et per Compositionem, vires tota­rum superficierum Sphaericarum in corpuscula exercitae erunt in eadem ratione. Q.E.D.

Prop. LXXII. Theor. XXXII.

‘Si ad Sphaerae cujusvis puncta singula tendant vires aequales centripe­tae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac de­tur ratio diametri Sphaerae ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi­diametro Sphaerae.’

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphaeris duabus attra­hi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphaeras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpus­cula. Hinc attractiones corpusculi unius, factae versus singulas par­ticulas Sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analo­gas totidem particulas Sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum in­verse. Sed particulae sunt ut Sphaerae, hoc est in ratione tripli­cata diametrorum, & distantiae sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpuscula in circulis circa Sphaeras ex mate­ria aequaliter attractiva constantes revolvantur, sint (que) distantiae a centris Sphaerarum proportionales earundem diametris; tem­pora periodica erunt aequalia.

[Page 196] Corol. 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt aequalia; distantiae erunt proportionales diametris. Constant haec duo per Corol. 3. Theor. IV.

Prop. LXXIII. Theor. XXXIII.

‘Si ad sphaerae alicujus datae puncta singula tendant aequales vires cen­tripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: di­co quod corpusculum intra Sphaeram constitutum attrahitur vi pro­portionali distantiae suae ab ipsius centro.’

In Sphaera ABCD, centro S descripta, locetur corpusculum P, & centro eodem S intervallo SP concipe Sphaeram interiorem PEQF describi. Manifestum est, per

[figure]

Theor. XXX. quod Sphaericae superfi­cies concentricae, ex quibus Sphaerarum differentia AEBF componitur, attrac­tionibus per attractiones contrarias de­structis, nil agunt in corpus P. Restat sola attractio Sphaerae interioris PEQF. Et per Theor. XXXII. haec est ut di­stantia PS.Q.E.D.

Scholium.

Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicae, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sphaera ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur & crassitudo minu­itur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis genera­libus expositam. Similiter per puncta, ex quibus lineae, superfici­es & solida componi dicuntur, intelligendae sunt particulae aequa­les magnitudinis contemnendae.

Prop. LXXIV. Theor. XXXIV.

‘Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphaeram constitutum at­trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius centro.’

Nam distinguatur Sphaera in superficies Sphaericas innumeras concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus o­riundae erunt reciproce proportionales quadrato distantiae corpus­culi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphaerae totius, in eadem ratione. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in aequalibus distantiis a centris homogenearum Sphaerarum, attractiones sunt ut Sphaerae. Nam per Theor. XXXII. si distantiae sunt proportionales diametris Sphaerarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratio­ne, & distantiis jam factis aequalibus, augebitur attractio in dupli­cata illa ratione, adeo (que) erit ad attractionem alteram in triplica­ta illa ratione, hoc est in ratione Sphaerarum.

Corol. 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sphaerae applicatae ad quadrata distantiarum.

Corol. 3. Si corpusculum extra Sphaeram homogeneam posi­tum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius centro, constet autem Sphaera ex particulis attractivis; de­crescet vis particulae cujus (que) in duplicata ratione distantiae a par­ticula.

Prop. LXXV. Theor. XXXV.

‘Si ad Sphaerae datae puncta singula tendant vires aequales centripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphaera quaevis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae centrorum.’

Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiae ejus a centro Sphaerae trahentis, (per Theor. XXXI,) & [Page 198] propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpus­culo unico sito in centro hujus Sphaerae. Haec autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphaerae attractae particulis eadem vi trahe­retur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor XXXIV) reciproce proportionalis quadrato di­stantiae ejus a centro Sphaerae; adeo (que) huic aequalis attractio Sphae­rae est in eadem ratione. Q.E.D.

Corol. 1. Attractiones Sphaerarum, versus alias Sphaeras homo­geneas, sunt ut Sphaerae trahentes applicatae ad quadrata dis­tantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.

Corol. 2. Idem valet ubi Sphaera attracta etiam attrahit. Nam­ (que) hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeo (que) cum in omni attractione urgea­tur (per Legem 3.) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuae, conservatis pro­portionibus.

Corol. 3. Eadem omnia, quae superius de motu corporum cir­ca umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphaera attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphaeram.

Corol. 4. Ea vero quae de motu corporum circa centrum Co­nicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peragun­tur intra Sphaeram.

Prop. LXXVI. Theor. XXXVI.

‘Si Sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiae densitatem & vim attractivam) utcun (que) dissimilares, in progres­su vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt un­di (que) similares, & vis attractiva puncti cujus (que) decrescit in dupli­cata ratione distantiae corporis attracti: dico quod vis tota qua hu­jusmodi Sphaera una attrahit aliam sit reciproce proportionalis qua­drato distantiae centrorum.’

[Page 199]Sunto Sphaerae quotcun (que) concentricae similares AB, CD, EF &c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subductae relinquant tenuiorem; & hae, per Theor. XXXV, trahent Sphaeras alias quotcun (que) con­centricas similares GH, IK, LM, &c. singulae singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distantiae SP. Et compo­nendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel ex­cessus aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sphaera tota ex con­centricis quibuscun (que) vel concentricarum differentiis composita AB, trahit totam ex concentricis quibuscun (que) vel concentrica­rum differen­tiis

[figure]

composi­tam GH, erit in eadem ra­tione. Auge­atur numerus Sphaerarum concentrica­rum in infini­tum sic, ut materiae densitas una cum vi attractiva, in progressu a circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcun (que) cres­cat vel decrescat: & addita materia non attractiva compleatur u­bivis densitas deficiens, eo ut Sphaerae acquirant formam quamvis optatam; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum superius) in eadem illa distantiae quadratae ra­tione inversa. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si ejusmodi Sphaerae complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices sin­gularum in singulas erunt in aequalibus quibusvis centrorum dis­tantiis ut Sphaerae attrahentes.

Corol. 2. In (que) distantiis quibusvis inaequalibus, ut Sphaerae attra­hentes applicatae ad quadrata distantiarum inter centra.

[Page 200] Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera Sphaerarum in Sphaeras erunt, in aequalibus centrorum distantiis, ut Sphaerae at­trahentes & attractae conjunctim, id est, ut contenta sub Sphaeris per multiplicationem producta.

Corol. 4. In (que) distantiis inaequalibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol. 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphaerae utrius (que) virtute attractiva, mutuo exercita in Sphaeram alteram. Nam vi­ribus ambabus geminatur attractio, proportione servata.

Corol. 6. Si hujusmodi Sphaerae aliquae circa alias quiescentes revolvantur, singulae circa singulas, sint (que) distantiae inter centra revolventium & quiescentium proportionales quiescentium dia­metris; aequalia erunt tempora periodica.

Corol. 7. Et vicissim, si tempora periodica sunt aequalia, dis­tantiae erunt proportionales diametris.

Corol. 8. Eadem omnia, quae superius de motu corporum cir­ca umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphaera attrahens, formae & conditionis cujusvis jam descrip­tae, locatur in umbilico.

Corol. 9. Ut & ubi gyrantia sunt etiam Sphaerae attrahentes, conditionis cujusvis jam descriptae.

Prop. LXXVII. Theor. XXXVII.

‘Si ad singula Sphaerarum puncta tendant vires centripetae proportiona­les distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphaerae duae se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphaerarum.’

Cas 1. Sit ABCD Sphaera, S centrum ejus, P corpusculum attractum, PASB axis Sphaerae per centrum corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus Sphaera secatur, huic axi perpendicula­ria, & hinc inde aequaliter distantia a centro Sphaerae; Gg inter­sectiones planorum & axis, & H punctum quodvis in plano EF. [Page 201] Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secun­cundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igi­tur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut planum il­lud ductum in distantiam suam Pg; sive ut huic aequale planum EF ductum in distantiam illam Pg; & summa virium plani utri­us (que) ut planum EF ductum in

[figure]

summam distantiarum PG+Pg, id est, ut planum illud ductum in duplam centri & corpusculi distantiam PS, hoc est, ut duplum planum EF ductum in distantiam PS, vel ut summa aequalium planorum EF+ef ducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sphae­ra tota, hinc inde aequaliter a centro Sphaerae distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam PS, hoc est, ut Sphaera to­ta ducta in distantiam centri sui Sa corpusculo P.Q.E.D.

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphaeram ACBD. Et codem argumento probabitur quod vis, qua Sphaera illa trahitur, erit ut distantia PS.Q.E.D.

Cas 3. Componatur jam Sphaera altera ex corpusculis innu­meris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquod (que) trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphaerae primae ducta in Sphae­ram eandem, at (que) adeo eadem est ac si prodiret tota de corpus­culo unico in centro Sphaerae; vis tota qua corpuscula omnia in Sphaera secunda trahuntur, hoc est, qua Sphaera illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphaera illa traheretur vi prodeunte de corpus­culo [Page 202] unico in centro Sphaerae primae, & propterea proportionalis est distantiae inter centra Sphaerarum. Q.E.D.

Cas. 4. Trahant Sphaerae se mutuo, & vis geminata propor­tionem priorem servabit. Q.E.D.

Cas, 5. Locetur jam corpusculum p intra Sphaeram ACBD, & quoniam vis plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; & vis contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex utra (que) composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa aequalium planorum ducta in. semissem differentiae distantiarum, id est, ut summa illa ducta in pS, distantiam

[figure]

corpusculi a centro Sphaerae. Et simili argumento attractio planorum omnium EF, ef in Sphaera tota, hoc est attractio Sphaerae totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphae­ra tota, ducta in pS distantiam corpusculi a centro Sphaerae. Q.E.D.

Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphae­ra nova intra Sphaeram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sphaerae unius in alteram, si­ve mutua utrius (que) in se invicem, erit ut distantia centrorum pS.Q.E.D.

Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII.

‘Si Sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam sint utcun (que) dis­similares & inaequabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undi (que) similares; & vis attractiva puncti cujus (que) sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphaerae duae se mutuo trahunt sit proportionalis di­stantiae inter centra Sphaerarum.’

[Page 203]Demonstratur ex Propositione praecedente, eodem modo quo Propositio LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.

Corol. Quae superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphaericorum, conditionis jam descriptae, sunt (que) corpora attracta Sphaerae con­ditionis ejusdem.

Scholium.

Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; ni­mirum ubi vires centripetae decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utro (que) Casu ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphaericorum vires centripetas eadem le­ge in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones mi­nus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Ma­lim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.

Lemma XXIX.

‘Si describantur centro S circulus quilibet AEB, (Vide Fig. Prop. sequentis) & centro P circuli duo EF, ef, secantes priorem in E, e, lineam (que) PS in F, f; & ad PS demittantur perpendicula ED, ed: dico quod si distantia arcuum EF, ef in infinitum mi­nui intelligatur, ratio ultima lineae evanescentis Dd ad lineam evanescentem Ff ea sit, quae lineae PE ad lineam PS.’

Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quae cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectae PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee ut DT ad ET seu DE ad [Page 204] ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex aequo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS.Q.E.D.

Prop. LXXIX. Theor. XXXIX.

‘Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens EFfe, convolutione sui circa axem PS, describat solidum Sphae­ricum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas aequales ten­dant aequales vires centripetae: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi DEq.×Ff & ratione vis qua particula data in loco Ff traheret idem corpusculum.’

Nam si primo consideremus vim superficiei Sphaericae FE, quae convolutione arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superfi­ciei

[figure]

pars an­nularis, con­volutione arcus rE genita, ut li­neola Dd, manente Sphaerae ra­dio PE, (u­ti demon­stravit Ar­chimedes in Lib. de Sphaera & Cylindro.) Et hujus vis secundum lineas PE vel Pr undi (que) in superficie conica sitas exercita, ut haec ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola Dd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphaerae radio PE & lineola illa Dd: at secundum lineam PS ad centrum S tenden­tem [Page 205] minor, in ratione PD ad PE, adeo (que) ut PD×Dd. Di­vidi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem aequales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD×Dd, hoc est, cum lineolae omnes Dd sibi invicem aequentur, adeo (que) pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut ½ PFq.−½ PDq. sive ½ PEq.−½ PDq. vel ½ DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data ½ Dd, ut DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis ex­ercita in corpusculum P ut DEq.×Ff: puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq.×Ff & vis illa non data conjunctim. Q.E.D.

Prop. LXXX. Theor. XL.

‘Si ad Sphaerae alicujus AEB, centro S descriptae, particulas singulas ae­quales tendant aequales vires centripetae, & ad Sphaerae axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctis singulis D perpendicula DE, Sphaerae occurentia in E, & in ipsis capiantur longitudines DN, quae sint ut quantitas DEq.×PS / PE & vis quam Sphaerae particula sita in axe ad distantiam PE exercet in cor­pusculum P conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphaeram, est ut area comprehensa sub axe Sphaerae AB & linea curva ANB, quam punctum N perpetuo tangit.’

Etenim stantibus quae in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphaerae AB dividi in particulas innumeras aequales Dd, & Sphaeram totam dividi in totidem laminas Sphaericas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpen­diculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq.×Ff & vis particulae unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lem­ma [Page 206] novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff aequalis PS×Dd / PE; & DEq.×Ff aequale Dd in DEq.×PS / PE, & propte­rea vis laminae EFfe est ut Dd in DEq.×PS / PE & vis particulae ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN×Dd, seu area evanescens DNnd. Sunt igitur lamina­rum omnium vires in corpus P exercitae, ut areae omnes DNnd, hoc est Sphaerae vis tota ut area tota ABNA.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq.×PS / PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphaera attrahitur, ut area ABNA.

Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distan­tia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq.×PS / PEq.: erit vis qua corpusculum P a Sphaera tota attrahitur ut area ABNA.

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiae corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq.×PS / PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphaera attrahitur ut area ABNA.

Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat au­tem DN ut DEq.×PS / PE×V; erit vis qua corpusculum a Sphaera to­ta attahitur ut area ABNA.

Prop. LXXXI. Prob. XLI.

‘Stantibus jam positis, mensuranda est area ABNA.’

A puncto P. ducatur recta PH Sphaeram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit [Page 207] (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. aequale PSq.+SEq.+ 2 PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangu­lorum SPH, SHI) aequale rectangulo PSI. Ergo PEq. aequale est contento

[figure]

sub PS & PS+SI+ 2 SD, hoc est, sub PS & 2 LS+ 2SD, id est, sub PS & 2 LD. Por­ro DE quad aequale est SEq.−SDq. seu SEq.−LSq.+2 SLD−LDq. id est, SLD−LDq.−ALB. Na [...] LSq.−SEq. seu LSq.−SAq. (per Prop. 6. Lib. 2. Elem) aequatur rectangulo ALB. Scribatur ita (que) 2SLD−LDq.−ALB pro DEq. & quantitas DEq.×PS / PE×V, quae secundum Corollarium quartum Propositionis praecedentis est ut longitudo ordinatim applicatae DN, resolvet sese in tres partes 2SLD×PS / PE×V−LDq.×PS / PE×V−ALB×PS / PE×V: ubi si pro V scribatur ratio in­versa vis centripetae, & pro PE medium proportionale in­ter PS & 2 LD; tres illae partes evadent ordinatim applicatae linearum totidem curvarum, quarum areae per Methodos vulgatas innotescunt. Q.E.F.

Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2 PS×LD pro PEq., & fiet DN ut SL−½ LD−ALB/2LD [Page 208] Pone DN aequalem duplo ejus 2 SL−LD−ALB / LD: & ordinatae pars data 2 SL ducta in longitudinem AB describet aream rect­angulam 2 SL×AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel descrescendo aequetur semper longitu­dini LD, describet aream LBq.−LAq./2, id est, aream SL×AB; quae subducta de area priore 2 SL×AB relinquit aream SL×AB. Pars autem tertia ALB / LD ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperboli­cam; quae subducta de area SL×AB relinquet aream quaesitam ABNA. Unde talis emergit Proble­matis

[figure]

constructio. Ad puncta, L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb, quo­rum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA aeque­tur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba a­reae quaesitae ABNA aequalem.

Exempl. 2. Si vis centripeta ad sin­gulas Sphaerae particulas tendens sit re­ciproce ut cubus distantiae, vel (quod perinde est) ut cubus il­le applicatus ad planum quodvis datum; scribe PE cub./2 ASq. pro V, dein 2 PS×LD pro Pq.; & fiet DN ut SL×ASq./PS×LD−ASq./2PS−ALB×ASq./2 PS×LDq. id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut LSI / LD−½ SI−ALB×SI/2 LDq.. Si ducantur hujus partes [Page 209] tres in longitudinem AB, prima LSI / LD generabit aream Hyperbo­licam; secunda ½ SI aream ½ AB×SI; tertia ALB×SI/2 LDq. aream ALB×SI/2 LA−ALB×SI/2 LB, id est ½ AB×SI. De prima subduca­tur summa secundae ac tertiae, &

[figure]

manebit area quaesita ABNA. Un­de talis emergit Problematis con­structio. Ad puncta L, A, S, B e­rige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI aequetur, per (que) punctum s Asymptotis Ll, LB de­scribatur Hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2 ASI subductum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quaesitam ABNA.

Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphaerae particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiae a particulis, scribe PE4/2AS3 pro V, dein √2PS×LD pro PE, & fiet DN ut SL×SI½ / √2×LD3/2−SI3/2/2 √2×LD½−ALB×SI½ / 2 √2×LD½. Cujus tres par­tes ductae in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz. √2×SL×SI 3/2/LA½−√2×SL×SI 3/2/LB½, LB ½×SI 3/2−LA½×SI½ / √2 & ALB×SI32/3 √2×LA3/2−ALB×SI3/2/3 √2×LB3/2. Et hae post debitam reductio­nem, subductis posterioribus de priori, evadunt 8 SI cub./3 LI. Igi­tur vis tota, qua corpusculum P in Sphaerae centrum trahitur, est ut SI cub./PI, id est reciproce ut PS cub.×PI.Q.E.I.

[Page 210]Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphaeram, sed expeditius per Theorema sequens.

Prop. LXXXII. Theor. XLI.

‘In Sphaera centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphaeram in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphaeram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in lo­cis illis P & I, ad centrum tendentium.’

Ut si vires centripetae particularum Sphaerae sint reciproce ut distantiae corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphaera tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratio­ne composita

[figure]

ex dimidiata ratione dist­antiae SI ad distantiam SP & ratio­ne dimidiata vis centripe­tae in loco I, a particula a­liqua in cen­tro oriundae, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula ori­undam, id est, ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hae duae rationes dimidiatae componunt rationem ae­qualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphaera tota fac­tae aequantur. Simili computo, si vires particularum Sphaerae sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod at­tractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphaerae [Page 211] semidiametrum SA: Si vires illae sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PS cub.×PI, attractio in I erit reciproce ut SA cub.×PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut DEq.×PS / PE×V. Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mu­tatis mutandis, evadet ut DEq.×IS / IE×V. Pone vires centripetas, e Sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEn ad IEn, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatae illae fient ut DEq.×PS / PE×PEn & DEq.×IS / IE×IEn, quarum ratio ad invicem est ut PS×IE×IEn ad IS×PE×PEn. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS×IEn ad SA×PEn. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEn ad PEn dimidiata est ratio virium in distanti­is PS, IS. Ergo ordinatae, & propterea areae quas ordinatae describunt, his (que) proportionales attractiones, sunt in ratione com­posita ex dimidiatis illis rationibus. Q.E.D.

Prop. LXXXIII. Prob. XLII.

‘Invenire vim qua corpusculum in centro Sphaerae locatum ad ejus segmentum quodcun (que) attrahitur.’

Sit P corpus in centro Sphaerae, & RBSD segmentum ejus plano RDS & superficie Sphaerica RBS contentum. Superficie Sphaerica EFG centro P descripta

[figure]

secetur DB in F, ac distinguatur segmentum in partes BREFGS, FEDG. Sit autem superficies illa non pure Mathematica, sed Phy­sica, profunditatem habens quam minimam. Nominetur ista pro­funditas O, & erit haec superficies (per demonstata Archimedis) ut PF×DF×O. Ponamus praeterea vires attractivas particularum Sphae­rae esse reciproce ut distantiarum dig­nitas illa cujus Index est n; & vis qua superficies FE trahit corpus P erit ut DF×O / PFn−1. Huic pro­portionale sit perpendiculum FN ductum in O; & area curvili­nea BDLIB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD trahit corpus P.Q.E.I.

Prop. LXXXIV. Prob. XLIII.

‘Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphaerae in axe segmen­ti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.’

A segmento EBK trahatur corpus P (Vide Fig. Prop. 79.80.81.) in ejus axe ADB locatum. Centro P intervallo PE [Page 213] describatur superficies Sphaerica EFK, qua distinguatur segmen­tum in partes duas EBKF & EFKD. Quaeratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop. LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD.Q.E.I.

Scholium.

Explicatis attractionibus corporum Sphaericorum, jam perge­re liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particu­lis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particula­tim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositio­nes quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, de (que) motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqua­lem usum, subjungere.

SECT. XIII. De Corporum etiam non Sphaericorum viribus attractivis.

Prop. LXXXV. Theor. XLII.

‘Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ra­tione plusquam duplicata distantiarum a particulis.’

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sphaericum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distantiae at­tracti [Page 214] corporis a centro Sphaerae, haud sensibiliter augebitur ex contactu; at (que) adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igi­tur Propositio de Sphaeris attractivis. Et par est ratio Orbium Sphaericorum concavorum corpora externa trahentium. Et mul­to magis res constat in Orbibus corpora interius constituta tra­hentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab at­tractionibus contrariis (per Prop. LXX.) tollantur, ideo (que) vel in ipso contactu nullae sunt. Quod si Sphaeris hisce Orbibus (que) Sphaericis partes quaelibet a loco contactus remotae auferantur, & partes novae ubivis addantur: mutari possunt figurae horum cor­porum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additae vel subductae, cum sint a loco contactus remotae, augebunt notabi­liter attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igi­tur Propositio de corporibus figurarum omnium. Q.E.D.

Prop. LXXXVI. Theor. XLIII.

‘Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam tri­plicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior e­rit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.’

Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphaeram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam. I­dem, per Exempla illa & Theorema XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-con­vexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphaeris & Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet at­tractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis as­signatam, constabit Propositio de corporibus universis. Q.E.D.

Prop. LXXXVII. Theor. XLIV.

‘Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia aequaliter attracti­va constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales & in totis similiter posi­tas.’

Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis pro­portionales & in totis similiter sitae; erit, ut attractio in particu­lam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam cor­respondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas sin­gulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in totum pri­mum corpus ad attractionem in totum secundum. Q.E.D.

Corol. 1. Ergo si vires attractivae particularum, augendo distan­tias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & distantiarum dignitates illae inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distanti­arum a corpusculis attractis, corpora autem sint ut A cub. & B cub. adeo (que) tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attracto­rum distantiae a corporibus, ut A & B: attractiones acceleratri­ces in corpora erunt ut A cub./A quad. & B cub./B quad. id est, ut corporum la­tera illa cubica A & B. Si vires particularum decrescant in ra­tione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut A cub./A cub. & B cub./B cub. id est a­quales. Si vires decrescunt in ratione quadruplicata, attractio­nes in corpora erunt ut A cub./Aqq. & B cub./Bqq. id est reciproce ut latera cubica A & B. Et sic in caeteris.

[Page 216] Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia tra­hunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decre­menti virium particularum attractivarum in recessu corpusculi at­tracti; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ra­tione aliqua distantiarum.

Prop. LXXXVIII. Theor. XLV.

‘Si particularum aequalium corporis cujuscun (que) vires attractivae sint ut distantiae locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consi­mili & aequali constantis & centrum habentis in ejus centro gra­vitatis.’

Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus quae, si particulae aequantur inter se, sint ut distantiae AZ, BZ; sin particulae statu­antur

[figure]

inaequales, sint ut hae particulae in distantias suas AZ, BZ respective ductae. Et ex­ponantur hae vires per contenta illa A×AZ & B×BZ. Jun­gatur AB, & secetur ea in G ut sit AG ad BG ut particula B ad particulam A; & erit G commu­ne centrum gravitatis particula­rum A & B. Vis A×AZ per Legum Corol. 2. resolvitur in vires A×GZ & A×AG, & vis B×BZ in vires B×GZ & B×BG. Vires autem A×AG & B×BG, ob proportionales A ad B & BG ad AG, aequantur, adeo (que), cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo destruunt. Restant vires A×GZ & B×GZ. Tendunt hae ab Z versus centrum G, & vim A+B×GZ componunt; hoc est, vim eandem ac si particulae attractivae A & B consisterent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes.

[Page 217]Eodem argumento si adjungatur particula tertia C; & com­ponatur hujus vis cum vi A+B×GZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi il­lius G & particulae C; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit ac si globus & parti­cula C consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscun (que) RSTV ac si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q.E.D.

Corol. Hinc motus corporis attracti Z idem erit ac si corpus attrahens RSTV esset Sphaericum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attra­hentis centro gravitatis.

Prop. LXXXIX. Theor. XLVI.

‘Si corpora sint plura ex particulis aequalibus constantia, quarum vi­res sunt ut distantiae locorum a singulis; vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcun (que) trahitur, tendet ad trahen­tium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in globum for­marentur.’

Demonstratur eodem modo, at (que) Propositio superior.

Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideo (que) si corporum trahentium commune gravi­tatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.

Prop. XC. Prob. XLIV.

‘Si ad singula circuli cujuscun (que) puncta tendant vires centripetae de­crescentes in quacun (que) distantiarum ratione: invenire vim qua cor­pusculum attrahitur ubivis in recta quae ad planum circuli per cen­trum ejus perpendicularis consistit.’

Centro A intervallo quovis AD, in plano cui recta AP per­pendicularis est, describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvis P in eundem attrahitur. A circuli punc­to quovis E ad corpus attractum P agatur recta PE: In recta PA capiatur PF ipsi PE aequalis,

[figure]

& erigatur Normalis FK, quae sit ut vis qua punctum E trahit cor­pusculum P. Sit (que) IKL curva linea quam punctum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in L. In PA capiatur PH aequalis PD, & erigatur perpen­diculum HI curvae praedictae oc­currens in I; & erit corpusculi P attractio in circulum ut area AH­IL ducta in altitudinem AP. Q.E.I.

Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur Pf ipsi Pe aequalis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus P versus A est ut AP×FK / PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus & AP×FK / PE conjunctim; annulus autem iste est ut rect­angulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob proportionales PE & AE, Ee & cE) aequatur rectangulo PE [Page 219] ×cE seu PE×Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE×Ff & AP×FK / PE conjunctim, id est, ut conten­tum Ff×AP×FK, sive ut area FKkf ducta in AP. Et prop­terea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut area tota AHIKL ducta in AP. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vires punctorum descrescunt in duplicata di­stantiarum ratione, hoc est, si sit FK ut 1/Pf quad., at (que) adeo a­rea AHIKL ut 1/PA=1/PH; erit attractio corpusculi P in circu­lum ut 1−PA / PH, id est, ut AH / PH.

Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint reciproce ut distantiarum dignitas quaelibet Dn, hoc est, si sit FK ut 1/Dn, adeo (que) area AHIKL ut 1/PAn−1=1/PHn−1; e­rit attractio corpusculi P in circulum ut 1/PAn−1−PA / PHn−1.

Corol. 3. Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & nu­merus n sit unitate major; attractio corpusculi P in planum to­tum infinitum erit reciproce ut PAn−2, propterea quod termi­nus alter PA / PHn−1 evanescet.

Prop. XCI. Prob. XLV.

‘Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta sin­gula tendunt vires centripetae in quacun (que) distantiarum ratione de­crescentes.’

[Page 220]In solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe AB. Circulo quolibet RFS ad hunc axem perpendicula­ri secetur hoc solidum, & in ejus diametro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per Prop. XC.) lon­gitudo FK vi qua corpusculum P in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem

[figure]

punctum K curvam lineam LKI, planis extimorum circu­lorum AL & BI occurren­tem in A & B; & erit attractio corpusculi P in solidum ut area LABI. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo ADEB circa axem AB revolu­to descriptus, & vires centripetae in singula ejus puncta tenden­tes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attrac­tio corpusculi P in hunc Cylindrum ut BA−PE+PD. Nam ordinatim applicata FK (per Corol. 1. Prop. XC) erit ut 1−PF / PR. Hujus pars 1 ducta in longitudinem AB, describit are­am 1×AB; & pars altera PF / PR ducta in longitudinem PB, descri­bit aream 1 in PE−AD (in quod ex curvae LKI quadratura facile ostendi potest:) & similiter pars eadem ducta in longitu­dinem PA describit aream 1 in PD−AD, ducta (que) in ipsarum PB, PA differentiam AB describit arearum differentiam 1 in PE−PD. De contento primo 1×AB auferatur contentum postremum 1 in PE−PD, & restabit area LABI aequalis 1 in AB−PE+PD. Ergo vis huic areae proportionalis est ut AB−PE=PD.

Corol. 2. Hinc etiam vis innotescit qua Sphaerois AGBCD at­trahit [Page 221] corpus quodvis P, exterius in axe suo AB situm. Sit NK­RM Sectio Conica cujus ordinatim applicata ER, ipsi PE per­pendicularis, aequetur semper longitudini PD, quae ducitur ad punctum illud D, in quo applicata ista Sphaeroidem secat. A Sphaeroidis verticibus A, B ad ejus axem AB erigantur perpen­dicula AK, BM ipsis

[figure]

AP, BP aequalia res­pective, & propterea Sectioni Conicae occur­rentia in K & M; & jun­gantur KM auferens ab eadem segmentum KM­RK. Sit autem Sphae­roidis centrum S & se­midiameter maxima SC: & vis qua Sphaerois tra­hit corpus P erit at vim qua Sphaera, diametro AB descripta, tra­hit idem corpus, ut AS×CSq.−PS×KMRK / PSq.+CSq.−ASq. ad AS cub./3 PSquad.. Et eodem computando fundamento invenire licet vires segmen­torum Sphaeroidis.

Corol. 3. Quod si corpusculum intra Sphaeroidem in data qua­vis ejusdem diametro collocetur; at­tractio

[figure]

erit ut ipsius distantia a cen­tro. Id quo facilius colligetur hoc argumento. Sit AGOF Sphaerois at­trahens, S centrum ejus & P corpus attractum. Per corpus illud P agan­tur tum semidiameter SPA, tum rectae duae quaevis DE, FG Sphae­roidi hinc inde occurrentes in D & E, F & G: Sint (que) PCM, HLN superficies Sphaeroidum duarum interiorum, exteriori similium & concentricarum, quarum prior [Page 222] transeat per corpus P & secet rectas DE & FG in B & C, post­erior secet easdem rectas in H, I & K, L. Habeant autem Sphae­roides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc inde interceptae DP & BE, FP & CG, DH & IE, FK & LG sibi mutuo aequales; propterea quod rectae DE, PB & HI bisecantur in eodem puncto, ut & rectae FG, PC & KL. Con­cipe jam DPF, EPG designare Conos oppositos, angulis verti­calibus DPF, EPG infinite parvis descriptos, & lineas etiam DH, EI infinite parvas esse; & Conorum particulae Sphaeroidum superficiebus abscissae DHKF, GLIE, ob aequalitatem linea­rum DH, EI, erunt ad invicem ut

[figure]

quadrata distantiarum suarum a cor­pusculo P, & propterea corpuscu­lum illud aequaliter trahent. Et pari­ratione, si superficiebus Sphaeroidum innumerarum similium concentrica­rum & axem communem habenti­um dividantur spatia DPF, EGCB in particulas, hae omnes utrin (que) ae­qualiter trahent corpus P in partes contrarias. Aequales igitur sunt vires coni DPF & segmenti Conici EGCB, & per contra­rietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiae omnis extra Sphaeroidem intimam PCBM. Trahitur igitur cor­pus P a sola Sphaeroide intima PCBM, & propterea (per Co­rol. 3. Prop. LXXII.) attractio ejus est ad vim, qua corpus A trahitur a Sphaeroide tota AGOD, ut distantia PS ad distanti­am AS. Q.E.I.

Prop. XCII. Prob. XLVI.

‘Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium cen­tripetarum in ejus puncta singula tendentium.’

E corpore dato formanda est Sphaera vel Cylindrus aliave figu­ra [Page 223] regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi con­gruens (per Prop. LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit ratio­nem decrementi virium partium singularum, quam invenire opor­tuit.

Prop. XCIII. Theor. XLVII.

‘Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infini­tum, constet ex particulis aequalibus aequaliter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis di­stantiarum plusquam quadraticae, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.’

Cas. 1. Sit LGl planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus I, in (que) plana innume­ra mHM, nIN &c. ipsi GL

[figure]

parallela resolvatur. Et pri­mo collocetur corpus attrac­tum C extra solidum. Aga­tur autem CGHI planis il­lis innumeris perpendicularis, & decrescant vires attracti­vae punctorum solidi in rati­one potestatis distantiarum, cujus index sit numerus n ternario non minor. Ergo (per Co­rol. 3. Prop. XC) vis qua planum quodvis mHM trahit punctum C est reciproce ut CHn−2. In plano mHM capiatur longitu­do HM ipsi CHn−2 reciproce proportionalis, & erit vis illa ut HM. Similiter in planis singulis lGL, nIN, oKO &c, capi­antur [Page 224] longitudines GL, IN, KO &c. ipsis CGn−2, CIn−2, CKn−2 &c. reciproce proportionales; & vires planorum eo­rundem erunt ut longitudines captae, adeo (que) summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut area GLOK in infinitum versus OK producta. Sed area illa per notas quadra­turarum methodos est reciproce ut CGn−3, & propterea vis solidi totius est reciproce ut CGn−3 Q.E.D.

Cas. 2. Collocetur jam corpusculum C ex parte plani lGL intra solidum, & capiatur

[figure]

distantia CK aequalis distan­tiae CG. Et solidi pars LGloKO, planis parallelis lGL, oKO terminata, cor­pusculum C in medio situm nullam in partem trahet, con­trariis oppositorum puncto­rum actionibus se mutuo per aequalitatem tollentibus. Proinde corpusculum C sola vi solidi ultra planum OK siti trahitur. Haec autem vis (per Casum primum) est reciproce ut CKn−3, hoc est (ob aequales CG, CK) reciproce ut CGn−3. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis pa­rallelis LG, IN utrin (que) terminetur; innotescit ejus vis attracti­va, subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris NIKO, in infinitum versus KO pro­ductae.

Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attrac­tio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo di­stantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis CGn−3.

Corol. 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, & di­stantia inter corpusculum & planum collata cum dimensionibus [Page 225] corporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attra­hens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivae decres­cunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatae distan­tiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex­particulis constante, quarum vires attractivae decrescunt in ratio­ne potestatis triplicatae distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris.

Scholium.

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum tra­hatur, & ex data lege attractionis quaeratur motus corporis: Sol­vetur Problema quaerendo (per Prop. XXVII.) motum corpo­ris recta descendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quaeratur Lex attrac­tionis in planum secundum lineas perpendiculares factae, ea con­ditione ut corpus attractum in data quacun& curva linea move­atur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim ap­plicatas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quo­vis dato ordinatim applicetur longitudo B, quae sit ut basis dig­nitas quaelibet A m / n; & quaeratur vis qua corpus, secundum positio­nem ordinatim applicatae, vel in basem attractum vel a basi fuga­tum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata ter­mino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri par­te [Page 226] quam minima O, & ordinatim applicatam m / A+On resolvo in Seriem infinitam A m / n+n / m OA m−n / n+mm−mn / 2nn O2A m−2n / n&c. at­ (que) hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino mm−mn / 2nn O2A m−2n / n vim proportionalem esse suppono. Est igi­tur vis quaesita ut mm−mn / nn A m−2n / n, vel quod perinde est, ut mm−mn / nn B m−2n / m. Ut si ordinatim applicata Parabolam at­tingat, existente m=2, & n=1: fiet vis ut data 2B0, adeo (que) dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemad­modum Galilaeus demonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente m=0−1, & n=1; feit vis ut 2B−3 seu 2/B cub.: adeo (que) vi, quae sit reciproce ut cubus ordi­natim applicatae, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hu­jusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.

SECT. XIV. De motu corporum minimorum, quae viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.

Prop. XCIV. Theor. XLVIII.

‘Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin (que) terminato, di­stinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium at­trahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alteru­trum, ne (que) ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attrac­tio, in aequalibus ab utro (que) plano distantiis ad eandem ipsius par­tem captis, ubi (que) eadem: dico quod sinus incidentiae in planum alterutrum erit ad sinum emergentiae ex plano altero in ratione data.’

Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus

[figure]

in planum prius Aa se­cundam lineam GH, ac toto suo per spatium in­termedium transitu attra­hatur vel impellatur ver­sus medium incidentiae, ea (que) actione describat li­neam curvam HI, & e­mergat secundum lineam IK. Ad planum emer­gentiae Bb erigatur per­pendiculum IM, occur­rens tum lineae inciden­tiae GH productae in M, tum plano incidentiae Aa in R; & linea emergentiae KI producta occurrat HM in L. Centro L inter­vallo [Page 228] LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N; & primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstatis Galilaei) curva HI Parabola, cu­jus haec est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM aequale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur

[figure]

in L. Unde si ad MI de­mittatur perpendiculum LO, aequales erunt MO, OR; & additis aequalibus IO, ON, fient totae aequa­les MN, IR. Proinde cum IR detur, datur e­tiam MN, est (que) rectan­gulum NMI ad rectangu­lum sub latere recto & IM, hoc est, ad HMq., in data ratione. Sed rect­angulum NMI aequale est rectangulo PMQ, id est, differentiae quadratorum MLq. & PLq. seu LIq.; & HMq. datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem LMq.: ergo datur ratio MLq.−LIq. ad MLq., & divisim, ratio LIq. ad MLq., & ratio di­midiata LI ad ML. Sed in omni triangulo LMI, sinus angulo­rum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiae LMR ad sinum anguli emergentiae LIR. Q.E.D.

Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura paral­lelis planis terminata, Aa bB, Bb cC &c. agitetur vi quae sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiae in planum primum Aa erit ad si­num emergentiae ex plano secundo Bb, in data ratione; & hic si­nus, qui est sinus incidentiae in planum secundum Bb, erit ad si­num [Page 229] emergentiae ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiae ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex aequo sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla

[figure]

& augeatur numerus in infinitum, eo ut attracti­onis vel impulsus actio secundum legem quam­cun (que) assignatam conti­nua reddatur; & ratio si­nus incidentiae in planum primum ad sinum emer­gentiae ex plano ultimo, semper data existens, e­tiamnum dabitur. Q.E.D.

Prop. XCV. Theor. XLIX.

‘Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae.’

Capiantur AH, Id aequales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidentiae & emergentiae GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH aequalis IK, & ad planum Aa de­mittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c. perpen­dicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel im­pulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet ae­qualibus temporibus aequalia illa secundum parallelas intervalla, quae sunt inter lineam AG & punctum H, inter (que) punctum I & lineam dK; hoc est, aequalibus temporibus describet lineas GH, [Page 230] IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est (respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q.E.D.

Prop. XCVI. Theor. L.

‘Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam post­ea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiae, reflectetur tan­dem, & angulus reflexionis fiet aequalis angulo incidentiae.’

Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sint (que) arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineae incidentiae GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est si­nus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiae ad sinum e­mergentiae ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emer­gentiae jam factum aequalem radio, angulus emergentiae erit rect­us, adeo (que) linea emergen­tiae

[figure]

coincidet cum plano Dd. Perveniat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea emer­gentiae coincidit cum eo­dem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest idem pergere in linea emergentiae Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiae. Re­vertetur ita (que) inter plana Cc, Dd describendo arcum Parabolae QRq, cujus vertex principalis (juxta demonstrata Galilaei) est in R; secabit planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q; dein pergendo in arcubus parabolicis qp, ph &c. arcubus priori­bus QP, PH similibus & aequalibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in p, h &c. ac prius in P, H &c. emerget (que) tan­dem eadem obliquitate in h, qua incidit in H. Concipe jam pla­norum [Page 231] Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui & nu­merum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcun (que) assignatam continua reddatur; & angulus e­mergentiae semper angulo incidentiae aequalis existens, eidem eti­amnum manebit aequalis. Q.E.D.

Scholium.

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflex­iones & refractiones, factae secundum datam Secantium rationem, ut invenit Snellius, & per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit Cartesius. Nam (que) Lucem successive propa­gari & spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Ter­ram venire, jam constat per Phaenomena Satellitum Iovis, Ob­servationibus diversorum Astronomorum confirmata. Radii au­tem in aere existentes (ubi dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quo (que) expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspi­cuorum angulos (quales sunt nummorum

[figure]

ex auro, argento & aere cusorum ter­mini rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, quasi at­tracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpo­ra incurvantur magis, quasi magis attrac­ti, ut ipse etiam diligenter observavi. In figura designat s aci­em cultri vel cunei cujusvis AsB; & gowog, fnvnf, emtme, dlsld sunt radii, arcubus owo, nvn, mtm, lsl versus cultrum incurvati; id (que) magis vel minus pro distantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, de­bebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in a­ere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in [Page 232] vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiae, sed pau­latim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, post­quam illud ingressi sunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxha incidentibus ad r, q, p, & inter k & z,

[figure]

i & y, h & x incurvatis, delineatum est. Igitur ob analogiam quae est inter pro­pagationem radiorum lucis & progres­sum corporum, visum est Propositiones sequentes in usus opticos subjungere; in­terea de natura radiorum (utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solum­modo determinans.

Prop. XCVII. Prob. XLVII.

‘Posito quod sinus incidentiae in superficiem aliquam sit ad sinum emer­gentiae in data ratione, quod (que) incurvatio viae corporum juxta su­perficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considera­ri possit; determinare superficiem quae corpuscula omnia de loco da­to successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.’

Sit A locus a quo corpuscula divergunt; B locus in quem convergere debent; CDE curva linea quae circa axem AB revo­luta describat superficiem quaesitam; D, E curvae illius puncta duo quaevis; & EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB demissa. Accedat punctum D ad punctum E; & lineae DF qua AD augetur, ad lineam DG qua DB diminuitur, ratio ultima erit eadem quae sinus incidentiae ad sinum emergentiae. Datur ergo ratio incrementi lineae AD ad decrementum lineae DB; & propterea si in axe AB sumatur ubivis punctum C, per quod curva CDE transire debet, & capiatur ipsius AC incrementum CM, ad ipsius BC decrementum CN in data ratione; centris (que) A, [Page 233] B, & intervallis AM, BN describantur circuli duo se mutuo se­cantes in D: punctum illud D tanget curvam quaesitam CDE, eandem (que) ubivis tangendo determinabit. Q.E.I.

Corol. 1. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad

[figure]

alteras partes puncti C, habebuntur figurae illae omnes quas Cartesius in Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum inventionem cum Cartesius maximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit hic propositione exponere.

Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis CD, secundum lineam rectam AD lege quavis ductam incidens, emergat secun­dum aliam quamvis rectam

[figure]

DK, & a puncto C duci intelligantur lineae curvae CP, CQ ipsis AD, DK semper perpendiculares: e­runt incrementa linearum PD, QD, at (que) adeo lineae ipsae PD, QD, incremen­tis istis genitae, ut sinus in­cidentiae & emergentiae ad invicem: & contra.

Prop. XCVIII. Prob. XLVIII.

‘Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacun (que) attracti­va CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attracti­vam EF, quae corpora illa ad locum datum B convergere faciat.’

Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E, [Page 234] puncto D utcun (que) assumpto. Et posito sinu incidentiae in super­ficiem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergen­tiae e superficie secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quanti­tas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M−N ad N, tum AD ad H ut sit AH aequalis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Jun­ge KB, & centro D intervallo DH describe circulum occurren­tem KB productae in L, ipsi (que) DL parallelam age BF: & punc­tum F tanget lineam EF, quae circa axem AB revoluta descri­bet superficiem quaesitam. Q.E.F.

Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & li­neas ER, ES ipsis FB, FD ubi (que) perpendiculares esse, adeo (que) QS ipsi CE semper aequalem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut

[figure]

M ad N, adeo (que) ut DL ad DK vel FB ad FK; & divisim ut DL−FB seu PH−PD−FB ad FD seu FQ−QD; & compo­site ut HP−FB ad FQ, id est (ob aequales HP & CG, QS & CE) CE+BG−FR ad CE−FS. Verum (ob pro­portionales BG ad CE & M−N ad N) est etiam CE+BG ad CE ut M ad N: adeo (que) divisim FR ad FS ut M ad N, & prop­terea per Corol. 2. Prop. XCVII. superficies EF cogit corpus in se secundum lineam DF incidens pergere in linea FR, ad locum B. Q.E.D.

Scholium.

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatae sunt figurae Sphae­ricae. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphaeri­ce [Page 235] figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri po­test ut a refractionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Ta­lia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis praefe­renda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accu­ratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum re­frangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphaericas vel alias quascun (que) perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur.

DE MOTU CORPORUM Liber SECUNDUS.

SECT. I. De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.

Prop. I. Theor. I.

‘Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia a­missus est ut spatium movendo confectum.’

NAm cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit com­ponendo motus toto tempore amissus ut iter totum. Q.E.D.

Corol. Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis li­beris sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, da­bitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere po­test. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.

Lemma. I.

‘Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportiona­les.’

Sit A ad A−B ut B ad B−C & C ad C−D &c. & dividen­do fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q.E.D.

Prop. II. Theor. II.

‘Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per Medi­um similare moveatur, sumantur autem tempora aequalia: velocita­tes in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geome­trica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut veloci­tates.’

Cas. 1. Dividatur tempus in particulas aequales, & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiae impulsu unico, quae sit ut velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particu­lis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis pro­portionales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue pro­portionales. Proinde si ex aequali particularum numero compo­nantur tempora quaelibet aequalia, erunt velocitates ipsis tempo­rum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim aequali terminorum intermediorum nu­mero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex ae­qualibus rationibus terminorum intermediorum aequaliter repeti­tis, & propterea sunt aequales. Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur jam aequales illae temporum particulae, & augeatur earum nume­rus in infinitum, eo ut resistentiae impulsus redditur continuus, & velocitates in principiis aequalium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportiona­les. Q.E.D.

[Page 238] Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiae, hoc est earum partes singulis temporibus amissae, sunt ut totae: Spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissae, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea etiam ut totae. Q.E.D.

Corol. Hinc si Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola BG, sint (que) AB, DG ad Asymptoton AC perpendi­culares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Me­dii, ipso motus initio, per lineam quamvis

[figure]

datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGD, & spatium eo tempore descriptum per lineam AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta DC in ratione Geometrica ad modum velocitatis, & partes rectae AC aequalibus temporibus descriptae decrescent in eadem ratione.

Prop. III. Prob. I.

‘Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, re­sistitur in ratione velocitatis, quod (que) ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.’

Corpore ascendente, ex­ponatur

[figure]

gravitas per datum quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio as­census per rectangulum BD sumptum ad contrarias par­tes. Asymptotis rectangu­lis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tem­pore DG gd, describet spatium EG ge, tempore DGBA spati­um [Page 239] ascensus totius EGB, tempore AB 2G 2D spatium descen­sus BF 2G, at (que) tempore 2D 2G 2g 2d spatium descensus 2 GF 2e 2g: & velocitates corporis (resistentiae Medii propor­tionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF 2D, AB 2e 2d respective; at (que) maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.

Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quae sint ut incrementa velocitatum aequalibus totidem temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totae, at (que) adeo (per Hypothesin) ut resistentia Medii in

[figure]

principio singulorum tem­porum aequalium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in princi­pio temporis secundi, de (que) vi gravitatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singu­lorum temporum urgetur, at (que) adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectae Kk, Ll, Mm, Nn &c. productae oc­currant Hyperbolae in q, r, s, t &c. erunt areae ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. aequales, adeo (que) tum temporibus tum viri­bus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem area ABqK (per Corol. 3 Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut K.q ad ½kq seu AC ad ½ AK, hoc est ut vis gravitatis ad re­sistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areae qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt &c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi, [Page 240] tertii, quarti, &c. Proinde cum areae aequales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogae, erunt areae Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per

[figure]

Hypothesin) velocitati­bus, at (que) adeo descriptis spatiis analogae. Suman­tur analogarum summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis de­scriptis analogae; necnon areae ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. tem­poribus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis A­BrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q.E.D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur.

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu (at (que) etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressio­ne Geometrica.

Corol. 3. Sed & differentiae spatiorum, quae in aequalibus tempo­rum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.

Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descen­sus initio aequantur inter se.

Prop. IV. Prob. II.

‘Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patien­tis.’

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quam­vis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam Horizonta­lem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub ini­tio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rect­angulum sub DA & DP

[figure]

ad rect [...]ngulum sub AC & PC ut resist [...]ntia tota sub initio motus ad vim Gravi­tatis. Describatur Hyper­bola quaevis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; & complea­tur parallelogrammum DG­KC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectae DC punctum quodvis R erecto per­pendiculo RT, quod Hyperbolae in T, & rectis GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr aequalem tGT / N, & Projectile tempo­re DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper [Page 242] appropinquans ad Asymptoton PLC.. Est (que) velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvae Tangens rL.Q.E.D.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeo (que) RV aequalis DR×QB / N, & Rr (id est RV−Vr seu DR×QB−tGT / N) aequalis DR×AB−RDGT / N. Exponatur jam tempus per a­ream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum re­sistentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas par­tibus motus proportionales & contrarias: ideo (que) longitudo a mo­tu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, al­titudo vero (per Prop. III. hujus) ut area DR×AB−RDGT, hoc est ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT ae­qualis est rectangulo DR×AQ, ideo (que) linea illa Rr (seu DR×AB−DR×AQ / N) tunc est ad DR ut AB−AQ (seu QB) ad N, id est ut CP

[figure]

ad DC; at (que) adeo ut mo­tus in altitudinem ad mo­tum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr sem­per sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, at (que) Rr ad DR sub initio ut al­titudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propte­rea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpe­tuo tangit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si Vertice D, Diametro DE deorsum produc­ta, & latere recto quod sit ad 2 DP ut resistentia tota, ipso mo­tus [Page 243] initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas qua­cum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in Me­dio uniformi resistente describat Curvam DraF, ea ipsa erit qua­cum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolae hujus, ipso motus initio, est DV quad./Vr & Vr est tGT / N seu DR×Tt/2N. Recta autem, quae, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideo (que) Tt est CK×DR / DC, & N erat QB×DC / CP. Et propterea Vr est DRq.×CK×CP/2 CDq.×Q, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) DVq.×CK×CP/2 DPq.×QB. & Latus rectum DV quad./Vr. prodit 2 DPq.×QB / CK×CP, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) 2 DPq.×DA / AC×CP, adeo (que) ad 2 DP ut DP×DA ad PC×AC; hoc est ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 2. Unde si corpus de loco quovis D, data cum veloci­tate, secundum rectam quamvis positione datam DP projicia­tur, & resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data ve­locitate datur latus rectum Parabolae, ut notum est. Et sumendo 2 DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resisten­tiae, datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP×AC ad DP×DA in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabi­tur punctum A. Et inde datur Curva DraF.

Corol. 3. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & veloci­tas corporis & resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex da­ta [Page 244] ratione CP×AC ad DP×DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabolae: & inde datur eti­am velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangen­tis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati pro­portionalis resistentia in loco quovis r.

Corol. 4. Cum autem longitudo 2 DP sit ad latus rectum Parabolae ut gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Veloci­tate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Pa­rabolae augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeo (que) velocitati semper pro­portionalem esse, ne (que) ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quo (que) velocitas.

Corol. 5. Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phaenominis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & aequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum literarum locis sub­intellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum assumpta quacun (que) longitudine pro DP vel Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in rati­one qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de ratione Ff / DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum in­venta, & exponatur differentia per

[figure]

perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam re­sistentiae ad gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiae affirmati­vae ad unam partem rectae SM, & negativae ad alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam [Page 245] SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longi­tudo DF per calculum; & longitudo quae sit ad assumptam lon­gitudinem DP ut modo inventa longitudo DF ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF quam corpus de­scribit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

Scholium.

Caeterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet haec ratio quam­proxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo praeditis tardissime moventur. In Mediis autem quae rigore omni vacant (uti post­hac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione ve­locitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione ma­joris velocitatis, adeo (que) tempore aequali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, est (que) resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiae.

SECT. II. De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.

Prop. V. Theor. III.

‘Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progres­sione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progres­sione Geometrica inverse, & quod spatia sunt aequalia quae singu­lis temporibus describuntur.’

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resisten­tia Medii, & resistentiae proportionale est decrementum veloci­tatis; si tempus in particulas innumeras aequales dividatur, qua­drata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum e­arundem differentiis proportionales. Sunto temporis particulae illae AK, KL, LM, &c. in recta

[figure]

CD sumptae, & erigantur perpen­dicula AB, Kk, Ll, Mm, &c. Hy­perbolae BKlmG, centro C Asymp­totis rectangulis CD, CH, descriptae occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB−Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB−Kk ad AK ut Kk ad CA, adeo (que) ut AB×Kk ad AB×CA. Unde cum AK & AB×CA dentur, erit AB−Kk ut AB×Kk; & ulti­mo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento e­runt [Page 247] Kk−Ll, Ll−Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differen­tiae, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiae, similis erit ambarum progressio. Quo demonstra­to, consequens est etiam ut areae his lineis descriptae sint in pro­gressione consimili cum spatiis quae velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per aream AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptae per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes illae in eadem progressione, & velo­citates AB, Kk, Ll, Mm, &c. in progressione eadem inversa, at (que) spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. aequalia. Q.E.D.

Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordina­tim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per or­dinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbo­licam adjacentem ABGD; necnon spatium quod corpus ali­quod eodem tempore AD, velocitate prima AB, in Medio non resistente describere posset, per rectangulum. AB×AD.

Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capi [...]ndo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Me­dio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB×AD.

Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio aqualem esse vi uniformi centripetae, quae, in caden­te corpore, tempore AC, in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quae tangat Hyperbolam [Page 248] in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT aequalis erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.

Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

Corol. 5. Et viceversa, si datur proportio resistentiae ad datam quamvis vim centripetam, datur tempus AC, quo vis cen­tripeta resistentiae aequalis generare possit velocitatem quamvis AB; & inde datur punctum B per quod Hyperbola Asymptotis CH, CD describi debet; ut & spatium ABGD, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quo­vis AD, in Medio similari resistente describere potest.

Prop. VI. Theor. IV.

‘Corpora Sphaerica homogenea & aequalia, resistentiis in duplicata ra­tione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, tem­poribus quae sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt sem­per aequalia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.’

Asymptotis rectangulis CD, CH descripta Hyperbola quavis BbEe secante perpendicula

[figure]

AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates initi­ales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd. Est ergo ut Aa ad Dd ita (per Hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natu­ra Hyperbolae) CA ad CD; & componendo, ita Ca ad Cd. Ergo areae ABba, DEed, hoc est spatia descripta aequantur inter se, & velocitates primae [Page 249] AB, DE sunt ultimis ab, de, & propterea (dividendo) par­tibus etiam suis amissis AB−ab, DE−de proportionales. Q.E.D.

Prop. VII. Theor. V.

‘Corpora Sphaerica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quae sunt ut motus primi directe & resistentiae primae inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportio­nalia.’

Nam (que) motuum partes amissae sunt ut resistentiae & tempora conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis proportionales, de­bebit resistentia & corpus conjunctim esse ut motus. Proinde tem­pus erit ut Motus directe & resistentia inverse. Quare tempo­rum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeo (que) retinebunt velo­citates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, de­scribent semper spatia quae sunt ut velocitates primae & tempora conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si aequivelocia corpora resistuntur in duplica­ta ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscun (que) cum ve­locitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Glo­bi cujus (que) erit ut ejus velocitas & Massa conjunctim, id est ut veloci­tas & cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadra­tum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe & ratione posteri­ore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse; adeo (que) spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.

Corol. 2. Si aequivelocia corpora resistuntur in ratione sesqui­altera diametrorum: Globi homogenei quibuscun (que) cum velcci­tatibus moti, describendo spatia in sesquialtera ratione diametro­rum, [Page 250] amittent partes motuum proportionales totis. Nam tem­pus augetur in ratione resistentiae diminutae, & spatium augetur in ratione temporis.

Corol. 3. Et universaliter, si aequivelocia corpora resistuntur in ratione dignitatis cujuscun (que) diametrorum, spatia quibus Globi homogenei, quibuscun (que) cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dig­nitatem illam applicata. Sunto diametri D & E; & si resisten­tiae sint ut Dn & En, spatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D 3−n & E 3−n. Igitur descri­bendo spatia ipsis D 3−n & E 3−n proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.

Corol. 4. Quod si Globi non sint homogen [...]i, spatium a Glo­bo densiore descriptum augeri deber in ratione densiratis. Mo­tus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus di­recte, ac spatium descriptum in ratione temporis.

Corol. 5. Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiae. Tempus enim (per hanc Propositi­onem) diminuetur in ratione resistentiae, & spatium in ratione temporis.

Lemma. II.

‘Momentum Genitae aequatur momentis Terminorum singulorum gene­rantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.’

Genitam voco quantitatem omnem quae ex Terminis quibus­cun (que) in Arithmetica per multiplicationem, divisionem & extrac­tionem radicum; in Geometria per inventionem vel contento­rum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium abs (que) additione & subductione generatur. Ejusmodi quantita­tes [Page 251] sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, la­tera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut in de­terminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescen­tes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decre­menta momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut in­crementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexe­ris particulas finitas. Momenta, quam primum finitae sunt mag­nitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnant aliquate­nus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Ne (que) enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed pri­ma nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nomi­nare licet) vel finitae quaevis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujus (que) Generantis coefficiens est quantitas, quae oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.

Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcun (que) per­petuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Mo­menta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momen­tum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab+aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc+AbC+aBC: & dignitatum A2, A3, A4, A½, A½, A⅓, A⅔, A1, A½, & A1½ momenta 2Aa, 3aA2, 4aA3, ½aA−½ ½ aA½, ⅓aA−⅔, ⅔ aA−⅓,−aA−2,−2aA−3, & −½ aA−½ re­spective. Et generaliter ut dignitatis cujuscun (que) A n / m momentum fuerit n / m aA n−m / m. Item ut Genitae A quad.×B momentum fuerit 2aAB+A2 b; & Genitae A3 B4 C2 momentum 3 aA2 B4 C2++4A3 bB3 C2+2A3 B4 Cc; & Genitae A3/B2 sive A3 B−2 momen­tum 3aA2 B−2−2A3 bB−3: & sic in caeteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.

[Page 252] Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia ½ a & ½ b, fuit A−½ a in B−½ b, seu AB−½ aB−½ Ab+¼ ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A+½ a in B+½ b seu AB+½ aB+½ Ab+¼ ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB+Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rec­tanguli incrementum aB+Ab.Q.E.D.

Cas. 2. Ponatur AB aequale G, & contenti ABC seu GC mo­mentum (per Cas. 1.) erit gC+Gc, id est (si pro G & g scri­bantur AB & aB+Ab) aBC+AbC+ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcun (que). Q.E.D.

Cas. 3. Ponantur A, B, C aequalia; & ipsius A2, id est rectan­guli AB, momentum aB+Ab erit 2aA, ipsius autem A3, id est contenti ABC, momentum aBC+AbC+ABc erit 3aA2. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscun (que) An est naAn−1. Q.E.D.

Cas. 4. Unde cum 1/A in A sit 1, momentum ipsius 1/A duc­tum in A, una cum 1/A ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius 1/A sue A−1 est −a/A2. Et ge­neraliter cum 1/An in An sit 1, momentum ipsius 1/An ductum in An una cum 1/An in naAn−1 erit nihil. Et propterea mo­mentum ipsius 1/An seu A−n erit −na / An+1. Q.E.D.

Cas. 5. Et cum A½ in A ½ sit A, momentum ipsius A ½ in 2A ½ erit a, per Cas. 3: ideo (que) momentum ipsius A ½ erit a/2 A ½ sive [Page 253] 2aA−½. Et generaliter si ponatur A m / n aequalem B, erit Am aequale Bn, ideo (que) maAm−1 aequale nbBn−1, & maA−1 aequale nbB−1 seu nb / A m / n, adeo (que) m / n aA m−n / n aequale b, id est aequale momento ipsius Am / n. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur Genitae cujuscun (que) Am Bn momentum est mo­mentum ipsius Am ductum in Bn, una cum momento ipsius Bn ducto in Am, id est maAm−1+nbBn−1; id (que) sive digni­tatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affir­mativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dig­nitatibus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut −2A, −B, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duae mediae den­tur, momenta extremarum erunt ut caedem extremae. Idem in­telligendum est de lateribus rectanguli cujuscun (que) dati.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum de­tur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In literis quae mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio annis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compo­tem esse methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi [Page 254] Tangentes, & similia peragendi, quae in terminis surdis aeque ac in rationalibus procederet, & literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data aequatione quotcun (que) fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa] eandem celarem: re­scripsit Vir Clarissimus se quo (que) in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem praeter­quam in verborum & notarum formulis. Utrius (que) fundamentum continetur in hoc Lemmate.

Prop. VIII. Theor. VI.

‘Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta as­cendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in partes aequales, in (que) principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutae; dico quod vires illae absolutae sunt in progressione Geo­metrica.’

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resisten­tia per lineam indensinitam AK; vis absoluta in descensu corporis per differentiam KC; velocitas corporis per lineam AP (quae sit media proportionalis inter AK & AC, ideo (que) in dimidiata ra­tione resistentiae) incrementum resistentiae data temporis particu­la factum per lineolam KL, & contemporaneum velocitatis incre­mentum per lineolam PQ; & centro C Asymptotis rectangulis CA, CH describatur Hyperbola quaevis BNS, erectis perpendicu­lis AB, KN, LO, PR, QS occurrens in B, N, O, R, S. Quo­niam AK est ut APq., erit hujus momentum KL ut illius mo­mentum 2 APQ, id est ut AP in KC. Nam velocitatis incre­mentum PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generanti KC. Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum KL×KN ut AP×KC×KN; hoc est, ob da­tum rectangulum KC×KN, ut AP. Atqui areae Hyperbolicae [Page 255] KNOL ad rectangulum KL×KN ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est aequalitatis. Ergo area illa Hyperbolica eva­nescens est ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportiona­libus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes aequales ABMI, IMNK,

[figure]

KNOL, &c. & vires absolutae AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q.E.D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti A, aequa­les areas ABmi, imnk, knol, &c. constabit quod vires absolu­tae AC, iC, kC, lC, &c. sunt continue proportionales. Ideo (que) si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur aequalia; omnes vi­res absolutae lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. erunt continue proportionales. Q.E.D.

[Page 256] Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii per lineas AC, AP & AK respecti­ve; & vice versa.

Corol. 2. Et velocitatis maximae, quam corpus in infinitum de­scendendo potest unquam acquirere, exponens est linea AC.

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur re­sistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.

Corol. 4. Sed & particula temporis, quo spatii particula quam minima NKLO in descensu describitur, est ut rectangulum KN×PQ. Nam quoniam spatium NKLO est ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam mi­nimum KN×KL applicatum ad AP. Erat supra KL ut AP×PQ. Ergo particula temporis est ut KN×PQ, vel quod perinde est, ut PQ / CK Q.E.D.

Corol. 5. Eodem argumento particula temporis, quo spatii par­ticula nklo in ascensu describitur, est ut Pq / Ck.

Prop. IX. Theor. VII.

‘Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus propor­tionales, existente radio justae magnitudinis: erit tempus omne a­scensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus praete­riti ut sector Hyperbolae.’

Rectae AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & ae­qualis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum Hyperbola rectangula AVZ [Page 257] axem habens AX, verticem principalem A & Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit Sector circularis AtD ut tempus a­scensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis praeteriti.

Cas 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trian­guli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descrip­tas

[figure]

tDv & pDq. Cum particulae illae, ob angulum commu­nem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp / pD quad.. Sed pD quad. est AD quad.+Ap quad. id est AD quad.+Ak×AD seu AD×Ck; & qDp est ½ AD×pq. Er­go Sectoris particula vDt est ut pq / Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particu­larum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq [Page 258] respondentium, us (que) dum velocitas illa in nihilum diminuta evanue­rit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q.E.D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum tri­anguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & e­runt hae particulae ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelae sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq.−TXq. ad ADq.−APq. Sed ex natura

[figure]

Hyperbolae DXq.−TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD×AK. Ergo particulae sunt ad invicem ut ADq. ad ADq.−AD×AK; id est ut AD ad AD−AK seu AC ad CK: ideo (que) Sectoris particula TDV est PDQ×AC / CK, at (que) adeo ob datas AC & AD, ut PQ / CK; & propterea per Corol. 5. Prop. [Page 259] VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ re­spondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulae PQ generantur, ut sum­ma particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si AB aequetur quartae parti ipsus AC, spati­um ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo de­scribit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximae AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ aequale AC×KL (per Cool 1. Lem. II. hujus) adeo (que) KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ×½ AD seu DPQ ut 2AP×KN ad ½ AC×AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex aequo LKN est ad DTV ut 2AP×KN×CK ad ½ AC cub.; id est, ob ae­quales CKN & ¼ ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus caden­do potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitae ut spatia simul descripta, ide­o (que) areae totae ab initio genitae ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q.E.D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acqui­reret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illae initio descensus aequantur inter se, perinde ut areae illae ATD, APD.

[Page 260] Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad veloci­tatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD; sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocita­tem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tem­pus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascenden­do posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. inde (que) datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tem­pore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione tem­porum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quae est ad Sectorem ut spatium quaesitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

Prop. X. Prob. III.

‘Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sit (que) resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quae faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.’

Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tan­gens [Page 261] in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu aeque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem

[figure]

semper sit corporis progredi­entis & regredientis velocitas. Aequalibus autem tempori­bus describat corpus progre­diens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens ar­cum Cg; & sint CH, Ch lon­gitudines aequales rectilineae, quas corpora de loco C exe­untia, his temporibus, abs (que) Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Me­dii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis trans­fertur corpus de F in G: adeo (que) lineola HF vi resistentiae, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lin [...]la FG est ut vis gravitatis & quadratum tempo­ris conjunctim, adeo (que) (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF / FG. Haec ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitae magnitudinis hae ra­tiones non sunt accuratae.

Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeo (que) ob aequalia tempora aequatur ipsi FG; & impulsus quo corpus re­grediens urgetur est ut hf / fg. Sed impulsus corporis regredientis [Page 262] & resistentia progredientis ipso motus initio aequantur, adeo (que) & ipsis proportionales hf / fg & HF / FG aequantur; & propterea ob ae­quales fg & FG, aequantur etiam hf & HF, sunt (que) adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF se­midifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quae supra fuit ut HF / FG, est ut Cf−CF / FG.

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum veloci­tatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tem­pus √FG inverse, hoc est ut CF / √FG, adeo (que) quadratum veloci­tatis ut CFq./FG. Quare resistentia, ipsi (que) proportionalis Cf−CF / FG est ut Medii densitas & CFq./FG conjunctim; & inde Medii densi­tas ut Cf−CF / FG directe & CFq./FG inverse, id est ut CF−CF / CFq.. Q.E.D.

Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck aequalis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut FG−kl / CF×FG+kl Erit enim fC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf−CF ad CF ut √FG−√kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uter (que) in √FG+√kl) ut FG−kl ad kl+ √FG×kl, sive ad FG+kl. Nam ratio prima nascentium kl+√FG×kl & FG+kl est aequalitatis. Scribatur ita (que) FG−kl / FG+kl pro Cf−CF / CF; & Medii densitas, quae fuit ut Cf−CF / CF quad. evadet ut FG−kl / CF×FG+kl.

[Page 263] Corol. 2. Unde cum 2 HF & Cf−CF aequentur, & FG & kl (ob rationem aequalitatis) componant 2 FG; erit 2 HF ad CF ut FG−kl ad 2FG; & inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG−kl ad 4 FG quad.

Corol. 3. Et hinc si curva linea desiniatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicat am BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatae resolvatur in seriem conver­gentem: Problema per primos seriei terminos expedite solve­tur: ut in Exemplis sequentibus.

Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quae faciat ut Projectile in hac linea moveatur.

Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq.−ODq. ae­quale nn−aa−2ao−oo seu ee−2ao−oo; & radice per me­thodum nostram extracta, fiet DG=e−ao / e−oo/2e−aaoo/2e3−ao3/2e3−a3 o3/2e5 &c. Hic scribatur nn pro ee+aa & evadet DG =e−ao / e−nnoo/2e3−anno3/2e5 &c.

Hujusmodi Series distinguo

[figure]

in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas in­finite parva o non extat; se­cundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; ter­tium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatae BC insistentis ad indefinitae quantitatis initium B; secundus termi­nus [Page 264] qui hic est ao / e, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quae abscinditur complendo parallelogrammum BC­ID, at (que) adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao / e ad o seu a ad e. Ter­minus tertius, qui hic est nnoo/2e3 designabit lineolam FG, quae jacet inter Tangentem & Curvam, adeo (que) determinat angulum con­tactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si li­neola illa FG finitae est magnitudinis, designabitur per termi­num tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineo­la illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infi­nite minores tertio, ideo (que) negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno3/2e5, exhibet variationem Curvaturae; quintus varia­tionem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quae pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.

Praeterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Est (que) FG+kl aequalis du­plo termini tertii, & FG−kl aequalis duplo quarti. Nam va­lor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu −o pro +o. Proinde cum FG sit −nnoo/2e3−anno3/2e5 &c. erit kl=−nnoo/2e3+anno3/2e5 &c. Et horum summa est −nnoo / e3, differentia −anno3/e5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Ita (que) si de­signetur Series universaliter his terminis ±Qo−Roo−So3 &c. erit CF aequalis √oo+QQoo, FG+kl aequalis 2Roo, & FG−kl aequalis 2So3. Pro CF, FG+kl & FG−kl scribantur [Page 265] hi earum valores, & Medii densitas quae erat ut FG−kl / CF in FG+kl jam fiet ut S / R√1+QQ. Deducendo igitur Problema unum­quod (que) ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scriben­do terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo re­sistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S [...] ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de lo­co C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum 1+QQ / R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.

Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur [...] seu n / e pro [...], nn / 2e3 pro R, & ann/2e5 pro S, prodibit Medii den­sitas ut a / ne, hoc est (ob datam n) ut a / e seu OB / BC, id est ut Tan­gentis longitudo illa CT, quae ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem termi­natur;

[figure]

& resistentia erit ad gra­vitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secun­dum lineam ipsi OK paralle­lam, exeat de loco L, & Me­dii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q.E.I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK per­pendicularem [Page 266] egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrari­as partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum −a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut −a / c. Negativam autem densitatem (hoc est quae motus cor­porum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturali­ter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL ho­rizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quae faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura Parabolae, rectangulum ADK aequale est rectan­gulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dican­tur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a+o in c−a−o seu ac−aa−2ao+co−oo aequale est rectangulo b in DG, adeo (que) DG aequale ac−aa / b+c−2a / b o−oo / b. Jam scri­bendus esset hujus seriei secundus terminus c−2a / b o pro Qo, & ejus coefficiens c−2a / b pro Q; tertius item terminus oo / b pro Roo, & ejus coefficiens 1/b pro R. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S / R [...] cui Medii densitas proportionalis est, ni­hil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilaeus. Q.E.I.

Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quaeratur Me­dii densitas quae faciat ut Projectile moveatur in hac linea.

Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatae DG pro­ductae [Page 267] occurrens in V, & ex natura Hyperbolae, rectangulum

[figure]

XV in VG dabitur. Da­tur autem ra­tio DN ad VX, & prop­terea datur e­tiam rectan­gulum DN in VG. Sit il­lud bb; & completo pa­rallelogram­mo DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio da­ta VZ ad ZX vel DN ponatur esse m / n. Et erit DN aequalis a−o, VG aequalis bb / a−o, VZ aequalis m / n/a−o, & GD seu NX−VZ−VG ae­qualis c−m / n a+m / n o−bb / a−o. Resolvatur terminus bb / a−o in seri­em convergentem bb / a+bb / aa o+bb / a3 oo+bb / a4 o3 &c. & fiet GD aequa­lis c−m / n a−bb / a+m / n o−bb / aa o−bb / a3 o2 −bb / a4 o3 &c. Hujus seriei ter­minus secundus m / n o−bb / aa o usurpandus est pro Qo, tertius cum sig­no mutato bb / a3 o2 pro Ro2, & quartus cum signo etiam mutato bb / a4 o3 pro So3, eorum (que) coefficientes m / n−bb / aa2 bb / a3 & bb / a4 scribendae sunt, [Page 268] in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut bb / a4/bb / a3 [...] seu 1/ [...] id est, si in VZ sumatur VY aequalis VG, ut 1/XY. Nam (que) aa & mm / nn aa−2mbb / n+b4/aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resisten­tia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad./VG habente. Ponatur ita (que) quod Medii densitates in locis singulis G sint reci­proce ut distantiae XY, quod (que) resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocita­te emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q.E.I.

Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX ea lege descripta, ut con­structo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus n: & quaeratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

Pro DN, BD NX scribantur A, O, C respective, sit (que) VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG aequalis bb / DN n, & erit DN aequa­lis A−O, VG=bb / A−On, VZ=d / e in A−O, & GD seu NX−VZ−VG aequalis C−d / e A+d / e O−bb / A−On. Resolvatur terminus ille bb / A−On in seriem infinitam bb / An+nbbO / An+1+nn+n/2An+2 bbO•++n3+3nn+2n/6An+3 bbO3 &c. ac fiet GD aequalis C−d / e A−bb / An+ [Page 269] +d / e O−nbb / An+1 O−nn+n/2An+2 bbO2−n3+3nn+2n/6An+3 bbO3 &c. Hujus seriei terminus secundus d / e O−nbb / An+1 O usurpandus est pro Qo, tertius nn+n/2An+2 bbO2 pro Ro2, quartus n3+3nn+2n/6An+3 bbO3 pro So3. Et inde Medii densitas S / R× [...], in loco quovis G, fit n+2/3 [...], adeo (que) si in VZ capiatur VY aequalis n×VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A2 & dd / ee A2−2dnbb / eAn in A+nnb4/A2 n ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY / A ad 2RR, id est XY ad 3nn+3n / n+2 VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus pro­jectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & La­tus rectum 1+QQ / R seu 2XY quad./nn+n in VG habente. Q.E.I.

Scholium.

Quoniam motus non sit in Parabola nisi in Medio non resis­tente, in Hyperbolis vero hic descriptis sit per resistentiam per­petuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est uti (que) linea illa Hyperbolici ge­neris, sed quae circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non [Page 270] est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hae in re­bus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futu­rae sunt hae, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbo­lam in G, ideo (que) densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √GTq./GV, resistentia autem ad vim gravi­tatis ut GT ad 3nn+3n / n+2 GV.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymp­toto NX in H, acta (que) AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √AHq./AI, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad 3nn+3n / n+2 in AI. Unde prodeunt sequentes Regulae.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideo (que) si longi­tudines illae in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitas (que) acceleratrix servetur, & proportio resistentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio AH ad AI in eadem ratione, manente Parabolae late­re recto, ei (que) proportionali longitudine AHq./AI; & propterea mi­nuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa du­plicata. [Page 271] Augetur vero proportio resistentiae ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminui­tur in minore ratione quam pondus.

Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolae minor est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimae tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo mi­nore quam semisummae Tangentium ad Tangentem AH.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX aequalis facto sub n+1 & AI; centro (que) X & Asymptotis MX, NX per punc­tum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVn ad XIn.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratae sunt hae Hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae in e­jus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, est (que) c [...]eteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quaeratur: oc­currat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & su­matur NK ipsi AM aequalis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phaenominis. Projiciantur corpora duo si­milia & aequalia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAK, incident (que) in planum Horizontis in K & k; & no tetur propor­tio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudi­nis perpendiculo AI, assume utcun (que) longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ra­tio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudi­nem SM aequalem assumptae AH, & erige perpendiculum MN ae­quale [Page 272] rationum differentiae AK / Ak−d / e ductae in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per om­nia agatur Curva linea regularis NNX­N,

[figure]

haec abscindet SX quaesitae longi­tudini AH aequalem. Ad usus Me­chanicos sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam re­sistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendae sunt semper hae longitudines per Regulam quartam.

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectae AH, secundum quam Projectile data illa cum veloci­tate emissum

[figure]

incidit in pun­ctum quodvis K: ad puncta A & K erig­antur rectae AC, KF ho­rizonti per­pendiculares, quarum AC deorsum tan­dat, & aeque­tur ipsi AI seu ½ HX. A­symptotis A­K, KF de­scribatur Hy­perbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centro (que) A & in­tervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in [Page 273] puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q.E.I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & aequales AC, AI, erit AE aequalis AM, & propterea etiam aequalis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH aequantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq adeo reperitur in communi intersectione Hyper­bolae hujus & circuli descripti. Q.E.D. Notandum est autem quod haec operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quod (que) ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi me­chanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam intermi­natam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequalis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitae.

Quae de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK. Parabolam designet quam recta XV tangat in

[figure]

vertice X, sint (que) ordinatim ap­plicatae IA, VG ut quaelibet abscis­sarum XI, XV dignitates XIn, XVn; agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quo­vis A, secundum rectam AH pro­ductam, justa cum velocitate pro­jectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret, [Page 274] in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diam­etrum VG deorsum productam, & latus rectum √2TGq./nn−nXVG habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad 3nn−3n / n−2 VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcun (que) angulus NAH; manebunt longi­tudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolae vertex X, & po­sitio rectae XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia Parabolae puncta G, per quae Projectile transibit.

SECT. III. De motu corporum quae resistuntur partim in ratione velocitatis, par­tim in ejusdem ratione duplicata.

Prop. XI. Theor. VIII.

‘Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in veloci­tatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantisates ve­locitatibus reciproce proportionales, quadam quantitate auctae, erunt in progressione Geometrica.’

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelae sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et fi tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter cres­centem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudi­nem CD in progressione Geometrica crescentem.

[Page 275]Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1/GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd / GDq., erit ut CD / GDq. seu CG+GD / GDq., id est, ut 1/GD+CG / GDq..

[figure]

Igitur tempore ABED per ad­ditionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decre­scit 1/GD in eadem ratione cum velo­citate. Nam decrementum velo­citatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa du­arum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadra­tum velocitatis; & ipsius 1/GD decrementum est ut summa quan­titatum 1/GD & CG / GDq., quarum prior est ipsa 1/GD, & posterior CG / GDq. est ut 1/GDq. Proinde 1/GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1/GD reciproce pro­portionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geome­trica. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsi­us GD reciprocam 1/GD.

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reci­proca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujus­vis [Page 276] ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velo­citas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

‘Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressio­ne Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctae erunt in progressione Geometrica.’

In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolae in S, exponatur descriptum spa­tium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut lon­gitudo GD, quae cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RS­ED augetur in Arithmetica.

Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeo (que) directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa dua­rum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa de­arum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineae GD, est ut quan­titas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes: ni­mirum velocitas & linea GD. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Inven­to autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.

[Page 277] Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex da­to tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X.

‘Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, par­tim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolae diametris parallelae rectae per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quaedam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.’

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF,

[figure]

& per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur pun­ctum A, & capiatur seg­mentum AP velocitati pro­portionale. Et cum resi­stentiae pars aliqua sit ut ve­locitas & pars altera ut ve­locitatis quadratum, fit re­sistentia tota in P ut AP quad. +2 PAB. Jungan­tur DA, DP circulum se­cantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq.+2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momen­to [Page 278] respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut sum­ma virium gravitatis DBq. & resistentiae APq.+2 BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad; & area DTV, (quae est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis fu­turi, per subductionem datarum particularum DTV, & propte­rea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudi­nem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq.+2 BAP, & si vis gravitatis minor sit quam quae per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.−BDq. gra­vitati proportiona­le,

[figure]

sitque DF ip­si DB perpendicu­laris & aequalis, & per verticem F de­scribatur Hyperbola FTVE cujus semi­diametri conjugatae sint DB & DF, quae (que) secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tem­pus ascensus futuri ut Hyperbolae sector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiae APq.+2 ABP & gravitatis ABq.−BDq. id est ut BPq.−BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demitta­tur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq−DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq.−DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq.−BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT unifor­miter [Page 279] singulis temporis particulis aequalibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori pro­portionalis est. Q.E.D.

Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq.+2 ABP resistentia, & DBq.−ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice

[figure]

principali B, describatur Hy­perbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hy­perbolae hujus sector DET ut tempus descensus.

Nam velocitatis incremen­tum PQ, ei (que) proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est ut DBq.−ABq.−2 ABP−APq. seu DBq.−BPq. Et area DTV est ad arcam DPQ ut DTq. ad DPq. adeo (que) ut GTq. seu GDq.−BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq.−BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq.−BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis aequali­bus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q.E.D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utro (que) ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis, pro more Sectoris & Trian­guli.

Prop. XIV. Prob. IV.

‘Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areae per quam tempus exponitur, & a­reae cujusdam alterius quae augetur vel diminuitur in progressione A­rithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositae sumantur in progressione Geometrica.’

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resi­stentiae proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes pun­cti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quae sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in pro­gressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia cor­poris ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae AbNK su­pra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq.+2 BAP; assumatur data quaevis quantitas Z, & ponatur AK aequalis APq.+2 BAP / Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK mo­mentum KL aequale 2 APQ+2 BA×PB / Z seu 2 BPQ / Z, & areae AbNK momentum KLON aequale 2 BPQ×LO / Z seu BPQ×BD cub./2 Z×CK×AB

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq.+BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) li­nea AC, quae gravitati proportionalis est, erit ABq.+BDq / Z. & DPq. seu APq.+2 BAP+ABq.+BDq. erit AK×Z+AC×Z seu CK×Z: ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK×Z.

[Page 281] Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq−BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit ABq.−BDq./Z & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq−BDq. seu APq.+2 BAP+ABq−BDq. id est ad AK×Z+AC×Z seu CK×Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq.−ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. praeced.) aequetur BDq.−ABq./Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z: ut supra.

Cum igitur areae illae semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale ex­ponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD×m, erit area DPQ, id est ½ BD×PQ; ad BD×m ut CK in Z ad BDq. At (que) inde fit PQ in BD cub. aequale 2BD×m×CK×Z, & areae AbNK momentum KLON su­perius inventum, fit BP×BD×m / AB. Auferatur areae DET mo­mentum DTV seu BD×m, & restabit AP×BD×m / AB. Est igi­tur differentia momentorum, id est momentum differentiae area­rum, aequalis AP×BD×m / AB; & propterea (ob datum BD×m / AB) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascen­dendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decres­centia, & simul incipientia vel simul evanescentia sunt proportio­nalia. Q.E.D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente descri­bit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tem­pore [Page 282] describere posset, ut arearum illarum differentia ad BD×V2/4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V2, & ob da­tas BD & AB, ut BD×V2/4AB. Tempus autem est ut DET seu ½ BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut BD×V/2 AB ductum in momentum ipsius V & ½ BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD×V/2AB in DAq.×2 m / DEq. & ½ BD×2 m, sive ut BD×V×DAq.×m / AB×DEq. & BD×m. Et propterea mo­mentum areae V2 est ad momentum differentiae arearum DET & AKNb, ut BD×V×DA×m / AB×DE ad AP×BD×m / AB sive ut V×DA / DE ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimae sunt, in ratione aequalitatis. Aequalis igitur est area quam minima BD×V2/4AB differentiae quam minimae arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad aequalitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area BD×V2/4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in aequalibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa BD×V2/4AB & arearum DET & AKNb differentia. Q.E.D.

SECT. IV. De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.

LEM. III.

‘Sit PQRr Spiralis quae secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in aequalibus angulis. Agatur recta PT quaetangat eandem in puncto quovis P, secetque radium SQ in T; & ad Spiralem erectis perpen­diculis PO, QO concurrentibus in O, jungatur SO. Dico quod fi puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ×PS ad PQ quad. erit ra­tio aequalitatis.’

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli aequales SPQ, SQR, & manebunt anguli aequales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per

[figure]

puncta O, S, P transibit eti­am per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic cir­culus in loco coitus PQ tan­get Spiralem, adeoque per­pendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diame­ter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus. Q.E.D.

Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum ra­tiones ultimae erunt hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut PQ ad PO. Et ex aequo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq. aequalis PQ×PS. Q.E.D.

Prop. XV. Theor. XI.

‘Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densita­tis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.’

Ponantur quae in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV aequalis SP. Temporibus aequalibus describat cor­pus arcus quam minimos PQ & QR, sintque areae PSQ, QSr aequales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. &

[figure]

(per Lem. X. Lib. I.) line­ola TQ, quae vi illa gene­ratur, est in ratione compo­sita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ×SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq.×SP, in ratione duplicata tem­poris, adeoque tempus est ut PQ×√SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ / PQ×√SP seu 1/√SP, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in di­midiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP×√SQ; & ob aequa­les angulos SPQ, SQr & aequales areas PSQ, QSr, est arcus [Page 285] PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium con­sequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP−SP½×SQ ½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ra­tio ultima SP−SP ½×SQ ½ ad ½VQ fit aequalitatis. In Medio non resistente areae aequales PSQ, QSr (per Theor. I. Lib. I.) temporibus aequalibus describi deberent. Ex resistentia oritur a­rearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lincolae Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo ge­neratur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in du­plicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr / PQq.×SP. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr / PQq.×SP fit ut ½VQ / PQ×SP×SQ sive ut ½OS / OP×SPq. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS / OP×SPq. ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio ve­locitatis, nempe ratio 1/SP, & manebit Medii densitas in P ut OS / OP×SP. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, den­sitas Medii in P erit ut 1/SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q.E.D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut OS / OP, [Page 286] sin distantia illa non datur, ut OS / OP×SP. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centri­petam in eodem loco ut ½OS ad OP. Nam vires illae sunt ut li­neae Rr & TQ seu ut ½VQ×PQ / SQ & PQq./SP quas simul generant, hoc est ut ½VQ & PQ, seu ½OS & OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiae ad vim centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur Spiralis.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat re­sistentia aequalis dimidio vis centripetae & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, di­midia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolae (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.

Corol. 5. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis veloci­tas eadem est in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectae PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad OS; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione, proindeque datur.

Corol. 6. Si centro S intervallis duobus datis describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum cir­cumferentias complere potest, est ut PS / OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revoluti­onum earundem ut OP / OS, id est reciproce ut Medii densitas.

Corol. 7. Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut di­stantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEB [Page 287] circa centrum illud fecerit, & Radium primum AS in codem angulo secuerit in B quo prius in A, idque cum velocitate quae fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce in dimidiata ratione distantia­rum

[figure]

a centro (id est ut BS ad me­diam proportiona lem inter AS & CS:) corpus il­lud perget innu­meras consimiles revolutiones BFC, CGD, &c. face­re, & intersectio­nibus distinguet Radium AS in partes AS, BS, CS, DS &c. con­tinue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Pe­rimetri orbitarum AEB, BFC, CGD &c. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est ut AS½, BS½, CS½. At (que) tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tem­pus revolutionis primae ut summa omnium continue proportiona­lium AS½, BS½, CS½ pergentium in infinitum, ad terminum pri­mum AS½; id est ut terminus ille primus AS½ ad differentiam duorum primorum AS3/2−BS3/2, & quam proxime ut ⅔AS ad AB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

Corol. 8. Ex his etiam praeterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut a­liam quamcunque legem assignatam observat. Centro S interval­lis continue proportionalibus SA, SB, SC &c. describe cir­culos [Page 288] quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perime­tros duorum quorum vis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam prox­ime; Sed & in eadem quo (que) ratione esse Tangentem anguli quo Spi­ralis praefinita, in Medio de quo egimus, secat radium AS, ad tangen­tem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio pro­posito: At (que) etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant passim inter circulos binos, continuabitur mo­tus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter ima­ginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad for­mam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spi­ralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali su­perius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.

Prop. XVI. Theor. XII.

‘Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua di­stantiae locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.’

Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiae SP dignitas quaelibet SPn+1 cujus index est n+1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvis PQ erit ut PQ×SP½ n [Page 289] & resistentia in P ut Rr / PQq.×SPn sive ut ½nVQ / PQ×SPn×SQ, ade­que ut ½nOS / OP×SPn+1. Et propterea densitas in P est reciproce ut SPn.

Scholium.

Caeterum haec Propositio & superiores, quae ad Media inaequali­ter densa spectant, intelligendae sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque caeteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

Prop. XVII. Prob. V.

‘Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest. Vide Fig. Prop. XV.’

Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate qua corpus percurrit ar­cum quam minimum PQ dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quae est ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. De­inde ex arearum, aequalibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex re­tardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.

Prop. XVIII. Prob. VI.

‘Data lege vis centripetae, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.’

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, de­inde ex velocitatis retardatione quaerenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.

[Page 290]Methodum vero tractandi haec Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hu­jusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Ad­denda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hacte­nus expositi & his affines peraguntur.

SECT. V. De Densitate & compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.

Definitio Fluidi.

Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque il­latae, & cedendo facile movetur inter se.

Prop. XIX. Theor. XIII.

‘Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clau­ditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensatio­nis, gravitatis & virium omnium centripetarum consideratione) ae­qualiter premuntur undique, & absque omni motu a pressione illa or­to permanent in locis suis.’

Cas. 1. In vase sphaerico ABC claudatur & uniformiter com­primatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliqua D moveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; at (que) hoc adeo quia si­milis & aequalis est omnium pressio, & motus omnis exclusus sup­ponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt om­nes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum con­densetur; contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere [Page 291] nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypo­thesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in pla­gam quamcun (que) quia pari ratione move­buntur

[figure]

in plagam contrariam; in pla­gas autem contrarias non potest pars ea­dem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q.E.D.

Cas. 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphaericae aequaliter pre­muntur undique: sit enim EF pars sphae­rica fluidi, & si haec undi (que) non premi­tur aequaliter, augeatur pressio minor, us (que) dum ipsa undi (que) prema­tur aequaliter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum, & additione pressionis novae movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Quae duo re­pugnant. Ergo falso dicebatur quod Sphaera EF non undique premebatur aequaliter. Q.E.D.

Cas. 3. Dico praeterea quod diversarum partium sphaericarum aequalis sit pressio. Nam partes sphaericae contiguae se mutuo premunt aequaliter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed & per Casum secundum, undi (que) premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis sphaericae non contiguae, quia pars sphaerica in­termedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q.E.D.

Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubi (que) premuntur aequaliter. Nam partes duae quaevis tangi possunt a partibus Sphaericis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas Sphaericas aequaliter premunt, per Casum 3. & vicissim ab illis aequaliter premuntur, per Motus Legem Tertiam. Q.E.D.

Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quaelibet GHI in fluido re­liquo tanquam in. vase claudatur, & undique prematur aequaliter, partes autem ejus se mutuo aequaliter premant & quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi cujuscunque GHI, quod undi­que [Page 292] premitur aequaliter, partes omnes se mutuo premunt aequali­ter, & quiescunt inter se. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique non prematur aequaliter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis.

Cas. 7. Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pres­sionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, id (que) in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequi­tur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad aequalitatem verget. Et quoniam Flui­dum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhi­betur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad aequalitatem in momento temporis absque motu lo­cali; & subinde, partes fluidi per Casum quintum, se mutuo pre­ment aequaliter, & quiescent inter se. Q.E.D.

Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, qua­tenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi par­tes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius la­buntur inter se.

Prop. XX. Theor. XIV.

‘Si Fluidi Sphaerici, & in aequalibus a centro distantiis homogenei, fundo sphaerico concentrico incumbentis partes singulae versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis aequa­lis est superficiei fundi, & altitudo eadem quae Fluidi incumbentis.’

Sit DHM superficies fundi, & AEI superficies superior flui­di. Superficiebus sphaericis innumeris BFK, CGL distinguatur fluidum in Orbes concentricos aequaliter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cu­jusque, & aequales esse actiones in aequales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema AE vi simplici gra­vitatis propriae, qua & omnes Orbis supremi partes & superficies [Page 293] secunda BFK (per Prop. XIX.) premuntur. Premitur prae­terea superficies secunda BFK vi propriae gravitatis, quae addi­ta vi priori facit pressionem duplam.

[figure]

Hac pressione & insuper vi propriae gra­vitatis, id est pressione tripla, urgetur superficies tertia CGL. Et similiter pres­sione quadrupla urgetur superficies quar­ta, quintupla quinta & sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaquaeque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; & aequatur gravitati Orbis insimi mul­tiplicatae per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ulti­ma ratio ad Cylindrum praefinirum, (si modo Orbium augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio ae­qualitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri prae­finiti. Q.E.D. Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiae a cen­tro, ut & ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumben­tis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet quae in Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura forni­cata sustentato.

Corol. 2. In aequalibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti paral­lela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum li­neam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluido­rum.

[Page 294] Corol. 3. Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis in­cumbentis, acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.

Corol. 4. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificae cor­pus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si Sphaericum est manebit sphaericum, non obstante pressione; si qua­dratum est manebit quadratum: id (que) sive molle sit, sive fluidissi­mum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quaelibet interna rationem corporis submersi, & par est ratio omnium ejusdem magitudinis, figurae & gravitatis specificae submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluidi; hoc, si prius ascen­deret vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuum causae permanent. Atqui, per Cas. 5. Prop. XIX. jam quiesceret & figuram retineret. Ergo & prius.

Corol. 5. Proinde corpus quod specifice gravius est quam Flu­idum sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascen­det, motumque & figurae mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque ex­cessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in aequilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra librae.

Corol. 6. Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & com­parativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum ten­dit: relativa & vulgaris est excessus gravitatis quo corpus ma­gis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gra­vitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis [Page 295] suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri li­cet; & pondus totius aequale est ponderibus omnium partium, ide­oque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est inter se collata non praegravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quae in Aere sunt & non praegravant, Vulgus gravia non judicat. Quae praegravant vul­gus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponde­rum supra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quae sunt minus gravia, Aerique praegravanti cedendo superiora pe­tunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quae ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative & appa­renter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquae vel ab ea superatur. Quae vero nec prae­gravando descendunt, nec praegravanti cedendo ascendunt, etiam­si veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative ta­men & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est ho­rum Casuum Demonstratio.

Corol. 7. Quae de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis.

Corol. 8. Proinde si Medium, in quo corpus aliquod move­tur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacun (que) vi cen­tripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia viri­um est vis illa motrix, quam in praecedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur le­vius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non mutabunt situm patium internarum inter se: proindeque, si Animalia immergantur, & sensatio omnis a mo­tu [Page 296] partium oriatur; nec laedent corporibus immersis, nec sensatio­nem ullam excitabunt, nisi quatenus haec corpora a compressio­ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes om­nes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus flu­idum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem com­pressione conglutinandas requiratur.

Prop. XXI. Theor. XV.

‘Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali de­orsum trahantur: dico quod si distantiae illae sumantur continue pro­portionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.’

Designet ATV fundum Sphaericum cui fluidum incumbit, S centrum, SA, SB, SC, SD, SE, &c. distantias continue propor­tionales. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, DL, EM, &c. quae sint ut densitates Medii in locis A, B, C, D, E; & specificae gravitates in iisdem locis erunt ut AH / AS, BI / BS, CK / CS, &c. vel, quod perinde est, ut AH / AB, BI / BC, CK / CD &c. Finge pri­mum

[figure]

has gravitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D &c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D &c. Et hae gravitates ductae in altitudines AB, BC, CD &c. conficient pressiones AH, BI, CK, qui­bus fundum ATV (juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particula A pressiones omnes AH, BI, CK, DL, pergendo in in­finitum; & particula B pressiones omnes praeter primam AH; & particula C omnes praeter duas primas AH, BI; & sic deinceps: [Page 297] adeoque particulae primae A densitas AH est ad particulae secun­dae B densitatem BI ut summa omnium AH+BI+CK+DL, in infinitum, ad summam omnium BI+CK+DL &c. Et BI densitas secundae B, est ad CK densitatem tertiae C, u [...] summa om­nium BI+CK+DL, &c. ad summam omnium CK+DL, &c. Sunt igitur summae illae differentiis suis AH, BI, CK, &c. pro­portionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem. I. proinde (que) differentiae AH, BI, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C sint ut AH, BI, CK, &c. erunt etiam hae continue propor­tionales. Pergatur per saltum, & (ex aequo) in distantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt densitates AH, CK, EM continue proportionales. Et eodem argumento in distantiis qui­busvis continue proportionalibus SA, SD, SQ densitates AH, DL, QO erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem Fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ, densitates AH, DL, QT, semper existentes continue proportionales, manebunt eti­amnum continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A & E, colligi potest ejus densitas

[figure]

in alio quovis loco Q. Centro S, Asymptotis rectangulis SQ, SX describatur Hyperbola se­cans perpendicula AH, EM, QT in a, e, q, ut & perpendicula H­X, MY, TZ ad asymptoton SX demissa in h, m, & t. Fiat area ZYmtZ ad aream datam Ym­hX ut area data EeqQ ad a­ream datam [...]aA; [...] linea Zt producta [...] li [...]eam QT densitati proportionalem. Nam [...]ue [...] SA, [...]E, SQ sunt continue proportionales, erunt [Page 298] areae EeqQ, EeaA aequales, & inde areae his proportionales YmtZ▪ XhmY etiam aequales & lineae SX, SY, SZ id est AH, EM, QT continue proportionales, ut oportet. Et si lineae SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue pro­portionalium, lineae AH, EM, QT, ob proportionales areas Hy­perbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium.

Prop. XXII. Theor. XVI.

‘Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiae sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in pro­gressione Geometrica.’

Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quae sint ut

[figure]

Fluidi den­sitates in lo­cis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravi­tates speci­cae in iisdem locis erunt AH / SAq., BI / SBq., CK / SCq., &c. Fin­ge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, se­cundam a B ad C, tertiam a C ad D, &c. Et hae ductae in altitu­dines AB, BC, CD, DE, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient ex­ponentes [Page 299] pressionum AH / SA, BI / SB, CK / SC, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summae, differentiae densitatum AH−BI, BI−CK, &c. erunt ut summarum differentiae AH / SA, BI / SB, CK / SC, &c. Centro S Asymptotis SA, SX describatur Hyperbo­la quaevis, quae secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c; ut & perpendicula ad Asymptoton SX demissa H [...], [...], Kw in h, i, k; & densitatum differentiae tu, uw, &c. erunt ut AH / SA, BI / SB, &c. Et rectangula tu×th, uw×ui, &c. seu tp, uq. &c. ut AH×th/SA, BI×ui/SB, &c. id est ut Aa, Bb &c. Est enim ex natura Hyperbolae SA ad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque AH×th/SA aequale Aa. Et simili argumento est BI×ui/SB aequalis Bb, &c. Sunt autem Aa Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis su­is Aa−Bb, B [...]− [...]c, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportional [...] sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis diffe­rentiarum Aa−Cc vel Aa−Dd summae rectangulorum tp+uq, vel tp+uq+wr ▪ Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & sum­ma omnium differentiarum, puta Aa−Ff, erit summae omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiae punctorum A, B, C, &c. in in­finitum, & rectangula illa evadent aequalia areae Hyperbolicae zthn, adeoque huic areae proportionalis est differentia Aa−Ff. Su­mantur jam distantiae quaelibet, puta SA, SD, SF in Progressio­ne Musica, & differentiae Aa−Dd, Dd−Ff erunt aequales; & propterea differentiis hisce proportionales areae thlx, xlnz aequa­les erunt inter se, & densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL, FN, continue proportionales. Q.E.D.

[Page 300] Corol. Hinc si dentur Fluidi densitates duae quaevis, puta AH & CK, dabitur area thkw harum differentiae tw respondens; & inde invenietur densitas FN in al [...]udine quacunque SF, sumen­do aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia Aa−Ff ad differentiam Aa−Cc.

Scholium

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particu­larum Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; & quadratorum distantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nem­pe SA cub./SAq., SA cub./SBq., SA cub./SCq.) sumantur in progressione Arithme­ca; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geome­trica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distan­tiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta SAqq./SA cub., SAqq./SB cub., SAqq./SC cub., &c.) sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus di­stantiis eadem sit, & distantiae sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distan­tiarum sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in pro­gressione Geometrica. Et sic in infinitum. Haec ita se habent ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressio­nis, vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi possunt aliae condensationis leges, ut quod cu­bus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis aequalis quadruplicatae rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiae. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit reciproce in [Page 301] sesquiplicata ratione distantiae. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiae, & densitas erit reciproce ut distantia. Ca­sus omnes percurrere longum esset.

Prop. XXIII. Theor. XVII.

‘Particulae viribus quae sunt reciproce proportionales distantiis cen­trorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vi­res centrifugae particularum sunt reciproce proportionales distantiis cen­trorum.’

Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico ACE, dein com­pressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum similem situm inter se in utro­que

[figure]

spatio obtinentium distan­tiae erunt ut cuborum latera AB, ab; & Medii densitates re­ciproce ut spatia continentia AB cub. & ab cub. In latere cubi majoris ABCD capiatur quadratum DP aequale lateri cubi minoris db; & ex Hypothesi, pressio qua quadratum DP urget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadra­tum db urget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem, hoc est ab cub. ad AB cub. Sed pressio qua quadratum DB ur­get Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum DP ur­get idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoc est ut AB quad. ad ab quad. Ergo ex aequo pressio qua latus DB urget Fluidum, est ad pressionem qua latus db urget Fluidum, ut ab ad AB. Planis FGH, fgh per media cuborum ductis distin­guatur Fluidum in duas partes, & hae se mutuo prement iisdem [Page 302] viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc est in proportio­ne ab ad AB: adeoque vires centrifugae, quibus hae pressiones susti­nentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum nume­rum similem (que) situm in utroque cubo, vires quas particulae omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt ut vires quas singulae exercent in singulas. Ergo vires, quas singulae exercent in singulas secundum planum FGH in cubo majore, sunt ad vi­res quas singulae exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore ut ab ad AB, hoc est reciproce ut distantiae particu­larum ad invicem. Q.E.D.

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiae, id est reciproce ut cuborum latera AB, ab; sum­mae virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, db ut summae virium; & pressio quadrati DP ad pressionem late­ris DB ut ab quad. ad AB quad. Et ex aequo pressio quadrati DP ad pressionem lateris db ut ab cub. ad AB cub. id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q.E.D.

Scholium.

Simili argumento si particularum vires centrifugae sin recipro­ce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata desitatum. Si vi­res centrifugae sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratio­ne distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato­cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate Fluidi compressi, & vires centri­fugae sint reciproce ut distantiae dignitas quaelibet Dn, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica Dig­nitatis En+2, cujus index est numerus n+2: & contra. Intel­ligenda vero sunt haec omnia de particularum Viribus centrifugis quae terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra dif­funduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Ho­rum [Page 303] Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminan ferri con­trahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulae fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in par­ticulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particu­las intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particu­lis componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulae cujus (que) virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem majoris quantitatis Fluidi. Ut si particula unaquae (que) vi sua, quae sit reciproce ut distantia lo­corum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vi­res quibus Fluidum in vasis similibus aequaliter comprimi & con­densari possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Quaestio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam praebeamus Quaestionem illam tractandi.

SECT. VI. De Motu & resistentia Corporum Funependulorum.

Prop. XXIV. Theor. XVIII.

‘Quantitates materiae in corporibus funependulis, quorum centra os­cillationum a centro suspensionis aequaliter distant, sunt in ratione com­posita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.’

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. [Page 304] Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo aequaliter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi dividantur in partes aequales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes corresponden­tes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires mo­trices & tota oscillationum tempora directe & quantitates mate­riae reciproce: adeoque quantitates materiae ut vires & oscillati­onum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velo­citates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quan­titates materiae sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera & quadrata temporum. Q.E.D.

Corol. 1. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitates mate­riae in singulis corporibus erunt ut pondera.

Corol. 2. Si pondera sunt aequalia, quantitates materiae erunt ut quadrata temporum.

Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum.

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum caeteris paribus sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates mate­riae aequalia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiae pendulae est ut pon­dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6. Sed & in Medio non resistente quantitas Materiae pendulae est ut pondus comparativum & quadratum temporis di­recte & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix[?] corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; ad [...] praestat in tali Medio non resistente atque pondus [...]

[Page 305] Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiae in singulis, tum comparandi pon­dera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variatio­nem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiae in corporibus singulis corum ponderi proportionalem esse.

Prop. XXV. Theor. XIX.

‘Corpora Funependula quae in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quaeque in ejusdem gravitatis specificae Me­dio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore pe­ragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.’

Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & su­matur arcus Od in ra­tione

[figure]

ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urge­tur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD ▪ & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco [Page 306] B, & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primae & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od e­runt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportio­nales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea cor­pora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut ar­cus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describen­tur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius per­gendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiae CO, id est ut Oe; ideoque vires, qui­bus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione retar­datae manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & ar­cus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione ar­cuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a morum omnem simul amittent. Isochronae sunt igi­tur oscillaciones totae, & arcubus totis BA, BE proportionales sunt arcuum partes quaelibet BD, Bd vel BE, Be quae simul describuntur. Q.E.D.

Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non inci­dit in punctum infimum, C, sed reperitur in puncto illo O, quo ar­cus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in de­sensu suo a B ad O.

Prop. XXVI. Theor. XX.

‘Corporum Funependulorum, quae resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronae.’

Nam si corpora duo a centris suspensionum aequaliter distantia, oscillando describant arcus inaequales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti: resisten­tiae velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem arcus, conferantur vel addantur hae resistentiae, erunt dif­ferentiae vel summae ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ra­tione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, ge­nerabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates sem­per erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. Q.E.D.

Prop. XXVII. Theor. XXI.

‘Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differentiae inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.’

Nam pendulis aequalibus in Medio resistente describantur arcus inaequales A, B; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resi­stentiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est ut A quad. ad B quad. quam proxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut rectangu­lum AB ad A quad. tempora in arcubus A & B forent aequalia [Page 308] per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia A quad. in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A su­pra tempus in Medio non resistente; & resistentia BB efficit exces­sum temporis in arcu B supra tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam pro­xime, id est ut arcus A & B▪ Q.E.D.

Corol. 1. Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resi­stente in arcubus inaequalibus factarum, cognosci possunt tempo­ra oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resi­stente. Nam si verbi gratia arcus alter sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.

Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis Isochronae, & bre­vissimae iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime. Earum vero quae in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in des­censu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione lon­gitudinis in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subse­quente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per mo­tum Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, & corpora accelerata paulo magis quam quae uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur.

Prop. XXVIII. Theor. XXII.

‘Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut ex­cessus [Page 309] arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.’

Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, & Aa differentiam arcuum: & stantibus quae in Propositione XXV. constructa & demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D, ad uim resistentia ut arcus CD ad arcum CO, qui semissis est differentiae illius Aa. Ide­oque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut ar­cus Cycloidis inter punctum illud supremum & punctum insi­mum C ad arcum CO; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum Aa. Q.E.D.

Prop. XXIX. Prob. VII.

‘Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ra­tione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.’

Sit Ba (Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloi­dis totius, longitudini Penduli aequalis; & quaeratur resistentia cor­poris in loco quovis

[figure]

D. Secetur recta infi­nita OQ in punctis O, C, P, Q ea lege ut (si erigantur perpendi­cula OK, CT, PI, QE, centroque O & Asymptotis OK, OQ describatur Hyper­bola TIGE secans perpendicula CT, PI, QE in T, I & E, & per punctum I agatur KF occurrens Asymptoto OK in K, & perpendiculis CT & QE in L & F) fuerit area Hyperbolica PIEQ ad aream Hyperbolicam [Page 310] PITC ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca as­censu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica PINM quae sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur a­rea Hyperbolica PIGR, quae sit ad aream PIEQ ut arcus qui­libet CD ad arcum BC descensu toto descriptum: erit resisten­tia in loco D ad vim gravitatis, ut area OR / OQ IEF−IGH ad aream PIENM.

Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areae PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg com­prehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa. Et areae OR / QR IEF−IGH incrementum GHhg−Rr / OQ IEF, seu Rr×HG−Rr / OQ IEF, erit ad areae PIGR decrementum RGgr seu Rr×RG, ut HG−IEF / OQ ad RG; adeoque ut OR×HG−OR / OQ IEF ad OR×GR seu OP×PI: hoc est (ob aequalia OR×HG, OR×HR−OR×GR, ORHK−OPIK, PIHR & PIGR+IGH) ut PIGR+IGH−OR / OQ IEF ad OPIK. Igitur si area OR / OQ IEF−IGH dicatur Y, atque areae PIGR decrementum RGgr de­tur, erit incrementum areae Y ut PIGR−Y.

Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describen­do CD proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resi­stentia ponatur: erit V−R vis tota qua corpus urgetur in D, [Page 311] adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentia R (per Hypothesin) ut qua­dratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resi­stentiae ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum & V−R conjun­ctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut V−R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R ex­ponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR−Z.

Igitur area PIGR per datorum momentorum subductio­nem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR−Y, & area Z in ratione PIGR−Z. Et propterea si areae Y & Z simul incipiant & sub initio aequales sint, hae per additio­nem aequalium momentorum pergent esse aequales, & aequali­bus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, aequalia habe­bunt momenta & semper erunt aequales: id adeo quia si resisten­tia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, re­sistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.

Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio & fine motus, ubi arcus CD, CD arcubus CB & Ca aequantur, adeoque ubi recta RG incidit in rectas QE & CT. Et area Y seu OR / OQ IEF−IGH incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi OR / OQ IEF & IGH aequalia sunt: hoc est (per con­structionem) ubi recta RG incidit in rectam QE & CT. Pro­indeque areae illae simul incipiunt▪ & simul evanescunt, & propte­rea semper sunt aequales. Igitur area OR / OQ IEF−IGH aequa­lis est areae Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gra­vitatem. Q.E.D.

[Page 312] Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravi­tatis, ut area OP / OQ IEF ad aream PINM.

Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum PIGR−Y) evadit nullum.

Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quae est in dimidiata ratione resistentiae, & ipso motus initio aequatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque om­resistentia oscillantis.

Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendae sunt, visum est Propositio­nem sequentem subjungere, quae & generalior sit & ad usus Phi­losophicos abunde satis accurata.

Prop. XXX. Theor. XXIII.

‘Si recta aB aequalis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando de­scribit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quae sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus pun­ctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente de­scriptum, ducta in arcuum eorundam semisummam, aequalis erit areae BKaB a perpendiculis omnibus DK occupatae, quamproxime.’

Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra de­scriptus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui de­scriberetur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repraesentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in C secundum Tan­gentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longi­tudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Expo­natur igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad [Page 313] longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiae. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describet autem corpus tem­pore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiae occurrentibus in E & e, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, des­cendendo

[figure]

a puncto B, ac­quireret in locis D & d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur ita (que) hae velocitates per per­pendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet ve­locitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN ae­qualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteri­ore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpen­diculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex aequo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex aequo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad ½ aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad ½ aB; ideoque summa om­nium MN×½ aB, id est Aa×½ aB, aequalis erit summae omnium Dd×DR, id est areae BRrSa, quam rectangula omnia Dd×DR [Page 314] seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½ aB seu OB aequalis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, in­cidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu ae­qualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K cir­ca medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu aequaliter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensio­nibus hinc inde propemodum aequatis inter se; & propterea in casu priore addita areae BRSa, in posteriore eidem subducta, re­linquet aream BKTa areae BRSa aequalem quam proxime. Ergo rectangulum Aa×½ aB seu AaO, cum sit aequale areae BRSa, erit etiam aequale areae BKTa quamproxime. Q.E.D.

Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum Ca, CB defferentia Aa, colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkS rectan­gulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½ Ba & Aa. aequalis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK aequalis erit ½ Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiae, & longitudo penduli ex­ponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½ Aa ad longi­tudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demon­stratum est.

Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkS Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA in Medio non resi­stente, aequalibus circiter temporibus describantur; adeoque ve­locitates [Page 315] in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velo­citates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel El­lipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeo­que figura BKVTa Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiae in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus OB, OV de­scripta, figuram aBKVT, eique aequale rectangulum Aa×BO, aequabit quam proxime. Est igitur Aa×BO ad OV×BO ut area Ellipseos hujus ad OV×BO: id est Aa ad OV ut area se­micirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et prop­terea: 7/11 Aa ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis re­sistentia in O ad ejusdem gravitatem.

Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, fi­gura BKTVa Parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque aequalis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub Ba & OV quam proxime. Est igitur rectangulum sub ½ Ba & Aa aequale rectangulo sub ⅔ Ba & OV, adeoque OV aequalis ¾ Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravita­tem ut ¾ Aa ad longitudinem Penduli.

Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accura­tas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum­figura BKVTa in puncto medio V, haec si ad partem alteru­tram BKV vel VTa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime.

Prop. XXXI. Theor. XXIV.

‘Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum par­tibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; diffe­rentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.’

Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resi­stentiam [Page 316] Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportio­nalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangu­lum sub recta ½ aB & arcuum illorum CB, Ca differentia Aa, aequalis erat areae BKT. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc est in ratione resistentiae, adeoque est ut longitudo aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & ½ aB est ut aB & resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resisten­tia. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.

Corol. 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, dif­ferentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.

Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; & contra.

Corol. 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici veloci­tatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit par­tim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata; & contra. Eadem erit lex & ratio resistentiae pro velocitate, quae est differentiae illius pro longitudine arcus.

Corol. 5. Ideoque si, pendulo inaequales arcus successive descri­bente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiae hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incre­menti ac decrementi resistentiae pro velocitate majore vel minore.

SECT. VII.

‘De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium.’

Prop. XXXII. Theor. XXV.

‘Si corporum Systemata duo ex aequali particularum numero constent & particulae correspondentes similes sint, singulae in uno System. singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eae inter se quae in uno sunt Systemate & eae inter se quae sunt in al­tero) & si non tangant se mutuo quae in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus quae sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systema­tum particulae ille pergent inter se temporibus proportionalibus si­militer moveri; & contra.’

Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illo­rum semper sunt similes: puta si particulae unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figura­rum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particulae correspondentes, ob similitudinem incaeptorum motuum, pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viri­bus, progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg. I. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, & vires illae sint ut par­ticularum correspondentium diametri inverse & quadrata veloci­tatum directe; quoniam particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totae quibus particulae correspondentes a­gitantur, [Page 318] ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium secundum) compositae, similes habebunt determinationes, perin­de ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; & erunt vires illae totae ad invicem ut vires singulae componentes, hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut correspondentes particulae figuras similes describere pergant. Haec ita se habebunt per Corol. 1.2, & 7. Prop. IV. si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducen­tur mutationes in figuris quas particulae describunt. Similes igi­tur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes mo­tus inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpora duo quaevis, quae similia sint & ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium par­ticularum: haec pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utri­usque atque particularum.

Corol. 2. Et si similes & similiter positae Systematum partes omnes quiescant inter se: & earum duae, quae caeteris majores sint, & sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipi­ant: hae similes in reliquis systematum partibus excitabunt mo­tus, & pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia descri­bere.

Prop. XXXIII. Theor. XXVI.

‘Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplica­ta ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.’

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri­fugis quibus particulae systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiae sunt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totae acceleratrices & quantitates materiae in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiae parti­cularum correspondentium inverse & quantitates materiae in par­tibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiae par­ticularum systematis unius sint ad distantias correspondentes par­ticularum alterius, ut diameter particulae vel partis in systemate priore ad diametrum particulae vel partis correspondentis in al­tero, & quantitates materiae sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiae sunt ad invicem ut quadrata velocita­tum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. Q.E.D. Posterioris generis resistentiae sunt ut reflexionum cor­respondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem re­flexionum sunt ad invicem ut velocitates partium corresponden­tium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates par­tium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & dia­metrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiae partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora au­tem [Page 320] duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires au­tem motrices, quibus particulae Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata veloci­tatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis pro­portionalia describent.

Corol. 2. Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulae distantes se mutuo agitant, augerenter in dupli­cata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ra­tione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria A, B, C ex partibus similibus & aequalibus & secundum distantias aequales re­gulariter dispositis constantia. Partes Mediorum A & B fugiant se mutuo viribus quae sint ad invicem ut T & V, illae Medii C ejus­modi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor aequa­lia D, E, F, G in his Mediis moveantur, priora duo D & E in prioribus duobus A & B, & altera duo F & G in tertio C; sitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis E, & velocitas cor­poris F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium T ad vires V; resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis E, & resistentia corporis F ad resistentiam corporis G in velocita­tum ratione duplicata; & propterea resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis F ut resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora D & F aequivelocia ut & corpora E & G; & augendo velocitates corporum D & F in ratione qua­cunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem ra­tione duplicata, accedet Medium B ad formam & conditionem Medii C pro lubitu, & idcirco resistentiae corporum aequalium & aequivelocium E & G in his Mediis, perpetuo accedent ad aequa­litatem, [Page 321] ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quaevis. Proinde cum resistentiae corporum D & F sint ad invicem ut resistantiae corporum E & G, accedent etiam hae similiter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur D & F, ubi velocissi­me moventur, resistantiae sunt aequales quam proxime: & propte­rea cum resistentia corporis F sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis D in eadem ratione quam proxime. Q.E.D.

Corol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissi­me moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si mo­do Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.

Corol. 4. Proinde cum resistentiae similium & aequivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam aequivelocium & ce­lerrime moventium corporum resistentiae in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.

Corol. 5. Et cum corpora similia, aequalia & aequivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulae se mutuo non fu­giunt, sive particulae illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus inpingant, eique aequalem motus quantitatem imprimant, & vi­cissim (per motus Legem tertiam) aequalem ab eadem reactio­nem patiantur, hoc est, aequaliter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum resistentiae quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia pro­jectilium celerrime motorum non multum diminuitur.

Corol. 6. Cum autem particulae Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo dissicilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earum [Page 322] vires centrifugae, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebi­tur, quo vires illae sunt intensiores; & propterea si corporis ve­locissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoni­am resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si mo­do vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resi­stentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.

Corol. 7. Porro cum vires centrifugae eo nomine a [...]uam resistentiam conducant, quod particulae motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum di­stantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: mani­festum est quod augmentum resistentiae ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate ob­tinebit in Fluidis quae, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulae Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminu­antur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistantiae quae pri­us: ut ex praecedentibus facile colligitur.

Corol. 9. Haec omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis E­lastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad in­star Lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistantia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.

Prop. XXXIV. Theor. XXVII.

‘Quae in praecedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulae Systematum se mutuo contingunt, si modo par­ticulae illae sint summe lubricae.’

Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vi­res illas in accessu ad superficies particularum augeri in insinitum, & contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui & statim eva­nescere. Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eo­rum se mutuo contingant, nisi quatenus vires illae contactum im­pediunt. Sint autem spatia per quae vires particularum diffun­duntur quam angustissima, ita ut particulae se mutuo quam proxi­me contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubricae, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium praefatarum, perinde ac si essent Elasticae. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quate­nus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: quae quidem diversitas diminuendo parti­cularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero quae in praecedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obti­nent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per quae vires diffunduntur, di­minuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in parti­culis sese contingentibus, exceptis solum differentiis quae tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quo­cunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quaevis. Ergo differentia falso assignatur, & propte­rea nulla est. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si Systematum duorum partes omnes quies­cant inter se, exceptis duabus, quae caeteris majores sint & sibi [Page 324] mutuo correspondeant inter caeteras similiter sitae. Hae secundum lineas similiter positas utcunque projectae similes excitabunt mo­tus in Systematibus, & temporibus proportionalibus pergent spa­tia similia & diametris suis proportionalia describere; & resi­stentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis Systema­tum.

Corol. 2. Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes duae majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulae summe lubricae, & quoad magnitudi­nem & densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis pro­portionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superi­ore definita.

Corol. 3. Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 4. At si particulae Fluidi non sint summe lubricae, vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum liber­tas diminuitur: Proiectilia[?] tardiora difficilius superabunt resisten­tiam, & propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.

Prop. XXXV. Theor. XXVIII.

‘Si Globus & Cylindrus aequalibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, aequali cum veloci­tate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam re­sistentia Cylindri.’

Nam quoniam resistentia (per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mu­tuo fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus desti­tutas per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol. 5.) sive corpus in Medio quiescente moveatur, five Medii particulae eadem cum [Page 325] velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, & videamus qu [...] impetu urgebitur a Medio movente. Designet igitur ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro

[figure]

CA descrip­tum, & inci­dant particu­lae Medii data cum velocita­te in corpus illud Sphaeri­cum, secun­dum rectas ipsi AC paralle­las: Sitque FB ejusmodi recta. In ea capiatur LB semidiametro CB aequalis, & ducatur BD quae Sphaeram tangat in B. In AC & BD demit­tantur perpendiculares BE, DL, & vis qua particula Medii, se­cundum rectam FB oblique incidendo, Globum ferit in B, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONGQ axe ACI circa Globum descriptum perpendiculariter feriret in b, ut LD ad LB vel BE ad BC. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiae suae plagam FB vel AC, est ad e­jusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam de­terminationis suae, id est secundum plagam rectae BC qua globum directe urget, ut BE ad EC. Et conjunctis rationibus, effica­cia particulae, in globum secundum rectam FB oblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidentiae suae, est ad efficaciam particulae ejusdem secundum eandem rectam in cylin­drum perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, ut BE quadratum ad BC quadratum. Quare si ad cy­lindri basem circularem NAO erigatur perpendiculum bHE, & sit bE aequalis radio AC, & bH aequalis CE quad./CB, erit bH ad [Page 326] bE ut effectus particulae in globum ad effectum particulae in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus bH occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus bE occu­patur, ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Pa­rabolois vertice V, axe CA & latere recto CA descriptum, & so­lidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: & no­tum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in Cylindrum. Et propterea si particulae Medii quiescerent, & cy­lindrus ac globus aequali cum velocitate moverentur, foret resi­stentia globi duplo minor quam resistentia cylindri. Q.E.D.

Scholium.

Eadem methodo figurae aliae inter se quoad resistentiam com­parari possunt, eaeque inveniri quae ad motus suos in Mediis re­sistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari CEBH, quae centro O, radio OC describitur, & alti­tudine

[figure]

OD, construendum sit frustum coni CBGF, quod omnium eadem basi & altitu­dine constructorum & secundum plagam axis sui versus D progredientium frustorum mi­nime resistatur: biseca altitudinem OD in Q & produc, OQ ad S ut sit QS aequalis QC, & erit S vertex coni cujus frustum quaeritur.

Unde obiter cum angulus CSB semper sit acutus, consequens est, quod si solidum ADBE convolutione figurae Ellipticae vel O­valis ADBE circa axem AB facta generetur, & tangatur figura generans a rectis tribus FG, GH, HI in punctis F, B & I, ea lege ut GH sit perpendicularis ad axem in puncto contactus B, & FG, HI cum eadem GH contineant angulos FGB, BHI graduum 135: solidum, quod convolutione figurae ADFGHIE circa ax­em [Page 327] eundem CB generatur, minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagam axis sui AB progrediatur, & utriusque terminus B praecedat. Quam quidem propositio­nem in construendis Navi­bus

[figure]

non inutilem futuram esse censeo.

Quod si figura DNFB ejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovis N ad axem AB demittatur perpendi­culum NM, & a puncto dato G ducatur recta GR quae parallela sit rectae figuram tangenti in N, & axem productum secet in R, fuerit MN ad GR ut GR cub. ad 4 BR×GBq: So­lidum quod figurae hujus revolutione circa axem AB facta descri­bitur, in Medio raro & Elastico ab A versus B velocissime mo­vendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine descriptum Solidum circulare.

Prop. XXXVI. Prob. VIII.

‘Invenire resistentiam corporis Sphaerici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis. (Vide Fig. Pag. 325.)’

Designet ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro CA descriptum. Producatur CA primo ad S deinde ad R, ut sit AS pars tertia ipsius CA, & CR sit ad CS ut densitas corporis Sphae­rici ad densitatem Medii. Ad CR erigantur perpendicula PC, RX, centroque R & Asymptotis CR, RX describatur Hyper­bola quaevis PVY. In CR capiatur CT longitudinis cujusvis, & erigatur perpendiculum TV abscindens aream Hyperbolicam PCTV, & sit CZ latus hujus areae applicatae ad rectam PC. Di­co quod motus quem globus, describendo spatium CZ, ex resi­stentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut lon­gitudo CT ad longitudinem CR quamproxime.

[Page 328]Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, aequalis est motui quem imprimeret in easdem par­ticulas. Ponamus quod particulae singulae reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si mo­do particulae quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, ad­dita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo ma­jorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cy­lindrus ex reflexione particulae cujusque amittit, erit ad mo­tum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Pro­inde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro de­scripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylin­dri ut 2 Ct×CS ad AI×CR. Ea enim est ratio materiae Me­dii, a cylindro protrusae & reflexae, ad massam cylindri. Unde cum globus sit duae tertiae partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resisten­tia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut Ct×CS ad ⅔ AI×CR, sive ut Ct ad CR. Erigatur perpendiculum tv Hyperbolae occur­rens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II) si corpus de­scribendo longitudinem areae CtvP proportionalem, amittit mo­tus sui totius CR partem quamvis Ct, idem describendo longitu­dinem areae CTVP proportionalem, amittet motus sui partem CT. Sed longitudo Ct aequalis est CPvt / CP, & longitudo OZ (per Hypothesin) aequalis est CPTV / CP, adeoque longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus sui partem, quae sit ad totum ut Ct ad CR, is [Page 329] describendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus sui partem quae sit ad totum ut CT ad CR. Q.E.D.

Corol. 1. Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tem­pus quo corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui par­tem Ct: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiae ad gravitatem Globi.

Corol. 2. Quoniam in his determinandis supposui quod par­ticulae Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo re­flectantur, & particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particulae vi omni Elastica aliaque omni vi reflexi­va destituuntur, corpus Sphaericum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.

Corol. 3. Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis & Co­rollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit.

Corol. 4. Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: haec describendo longitudinem quamvis CZ amittent majorem motus sui partem, quam quae sit ad motum suum totum ut CT ad CR.

Corol. 5. Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi re­sistentiae pro ratione velocitatis inveniri potest.

Prop. XXXVII. Prob. IX.

‘Aquae de vase dato per foramen effluentis definire motum.’

Si vas impleatur aqua, & in fundo perforetur ut aqua per fo­ramen defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aquae totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculari­ter imminet. Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, ob­staculum sustineret pondus aquae sibi perpendiculariter incum­bentis, & fundum vasis sustineret pondus aquae reliquae. Sub­lato autem obstaculo, fundum vasis eadem aquae pressione eo­demve ipsius pondere urgebitur ac prius; & pondus quod ob­staculum sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua des­cendat & per foramen defluat.

Unde consequens est, quod motus aquae totius effluentis is erit quem pondus aquae foramini perpendiculariter incumbentis gene­rare possit. Nam aquae particula unaquaeque pondere suo, qua­tenus non impeditur, descendit, idque motu uniformiter accele­rato; & quatenus impeditur, urgebit obstaculum. Obstaculum illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; & propte­rea ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit a­quam defluentem & motum sibi proportionalem generabit.

Designet igitur F aream foraminis, A altitudinem aquae fora­mini perpendiculariter incumbentis, P pondus ejus, AF quan­titatem ejus, S spatium quod dato quovis tempore T in vacuo libere cadendo describeret, & V velocitatem quam in fine tem­poris illius cadendo acquisierit: & motus ejus acquisitus AF×V aequalis erit motui aquae totius eodem tempore effluentis. Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem V ut d ad e; & cum aqua velocitate V describere posset spatium 2S, aqua effluens eodem tempore, velocitate sua d / e V, describere pos­set spatium 2d / e S. Et propterea columna aquae cujus longitudo [Page 331] sit 2d / e S & latitudo eadem quae foraminis, posset eo tempore de­fluendo egredi de vase, hoc est columna 2d / e SF. Quare motus 2dd / ee SFV, qui fiet ducendo quantitatem aquae effluentis in velo­citatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius geni­tus, aequabitur motui AF×V. Et si aequales illi motus applicen­ter ad FV; fiet 2dd / ee S aequalis A. Unde est dd ad ee ut A ad 2S, & d ad e in dimidiata ratione ½ A ad S. Est igitur velocitas qua­cum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo describens spatium S acquireret, ut altitudo aquae foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium propor­tionale inter altitudinem illam duplicatam & spatium illud S, quod corpus tempore T cadendo describeret.

Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate V ascenderet ad altitudinem illam S de qua deciderat; & altitu­dines (uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem ½ A. Et propterea quan­titas aquae effluentis, quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem ½ A, aequalis erit columnae aquae totius AF fo­ramini perpendiculariter imminentis.

Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendi­culariter surgeret ad dimidiam altitudinem aquae foramini incum­bentis; consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cu­jus latus rectum est altitudo aquae in vase supra canalis orificium, & cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur, atque ordinatim applicatae parallelae sunt axi canalis.

Haec omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si aqua ex partibus crassioribus constet, haec tardius effluet quam pro ratione superius assignata, praesertim si foramen angustum sit per quod effluit.

[Page 332]Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum vasis integrum est, & eadem aquae incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas susti­nebit pondus aquae totius, non obstante effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam su­stineret si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur: quae quidem pressio aequalis est ponderi columnae aquae, cujus basis foramini aequatur & altitudo eadem est quae a­quae totius supra foramen. Et propterea si vas, ad modum cor­poris penduli, filo praelongo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par est ratio motus pilarum, quae Pulvere tormentario madefacto implentur, &, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a regione flammae & in partem contrariam cum impetu feruntur.

Prop. XXXVIII. Theor. XXIX.

‘Corporum Sphaericorum in Mediis quibusque Fluidissimis resisten­tiam in anteriore superficie definire.’

Defluat aqua de vase Cylindrico ABCD, per canalem Cy­lindricum EFGH, in vas inferius IKLM; & inde effluat per vasis marginem IM. Sit autem margo ille ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo CD, eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu descendat; & in medio canalis collocetur Globus P, sitque PR altitudo aquae supra Globum, & SR ejus­dem altitudo supra fundum vasis. Sustineatur autem Globus fi­lo tenuissimo TV, lateribus canalis hinc inde affixo. Et manife­stum est per proportionem superiorem, quod quantitas aquae da­to tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod de­fluit; hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus adsit, ut spatium undique inter Globum & canalem. Nam ve­locitas aquae defluentis (per superiorem Propositionem) ea erit [Page 333] quam corpus cadendo, & casu suo describendo dimidiam aquae altitudinem SR, acquirere posset: adeoque eadem est sive Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aquae per spa­tium angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius, & propterea ve­locitas

[figure]

ejus u­bi Globus adest, non potest es­se major quam cum tollitur: i­deoque major a­quae quantitas, u­bi Globus adest, non effluet quam­pro ratione spa­tii per quod tran sit. Si aqua non sit liquor subti­lissimus & flui­dissimus, hujus transitus per spa­tium angustius, ob crassitudinem particularum, e­rit aliquanto tar­dior: at liquorem fluidissimum esse hic supponimus. Igitur quantitas aquae, cujus descensum Globus dato tempore impedit, est ad quantitatem aquae quae, si Globus tolleretur, eodem tempore descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium canalis; sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diame­tri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aquae cujus descen­sum Globus impedit, aequalis est quantitati aquae, quae eodem [Page 334] tempore per foramen circulare in fundo vasis, basi Cylindri illius aequale, descendere posset, & cujus descensus per fundi partem quamvis circularem basi illi aequalem impeditur.

Jam vero pondus aquae, quod vas & Globus conjunctim susti­nent, est pondus aquae totius in vase, praeter partem illam quae aquam defluentem accelerat, & ad ejus motum generandum suffi­cit, quaeque, per Propositionem superiorem, aequalis est ponderi columnae aquae cujus basis aequatur spatio inter Globum & cana­lem per quod aqua defluit, & altitudo eadem cum altitudine aquae supra fundum vasis, per lineam SR designata. Vasis igi­tur fundum & Globus conjunctim sustinent pondus aquae totius in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis. Unde cum fun­dum vasis sustineat pondus aquae sibi perpendiculariter imminen­tis, reliquum est ut Globus etiam sustineat pondus aquae sibi per­pendiculariter imminentis. Globus quidem non sustinet pondus aquae illius stagnantis & sibi absque omni motu incumbentis, sed aquae defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; ade­oque vim aquae defluentis sustinet ponderi illi aequalem. Nam impedit descensum & effluxum quantitatis aquae quem pondus illud accurate efficeret si Globus tolleretur. Aqua pondere suo, quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne, ide­oque obstaculum, quatenus descensum aquae impedit, vim sustinet aequalem ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem descensum quantitatis aquae impedit, quem pondus colum­nae aquae sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; & propterea vim aquae decurrentis sustinet ponderi illi aequalem. Actio & reactio aquae per motus Legem tertiam aequantur inter se, & in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam de­scendentem, ad ejus descensum impediendum, in superiora dirigi­tur, & est ut descendendi motus impeditus, eique tollendo adae­quate sufficit: & propterea actio contraria aquae in Globum ae­qualis est vi quae motum eundem vel tollere vel generare possit, [Page 335] hoc est ponderi columnae aquae, quae Globo perpendiculariter im­minet & cujus altitudo est RS.

Si jam canalis orificium superius obstruatur, sic ut aqua des­cendere nequeat, Globus quidem, pondere aquae in canali & vase inferiore IKLM stagnantis, premetur undique; sed non ob­stante pressione illa, si ejusdem sit specificae gravitatis cum aqua, quiescet. Pressio illa Globum nullam in partem impellet. Et propterea ubi canalis aperitur & aqua de vase superiore descendit, vis omnis, qua Globus impellitur deorsum, orietur ab aquae illius descensu, atque adeo aequalis erit ponderi columnae aquae, cujus al­titudo est RS & diameter eadem quae Globi. Pondus autem istud, quo tempore data quaelibet aquae quantitas per foramen basi Cy­lindri circa Globum descripti a quale, sublato Globo effluere pos­set, sufficit ad ejus motum omnem generandum; atque adeo quo tempore aqua in Cylind [...]o uniformiter decurrendo describit duas tertias partes diametri Globi, sufficit ad mo [...]um omnem aqua Glo­bo aequalis generandum. Nam Cylindres aquae, latitudine Globi & duabus tertiis partibus altitudinis d [...]scriptus, Globo aequatur. Et propterea aquae currentis impetus in Globum quiescentem, quo tempore aqua currendo describit duas tertias partes diametri Globi, si uniformiter continuetur, generaret motum omnem par­tis Fluidi quae Globo aequatur.

Quae vero de aqua in canali demonstrata sunt, intelligenda sunt etiam de aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in ea quiescens urgetur. Quaeque de aqua demonstrata sunt obtinent etiam in Fluidis universis subtilissimis. De his omnibus idem va­let argumentum.

Jam vero per Legum Corol. 5, vis Fluidi in Globum eadem est, sive Globus quiescat & Fluidum uniformi cum velocitate mo­veatur, sive Fluidum quiescat & Globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat. Et propterea resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suae describit, aequa­lis [Page 336] est vi, quae in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo & ejus­dem densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suae progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare posset. Tanta est re­sistentia Globi in superficiei parte praecedente. Q.E.D.

Corol. 1. Si solidum Sphaericum in ejusdem secum densitatis Fluido subtilissimo libere moveatur, & inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiescit; ejusdem resistentia ea erit quam in Corollario secundo Propositionis xxxvi. descripsi­mus. Unde si computus ineatur, patebit quod solidum dimidi­am motus sui partem prius amittet, quam progrediendo descripse­rit longitudinem diametri propriae; Quod si inter movendum mi­nus urgeatur a tergo, magis retardabitur: & contra, si magis urgeatur, minus retardabitur.

Corol. 2. Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam proje­ctilium per infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum di­minui. Si Fluidum sit valde crassum, minuetur resistentia ali­quantulum per divisionem partium ejus. At postquam compe­tentem Fluiditatis gradum acquisiverit, (qualis forte est Fluidi­tas Aeris vel aquae vel argenti vivi) resistentia in anteriore super­ficie solidi, per ulteriorem partium divisionem non multum minu­etur. Nunquam enim minor futura est quam pro limite quem in Corollario superiore assignavimus.

Corol. 3. Media igitur in quibus corpora projectilia sine sen­sibili motus diminutione longissime progrediuntur, non solum Fluidissima sunt, sed etiam longe rariora quam sunt corpora illa quae in ipsis moventur: nisi forte quis dixerit Medium omne Flu­idissimum, impetu perpetuo in posticam projectilis partem facto, tantum promovere motum ejus quantum impedit & resistit in par­te antica. Et motus quidem illius, quem projectile imprimit in Medium, partem aliquam a Medio circulariter lato reddi cor­pori a tergo verisimile est. Nam & experimentis quibusdam fa­ctis, reperi quod in Fluidis satis compressis pars aliqua redditur. [Page 337] Omnem vero in casu quocunque reddi nec rationi consentaneum videtur, neque cum experimentis hactenus a me tentatis bene quadrat. Fluidorum enim utcunque subtilium, si densa sint, vim ad solida movenda resistendaque permagnam esse, & quo­modo vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius patebit per Propositiones duas quae sequuntur.

Lemmma IV.

Si vas Sphaericum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi im­pressa moveatur in directum, motuque progressivo semper accelerato ita pergat ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi, aequaliter participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtine­bit in vase figurae cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget de­monstratione.

Prop. XXXIX. Theor. XXX.

‘Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis progreditur, & cujus partes inter se quiescunt, rapit omnia ejusdem densitatis innatantia corpora, & secum cum eadem velocitate defert.’

Nam per Lemma superius si vas Sphaericum, rigidum, Fluido­que homogeneo quiescente plenum, motu paulatim impresso progrediatur; Fluidi motum vasis participantis partis omnes semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes aliquae congela­rentur, pergerent hae quiescere inter partes reliquas. Nam quo­niam partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluidae sint, sive aliquae earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa moveatur, & motum suum imprimat in Fluidum: Flui­dum quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congela­tas easque secum rapiet. Sed partes illae congelatae sunt corpora solida ejusdem densitates cum Fluido; & par est ratio Fluidi, sive id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad modum venti [Page 338] spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato fertur, & cujus partes inter se quiescunt, solida quaecunque ejus­dem densitatis inclusa, quae sub initio quiescebant, rapit secum, & una moveri cogit. Q.E.D.

Prop. XL. Prob. X.

‘Invenire resistentiam solidorum Sphaericorum in Mediis Fluidissi­mis densitate datis.’

In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic: ut ejus motus amissus, quo tempore progrediendo longitudinem se­midiametri suae describit, est ad ejus motum totum sub initio, ita motus quem solidum quodvis datum, in Fluido eodem jam facto subtilissimo, describendo diametri suae longitudinem amitteret, est ad ejus motum totum sub initio quamproxime. Nam si par­ticulae minimae Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eun­demque situm ad solidum datum in eo movens, quem particulae totidem minimae Fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum; sintque particulae Fluidi utrius (que) summe lubricae, & viribus cen­trifugis centripetisque omnino destituantur; incipiant autem soli­da temporibus quibuscunque proportionalibus in his Fluidis si­militer moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis aequalia, amittent partes motuum proportionales totis; idque licet partes Medii subtiliati minuantur, & magnitudo solidi in Medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum. Ergo ex resistentia solidi aucti in Medio non subtiliato, dabitur per proportionem superiorem re­sistentia solidi non aucti in Medio subtiliato. Q.E.I.

Si particulae non sunt summe lubricae, supponendum est quod in utro (que) Fluido sunt aequaliter lubricae, eo ut ex defectu lubrici­tatis resistentia utrin (que) aequaliter augeatur: & Propositio etiam­num valebit.

[Page 339] Corol. 1. Ergo si ex aucta solidi Sphaerici magnitudine augea­tur ejus resistentia in ratione duplicata; resistentia solidi Sphaerici dati ex diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus minuetur.

Corol. 2. Sin resistentia, augendo solidum Sphaericum, augea­tur in minore quam duplicata ratione diametri: eadem diminu­endo particulas Fluidi, diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata diametri.

Corol. 3. Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem partium Fluidi non multum diminui potest. Nam re­sistentia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas ma­teriae fluidae resistentis, quam solidum illud movendo protrudit & a locis a se invasis & occupatis propellit: hoc est ut spatium Cy­lindricum per quod solidum movetur, adeoque in duplicata rati­one semidiametri solidi quamproxime.

Corol. 4. Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod minus resistit est altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum densitates; praesertim si solida sint magna, & velociter moveantur, & Fluidorum aequalis sit compres­sio.

Scholium Generale.

Quae hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Glo­bum ligneum pondere unciarum Romanarum 57 1/22, diametro digitorum Londinensium 6 ⅞ fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum & centrum oscillationis Glo­bi distantia esset pedum 10½. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspensionis distans; & e regi­one puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quo­rum ope notarem longitudines arcuum a Pendulo descriptas. De­inde numeravi oscillationes quibus Globus quartam motus sui par­tem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad di­stantiam [Page 340] duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque os­cillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor: idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo descri­baret arcum digitorum 3½. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatu­or, amisit octavam motus partem oscillationibus 69, 35½, 18½ 9 ⅔ respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo & as­censu ultimo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum ¼, ½, 1, 2, 4, 8 respective. Divi­dantur eae differentiae per numerum oscillationum in casu uno­quoque; & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3¾ 7½, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descen­su & subsequente ascensu descriptorum, erit 1/656, 1/242, 1/69, 4/71, 8/37, 24/29 partes digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione, & propterea (per Corol. 2. Prop. xxxi. Libri hujus) resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxi­me; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in Corollariis Propositionis xxxii. demonstratum est.

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datae, & fingamus quod differentia arcuum sit AV+BV3/2+CV2. Et cum velocitates maximae in praedictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum 1 7/8, 3¾, 7½, 15, 30, 60 chordae, atque adeo ut arcus ipsi quam proxime, hoc est ut nu­meri ½, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Casu secundo quarto & sexto numeros 1, 4, & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia 1/242 aequalis A+B+C in Casu secundo; & 2/35½ aequalis 4A+8B+16C [Page 341] in casu quarto; & 8/9⅔ aequalis 16A+64B+256C in casu sexto. Unde si per has aequationes determinemus quantitates A, B, C; habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro veloci­tate quacunque data.

Caeterum cum velocitates maximae sint in Cycloide ut arcus oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordae, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tem­pora autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resisten­tia in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; & diminui in ratione chordae ad arcum, ob tempus (seu durationem resistentiae qua arcuum differentia praedicta genera­tur) diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjun­gamus) debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter. Haec ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto 12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia 1/242, 2/35½, & 8/9⅔ evadunt 6283/6279×242, 25132/12533×35½ & 201056/24869×9⅔, id est in numeris decimalibus 0, 004135, 0, 056486 & 0, 8363. Unde prodeunt aequationes A+B+C=0, 004135: 4A+8B+16C=0, 05648 & 16A+64B+256C=0, 8363. Et ex his per de­bitam terminorum collationem & reductionem Analyticam fit A=0, 0002097, B=0, 0008955 & C=0, 0030298. Est igi­tur differentia arcuum ut 0, 0002097V+0, 0008955V⅔+ 0,0030298V2: & propterea cum per Corol. Prop. xxx. resi­stentia Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut 7/11 AV+16/23BV½+¾CV2 ad lon­gitudinem Penduli; si pro A, B & C scribantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut 0, 0001334 V+0, 000623 V½+0, 00227235V2 ad longitudinem Penduli inter centrum sus­pensionis & Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum V in [Page 342] casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resisten­tia ad pondus Globi in casu secundo ut 0.003029 ad 121, in quarto ut 0.042875 ad 121, in sexto ut 0.63013 ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in Casu sexto descripsit, erat 120−8/9 2/3 seu 119 5/29 digitorum. Et propterea cum radius es­set 121 digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspen­sionis & centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum Globi descripsit erat 124 3/31 digitorum. Quoniam corporis oscil­lantis velocitas maxima ob resitentiam Aeris non incidit in pun­ctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: haec eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum 62 3/62; idque in Cycloide, ad quam motum penduli su­pra reduximus: & propterea velocitas illa aequalis erit velocitati quam Globus, perpendiculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus illius Sinui verso aequalem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum 62 3/62 ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, & propterea aequa­lis digitis 15, 278. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus caden­do & casu suo spatium 15, 278 digitorum describendo acquirere posset. Unde cum corpus tempore minuti unius secundi caden­do (uti per experimenta pendulorum determinavit Hugenius) describat pedes Parisienses 15 1/12, id est pedes Anglicos 16 11/24 seu digitos 197 ½, & tempora sint in dimidiata ratione spatiorum; Globus tempore minut. 16 tert. 38 quart. cadendo describet 15, 278 digitos, & velocitatem suam praedictam acquiret; & propterea cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem tempore longitudinem duplam 30, 556 digitorum. Tali igitur cum velocitate Globus resistentiam patitur, quae sit ad ejus pon­dus ut 0, 63013 ad 121, vel (si resistentiae pars illa sola specte­tur quae est in velocitatis ratione duplicata) ut 0, 58172 ad 121.

Experimento autem Hydrostatico inveni quod pondus Globi [Page 343] hujus lignei esset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem, ut 55 ad 97: & propterea cum 121 sit ad 213, 4 in eadem ra­tione, erit resistentia Globi aquei praefata cum velocitate progre­dientis ad ipsius pondus ut 0, 58172 ad 213, 4, id est ut 1 ad 366 ⅚. Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum veloci­tate uniformiter continuata describat longitudinem pedum 30, 556, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare posset; ma­nifestum est quod vis resistentiae uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione 1 ad 366⅚, hoc est velo­citatis totius partem 1/366 ⅚. Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidia­metri suae seu digitorum 3 7/16 describere posset, eodem amitteret motus sui partem 1/3262.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit▪ In sequente Tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis & partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudi­nem arcus ascensu ultimo descripti; & loco infimo stant numeri oscillationum. Experimentum descripsi tanquam magis accura­tum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

Descensus Primus248163264
Ascensus ultimus1 ½36122448
Num. Oscillat.374272162 ½83 ⅓41 ⅔22 ⅓

Postea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum & pondere unciarum Romanarum 26 ¼ suspendi filo eodem, sic ut inter centrum Globi & punctum suspensionis intervallum esset pedum 10½, & numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum subsequentium prior exhibet numerum [Page 344] oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

Descensus primus1248163264
Ascensus ultimus7/87/43 ½7142856
Numerus Oscillat.22622819314090 ½5330
Descensus primus1248163264
Ascensus ultimus¾1 ½36122448
Numerus Oscillat.51051842031820412170

In Tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quin­tam & septimam, & exponendo velocitates maximas in his ob­servationibus particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, & ge­neraliter per quantitatem V ut supra: emerget in observatione prima 2/193=A+B+C, in secunda 2/90 ½=4A+8B+16C, in tertia 8/30 aequ. 16A+64B+256C. Quae aequationes per re­ductiones superius expositas dant, A=0, 000145, B=0, 000217 & C=0, 0 [...]09. Et inde prodit resistentia Globi cum velo­citate V moventis, in ea ratione ad pondus suum unciarum 26 ¼, quam habet 0, 000923V + 0,000172V3/2+0, 000675V2 ad Pen­duli longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus eam solum­modo resistentiae partem quae est in duplicata ratione velocitatis, haec erit ad pondus Globi ut 0, 000675V2 ad 121 digitos. Erat autem haec pars resistentiae in experimento primo ad pondus Glo­bi lignei unciarum 57 7/22 ut 0, 00227235V2 ad 121: & inde fit re­sistentia Globi lignei ad resistentiam Globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut 57 7/22 in 0, 00227235 ad 26 ¼ in 0, 00 [...]675, id est ut 130309 ad 17719 seu 7 ⅓ ad 1. Diametri Globorum du­orum erant 6 ⅞ & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad invi­cem ut 47 ¼ & 4, seu 11 13/16 & 1 quamproxime. Ergo resistentiae [Page 345] Globorum aequivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quae certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia sub­duci debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistentiae totius minoris pen­duli, & inde didici quod resistentiae Globorum, dempta fili resi­stentia, sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum. Nam ratio 7 ⅓−⅓ ad 1−⅓, id est 7 ad ½ seu 10 ½ ad 1, non longe abest a diametrorum ratione duplicata 11 13/16 ad 1.

Cum resistentia fili in Globis majoribus minoris sit momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 18 ¼ di­gitorum. Longitudo penduli inter punctum suspensionis & cen­trum oscillationis erat digitorum 122 ¼, inter punctum suspensio­nis & nodum in filo 109 ½ dig. Arcus primo penduli descensu a nodo descriptus, 32 dig. arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem nodo descriptus, 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscillatione mediocri descriptus, 30 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima seu differentia inter descensum & ascensum in oscillatione mediocri ⅗ dig. Ut radius 109 ½ ad ra­dium 122 ½, ita arcus totus 60 dig. oscillatione mediocri a Nodo descriptus, ad arcum totum 67 ⅛, oscillatione mediocri a centro Glo­bi descriptum: & ita differentia 2/5 ad differentiam novam 0, 4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, auge­retur in ratione 126 ad 122 ½, velocitas ejus diminueretur in ra­tione illa dimidiata; & arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum differentia 0, 4475 diminueretur in ratione veloci­tatis, adeoque evaderet 0, 4412. Deinde si arcus descriptus au­geretur in ratione 67 ⅛ ad 124 3/31, differentia ista 0, 4412 augere­tur in duplicata illa ratione, adeoque, evaderet 1, 509. Haec ita se haberent, ex hypothesi quod resistentia Penduli esset in dupli­cata ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum to­tum 124 3/32 digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensio­nis & centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcu­um [Page 346] descensu & subsequente ascensu descriptorum foret 1, 509 dig. Et haec differentia ducta in pondus Globi penduli, quod erat unciarum 208, producit 3 [...]3, 9. Rursus ubi pendulum su­perius ex Globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum to­tum 124 3/31 digitorum, differentia arcuum descensu & ascensu de­scriptorum fsuit 126/121 in 8/9 ⅔ seu 25/29, quae ducta in pondus Globi, quod erat unciarum 57 7/22, producit 48, 55. Duxi autem differentias hasce in pondera Globorum ut invenirem eorum resistentias. Nam differentiae oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistentiae directe & pondera inverse. Sunt igitur resistentiae ut numeri 313, 9 & 48, 55. Pars autem resistentiae Globi minoris, quae est in dupli­cata ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam ut 0, 5817. ad 0, 63013, id est ut 44, 4 ad 48, [...]5; & pars resistentiae Globi majoris propemodum aequatur ipsius resistentiae toti, adeoque partes illae sunt ut 313, 9 & 44, 4 quamproxime, id est ut 7, [...]7 ad 1. Sunt autem Globorum diametri 10 ¾ & 6 ⅞; & harum qua­drata 351 ½ & 47 17/64 sunt ut 7, 38 & 1, id est ut Globorum, resi­stentiae 7, 07 & 1 quamproxime. Differentia rationum haud ma­jor est quam quae ex fili resistentia oriri potuit. Igitur resistentia­rum partes illae quae sunt (paribus Globis) ut quadrata veloci­tatum, sunt etiam (paribus velocitatibus) ut quadrata diametro­rum Globorum; & propterea (per Corollaria Prop. XL. Libri hujus) resistentia quam Globi majores & velociores in aere mo­vendo sentiunt, haud multum per infinitam aeris divisionem & subtiliationem diminui potest, proindeque Media omnia in qui­bus corpora multo minus resistuntur, sunt aere rariora.

Caeterum Globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus non erat perfecte Sphaericus, & propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo ac­curato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Op­tarim itaque (cum demonstratio vacui ex his dependeat) ut ex­perimenta [Page 347] cum Globis & pluribus & majoribus & magis accura­tis tentarentur. Si Globi sumantur in proportione Geometri­ca, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex pro­gressione experimentorum colligetur quid in Globis adhuc ma­joribus evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aquae oscillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere 166 ⅙ unciarum, diametro 3 ⅝ digitorum, movebatur ut in Tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudi­ne penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum 134 ⅛ di­gitorum.

Arcus descensu primo a puncto in filo notato descriptus digitorum.6432168421½¼
Arcus ascensu ultimo descriptus di­gitorum.482412631 ½¼ [...]/8 [...]/16
Arcuum differentia motui amisso proportionalis, digitorum.168421½¼4/81/16
Numerus oscillationum in aqua.   [...]/601 ⅕3711 ¼12 2/ [...]13 ⅓
Numerus oscillationum in aere.85 ½ 287535     

In experimento columnae quartae, motus aequales oscillationi­bus 535 in aere, & 1 ⅕ in aqua amissi sunt. Erant autem oscil­lationes in aere paulo celeriores quam in aqua, nimirum in ra­tione 44 ad 41. Nam 14 ⅔ oscillationes in aqua, & 13 ⅔ in aere simul peragebantur. Et propterea si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utroque fierent aequiveloces, numerus oscillationum 1 ⅕ in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur (ob resistentiam auctam in ra­tione illa duplicata & tempus diminutum in ratione eadem sim­plici) [Page 348] diminueretur in eadem illa ratione 44 ad 41, adeo­que evaderet 1 ⅓ in 41/44 seu 123/110. Paribus igitur Pendulorum ve­locitatibus motus aequales in aere oscillationibus 535 & in aqua oscillationibus 123/110 amissi sunt; ideoque resistentia penduli in aqua est ad ejus resistentiam in aere ut 535 ad 123/110. Haec est propor­tio resistentiarum totarum in Casu columnae quartae.

Designet jam AV+CV2 resistentiam Globi in aere cum velo­citate V moventis, & cum velocitas maxima, in Casu columnae, quartae sit ad velocitatem maximam in casu columnae primae ut 1 ad 8, & resistentia in Casu columnae quartae ad resistentiam in Casu columnae primae in ratione arcuum differentiae in his casibus, ad numeros oscillationum applicatae, id est ut 2/535 ad 16/85 ½, seu ut 85 ½ ad 4280: scribamus in his Casibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque 85 ½ & 4280 pro resistentiis, & fiet A+C=85 ½ & 8 A+64 C=4280 seu A+8C=535, indeque per reductionem aequationum proveniet 7 C=449 ½ & C=64 3/14 & A=21 2/7; atque adeo resistentia ut 21 2/7 V+64 3/14 V2 quamproxime. Quare in Casu columnae quartae ubi velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato ve­locitatis proportionalem, ut 21 2/7+64 3/14 seu 85 ½, ad 64 3/14; & id­circo resistentia penduli in aqua est ad resistentiae partem illam in aere quae quadrato velocitatis proportionalis est, quaeque sola in motibus velocioribus consideranda venit, ut 85 ½ ad 64 3/14 & 535 ad 123/110 conjunctim, id est ut 637 ad 1. Si penduli in aqua oscil­lantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major; adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa quae ve­locitatis quadrato proportionalis est, quaeque sola in corporibus velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem pen­duli totius, eadem cum velocitate in aqua oscillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc est ut densitas aquae ad densitatem aeris quam­proxime.

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiae pen­duli in aqua, quae esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mi­rum [Page 349] forte videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione ve­locitatis plusquam duplicata. Ejus rei causam investigando, in hanc incidi, quod Arca nimis angusta esset pro magnitu­dine Globi penduli, & motum aquae cedentis prae angustia sua nimis impediebat. Nam si Globus pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur, resistentia augebatur in duplicata ra­tione velocitatis quamproxime. Id tentabam construendo pen­dulum ex Globis duobus, quorum inferior & minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam filo assixus es­set, & in Aere oscillando, adjuvaret motum penduli eumque diu­turniorem redderet. Experimenta autem hoc modo instituta se habebant ut in Tabula sequente describitur.

Arcus descensu primo descriptus168421½¼
Arcus ascensu ultimo descriptus.12631 ½¼⅛1/16
Arcuum diff. motui amisso proportionalis421½¼⅛1/16
Numerus Oscillationum3 ⅛6 ½12 1/1221 ⅕345362 ⅕

Resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plus­quam duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verisimile est, si modo Arca augeatur in ratione penduli. Debebit tamen resi­stentia tam in aere quam in aqua, si velocitas per gradus in in­finitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plusquam du­plicata, propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in Libri hu­jus Prop. xxxvi & xxxviii. demonstrata. Nam corpora longe velocissima spatium a tergo relinquent vacuum, ideoque resisten­tia quam sentiunt in partibus praecedentibus, nullatenus minue­tur per pressionem Medii in partibus posticis.

Conferedo resistentias Mediorum inter se, effeci etiam ut pen­dula ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quasi trium, & diameter Globi penduli quasi tertia [Page 350] pars digiti. Ad filum autem proxime supra Mercurium affixus erat Globus alius plumbeus satis magnus ad motum per duli diu­tius continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in Fluido utroque successive oscillante in­venirem proportionem resistentiarum: & prodiit resistentia ar­genti vivi ad resistentiam aquae ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est ut densitas argenti vivi ad densitatem aquae. Ubi Globum pen­dulum paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi ½ vel ⅔ partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratio­ne ad resistentiam aquae quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circi­ter. Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine Globi immersi. Ampliato Globo, deberet etiam vas ampliari. Consti­tueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus & in liquoribus tum Metallorum fusorum, tum aliis quibusdam tam ca­lidis quam frigidis repetere: sed omnia experiri non vacat, & ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter mo­torum densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, a­qua quam Spiritus vini. Verum in liquoribus qui ad sensum sa­tis fluidi sunt, ut in Aere, in aqua seu dulci seu falsa, in Spiri­tibus vini, Terebinthi & Salium, in Oleo a foecibus per destilla­tionem liberato & calefacto, Oleoque Vitrioli & Mercurio, ac Metallis liquefactis, & siqui sint alii, qui tam Fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius conservent, effusique li­berrime in guttas decurrendo resolvantur, nullus dubito quin re­gula allata satis accurate obtineat: praesertim si experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis instituantur.

Quare cum Globus aqueus in aere movendo resistentiam pati­atur qua motus sui pars 1/3261, interea dum longitudinem semidi­ametri [Page 351] suae describat (ut jam ante ostensum est) tollatur, sit­que densitas aeris ad densitatem aquae ut 800 vel 850 ad 1 circiter, consequens est ut haec Regula generaliter obtineat. Si corpus quodlibet Sphaericum in Medio quocunque satis Fluido moveatur, & spectetur resistentiae pars illa sola quae est in duplicata ratione velocitatis, haec pars erit ad vim quae totum corporis motum, in­terea dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiame­trorum motu illo uniformiter continuato describat, vel tollere pos­set vel eundem generare, ut densitas Medii ad densitatem corpo­ris quamproxime. Igitur resistentia quasi triplo major est quam pro lege in Corollario primo Propositionis xxxviii. allata; & propterea partes quasi duae tertiae motus illius omnis quem Globi partes anticae movendo imprimunt in Medium, restituuntur in Globi partes posticas a Medio in orbem reduente, inque spatium irruente quod Globus alias vacuum post se relinqueret. Unde si velocitas Globi eousque augeatur ut Medium non posset adeo ce­leriter in spatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi semper relinquatur, resistentia tandem evadet quasi triplo major quam pro Regula generali novissime posita.

Hactenus experimentis usi sumus oscillantium pendulorum, eo quod eorum motus facilius & accuratius observari & mensu­rari possint. Motus autem pendulorum in gyrum actorum & in orbem redeundo circulos describentium, propterea quod sint uniformes & eo nomine ad investigandam resistentiam datae velo­citati competentem longe aptiores videantur, in consilium etiam adhibui. Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duode­cies revolveretur, notavi magnitudines circulorum duorum, quos prima & ultima revolutione descripsit. Et inde collegi velocita­tes corporis sub initio & fine. Tum dicendo quod corpus, veloci­tate mediocri describendo circulos duodecim mediocres, amitteret velocitatum illarum differentiam, collegi resistentiam qua diffe­rentia illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti posset; & resistentia inventa, quanquam hujus generis experi­menta [Page 352] minus accurate tentare licuit, probe tamen cum praeceden­tibus congruebat.

Denique cum receptissima Philosophorum aetatis hujus opinio sit, Medium quoddam aethereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime per­meet; a tali autem Medio per corporum poros fluente resisten­tia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis cor­poribus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes etiam internae in superficiebus propriis resistentiam nota­bilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum unde­cim longitudinis, ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad consti­tuendum pendulum longitudinis praedictae. Uncus sursum praeacu­tus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distanti­am quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpen­diculare, ne annulus, oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demis­so notabam alia tria loca ad quae redibat in fine oscillationis pri­mae, secundae ac tertiae. Hoc repetebam saepius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gra­vioribus, quae ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte sili quae circum pyxi­dem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget.) Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metal­lorum plenae. Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahe­bam [Page 353] filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subin­de donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rursus to­tidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plenae non majorem habe­bat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuae quam 78 ad 77. Nam si aequales essent ambarum resistentiae, pyxis plena ob vim suam insitam septuagies & octies majorem vi ins [...] pyxidis va­cui, motum suum oscillatorium tanto diutius c [...]vare deberet, atque adeo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa nota­ta redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77.

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipisius superficie ex­terna, & B resistentiam pyxidis vacuae in partibus internis; & si resistentiae corporum aequivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum quae resistuntur: erit 78 B resistentia pyxidis plenae in ipsius partibus internis: adeoque pyxi­dis vacuae resistentia tota A+B erit ad pyxidis plenae resistentiam totam A+78 B ut 77 ad 78, & divisim A+B ad 77 B ut 77, ad 1, indeque A+B ad B ut 77×77 ad 1, & divisim A ad B ut 5928 ad 1. Est igitur resistentia pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in ex­terna superficie, & amplius. Sic disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenae oriatur ab actione Fluidi ali­cujus subtilis in Metallum inclusum. At causam longe aliam esse opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plenae minora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacuae, & propterea resi­stentia pyxidis plenae in externa superficie major est, pro ipsius velocitate & longitudine spatii oscillando descripti, quam ea pyxi­dis vacuae. Quod cum ita sir, resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis.

[Page 354]Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, quae memoria exciderunt, omittere compul­sus sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quaerendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flecte­tabur. Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensio­nis immotum maneret, & tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus.

Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sphae­ricorum in Aqua & argento vivo, inveniri potest resistentia cor­porum figurarum aliarum; & sic Navium figurae variae in Typis exiguis contructae inter se conferri, ut quaenam ad navigandum aptissimae sint, sumptibus parvis tentetur.

SECT. VIII. De Motu per Fluida propagato.

Prop. XLI. Theor. XXXI.

‘Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulae Fluidi in directum jacent.’

Si jaceant particulae a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pressio directe propagari ab a ad e; at

[figure]

particula e urgebit particulas oblique po­sitas f & g oblique, & particulae illae f & g non sustinebunt pressionem illatam, nisi ful­ciantur a particulis ulterioribus h & k; quatenus autem fulciuntur, premunt par­ticulas fulcientes; & hae non sustinebunt pressionem nisi fulcian­tur [Page 355] ab ulterioribus l & m easque premant, & sic deinceps in in­finitum. Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas quae non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique pro­pagabitur in infinitum; & postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores, quae non in directum jacent, ite­rum divaricabit; idque toties, quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D.

Corol. Si pressionis a dato puncto per Fluidum propagatae pars aliqua obstaculo intercipiatur, pars reliqua quae non intercipi­tur divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam

[figure]

demonstrari potest. A puncto A propagetur pressio quaqua­versum, idque si fieri potest secundum lineas rectas, & obstacu­lo NBCK perforato in BC, intercipiatur ea omnis, praeter par­tem Coniformem APQ, quae per foramen circulare BC transit. Planis transversis de, fg, hi distinguatur conus APQ in frusta [Page 356] & interea dum conus ABC, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fgih in superficie fg, & frustum il­lud urget frustum tertium, & sic deinceps in infinitum; mani­festum est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur & pre­metur in superficie fg, quantum urget & premit frustum illud secundum. Frustum igitur degf inter Conum Ade & frustum fhig comprimitur utrinque, & propterea (per Corol. 6. Prop. XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de, fg conabitur cedere ad latera df, eg; ibique (cum ri­gidum non sit, sed omnimodo Fluidum) excurret ac di­latabitur, nisi Fluidum ambiens adsit, quo conatus iste co­hibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum ambiens ad latera df, eg quam frustum fghi eodem impetu; & propterea pressio non minus propagabitur a lateribus df, eg in spatia NO, KL hinc inde, quam propagatur a superficie fg versus PQ.Q.E.D.

Prop. XLII. Theor. XXXII.

‘Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota.’

Cas. 1. Propagetur motus a puncto A per foramen BC, per­gatque (si fieri potest) in spatio conico BCQP, secundum li­neas rectas divergentes a puncto C. Et ponamus primo quod mo­tus iste sit undarum in superficie stagnantis aquae. Sintque de, fg, hi, kl, &c. undarum singularum partes altissimae, vallibus totidem intermediis ab invicem distinctae. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis LK, NO, defluet eadem de jugorum terminis e, g, i, l, &c. d, f, h, k, &c. hinc inde versus KL & NO: & quoniam in undarum vallibus depressior est quam in Fluidi partibus immotis KL, NO; defluet [Page 357] eadem de partibus illis immotis undarum valles. Defluxu pri­ore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur & pro­pagantur versus KL & NO. Et quoniam motus undarum ab A versus PQ fit per continuum defluxum jugorum in valles proxi­mos, adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus & descensus aquae hinc inde versus KL & NO eadem velocitate per­agi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus KL & NO, eadem velocitate qua undae ipsae ab A versus PQ recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde ver­sus KL & NO ab undis dilatatis rfgr, shis, tklt, vmnv, &c occupabitur. Q.E.D. Haec ita se habere quilibet in aqua stag­nante experiri potest.

Cas. 2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn designent pulsus a puncto A per Medium Elasticum successive propagatos.

[figure]

Pulsus propagari concipe per successivas condensationes & rare­factiones Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sphaericam [Page 358] occupet superficiem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos aequalia intercedant intervalla. Designent autem lineae de, fg, hi, kl, &c. densissimas pulsuum partes per foramen BC propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus KL & NO, dilatabit sese tam versus spatia illa KL, NO utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eo (que) pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac den­sius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione parti­um densiorum versus antecedentia intervalla rariora; & pulsus eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes KL, NO hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota KL, NO, qua propagantur directe a centro A; adeoque spatium totum KLON occupabunt. Q.E.D. Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parieti­bus oppositis sed a fenestra directe propagati.

Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab A per foramen BC: & quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes Medii centro A propiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes quae urgentur Fluidae sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus pre­muntur: recedent eaedem versus Medii partes omnes quiescentes, tam laterales KL & NO, quam anteriores PQ, eoque pacto mo­tus omnis, quam primum per foramen BC transiit, dilatari in­cipiet, & abinde tanquam a principio & centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D.

Prop. XLIII. Theor. XXXIII.

‘Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsu­um undique in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit.’

[Page 359] Cas. 1. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo, itu suo urgebunt & propellent partes Medii sibi proxi­mas, & urgendo compriment easdem & condensabunt; dein re­ditu suo sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igi­tur partes Medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, hae similibus tremoribus agitatae agitabunt partes sibi proximas, eaeque simi­liter agitatae agitabunt ulteriores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes primae eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic partes reliquae quoties eunt condensabun­tur, & quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distan­tias servando non rarefierent & condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi condensantur, & recedendo ubi rare­fiunt, aliquae earum ibunt dum aliae redeunt; idque vicibus al­ternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condensatae, ob motum suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus; & propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque aequalibus circiter ab invicem distantiis, ob aequalia temporis initervalla, quibus corpus tremoribus suis sin­gulis singulos pulsus excitat. Q.E.D. Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per Medium propagati sese dilatabunt ad latera, per Propositionem praecedentem; & a corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum super­ficies propemodum Sphaericas & concentricas, undique propaga­buntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, quae si di­gito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis Elasticae.

Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a cor­poris [Page 360] tremuli partibus vibratis pressae condensari nequeunt, pro­pagabitur motus in instanti ad partes ubi Medium facillime ce­dit, hoc est ad partes quas corpus tremulum alioqui vacu­as a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum per­git in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circu­lum ad partes quae corpus relinquit, & quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes quae eidem ce­dunt.

Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammae sed a totius dilatatione deri­vari.

Prop. XLIV. Theor. XXXIV.

‘Si Aqua in canalis cruribus erectis KL, MN vicibus alternis ascendat & descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis aequetur semissi longitudinis aquae in Canali: dico quod aqua ascendet & descendet iis­dem temporibus quibus pendulum oscillatur.’

Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & cru­rum, eandem summae horum axium aequando. Designent igi­tur AB, CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque; & ubi aqua in crure KL ascendit ad altitudinem EF, descenderit aqua in crure MN ad altitudinem GH. Sit autem P corpus [Page 361] pendulum, VP filum, V punctum suspensionis, SPQR Cyclo­is quam Pendulum describat, P ejus punctum infimum, PQ ar­cus altitudini AE aequalis. Vis, qua motus aquae alternis vicibus

[figure]

acceleratur & retardatur, est excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure KL as­cendit ad EF, & in crure altero descendit ad GH, vis illa est pon­dus duplicatum aquae EABF, & propterea est ad pondus aquae totius ut AE seu PQ ad VP seu PR. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur & retardatur in Cycloide, est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia PQ a loco infimo P, ad Cycloi­dis longitudinem PR. Quare aquae & penduli, aequalia spatia AE, PQ describentium, vires motrices sunt ut pondera moven­da; ideoque vires illae, si aqua & pendulum in principio, aequali cum velocitate moveantur; pergent eadem temporibus aequali­ter movere, efficientque ut motu reciproco simul eant & redeant. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochronae.

Corol. 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisi­ensium 6 1/9, aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempore minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vici­bus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum 3 1/18 longitu­dinis, tempore minuti unius secundi oscillatur.

[Page 362] Corol. 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, auge­tur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata.

Prop. XLV. Theor. XXXV.

‘Vndarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.’

Consequitur ex constructione Propositionis sequentis.

Prop. XLVI. Prob. XI.

‘Invenire velocitatem Vndarum.’

Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspen­sionis & centrum oscillationis aequetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Un­dae progrediendo latitudinem suam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco mensuram transversam quae vel val­libus imis vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac des­cendentem, sintque A, C, E, &c. undarum culmina, & B, D, F, &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae suc­cessivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes A, C, E, &c. quae nunc infimae sunt, mox fiant altissimae; & vis motrix, qua partes altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae; alternus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco aquae in canali, easdemque temporis leges ob­servabit: & propterea (per Prop. XLIV) si distantiae inter un­darum loca altissima A, C, E, & infima B, D, F aequentur duplae penduli longitudini, partes altissimae A, C, E tempore oscillatio­nis unius evadent infimae, & tempore oscillationis alterius de­nuo ascendent. Igitur inter transitum Undarum singularum tempus erit oscillationum duarum; hoc est Unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est, [Page 363] adeoque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur Undae, quae pedes Parisienses 3 1/18 latae sunt, tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pe­des 183⅓, & horae spatio pedes 11000 quam proxime.

Corol. 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas auge­bitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.

Haec ita se habent ex Hypothesi quod partes aquae recta ascen­dunt vel recta descendunt; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quam­proxime definitum esse affirmo.

Prop. XLVII. Theor. XXXVI.

‘Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis Elasticae directe & dimidiata rati­one densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem conden­sationi proportionalis esse supponatur.’

Cas. 1. Si Media sint homogenea, & pulsuum distantiae in his Mediis aequentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit: contractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non est haec proportio. Verum tamen nisi contractiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensi­biliter, ideoque pro Physice accurata haberi potest. Sunt autem vires Elasticae motrices ut contractiones & dilatationes; & veloci­tates partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque ae­quales & correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus & reditus suos per spatia contractionibus & dilatationibus pro­portionalia, cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simul pera­gent: & propterea pulsus, qui tempore itus & reditus unius lati­tudinem suam progrediendo conficiunt, & in loca pulsuum proxi­me praecedentium semper succedunt, ob aequalitatem distantia­rum, aequali cum velocitate in Medio utroque progredientur.

[Page 364] Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes corresponden­tes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo & redeundo describant: & aequales erunt earum con­tractiones & dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, aequales erunt etiam vires illae Elasticae motrices quibus recipro­co motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum latitudo; & in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo & redeundo moveri debent. Estque tem­pus itus & reditus unius in ratione composita ex ratione dimidi­ata materiae & ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia per­currunt; & propterea sunt aequiveloces.

Cas. 3. In Mediis igitur densitate & vi elastica paribus, pul­sus omnes sunt aequiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis Elastica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elasticae, & materia movenda in ratione densitatis augetur; tempus quo mo­tus iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione den­sitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elasticae. Et prop­terea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione di­midiata densitatis Medii inverse & ratione dimidiata vis Elasticae directe. Q.E.D.

Prop. XLVIII. Theor. XXXVII.

‘Pulsibus per Fluidum propagatis, singulae Fluidi particulae, motu reciproco brevissimo euntes & redeuntes, accelerantur semper & re­tardantur pro lege oscillantis Penduli.’

Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivorum aequales distantias; ABC plagam motus pulsuum ab A versus B pro­pagati; E, F, G puncta tria Physica Medii quiescentis, in recta AC ad aequales ab invicem distantias sita; Ee, Ff, Gg, spatia [Page 365] aequalia perbrevia per quae puncta illa motu re­ciproco singulis vibrationibus eunt & redeunt; ε, φ, γ loca quaevis intermedia eorundem pun­ctorum; & EF, FG lineolas Physicas seu Me­dii partes lineares punctis illis interjectas, & suc­cessive translatas in loca εφ, φγ & ef,fg. Re­ctae Ee aequalis ducatur recta PS. Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo OP de­scribatur circulus SIPi. Per

[figure]

hujus circumferentiam to­tam cum partibus suis expo­natur tempus totum vibrati­onis unius cum ipsius parti­bus proportionalibus; sic ut completo tempore quovis PH vel PHSh, si demitta­tur ad PS perpendiculum HL vel hl, & capi­atur Ee aequalis PL vel Pl, punctum Physicum E reperiatur in ε. Hac lege punctum quodvis E eundo ab E per ε ad e, & inde redeundo per ε ad E iisdem accelerationis ac retardationis gra­dibus, vibrationes singulas peraget cum oscillante Pendulo. Probandum est quod singula Medii puncta Physica tali motu agitari debeant. Fin­gamus igitur Medium tali motu a causa qua­cunque cieri, & videamus quid inde sequatur.

In circumferentia PHSh capiantur aequales arcus HI, IK vel hi, ik, eam habentes ratio­nem ad circumferentiam totam quam habent ae­quales rectae EF, FG ad pulsuum intervallum to­tum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, F, G motibus similibus successive agitantur, si PH vel PHSk sit tempus ab initio motus puncti E, erit PI [Page 366] vel PHSi tempus ab initio motus puncti F, &

[figure]

PK vel PHSh tempus ab initio motus puncti G; & propterea Eε, Fφ, Gγ erunt ipsis PL, PM, PN in itu punctorum, vel ipsis Pn, Pm, Pl in punctorum reditu, aequales respective. Unde εγ in itu punctorum aequalis erit EG−LN, in re­ditu autem aequalis EG+ln. Sed εγ latitudo est seu expansio partis Medii EG in loco εγ, & propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut EG−LN ad EG; in reditu autem ut EG+ln seu EG+LN ad EG. Quare cum sit LN ad KH ut IM ad ra­dium OP, & EG ad BC ut HK ad circumfe­rentiam PHShP, & vicissim EG ad HK ut BC ad circumferentiam PHShP; id est (si circum­ferentia dicatur Z) ut OP×BC / Z ad OP, & ex aequo LN ad EG ut IM ad OP×BC / Z: erit ex­pansio partis EG in loco εγ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo EG, ut OP×BC / Z−IM ad OP×BC / Z in itu, utque OP×BC / Z+im ad OP×BC / Z in reditu. Unde si OP×BC / Z dicatur V, erit expansio partis EG, punctive Phy­sici F, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut V−IM ad V, in reditu ut V+im ad V; & ejus­dem vis elastica ad vim suam elasticam medio­in itu, ut 1/V−IM ad 1/V; in reditu ut 1/V+im ad 1./V Et eodem argumento vires Elasticae punctorum Physicorum E & G in itu, sunt ut 1/V−HL & 1/V−KN ad 1/V; & virium differentia ad Medii [Page 367] vim elasticam mediocrem, ut HL−KN / VV−V×HL−V×KN+HL×KN ad 1/V. Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus HK & KN indefinite minores esse quantitate V) ut HL−KN / VV ad 1/V, sive ut HL−KN ad V. Quare cum quantitas V detur, diffe­rentia virium est ut HL−KN, hoc est (ob proportionales HL−KN ad HK & OM ad OI vel OP, da­tasque

[figure]

HK & OP) ut OM; id est, si Ff bise­cetur in Ω, ut Ωφ. Et eodem argumento dif­ferentia virium Elasticarum punctorum Phy­sicorum ε & γ, in reditu lineolae Physicae εγ est ut Ωφ. Sed differentia illa (id est excessus vis Elasticae puncti ε supra vim elasticam pun­cti γ,) est vis qua interjecta Medii lineola Physica εγ acceleratur; & propterea vis ac­celeratrix lineolae Physicae εγ est ut ipsius distantia a Medio vi­brationis loco Ω. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) recte exponitur per arcum PI; & Medii pars linearis εγ lege praescripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ra­tio partium omnium linearium ex quibus Medium totum com­ponitur. Q.E.D.

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multipli­catur in eorum progressu. Nam lineola Physica εγ, quampri­mum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propa­gari desinunt.

Prop. XLIX. Prob. XII.

‘Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.’

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris no­stri [Page 368] comprimi, sitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adaequet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Consti­tui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis sit A; & quo tempore pen­dulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio A descripti aequale.

Nam stantibus quae in Propositione superiore constructa sunt, si linea quaevis Physica, EF singulis vibrationibus describendo spa­tium PS, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & S, a vi Elastica quae ipsius ponderi aequetur; peraget haec vibra­tiones singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini PS aequalis est, oscillari posset: id adeo quia vi­res aequales aequalia corpuscula per aequalia spatia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione lon­gitudinis pendulorum, & longitudo penduli aequetur dimidio ar­cui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione longitudinis ½ PS seu PO ad longitudinem A. Sed vis Elastica qua lineola Physica EG, in locis suis extremis P, S existens, urge­tur, erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus vim totam Elasticam ut HL−KN ad V, hoc est (cum punctum K jam incidat in P) ut HK ad V: & vis illa tota, hoc est pon­dus incumbens, qua lineola EG comprimitur, est ad pondus li­neolae ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem EG; adeoque ex aequo, vis qua lineola EG in locis suis P & S urgetur, est ad lineolae illius pondus ut HK×A ad V×EG. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tem­pus vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibratio­nis urgente vi ponderis, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A, atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A & PO ad A conjunctim; [Page 369] id est (cùm fuerit, in superiore Propositione, V aequalis PO×BC / Z, & HK aequalis EG×Z / BC) in dimidiata ratione POqu.×BC×EG / Z ad EG×Z×Aqu./BC seu POqu.×BCqu. ad Zqu.×Aqu. hoc est in ratione PO×BC ad Z×A, seu BC ad Z×A / PO. Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu compositae, pulsus progrediendo conficit la­titudinem suam BC. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium BC, est ad tempus oscillationis unius ex itu & reditu compositae, ut BC ad Z×A / PO, id est ut BC ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium BC, est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percur­ret longitudinem huic circumferentiae aequalem. Q.E.D.

Prop. L. Prob. XIII.

‘Invenire pulsuum distantias.’

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spa­tium quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inven­ta erit pulsus unius latitudo. Q.E.I.

Schol.

Spectant Propositiones novissimae ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per Prop. XLI. & XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quàm aeris pulsus propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modò vehementes sint & gra­ves, [Page 370] quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatnr etiam ex velocitate sonorum. Nam cùm ponde­ra specifica Aquae pluvialis & Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad 13⅔ circiter, & ubi Mercurius in Barometro altitudinem attingit di­gitorum Anglicorum 30, pondus specificum Aeris & aquae pluvialis sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem no­strum subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu pedum Anglicorum 29042. Estque haec altitudo illa ipsa quam in constructione superioris Problematis nominavimus A. Circuli ra­dio 29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et cum Pendulum digitos 39⅕ longum, oscillationem ex itu & redi­tu compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500, longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundo­rum 188 4/7 absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progredien­do conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi pedes 968. Scribit Mersennus, in Balisticae suae Prop. XXXV. se fa­ctis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas Gallicas 1150 (id est pedes Gallicos 6900) percurrat. Unde cum pes Gallicus sit ad Anglicum ut 1068 ad 1000, debebit so­nus tempore minuti unius secundi pedes Anglicos 1474 conficere. Scribit etiam idem Mersennus Robervallum Geometram clarissimum in Obsidione Theodonis observasse tormentorum fragorem exaudi­tum esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cùm tamen vix dimidiam Leucam ab illis Tormentis abfuerit. Continer Leuca Gallica hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secun­dorum, ex Observatione Robervalli, confecit pedes Parisienses 7500, ac tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 560, Anglicos [Page 371] verò 600 circiter. Multum differunt hae Observationes ab invicem, & computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii no­stri pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digito­rum longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo & ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratè de­finire nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes nimis celeres esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde sonus eundo & redeundo confecit pedes 416 minore tempore quàm pendulum digitorum novem, & majore quàm pendulum di­gitorum quatuor oscillatur; id est minore tempore quàm 28¾ mi­nutorum tertiorum, & majore quàm 19⅙; & propterea tempore mi­nuti unius secundi conficit pedes Anglicos plures quàm 866 & pauci­ores quàm 1272, atque adeò velocior est quàm pro Observatione Robervalli, ac tardior quàm pro Observatione Mersenni. Quinetiam accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo pen­duli major esse deberet quàm digitorum quinque cum semisse, & minor quàm digitorum octo; adeoque quòd sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes Anglicos plures quàm 920 & pauciores quàm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geome­tricum superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum Phaenomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cùm mo­tus iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni non in motu aetheris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris toti­us agitatione consistat.

Refragari videntur experimenta quaedam de sono in vasis aere vacuis propagato, sed vasa aere omni evacuari vix possunt; & ubi satis evacuantur soni notabiliter imminui solent; Ex. gr. Si aeris to­tius pars tantùm centesima in vase maneat, debebit sonus esse cen­tuplo languidior, atque adeò non minus audiri quàm si quis so­num eundem in aere libero excitatum audiendo, subinde ad decu­plam [Page 372] distantiam à corpore sonoro recederet. Conferenda sunt igi­tur corpora duo aequaliter sonora, quorum alterum in vase evacuato, alterum in aere libero consistat, & quorum distantiae ab auditore sint in dimidiata ratione densitatum aeris: & si sonus corporis pri­oris non superat sonum posterioris objectio cessabit.

Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pul­suum. Scribit Mersennus (Lib. I. Harmonicorum Prop. IV.) se (factis experimentis quibusdam quae ibidem describit) invenisse quod nervus tensus vicibus 104 recurrit spatio minuti unius secundi, quando facit Unisonum cum organica Fistula quadrupedali aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii C fa ut. Sunt igi­tur pulsus 104 in spatio pedum 968, quos sonus tempore minuti se­cundi describit: adeoque pulsus unus occupat spatium pedum 9¼ circiter; id est duplam circiter longitudinem fistulae. Unde verisimi­le est quòd latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistularum.

Porrò Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, ne­que diutiùs audiuntur ubi longissimè distamus à corporibus sonoris. quàm cum proximè absumus, patet ex Corollario Propositionis XLVIII. Libri hujus. Sed & cur soni in Tubis Stenterophonicis valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singulis recursibus à causa generante augeri solet. Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tar­diùs amittitur & fortius recurrit, & propterea à motu novo singulis recursibus impresso magis augetur. Et haec sunt praecipua Phaeno­mena Sonorum.

SECT. IX. De motu Circulari Fluidorum.

Hypothesis.

REsistentiam, quae oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes Fluidi separantur ab invicem.

Prop. LI. Theor. XXXVIII.

‘Si Cylindrus solidus infinitè longus in fluido uniformi & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impul­su solo agatur Fluidum in Orbem, perseveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu suo; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distantiae ab axe cylindri.’

Sit AFL cylindrus unifor­miter

[figure]

circa axem S in orbem actus, & circulis concentri­cis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distinguatur flui­dum in orbes cylindricos in­numeros concentricos soli­dos ejusdem crassitudinis. Et quoniam homogeneum est Fluidum, impressiones conti­guorum orbium in se mutuò factae, erunt (per Hypothe­sin) ut eorum translationes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in Orbem aliquem major [Page 374] est vel minor, ex parte concava quàm ex parte convexa, praevale­bit impressio fortior, & motum Orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipsius motu, vel in contrariam diri­gitur. Proinde ut Orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret, debent impressiones ex parte utraque sibi invicem aequa­ri, & fieri in regiones contrarias. Unde cùm impressiones sunt ut contiguae superficies & harum translationes ab invicem, erunt translationes inversè ut superficies, hoc est inversè ut superficierum distantiae ab axe. Sunt autem differentiae motuum angularium cir­ca axem ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translati­ones directè & distantiae inversè hoc est (conjunctis rationibus) ut quadrata distantiarum inversè. Quare si ad infinitae rectae SABCDEQ partes singulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum SA, SB, SC, SD, SE, &c. quadratis reciprocè proportionalia, & per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt summae distantiarum, hoc est motus toti angulares, ut respondentes summae linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id est, si ad constituendum Medium uniformiter fluidum orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infini­tum, ut areae Hyperbolicae his summis Analogae AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, &c. & tempora motibus angularibus reciprocè pro­portionalia erunt etiam his areis reciprocè proportionalia. Est igi­tur tempus periodicum particulae cujusvis D reciprocè ut area DdQ, hoc est (per notas Curvarum quadraturas) directè ut distantia SD. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reci­procè ut ipsarum distantiae ab axe Cylindri, & velocitates absolutae sunt aequales.

Corol 2. Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinitae con­tineantur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolu­tionum tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fluidi pars unaquaeque in motu suo: erunt partium singularum tempora peri­odica ut ipsarum distantiae ab axe cylindrorum.

[Page 375] Corol. 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabun­tur motus partium inter se. Nam translationes partium ab invi­cem pendent ab attritu. Pars quaelibet in eo perseverabit motu, qui attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quàm retardatur.

Corol. 4. Unde si toti cylindrorum & fluidi Systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiescente.

Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus, re­volvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius desinet augeri quàm fluidi partes singulae motum Corollario quarto definitum acquirant.

Corol. 6. Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi violenter detentus; & accelerabitur ejus motus quoad usque tem­pora periodica cylindri utriusque aequentur inter se. Quod si cylin­drus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retar­dare, & nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecùs impressa motum illum conservet, efficiet ut idem paulatim cesset.

Quae omnia in aqua profunda stagnante experiri licet.

Prop. LII. Theor. XXXIX.

‘Si Sphaera solida, in fluido uniformi & infinito, circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbem; perseveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu suo: dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata distantiarum à centro Sphaerae. Fig. Prop. LI.’

Cas. 1. Sit AFL sphaera uniformiter circa axem S in orbem acta, & circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distin­guatur [Page 376] fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudi­nis. Finge autem orbes illos esse solidos; & quoniam homogene­um est fluidum, impressiones contiguorum Orbium in se mutuò factae, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava quàm ex parte convexa, praevalebit impressio fortior, & velocitatem Orbis vel acceler