DE NVMERATIONE.

INITIVM NVMERATIO­nis ab uno proficiscitur, procedere autem ea potest etiam in infinitū. Verum tamen numeri primarij et simplicia habentes nomina apud omnes gentes sunt tantum decem: uidelicet unum, duo, tria, quatuor, quin (que), sex, septem, octo, nouem, decem: quibus in singulis nationibus primi nominū im­positores uarie, ꝓ suo quis (que) arbitrio, nomina indiderūt. quicquid ultra decem numeraueris: compositum ex horū in se replicatione reperies. nam unum ad decem addimus, et numeramus undecim: duo ad decem, et duodecim pro­ducimus: tria ad decem, et procreamus tredecim: at (que) ita reliquos numeros primarios cum decem componimus, nempe quatuordecim, quindecim, sexdecim, septēdecim, decem et octo, decem et nouem, donec iterum ad decem uentum fuerit, ibi quia bis dena collegimus, uiginti ea uo­camus, quod bis decem significat: quasi bis ginta. b. literae sono in. u. transeunte propter uicinam quādam earum in pronunciatione cognationem. nam ut genta centum: ita ginta decem apud ueteres in compositione significat.

Rursus in numerando progredimur, et singulos numeros primarios cum uiginti coniungimus: quous (que) ad ter dena ueniamus, quae triginta, hoc est ter decem, uocamus: qui­bus denuo primarios numeros accumulare pergimus, do­nec ad quater dena perueniamus: quae quadraginta uo­camus. [Page] At (que) hac numerandi ratione seruata, quinquagin­ta, sexaginta, septuaginta, octuaginta, nonaginta pro­creamus, semper prioribus denis primarios numeros ag­gregantes, donec alia collegerimus: quibus ipsis nomi­na a numeris primarijs secundum denorum collectorum numerum denominata tribui manifestius est: (quam) ut sit ad­monendum. Decies dena centum primi nomenclatores Latine uocauerunt. Deinde alia dena rursus procreantes ipsa centena crescente numero coaceruarunt: quous (que) ad decies centena uenirent: quibus nomen indiderūt. Mille. Is summus numerus apud Latinos est: qui uno uocabu­lo exprimi potest. Reliqui autem omnes in infinitum nu­meri ex his in se replicatis et repetitis, apud Latinos, at (que) itidem apud omnes omnium gentium linguas, sua habēt collecta nomina. Exempli gratia decies millena. centies millena. millies millena. decies millies millena. at (que) id ge­nus reliqua. praeter (quam) ꝙ Graeca lingua multo caeteris locu­pletior non solum decies denis. et decies centenis. sua uo­cabula Ecaton, et Chilia, dedit: ut caeterae nationes: sed etiam decies millenis speciatim indidit nomen: ut Myria dicerentur, et Myriades.

VIDES ita (que) in magno numerorum corpore id esse de­na ipsa ex primarijs collecta numeris: quod in corpore nostro sunt artus: qui maiora existunt membra. Et quē ­admodum in arundinibus internodia paribus distincta spacijs proceritatem ipsam producunt calamorum: sic in maioribus numeris alia aliis aggregata dena, uelut nume­rorum internodia, crescentem magnitudinem connectūt. Igitur omnem numerum necesse est, uel primarium esse: [Page] uel ex denis coaceruatis collectum: uel partim ex denis, partim ex primarijs compositum.

Numeros suis litteris et notis Latini, suis Gręci uarie scri­bunt: quae qui latius nosse uelit: apud Latinos Valerium Probum legat, apud Gręcos Herodiani de numeris libel­lum. Nostri instituti est eum solum numeros scribendi morem nunc attingere: qui a Chaldeis primum in finiti­mos, deinde in omnes pene gentes fluxit: ut suis numeri characteribus, non litterarum elementis notarentur, qui mos signandi numeros, tam apud eruditos et Arithmeti­cae peritos, (quam) apud omnes omnium gentium mercatores et negotiosos sic obtinuit: ut non alius magis per orbem terrae nunc seruetur.

DECEM ita (que) sunt numerorum notae: quas Arithmeti­ci figuras uocant: signa etiā appellare eas licet: quae om­nes omnino in infinitum numeros uarie pro locorum ra­tione positae significare possunt. Harum nouem suos de­notant quae (que) numeros, uidelicet prima. 1. unum signifi­cat. secunda. 2. duo. tertia. 3. tria. quarta. 4. quatuor. quin­ta. 5. quin (que). sexta. 6. sex. septima. 7. septem. octaua. 8. octo. nona. 9. nouem. Decima uero nota ad formam. o. litterae circulari figura est: quam alij circulum, uulgus cyphram uocat: quae nihil ipsa significat: uerum alijs pręposita nu­meris, eorum omnium qui sequuntur, auget in decuplum significationem. Exempli gratia. o. primae notae siue figu­tae. 1. a dextra parte iuncta eam, quae unū expresserat, de­cem significare facit. 10. at (que) itidem in reliquis.

ILLVD in primis animaduertendum. Cum omnes La­tini et Graeci, at (que) horum aemuli caeteri aliquid scripturi a [Page] leua recepto more incipiant: at (que) ita in dextram tendant: quisquis his notis numeros scribere uelit: a dextra pagi­nae parte incipere debet: et numeros caeteris minores a de­xtra parte ponere, at (que) ita in leuam tendendo progredi: ut quo maiores accedunt numeri, eo magis in leuam semper eos promoueat. Id quod itidem in numeris obseruant La­tini, Graeci, et alij: ut maximum quem (que) numerum a le­ua, minimum quem (que) a dextra collocent. Vnde constare penitius inspicienti potest, numerandi artem a Chaldeis esse profectam: qui dum scribunt, a dextra incipiunt, et in leuam progrediuntur. dextram appello paginae partem, quę proposita ante nos charta, dextrę nostrae propior est: leuam, quae sinistrae.

HAE nouem notae et figurae omnes, quibus numeros su­os denotari diximus, cum non semper easdem sedes occu­pent, uarie pro locorum positione significant. Nam earū unaquae (que) primo loco, qui ad dextram est, tantum suum numerum enunciat: Secundo loco leuam uersus posita, decies tantūdem. Tertio loco leuam uersus, tantundem centies. Quarto loco leuam uersus, millies tantundem. Quinto loco leuam uersus, tantundē decies millies. Sexto loco leuā uersus, centies millies tantundem. Septimo lo­co leuam uersus, millies tantundem millies. Octauo loco leuā uersus, decies millies tantundem millies. Nono loco leuam uersus, centies millies tantundem millies. Decimo loco leuam uersus, millies supra millies tantundem milli­es. Vndecimo loco leuam uersus, decies millies supra mil­lies tantundem millies. Duodecimo loco leuam uersus, cē ­ties millies supra millies tantundem millies. Tertiodeci­mo [Page] loco leuā uersus, millies supra millies tantundem mil­lies. at (que) id quidem millies ad quem modum ulterius etiā in infinitum progredi licet.

Postremum autem in numeris locum circulus nun (quam) obti­net: quando nihil eum sequitur, cuius significationē au­geat. Alioqui si qua figura a tergo ei erit, omnes nume­rorum sedes occupare potest. Exemplum subdamus, in quo omnes numerorum notas suo ordine ponamus, cum aliquarum repetitione us (que) ad tertiumdecimum locum, hoc modo. [...]

Huius seriei numerum et eiusmodi similes, qui in immen­sum crescunt, recensurus, ne qua tibi inter numerandum oriatur confusio, quartum locum qui mille repraesentat, puncto supra posito notabis. Deinde quinto loco et sexto intermissis, iterum supra septimum locū punctū adijcies. Rursus octauo loco et nono intermissis, decimum locum puncto supra adiecto signabis. Similiter undecimo loco et duodecimo prętermissis, supra tertiumdecimum locum punctum appones. At (que) ita, si maior fuerit numerus, du­obus locis a quarto semper intermissis, tertium quem (que) puncto supra posito notabis. Haec punctorum adiectio non mediocrem numerandi facilitatem pariet. nam pun­ctis signata loca, millenaria demonstrant: ad quae, uelut ad quo sdam gradus, inter numerandum sistere licet. ne (que) enim longa numerorū series uno spiritu pronunciari po­test. Quartus ita (que) locus exhibet mille. Septimus millena millia: uulgus millionē barbare uocat. Latine reddideris, [Page] ut nūc fit supputatio, uel millena millia: uel millies mille­na. Prisci decies centena millia dixerunt: sicut paulū infra monstrabimus. Decimus locus capit millies millena mil­lia: uulgus milliones millionum uocat: Latine dixeris: ut nūc mos est loquēdi: uel millies millena millia, uel millies millena millies. Prisci decies millies cētena millia numerū illum uocauerunt. Tertius decimus locus exprimit millies millena millia millies: uulgus millionem de millionibus millionum uocat. Latine recepto nunc supputandi more, enunciabimus, uel millies millena millenorum millia, uel millies millena millia millies. Prisci eum numerum decies millies centena millia millies appellarunt. Numeros inter hos medios siue centenarios, siue denarios promptum est cuiuis enunciare: cum statim ante oculos nobis occurrat: inter quae genera millenariorum suntlocati. Quod post (quam) animaduertimus: illud in primis obseruare debemus: ut numeri illi centenarij et denarij inter puncta adiecta me­dij, secundum nunc receptū supputandi morem, ea sem­per exprimant millenariorū genera: quae proxime a dex­tra parte punctis sunt notata: quous (que) ad prima mille­naria uenerimus.

IGITVR numerum hunc immensum, punctis supra positis in locis praedictis notatum, Latine sic enunciabi­mus, a postremis et maximis incipiētes numeris, et in mi­nimis ac primis desinentes. Qui mos est apud omnes gē ­tes, uerbis numeros eloquendi. [...]

Ter millies millena millia millies, ducenties decies millies [Page] millena millia, noningenties octuagies septies millena millia, sexcenta quinquaginta quatuor millia, trecenta uiginti unum. Aliud exemplum totidem notarum, con­uerso figurarum ordine, ponamus: quo magis, quod di­cimus: legentibus innotescat. [...]

Hunc etiam numerum punctis, ut supra dictum est: no­tatum, Latine sic reddemus. Millies millena millia millies. Ducenties tricies quater millies millena millia. Quingen­ties sexagies septies millena millia. Octingenta nonagin­ta millia. centum uiginti tria.

EX HIS, quos posuimus: immensis numeris per notas suas scriptis, punctis (que) notatis, et Latine redditis, facile erit cuiuis numerum quemlibet minorem tum scribere, tum punctis signatum, Latine enunciare.

Si uero maior occurret numerus: eadem erit re ipsa facili­tas: sed uerba, millies, et millia, toties in singulis maiori­bus numeris repetita, quoties ea addi pro loci augmento necesse est, auribus fastidium nōleue parient. Et uix un­ (quam) in negocijs humanis maior occurrit numerus: (quam) quem supra posuimus.

IN huiusmodi autem immensis numeris, ad singula lo­ca punctis signata uerbis enūcianda, toties uocabula hęc, uel millia, uel millena, uel millies, repetenda sunt, quoties puncta, ab eo loco una etiam connumerato, in tota serie us (que) ad primam notam reperientur: id, quod in exemplis iam explicatis licet cernere.

[Page] VERVM, ne quis exempla faciliora in libro nostro de­syderet, eiusmodi quo (que) subiungemus. At (que) ideo notis, ut libet, us (que) ad septimum locum positis (nam infra nihil est opus descendere) illud exemplum esto. [...]

Hoc exemplum, punctis prius signatum, sic Latine red­des. Sexies millena millia, octingenta quinquaginta qua­tuor millia, noningenta septuaginta tria. Aliud exemplū us (que) ad decimum locum addo. [...]

Numerum hunc, punctis supra positis prius distinctum, Latine sic reddemus. Septies millies millena millia, no­ningenties uicies quater millena millia, octingenta quin­quaginta tria millia, centum sexaginta.

Plura numerorū exempla nihil est opus adscribere, quan­doquidem ea, quae posuimus: facile indicant, quomodo numeri quiuis alij, et scribi et Latine enunciari debeant.

NON ME latet Romanos ueteres, prisco more, suos nūmos Sestertios computātes, numerum trāscendentem centum millia (qui numerus sextam apud Arithmeticos sedem occupat) Latine non enunciasse, nisi per aduerbia, decies, undecies, et quę supra sunt, us (que) ad centies et mil­lies, at (que) etiam ultra in immensum: per quae numerū illum centū millium in se replicabāt. in quo uelut in limite quo­dam numerandi sistebant, iterum incepturi. Interdū etiā uocabula haec, centena millia, quodam sermonis compē ­dio [Page] omittebāt: ut dicerēt. Decies sestertiū. pro decies cen­tenis millibus sestertiū. qui numerus millena millia sester­tiorum nummorū exprimit, et septimam apud Aritstme­ticos sedem tenet. Cēties sestertium. pro centies centenis millibus sestertiorū. qui numerus decies millena millia se­stertiorum nummorum indicat: et sedem apud Arithme­ticos occupat octauam. Millies sestertiū. pro millies cen­tenis millibus sestertiorum nūmorum. qui numerus cen­ties millena millia sestertiorum nummorū significat, et lo­cum apud Arithmeticos nonū possidet. et sic ulterius us (que) in immensum ueteres ad eam rationem Latine suos num­mos computabant. id quod BVDAEVS uir cū primis ętatis nostrae eruditus, in libro suo, de Asse, mira sagaci­tate plenius annotauit. Caeterum Arithmetici ultra cen­tena millia transcendentes magis ad millena millia gradū quendam sistendi faciunt: quem tamen ipsum trausiliūt: et per decies, et centies, auctis locis, rursus ad millies mil­lena millia denuo figunt gradum: at (que) ultra etiam ea, pro­cedentes in immensum, millena millia millenis accumu­lant: quemadmodum ante diximus. qui mos supputandi per orbem terrae nūc est receptus. Ita (que) inter priscos et re­centiores nihil interest aliud, nisi (que) hi millenariorum loca obseruantes millena millia millenis aggregant. At prsci­centenorum loca uelut gradus quosdam facientes, cētena millia centenis us (que) in immensum accumulabant, semper ea in se replicantes. Caeterum locorum augmenta tam cū prisca supputatione, (quam) cum nunc recepta consentiunt.

Quamobrem nihil uideo, cur priscam computationem: [Page] post (quam) apud omnes nationes est antiquata: mordicus te­nere debeamus: quando mos nunc receptus maiore rati­one nititur. Etenim cum, Mille, maximus sit apud Lati­nos numerus, qui unico uocabulo potest exprimi: magis progredi congruit, donec ad millena millia uentum erit, (quam) ad centena millia, quae infra sunt, facere gradum. Verū si quem magis iuuat prisco more numerū aliquem immē ­sum Latine reddere: breue ad id quo (que) compendium tra­demus: ut numerum notis scriptum punctis supra uerti­cē signet, tertio, sexto, nono, et duodecimo loco, cęteris (que), qui deinceps, duobus semper intermissis, sequentur. illud­ (que) obseruet: ut a postremis incipiens singulas numerorū notas us (que) ad locum sextum, ea significatione, quam sedes suppeditabunt, per aduerbia exprimat: quę uero sextum locum praecedunt: reddat per uocabula. Cum autem ad punctis signata loca uentum erit: uocabula haec, cente­na millia, ad singula puncta pronunciet. ueluti in primo exemplo per nos supra posito, si quis prisco more nume­ros enunciare uelit. [...]

Tricies bis millies centena millia millies, centies nouies millies centena millia, octingenties septuagies sexies cen­tena millia, quinquaginta quatuor millia, trecenta uigin­ti unum.

ITIDEM in alijs numeris quantumūis immensis cui­uis erit facile priscos imitari, ueluti in secundo supra posi­to, quem prisco more sic exprimes. [Page] [...]

Duodecies millies centena millia millies, trecenties qua­dragies quinquies millies centena millia, sexcenties septu­agies octies centena millia, nonaginta millia, centum ui­ginti tria. Ad horum exemplum cęteros numeros omnes prisco more Latine reddere nullum est negocium.

GRAECI autem supputando quendam sistendi gra­dum faciunt ad Myriades: quae decem millia significant: quintam (que) occupant sedem. quo maiorem numerum uno uocabulo non exprimunt. deinde myriades tam multas sibi aggregant, ut ipsarum etiam myriadum faciant my­riadem: quae summa millies centena millia, sicut loquun­tur prisci: uel centies millena millia: sicut nunc Arithme­tici: significat: et nonum locum tenet. ultra quem nume­rum Gręci uocabulis carentes rursus myriades in se repli­cāt: donec totidem myriadum myriades accumulauerint: quot propositi numeri magnitudo suggerit.

Hactenus de numeratione dixisse sufficiat.

DE ADDITIONE.

ADDITIO NVMERORVM EST DVO­rum pluriumue numerorum in unam summam col­lectio. Id autem fieri potest, siue minores quiuis numeri maioribus addantur, siue econuerso, siue aequales aequa­libus. Illud summopere obseruandū est: ut siue duo siue plures sint numerorum ordines: quos in unam summam [Page] colligere uelimus: ita eos omnino scribamus: ut sub prima nota primi ordinis primae reliquorum ordinum figurę di­recte, uelut ad perpendiculum, locentur: sub secunda se­cundae: sub tertia tertiae: et sic deinceps: ut in singulis or­dinibus loci quo (que) numerorum, uelut sub una linea per­pendiculari sibi respondeant. Nam alioqui si numerorū ordines oblique scripti fuerint, et ipsi eorum loci alij alijs permixti se mutuo directe uon respexerint: ut nesciatur: quis cui locus respondeat: magna sequetur in computan­do confusio. Id (que) non modo in numerorum additione: uerū etiam in deductione, multiplicatione, et partitione eueniet. Quare ne in huiusmodi labyrinthum incidamus: in uniuersum praecipiendum est in tota numerandi arte: ut accurate ante omnia ponantur directi numerorum or­dines: ut primi in singulis loci primis, secūdi secūdis, ter­tij tertijs, et sic deinceps respondeant.

AD HAEC in numerorū additione, deductione, mul­tiplicatione, partitione, per uniuersas numerorum sedes, siue secūdas, siue tertias, siue quartas, siue ulteriores, illud perpetuo seruare debemus: ut tantisper dum numeros ad­dimus, deducimus, multiplicamus, partimur, omnes om­nium locorum notas pro primarijs numeris, non autem pro denarijs, centenarijs, millenarijs, aut ulterioribus ac­cipiamus. Peracto uero opere, quando summam uel col­lectam, uel deductam, uel multiplicatam, uel partitam re­sencemus: singulis numerorum sedibus suam uim restitu­imus: ut tum notae in exprimenda summa eam significa­tionem habeant: quam loci suppeditabunt.

[Page] QVI NVMEROS numeris additurus es: si duo tan­tum sint ordines: post (quam) alterum numerum supra, alterū infra scripseris: sub ambobus lineam calamo ducito. De­inde a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: inci­piens, inferiorem primi loci numerum superiori eiusdem loci adde: et numerum ex his duobus compositum, si una nota scribi possit (quod certe erit: si minor (quam) de­cē fuerit) sub linea directe sub primo loco pone. [...]

Sin fuerit numerus denarius, aut eo maior, ut duabus no­tis ad eius expressionem sit opus: primam figuram, etiam si circulus sit: sub linea directe sub primo loco signa. Et se­cundae figurae numerum memoriter tenens ad secundum locum progredere. Vbi si circulos tam in superiore, (quam) infe­riore ordine reperis: numerum memoria retentum sub linea secūdo loco subscribe. [...]

Sin neutra figura circulus fuerit: ante omnia reposce a me­moria numerum depositum: ne eius obrepat obliuio: si re­liquos numeros prius addas: (quam) illum repetis: eum (que) ad inferiorem eius loci notam memoriter adiungens, illam ipsam sic auctam, ad superiorem secundi loci siguram ad­de: et umerum ex eis surgentem, si una nota scribi possit: sub linea directe sub secundo loco scribe. [...]

Si uero altera tantum secundi loci nota circulus fuerit: al­tera figura significans: numerū ipsum memoria retentū ex memoria promens adde significanti figurae: et ex eis sur­gentem [Page] numerum, si una nota scri­bi possit, secundo loco subscribe. [...]

Sin ad eum numerum exprimendum, qui secūdo loco re­peritur: duabus notis opus erit: primam earum, etiam si circulus erit: sub linea directe sub secundo loco pone: et secundae notae numerum memoria seruans, ad tertium lo­cum progredere. Vbi itidem per omnia facies, uti secūdo loco fecisti: et numerum ex additione re­pertum tertio loco repone. et sic ulterius usque ad postremum locum perge. [...]

Quo cum uentum erit: numerum ex additione repertum, si una nota scribi potest: postremo loco depone. [...]

Sin duabus figuris ad eum exprimendum opus erit: nu­merus, qui superest memoria re­tentus: a sinistra postremi nu­meri, sub linea ponatur. [...]

Illa generaliter in omni numerorū addendi loco obserua­re debemus: ut quotiescum (que) in ordinibus addendis om­nes notę eiusdem loci, circuli fuerint: si nullus numerus mente sit retentus, qui lineae subdatur: subscribatur circulus. [...]

Et similiter quotiescū (que) in ordinibus addendis circulus et nota significās eiusdem loci fuerint: nullus (que) numerus su­perest memoria retentus: qui significanti notae addatur: [Page] illa ipsa nota significans, siue supe­rioris siue inferioris ordinis fuerit: lineae subscribatur. [...]

Praeterea quotiescum (que) supra lineam ductam plures sunt superiorum ordinum (quam) inferiorum, loci, notae illę quae su­persunt: eisdem locis sub linea subscribi debent, quibus su­pra lineam steterunt. [...]

Exemplum duorum ordinū petamus: quod ea omnia cō ­tineat, quae supra docuimus. Id autē erit eiusmodi. [...]

Quisquis hos duos numeros in unum compositurus est, uel mente cogitet, uel uerbis enunciet ea quae sequuntur. Primo loco in inferiori ordine reperio tria. addo ea ad qua tuor quae sunt in superiore ordine. fiunt septē. ea sub linea ducta subscribo primo loco. deinde trāseo ad secundū. re­perio infra quattuor, supra nouem, addo: fiunt tredecim: quae, quia duabus notis scribi necesse est: primā figuram, quae tria demonstrat: subscribo secundo loco, Alteram ue­ro, quae unum repraesentat memoriter tenens progredior ad tertium locum. Vbi primū exonerās memoriam, unū, quod mente teneo adiungo ad sex, qui numerus inferioris ordinis primus occurrit. fiūt septem. ea addo ad octo, quę sunt in superiori ordine. sic prodeunt quindecim. et quoni am ea duabus notis scribenda sunt: primā tertio loco sub­scribo, quin (que). alteram, quae unum indicat, seruans memo­ria [Page] transeo ad quartum locum. Vbi primum promens ex memoria unum mente retentum, id adiungo ad tria, quae inferiori ordine sunt scripta. fiunt quattuor. quae addo ad quin (que) in superiori ordine, et subscribo quarto loco nouē. Pergo ad quintum locum ubi supra et infra circuli occur­rūt. nihil habeo quod addam: at (que) ideo subscribo circulū. sexto loco infra duo, supra circulus occurrūt. nihil est cui addam duo. subscribo duo. accedo ad septimū locum. ibi infra circulus, supra tria sunt: nihil est inferius, quod ad­iūgam ad tria. subscribo tria. festino ad octauū et postre­mum locum. reperio infra sex: adiungo ad septem quae su­pra sunt. exeunt tredecim. is numerus, quia duabus notis signandus est: primā, nempe tria, octauo loco subscribo: et aliam, quę unū significat: a sinistra eiusdem loci qui po­stremus est, pono. at (que) ita sub linea facio nonum locum. numerus ita (que) sub linea, quem duos supra lineam nume­ros addentes, composuimus, continet in uniuersum. Cen­ties tricies ter millena millia, ducenta nouem millia, quin­genta triginta septem. Quę de duobus ordinibus com­ponendis diximus: pene nobis instituendis suffecerint, si plures numerorū ordines in unam summam redigere ue­limus. Verum ut paucis praecipiendis rem magis aperia­mus: Multos ordines in unum collecturi, numeros primas sedes occupantes primo colligere sic debemus: ut ab infe­rioribus ordinibus incipientes ad superiores ascēdamus, et numerum ex additione repertum, si primarius erit, pri­mo loco sub linea ponamus. Sin exdenarijs numeris ali­quis fuerit, circulus eo loco subsignetur. et nota, quę dena­rium illum, secūdum suam denominationem repręsentare [Page] debet, memorię commendata secundarum sedium figuris, si infra centum numerus fuerit, annumeretur. Nam alio­qui si numerus centenarius, aut eo maior us (que) ad mille sur get, ut in magnis additionibus nōnun (quam) euenit: cētena ter tium locum, et quae supersunt dena, secundum occupent. Verumtamen ubi numerus unius sedis us (que) ad centū aut supra ascendit, et nota quae illum significatura est, memo­riter retenta in tertium ab illa sede locum transferri debet, ne nobis circa secundi loci additionem occupatis, obrepat obliuio numeri retenti, statim eum sub linea paulum sub tertio loco alicubi notemus: ut cum ad illum uenerimus: admoneamur eum reliquis sui loci numeris adiungere. Si uero numerus ex primario et denario compositus erit: numerus primarius sub linea subscribatur: et denarius me moria retentus secundum suam denominationem figuris secundi loci connumeretur: sicut de duobus ordinibus est supradictum. Expedito secundo loco ad tertium transe­undum est: et itidem per omnia faciendum, quemadmo­dum in secundo. Deinde ad quartum locum similiter per­gendum: et deinceps ad reliquos omnes: in quibus obser­uentur: quae de secundo loco diximus. Vbicun (que) autem eandem sedem circuli aliqui et notę significantes occupāt: circulis omissis, reliquae figurae simul additę sub linea suo loco ponantur. Quae diximus magis illustrabuntur se­quentibus exemplis. [Page] [...]

EX HIS tot numeris unum collecturus, sic cogitabis tacitus: uel si mauis, uerbis enunciabis. primo loco prae­ter circulos notae reliquae octo constituūt. igitur sub linea scribantur octo. Secundus locus circulos habet. sub linea noto circulum. Tertij loci notae praeter circulos exprimūt decē. uno igitur memoriter seruato pro denario numero, at (que) eo adiūcto ad quarti loci figuras, fiunt quinquaginta quin (que). horum quin (que) sub linea quarto loco notantur: et quin (que) mēteretēta quinti loci notis, quę circulis permixtę sunt: aggregata faciunt nouē. ealineae subdūtur. Sexto lo­co, quia circuli sunt: circulus lineę subijcietur. Septimo lo­co notae omnes compositae producunt centū et octo. sub­scribuntur ita (que) octo: et centenarij numeri nota, in nonū locum, qui connumerato septimo, tertius ab eo est: sub li­nea reponenda seruatur. Octauo et postremo ordinum, [Page] qui supra lineam sunt, loco ex numeris collectis surgunt nonaginta. nouem igitur memoriae mandantur. circulus octauo loco reponitur. Nono loco sub linea ex memoria promo nouem ab octauo loco delata. ibi reperio unū pro centenarij numeri nota ex septimo loco ante reconditum: quae simul adiuncta fiunt decem. Nono igitur loco circu­lum subnoto: et ab eius sinistra unum depono: quod de­cimū locum facit. Numerus igitur ex additione sub linea collectus erit. Millies millena millia, octies millena millia nonaginta quin (que) millia et octo.

Aliud exemplum multorum ordinum magis intricatum subijcio. [...]

OMNES in hoc exemplo primi loci notae simul iunctae centum et duo constituunt. duo sub linea primo loco scri­bantur. et centenarius numerus per unitatis notam scri­bendus [Page] transferatur in tertium locum. In secundo loco, quia nihil habes nisi circulos, subnotetur circulus. Tertio loco, quia omnes figurae circuli sunt: et nihil est, quod ad­das ad unum ex primo loco pro centenario numero trans­latum, subscribatur unū. Quartus locus iunctis simul no­tis centum continet: quamobrem subscribere oportet cir­culum: et in tertium locum, qui a quarto etiam connume­rato sextus est: seruare reponendum unum. Quintus lo­cus centum et octo continet. subnotentur octo. iterum unum in tertium locum, qui septimus est a quinto connu­merato, seruetur. Sextus locus, quia notae omnes sunt cir­culi, unum habet subscriptum, ex quarto loco pro cente­nario numero seruatum. Septimus locus quia multas ha­bet notas, repeto primo a memoria unum, ex quinto loco pro centenario numero seruatum. adiungo reliquis eius loci figuris. fiunt nonaginta septem. ideo sub linea subscri­bo septem, seruans nouem memoriter. Demum ad octa­uum et postremum supra lineam locum properans, no­uem ante recondita iungo numeris eius loci. surgunt cen­tum. quamobrem circulum unum octauo loco, alium a sinistra loco nono sub linea repono: et centenarij numeri notam in decimum locum, qui connumerato octauo, ab co tertius est: transfero. continet autem hic numerus coa­ceruatus. Millies millena millia, septies millena millia, cē ­tum octuaginta millia, centum et duo.

QVI numeros numeris addere prompte uelit: ante om­nia memoriter ediscere debet: quos numeros procreent singuli sub decem numeri primarij, uel ipsi geminati, uel reliquis primarijs adiūcti. Quod certe tam scitu facile est: [Page] ut pueri adhuc impuberes id ferme non ignorent. Verum si quis adeo rustice est educatus: ut id nesciat: poterit una hora, modo operam dare uelit, id ediscere. Verbi gratia. Nouem et nouem faciunt decem et octo. nouem et octo, decem et septem. nouem et septem creant sexdecim. nouē et sex, quindecim. nouem et quin (que), quatuordecim. no­uem et quattuor, tredecim. nouem et tria, duodecim. no­uem et duo, undecim. Deinde octo et octo producunt sexdecim. octo et septem, quindecim. octo et sex, quattu­ordecim. octo et quin (que), tredecim. octo et quatuor, duo­decim. octo et tria, undecim. octo et duo, decem. Rursus septem et septem creant quatuordecim. septem et sex, tre­decim. septem et quin (que), duodecim. septem et quatuor, un decim. septem et tria, decem. septē et duo, nouem. Deinde sex et sex faciunt duodecim. sex et quin (que), undecim. sex et quatuor, decem. sex et tria, nouem. sex et duo, octo. Prae­terea quin (que) et quin (que) producunt decem. quin (que) et quatu­or, nouem. quin (que) et tria, octo. quin (que) et duo, septem. Ad haec quatuor et quatuor procreant octo. quatuor et tria, septem. quatuor et duo, sex. Deni (que) tria et tria constitu­unt sex. tria et duo, quin (que). duo et duo, quatuor. Nam unum ad reliquos numeros adiungere pueri omnes infan tiam egressi sciunt. Quae diximus, figuris notata sub ocu­lis posita sequuntur. [Page] [...]

[Page] SI quis apud se scrutari uelit: cur hęc ita se habent: ut dum per singulos locos notas addimus: eas (que) pro primarijs com­putamus: numerus tamē sub linea collectus, quādo locis sua significatio redditur: recte in uniuersum respōdeat. In prōp­turatio est. Nam quemadmodum in primo numerādi loco, primarias notas, si recte copulatę sūt: numerus sub linea col­lectus continet: ita necesse est: ut per singulos locos figuras omnes, si recte cōiunctę sunt: numerus sub linea coaceruatus exprimat. Et si quis numerus, dū addimus, memoria retētus, a loco ubi repertus est: in aliū transfertur: id fit: quia maior est, (quam) ut eo loco, quo natus est, reponi debuerit: et quando in suum locū recte translatus est: uelut illius loci foetus numera­tur. Ad haec cum per omnes quidem locos figurarum forma eadem sit, significatio uero pro augmento loci longe diuersa: denominationem tamen omnes a primo loco recipiunt: ut quot illic unitates singulae repręsentant: totidem secundo lo­co dena: tertio centena: quarto millena: et sic deinceps, ex­primant. Quādo igitur singulis numerorum sedibus, nume­rum ibi collectum, sub linea subij cimus: eadem per omnes se­des ratio est: quę de primo loco: ut sicut ibi omnes numeros numerus sub linea locatus continet: ita in omnibus locis col­lectos numeros repręsentet. Et cum omnium locorū notę de­nominationem a primo loco mutuentur: significationem au­tem diuersam singuli loci suppeditent: numerus sub linea col­lectus totidem secundo loco dena, tertio centena, quarto mil­lena, et sic deinceps, nobis denominabit: quot unitates loco­rum illorū notę: si primo loco fuissent positę: repręsentarent.

SI SCIRE cupis: an recte numeros collegeris: numero­rum additionem recte factam esse, per deductionem proba­bis. [Page] Ita (que) si post (quam) numerorum additorum ordinem aliquem a summa coaceruata deduces: reliquorum ordinum non de­ductorum summa ex deductione surget: tunc in addendo ni­hil est erratum. Nam cum partes complures ad cuiusuis rei compositionem coeunt: si qua earum sola sublata erit: caeteras remanere necesse est. Id manifestius fiet: cum de deductione pręcepta dederimus: ad quam nunc properamus. [...]

ET QVONIAM nulla natio est: quae uaria nūmismatū genera non habeat: alia pluris precij, alia uilioris: ideo ad tā uariorū additionem faciendam, singulis et nummorū et sum­marū generibus suę classes in abaco designandę sunt: ut una quę (que) siue summa siue pecunia, quo maior est alijs: magis si­nistram occupet: quo uilior: magis dextrā. Veluti si in unā summā colligēdi sint aurei, ualentes singuli denarios uicenos quinos: denarij, ualentes singuli. 4. nūmos sestertios: sester­tij, ualētes singuli duos asses et semissem: cuiusmodi sunt ue­tera nūmismata Romana: aurei sinistrā occupent. denarij in dextrā uergentes, medium locū teneant. sestertij uero dextrā. Deinde genera haec tā uaria additurus, a prima classe dextra sestertiorū incipe: numeros (que) omnes colligēs, at (que) obseruās, quot quaternarij reperiuntur: si quis numerus excurrit: qui quaternariū nō perficit: illū ibi subsignato. Ipsos autem qua­ternarios memoria tenens trāsfer in proximā denariorū clas­sem. continuo (que) memoriā exonerās, et denarios illic repertos eis adiungens, per omnes ipsius classis numeros discurre: at (que) animaduerte: quot uiceni quini sūt obuij. numerū autem ex­currentem, qui. 25. nō implet: ibi deponito. At uiceni quini memoria reconditi, in proximā aureorū classem transferātur, [Page] cum illis primum computādi. et numerus omnium collectu illic subnotetur. Itidem si in quauis alia natiōe aurei, denarij, nūmi uiliores illius regionis supputandi sunt: eodem modo curandum: ut singulis sua classis detur. Viam tantum mon­stramus. caetera facile dabit frequens exercitatio.

Exemplum ante oculos spectandū hic subnotauimus: quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. [...]

DE SVBDVCTIONE.

SVBDVCTIO NVMERORVM EET MINO­ris numeri a maiore: uel aequalis ab aequale subtractio. Hanc autem eandem, uel deductionem, uel subtractionem appellare Latine licet. Vsus eius est: a toto subducta parte, reliquam totius partem cognoscere: et ut apertius dicamus: duobus propositis numeris, alterum ab altero demere: ut ui­deatur quid sit reliquum: et quantum alter alterum superet. Verbi gratia. sume duos numeros, alterum septem, alterum tria. si a septem tria deducas: reliqua sunt quatuor. totidem ita (que) unitatibus tria superantur. In subductione necesse om­nino est: ut duo sint numerorū ordines: alter a quo fieri de­bet deductio: alter, qui summam deducendam contineat. Oportet autem semper uel minorem summam a maiore, uel aequalem ab ęquale subducere. nā maiorem a minore subtra­here contra rerum aturam est. Qui de computandi scripse­runt arte: uaria pręcepta de subducendis numeris dederunt: quorū alij nōnun (quam) numeri propositi notas inter subtrahēdū [Page] putauerūt esse delēdas. Alij lōgis ambagibus obscura quędā docuerūt: ut pene difficilius nō esset numeros diuidere, (quam) de­ducere. Quę dū legeremꝰ: et eorū ꝓbaremus nihil: ꝙ uel tor­tuosos haberēt āfractus: uel multis lituris figuras cōfūderēt: diu multū (que) inuestigātes, si quid apertius inuenire possemus: tādē Ioānis Garthi philosophi eruditissimi at (que) in Arithme­tica lōge peritissimi auxilio, lōge facillimā et certissimā uiā in subducendis numeris inuenimus: qua certe numerus omnis quantūuis magnus, quantumuis intricatus, manentibus no­tis uniuersis, nullo negocio subduci potest. Et ne multa expe­ctatiōe lectorē torqueamus: ea subducēdi ratio est eiusmodi. Post (quam) maior numerus, a quo fieri debet deductio: supra: et minor numerus, qui deducēdus est: infra ita scribetur: ut loci numerorū locis respondeāt: primi primis, secūdi secūdis, ter­tij tertijs, et sic deinceps: linea (que) sub ambobus numeris a leua in dextrā perducta erit: sicut in numerorū additiōe supra do­cuimus: tū a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: inci­pientes a primo loco, primum numerum inferioris ordinis a primo superiore, si ille ipse superior maior fuerit: subducamus: et quod ex deductione reperietur: sub linea primo loco ponamus. [...]

Si uero numerus inferior superiore maior erit: ut ab eo deduci nō possit: tūc superiori numero decē memoriter adiūgamus, cōputātes superiorē illū minorē numerū uelut ex primario et denario numero cōpositū: et ab eo sic aucto maiorē numerū inferiorem deducamus. Exempli gr̄a. superior numerus esto, tria, inferior nouem. nemo deducere nouem a tribus potest. ad tria igitur mente adiungamus decem: et nouem a tredecim auferamus: tum quatuor supersunt. is est numerus: quem requirimus: qui sub linea locetur. [...]

[Page] Ꝙ si superior ordo circulū habeat: ut inferior numerus, quā ­tuluscū (que) fuerit: ab eo demi nō possit: illū ipsum circulū ꝓ de­cē memoriter numeremus: et ab eo inferiorē notā, quę semper denario numero minor erit: auferamus. Exempli gr̄a. sit circulus supra, infra septē. fieri non potest: ut septē a nihilo deducamus. circulū igitur pro decem animo compu­temus: et a decē subducamus septē. reliqua erūt tria. [...]

Quotiescū (que) autē denario numero memoriter adiecto, supe­riorē numerū augebimus: ut inferior qui maior est: ab eo de­mi possit: toties per omnes numerorū locos, unū ad sequētis loci inferiorem numerū, e uestigio memoriter addemus: illū (que) ipsū adiecta unitate sic auctū, a superiore eiꝰ loci nu­mero, si maior sit: subducemus: et quod reliquū erit: eo ipso loco sub linea reponemus: unde id subtraximus. [...]

Sin minor erit illius loci numerus superior, (quam) ut ab eo demi possit numerus inferior unitate illa auctus: rur­sus denario numero adiecto augeatur numerus ille superior: ut inferior ab eo subduci possit. [...]

Id (que) per omnes numerorum locos semper est obseruandum. Sic primo loco expedito, ad secundum transeundum: ubi per omnia faciendum est itidem: ut in primo. Sic cum ad tertiū, quartum, ulteriorem ue locum uentum erit: eadem perpetuo seruanda sunt.

AT SI quibusuis numerorum sedibus in inferiore demen­do numero circulus, in superiore autem, a quo fit subductio: nota significans reperiatur: si nihil a priore loco propter de­narium numerum mutuo sumptum me­moria retentum erit: quod deduci debeat: numerus ille superior integer subscribetur. [...]

[Page] Quando uero in utro (que) numerorū ordine circu­lus nobis occurret: si nihil ex memoria promi potest: quod subscribatur: subnotetur circulus. [...]

Vbicum (que) autem in quouis numerorū loco numerus inferior superiori aequalis erit: cū nihil sit reliquū: subscribatur circu­lus: pręter (quam) postremo loco. ibi enim si numerus subducendus ei par sit: a quo fit subtractio: nihil omnino subnotari debet, quia tunc per cętera peracta est sub­ductio. et circulus in numeris postre­mum locum occupare nun (quam) potest. [...]

Ꝙ si superior numerorum ordo numeris aliquot et notis in­feriorem transcendat: post (quam) inferioris ordinis numeros om­nes a superiore subduximus: quicquid de superiore ordine reliquum erit: eisdem locis et notis sub li­nea numeris relictis adiungatur: quibus supra lineam suo ordine stetit. [...]

Nunc exempla petamus: quę uiā demōstratā clarius illustrēt. [...]

QVISQVIS a quinquagies septies millenis millibus, du­centis nonaginta quin (que) millibus, quadringētis nonaginta, subducere cupit, quadragies octies millena millia, septingēta sexaginta quin (que) millia, ducēta nonaginta septem. dispositis notarū ordinibus, linea (que) ducta: eiusmodi, quę sequūtur, taci­tus secū cōsyderet: a primis auspicādo numeroR sedibꝰ. Sep­tem a circulo subducere nō possum. cōputo igitur circulū pro decem: et a decem demo septē. supersunt tria. ea sub linea lo­cātur. Trāseo ad secundā sedem. numerus inferior subducen­dus [Page] occurrit, nouem. huic unū addo: quia ad circulū in primo loco assumpsi decem, et pro decem computo. ea a nouem de­mere nō possum. mutuor igitur alia decem: et addens ea supe­rioribus nouem, cōputo decem et nouē: a quibus deduco de­cem. reliqua sunt nouem. quę subscribo. Pergo ad tertiū locū: ubi quia in priore sede sum decē mutuatus: unū adiungo ad numerum inferiorem, nempe, duo: et fiunt tria, ea subduco a quatuor, quę supra sunt. reliquum est unū. id subscribo. Pro­gredior ad quartū locū. numerꝰ uter (que) quin (que) cōtinet. et quia alter alterū exhaurit: nihil erit reliquū. pono igitur sub linea circulū. Quinto loco sex a nouem subtraho. tria relinquūtur: quę lineę subijcio. Sexto loco, quia septem a duobus demi nō possunt: assumptis ad ea decē, fiunt duodecim. a quibus aufe­ro septē, et quin (que) supersunt: quae lineę subdo. Septimo loco quia. 10. in priore sede sum mutuatus: inferiorē numerū, octo, uno augeo, et nouē cōputo. ea, quia a septē auferre nō possū: ad septem assumptis decē, a septemdecē aufero nouē. reliqua manent octo. ea sub linea depono. Propero ad postremū lo­cum: quo memoria affert unū: quia ex superiore sede sumpta sunt decē mutua. eo ad inferiorem numerū quaternarium iū ­cto, fiunt quin (que). quibus a quin (que) superioribus dēptis, nihil superest reliquū. nihil igitur omnino subscribitur: tum quia subductio iam peracta est: tum quia postremus locus circulū nun (quam) capit. Reliquum igitur superioris numeri, a quo inferi­orem subduximus: sub linea reperietur. Octies millena mil­lia, quingenta triginta millia, centū nonaginta tria. Iterum aliud exemplum plurium locorū magis impeditū ponamus. [...]

[Page] Primo loco, quia supra septē est circulus, assumātur decē: a quibus septē deductis, tria supersunt. Secūdo loco occurrunt octo: quę unitate ex memoria augētur: et fiūt nouē. si ea a de­cē ad circulū assumptis subtrahātur: remanet unū. Tertio lo­co unum supra, infra circulus est. unū ex memoria promitur: quod superius exhaurit. et quia nihil superest: subscribemus circulū. Quarto loco, quia inferius circulus est: superius sep­tem: a quibus nihil est: quod subducamus: ipsa septē subscri­buntur. Quinto loco, quia octo a circulo demi nequeūt: a de­cem quę mutuamur: ea deducimus. duo restāt. Sexto loco, ad quatuor: quę infra sunt: unū addimus ex priore sede memo­ria sumministrante: quę simul addita subducimus a decem ad circulū superiorem assumptis. remanent quin (que). Septimo lo­co, septē uno aucta, quia ab uno demi nequeūt: ab undecim tollūtur, sumptis decē. tria subnotamus. Octauo loco, quin (que) quę sunt infra, uno ex priore sede delato, augemus: et sex ab octo subtrahimus. duo manent reliqua. Nono loco supra et infra circulus est. igitur sub linea ponitur circulus. Decimo lo co, sublatis quatuor a decem, quia a circulo nequeunt eximi: sex subsignāda sunt. Vndecimo loco, octo, quę inferius sunt: uno in memoria recondito augemus. etnouē, quia a circulo nō possumus: a decem deducimus. sic unū manet reliquum. Duodecimo loco promimus unū ex memoria: et addimus ad quatuor. quę, quia supra circulus est: auferimus a decem: et quin (que) nobis supersunt. ea sub linea deponimus. et quoniam unū adhuc superest mente reconditum: quod unitatem illam superioris ordinis postremam exhaurit: circulus subscribi de­beret: nisi postremus esset locus: qui eū non capit. igitur nihil amplius apponitur: quia peractum est opus. Reliqui sum­ma [Page] est. Quingenties sedecies millies millena millia, uities ter millena millia, quingēta uiginti septē millia, et tredeci. Si quis expedite sine ulla mora numeros uelit subducere: primum memoriter ediscat: quantum erit reliquum: si sin­guli numeri primarij, minores a maioribus subducantur: id quod pueri pleri (que) omnes tenent. et rursus quid super­erit: si numeri simplices, maiores a minoribus cum de­nario numero infra uiginti copulatis fuerint subducti.

Et quemadmodum in additione pręcepimus in primis, in memoria recondendum esse, quos numeros procrearent singuli numeri primarij sibi inuicem copulati: ita hice cō ­uerso pernecessarium putamus: ut expedite quis teneat: quos relinquant numeros singuli numeri primarij, uel in­uicem a se subducti, uel a procreatis per sui additionē nu­meris extracti. Quod si quis ignorat: unius horae labor: modo intentus sit animus: id suppeditabit. Verbi gratia, decem a decem et nouem deductis, supersunt nouem. no­uem a decem et octo demptis, reliqua sunt nouem. nouem a septemdecem sublatis, manent octo. si nouem tollas a sexdecem: remanent septem. si nouē demas a quindecim: restant sex. si nouem auferas a quatuordecim: supererunt quin (que). nouem exemptis a tredecim, quatuor relicta sunt. Si uero nouem extrahas a duodecim: tria remanebunt. Ab undecim sublatis nouem, duo superesse palam est.

Deinde octo a septemdecem tollantur: nouem remane­bunt. Octo demantur a sexdecem: octo relinquuntur. octo subducantur a quindecim: septē erunt reliqua. Octo auferantur a quatuordecim: sex adhuc supersunt. Si octo deducas a tredecim: quin (que) manent. Si octo a duodecim [Page] extrahas: quatuor existunt reliqua. Si octo tollas ab un­decim: tria sunt relicta. Rursus septem a sexdecim tolle: nouem deprehendes. Septem aufer a quindecim: octo reperies. Septem subtrahe a quatuordecim: uidebis su­peresse septem. Septem deme a tredecim: sex inuenies. Septem a duodecim demptis, quin (que) supersunt. Septem ab undecim sublatis, quatuor relicta sunt. Iam sex a quin­decim dempta, nouē reliquunt. Sex a quatuordecim sub­ductis, supersunt octo. Deme sex a tredecim: remanebūt septem. tolle sex a duodecim: reliqua erunt sex. Aufer sex ab undecim: quin (que) tamen supersunt. Age, si quin (que) a quatuordecim subduxeris: nouem superesse inuenies. Si quin (que) a tredecim tollas: octo deprehendes. Si quin (que) a duodecim demas: reperies septem. Si quin (que) ab undecim subducas: reliqua erunt sex. Iam uero, si quatuor a trede­cim deducantur: relinquentur nouem. Si quatuor tollan­tur a duodecim: octo remanebunt. Si quatuor ab unde­cim auferantur: septem erunt reliqua. Rursus tria deman­tur a duodecim: nouem nobis occurrunt. Subducantur tria ab undecim: octo sese offerunt. Deni (que) duo sublata ab undecim nobis relinquunt nouem.

Haec, quę pluribus uerbis edocuimus: figuris annotata sub oculis subiecimus. [Page] [...]

[Page] MVLTI, qui de subtractione antehac scripserunt: prę­cipiunt: quoties numerus maior in aliqua numerorum se­de deducendus est: (quam) is a quo deduci debeat: statim ab ul­teriori loco proximo decem esse petenda: delendam (que) esse notam: unde fuerunt petita: et aliam unitate minorem eius loco reponēdam. Ꝙ si circuli sint medij: iubent om­nes esse delendos: et eorum loco figuras nouenarias ap­ponendas. Sin unitas sit figura: quae decem commodat: illam in circulum mutādam. Et quia non inutile ad multa erit: quae illi prodūt cognoscere: (quam)uis priores deleant no­tas: eorum exempla figuris annotata subiecimus. [...]

Numerus superior a quo deductio fieri debeat: signetur. tria millia et decem. inferior, mille centū et undecim. Prin­cipio quia unum a circulo non possunt deducere, decem a secundo loco sumunt: et figura unitatis ibi deleta: circulū reponunt. ab illis decem exempto uno, nouem supersunt. Secundo loco, quia unum a circulo subducere non licet: et tertius itidem locus circulum habet: ex quarto loco, ubi tria notata sunt, decem petunt: et pro nota ternaria, quam delent: binariam ibi reponunt: circulum (que) tertij loci me­dium in figuram nouenariam mutant. Deinde unum se­cundo loco extrahunt a decem: et sub linea reponunt no­uem. Tertio loco unum auferunt a nouem. manent octo. Quarto loco unum a duobus deducūt. et unum, quod est reliquum: sub linea locant. Haec deducendi uia (quam) (quam) certa [Page] est: et memoriam seruandis unitatibus non onerat: nume­ri tamen maioris, a quo fit deductio: notas confundit: ut si cui propter errorem in subducendo admissum repeten­dum esset opus: numerū primo datū agnoscere nō posset. Alij, quoties numerus subducendus maior eo est: a quo fit subtractio: praecipiunt inferioris numeri distantiam a denario, ad superiorem, a quo sieri debet deductio: addi: et numerum ex additione illa procreatum lineae subdi. Et quandocum (que) distantiam accipiunt: semper subtrahendę proximae figurae unitatem mente reconditam addunt. ut illa nota sic aucta deducatur ab ea: quae supra eam posita est. id (que) per omnes numerorum locos seruant. ut si septem a quatuor essent demenda: quia septem a decem per tria distant: tria ad quatuor addunt: septemque sic procreata subscribunt. et unum mente seruatum in proxi­mi loci numerum inferiorem: qui deducendus est transferunt. [...]

Si uero nota: cui addendum est unum memoria retentū: nouenaria fuerit. quia uno aucta fit decem: et nihil a decē distat: numerum supra uerticem positum, a quo fuisset fa­cta deductio: integrum subscribunt. ut si nouem secundo loco: quibus unitas ex primo loco seruata addēda est: sub­ducenda essent: a tribus in superiore ordine positis. quia nouem uno aucta fiunt decem: et nulla est di­stantia: quae capi possit: tria, quae supra uer­ticem sunt: sub linea reponunt. [...]

Sin figura cui addenda est unitas: sit circulus: cum nihil sit: cui addatur: eam ipsam a superi­ore figura auferunt: et reliquum subnotant. [...]

[Page] Si uero supra etiam circulus sit: nouem, quae distantia est a decem: lineae subdunt. [...]

Vbicum (que) uero superior nota circulus est: inferior figura significans: distantiam inferioris a decem subscri­bunt. ut si duo a circulo deduci debeant: quia duo a decem per octo distant: octo subscribuntur. [...]

Caetera quae tradunt: cum his omnino consentiunt: quae nos supra praecepimus. Hic quo (que) subducendi modus: (quam)uis neminem fallat: tamen dum frequenter aucupamur distantiam: dum eam inuentam ad superiorem numerum addimus: diu nos moratur. et pene plus de additione (quam) de subtractione refert. Quamobrem uia per nos supra tradi­ta magis erit sequenda: quę cum sit certissima, tum longe cęteris est et breuior, et expeditior: nec ullam affert subdu­centi moram. notas quo (que) primas relinquit semper inta­ctas: ut si cui propter errorem in subtrahendo admissum, repetendum esset opus: primus numerus ante oculos prę­sto illi maneat. Ꝙ si quis inuestigare pergat. quare quo­ties decem ab aliqua numerorum sede mutuamur: toties ad inferiorem sequentis loci numerum: qui deduci debeat: unum addamus: cum prima facie cuiuis uideri possit: uni­tatem illam ad superiorem sequentis loci numerum, a quo fit subtractio: potius addi debere. Ne praecepta dare ui­deamur: quorum lectori non constet ratio: causam ape­riemus: cur ita fieri necesse sit. Nam omnis numerus ul­tra primum locum uel numeros denarios continet: uel ex denarijs collectos. unde cum in aliquo numerorum loco maior occurrit nota in ordine inferiori, (quam) quae ex minori [Page] superioris ordinis deduci possit: necesse est superiorem or­dinem ab ulteriori aliqua numerorum sede eum numerū mutuari: qui sufficere possit. is autem erit denarius a prox­ima ulteriori classe petitus: qui iunctus ad minorem illum primarium superioris ordinis numerum, ad cuius accersi­tur auxilium: magnitudinem superabit illius maioris nu­meri: qui prius a minori non potuit subduci. Quocirca cū denarium aliquem numerum ab ulteriori fede petimus, il­lius notam secūdum praeceptionem nostram ibi relinquē ­tes intactam: si nihil ad inferiorem illius loci figuram, un­de decē sumpsimus: adderemus: quod denarij numeri com modati notam adhuc restantem exhauriret: decem ibi re­dundarent: quę ante memoriter fuissent illinc deprompta. Quamobrem, ut illa decem sumpta mutuo, quorum ad­huc figura nihil mutata ibi manet: cum ad illum locum uentum erit: exhauriamus: unitatem semper ad sequentis loci inferiorem numerum: qui subducendus est: addimus: quae numerum illum denarium ibi redundantem subdu­cat. Id (que) fit per omnes numerorum sedes: quoties decem uel ad circulum, uel ad alium primarium assumimus.

Si quis experiri uult, an recte subductio facta sit? id quod summę reliquum est, ad numerum subtractum addat. et si ex illa numerorum adiunctione maior numerus, a quo mi norē subduximus: iterū surget: tum necesse est subtracti­onem recte peractam esse. Ꝙ si alium numerum, (quam) eum a quo prius minorem abstulimus: additio illa ꝓducet: er­rorem calculi interuenisse palam est. Nam quemadmodū totum omnibus suis partibus seiunctis par est: ita partes omnes compositae suo toto sunt pares. Cum ita (que) maior [Page] numerus totus a quo subductio facta est: minorem, qui subtractus est, et reliquum quod superest, partes suas ha­beat: eis (que) par sit: fieri non potest, quin partes illae rursus compositae suum totum, id est primum numerum, a quo minorem abstulimus: denuo procreent. Et si partes illae simul positę alium numerum creant: error manifestus est. nam omnes partes collectas a suo toto dissidere rerum na­tura non patitur. Vsum autem subductionis esse iam an­te diximus: ut indicet: quid sit reliquum: et quantum ma­ior numerus minorem superet. Quod quum per praecep­ta, quae tradidimus: inuentum fuerit: simul deprehensum erit, quantum ipsi numeri inter se distabunt. Nam quan­tum alter numerus alterum superabit: tantum inter se di­stare comperientur: ut quot unitatibus minor a maiori superatus fuerit (quod semper ipsum reliquum indicabit) totidem distent. Verbi gratia. sume duos numeros, alte­rum septem, alterum tria. deme tria a septem. reliqua sunt quatuor. septem enim tria superant quatuor unitatibus. distant igitur inter se totidem. Ꝙ si duos numeros ęqua­les sumas: et alterum demas ab altero: quia nihil erit re­liquum: nihil inter se distabunt. Ita (que) si perscrutari uelis: quantum duo quiuis numeri inter se di­stabunt: post (quam) altero ab altero sub­ducto, comperisti reliquum: una opera differenti­am deprehen­disti.

[Page] Ꝙ SI uarij generis nummi subducendi sunt: descriptis in suas classes, uti in additione diximus: eorū generibus, ueluti aureis ualentibus singulis denarios. 25. denarijs ualentibus singulis sestertios. 4. sestertijs ualentibus singulis duos as­ses et semissem: cuiusmodi sunt uetera nummismata Roma­na: numerorum subductio a dextra sumat initium: subtra­hantur (que) numeri primae nummorum classis inferiores a su­perioribus: si id fieri potest. Caeterum si id fieri nequit: a proxima denariorum classe sumptus mutuo denarius, et in 4. sestertios resolutus numerum sestertiorum superioris nu­meri augeat: ut tum demum inferioris subductioni sufficiat. et quoties numerus aliquis mutuo sumetur: toties ad classis sequentis proximum numerum subducendum, unitas est ad­denda. Similiter si denariorum numerus subducendus ma­ior sit: (quam) ut a superiore demi possit: aureum mutuum a prox­ima sinistra classe petamus: ut is in denarios. 25. resolutus numerum denariorum, a quibus fiet fubductio: augeat. et cum ad illam classem uentum erit: ad numerum proximum subducendum unitatem adiungamus. Itidem fiat de qui­buscumque uarijs nummismatum generibus, cuiusuis nati­onis, subducendis. Veluti aureis, denarijs, et nummis ui­lioribus.

Exemplum hic subnotauimus: quod solus facile sine praee­unte explicabis. [...]

DE MVLTIPLICATIONE.

MVLTIPLICATIO NVMERORVM EST unius in alterum ductu tertij numeri maioris procrea­tio: qui toties numerum multiplicatum contineat: quoties numerus multiplicans capit unitatem. Et ut apertius dica­mus. Numerorū multiplicatio est maioris numeri procrea­tio per alicuius numeri ad se ipsum, frequentem accumulati­onem, crebram (que) additionem toties repetitam, quoties nu­merus multiplicans cōtinet unitatem. Vsus eius non modo Astrologis pro reductione signorū ad gradus, graduum ad minuta, minutorū ad dimidia, et sic deinceps, uerū etiam ad uitam humanam degēdam mercatoribus, et omniū hominū conditioni pernecessarius est. Verbigratia. Si quis centū tri­tici modios, decem nummis unumquem (que): aut centum uini dolia, decē aureis singula, emit: et scire cupit: quid ei pro uni­uersis sit soluendū. In multiplicatione peragēda tres omnino numeri requiruntur. Primū numerus multiplicandus: quem per aliū multiplicare destinamus. Deinde numerus multipli­cans, qui toties eum numerū, quē multiplicare decreuimus: colligat: quoties in se ipso continet unitatem. Nihil autem refert: an minor numerus multiplicet maiorem: an e cōuerso minorem maior. Nam ex eorū mutuo in se ductu idem utro­bi (que) numerus semper surget. Sicut ter septē, et septies tria eū ­dem numerū creant, facilior tamen longe multiplicandi mo­dus est: cum numerus minor multiplicantis partes occupat: et numerus maior multiplicandi: (quam) cū contra fit. Tertius nu­merus, quem requirimus: ex numeri multiplicantis in eum, qui multiplicandus est: ductu, uelut amborū foetus procre­atur, [Page] per multiplicationem nobis inuestigandus. Numerus is, qui multiplicat: ab eo, quem multiplicare uolumus: eo di­noscitur, ꝙ numerus multiplicās per aduerbiū semper expri­mitur: multiplicandus autem per nomen. uti si ter septem di­cas. ternarius numerus multiplicans est: septenarius multi­plicandus. Illud in primis animaduertendū est: Vnū necse ipsum ne (que) aliū numerū multiplicare. Nēpe semel unū nihil est nisi unum. quatuor semel nihil amplius sunt, (quam) quatuor. Et ut facillima quae (que) primum expediamus. Si quis aliquem numerum per decem multiplicare uelit. unum solum circu­lum a dextra ei praeponat: qui sequentem numerum auge­bit in decuplum. Si numerum quemuis per centum multipli­care uoles. duos a dextra praepone ei circulos: et numerus, qui sequitur, augebitur in centuplum. Sin per mille numerū quemlibet multiplicare cupimus. tribus a dextra adiectis cir­culis, auctus est in millecuplum. At (que) itidem si quis per eum numerū, quem aliquis quantumuis ulterior numerorum lo­cus significat: alium numerum multiplicare destinat: is toti­dem eidem ascribens circulos, quotlocum illum representare possunt: multiplicationem absoluet.

Principio ad numeros oēs expedite multiplicādos nō parū nobis cōducet, in memoria recōditū habere: quē numerū sin­guli primarij infra decem, alius in alium ducti procreent: id, quod ex numerorū uelut in tabula depictorū quadā descrip­tione facile deprehēdi potest. Ea autē est huiusmodi. A sini­stra ab uno incipiēs, ac naturali numeroR serie in dextrā pro­grediens, singulos primarios us (que) ad decē, modicis interual­lis scribe. Deinde ab illo ipso uno ad sinistram posito, uelut a quodam uertice, iterum incipiens, eandem numerorū seriem, [Page] deorsum uersus tendendo, modicis et paribus interuallis di­stingue. singulos (que) primarios us (que) ad decem ita scribe: ut nu­merorum utra (que) series uelut pythagorae normam angulum rectū facientem nobis depingat. Postea sub prima serie, quae a leua in dextram tendit: a binario numero incipiens, aliam decem numerorū seriem contexe: in qua singuli numeri, qui in dextram progrediuntur: binarij incrementum accipiant. ea series desinat in uiginti. Tertius rursus ordo decem nu­merorum a ternario numero ad sinistram exordium sumens desinat in triginta, singuli (que) numeri in dextram protensi in­cremento ternarij augeantur. Quartus itidem ordo a quater­nario initium capiens, at (que) per decem numeros in dextram progrediens, singulis auctis adijciat quaternarium: desi­nat (que) in quadraginta. Quinta similiter series a quinario pro­cedens per decem numeros, quinario quem (que) auctos, finia­tur in quinquaginta. Sextus ordo a senario ad leuam orsus, per decem numeros, senario quē (que) auctos, ad sexaginta per­tendat. Septima quo (que) series a septenario exorsa singulis au­ctis numeris septenarij incrementum adijciat, in septuaginta desinēs. Octauus ordo ab octonario ad octoginta perueniat: octonarij augmentū ad singulos auctos numeros accommo­dans. Nona series similiter a nouenario progrediens ad no­naginta, per numeros decem, nouenario quem (que) crescentes protendatur. Decimus ordo a denario procedens sequen­tes numeros, denario singulos, augeat: desinat (que) in centum. Deinde numeris ita scriptis, lineę parallelę inter singulos or­dines directę sic ducantur: tam a summo uertice ad imum ca­dentes, (quam) transuersę a leua in dextram, ut eiusmodi linearum ductu singuli numeri quadratis locellis ubi (que) concludantur. [Page] [...]

HAEC numerorū figura mira quadam proprietate primariorū numerorū multiplicationem nobis ante oculos e uestigio demō ­strat. Nam si scire cupis: quē numerū duo quilibet primarij in se ducti creēt. Primū illorū alterū in serie suprema a sinistra in dex­trā protensa perquire. Deinde alterū uestiga in prima ad sinistrā serie descēdente. quos ambos cū inueneris: ab altero inter paral­lelas lineas recta semita descēdens, ab altero in trāfuersum paral­lelas duces sequēs, ꝓgredere: donec ad linearū in quadrāgularem [Page] formā coeuntiū locellū angularē peruenias: in quo numerū, quē requiris: ex amborū in se ductu procreatum deprehendes. Verbi gratia. siuis scire: quem numerū septies octo procreent. in altera serie septē, in altera octo quęre: parallelas (que) utrius (que) numeri, alte­ras descēdentes, alteras trāsuersas, uelut duces, sequere: donec in quadrāgularē coeāt figurā ▪ in cuius angulari locello quinquagin­ta sex notata inuenies. At (que) itidem in reliquis numeris primarijs. Verūtamen, ut ante dixi: qui sine ulla mora numeros multiplica­re uelit: primariorū inter se multiplicationē in memoria, uelut in numerato, recōditā habere debet: ut expedite, cū res poscet: sin­gulos numeros ex primariorū in se ductu generatos, tan (quam) ex the­sauro depromat. id, quo dpaucis horis quiuis uel infirma memo­ria facile potest ediscere. Alioqui si ad numerorū figurā supra no­bis depictā identidē respiciendū erit: quid fiet: quādo librorū nō adest copia? Ne igitur in leuiculis semper sit hęrendum: paucarū horarū industria longi tēporis tediū deuoret: ut quoties usus po­stulabit: numerorū primariorū multiplicationem mente prius re­positā memoria suppeditet. Id quod ad numerorū quo (que) partiti­onem nō minus cōferet. uti latius dicemus: quādo eo uentū erit.

Ꝙ SI cui est animus eiusmodi numerorū figurā in tantā am­plitudinē dilatare: ut magnos etiā numeros per linearū inspecti­onē cōpendio quodā multiplicare possit: Ab uno exorsus, quēad­modū ante diximus, naturalem numerorū seriem, quantū ei libu­erit: quantū (que) in immēsum uelit: tam a sinistra in dextrā progre­diens, (quam) a uertice deorsum descendens extēdat: singulos (que) cōtex­ens ordines illud semꝑ obseruet: ut a quo numero initiū series no­ua capiet: illius incremēto singuli eius numeri sequētes augeātur.

Pręter cęteras quo (que) ęgregias huius figurę dotes ab Arithmeti­cis traditas, quas nūc altius attingere nr̄i instituti nō est: illa insi­gnis habet̄: (que) si ab uno, qui numerus ad leuā sūmus est: ad centū, [Page] qui ad dextrā habetur imus: per āgulos oppositos linea ducatur [...] numeri oēs, quos secabit: quadrati reperiētur: qui ex cuius (que) eorū in se ip sū ductu, ꝓcreant̄. id quod eueniret: si quātūuis in immēsū pertēderet figura. Ad hęc ubicū (que) occurrunt numeri quadrati: idē ex ductu anguloR oppositoR in oppositos ꝓducet̄. ut si tria per tria multiplicent̄: perinde sit: acsi unū in nouē ducatur. quod quia ad radicū in numeris inuestigationē: de qua suo loco dicturi su­mus: pernouisse est utile: hic degustasse, non alienū est uisum.

QVI de numerādi scripserūt arte: de simplicibus numeris inter se multiplicādis, certā hāc dederūt regulā: quę sane et breuis est: et supputationē auspicātibꝰ admodum utilis: ut duo quiuis nu­meri primarij multiplicādi sumant̄: maioris (que) numeri, si alter ma­ior fuerit: a denario distātia capiatur. Deinde quot in ea distātia reperiētur unitates: toties minor numerus a suo denario, quē ipse denominat: subtrahatur. et numerus relictus erit is, quē quęrimꝰ. Verbi gr̄a. Scire uolens, quotū numerū cōponāt quinquies septē: sume tria, distātiā septenarij: qui maior est numerus. ac ter aufer quin (que), numerū minorē, a denario, quē denominat: hoc est a quin quaginta. suꝑsunt triginta quin (que): quę ex horū in se ductu ꝓcre­antur. Sin numeri ęquales fuerint: nihil refert: utrius a denario di­stātiā assumas: ut quoti ipsa distātia deprehēdas unitates: toties a denario, quē alter denoiabit: alterū numerū demas. uti si octies octo multiplicādi sūt: sume duo, distātiā utrius (que) a denario: bis (que) aufer octo ab octoginta. reliquū erit sexaginta quatuor. is est nu­merus: quē requirimus, ex illorū in se ductu generatus. Alij au­tem ad multiplicationem numerorū primariorū, quorū duo qui­uis additi maiorem denario numerū procreant: aliam docuerunt, regulam: ut uter (que) numerus ad sinistrā, alter sub altero scribatur. Deinde utrius (que) a denario distātia e regione ad dextrā ponatur. [Page] distātię (que), altera per alterā multiplicent̄ ▪ et quod ꝓductū erit: sub linea ducta notetur. Deinde alterutrius distaria ab altero subtra­hatur: et prius adiecto, si quid memoria seruat: subscripto nume­ro, ex distātiarū in se ductu procreato, a sinistra locetur. uti si sex­ies octo multiplicare uelis. supra octo, infra sex repone. Postea contra octo oppone pro distātia ad dextrā duo. cōtra sex oppone quatuor. duc postea duo in quatuor. fiunt octo. ea subscribantur. Exime deinde per oppositos angulos, uel duo a sex: uel si mauis: quatuor ab octo. supersūt quatuor. ea a sinistra numeri prius sub­scripti locentur. Ꝙ si numeri primarij simul additi numerū de­nariū non transcendant (hi autem sunt omnes minores infra sex) eos sine ullo pręcepto pueri pleri (que) omnes multiplicare sciunt.

NVMEROS multiplicaturi supremo loco eum scribamus: quem multiplicare destinamus. tum deinde inferius alterum, per quem multiplicare superiorem uolumus: ita reponamus: ut pri­marij numeri illius ordinis primarijs superioris, deni denis, cen­teni centenis, et sic deinceps respondeant. Et si numeri sint inae­quales: maior semper supra pro multiplicādo ponatur: minor in­fra pro multiplicante. Quo fiet: ut multiplicationis modus futu­rus sit expeditior. Postea sub ambobus nume­ris a leua in dextram calamo linea ducatur. [...]

Deinde prima nota multiplicātis numeri in primā multi­plicādi ducat̄: et si id, quod ex multiplicatiōe, pueniet, in­fra decem erit: ad dextrā primo loco sub linea reponatur. [...]

Si uero surgat numerus aliquis ex denis collectus: subscriba­tur circulus: et denorū illorum denominatio memoriae com­mendetur: ad sequentis loci multiplicationem addenda. [...]

SIN PRODEAT numerus aliquis ex denis et primarijs compositus: primarius primo loco deponatur: denorumque de­nominatio [Page] mente recondatur: ut ad sequentis loci numerum ex multiplicatione procreandū coniun­gi possit. [...]

Iterum nota prima numeri multiplicātis ducatur in mul­tiplicandi secundam: et quod inde creatum erit: post (quam) ei additum fuerit id: quod mente retentum est, si quid tale ex priore loco translatum superest: se­cundo loco subscribatur. [...]

Rursus eodem modo in tertiam, quartā, et reliquas quā ­tumlibet ulteriores multiplicandi numeri figuras eadem prima nota numeri multiplicantis ducatur: et quod ex ip­sis in se ductis creabitur: eisdem locis sub linea reponatur: quibus enatum erit. Demum prima illa multi­plicantis nota, quę suum peregit opus: ne am­plius turbam faciat: obelisco transfigatur. [...]

Post haec secunda numeri multiplicantis nota in primam multiplicandi, et deinceps in omnes reliquas, co ordine, eodem (que) modo ducatur: quo de prima nota fieri debere diximus. Et numeri ex eorum in se ductu proueniētes ita sub linea et sub figuris ex priore multiplicatione produ­ctis ponantur: ut primus eorum sub secūda multiplican­tis nota: secūdus sub tertia: tertius sub quarta: et sic de­inceps in sinistram procedendo locetur. Et (quam)uis paucio­res notę numeri multiplicantis, (quam) multiplicandi, fuerint: semper tamen progressus in leuam a secunda nota multi­plicantis exorsus, minimum, per totidem seruetur locos: quot figurae fuerint in numero multiplicando. Postea se­cunda nota suum enixa foetum calamo transfigatur.

[Page] Tertia deinde et quarta ac reliquę omnes, quot­quot fuerint: multiplicantis numeri notę in sin­gulas multiplicandi numeri eodem modo du­cendę sunt: numeri (que) ex multiplicatione nascē ­tes [...] sub linea et sub ordinibus ex priore multiplicatione procreatis ita reponendae: ut tertiae notae multiplicantis foetus, a tertio loco, quartae a quarto, et sic deinceps, pro­gressionis in sinistram capiat exordiū: per totidem (que) notas, minimū, proten­datur: quot reperiētur in numero mul­tiplicando. Singulae (que) notę, post (quam) of­ficio sunt functae: obeliscis inductae calamo transfigantur. [...]

Peracta demum figurarum omnium multiplicatione, rur­sus sub omnibus numerorum ordinibus ex multiplicatio­ne procreatis altera linea a leua in dextram ducta, ad pri­mum locum pertendat. Deinde a primo loco exorsi, om­nes illos numeros ex figurarum in se ductu natos simul addamus: nume­ros (que) exlocis singulis collectos eisdē locis sub linea subscribamus. Ita nu­merus sub linea repositus is erit: quē multiplicatio nobis procreabit. [...]

De circulis autem illud pręmonendum putamus: ut quo­ties in numero multiplicante nobis occurrit cir­culus: totidem sub linea circulos reponamus: quot fuerint figurae numeri multiplicandi. [...]

[Page] Ꝙ si numerus multiplicandus circulum aliquem habe­at: is etiam sub linea suo ponatur loco: nisi aliquid in memoria retētum super­sit: quod illic deponi debeat. [...]

NVNC EA, quae diximus: illustremus exemplis.

Multiplicemus septem millia nonin­genta [...] sexaginta tria per mille octin­genta quinquaginta duo. Post (quam) nu­meri scripti, subiecta (que) linea fuerit: sic nobiscū tacite meditemur. Primo loco bis tria creant sex. ea sub linea primo loco notamus. Iterum bis sex faciunt duodecim. duo sub linea secundo loco ponimus. unū pro denarij denominatione mente retinemus. Rur­sus bis nouem procreant decem et octo. quibus unum ex memoria addimus. fiunt decem et nouem. nouem igitur tertio loco lineę subdimus. unum mente recondimus. De­mum bis septem producūt quatuordecim: quę quum au­gentur uno ex memoria deprompto: fiunt quindecim. sic quin (que) quarto loco reponimus: unitatem in quintum lo­cum transferimus. at (que) ita primam illam notam multipli­cantis numeri, quę suum peregit opus: obelisco transfigi­mus. Postea secundam multiplicantis notā, nempe quin­ (que), in primam multiplicandi ducamus, intra nos ita mus­sitantes. Ter quin (que) creant quindecim. quin (que) secundo lo­co sub linea ponimus. unum mente seruamus. Iterum quinquies sex faciunt triginta: quibus unum ex memoria depromitur. fiunt triginta unum. ex his unum tertio loco reponimus. tria mente seruantur. Rursus quinquies no­uem [Page] producunt quadraginta quin (que): quibus tria ex me­moria addita quadraginta octo faciunt. octo quarto loco subscribimus, quatuor mente retentis. Demū quinquies septem sunt triginta quin (que). his ex memoria quatuor ad­iungantur. fient triginta nouem. ea sub linea ponantur ad sinistram. Ita secunda multiplicantis nota suum enixa foe­tum obelisco signatur. Tertiam deinde multiplicantis fi­guram assumentes, sic ducimus in primam multiplicandi. Octies tria sunt uiginti quatuor. quatuor tertio loco lineę subdimus. duo mente retinemus. Iterum octies sex sunt quadraginta octo. ad quae duobus ex memoria additis fi­ūt quinquaginta. circulus igitur quarto loco subscribitur. et quin (que) memoria seruat. Rursus octies nouem sunt sep­tuaginta duo: quibus memoria sumministrat quin (que). sic fiunt septuaginta septem. subnotantur septem loco quin­to, depositis apud memoriam septem. Deni (que) octies sep­tem sunt quinquaginta sex: ad quę quum septem ante re­posita iunguntur: proueniunt sexaginta tria. ea sexto et septimo loco subscribuntur: transfigitur (que) ita calamo ter­tia multiplicantis figura. Tandem uentū est ad quartam et postremam multiplicantis notam: quae cum sit unitas, et nullum numerum multiplicare possit: omnes figurae numeri multiplicandi, eo ordine, quo sunt scriptae: semel sub reliquis enatorum numerorum ordinibus sic ponan­tur: ut prima quarto loco sub ipsa unitate notetur: reli­quae (que) omnes in sinistram, nempe secunda in quintum lo­cum, tertia in sextum, quarta in septimum, promouean­tur. His ita peractis, ac sub omnibus enatis numeris li­nea a leua in dextram ad primum us (que) locū perducta, uni­uersorum [Page] numerorum ex multiplicatione prouenientium sūma collecta sub linea deponatur. ea erit. Quater decies millena millia, septingenta quadraginta septem millia, quadringenta septuaginta sex.

SED quoniā in hoc exemplo, quod iam explicauimus: nulli interuenerunt circuli: alterum adiungamus: in quo tam in numero multiplicāte, (quam) multiplicando, circuli sint admixti. id autem sit eiusmodi. [...]

Multiplicemus sexdecim millia quingenta tria, per quatuor mil­lia et uigiti. Post numeros scrip­tos lineam (que) subiectam primum nobis occurrit in numero multi­plicante circulus. totidem igitur circulos sub linea reponamus: quot sunt notae numeri multiplicandi. Deinde secūda nota multiplicantis in pri­mam multiplicandi ducatur. inde sex enascentur. ea secū ­do loco subscribantur. Et quia secunda figura numeri multiplicantis circulus est: ex quo nihil gigni potest: is tertio loco subnotetur. Rursus secunda multiplicantis nota in tertiam, nempe quin (que), ducatur. et fient decem. subijcitur igitur quarto loco circulus: unum (que) memoriae seruandum commendatur. Et quia quarta figura numeri multiplicandi circulus est: et unum adhuc memoria ser­uat: id sub linea quinto loco reponatur. Deinde secunda ipsa multiplicantis nota in quintam multiplicandi, nem­pe sex, ducta, duodecim proueniunt. ea sexto et septimo loco statuantur. postea secunda ipsa multiplicantis nota suo functa officio calamo transfigatur. Iterum tertio loco [Page] in numero multiplicante alter occurrit circulus. quamob­rem totidem circuli quot reperiuntur figurae numeri mul­tiplicandi: a tertio loco incipientes, in leuam promouen­tur. Quarta nota numeri multiplicantis quaternaria in primam multiplicandi ternariam ducta duodecim produ­cit. duo quarto loco subscribuntur. unum mente recondi­tur. et quia secunda numeri multiplicandi figura circulus est: unum illud mente retentum quinto loco deponitur. Rursus quarta multiplicantis nota in tertiam, uidelicet quin (que), ducitur. prodeunt uiginti. circulus ita (que) sexto lo­co subditur, duobus memoria repositis. Et quia in nume­ro multiplicando alter itidem circulus est obuius: duo il­la mente recondita septimo loco sub linea locantur. De­mum quarta nota numeri multiplicantis in quintā et po­stremā multiplicandi ducatur. et enascentur uiginti qua­tuor. ea octauo loco et nono deponantur. Post absolu­tam multiplicationem, sub omnibus ordinibus linea per­ducatur. sub qua uniuersorum foetuum collecta summa continebit. Ducenties quadragies ter millena millia, du­centa uiginti duo millia, et sexaginta.

Quaeret fortasse quispiam. cur ita singuli numeri ex mul­tiplicatione procreati semper ad leuam oblique promo­ueantur? et non potius directe sub numero multiplicādo collocentur? Sed quisquis multiplicationis naturam alti­us consyderabit: statim mirari desinet. Nam cum multi­plicatio toties numerum, qui multiplicatur: sibi ipsi ad­dat, at (que) accumulet: quoties numerus, qui eum multipli­cat: continet unitatem: oportet omnino alium numerum maiorem inuestigari: ad quem is, qui multiplicatur: uicē [Page] habeat unitatis. Et quoniam unitas natura primū in nu­meris locum tenet: sequentes autem eam numeri in ulteri­ores sedes secundum sui augmentum truduntur: quisquis numerus unitatis uicem occupabit: is primam itidem se­dē habeat, necesse est: et quae ipsum sequūtur: in ulterio­res sedes promoueat. Cum ita (que) numerus multiplicans non solum in omnes multiplicandi notas ducatur: uerū etiam ei leges praescribat: quoties ad inuestigationem nu­meri maioris, unitatis uicem sit subiturus: necesse est om­nino et tot maiorum numerorū procreandos ordines po­ni: quot sunt notae numeri multiplicantis: et rursus illos ipsos ordines a singulis numeri multiplicantis notis, quae representādis unitatibus legem dant: nouas subinde pri­mas sedes accipere. At (que) ita si primus locus, qui dux cae­teris est: ab ea sede incipiet: ubi nota multiplicans sita est: siue secunda, siue tertia, siue ulterior fuerit: omnes omni­no loci, qui eius ductum sequuntur: ulteriores erunt. Et cum maiores numeri ex notarum in se ductu semper quae­rantur: statim ut sunt inuenti: in sinistram, quae maiorū numerorum sedes est: promoueri debent.

Multiplicationem recte factam esse certa ratione proba­bimus: si numerus ex multiplicatione procreatus per nu­merum multiplicantem diuidatur: et sectio nobis nume­rum, qui multiplicatus est: instauret. Ꝙ si alium nume­rum reddat: erratum esse necesse est. Hoc autem manife­stius fiet: post (quam) numerorū partitionem explicuerimus.

DVPLICATIO numerorū est eorū per duo multipli­catio. Fit autē: quādo nota binaria posita sub primo lo­co numeri multiplicandi, ducitur in omnes eius figuras, [Page] eo modo, quo ante dictū est. de qua, cum sit species mul­tiplicationis, at (que) ea quidem longe omnium facillima: ni­hil attinet separatim pręcepta dare: sicut quidam fecerūt. nō magis (quam) de triplicatione, quadruplicatione, reliquis (que) multiplicationis speciebus, quae sunt infinitę. De quibus adhuc nemo quic (quam) speciatim edidit. (quam) (quam) in multis earum, ꝙ sint difficiliores: maior uideri potuisset ratio: si quis id attigisset. Verum in his omnibus quomodo multiplica­tio sit facienda: ea, quae iam dicta sunt: abunde summi­nistrant.

DE PARTITIONE.

PARTITIO NVMERORVN EST NV­meri diuidendi per numerum diuisorem sectio in quasuis partes: quarum quęlibet toties cōtineat unitatem: quoties numerus diuidendus capit diuisorem. Numerus autem diuisor uel minor diuidēdo, uel ei ęqua­lis, esse debet. Porro maior numerus non diuidit mino­rem: cum in minore maior non contineatur. Et ut mani­festius sectionis naturam explicemus. Numerorum par­titio est partium quarumuis, quotaecum (que) fuerint: pro­creatio ex numeri diuidendi sectione per numerum di­uisorem partes illas, quas quaerimus: denominantem. Quantitas autem illarum partium ita deprehenditur: si a numero, qui diuidendus est: diuisorem toties subtraha­mus: quoties fieri potest: diligenter obseruantes, quoties id faciemus. nam quoties subtractio repetita erit: toties numerus, quem quęrimus: unitatem continebit. Ita nihil [Page] aliud est numeros partiri: (quam) per numeri diuisoris crebram, ab eo qui diuiditur, subductionem, tertium numerū pro­creare: qui ex tot constet accumulatis unitatibus: quot re petitis iterationibus diuisor numerus a diuidendo subdu­ctus est. Partitionis enim officiū est nobis aperire: quā ­tum quaelibet pars numeri diuidendi, quotacum (que) sit: in se continet. et quoties in numero diuidendo numerus di­uisor includitur.

QVEMADMODVM autem in multipicatione prae­diximus non mediocriter conducere: si quis memoria te­neret: quos numeros procrearent primarij numeri in se ducti: ita hoc loco admonēdum putamus, numeros par­tituris supra (quam) dici potest, conferre: si sine ulla mora di­cere possinr: quibus ex numeris compositi sint, quas (que) in partes soluantur singuli numeri sub centum. Nam sicut primariorum inter se multiplicatio numeros maiores cre­at: quorum tamen maximus centenarium non transcen­dit: sic e conuerso procreatorū ex primarijs numerorum partitio ipsos in partes, ex quibus constant: dissoluit: nu­meros (que) ostendit minores: ex quibus maiores sunt accu­mulati. Et (quam)uis sufficere possit ad utrum (que) pernoscendū multiplicationis tabula supra a nobis descripta: si quis eam ordine retrogrado consyderet: et ab imis et maximis numeris contemplari incipiens ad summos et minimos tendat: tamē quo magis rem subijciamus oculis: quod (que) pro faciliori partitione mēte cōcepimus: exprimamus: aliā partitionis tabulam non absimilem, ordine tātum nume­rorum conuerso, describemus. quae in summa parte, et ad sinistram numeros maiores: in ima, et ad dextram mino­res [Page] contineat. Ea fiet ad hunc modum. Ab ima parte ab uno incipiētes, naturali (que) numerorum serie in leuam pro­gredientes singulos primarios us (que) ad decem modicis in­teruallis scribamus. Iterum ab illo ipso uno ad dextram reposito, uelut a quadam basi, capientes exordium ean­dem numerorum seriem, ad decem us (que) sursum uersus a­scendendo, modicis et paribus interuallis distinguamus: ut uelut normam quandam rectum habentem angulum utraque series referat. Deinde singulos ordines struen­tes illud obseruemus: ut a quo numero initium seriei ali­cuius sumemus: siue binarius, siue ternarius, siue ulteri­or fuerit: eius incremento singulos decem eum sequen­tes numeros in sinistram promotos augeamus. Pa­rallelae deinde lineae inter singulos ordines ductae tam a summo fastigio ad imum cadentes, (quam) transuersae a leua in dextrā, singulos notatos numeros quadratis includant lo­cellis.

[Page] [...] ITA CONTRA (quam) in multiplicationis tabula descriptum est: summas et sinistras partes maiores numeri statim oculis occur­rentes tenebunt. Quorum si quem per minorem partiri uole­mus: parallelas a maiori numero diuidendo, tam ad imum mar­ginem, (quam) ad dextrum latus ducentes, oculis sequamur. Vbi se no­bis contuendos offerent numeri: ex quibus constat: minores. quorum alter diuisor erit: alter qui nobis indicet: quoties a diui­dendo [Page] diuisor ipse subductus eum totum exhauriat. Ve­rum enim uero quisquis huius tabellae descriptae uim me­moria reconditam tenet: ut non solum quos numeros ge­nerent multiplicati primarij: dicere expedite possit: sed etiam in quos primarios generati ipsi soluantur: id quod plurimum bidui exercitatione cuiuis licet assequi: is sine ulla mora, numeros quantumuis magnos in partes, quas­cum (que) uelit: facile partietur. Id (que) ita esse argumento est: ꝙ ꝗ alioqui in diuidendis numeris hęrent: proposita mul­tiplicationis tabella sese confestim explicant. quam si or­dine retrogrado mente repositam haberēt: nihilo facilior illis esset multiplicatio (quam) partitio.

MODVS autem expeditus quoscum (que) partiendi nu­meros eiusmodi est: ut primū numerus diuidendus a dex­tro latere scribatur: et ab eius sinistra numerus diuisor. inter quos linea cadēs media ponatur. Deinde sub nume­ro diuidendo duę lineae parallelae modico interuallo inter se distantes a leua in dextram ducantur. sub quibus iterū diuisor numerus sic subnotetur: ut ultima nota diuisoris ad sinistram sub ultima diuidēdi, et penultima sub penul­tima, et sic deinceps locetur. At (que) id quidem ita fiet: si to­tus numerus diuisor a diuidendi notis supra se repositis subduci potest.

CAETERVM si maior fuerit diuisor, (quam) diuidendi nu­meri notae supra selocatae: ut ab his non possit totus sub­trahi: tunc postrema diuisoris figura sub penultima diui­dendi ponatur.

HIC quidem numerus parallelis subiectus diuisor am­bulans non abs re dici potest: ꝙ ad sinistram semper inci­piens, [Page] post (quam) a diuidendo numero subductus est: siguris suis deletis progrediatur ad dextrā. ille uero ad leuam li­neę cadentis positus, diuisor stans non immerito uocatur: ꝙ manens nos admoneat: quis numerus sit diuisor. Inter parallelas uero numerus is ponatur medius: qui nobis in­dicat: quoties in diuidendo numero diuisor cōtinetur: ut ab illo toties huius fiat subductio. uulgus hunc numerū quotientem barbare uocat, participium effingens ab ad­uerbio. is nobis uidetur apte appellari posse numerꝰ par­titionis, aut si mauis, numerꝰ sectionis: ꝙ ex maioris nu­meri sectione generetur.

ETVT a facillimis primum incipiamus. Si quem nu­merum in decem partes diuidere uolemus: primam a dex­tra parte notam, perlineam cadentem mediam, separemꝰ a caeteris. et peracta est partitio. Si in centum: duas pri­mas seiungamus notas. Si in mille: seponamus tres. Si in decem millia: quattuor distinguamus. Et ut in uniuersum praecipiamus. Quandocū (que) maiores numeros partiri uo­lumus per minorem numerum unitatis nota et uno circu­lo aut pluribus scriptum: quem aliqua numerorum sedes significat: totidem a dextra per lineam cadentem notas se­paremus: quot locū illū pręcedunt. et absoluetur partitio. Notae autem a caeteris separatę reliquū indicabunt: quod ex diuisione superest: et supra diuisorem stantem linea in­terposita notentur. is locus est eius reliqui: quod post par­titionem peractam remanebit. Id ita esse palam est. nam si una nota ad dextrā apposita sequentem numerum ultra id, quod ipsa significat: augebit in decuplum: duae addi­tae eodem modo in centuplum: tres in millecuplum: et sic [Page] deinceps illę ipsę sublatę datū incrementū omnino tollēt.

SIVERO diuisor numerus, per quē partiri uelis: uni­cam notam habet: is sub ultima diuidendi numeri figura: siue ipsi diuidendo aequalis, siue eo minor fuerit: ponatur. Et si diuisor ipse diuidendo numero aequalis erit: quia tan­tum semel ab eo subduci potest: unitatis nota sub diuidē ­do inter parallelas inseratur: Statim (que) tam diuisor sub li­neis, (quam) prima diuidendi figura calamo transfigatur. et di­uisor in dextram ambulans sub penultima diuidendi no­ta iterum reponatur.

Ꝙ. si diuidendo numero minor erit diuisor: cōsyderandū erit: quoties diuidendus eum contineat? an semel? an bis? an saepius? numerus (que) id indicans inter lineas parallelas sub diuidendo ponatur. si semel: unitatis nota reponen­da. si bis: nota binarij. siter: ternarij. et sic deinceps. Tum per illum numerū inter parallelas repositum diuisor mul­tiplicandus est: numerus (que) ex multiplicatione proueniēs sub parallelis infra diuisorē, prius tamen, ne rationes con­turbet, deletum ponatur. is (que) numerus a diuidendo supra parallelas locato subducatur. et si quid reliquum erit: su­pra diuidendi figuras: a quibus fit subtractio: prius dele­tas, nerationem conturbent: scribatur. Quo facto, dele­atur etiam numerus subductus sub parallelis repositus. et diuisor in dextram progrediens iterum sub penultima diuidendi figura locetur. Vbi animaduertendū erit: quo­ties penultima diuidendi cum toto reliquo supra ultimam diuidendi posito (si quod fuerit) contineat diuisorem. Ip­sum autem reliquum ad respectum penultimae diuidendi, et quoties in progressu occurret, ad sequentium respectū, [Page] denarium illum numerum, quem nota ipsum exprimens denominat: semper significabit. ut si unitatis nota in re­liquo sit: decem exprimat. si binarij: uiginti. si ternarij: tri­ginta. et sic deinceps. Numerus uero ipse indicans, quo­ties penultima diuidendi cum reliquo capit diuisorem, in­ter parallelas est reponendus. Illud tamen perpetuo est obseruādum. Quandocum (que) diuisor in diuidendo saepius (quam) nouies continetur: nouem inter lineas tantum sunt re­ponenda. Per numerum autem ipsum inter parallelas po­situm multiplicandus est diuisor. et numerus ex eo proue­niens, si una nota scribi possit: sub diuisore prius deleto, ne rationes conturbet: reponatur.

SIN numerus ille proueniens ex denario et primario sit compositus: ut duabus notis signari debeat: primarius semper sub diuisore ponatur. denarius autem ab eius sini­stra sub reliquo diuidēdi, si quod fuerit, aut sub alia ipsius diuidendi figura supra se posita statuatur. numerus (que) is ab ipsis diuidendi figuris supra se positis subducatur. po­stea deleantur notae, tam quae subductae sunt, (quam) a quibus fit deductio. et si quid ex hac subductione iterum erit re­liquum: supra penultimam diuidendi notetur.

DEINDE diuisor in dextram obambulans sub nota proxima penultimae diuidendi rursus collocetur. et itidem per omnia fiat: quemadmodū in penultima. At (que) ad hūc modum diuisor promoueri debet: donec ad primam diui­dendi figuram uentum erit. ubi si quid ex deductione reli­quum supererit: id supra diuisorem stantem linea interpo­sita notetur. qui locus est eius reliqui: quod post diuisio­nem peractam remanet. quod certe semper minus erit (quam) [Page] diuisor: nisi in partione fuerit erratum.

Quotiescum (que) autem post priorem subductionem inter partiendum cōtinget diuisorem maiorem esse notis diui­dendi supra se locatis: ut ab his subduci non possit: toties inter lineas circulus ponatur. et per unum locum progre­diatur diuisor, notae (que) illae diuidendi, a quibus fieri sub­ductio nō potuit: ad respectum illius, sub qua diuisor lo­catus est: uel denorū, si in secundo ab ea loco, uel centeno­rum, si in tertio posita fuerint: in sequenti diuisoris sub­tractione semper habebunt. Et ut magis ea quae diximus aperiamus exemplo. diuidamus septem millia octingenta uiginti quin (que) per sex. Scriptis primum diuidendo et diuisore cum paral­lelis medijs, eo modo, quo dixi­mus: [...] sic partiturus secum cogitet. Sex in septem semel tā ­tum reperio▪ unitatis igitur notam inter parallelas repo­no. et quia illa unitas sex non multiplicat: ipsa sex subdu­co a septem. superest unum reliquum. id supra septem ca­lamo transfixa statuo. deleo (que) sex diuisorem. et sub penul­tima diuidendi iterum ea pono. ibi occurrunt in reliquo et penultima diuidendi decem et octo. sex in his ter haben­tur. igitur tria inter parallelas depono. per quae multiplico sex: et fiunt decem et octo. decē sub reliquo, octo sub di­uisore prius deleto statuo. deinde octo ab octo subduco et nihil superest. unitatis autem notam decem repraesen­tantem subtraho ab uno supra se posito reliquum signan­te. Iterum promoueo diuisorem: et sub proxima penulti­mae eum colloco. Ibi quia diuisor maior est diuidendo: cir­culum [Page] inter lineas insero: deleo (que) diuisorem: ac rursus sub prima diuidendi figura eum repono. Illic in diuidendo ui­ginti quin (que) deprehendo. quorum uiginti ideo manent: quia diuisor proxime cum circulus lineis est insertus: ab his subduci non potuit. in quibus, quia quater sex haben­tur: quatuor inter lineas scribo. per quae multiplico sex: et et fiunt uiginti quatuor. Ita (que) sub diuisore deleto quatuor subnoto. et sub proxima diuidendi sequente pono notam binarij: quae uiginti significat. tūc quatuor a quin (que) in di­uidendo numero supra se repositis deduco. et unū super­est. duo (que) a duobus demo. postea transfigo calamo tam subductos numeros, (quam) a quibus subducti sunt. Vnum (que) quod post diuisionem peractam manet reliquum: supra diuisorem stantem linea interposita colloco. Ita numerus indicans, quoties facta sit subductio, surgit inter lineas. Mille trecenta quatuor.

PRAETEREA si diuisor numerus unicam notam si­gnificantem cum uno circulo aut pluribus habeat: totidē diuidendi numeri figuras linea cadente interserta separe­mus a dextra: quot circuli in diuisore notam significan­tem praecedunt. Deinde per illam significantem notam so­lam amotis circulis, diuidendum numerum eo modo par­tiamur: quo cum unica nota fieri debere diximus. praeter­ (quam) ꝙ partitio, cum ad separatas per lineam figuras uentū erit: cessabit. et si quid reliquū superest ex ea diuisoris sub­ductione, quę a figura diuidendi proxime separatas prę­cedente, facta est: id una cum ipsis figuris separatis totius partitionis reliquum erit. At (que) ideo supra diuisorem stan­tem, linea interposita, notetur. [Page] [...]

Ꝙ SI DIVISOR numerus duas aut plures habeat significantes notas: unum (que) aut plures in fine circulos: to­tidem in diuidendo numero similiter a dextra separandae sunt figurae: quot circuli in diuisore: figuras ipsas antece­dunt. et per illas significantes notas solas amotis circulis, diuidendum numerum eo modo partiri oportet: quo cū pluribus notis fieri debere mox pręcipiemus. cesset (que) par­titio quando ad separatas figuras ueniemus: quas uti iam dictum est ascribemus in reliquum. [...]

QVANDO autem diuisor duas aut plures significan­tes notas habet: sub diuidendo numero ductis parallelis ita singulae scribantur, ut ultima diuisoris sub ultima diui­dendi, penultima sub penultima, et sic deinceps, omnino reponantur. nisi totus diuisor numerus maior esset totidē diuidendi figuris supra se locatis: ut ab his subduci non posset. nam tunc diuisoris ultima sub penultima diuiden­di. et penultima sub antepenultima, in initio statui debe­ret. sicuti ante dictum est. Quo peracto, consyderandum est: utrum quoties ultima diuisoris in ultima diuidēdi su­pra [Page] se posita reperitur: toties diuisoris penultima in diui­dendi penultima, et reliquo ultimę, si quod post diuisoris subtractionē supererit: et antepenultima diuisoris in an­tepenultima diuidendi, et reliquo penultimę, si quod erit, et sic per cęteras diuisoris notas reperiri possit? et si id pos­sit fieri: numerus indicans quoties diuisor continetur: in­ter parallelas ponatur. et per eum singulae diuisoris notae multiplicentur: suo quae (que) ordine: numeri (que) ex multipli­catione prouenientes sub ipsis multiplicatis diuisoris no­tis sic ponātur: ut si figuris pluribus scribendi erūt: prima earum sub nota multiplicata, reliquae post eam suo ordine locentur. singuli (que) numeri a figuris diuidendi supra se po­sitis, et a reliquo, si quod erit, subducantur: deletis tam di­uisoris (quam) diuidendi notis, eo modo, quo ante dictum est: cū de diuisore unicam notā habente pręciperetur. [...]

AT SI penultima et antepenultima et quaeuis alia di­uisoris nota toties non reperiatur in diuidendi figuris su­pra se locatis, et reliquo earumdem, si quod erit: quoties ultima diuisoris in ultima diuidendi cōtinetur: tunc quia toties illę a supra se repositis subduci nō possunt: quoties haec ab ultima diuidendi: subducamus ultimam diuisoris ab ultima diuidēdi semel minꝰ, (quam) alioqui subtrahi posset. et consyderemus, an reliquum, quod ex ultima diuidendi figura supererit: penultimae et antepenultimae et caeteris eiusdem figuris tantum sumministret? quantum ad sub­ductionem reliquarū diuisoris notarū ferendam satis erit.

Ꝙ si post id factum singulae diuisoris notae a diuidendi figuris supra se positis et a reliquo eiusdem adhuc subduci [Page] nequeunt: ultimam diuisoris bis minus, (quam) alioqui subduci posset: ab ultima diuidendi subtrahamus. et iterum con­syderemus: an reliquum, quod supererit, tantundem pe­nultimae et caeteris diuidendi figuris, suppeditabit: quan­tum subductionem diuisoris ferre possit.

Ꝙ SI ne (que) bis minus subducere sufficiat: tentemus, an ter minus satis esse possit. Si ne id quidem procedit: ex­periamur, an quater minus deducendo proficere possimꝰ. At (que) ita rariorem ultimae diuisoris subductionem subin­de tentemus: donec reliquum, quod in ultima diuidendi per hoc augebitur: caeteris eiusdem figuris tantū summi­nistret: quantum ad iustam subtractionem cęterarum di­uisoris notarum ferēdam sufficere possit. Ad id autem in­uestigandum partitionis tabella, quā supra descripsimus, inspecta plurimum rudes iuuabit. ut quoties ipsam rario­rem subductionem in ultima diuidendi consyderant: sem­per interiores ab ea et dexteriores parallelas duces, qua­drangularem formam minorem contrahentes, inspiciant▪ quarum extremi in marginibus locelli facile indicabunt: quis numerus sit sumendus: quid (que) futurum reliquum.

CVM uero consyderando deprehenderimus: quoties ultimę diuisoris subductio fieri debeat: ut caeterae eiusdem notae a supra positis similiter subtrahi possint: numerum id indicantem inter parallelas supra ultimam diuisoris no tam apponamus. et per illum numerum quamlibet diui­soris notam multiplicemus: prouenientem (que) ex singulis multiplicationibus numerum sub ipsis multiplicatis di­uisoris figuris sic ponamus: ut, si notis pluribus scriben­dus erit: primam earum semper sub multiplicata figura, [Page] reliquas post eam suo ordine collocemus: eas (que) a figuris diuidendi supra se locatis, et a reliquo, quando occurret: subtrahamus: delentes semper prius ipsas diuidendi figu­ras: a quibus fit deductio. et quod ex singulis subtractio­nibus reliquum supererit: supra ipsas diuidendi figuras: in quibus repertum est: prius deletas scribamus eo modo: quo ante diximus de unica praecipientes nota.

Quandocum (que) autem in quouis reliquo aliqua nota re­tro manet non dum per subtractionem exhausta: praece­dens (que) eam diuidendi figura, ex qua post subductionem nihil reliquum mansit: integre deletur: supra ponatur cir­culus: ut retro adhuc restantis reliqui nos admoneat: si­mul (que) eius augeat significationem.

QVOD cum peractum erit: singulae diuisoris notae de­letis prioribus, per unum locum promoueātur in dextrā. et ultima diuisoris sub penultima diuidendi, eius (que) penul­tima sub diuidēdi antepenultima, et sic deinceps, locetur. Iterū (que) de diuisoris notis subducendis eodem modo con­syderandū est: eodem modo faciendum: quemadmodum iam dictum est. Rursus (que) subductione ꝑacta, per unum locum promouendus est diuisor. at (que) eadem obseruanda sunt: donec prima diuisoris nota sub primā diuidendi ue­nerit. ubi finietur opus.

ITAQVE si post subductionē quic (quam) remanserit: quod minus sit: (quam) diuisor: quia partitio finita est: supra diuiso­rem stantem linea interposita notetur: ut inde nobis ap­pareat: quota pars diuisoris sub linea subiecti sit ipsum re­liquum supra positum.

SI VERO reliquū ipsum maius sit: (quam) diuisor: quoniā [Page] errorem interpartiendum certū est interuenisse: opus to­tum denuo repetendumest.

PRAETEREA quotiescum (que) post unam omnium di­uisoris notarum subductionem us (que) ad finem operis diui­sor ipse diuidendi notis supra se locatis maior reperitur: ut ab his non possit totus subuci: toties circulus inter paral­lelas est reponendus. et singulae diuisoris notae nulla facta subductione per unum locū transferendae sunt in dextrā. Relictae autem illae diuidendi figurae in proxima sequenti diuisoris subductione debent exhauriri. At (que) ideo si post consummatam subtractionem in numero diuidendo cir­culus ad dextram superest: is inter parallelas a dextra col­locetur.

ILLVD quo (que) etiam in hac partitione, quae per plures fit diuisoris notas: perpetuo seruandum est: ut si aliqua di­uisoris nota saepius (quam) nouies in diuidendi figuris supra se reperiatur: nouem tantum inter lineas sint reponenda. quemadmodum in diuisione per unicam diuisoris notam facienda supra dictum est.

ET quoniam auspicantibus pręcepta sine exemplis ob­scura uideri solent: exēplis illustremꝰ ea, quę iā dicta sunt. [...]

[Page] DIVIDAMVS bis millena millia noningenta quinde­cim millia, quadringenta decem, per quadraginta septem. Scripto statim numero diuidēdo supra parallelas, sub pa­rallelis diuisorem statuamus. et quia sub ultima diuiden­di nota binaria, ultima diuisoris nota quaternaria poni nō poterit: ꝙ hęc illa sit maior: sub penultima diuidēdi: quę nouem continet: quatuor reponamus: et a dextra septem. Deinde partiturus eiusmodi, quae sequuntur: secū tacitus mussitet. Quatuor in figuris diuidēdi supra positis: quae uiginti nouē denotant: septies reperio. septies enim qua­tuor, uiginti octo creant: et adhuc unū superest. uerum si septies sumpsero quatuor: et unū reliquū fecero: alterā di­uisoris notam septenariā per septem multiplicatā in figu­ra diuidendi supra se posita, et reliquo, quae undecim con­tinēt: toties nō reperiam. sumo igitur sexies quatuor ex ui­ginti nouē. et quin (que) facio reliqua: ut utra (que) diuisoris nota toties in supra se locatis reperiatur. repono (que) sex inter line as: et per ea multiplico quatuor: sic fiunt uiginti quatuor. igitur sub multiplicata figura quaternaria prius deleta re­pono quatuor: et binarij notā, quae uiginti significat: post eam sub ultima diuidendi colloco. Deinde quatuor a no­uem supra positis demo. quin (que) autem reliqua supra nouē noto. duo (que) etiā a duobus subduco: et utras (que) notas trans­figo. Iterū multiplico sex inter lineas posita ꝑ septē, alterā diuidendi notā: et ꝓcreo quadraginta duo: quorū duo sub multiplicata figura septenaria repono: quaternarij (que) figu­rā, quae quadraginta significat, post eam a sinistra, prius septem deletis, statuo. Deinde quia duo ab uno demere nō possum: assumo decem mutuo: et duo ab undecim tollo. [Page] supersunt nouem reliqua. quae supra uerticē signo. et quo­niam decē mutuo sumpsi: sequentē notā quaternariā uno augeo. sic quin (que) illa iam facta a quin (que) supra se repositis subtraho: deleo (que) utras (que) notas. At (que) ita post primā sub­ductionem totius diuisoris per numerū partitionis mul­tiplicati, utram (que) diuisoris ipsius notam per unum locum in dextram promoueo. ibi diuisoris notam quaternariam in nouē reliquis bis reperio: et tamen unū supererit: quod cum quinaria diuidendi figura supra septē locata satis erit ad septem bis subtrahenda. duo igitur inter lineas depo­no. per ea multiplico quatuor, posteriorem diuisoris notā. et fiunt octo. ea subducūtur a nouem. unū superest. quod supra nonariam diuidendi figuram prius deletā notatur. deleta simul etiam nota diuisoris quaternaria. Rursus sep­tem multiplico per duo. fiunt quatuordecim. horum notā quaternariam sub multiplicata figura septenaria, unitatis autem notam, quae decem indicat: post eam sub uno reli­quo statuo. deinde quatuor a quin (que), et unum ab uno reli­quo supra se reposito aufero: at (que) utris (que) notis deletis, unū ex quin (que) relictum supra uerticem noto. Rursus (que) post to­tius diuisoris multiplicati subductionem utrā (que) eius no­tam per unū locum in dextram promoueo. ubi supra qua­tuor unitatis notam in diuidendo numero relictam, supra septem quatuor reperio. et quia quadraginta septē in qua­tuordecim haberi nequeunt: nec ulla potest fieri subdu­ctio: circulo inter lineas inserto, per unum locum rursus diuisorem ad dextram transfero. ibi supra quaternariā di­uisoris notam in diuidendo numero quatuor, et ex priore reliquo unū, quod decem denotat: comperio. sic in qua­tuordecim [Page] ter quatuor habentur: et duo erunt reliqua pro altera diuisoris nota subducenda. tria ita (que) inter lineas de­pono. et per ea multiplico quatuor: fiunt duodecim. horū notam binariam sub figura quaternaria multiplicata: uni­tatem autem decem denotātem sub reliquo subsigno. sta­tim (que) ea subduco a quatuordecim deletis. et duo suꝑsunt. multiplico deinde septem per tria: unde creantur uiginti unum. horū unitatis notā sub figura septenaria multipli­cata: notā autem binarij a sinistra sub reliquo pono: at (que) ea subtraho a supra positis diuidendi figuris: uidelicet ab unitatis nota et duobꝰ reliquis. sic nihil omnino superest. at (que) ita utrę (que) diuisoris et diuidendi notę delentur. Verū ­tamen (quam) (quam) omnes numeri diuidendi significātes notae per subtractionem sunt exhaustae: tamen quia in eo superest adhuc circulus: et partitio plene peracta nō est: propter­ea ꝙ non dum prima diuisoris nota sub primam diuiden­di successerit: circulus ipse inter lineas ad dextram recon­datur. Ita numerus partitionis inter lineas comperietur. Sexaginta duo millia, et triginta. [...]

[Page] VNVM explicauimus pro rudibus exemplū: ubi dua­bus notis scriptus erat diuisor. alterū aggrediamur: in quo tres notas, postremam (que) harum minimam, reliquas ante­riores maiores habeat. cuiusmodi exempla difficilius ex­plicātur: (quam) si postrema diuisoris nota maior anterioribus esset. Diuidamus ita (que) nouies millena millia, septingenta quadraginta millia, quingenta sexaginta tria, per trecenta octoginta nouem. Et quum notas diuidendi et diuisoris scripserimus: duxerimus (que) parallelas: sub his diuisorem ita statuamus: ut ultima eius nota sit sub ultima diuiden­di: penultima sub penultima: antepenultima sub antepe­nultima. Deinde cōsyderemus, quoties ternariam notam ultimā diuisoris a nonaria diuidendi ultima possimꝰ sub­ducere: ut pro caeteris diuisoris notis, quae maiores sunt: subtrahendis, satis supersit. et bis id fieri posse deprehen­demus. duo igitur inter parallelas ponimus. per quae tria multiplicamus. fiūt sex. ea subducimus a nouem. tria ma­nent reliqua. ea supra postremā diuidendi deletam nota­mus: simul deleta etiam diuisoris postrema. Iterū per duo multiplicemus mediam diuisoris octonariam notam. sur­gunt sexdecim. sex sub octo deletis, reponimus: unitatis (que) notam post octo sub postrema diuisoris. deinde et sex a septem demimus: et unum reliquum supra scribimus. uni­tatis autem notam a tribus, quae ex priore reliquo super­sunt: extrahimus: et duo relicta signamus supra uerticē. delentur (que) figurę, tam quae subductae sunt: (quam) a quibus fit subductio. Rursus tertiam diuisoris notam nonariam per duo multiplicemus: et fiūt decem et octo. quorū octo sub nonaria deleta reponimus: unitatis notā pro decem prox­imo [Page] sequēti loco. et quia octo a quatuor supra positis sub­ducere nō possumus: decē mutuo sumptis, octo a quatu­ordecim subducimus. ita deletis notis, sex relicta signan­tur supra uerticem. pro illis autem decem assumptis unū addimus ad sequentem unitatis notam: quę est in diuiso­re: et duo illa, quia ab uno supra se reposito auferre non li­cet: decem mutuantes ab undecim tollimus. rursus (que) dele­tis notis, nouem relicta signamus supra uerticē. Et quo­niam decem iterum sumpsimus: iterum sequenti loco unū a duobꝰ supra signatis demimus. unum (que), quod superest: notamus, deleta nota binaria. Et quoniam semel omnes diuisoris notas a supra positis multiplicatas abstulimus: eas per unum locum singulas in dextram promouemus. Ibi iterum consyderamus: quoties tria a decem et nouem supra positis extrahi possunt: ut tamen satis ad cęterarum diuisoris notarum subductionem supersit. id quinquies fi­eri posse comperimus. quin (que) igitur inter lineas supra tria reconduntur. per ea, tria multiplicantur. et fiunt quinde­cim. quorum quinque sub multiplicata figura ternaria re­ponuntur. et unitatis nota pro decem loco sequenti. de­inde quin (que) subducuntur a nouem supra se positis: et qua­tuor reliqua supra scribuntur. unitatis autem nota ab uno reliquo tollitur: delentur (que) figurae. Multiplicatur deinde secūda octonaria diuisoris nota per quin (que). inde surgunt quadraginta. circulus ita (que) sub octo locatur. et quaterna­ria nota, quę quadraginta significat: post eum. ea subtra­hitur a quatuor supra positis. et utra (que) nota trāsfigit̄ obe­lisco. postea multiplicatur tertia nonaria diuisoris nota ꝑ quin (que). et crescunt quadraginta quin (que). quorū quin (que) sub [Page] nouem collocantur. et loco sequenti quatuor pro quadra­ginta. sic quin (que), quia circulus supra se notatur: a decem mutuo sumptis auferuntur. et quin (que) manent. quae supra circulum deletum annotantur. et quoniam decem sunt as­sumpta: unum ad sequentem quaternariam notam addi­tur: at (que) ita quin (que) a sex supra se locatis deducuntur. dele­tis (que) figuris, unum, quod relictū est: signatur supra uer­ticem. Sic omnes diuisoris notae per quin (que) multiplicatae, et a supra positis subductae, per unum locum singulę trās­feruntur in dextram. Et quia diuisoris notae in diuidendi figuris supra se positis haberi nequeunt: circulus inter li­neas inseritur. Rursus per unum locum singulae diuisoris notae in dextram procedūt. Ibi consyderamus quoties di­uisoris ultima ternaria a diuidendi notis supra se locatis, quae designant quindecim: tolli queat. et (quam)uis quinquies id fieri possit: semel tamen minus subducimus: ut sequen­tium diuisoris notarū habeatur ratio: quatuor (que) inter pa­rallelas locamus. per ea multiplicamus tria. et fiunt duo­decim. quorum notam binariam sub tribus multiplicatis locantur: et unitatis nota pro decem, in sede sequenti. Deinde duo subducūtur a quin (que). et tria reliqua manent. ea supra scribūtur. unitatis autem nota tollitur ab uno su­pra uerticem posito. statim (que) delentur notę, tam quę sub­ductae sunt, (quam) a quibus fit subductio. Multiplicatur de­inde octonaria diuisoris nota per quatuor. et oriuntur tri­ginta duo. horum duo sub octo recondūtur: ternaria no­ta loco sequenti. Deinde duo illa demuntur a quin (que). tria uero, quae ex his supersunt: in uertice notantur. ternaria autem diuisoris nota a tribus, quę supra notantur: aufer­tur. [Page] delentur (que) utrae (que) notae. Postea tertia diuisoris nota nonaria per quatuor multiplicatur. inde surgunt triginta sex. horum sex sub nouem multiplicatis, ternaria nota lo­co sequenti subnotatur. ea a supra se repositis auferuntur, nempe sex a sex: et ternaria nota a tribus. Deinde per unū locum in dextram singulae diuisoris notae rursus proce­dunt. Et quia prima diuisoris nota sub primam diuidendi successit: nihil (que) in diuidendo numero praeter tria super­est: unde fiat subductio: at (que) eapropter diuisor in diui­dendo non reperitur: circulus inter lineas ad dextram re­ponitur. tria autem illa, quae partitione finita, supersunt: supra diuisorem stantem, linea interposita, notantur. Ita partitionis numerus inter lineas surgit. Viginti quinque millia et quadraginta, at (que) in reliquo tres trecentesimae octogesimae nonae partes. Hactenus exempla exposuisse sufficiat: in quibus diuisor plures habet notas. per haec enim intellecta facile sese quiuis explicare potest: etiam si diuisor quatuor aut quin (que) plures ue habeat notas. cuius­modi exemplum mente consyderandum sub oculis subie­cimus. [...]

[Page] IN OMNI autem sectione quotiescum (que) interpar­tiendum post subductionem factam diuisor in dextram promouendus est: si reliquum, quod in diuidendi notis supra diuisoris uerticem signatis, ex ea subductione super­est: maius reperitur: (quam) totus diuisor: error omnino ad­missus est. et frustra ulterius in ea partitione progredien­dum esset: nisi quis operam perdere mallet. Quamobrem iterum a capite repetendū est opus. Nam non solum post peractam totam partitionem, reliquum, quod superest: toto diuisore minus erit: si recte processit opus: uerū etiā in medio opere, quandocum (que) in dextram promouendus est diuisor: idem euenire debet. Quae res, si bene animad­uersa fuerit: non mediocre compendium, cum in omni partitione, tum praecipue in immēsis summis diuidendis, afferet.

ILLVD obseruare est operaeprecium. Maior numerus minorem non diuidit. quippe quum in minore maior non contineatur: id quod huius capitis initio admonuimus. Caeterum ratio iniri potest: qua maior numerus etiam mi­norem diuidere recte possit. id quod fiet: si de rebus a mi­nore numero numeratis, prius una in species sub se con­tentas ducatur: ut earum productus numerus diuisore maior factus, eius sectionem ferat. Veluti si inter septem uiros tres aureos partiri uolumus. Quādoquidem in nu­mero ternario numerus septenarius non habetur: solua­mus aureum unum in centum nummos sestertios: quibus aestimatur. centenarium (que) numerum per ternarum mul­tiplicemus. et enascentur trecenta. quae deinde si in septem [Page] partiamur: numerus sectionis prodibit, quadraginta duo, et sex septimae. Ita (que) si inter septem uiros tres aureos, cen­tum nummis singulos aestimatos, distribuamus: unus­quis (que) consequetur quadraginta duos nummos, et prae­terea unius nummi sex septimas.

AD HAEC maior numerus minorem frangere in mi­nutias potest. id quod sequenti libro de minutiarum par­titione praecipientes, monstrabimus.

QVISQVIS experir cupit: an numeros recte diuise­rit: numerum partitionis per diuisorem multiplicet. et si ex ca multiplicatione at (que) ex reliquo, si quod superest: nu­merus diuidendus exibit: nihil errauit sectio. Cęterum si alius ex ea multiplicatione numerus: (quam) diuidendus redi­bit: propter admissum in calculo errorem partitio tota de­nuo repetenda est. Id (que) ita esse rerum natura monstrat. Nam quemadmodum si partes, quae ab aliquo toto dēp­tae sunt: iterum componantur: idem totum redeat necesse est: ita si ex partium earumdem instaurata compositione aliud totum prodeat: (quam) ante fuerit: uel partes alienas per errorem esse sumptas, uel easdem male iterum cōiunctas, esse oportet. Cum ita (que) ex numero diuiso per crebram di­uisoris subductionem exhausto, peracta diuisione, nihil aliud supersit: (quam) partitionis numerus: et reliquū, si quod fuerit: si numerus ipse diuisor ad numerum partitionis re­stantem toties iterum addatur: quoties ante subductus est: id quod facile fit: si numerum partitionis per diuiso­rem multiplicemus, adiungamus (que) reliquum, si quod re­manebit: [Page] numerum ante dissectum denuo instaurari ne­cesse est. quia et omne totum cum suis partibus consentit: et pars, quae dissentit, aliena est a toto.

DIMIDIATIO numerorum nihil aliud est: (quam) eorum per duo sectio. quae certe et prima, et longe omnium facil­lima est species partitionis. Et (quam) uis nō magni referat nul­la de ea praecepta separatim dare: cum ea, quae iam dicta sunt: abunde sufficiant: quia tamen minore tum linearum apparatu tū consyderatione species haec partitionis eget: (quam) caeterae: quae, cum sint innumerabiles: tum omnes hac difficiliores: operęprecium esse putauimus facilitatis eius compendium auspicantibus enarrare. Ne (que) enim duabus parallelis est opus. unica tantum linea sub diuidendo nu­mero ducatur. Deinde numerū quēuis per mediū secturus quispiā a sinistra incipiēs per omnes notas in dextrā ten­dat. et si ultimus diuidendi numeri character nota sit uni­tatis: a penultimo sectionem ordiatur: singulorū (que) loco­rum paribꝰ numeris per mediū sectis, ipsum dimidiū sub linea locis singulis subijciat. Sin impar occurrit numerus, unitate dempta, reliquum numerum per medium secet: di­midium (que) sub linea reponat. unitas autem ipsa pro decem computata memoria (que) recondita ad sequentem sectionem seruetur: ut uel denarium numerū creet: si circulus ad dex­tram proximus est: uel ex denario et primario composi­tum: si alia occurrit nota. is (que) numerus, si par est, per me­dium secetur. si impar, unitate rursus dempta at (que) ad se­quentem sectionem, uti iam dictum est: seruata, relictus numerus per medium diuidatur. Si uero in diuidendo nu­mero prius (quam) ad primā notā uentum erit: unitas occurret: [Page] si nihil superest memoria retentum, quod ei adiungatur: sub linea ponatur circulus. unitas (que) ipsa ad sequentem se­ctionem seruetur. semper autem dimidium sub linea recō ­datur. Ita progrediendum est in dextram, us (que) ad primam notam: quę si circulus fuerit: et proximus ei numerus par repertus est: sub linea ponatur. Sin proximus ei numerus impar compertus est: a quo dempta unitas mente reten­ta manet: circulus ipse cum unitate iunctus decem deno­tabit: quorū quin (que), quae sunt dimidium: sub linea repo­nentur. Sin unitatis fuerit nota: si denarius aliquis ex me­moria ei adiungitur: unitate dempta, decem sunt secan­da: et quin (que) sub linea recondenda. ipsa autē unitatis no­ta pro totius sectionis reliquo, supra diuisorem stantem linea interposita, notetur. sic scripta unius integri partem denotabit secundam: quae dimidium capit. Itidem in re­liqui locum transferetur unitas: etiam si nullus denarius numerus memoria retentus superest: qui cum ea iunga­tur. Numerus autem partitionis sub linea diuidendo nu­mero subiecta surgens apparebit.

Hęc (quam) quis propter facilitatem exemplo nihil egeant: unū tamen pro rudibus adiungendum esse duximus. [...]

INVESTIGEMVS ita (que) dimidium in millenis mil­libus, centum quadraginta et unis millibus, at (que) triginta uno. Scripto suis notis numero, ducta (que) sub eo linea, quia unitas in initio a sinistra occurrit: incipimus a penultima. ubi etiam altera unitas est. Ita (que) quoniā ibi undecim ha­bentur: [Page] unitate pro denario ad sequentem sectionem ser­uata, decem relicta per medium secamus. et quin (que) sub li­nea reponimus. Progredimur deinde ad proximū locum: ubi quatuor reperimus: quibus denarium ex memoria de­promimus: ut fiant quatuordecim. horū dimidium, sep­tem, sub linea locamus. rursus (que) progredimur. Ibi occur­rit unitas: quae secari non potest: Ideo sub linea circulus ponatur: et unitas seruetur in sequentem locum. In quo quia circulus occurrit: cui unitas adiuncta decem faciunt: quin (que) sud linea statuemus. Denuo progredimur. ibi tria occurrunt: quorū uno, quia numerus est impar, dempto, duo secamus: et horū alterum sub linea condimus, dena­rio numero mente in sequentem sectionem retento. Rur­sus ad dextram progredimur ad primam unitatis notam: cui decem ex memoria adiuncta creant undecim. unitate ita (que) dempta, decem per medium secamus: et horū quin (que) sub linea reponimus. unitatem autem illā supra diuisorem stantem linea interposita signamus: ut unius integri partē secūdā significet. Ita partitionis numerus sub linea mane­bit. Quingēta septuaginta millia, quingenta quindecim.

DE PROGRESSIONE.

PROGRESSIO ARITHMETICA EST numerorū inter se ęqualiter distantium in unam summam collectio: et ueluti compendiū quod­dam eos numeros numerandi, qui paribus interuallis di­stant. Eius autem duae sunt species. Altera est: in qua na­turali numerorum serie seruata, numerus quilibet sequens [Page] sola unitate praecedentem superat: sicuti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Altera in qua numeros quoslibet omit­tentes, et paria seruantes interualla, longam numerorum seriem connectimus. veluti. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. In utra (que) autē specie idem est per compendium numeros colligendi mo­dus. is autem hac bimembri constat regula. Si numerorū inter se aequaliter distantium, at (que) ordine continuo dispo­sitorum series par occurret: eorum primus numerus iun­gatur cū postremo: numerus (que) ex eis aggregatus per di­midium numeri loca seriei numerantis multiplicetur. Ita fiet: vt numerus ex hoc productus summam omniū com­monstret. veluti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. primus numerus. 1. ad postremum. 8. addatur et fient. 9. Cum (que) in tota serie sint. 8. loca. ducamus. 9. in 4, eorum dimidiū. et prodibunt. 36. quae omnium est summa. Similiter si ex­empli causa proponātur. 1. 3. 5. 7. 9. 11. primus numerus ad postremum addatur et fient. 12. et cū in tota serie sint. 6. lo­ca: ducamus. 12. in eorum dimidium: nempe. 3. sic surgēt. 36. quae summa est uniuersorū. Ꝙ si numerorū a se ęqua­liter distantium at (que) ordine continuo dispositorum series erit impar: tune numerus indicans, quot loca sunt in serie, non in eum numerum ducatur: qui indicat quotus locus est in serie medius, sed in eum numerum qui in serie medi­us reperitur: at (que) ab utro (que) extremo aequaliter distat. Ita numerus procreatus omnium summā patefaciet. sicuti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. quia loca seriei sunt. 7. et me­dius numerus est. 4. 7. in. 4. ducamus: et fient. 28. quae sū ­ma est uniuersorum. Itidem si exempli causa sumantur. 1. 4. 7. 10. 13. quia loca seriei sunt. 5. et medius numerꝰ est. 7. [Page] 5. in. 7. ducamus: et fient. 35. quae summa est omnium.

Alia regula datur magis generalis: et tamen non minus certa: (quam) est illa prior. ea autē est huiusmodi. In omni pro­gressione Arithmetica, siue series par, siue impar fuerit: numerus ab extremorum additione collectus in numerū indicantem, quot loca sunt in serie, multiplicetur. nume­rus (que) productus postea dimidietur. et summa progressi­onis habebitur. Exemplum in serie pari. 1. 3. 5. 7. 9. 11. pri­mus numerus additus ad postremū facit. 12. et quia. 6. lo­ca seriei sunt. 12. per. 6. multiplicemus. et surgent. 72. quae si dimidientur: fient. 36. quae summa est progressionis. Ex­emplum in serie impari. 1. 4. 7. 10. 13. extremi numeri simul additi faciunt. 14. et quia in serie sunt. 5. loca. 5. in. 14. ducta creant. 70. quae si dimidientur: prodeunt. 35. quae summa reperietur vniuersae progressionis.

SI VIS experiri an recte summā collegeris. ab vniuersa summa per cōpendiū inuestigata singulos in serie nume­ros subtrahe. et si nihil erit reliquum: recte collegisti. Ꝙ si quid reliqui mansit: error interuenit.

Alia species progressionis habetur: quam Geometricam uocant: in qua numerorum longo ordine dispositorū in­terualla sunt inaequalia. quando inter numeros serie qua­dā cōnexos proportio aliqua reperitur: veluti. dupla. tri­pla. quadrupla. aut ea maior. de qua in proportionū libro postea dicturi sumus.

DE QVADRATI ET CVBI LATE­RIBVS INVESTI­GANDIS.

[Page] DE QVADRATI ET CVBI LATERI­bus exquirendis dicturos praefari primum pau­ca quaedam nos oportet: quis numerus sit qua­dratus: quis cubus: quo magis de rebus notis praecepta daturi cuncta intellectu faciliora reddamus. Numerus ita (que) quadratus est: qui ex vnico numeri cuiusuis in se du­ctu cōstituitur. cuiusmodi numerus est quaternarius. qui ex vnico binarij numeri in se ductu ꝓcreatur. bina nam (que) semel in se ducta producunt quatuor. Similiter nouenariꝰ numerus quadratus est. nam terna semel in se ducta edu­cunt nouem. Itidem. 16. quadratus est numerus. quippe quaterna in se semul ducta progenerant sexdecim. Ad eū ­dem modum reliqui numeri omnes in se se­mel ducti quadrati ideo dicuntur: ꝙ si diui­sim per vnitates scribantur: formam qua­dratam referant. [...]

VNDE quemadmodum in corpore cōtinuo quadrati latus appellatur: sic in numeris latus quadrati numerus il­le vocatur: qui unum e lateribus numeri quadrati perfi­cit: quod Arithmetici quadrati radicem nō inepte appel­lant: ꝙ ex eius in se ductu numerꝰ quadratus, velut ex ra­dice quapiam arbor, surgat.

CVBVS numerus est: qui ex numeri cuiusuis semel in se at (que) iterum in numerum productum multiplicatione, componitur. cuiusmodi numerus est octonarius. nambi­na in se semel ducta creant. 4. iterū bina in. 4. ducta creāt 8. Similiter. 27. numerus est cubus. terna enim in se ducta creant. 9. iterum (que) terna in nouem ducta faciunt. 27. Itidē. 64. numerus est cubus. quippe quaterna in se semel ducta [Page] educunt. 16. iterum (que) quaterna in. 16. ducta procreant. 64. at (que) ad eūdem modum reliqui numeri omnes semel in se, at (que) iterū in numerū productū multiplicati, cubi ideo di­cuntur: ꝙ si in corporū solidorū formā redigātur: ad exem­plum cubi, tres dimensiones aequales, nempe lōgitudinē, latitudinem, et crassitudinem, habere reperientur. Est au­tem cubus corpus solidum sex continēs planicies quadra­tas, at (que) harum latera duodecim: quorū quatuor inferna sunt. quatuor superna: quatuor ab infernis ad superna ꝑ­tendunt. angulos (que) habet octo: videlicet quatuor infer­nos, quatuor supernos. in quorū singulis terna latera coe­unt. Latini tesseram uocant. (quam) (quam) in numeris uocabulo ipso graeco Latinitate iam donato magis utuntur: vt cubum uocent. Cubi uero latus numerus ille dicitur: qui vnum e cubi lateribus efficit: et quadrati in eo cōtenti lateri ęqua­le est. quod cubi radicem satis apposite nuncupant: quem­admodum de quadrati latere iam admonuimꝰ. Quocirca manifestum est, in omni numero cubo numerum quadra­tum haberi. Caeterūnon econuerso reperies in omni qua­drato cubum. Vnitatem autem Arithmetici et numerum quadratū, et cubum esse uolunt.

IN huiusmodi laterum exquisitione magnū enascetur studiosis compendium ad Arithmeticam pernoscendam. per hanc enim Ptolemęus astrorum longe peritissimus corporum supra cęlestium et sphaerarū magnitudines ad­inuenit: uelocitatem (que) motuum in his deprehendit. Ad haec eius cognitio non modo Astrologiae discendae, uerū ­etiam Geometriae, tantopere conducit: vt sine hac, quae in his pulcherrima sunt: intelligi nequeant.

[Page] VERVMTAMEN rerum ordo poscit: ut de quadra­tilatere inuestigando, prius dicere aggrediamur. Et cum quadrati lateris exquisitio nihil aliud sit: (quam) numeri alicu­ius inuentio: qui in se ductus uel totum numerum propo­situm, si quadratus fuerit: producit: uel maximum nume­rum quadratū in eo contentum: si ipse non sit quadratus: numerum ipsum latus facientem sic inuestigabis.

PRINCIPIO numerus quiuis, in quo quadrati radi­cem inuestigare cupis: punctis supra uerticem signetur in locis imparibus. uidelicet. Primo. Tertio. Quinto. Septi­mo. Nono. et reliquis itidem. Et quia quadrati lateris in­uestigatio nihil aliud est: (quam) quaedam diuisionis species: sub numero punctis notato duae lineae parallelae ducendae sunt. inter quas latus ipsum exquitendū ponatur: quem­admodum in diuisione praecepimus. quia quot adscripta pūcta deprehendes: tot in numero sectiōis numeros pri­marios habebis, numeri propositi radicem ostendentes. Deinde sub extrema ad sinrstrā nota, puncto loco impari signata, numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se ductus totum respectu sui loci numerum supra se re­positum subductus aboleat: uel saltem (quam) proxime fieri po­test: si totum delere nequit. Huiusmodi autem numerus primarius inuentus inter parallelas inserendus est, at (que) in se multiplicādus. et post (quam) numeri procreati facta erit sub­ductio: reliquum, si quod erit: supra notas, a quibus fit subtractio: deletas e uestigio, ne rationem conturbent: reponatur. Deinde numerus ipse primarius duplicandus est: et duplum sub proxima figura dexteriori ponendum.

Ꝙ si ex duplicatione numerus duabus notis scriben­dus [Page] prodeat: earum prima dextram uersus sub proxima figura, quae inter puncto signatas media est: reponi de­bet. Altera suo ordine sequens ipsam sub ea nota repo­natur: sub qua primarius numerus inuentus est. Iterum deinde alius numerus primarius exquirendus est: qui in duplum ductus totum numerum, qui supra duplum po­situs est: ita subtractus exhauriat: ut postea etiam in se ipsū ductus totū numerū a dextra proximo puncto signa­tū cū reliquo, si quod erit: absorbeat. Sin totū auferre ne­quit: ab eo tollat: (quam) plurimum potest. Quod cum pera­ctum erit: totus inter parallelas numerus duplicādus est: duplum (que) sub proxima figura dextram uersus ita ponen­dum: ut primi dupli nota sub ea figura, quae proxime in­ter puncto signatas media est: uelut ad perpendiculū re­ponatur: alię (que) postipsam, suo (que) quę (que) ordine, tendentes in sinistram. Rursus deinde exquirendus est numerus ali­quis primarius: qui in duplum ductus totum numerum, qui supra duplū situs est: sicsubductus auferat: ut postea etiā in se ipsum ductus numerū a dextra proximo puncto notatū, uel totū deleat cū reliquo, si quod erit: uel (quam) prope id fieri potest. At (que) ad hūc modū ꝓgrediendū est ad pri­mam us (que) notam. Quotiescum (que) autem post numeri pri­marij duplicati multiplicationem et subductionem, nu­merum ipsum primarium ducimus in se ipsum: semper id sub aliquo pūcto fieri debet: statim (que) e uestigio quicquid inter parallelas in numero sectionis reperitur: duplican­dum est: et primi dupli nota sub proxima inter puncta fi­gura ad dextram reponenda est: caeterae (que) post eam, suo ordine in sinistram progredientes: quemadmodum iam [Page] diximus. Illud quo (que) diligenter obseruandum est. Quan­docū (que) in quauis inuestigationis parte numerus aliquis primarius inueniri nequit: primū in duplū deinde in se du cēdus, quin productus maior erit numero supra se locato: ut ab illo subduci nō possit: tūc circulus ad numerū inter parallelas ascribēdus est. omnibus (que) notis numeri, cuius radicē quaerimus: intactis dimissis, deletis tamē sub paral­lelis dupli notis, progressus in dextrā fiat: si non dū pera­ctū est opus. totus (que) inter parallelas numerus ita duplice­tur: ut prima dupli nota circularis sub proxima ad dextrā figura, quę inter pūcto signatas media est: reponatur: cae­terę (que) post eā suo ordine in sinistrā tendentes: ut ante di­ctū est. Peracta demū radicis inuestigatione, si nihil reli­quum erit: palam est numerum propositum: cuius latus scrutati sumus: quadratū esse. Ꝙ si quid reliquum man­sit: non erit quadratus: sed numerus inter parallelas radix esse comperietur maximi numeri quadrati in eo contenti.

Et quoniam obscura sine exemplis non facile intelligi queunt: exempla nunc adiungamus: quae cuncta magis illustrent. [...]

EX quinquagies septies millenis millibus, octingentis triginta sex millibus, et uiginti nouem, radicem eruamus. [Page] Post (quam) numeris suo ordine perscriptis, ductae erunt paral­lelae: loca (que) imparia punctis annotata: sub postremo ad sinistram numero puncto notato numerum aliquem pri­marium quęramus: qui in se ductus uel totum numerum supra se notatū, qui est. 57. uel (quam) proxime fieri potest: sub­ductus deleat. is autem erit septenarius. nam. 7. in se du­cta. 49. creant. quę, si subducantur a. 57. supersunt. 8. ita (que) 7. inter parallelas inserenda sunt. ac post multiplicationē et subductionem factam deletis notis. 8. supra postremū punctum manebunt reliqua: quae supra uerticem noten­tur. Deinde. 7. inter parallelas posita duplicemus: et fient 14. quorū. 4. sub proxima ad dextram nota octonaria re­ponantur: et unitas denarium numerum designans a sini­stra sub numero octonario ex priori subductione relicto. Tum iterum inueniendus est numerus aliquis primarius: qui in quatuordecim, quę dupla sunt: ductus numerū su­pra illa positū sic auferat: ut postea in se ductus proximū a dextra numerū pūcto notatum cū reliquo, si quod erit: subductus tollat: uel saltem (quam) propeaccedi potest. is autē erit senarius inter parallelas sub proximo puncto inseren­dus. ꝑ quē multiplicata. 14. faciūt. 84. quę ab. 88. supra se positis subducta relinquūt. 4. Deinde sex in se ducta cre­ant. 36. quę a. 43. supra se notatis exēpta, reliqua faciūt. 7. supra uerticem numeri ternarij puncto proxime signati notanda. Iterum deinde duplicare oportet: quicquid in­ter parallelas inuenitur. quocirca. 76. duplicata faciunt 152. quorū prima nota. 2. sub proxima inter puncta figura senaria ponenda est a dextra: caeterę (que) post can suo ordi­ne a sinistra. Deinde numerus aliquis primarius rursus est [Page] quęrendus: qui in totum duplum ductus numerum supra se positum auferat. Sed quoniam is inueniri nequit: ꝙ nu­merus duplus. 152. maior sit numero supra se locato. 76. circulus inter parallelas sub proximo ad dextram puncto, ipso inter parallelas numero addatur. notę (que) dupli sub pa rallelis deleantur. Caeterum notae numeri cuius radicem quaerimus: maneant intactae. Progrediamur (que) in dextrā. et rursus duplicemꝰ totū inter parallelas numerū. 760. ex ea duplicatione surgent. 1520. quorū nota circularis sub proxima ad dextrā figura binaria, ponenda est inter pun­cto signatas media: cęterae (que) post eam suo quae (que) ordine. Ac tū numerus aliquis primarius perquiratur: qui in to­tum duplum ductus numerū supra id locatū, subductus deleat: postea (que) in se ductus proximū a dextra numerum puncto signatū cū reliquo, si quod erit: auferat. uel saltem (quam) proxime fieri potest. Is autem erit quinarius. 5. igitur inter parallelas reponentur. per ea (que) singulę numeri dupli notae seorsum multiplicentur: numeri (que) ex multiplicatio­ne prouenientes subducātur a figuris supra se locatis. quae statim deleantur. Et demū in se ductus numerus ille qui­narius subtrahatur a nouenario numero puncto notato. et. 4. crunt relicta. Vnde satis liquet: quoniam toto ope­re absoluto, adhuc aliquid superest: numerū primo pro­positum non fuisse quadratum. nam si quadratus fuisset: nihil mansisset reliquum.

Hoc exemplo studiosis quadrati lateris inuestigādi uiam aperuisse suffecerit. Alterum plurium notarum oculis spe­ctandum at (que) animo consyderandum adiungamus: quod facile sine praeeunte quiuis explicabit. [Page] [...]

SI QVIS experiri uelit: an uera radix quadrati nu­meri sit inuenta. Radicem ipsā in se multiplicet. et si quid reliqui mansit: numero ex multiplicatione producto ad­dat. quo fiet: ut nisi perperam facta sit inuestigatio: nu­merus primo propositus redeat. Ꝙ si alius numerus pro­dit: opus repetendum est: ut error corrigatur.

Ipsum autem reliquum ęquare aliquādo potest quadrati lateris inuenti duplum: superare nun (quam) potest. ut puta, si numerus ꝓpositus esset. s. radix maximi numeri quadrati in eo contenti erit. 2. quae in se ducta creant. 4. et. 4. erunt relicta: quę duplum radicis continent. Nam si. 5. reliqua essent: iam fierent. 9. quę aliā radicem habent: uidelicet. 3. Itidē si propositus numerus esset. 15. quadrata radix eius esset. 3. quae in se ducta faciunt. 9. et. 6. reliqua: quę dupli­catā radicem capiunt. At si relicta essent. 7. prodirent. 16. [Page] quę aliam radicem, nempe. 4. ostentāt. Similiter si nume­rus propositus esset. 24. radix maximi numeri quadrati in eo cōtenti erit. 4. quę in se multiplicata faciunt. 16. et. 8. re­linquuntur, quę duplum radicis continent. nam si reliqua essent. 9. iam fierent. 25. et surgeret alia radix: uidelicet. 5. At (que) ad eundem modū deinceps cęteri numeri se habent. quamobrem si in reliquo plus reperias, (quam) quadrati lateris inuenti duplum: errorem calculi palam est interuenisse.

DE RADICVM IN CVBIS IN­VESTIGATIONE.

I AM ANTE ADMOMVIMVS CVBVM numerum eum esse: qui ex numeri cuiusuis semel in se, at (que) iterum in numerum productum, multipli­catione componitur. cuius latus inuestigaturi, millenari­orum loca, punctis supra uerticem adscriptis, signemus. Ductis deinde sub eo numero parallelis: quemadmodum de quadrato numero fieri pręcepimus: sub extremo ad si­nistrā millenario numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se, at (que) iterum in numerum productū, mul­tiplicatus, totum respectu sui loci numerū supra se repo­situm subductus aboleat. uel saltem, (quam) plurimum potest: si totum auferre nequit. Huiusmodi autem numerus pri­marius inuētus inter parallelas inseratur. semel (que) in se at (que) iterum in numerum productum multiplicetur. et post (quam) numeri procreati facta erit subductio: reliquum, si quod restabit: supra notas a quibus fit subtractio: deletas e ue­stigio, ne rationem cōturbent: reponatur. Quantum au­tem [Page] quiuis numerus primarius prius in se et deinde in nu­merum procreatum multiplicatus producat: ne quis diu hęsitet: quae sequuntur: ante oculos posita declarabunt.

DEINDE numerus ipse primarius triplicandus est. et eius, quod triplum erit: prima nota sub proxima figura praeter unam a dextra reponenda est: caeterae (que) post eam, suo quę (que) ordine, a sinistra. Postea exquirendus est nume­rus aliquis primarius: qui una cum numero primario p [...] ­us inuento, nunc pro denario computando, ductus in to­tum triplum, deinde solus in numerum ex multiplicatio­ne procreatum ductus, totum sui loci respectu, numerum supra se repositū cum reliquo, si quod erit: subductus de­leat. postea (que) etiā solus in se ipsum cubice, hoc est, prius in se, deinde in productū multiplicatus, totum numerum a dextra proximo puncto signatum, cū pręcedenti reliquo, si quod fuerit: exhauriat: aut si totum auferre nequit: tol­lat ab eo: (quam) plurimum potest. Quod cum peractum erit: iterum triplicādum est: quicquid in numero sectionis in­ter parallelas cōtinetur. et eius quod ex huiusmodi tripli­catione [Page] natū erit: prima nota sub proxima praeter unam figura a dextra reponatur. caeterę autem post eā, suo quę (que) ordine. Rursus (que) inuestigandus est numerus aliquis pri­marius: qui una cum omnibus numeris primarijs prius inter parallelas insertis ductus in totū triplum, postea (que) sine illis solus in numerum ex multiplicatione natum du­ctus, quicquid supra triplum numerum repositum est: uel totum absorbeat: uel ex eo: (quam) plurimum potest: deleat. Deinde itidem cubice solus in se ipsum ductus totum nu­merū a dextra proximo puncto suppositū cum reliquo, si quod erit: modo fieri possit: auferat. alioqui ab eo: (quam) plu­rimum potest: eximat. Post hęc denuo triplicandum est: quicquid inter parallelas reperitur. et numerus alius pri­marius exquirendus: cętera (que) us (que) in finem operis ad eun­dem modum peragenda: quemadmodū iam dictum est. Ꝙ si nihil reliqui mansit: numerus, cuius radicem uesti­gauimus: cubus erat. At si quid est relictum: numerus nō erat cubus. Ceterum eruta radix latus est maximi numeri cubici in eo numero contenti.

VBICVMQVE autem in quauis inuestigationis par­te numerus aliquis primarius inueneri nequit: qui una cū alijs numeris primarijs prius inter parallelas insertis in to tum triplum ducatur: postea (que) solus in numerum procre­atum multiplicetur: quin numerus productus maior erit numero supra se locato; ut ab illo subduci non possit: tūc circulus inter parallelas in numerum partitionis insera­tur. omnibus (que) notis numeri, cuius radicem quaerimus: intactis dimissis, deletisque sub parallelis tripli notis, si non dum finitum est opus: progressus in dextram ultra [Page] proximum numerū puncto signatū fiat. totus (que) inter pa­rallelas numerus ita triplicetur: ut primi tripli nota circu­laris sub proxima figura praeter unam, ultra numerum proximo puncto signatum, a dextra reponatur: cęterę (que) posteam, suo quę (que) ordine tendentes in sinistram.

EXEMPLA nunc afferamus: quę singula manifestēt.

At (que) ex ducenties quinquagies millies millenis millibus, quingenties uities ter millenis millibus, quingentis octo­ginta duobus millibus, quadringentis sexaginta quatu­or, radicem cubicam eruamus. [...]

STATIMQVE post (quam) numeri suo ordine perscripti: ductae (que) subtus parallelae: et millenariorum sedes pūctis erunt signatę: sub postremo ad sinistram millenario pun­cto notato numerus aliquis primarius exquiratur: qui se­mel in se, et iterum in numerū productum multiplicatus, uel totum numerū respectu sui loci supra se repositū, qui est. 250. subductus deleat: uel saltem ex eo, (quam) plurimum potest: auferat. Is numerus est senarius. nam sexies sena sexies. 216. accumulāt. quę si subducas a 250. supersunt 34. ita (que). 6. inter parallelas inserendasunt. ac post multi­plicationem [Page] et subductionē deletis notis. 34. pro reliquo sic notāda sunt: ut. 4. supra postremū punctū notētur: et 3. ab eorū sinistra. Deinde. 6. inter parallelas posita tripli­cemus. et surgēt. 18. quorū. s. sub proxima nota pręter unā a dextra reponātur: a sinistra. 1. Tum inuestigādus est nu merus aliquis primarius: qui una cum numero primario prius inuento pro denario computādo ductus in totū tri­plum, deinde solus in numerū procreatū ductus, totū eius loci respectu numerū supra repositum subtractus sic tol­lat: ut postea etiā solus cubice in se ductus uel totū nume­rum a dextra proximo puncto signatū, et reliquū, si quod pręcedit: exhauriat. uel saltē ex eo, (quam) plurimū potest: de­leat. Is uero erit. 3. quoniā nota ternaria locata a dextra se­narij, quę ante reposita est: profert. 63. quę ducta in. 18. cre­ant. 1134. deinde. 3. sola ducta in ipsa. 1134. producūt. 3402. quę sic subnotāda sunt: ut prima nota sub prima tripli fi­gura reponatur: cęterę suo ordine sequētes post eā. quarū a supra se positis facta subductione, supersunt. 50. deinde 3. sola in se cubice ducta faciunt. 27. quorū. 7. sub numero ternario proximo puncto signato: et. 2. ab eorum sinistra statuenda sunt. Horū tunc subtractione a supra se locatis notis facta. 476. supersunt. Deinde. 63. quę sunt inter pa­rallelas triplicētur. et surgent. 189. quorū. 9. sub octonaria nota, quę proxima figura pręter unā est: reponātur: cęte­rę post eā statuantur a sinistra. Rursus in quirēdus est nu­merus aliquis primarius, qui una cum numeris primarijs ante inuētis prius in totū triplū, et postea solus in nume­rum productū multiplicatus numerū supra repositum uel totū subductus auferat: uel (quam) plurimū ex eo potest. Id au­tem [Page] hoc loco fieri nequa (quam) potest. nam etiā si minimus nu­merus primarius hoc est ipsa unitas assumeretur ad. 63. ut essent. 631. ea (que) in triplū uidelicet. 189. ducerētur: et postea sola unitas in productū multiplicaretur: surgerent. 119259. quę longe transcen derent numerū supra se repositū. 7658. Ita quoniā subductio fieri nullo modo potest: circulus in­ter parallelas ad numerum sectiōis apponatur. Sic omni­bus notis numeri cuius radicē quęrimus: intactis dimissis, deletis (que) sub parallelis tripli notis, facto ultra proximum punctū in dextrā progressu, quicquid inter parallelas est: hoc est. 630. denuo triplicemus. et fient. 1890. quorū circu­lū, quę prima tripli est nota: sub figura senaria, quę prox­ima pręter unā est: ultra proximū numerū puncto nota­tum, signemus: caeteras (que) post eā suo quā (que) ordine. Rur­sus deinde exquiramus numerū aliquē primariū: qui una cū. 630. in numerū triplum. 1890. ductus, postea (que) solus in numerū productū multiplicatus, numerū supra se repo­sitū subductus sic aboleat: ut postea etiā cubice ductus in se ipsum, uel totū numerū a dextra proximo puncto, sig­natū cū reliquo, si quod erit: uel quantū ex eo potest: de­leat. Is autem est. 4. nam. 6304. in triplum numerū uide­licet. 1890. ducta producūt. 11914560. Deinde. 4. in ipsum numerū productum multiplicata creant. 47658240. quae sunt supra se positis notis pręter postremā omnino aequa­les: at (que) eas subductae delent. Postea. 4. in se cubice ducta faciūt. 64. quae totū, quod superest: sic auferūt: ut nihil pe­nitus supersit. Numerū ita (que) propositū liquet fuisse cubū.

ET quoniā in cubi lateris inuestigatione post triplicati­onem alicuius primarij numeri factā, statim alius nume­rus [Page] primarius quęrēdus est: qui una cū primario numero prius inuento in totū triplū ducatur: deinde solus in pro­ductū, at (que) iterū solus in se cubice multiplicetur (quia nu­merus ille primarius tam uarie consyderandus est: primū, quid producit: quādo pars est maioris numeri: iterū, quid solus profert multiplicatur in productū: rursus, quid cu­bice in se ductus procreare ualet) parum exercitatos mora­tur hęc cogitatio: quisnam numerus primarius tot officia praestare possit. Quāobrem, ut in cęteris omnibus, ita in hac re plurimū iuuabit exercitatio: quę per assuetudinem, quantūuis ardua, prona reddit. Cęterum non mediocriter cōducet: si post numeri primarij inter parallelas positi tri­plicationē, prius (quam) numerū aliquē primariū cum eo copu­labis: circulū ei adiungas: tentes (que) quē numerū in triplū ductus faciat. Deinde etiam tentari potest unus aut alter numerus primarius: qui in triplū similiter ducatur. et nu­merus ex hoc productus ad numerū priorem procreatum ex ductu numeri circulum assumentis addatur. Huiusmo­di enim numerorū productoR additio eundē proferet nu­merū: qui fuisset natus: si ab initio numerꝰ ille primarius, quē tentauimus: una cū numero primario prius inter pa­rallelas posito, fuisset in triplum ductus. Sic enim cum ui­deris: quē numerum ea multiplicatio, at (que) additio procre­abit: facile coniecturā capies, tum ex numeri supra repo­siti, tum ex numeroR productoR at (que) additorum uel ma­gnitudine, uel exilitate, quis numerus primarius assumpti circuli uicē subiturus maxime quadrabit. Veluti in exem­plo iā dato. post primā senarij numeri inter parallelas po­siti triplicationē ex qua fiūt. 18. si quis assumēs circulū. 60. [Page] in. 18. ducat: numerus productus erit. 1080. Deinde tente­mus: si. 3. in. 18. ducātur: quid fiat: et producentur. 54. quae si addant̄ ad. 1080. surgēt. 1134. qui numerus similiter pro­dijsset: si ab initio. 63. in. 18. fuissent ducta. Postea si tria in numerū ip sum productū. 1134. ducātur: fient. 3402. quę sa­tis apte respōdent numeris supra se repositis: et tamen sa­tis supererit: ut. 3. in se cubice postea ducātur. At si per no­tā binarij id facere tentaremus: numerus supra reponen­dus nimium redundaret. si per. 4. aut. 5. numerus produ­ctus foret maior: (quam) ut a supra se repositis posset subduci. Longe autē facillimū erit: si post (quam) numerū inter parallelas positū, adiūcto circulo, in triplū duxisti: primum de nu­mero quinario, qui inter primarios medius est: eo modo tētes: quo supra dictū est. Ita statim scies: an maiore nu­mero primario, an minore sit opus. Ad eundem modum tentare proderit: quoties post triplicationē numerus ali­quis primarius inquirēdus est: qui ea officia pręstet: quae paulo ante sunt dicta. Hoc exemplū explicuisse suffecerit: ut uiam cubi lateris inuestigandi daremus. Alterū pluriū notarum spectandum consyderandum (que) adiungamus. [...]

DE PARTIVM NVMERATIONE.

OMNE INTEGRVM IN PAR­tes, quotcū (que) uelis: solui per intellectū potest. et quemadmodum integrorum numeratio ab uno incipit: at (que) in infi­nitum potest extendi: sic integrorum sectio a secūdis orditur partibus. (Ne (que) enim in pauciores partes (quam) duas quic (quam) dissolui posse re­rum natura patitur.) In infinitum autem protenditur ar­bitrio secantis. Iterū partes ipsas in alias particulas, at (que) eas quidem innumeras, intellectus soluit. Particularum (que) ipsarum rursus alia fragmenta excogitari possunt: ut res finem habitura non sit: si cui minutias cōsectari libet. Ad eiusmodi autem partes recte numerādas duo omnino re­quiruntur numeri. Alter qui partes dissectorum numeret. quem Arithmetici numeratorem appellant. qui quot in se capit unitates: tot partes dissecti nobis repraesentat. Al­ter qui partibus ipsis sua nomina tribuat. denominato­rem eum uocant: ꝙ quot unitates in se contineat: in tot partes totū quidpiam diuisum esse denotet. Vtpote, tres quartę. quę sunt tres partes alicuius integri in quatuor di­uisi. Scribuntur autē ita partes: ut numerator supra breuē lineam ductam: denominator infra eam ponatur, ad hūc modum. ⅔ ¾ ⅘ numerator (que) semper prius pronun­ciatur: (quam) denominator. ut dicamus. duę tertiae. tres quar­tae. quatuor quintae.

VERVMTAMEN harum minutiarum quaedā sim­plicia fragmenta dicūtur. hae sunt partes, in quas integra [Page] soluuntur. quaedam fragmentorum fragmenta. quas mi­nutiarū minutias Arithmetici uocare solent. hae sunt par­ticulę. in quas rursus partes frangūtur. Nos in hoc libro, sicut partes integrorum simplices, aliquando fragmenta, sępe etiam minutias indiscriminatim uocabimus: Itidem quo (que) appellabimus partium particulas, interdum minu­tiarum minutias, nonnun (quam) fragmentorum fragmenta. Inter quas species plurimū, cum in scribendo, et in enun­ciando, tum etiam in multis alijs interest. Nam quae sunt simplices minutiae: sic scribuntur: ut breuis linea supra se numeratorem, infra denominatorem habeat: uti iam dix­imus. Et si plura simplicia fragmenta scribenda sunt: mo­dico interuallo distinguntur. ad hunc modum. ½ ⅔ ¾ unicum (que) numeratorem, et unicum denominatorem sin­gulae habent: et recto casu semper enunciantur. ut dica­mus una secunda. duae tertiae. tres quartae. Quae uero sunt partium particulae: duos, aut interdum plures et nume­ratores et denominatores capiunt. Quarum aliae ad sini­stram ponendae recto enunciantur casu: lineam (que) habent mediam. hę sunt ipsae particulae. Aliae ad dextram locan­dae, obliquo (que) casu enunciatae media linea carent. hę sunt partes: quarum sunt particulae. ut si duas tertias unius quartę notis scribere uelis: ad hūc modum facias. ⅔ ¼ Id autem significatur: ut sint duae tertiae partes unius partis quartae ab aliquo integro dissectae: quod in quatu­or partitum est. Vel si tres quartas unius tertiae unius se­cundae signare cupis: ad hunc modum notes. ¾ ⅓ ½ quod exprimit tres quartas partes unius par­tis [Page] tertiae alicuius secundae ab integro dissectae: quod in duo diuisum est. Ita (que) dum fragmentorum fragmenta ra­tiocinator tractat: summopere cauere debet: ne dormitā ­ti obrepat obliuio: quarum partium sint particulae. Neue pro dissectis integrorū partibus partium fragmenta com putet. Nam si id committat: error calculi non mediocris sequetur.

SEMPER autem in omnibus dissectorum minutijs, quo maior denominator fuerit: eo minores erunt partes, remotiores (que) ab integris. et quo fuerit minor: eo partes maiores erunt. at (que) ad integra propius accedēt. Nam duę partes secundae maiores sunt: (quam) duae tertię. et duae tertiae maiores, (quam) duae quartae. et duae quartę maiores, (quam) duae quintae. et sic in uniuersum, quanto magis numerādo cre­scit denominator: tanto magis quantitate partes dimi­nuuntur.

AD numerationem autem partium plenius pernoscen­dam, tria in primis obseruanda sunt. Primum: vt quando­cum (que) numerator et denominator sunt aequales: tunc par­tes unum integrū constituant. Exempli gratia. 3/3 5/5 7/7 tres tertiae unum integrum faciunt. sic quin (que) quintae. sic septem septimę. sic id genus reliqua. Alterū il­lud est: quandocum (que) numerator maior est denominato­re: quot unitatibus denominatorem numerator superat: totidem partes plures sunt: (quam) quae integrum faciunt. ut nouem octauae integrum et partem octauam faciunt. septem quintę integrum et duas quintas. sex quartae inte­grum et duas quartas. 9/8 7/5 6/4. Tertium est: ut quan­docū (que) numerator mi, nor est denominatore: [Page] quot unitatibus numerator denominatore minor est: to­tidē partes desint ad integrū cōponendum. ut duae tertiae sunt duae partes alicuius integri in tria dissecti: quibus tertia pars deest ad integrū faciendum. Itidem tres quar­tę quarta parte minus continent: (quam) integrum. ⅔ ¾ At (que) itidem in reliquis similibus.

ITAQVE denominatoris augmentum partes quan­titate quidem minores, numero uero plures reddit. Quē ­admodum econuerso numeratoris incrementum vel inte­gra progignit: vel partes multo propiores integris.

AD HAEC cum omnis integrorum inter se multipli­catio et quantitate et numero maiorem edat foetum: nem­pe numerum productum. Econtrario in partibus euenit: vt minutię multiplicatę quantitate minores, numero plu­res comperiantur.

DE PARTIBVS DISSIMILIBVS AD SIMILITVDINEM REDIGENDIS.

CVMIN SVPPVTATIONIBVS FACI­endis partes aliae alijs maiores, longe (que) dissimi­les frequenter occurrant: interdum fragmento­rum fragmenta simplicibus aggregata fragmentis: non­nun (quam) integra partibus intermixta: ne tam uarium chaos rationes totas conturbet: eiusmodi tam diuersa prius ad similitudinem quandam reducere necesse est: (quam) ea uel ad­dere, uel subtrahere, vel multiplicare, vel diuidere, quiuis aggrediatur. quo fiet: ut operis aequalitas cūcta tum pro­na, [Page] tum facilia reddat. Quando alioqui, si quis tam dissi­milia inter se committere tentaret: in labyrinthum inex­tricabilem sese ingereret. Igitur ante (quam) illa quispiam moli­atur: haec, quę de dissimilibus in unam faciem redigendis praecepta sequūtur: prius tenere curet.

SIVE autē maiores partes in minores mutare libet: siue e conuerso minores in maiores redigere: partes quaelibet in quasuis transformantur. si partiū, quas trāsfigurare uolumus numeratorē in denominatorē earū, in quas sunt transformandae: multiplicemus. et numerū ex hoc enatum per earum partium denominatorem, quas transfigurare est animus: diuidamus. Quo fiet: vt parti­tionis numerus partes illas edat: in quas fit transforma­tio. Quod quidem solum, eruditis praecipisse suffecerit. Caeterum ut rudium habeatur ratio: utram (que) speciem se­orsum explicabimus. Ita (que) maiores partes in quasuis mi­nores transformantur: si maiorum partium numeratorem in denominatorem minorum multiplices: et numerum ex hoc enatum per maiorum denominatorem diuidas. Quo peracto numerus partitionis patefaciet: quot partes mi­nores ex maiorum transformatione nascuntur. ut si tres quartas ad octauas transformare uelis: per tria, maiorum partium numeratorem, octo, minorum denominatorem multiplices. et prodeunt uiginti quatuor. quae deinde per quatuor, maiorum denominatorem diuidas. et numerus partitionis sex habebit. Ex tribus igitur quartis ad octa­uas reductis sex octauae consurgunt. Et si duodecim ter­tias ad quintas transfigurare cupis: duodecim, maiorum partium numeratorem, in quin (que), denominatorem mino­rum [Page] ducas: et sexaginta nascuntur. quę per tria, maiorum denominatorē diuidas. et numerus sectionis uiginti cre­abit. Sic ex duodecim tertijs uiginti quintae generantur. Ꝙ si tres quintas ad septimas uis reducere: per tria, ma­iorum partium numeratorem, septem denominatorē mi­norū multiplica. et procreabis uiginti unum. quae postea per quin (que), maiorum denominatorem diuide. et numerus partitionis quatuor ostendet. unum (que) restabit reliquum: quod unam quintam unius septimae signisicat. Sic ex tri­bus quintis ad septimas reductis fiunt quatuor septimae, et quinta pars unius septimae. Nam quandocū (que) in eius­modireductione reliquum occurrit: partis erit particula: denominationem (que) in recto casu a maiorum partium de­nominatore qui diuisor extitit: sumet. Alterum uero in ca­su obliquo a denominatore minorum.

MINORES partes e conuerso in quaslibet maiores trāsfigurantur: quando per numeratorem minoris deno­minator maioris multiplicatur: et numerus inde proueni­ens per minoris denominatorem diuiditur. tunc enim nu­merus partitionis palam indicabit: quot partes maiores ex minorum transfiguratione surgunt. ut si sex nonas in tertias quis commutare uelit: per sex minorum partium numeratorem, tria, denominatorem maiorū multiplicet. et creabit decem et octo. quae deinde per nouem, minorū denominatorem diuidat: et in numero sectionis duo com­periet. Ita (que) ex sex nonis in tertias commutatis duę tertiae generantur. Et si duodecim sextę in quartas sint mutandę: duodecim, numerator minorum partium in quatuor, ma­iorum denominatorem ducantur: et progignuntur qua­draginta [Page] octo. ea (que) postea per sex, denominatorem mino­rum diuidantur. et octo in numero partitionis erunt. Ita duodecim sextę reducūtur ad octo quartas. Ꝙ si septem octauas ad quintas quis reducere cupiat: septem, nume­ratorem minorū partium, in quin (que), denominatorem ma­iorum ducat: et conficiet triginta quin (que). quae deinde per octo, denominatorem minorum diuidat: et numerus par­titionis quatuor habebit. et reliquum supererit. tres octa­uę unius quintę. Quamobrem ex septem octauis in quin­tas commutatis, quatuor quintę oriuntur, et tres octauae unius quintę. Nam in eiusmodi reductione fragmentum fragmenti quandocum (que) occurrit: denominationem in ca­su recto a minoris fragmenti denominatore, per quem fit sectio: capit: denominationem (que) in obliquo a denomi­natore maioris.

DIVERSARVM denominationum partes ad easdē denominationes rediguntur: quando unius fragmenti de­nominator per alterius denominatorem multiplicatur. nā numerus inde proueniens denominator communis erit. vt si duas tertias et tres quartas ad eandem denominatio­nem uelis reducere: tria, denominatorem primi fragmenti per quatuor, denominatorē secundi multiplices. et enascentur duodecim, denominator cōmunis. [...]

Ꝙ SI scire cupis: quot duodecimę partes seorsum sint in duabus tertijs: duo, numeratorē illius primi fragmen­ti, in quatuor denominatorem posterioris ducas: et octo pro numeratore procreantur. quibus denominator cōmu­nis sub linea suppositus indicat in duabus tertijs octo du­odecimas deprehendi. 8/12 Itidem si uis scire: quot duo­decimę [Page] partes seorsum sint in tribus quartis: tria, nume­ratorem ipsius secundi fragmenti, in tria, denominatorē primi multiplices: et nouem pro numeratore consurgent. quibus denominator cōmunis sub linea subiectꝰ de­mōstrat in tribꝰ quartis nouē duodecimas inueniri. [...]

DEINDE si ad cōmunem denominatorem numerato­rem etiam cōmunem uis inuestigare: prioris fragmēti nu­meratorem in denominatorem posterioris, et similiter nu­meratorem secundi fragmenti in prioris denominatorem, ad formam crucis diui Andreae, multiplica. Numeri (que) ex his duabus multiplicationibus prouenientes simul addā ­tur. et numerus inde proueniens numerator cōmunis erit. Vt si duo, numerator primi fragmenti, in quatuor, deno­minatorem secundi ducantur: fient octo. Et si tria, secun­di fragmenti numerator, per tria, denominatorem primi multiplicentur: surgent nouem. quae addita ad octo faci­unt septemdecim, qui numerus erit numerator cōmunis. Ita duae tertiae et tres quartae, ad eandem denominatio­nem reductae numeratorem habent cōmunem septemdecim, denominatorem uero duodecim [...]

SIVERO plura fuerunt fragmēta: uti duae tertię. tres quartae. quatuor quintae. post duo priora fragmenta, sicu­ti diximus, reducta, iterum denominator cōmunis prius inuestigatus per tertij fragmenti denominatorem multi­plicetur: et surgent sexaginta, om­nium denominator communis. [...]

Ꝙ SI scire cupis: quot partes sexagesimae sint in quo­uis fragmento numeratorem ipsius fragmenti in denomi­natorem cōmunem multiplica: nempe sexaginta: nume­rum (que) [Page] procreatū diuide per eiusdem fragmenti denomi­natorem. ita deprehendes in duabus tertijs quadraginta sexagesimas. et in tribus quartis quadraginta quin (que) sexa ⅔ 40/60 gesimas. et in quatuor quitis quadraginta octo sexage ¾ 45/60 simas.

DEINDE numeratorem omniū fragmentorū ⅘ 48/60 cōmunem inuestigaturus prius reductorum fragmento­rum numeratorem per denominatorem tertij, et numera­torem tertij per denominatorem fragmentorum prius re­ductorum, multiplica. Numeros (que) ex his duabus multi­plicationibus generatos simul adde: et numerator com­munis omnium fragmentorum prodibit. ut si septemde­cim, prius reductorū numeratorem cōmunem, in quin (que), tertij fragmenti denominatorē ducamus: inde (que) procree­mus octuaginta quinque: et iterum duodecim, commu­nem prius reductorum denominatorem, in quatuor, ter­tij fragmenti numeratorem multiplicemus: at (que) ita ge­neremus quadraginta octo: hos (que) duos numeros simul coniungamus: enascentur centum triginta tria. Is nume­rus erit omnium fragmentorum numerator cōmunis. sic duae tertiae, tres quartae, et quatuor quintae, ad cōmunem numeratorem et denominatorem reductae, fiunt centum triginta tres sexagesimae. Eodem modo progredi­endum est: etiam si plura 133/60 fuerint fragmenta ad eā ­dem denominationem reducenda: ut primis quibus que quemadmodum diximus expeditis, proxime sequentia ad eundem modum absoluantur: donec per omnia frag­menta sit discursum.

[Page] EX praedictis nimirum liquet, numerum statim inue­niri posse: qui partes, quascum (que) uolumus: denominatas habeat. Quippe si partes omnes denominatas inter se multiplicemus: numerus procreatus partes eas contine­bit. Exempli gratia, si numerum aliquem cupis exquirere: qui capiat unam secundam, unam tertiam, unam quartā, unam quintam, unā sextam, unā septimā. omnes has partium denominationes in­ter ½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ 1/7 se multiplica. quae generāt quin (que) millia et quadragin­ta. is est numerus quaesitus.

IN eiusmodi autem numero singuli numeratores, par­tes plures us (que) ad totidem continere possunt, quot in de­nominatoribus singulis reperientur. nam in eodem etiam deprehendas unam secundam, duas tertias, tres quartas, quatuor quītas, quin (que) sextas, sex septimas. uel si mauis. reperias duas secūdas, tres ter­tias, ½ ⅔ ¾ ⅘ ⅚ 6/7 quatuor quartas, quin (que) quintas, sex sextas, septem septimas. Partes autem unius at (que) eius­dē numeri 2/2 3/3 4/4 5/5 6/6 7/7 plures in numeratore (quam) in de­nominatore contineri nequeunt. nam is numerus ea rati­one seipso maior esset. quod est contra rerū naturam. ue­luti si quaeras numerum: qui quin (que) quartas habeat: fru­stra inuestiges. Quippe cum quin (que) quartę unū integrum et quartam praeterea partem constituant. At nullus nu­merus quarta parte seipso maior haberi potest. Minimus autem numerus, qui partes quascū (que) uelis: denominatas habeat: quemadmodum sit inuestigandus: paulo post di­cemus: quando trademus: quomodo partes ad minimā sui nomenclaturam redigantur.

[Page] PARTIVM particulae, quae fragmentorum sunt frag­menta: et minutiarū minutiae etiam nuncupantur: in in­tegrorum partes, quas simplices uocant minutias: mutā ­tur: si earum numeratores inter se multiplicētur: ut unus omnium communis numerator fiat. At (que) itidem earum denominatores in se ducantur: ut unus omnium cōmunis denominator enascatur. Ideo (que) si ad eandem denominati­onem reducere cupias duas tertias unius quartae, unius secundae. ⅔ ¼ ½ unitatibus in duo ductis, tantum duo surgunt. cum unitas alios numeros nō multiplicet. sic ori­tur numerator communis. Deinde tria in quatuor ducta creant duodecim. quae iterum in duo multiplicata produ­cunt uiginti quatuor. ita compertus est denominator cō ­munis. Quamobrem duae tertiae unius quartae unius se­cundae, ad simplicia fragmenta redactae, procreant duas uigesimas quartas unius integri. 2/24.

INTEGRA in partes quascum (que) uolumus: frangū ­tur: si numerus integrorū per denominatorem illarū par­tium, quas procreare cupimus: multiplicetur. quippe nu­merus ex multiplicatione generatus enatarū partiū sum­mā demonstrabit. Etenim si integrum ad sextas reducere est animus: unitatem per sex multiplicemus: et enascētur sex. qui numerus erit partium. Si tria integra ad sextas re­soluere libet: sex in tria ducantur. ita fient decem et octo. qui numerꝰ existit partiū, solutis in sextas tribus integris.

SI QVA uero integra una cū partibus occurrant: quae ad partium denominationem reducere uelimus: numerū integrorū per denominatorem partium multiplicemus: et [Page] numero procreato partiū numeratorem addamus. inde (que) crescenti numero eundem denominatorem supponamus, linea interposita. Exempli gratia. si quin (que) integra et tres quartas ad eandem denominationem reducere cupimus: integrorum nota primum scribatur. deinde ante eam ad dextram, ipsum fragmentū, breui linea interserta. ad hūc modum. 5 ¾. quin (que) deinde, numerum integrorū, per quatuor denominatorem fragmenti multiplicemus: et cō ­surgēt uiginti. quibus addita tria, numeratorē cōmunem, uiginti tria creant. his sub linea media, quatuor, denomi­natorem subijciamus. sic nobis enascentur ex hac redu­ctione uiginti tres quartae. 23/4.

Ꝙ SI integra et plura simplicia fragmenta ad unum simplex fragmentum reducere quis uelit: numerum inte­grorum et primum fragmentum, sicuti iam pręcepimus: absoluat. Deinde fragmentum simplex ex hoc enatū cum alijs sequentibus copulando, per singula fragmenta dis­currat: donec uniuersa in eandem denominationem trans­formauerit, eo modo, quo ante dictum est.

SI VERO integra et partiū particulę simul reperian­tur: et ad simplex fragmentū uelis ea reducere: primū par­tium particulae ad simplicia fragmenta reducendae sunt: sicuti ante praeceptum est. et tum demum integra cum his in eandem denominationem sunt copulanda.

ITIDEMQVE per omnia fiet: si integra et plura frag­mentorum fragmenta sese simul offerant. his nam (que) om­nibus prius ad simplicia fragmenta redactis, caetera ser­uentur: quae iam praedicta sunt.

[Page] PARTES ECONVERSO REDVCVNTVR ad integra: si numeratorem ipsarum partium per earum denominatorem diuidamus. nam numerus partitionis integra continebit. Vt si decem et octo tertiae ad integra reducendae sint: decem et octo per tria diuidamus. et nu­merus partitionis prodibit. sex. totidē ita (que) sunt integra. Vel si ex uiginti duabus quartis integra procreanda sint: uiginti duo per quatuor secemus: et in numero partitio­nis quinque deprehendentur: at (que) duo reliqua. Igitur quin (que) fiunt integra. et duae quartae supersunt. Quia sem­per in omni diuisione tam integrorum (quam) partiū, reliquū, si quod restabit: a diuisore, per quem sectio facta est: suā denominationem sumet. Ipsum autem reliquū, quod in­tegrum creare nequit: eadem proportione se habet ad in­tegrum: sicut numerator ad denominatorem: qui diuisor extitit. Quocirca cūꝑ integrū diuisorem, id, quod reliquū erit: āplius secari non possit: per dimidiū diuiforis, si mo­do is dimidiari potest: diuidatur. et numerus sectionis di­midiū ostendet integri. uti in exemplo proximo, ubi duae quartae supersunt. per duo, diuisoris dimidium, facta se­ctio, cum numerus sectionis sit unum: unum dimidium monstrat. Si uero id fieri non potest: per tertiam diuiso­ris partem reliquum diuidatur: modo tantum supersit. et numerus partitionis uel unam tertiā uel plures indicabit superesse. Puta si per nouem numerus esset diuisus: et sex manerent reliqua. per tertiam diuisoris partē, nempe tria, sectio facta duas tertias unius integri superesse manife­stat. Alioqui si per tertiā sectio nō quadrabit: per diuiso­ris partem quartā: nisi minus ea supersit: reliquū secetur. [Page] quippe sic facta sectione, numerꝰ partitionis patefaciet: an una quarta remaneat: an plures. Veluti si ꝑ sexdecim nu­merus fuisset diuisus: reliqua (que) essent duodecim: quarta di uisoris pars ꝓ reliquo secādo sumpta, in numero partitio­nis tria ꝓducit: quę tres partes quartas uniꝰ integri demō strant. Si nec id quidē procedit, tū de quinta, aut sexta, aut alia quauis diuisoris parte, ad eūdē modū tentadū. Caete­rū si nihil horū iuuare potest: reliquū ipsū ad minimā sui nomenclaturā redigendū est, his, qui sequuntur: modis.

PARTES RELIQVAE, QVAE VNVM IN­tegrum conficere non possunt: ad minimam sui nomen­claturam rediguntur, ad hunc modum. Numerator et de­nominator toties diuidiandi sunt: quoties id fieri potest. in singulis (que) dimidiationibꝰ, linea interposita, numerator supra eam: denominator infra scribatur. et postrema di­midiatio notetur. quia qua proportione se habebit ipsius numerator ad denominatorem subiectū: eadem primus numerator denominatorem suū respiciet. Et si in alteru­tro eorum inter dimidiandum impar occurrit numerus: quia amborum dimidiatio amplius progredi non potest: illic erit sistendum. Continuo (que) maximus numerus am­bos cōmuniter numerans est inuestigādus, qui eorū utrū ­ (que) per diuisionem possit exhaurire.

MAXIMVS numerus duos cōmuniter numerans sic inuestigatur. Numeratorem et denominatorem post di­midiationem cessantem a se inuicem subtrahe: quoties id fieri potest. ex qua subducttione frequenter repetita, si eo­rum alter ad unitatem soluitur: eiusmodi numeri contra se primi ab Arithmeticis uocantur: et ad minorē nomen­claturam [Page] redigi nequeunt. cū omnes numeri contra se pri­mi sua proportione sint minimi. Exempli causa, reliquae sint uiginti sex quinquagesimae: quas ad minimā nomen­claturam redigere uelimus. harum numerator dimi­diatꝰ relinquit tredecim. At [...] denominator per mediū sectus creat uiginti quin (que). sic ex dimidiatione, tredecim uigesimae quintę generantur. Vltra propter imparē in utro (que) occurrentē numerū [...] dimidiatio non proce­dit. (quam)uis, etiam si in alterutro solo fuisset imparitas: dimi­diatio cessasset. Quaerendus est ergo per crebram alterius ab altero subductionē, maximus numerus ambos cōmu­niter numerās. In primis (que) tredecim, numeratorē a uigin­ti quin (que), denominatore subducamꝰ: et relinquemus du­odecim, ea rursus a tredecim, numeratore subtrahamꝰ. et unū remanebit. quod nobis idicat numeros ex dimidiati­one cessante repertos, cōtra se primos esse.

Ꝙ SI ex crebra numeratoris et deno­minatoris subductione a se inuicē facta, [...] neuter eorum ad unitatem soluitur: tandem omnino re­perientur similes. Quod quando compertum est: simul inuentus est maximus numerus ambos cōmuniter nume rans. is uidelicet, in quo similes deprehenduntur. per quē dati reliqui numerator seorsum diuidendus est: at (que) itidē denominator. sic (que) numerus utrius (que) sectionis tam alte­rū prioris numeratoris numeratorem ea proportione mi­nimū: (quam) alterum prioris denominatoris denominatorē, itidem etiam minimū ea proportione demonstrabit. qui minimā indicabunt nomenclaturam: ad quam partes re­digi possunt. At (que) ita manifestum est maximū numerum [Page] duos cōmuniter numerantem eos numerare per numeros ea proportione minimos. Exemplū paratū est. si trigin­ta quatuor centesimas secundas ad minimā nomenclatu­ram redigere uelimus. statim nam (que) ex dimidiatione decē et septem quinquagesimae primae prodeunt. qui numeri sunt impares et contra se primi. Postea ex prima numera­toris a denominatore subductione, triginta quatuor ex denominatore restabūt. deinde iterum repetita subductio relinquit in denominatore, decē et septem. similitudinē (que) utrius (que) numeri tā numeratoris (quam) denominatoris ostēdit. Is ergo numerus, decē et septem, qui maxi­mus est ambos cōmuniter numerans: eorū [...] utrum (que) diuidat. Quo fiet ut in numero par­titionis ex numeratoris quidem sectione unū inueniatur. ex sectione uero denominatoris, tria. Igitur una tertia mi­nima nomenclatura est: ad quam perduci possint uel de­cem et septem quinquagesimae primae: quae cessante di­midiatione repertę sunt. uel triginta quatuor cēte­tesimae secūdae: qui pro 17/51 ⅓ positꝰ est numerꝰ.

ALTERVM exemplū dari potest: si reliquae 34/102 ⅓ sint quatuordecim uigesimae octauae: quas ad minimam nomenclaturā reducere uelimus. horum quatuorde­cim secta per mediū relinquunt 14/28 septem. At uiginti et octo dimidiata creant quatuordecim. sic septem quartędecimae ex dimidiatiōe generātur. [...] ultra prop ter imparem numerū septenariū dimidiatio nō procedit. quęrendus est ergo maximus numerus ambos cōmuniter numerans: qui utrū (que) tam numeratorē (quam) denominatorem diuidendo deleat. is est septem. semel enim septem subdu­cta [Page] numeratorem tollūt. quippe omnis numerus seipsum et numerare et subducere potest. rursus septem bis subtra­cta denominatorem etiam auferunt. numerus ita (que) parti­tionis utrius (que) palam indicat septem quartas de­cimas ad unā secundam redigi. 7/14 ½. Qamobrem cum primū reliquū eandem rationē habeat: quā pro sua porti­one suum habet dimidiū: ad unam secundā recidit. qua­tuordecim igitur uigesimae octauae ad unam secundam: quae minima earū nomenclatura est: rediguntur. 14/28 ½

MINIMVS numerus, qui partes quascumque uo­lumus: denominatas habeat: sic est exquirendus. Post (quam) partes, quas in numero aliquo inuestigare destinamus: suis notis sunt descriptę: numerus, qui partes illas uniuer­sas habeat: ex denominatorum in se multiplicatione facile procreatur▪ quemadmodū superius obiter admonuimus. Caeterum minimus numerus, qui partes eas capiat: ma­iorem, ut eruatur: poscit industriam. Is autem proporti­one minima partes illas omnes habere comperietur: qui minimus numerus est: quem omnes illae numerant. Ita (que) de primis quibus (que) denominationibus primum expedire oportet: at (que) initio inuestigare: quis sit minimus nume­rus a duabus primis denominationibus numeratus.

Et quidem si hę contra se primae fuerint: ut nullus nume­rus eas numeret praeter unitatem. quia sunt sua propor­tione minimae: quod ex alterius in alterum ductu gene­rabitur: erit minimus numerus ab eis numeratus. Sin ali­us pręter unitatem numerus eas numeret: sumantur par­tes ea proportione minimae. quae quemadmodum exqui­rantur: [Page] proximo capite edocuimus. quae cum sunt inuen­tae: subnotentur sub partibus: quarū respectu sunt mini­mae. Deinde partes illae maiores, quarum respectu alterę sunt minimę: per numeros sua proportione minimos, ma­ior per minorē, aut minor per maiorem, multiplicatę mi­nimum ab ipsis numeratum producent. Nam secundum EVCLIDIS scitū, Quilibet duo numeri minimos nu­meros suę ꝓportionis, maior minorem, aut minor maio­rem, multiplicātes, minimū ab ipsis numeratum produ­cunt. Qui numerus minimus a duabus primis denomina­tionibus numeratus, ad hunc modum inuentus, cum ter­tia denominatione statim cōferendus est: minimus (que) nu­merus ab illis numeratus ad eundem modū exquirendus. Is, post (quam) cognitus erit: cum quarta denominatione simi­liter conferatur: minimus (que) numerus ab illis numeratus itidem eruatur. Idem (que) indagandi modus per omnes de­nominationes: si quae ulteriores fuerint: seruetur. Mini­mus autē numerus ab illis numeratus, qui postremo con­ferentur: partes omnes propositas minima proportione capiet. Exempla demus: quae rem magis illustrent. At (que) inuestigemus minimum numerum, qui unam secundam, unam tertiam, unam quartam, unam quintam, unam sex­tam, at (que) unam septimam habeat▪ ½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ 1/7

IN PRIMISQVE exquiramus, quis sit minimus numerus: quem duae primae denominationes numerant. quae quia sunt contra se primae: duo in tria ducantur. et sex enascentur. qui numerus minimus est: quem duo et tria numerant: qui (que) unam secundam, et unā tertiam ha­beat. Iterum sex cum tertia denominatione, nempe cum [Page] quaternario conferamus. et quoniam numerus binarius ambos cōmuniter numerat: bis (que) in quatuor, et ter in sex reperitur. quia tria et duo, numeri sunt ea ꝓportione mi­nimi: tria sub sex, et duo sub quatuor subnotemus. Dein­de uel senarium maiorem numerū per binariū de duobus minima proportione subnotatis, minorem: uel quaterna­rium minorem per ternarum, de duobus minima propor­tione subscriptis, maiorem multiplicantes, duodecim pro­creabimus. qui numerus minimus est: quē sex et quatuor numerant: qui (que) unam secūdam, unam tertiam, et unam quartā proferat. Rursus duodecim cum quarta denomi­natione, uidelicet cum quinario conferamus. qui numeri, quia contra se primi sunt, at (que) sua proportione minimi: quin (que) in duodecim ducamus. et sexaginta creantur. qui minimus numerus est: quem quin (que) et duodecim nume­rant: qui (que) unā secūdam, unam tertiam, unam quartam, et unam quintam producat. Deinde sexaginta cum sena­rio numero: quae denominatio proxima est: conferamus. et quoniam senarius et se ipsum per unitatem, et sexagin­ta per denariū numerat. decem, et unū, qui numeri sunt ea proportione minimi: subsignentur. Ita (que) siue sexaginta maiorem numerū per unum: qui numerus de duobus mi­nima ꝓportione subnotatis, minor est: siue sex minorem numerū per decem, numerū ex subscriptis maiorem mul­tiplicemus: sexaginta iterū prodibunt. qui numerus mi­nimus est a sexaginta, et a sex numeratus: et qui unā secū ­dam, unam tertiam, unā quartam, unam quintā, at (que) unā sextā capiat. Demū sexaginta cū septem conferamus. qui numeri cōtra se primi, at (que) sua proportione minimi cōpe­riuntur. [Page] et ideo septē in sexaginta ducentes quadringenta uiginti procreabimus. qui numerus minimus est: quē sex­aginta et septem numerant: qui (que) unam secundam, unam tertiam, unam quartam, unam quintam, unam sextam, et unam septimā proferre potest. Hac ratione numerus par­tes, quascum (que) uolumus: denominatas complectens, ex­quiritur. Quinetiā si omnes hi denominatores in se mul­tiplicentur: fient quin (que) millia et quadraginta. qui nume­rus itidem omnes eas denominationes habet. Caeterum numerus eas, minima proportione, capiens is est: quem exquisiuimus. nempe quadringenta uiginti. qui numerus in illo duodecies continetur. quemadmodum ex illius se­ctione per hunc facienda, cuiuis licet cernere. Alia itidem huius generis exempla, quęcū (que) occurrunt: ad hunc mo­dum explicari possunt.

MODVS EXQVIRENDI PRECIVM QVA­rumuis partium hic est attingendus. Nam cū ex integro­rum diuisionibus partes, quae supersunt: tam crebrae sup­putantibus occurrant: ut nus (quam) ferme non sint obuiae: ne earū aestimatio longa mora quempiam torqueat inuesti­gantem: pro quanta pecuniae summa ualeant: operaepre­cium esse duximus uiā demonstrare: qua id quo (que) depre­hendi possit. Ea autem est eiusmodi. Si per partiū nume­ratorem precium totius integri, cuius sunt partes: multi­plicetur: et numerus ex multiplicatione procreatus per ea­rundem partiū denominatorem diuidatur: numerus par­titionis preciū indicabit partiū. Reliquū uero, si quod ex ea sectione restabit: supra diuisorē stantem linea interpo­sita, notetur. Exemplū demus: ut magis quod dicimus: [Page] eluceat. Si singula uini dolia aureis uiginti cōstiterunt: et duarum tertiarum precium scire cupimus. uiginti per par­tium numeratorem, qui duo continet: multiplicemus: ut sint quadraginta. quae deinde per denominatorē, qui tria continet: diuidamus. et numerus partitionis surget. tre­decim aurei. et superest una tertia unius aurei. quae cum precij sit particula: nobiscum cōsyderemus: qua pecunia uiliori possit aestimari: sicut iam dicemus.

MINVTIARVM QVARVMLIBET PECV­nię reliquarū aestimatio deprehenditur ad hunc modum. Si pecuniae summa, cuius pars est quoduis reliquū: in ar­genti libris per diuisionē quęsita est: inuestigemus: quot aureis? quot solidis? uel si libet: quot denarijs? aut quot nūmis sestertijs? aut quot semissibus? aut quot quadran­tibus? aut quot sextantibus argenti libra aestimatur? Vel si pecunia prior in aureis per sectionem inuestigata fuerit: exquiramus: pro quot denarijs? uel si libet: pro quot nū ­mis sestertijs? aut pro quot obolis? aut pro quot quadrā ­tibus? aut si quod aes signatū uilius in usu est: aureus in­teger ualeat? Deinde aestimationem totius illius partis, cuius pars ipsum reliquū est: per reliqui numeratorē mul­tiplicemus. numerū (que) ꝓcreatū per ipsius reliqui denomi­natorem diuidamus. et numerus partitionis aestimationē reliqui monstrabit. Iterum (que) secūdum reliquum, si quod prodibit: notetur. et ulterius, si ita libet: ad eundem mo­dum procedatur. Exemplum repetamus: quod proximo capite dedimus. in quo precium duarū tertiarū unius do­lij uiginti aureis empti, tredecim aureos inuenimus. et re­liqua erat una tertia unius aurei. Quę, ut sciamus: quid af­ferat: [Page] unum aureum centum nummis ęstimemus. quorū numerus in unum, reliqui numeratorem ductus tantum centum creat. quae per tria, reliqui denominatorem diuisa in numero partitionis educunt triginta tres nummos. et iterū superest una tertia unius nummi. quam ęreis adhuc, sextantibus, ad eundem modum aestimare potes. Igitur precium duarū tertiarum unius dolij uiginti aureis empti erit, tredecim aurei, triginta tres nūmi, et una tertia unius nummi. Ita (que) in arbitrio est computātis: an pecunię ęsti­mationem ordine quodam exquirere uelit: ut primum ue­stiget: quot argenti libras pecuniae summa quaeuis ha­beat. Deinde, si quid reliquum superest: quot id aureos faciat. Iterum, si quid remanet: quot id denarios creet.

Tertio, si quid restat: quot id producat nummos: et sic deinceps. Vel an statim in primo reliquo ad uilissimā pe­cuniam descendere malit: ut per eam reliquum aestimet. Verumtamen utramcum (que) uiam elegerit: idem est inda­gandi modus.

AT SI exintegrorum sectionibus partium occurrant particulae: quarum precium exquirere uelimus: eas prius ad simplices integrorum partes reducamus. Deinde pre­cium ad eundem modum inuestigemus: quemadmodum in simplicibus fragmentis iam diximus.

DE PARTIVN ADDITIONE.

PARTIVM ADDITIO EST PLVRIVM minutiarum seorsum propositarum in unam summā collectio. Ea autem, quando partes eiusdem sunt deno­minationis: [Page] nullum habet negocium. sola etenim nume­ratorum fit additio. et numerus procreatus supra breuem lineam notatur: sub qua denominator apponitur. Exem­pli gratia. si quatuor septimas, quin (que) septimas, sex septi­mas uis addere: solis numeratoribus per additionem cō ­iunctis, fiunt quindecim septimę. 4/7 5/7 6/7 15/7

QVANDO uero partes diuersos denominatores ha­bent: si binę minutię fuerint: post (quam) ad communem deno­minationem sunt redactę: priorū numerator per denomi­natorem posteriorū, et numerator posteriorū per priorū denominatorem, ad formā. X. literę gręcę: quae speciem crucis diui Andreae refert: multiplicari debent. numeri (que) inde prouenientes ambo simul addi. et cōsurget numera­tor cōmunis. Et si plures praeterea minutiae diuersos ha­bentes denominatores occurrunt: primis quibus (que), quē ­admodum diximus: expeditis: proximę sequentes simili­ter copulentur: donec omnes absolutę sint: eo modo, quo supra dictū est: cū de dissimilium denominatorū reducti­one facienda pręciperemus. ubi de cōmunium numerato­rū additione non nihil etiam attigimus: ne quis id ibi de­syderaret: cum de cōmunium denominatorū inuestigati­one diceremus. Quamobrem illic explicata exempla, hic tantū spectāda ponemus. ⅔ ¾ duę tertiae et tres quar­tę denominatorem habent cōmunem, duodecim. nume­ratorem uero cōmunem, decem et septem: ex additione, quae multiplicationē ad speciem crucis factā sequi debet. 17/12, quibus additae ⅘ quatuor quintae procreabunt 133/60 centum triginta tres sexagesimas.

[Page] QVANDO minutiae integris addendę sunt: si unę mi­nutiae erunt: notentur post ipsa integra. Veluti si 31/37 ad­dendae sint ad. 12. sic notis copulentur. 12 31/37. Ꝙ si plu­res sint minutiae, et plura integra: prius integra in unam summam componantur. Postea minutiae seorsum eo mo­do simul additae, quo supra dictum est: his adiungantur. Veluti si ⅔ ¾ ⅘ addendae essent ad. 30. et. 16. Prius 30. et. 16. coniungantur. et fient. 46. tum deinde ipsae minutiae per additionem collectę facient. 2 13/60. quae ad in­tegrorum summam iungantur. et surgent. 48 13/60.

AT SI minutię integris et minutijs addendae sunt: so­lae minutiae prius addantur, eo modo: quo dictum est. Deinde, quod ex earum summa surget: ipsis addatur in­tegris. et si quae minutiae restabunt: post illa signētur. ue­luti si ⅚ addendae sunt ad. 7 ⅜. prius copulentur ⅚ cū ⅜. quae faciunt. 1 5/24. eaiungantur ad. 7. et uniuersorum summa fiet. 8 5/24. Haec uia multo minus habet laboris: (quam) si quis integra in minutias his adiunctas frangat: unum (que) de his corpus faciens postea alteris ea minutijs copulet. id quod quidam faciunt: ad hunc modū. Integra per par­tium denominatorem multiplicant: et numero procreato partium numeratorem addunt. at (que) ita numerator com­munis enascitur. cui denominatorem nihil immutatum sub linea subdūt. Veluti in exēplo dato. 7. integra in uici­cinum denominatorem. 8. ducunt: et numero. 56. pro­ducto [Page] numeratorem. 3. addētes 59/8 faciunt. quas postea coniungunt cum ⅚ eo modo, quo dictū est. et res ad idem recidet.

QVANDO integra integris et minutijs addenda sunt: prius integra cōiungantur. postea adiungantur minutiae. Veluti si. 6. cum. 3 ⅕ copulanda sint. prius. 6. ad. 3. ad­dantur: et fient. 9. quibus apponantur minutiae. et uni­uersorū summa fiet. 9 ⅕. Itidem si plura integra cum cō ­pluribus integris et compluribus minutijs connectenda sunt: prius omnes minutię, in unum corpus colligantur eo modo: quo dictū est. Postea integra, quę inde ꝓueni­unt: ad alia integra iungantur. et summa quaesita surget.

AT SI integra et minutiae integris et minutijs addi debent: prius in unam summam integra colligātur. Post­ea minutiae seorsum eo modo, quo dictum est: copulatae his addantur. Veluti si. 3 ½ ad. 6 ⅓ adiungi debent. prius 3. ad. 6 addātur: et sient. 9. postea ½ et ⅓ simul additae fa­ciunt ⅚: quę ad. 9. adiungantur: ut omnium summa sur­gat. 9 ⅚. Eodem modo fiat: si complura integra, et cō ­plures minutiae addendae essent: ut prius integra colligā ­tur: post copulentur minutiae. ex quibus, siue integra, siue minutiae, siue ambo surgunt: addantur ad priora.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue­niunt: prius hae ad simplices minutias redigantur. et tum demū in singulis secundum ea, quae supra dicta sunt: ad­ditio peragatur.

DE PARTIVM SVBDVCTIONE.

PARTIVM subductio est summae partium proposi­tarum minoris a maiore subtractio: per quā relictus partium illarū numerus apparet. Oportet autem semper uel minorem summam a maiore: uel aequalem ab aequali subtrahere. nam maior a minore subduci nequa (quam) potest. Propositis ita (que) binis minutijs, at (que) utrarum (que) numera­tore in alterarū denominatorem inuicē, in speciem crucis, multiplicatis, illae minutiae maiores esse dicentur: quarū numerator in alterarū denominatorē ductus maiorē pro­fert numerum.

QVAMOBREM si binae minutię eundem denomina­torem habent: quarum alteras ab alteris cupias subdu­cere: minor alterarum numerator a numeratore alterarū maiore, si inaequales extiterint: subducatur. et reliquum supra denominatorem ponatur: linea interposita. Exem­pli gratia. si duas tertias a septē tertijs subtrahas: quin (que) tertiae remanebunt. ⅔ a 7/3 5/3. Vbi uero numeratores et denominatores reperientur aequales: facta subductio­ne nihil erit reliquum.

QVANDO autem minutiae diuersos denominatores habent: prius denominatores inter se multiplicentur: et consurgens numerus denominator communis erit. Dein­de priorum minutiarum numerator in posteriorum nu­meratorem, et numerator posteriorū in denominatorem priorum, ad formam crucis ducatur. Quod ubi factum erit: si numeri procreati fuerint inaequales: minor a ma­iore [Page] subducatur: et reliquum supra cōmunem denomina­torem, linea interiecta, ponatur. Exemplum illud esto. Si quis subtrahere uelit a quatuor quintis duas tertias: denominatoribus in se ductis, prius producatur denomi­nator cōmunis. postea quatuor, numerator alterarū mi­nutiarum in tria, alterarum denominatorem, ducta crea­bunt duodecim, alterū numeratorem. Iterum duo, altera­rum minutiarum numerator, in quin (que), denominatorem alterarum multiplicata generabunt decem, numeratorem alterū: quae, cum sint pauciora: (quam) duodecim: ab illis sub­ducātur: et duo relinquentur. quae supra denominatorem communem prius procreatū locentur. sic facta subducti­one, reliquae erunt duae quintaedecimę. ⅔ a ⅘ subducun­tur: et relinquunt 2/15.

QVANDO minutiae subducentur ab integris: suffece­rit eas ab uno integro, in minutias soluto, subducere. et quod tam de integris (quam) de minutijs restabit: totius sub­ductionis erit reliquum. Veluti si 4/7 subtrahendae sunt a 12. sumamus. 1. de. 12. et restabunt. 11. ab illo autem uno demptis 4/7, relinquentur 3/7. quę copulatae cum. 11. restare faciunt. 11 3/7. tantum superest: si 4/7 a. 12. subdu­cimus. Alij integra minutiarum more, supra lineam no­tant: cui unitatem subijciunt, ad integra delignanda. De­inde quasi minutiae a minutijs subducendae essent: post obliquam numeratorum in denominatores multiplicati­onem, minorem productum a maiore subducunt: et su­pra lineam notant. cui denominatorem subdunt. ita. 7. in [Page] 12. ducta creant. 84. et. 4. in. 1. ducta faciunt. 4. quę subducta ab. 84. relinquunt 80/7. Ea, si reducas ad inte­gra: fient. 11 3/7. ita res ad idem recidet. 4/7 × 8/1 80/7 AT SI minutiae ab integris et minutijs subducentur: fieri potest: ut quę subduci debent: minores sint illis: quę integris adiunguntur. id quod si acciderit: tum ab illis mi­nutijs subducantur: et integra intacta maneant. quibus adiunctum id, quod restabit: totius subductionis erit reliquū. Veluti si 4/9 subduci debenta. 6 9/10. ipsis. 6. in­tegris manentibus, 4/9 subducantur a 9/10 eo modo, quo dictum est. et restabunt 41/90. quę si. 6. integris adiungā ­tur: relinquentur ex ea subductione. 6 41/90. Ꝙ si minu­tiae: quae subducendae sunt: maiores sint his: quae inte­gris adiunguntur: tunc de integris saltem unum in minu­tias adiunctas soluatur: ut post (quam) unum corpus ex his fa­ctū sit: ab eo fiat subductio. Veluti si ⅘ ab. 8 ½ subtrahi debēt: solue unū de illis. 8. in secūdas: et fiēt 3/2 a quibus de­me ⅘. et restant 7/10. quę si iungas cum. 7. relictis de. 8. relinquentur. 7 7/10 tantum restabit si ⅘ ab. 8 ½ subduces. Hęc uia multo breuior est: (quam) si quis omnia integra in mi­nutias adiunctas frangat: et postea ab eis alias minutias subducat. id quod quidam faciūt: qui ducentes. 8. in. 2. et. 1. ad iungentes, creant 17/2. a quibus demūt ⅘ eo mo­do, quo supra dictum est: et restant. 7 7/10. sic res ad idem recidet.

[Page] QVANDO integra ab integris et minutijs subduci de­bent: demātur integra ab integris: et quod supererit: to­tius subductionis erit reliquum. Veluti si. 9. a. 13 ⅗ sub­trahenda sunt. eximantur. 9. a. 13. et restant. 4. una cū minutijs ⅗. ita si. 9. a. 13. subducas: id totum, quod re­linquitur: est 4 ⅗.

VERVM si integra et minutiae ab integris et minutijs subduci debent: tunc utra (que) integra seorium in minutias adiunctas soluantur: ut una minutiarum facies utrinque consistat. postea (que) subductio eodem modo fiat: sicuti si­eri solet: quando minutiae a minutijs subducuntur. qua peracta, denuo colligantur integra, ex eo: quod resta­bit. Veluti si. 3. ⅖ a. 4 ⅔ subtrahendę sint. 3. soluātur in quintas. quibus adiungatur minutiarum numerator. 2. et surgent 17/ [...]. Item. 4. soluantur in tertias. et numera­tor minutiarum. 2. his adiungatur. ita fient 14/3. Postea 17/5 a 14/3 demantur: et restabunt 19/15. quae faciunt. 1 4/15. tan­tum relinquetur: si. 3 ⅖ a. 4 ⅔ eximantur.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue­niunt: prius hae ad simplices minutias redigantur. et tum demum in singulis, secundum ea, quae supra dicta sunt: subductio peragatur.

SI LIBET experiri: num recte subductum sit: ad­dere oportet id: quod restat: ad id, quod subtrahit: et sū ­ma, a qua fit subductio: instaurabitur. Si plus aut minus redit: erratum est. Nam additionem subductio, subdu­ctionem (que) [Page] additio probat: sicuti fit in integris. Veluti si ⅓ demat̄ ab ½. suꝑerit ⅙. adde ⅙: quę relinquitur: ad ⅓: quę subducit̄. et instaurabitur ½. a qua subductio facta est.

DE PARTIVM MVLTIPLI­CATIONE.

PARTIVM multiplicatio est uel ex partium mutuo in se ductu, uel ex integrorum in partes, uel ex ipsarū in integra, noui fragmenti procreatio: per quam plurima etiam diuersorū generum, singula quę (que) unius in singula alterius ducta, per accumulationem coeunt in unum: et de dissimilibus fit unum fragmentum.

ILLVD AVTEM ad naturam multiplicationis ple­nius pernoscendam obseruare oportet. Cum integrorum quidem inter se multiplicatio et numero et cumuli quan­titate maius edat id: quod procreatur: Econtrario fit in partibus: ut hę multiplicatę, quantitate minores, nume­ro plures inueniātur.

IGITVR fragmentorum inter se multiplicatio fiet ad hūc modum. In primis numeratores omnes inter se mul­tiplicentur. et ex hoc enascetur omnium numerator com­munis. deinde omnes denominatores itidem in se ducan­tur. et totius cumuli denominator consurget. Itaque si duas tertias per tres quartas multiplicare uolumus: duo in tria ducta faciunt sex, omniū numeratorem. postea tria in quatuor ducta procreant duodecim, multiplicationis [Page] denominatorem. sic ⅔ per ¾ multiplicatae faciunt 6/12.

CVR ID AVTEM ita fiat: si rationem poscis: illa est: ꝙ si numeratores in se soli ducerentur: uiderentur in­tegra inter se multiplicari. at (que) ita numerator nimium cre­sceret. Veluti in exemplo dato, dum duo in tria ducuntur: fiunt sex. quae, si nihil praeterea fieret: uiderentur integra. Caeterū quia nō duo integra per tria: sed duę tertiae unius integri per tres eius quartas multiplicandae sunt: similiter partium denominatores in se ducuntur: ut partium diui­sione, quę per denominatoris multiplicationē fit: (quan­to enim magis denominator crescit: tanto magis partes cōminuuntur) nimia numeratoris augmentatio tantum corrigatur: quantum plus iusto creuerat: at (que) ea ratione ad aequalitatem redigatur. Ita post (quam) etiam denominato­res in se ducti creāt duodecim: liquet sex duodecimas esse: quae alioqui sex integra uideri possent.

PORRO si per minutias uelis integra multiplicare: aut minutias per integra: ipsum integrorum numerū per mi­nutiarum numeratorem multiplica: et producetur omniū numerator. cui minutiarum denominator nihil immuta­tus sub linea supponatur. Veluti si. 2. integra per ¾, aut ¾ per. 2. integra multiplicentur, procreantur 6/4. quę fa­ciunt. 1½. Alij integra ad exemplum minutiarū ita scri­bunt: ut numerus integrorum supra breuem lineam no­tetur: et sub ea reponatur unitatis nota: quae integra illa esse significet. iuxta quae sic scripta, quasi minutiae essent: ueras apponunt minutias: quas in ea ducunt. Deinde [Page] numeratorem integrorum pet minutiarū numeratorem, harum (que) denominatorem per denominatorem illorū mul tiplicant. qui modus et expeditus est: et res ad idem reci­dit. nam cum ipsa unitas integra designans alios nume­ros non multiplicet: denominator semper inuariatus ma­net. ita 2/1 ducta in ¾ faciunt 6/4.

SIC obiter expedita est partium duplicatio. quam spe­ciem quidam separatim tractant.

SI AVTEM per minutias uoles integra, alijs minu­tijs adiuncta, multiplicare: uel e conuerlo minutias per integra minutijs adiuncta: reduc prius integra in minu­tias sibi adiunctas: ipsa integra multiplicando in illarum denominatorem: numero (que) procreato illarum numerato­rem addendo. cui numeratori sic accumulato minutiarum illarum adiunctarum denominator sub linea subdatur. Deinde ipsę minutię iuxta alteras scribātur: numerator (que) per numeratorem, et denominator per denominatorem multiplicetur. Puta si duo integra cum duabus septimis per duas quartas multiplicanda fuerint: duo in septem ducta creabunt quatuordecim: quibus duo, quae sunt in numeratore addita producēt sexdecim. is erit numerator: cui denominator septem capiens sub linea iungi debet. Deinde numerator in alterarū numeratorem ductus cre­abit triginta duo. Denominatores (que) itidem in se ducti, producent uiginti octo. sic. 2. integra et 2/7 reducta creāt 16/7. quę per 2/4 multiplicata, componūt 32/28. Ea unum in­tegrum faciunt, et 1/7.

[Page] QVANDO integra in integra minutijs adiuncta du­cenda sunt: prius integra minutijs adiuncta in sociarum minutiarum faciem reducito: ipsa integra in illarum de­nominationem ducens, numero (que) producto numerato­rem addens. cui numeratori, sic coaceruato, denominator sub linea subdatur. iuxta quas minutias integra minutia­rum more, supra lineam notentur: subiecta his unitate. Deinde numeratores in numeratores ducantur: itemque denominatores in denominatores: sicuti fit in minutijs. Veluti si. 9. in. 3⅘ ducenda sint. 3. in. 5. ducta facient 15. quibus addita. 4. creant 19/5. postea. 9. in. 19. ducta producent. 171. quae supra lineam ponantur. Item semel 5. faciunt. 5. quae sub linea locentur. Ita ex hac multipli­catione fient 171/5. quae, si ad integra libet reducere: crea­bunt. 34⅕.

AT SI integra et minutiae in integra et minutias duci debent: ueluti. 3 4/9 in. 5⅜: utra (que) integra prius in minu­tias sibi adiunctas redigantur. et postea minutiarum mo­re multiplicatio fiat. Ita (que) in prioribus illis. 3. in. 9. ducta creant. 27. quibus numerator. 4. adiunctus producit 31/9. Similiter in alteris fiat. 5. in. 8. ducta faciunt. 40. quibus numerator. 3. additus educit 43/8. Iā uero 31/9 ductę in 43/8 ꝓducūt 1333/72. quę ad integra reductae faciūt. 18 37/72.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue­niunt: prius hae ad simplices minutias redigendae sunt. et [Page] postea in singulis, secundū ea, quę supra dicta sunt: mul­tiplicatio peragenda.

DE MINVTIARVM PARTITIONE.

PARTIVM diuisio est duorum fragmentorum, alte­rius alterum oblique secātis, per multiplicationem in unum coitio: per quam tertium enascitur fragmentum, ex utrius (que) illorum aequali complexu generatum. In omni autem partium diuisione fragmentum partibus diuisoris fungens a parte sinistra poni debet: fragmentum uero di­uidendum a dextra. quemadmodum fit in integris: ut di­uisor sinistram occupet. Deinde fragmenti diuidendi nu­merator in diuisoris denominatorē multiplicetur: et enas­cetur sectionis numerator. Postea denominator diuiden­di fragmenti in diuisoris numeratorem ducatur: et parti­tionis denominator proueniet. qui sub numeratore prius procreato, linea interiecta, supponi debet. Ita ad hunc modum numeratorum in denominatores, et denomina­torum in numeratores multiplicatio oblique in formam crucis diui Andreae facta fragmentum procreabit diuiso­ris et diuidendi uim pariter cōplectēs. Exempli gratia. Si per tres sextas diuidere duas tertias uoles: multiplica duo in sex: et fiunt duodecim, numerator operis. Deinde tria in tria ducantur: et procreabuntur nouem, sectionis de­nominator. Sic per 3/6 diuisę ⅔ faciunt 12/9. quę, si earū nu­merator per denominatorem secetur: integrum unum et tertiam unius integri partem constituunt.

[Page] SVNT: qui iubent in minutijs diuidendis diuisorem a dextra poni: quasi id magni referat. qui cur id fieri sic ue­lint: nihil uideo: quando illi ipsi pręcipiunt fragmenti di­uidendi numeratorem in diuisoris denominatorem, con­tra (que) diuidendi denominatorem in numeratorem diuiso­ris duci. Quod pręceptum si quis seruet: nihil omnino re­fert: ab utra parte diuisor steterit. Id, quod res ipsa ante oculos posita palam indicabit: si in medio fragmentum diuidendum, at (que) utrin (que) idem fragmentū secans statua­tur, ad hunc modum. Nam fragmēti medij [...] diuidendi numerator in diuisoris denominatorem, uel a sinistra, uel a dextra, ductus eundem creat numerum: si­militer (que) diuidendi denominator in numeratorem, uel si­nistrum, uel dextrum, multiplicatus idem faciet. Quam­obrem cum in integris diuisor sinistrā teneat: non temere aliud in partibus statuemus: praesertim cum in explican­dis difficillimis quibus (que) quaestionibus, in quibus minu­tiae interueniunt: hae, quae diuisoris funguntur partibus: suapte natura sinistram teneant. id quod in sequenti libro passim cuiuis licebit cernere. Quas minutias, quando ad diuisionem uentum erit: si de suo loco in dextram transfe­res: laborem geminabis.

SI QVAERIS: cur ita in minutiarū partitione mul­tiplicatio in formam obliquę crucis fiat: ratio illa est: ꝙ minutiarū exilitas fit per denominatoris multiplicationē. quanto enim magis ille crescit: tanto magis hae commi­nuuntur: et numero plures fiunt. At e conuerso numera­toris incrementum uel integra progignit: uel partes mul­to [Page] propiores integris. Ita (que) cum minutiarū inter se mul­tiplicatio, ex numeratoris directo in alterum numerato­rem ductu, denominatoris (que) itidem in alterarū denomi­natorem constet: quemadmodum proximo capite edocu­imus: minutiarum uero diuisio, quę suapte natura multi­plicationi contraria est: per multiplicationem fieri etiam ipsa debeat: ut tertiū his mutua sectione coeuntibus frag­mentum enascatur: quoniam altera illa multiplicatio cō ­ficitur directe: haec, quę partes secat: necesse est: oblique fiat: ut alterarum numerator in alterarū denominatorem, denominator (que) alterarum in alterarum numeratorem du­catur. alio qui sectio nimia redderetur: nec ad aequalitatem res posset perduci. Veluti in exēplo iam dato. quando per 3/6 diuidere ⅔ uolumus▪ multiplicantes tria, diuidendi de­nominatorē per tria, diuisoris numeratorem, si nihil prae­terea faceremus: uideremur per tria integra partes illas se­care: at (que) ita diuidendo, nimium excederemus. Sed quo­niam illa tria, per quae diuisimus: non erant tria integra: sed erant tres sextę: propterea diuidendi numeratorem in sex, diuisoris denominatorem ducentes, corrigimus ex­cessum illum: at (que) ita partitionem ad aequalitatem redu­cimus. tantum enim diuidendi numeratorem supplemus: quantum plus iusto denominatorem eius auximus, par­tes minuendo.

EN TIBI expeditā partium diuisionem. quā ut ple­nius pernoscas, illud obseruare oportet: tres earum secā ­di esse species. Vna est: quando partes maiores a minori­bus secant. in qua specie nascunt minutię: quę plus (quam) unū [Page] integrum creant. Exemplum. si per ⅓ seces ½ oriuntur 3/2. quae unum integrum et dimidium componunt. Altera. quando aequales partes diuidunt aequales. ex qua unum creatur integrum. Exempli causa. Si per ½ diuidas ½ fiūt ex ea sectione 2/2: quę unum integrum faciunt. Tertia est: ubi partes minores diuiduntur a maioribus: id, quod in minutijs saepenumero euenit. sic enim hae coire possunt. In hac partes procreatae minus reddunt: (quam) unum inte­grum. Exempli gratia. si per ½ seces ⅓: prodeunt ⅔: quae tertia parte minus, (quam) unum integrum edunt.

Et ut scias: quē sensum afferat minutiarū partitio: primo numerū aliquē inuestigare oportet: qui utras (que) minutias, tam quae diuidunt: (quam) quae diuidendae sunt: contineat. id, quod facile fit: si utrarum (que) denominatores inter se mul­tiplices: deinde in numero illo procreato duos numeros minores exquiras: alterū, qui partes diuidendas: alterū, qui partes diuisores referat. Ita deprehēdes nihil omnino interesse: utrum alterum illorum numerorum per alterum diuidas: an partes alteras per alteras. Exemplū in prima secandi specie. ubi per ⅓ secamus ½ si numerū quaerimus: qui ⅓ et ½ capiat: tria in duo ducta, sex nobis creant. qui numerus utras (que) minutias cōplectitur. Postea in sex, prius numerum inuestigemus: qui unā eorū tertiam exprimat. is erit duo. deinde iterum [...] alterum numerum inqui­ramus: qui creet unam eorum secundam. et tria esse com­periemus. Quibus numeris inuentis, nihil referre depre­hendemus: [Page] utrū per ⅓ secemus ½: an tria per duo. Nam utrobi (que) res ad idem recidet. quippe ex partium sectione proueniunt tres secundę: quę unū integrum et dimidium faciunt. nam numeratoris per denominatorē partitio unū in numero partitionis producit: ultra quod una secunda superest. Id, quod itidem eueniet: si tria per duo seces.

Alterum exemplum in secunda secandi specie. Si per ½ diuidas 2/4: inde podeunt 4/4. quae unum integrum cre­ant. Idem surget: si quatuor diuidas per quatuor. quippe in octonario numero ex denominatorum in se ductu pro­creato. 4. unam secundam, et. 4. duas quartas faciunt. At in tertia secandi specie, quando maiores partes diuiso­ris funguntur partibus: quemadmodum tunc in integris sectio fieri nequit: nisi minor numerus, uel in species sub se cōtentas multiplicetur: uel in minutias soluatur: sicuti mox dicemus: ita dum minutiae coeuntes sic secantur: hu­iusmodi partitio nil nisi minutias parit: quippe quę unum integrum nequeunt aequare. quia quot partibus numera­tor a denominatore superatur: totidem desunt ad integrū componendum. Veluti si per ½ seces ⅓: prodeunt ⅔. Quod perinde ualet: ac si duo per tria diuidere moliaris. nam in numero senario utras (que) cōplectente minutias tria unam secundam, duo unā tertiam faciunt. Quae sectio in integris fieri nequa (quam) potest: ut uterque numerus integer maneat. id, quod mox explicabimus. Quamobrem quā ­do partes quaelibet per alteras quasuis partes diuiden­dae proponuntur: hoc significatur: ut partes illae alicuius [Page] numeri propositae diuidantur per alteras eiusdem numeri partes propositas.

PRAETEREA cum in integris multiplicatio semper augeat: partitio (que) diminuat: in minutijs cōtra euenit: ut eę multiplicādo decrescāt: et augeantur partiendo. Nam si per unam tertiam una secunda multiplicetur: procrea­tur una sexta. quę longe minor est: (quam) uel una secunda: uel una tertia. At e conuerso, si per unam tertiam una secun­da diuidatur: fiunt tres secundae: quae unum integrum et dimidiū componunt. quod longe plus est: (quam) uel una ter­tia: uel una secunda. Verumtamen qui minutiarum natu­ram eam esse meminerit: ut quanto magis in numero de­nominator crescit: tanto magis quantitate partes diminu­antur: id, quod ante saepius admonuimus: statim mirari desinet: cur minutię multiplicando decrescant. cum in his numeri incrementum diminutionem afferat quantitatis. et denominator ꝓ ratione, magis (quam) numerator augeatur. Maius mirum prima facie uideri potest: quomodo partes diuidendo crescant. sed nec id quidem quempiam turbare debet: qui partium diuisionem ab integrorū longe diuer­sam esse pernouit. Etenim illa fit per subductionem diui­soris a numero diuidendo toties repetitā, quoties id fieri potest. Hęc autem per duorum fragmentorum obliquam in unum coitionem: per quam tertium exoritur fragmen­tum ex aequali illorum complexu productū. Quare quo­niam multiplicationis natura est: ut partes edat minores partitionis, quae ei contraria est: esse debet: ut partes in­stauret: pleniores (que) eas reddat. Cui rei nō absimile quid­dam nonnun (quam) in integris uidere licet: si quis minutiores [Page] nūmos ad librarum aureorum ue summā cupiat redigere. id quod fit per sectionem. si per illum nummorum nume­rum, quo libra una aut aureus unus aestimatur. uniuersus nummorū numerus diuidatur. Ita (que) quando minutię per minutias secantur: omnia maiora fiunt: quemadmodum aurei at (que) librae congeruntur ex minutioribus nummis. Quocirca partiū diuisio nihil aliud est: (quam) iuestigatio quę­dā: quot et quę partes ex duabus fragmētis ad tertij frag­menti ꝓcreationē pariter per sectionē coeuntibus oriātur.

SI QVAE uero minutię per integra fuerint diuidendę: ab earum sinistra numerus integrorum supra lineam scri­batur: ueluti minutiarum numerator quidam: sub quo, linea interiecta, notetur unitas: quę, quasi quidam deno­minator, integra designet. tum (que) multiplicatiōe in formā crucis facta, sic fiat diuisio: quemadmodum in alijs minu­tijs. Nam si per 2/1 diuidantur ¾ post (quam) in speciē crucis mul­tiplicatio fiet: orientur ⅜. Alio modo id fieri potest: et res ad idem recidet: ut denominatore manente intacto, numerator minutiarū per numerum integrorū in partes aequales, si fieri potest: diuidatur. Veluti si per. 2. integra 6/8 secentur: fient ⅜. Alioqui si numerator per integro­rum numerum in partes aequales secari non possit: nu­merus integrorum in denominatorem diuidendi fragmē ­ti multiplicetur: et res erit confecta. sicuti si per. 2. inte­gra ¾ secentur: prouenient ⅜.

SIC OBITER expedita est partium dimidiatio. quā speciem curiosi quidam separatim tractant: cum longe sit [Page] facilior: (quam) si quis eas per tria, quatuor, aut quemuis alium maiorem numerum secare uelit.

AT SI minutiae per integra et minutias secandae pro­ponuntur: prius integra in minutias sibi adiunctas redi­gantur: ut una de his minutiarum facies appareat: quae, quia diuisoris partibus fungentur: sinistram occupabūt. aliae uero minutiae, quae sectionem pati debent: dextram. deinde multiplicatione in formam crucis facta, minutiarū more, diuisio peragatur. Veluti si per. 2½ partiri ¾ uoles prius adiunctarū minutiarū denominator. 2. in. 2. duca­tur: et fient. 4. quibus additus numerator. 1. educit 5/2, per quas si seces ¾: ex ea partitione prouenient 6/20.

Ꝙ SI integra per minutias diuidi debēt: integra qui­dem minutiarum more, supra lineam, cui subdatur uni­tas: a dextra locentur: minutiae autem a sinistra. Caetera uero, quae de multiplicatione in formam crucis facienda iam diximus: nihil immutentur. Exempli gratia. si per ⅔ secare uis 4/1, enascentur 12/2.

PORRO si integra per integra et minutias diuidenda sunt: post (quam) integra, quae minutias adiunctas habent: in earum formā redacta erunt: a sinistra locentur: ꝙ diuiso­ris fungantur partibus. caetera uero expediantur: sicuti proxime diximus: quando integra per minutias secātur. Veluti si per. 2⅔ secandę sunt 4/1, minutiarū adiūctarum denominator. 3. ducatur in. 2. et fient. 6. quibus nume­rator. 2. additus creat 8/3. per eas autem si diuidas 4/1, inde [Page] prouenient 12/8: quae faciunt. 1½.

AT SI integra et minutiae per minutias secandę sunt: prius integra in minutias sibi adiūctas redigantur: ut una de his minutiarū facies fiat. deinde a dextra positę, per al­teras minutias fragmentorū more secentur. Veluti si per ⅚ partiri. 5¾ uoles. 5. in. 4. ducantur: et. 20. prodibunt. quibus numeratorē. 3. adde: et surgent 23/4. Postea mul­tiplica. 4. denominatorē deuidendi fragmēti in. 5. nume­ratorē diuisoris. et producētur. 20. Deinde numerator di­uidēdi. 23. ducatur in denominatorē diuisoris. 6. et surgēt 138. quę, si per. 20. secta ad integra redigātur: pferēt. 6 9/10.

AD EVNDEM modū fiat: si integra et minutię per in­tegra secādę sunt. id quod quando acciderit: ipsa integra a sinistra locata minutiarū speciē induāt: uti supra dictū est.

QVANDO uero integra et minutiae per integra et mi­nutias diuidi debent: prius utra (que) integra in minutias sibi adiūctas seorsum redigantur: ut omnia minutiarū speciē utrin (que) referant. Deinde minutiae, quę diuidendę sunt: a dextra locatę, per alteras, fragmentorū more secētur. Ve­luti si per. 3 2/9 partiri. 6 1/7 cupis. 3. in. 9. multiplicata et producto numerator additus facient 29/9. Item. 6. in. 7. ducta producto (que) numerator adiunctus proferent 43/7. Postea si per 29/9 secētur 43/7: ex ea partitione 387/203 prodibūt. quae ad integra reductae faciunt. 1 184/203.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interue­niunt: prius hę ad simplices minutias redigendae sunt: et [Page] postea in singulis, secundum ea, quae supra dicta sunt: di­uisio peragenda.

SI CAPERE experimētū libet: an partitio recte facta sit: sectionis numerū in diuisorē multiplica: et numerus di­uidēdus producetur. nam multiplicatio diuisionē, et mul­tiplicationē diuisio ꝓbat in minutijs: quemadmodū fit in integris. Igitur quando per ⅓ secātes ½ educimus 3/2. quae faciunt. 1½. recte diuisum esse probabimus: si 3/2 in diui­sorē ⅓ ducemus. ita 3/6 pducentur. quę ad minimā nomen­claturā redactae faciūt ½. quod fragmentū diuidēdū erat.

IN MINVTIIS OPERAEPRECIVM IL­lud admonere putauimus: in quo multum exercitatos la­bi saepenumero uidimus. Quandocum (que) minutiae: quae diuisoris fungūtur partibus: et quae sunt diuidendę: eun­dem denominatorē habent: qui in utris (que) suo numeratore minor reperitur: maior (que) existit earum numerator: quae secandę sunt: (quam) quę secare debent: quoniā tunc in utris (que), minutiae totidem integra repraesentant: quoties utrius (que) numerator denominatorem suum continet: partitio ne­qua (quam) oblique in formam crucis fiat: sicuti fit in minutijs. sed denominatoribus manentibus intactis, maior diuidē ­di numerator per diuisoris numeratorem, qui minor est: integrorum more secetur. Alioqui si supputator illas sicut minutias diuideret incautus: cum integra designent: et minor numerator maiorem partiri possit: in labyrinthum inextricabilem ignorans sese immergeret. Exemplis rem illustremus. Esto per 5/3 secandae essent 7/3. denominato­ribus [Page] utrius (que) nihil immutatis, septem per. 5. diuisa edu­cent unum integrum et duas quintas. Aut si per 8/6 parti­ri cupias 10/6 per octo secans decem unum integrū procrea­bis: et supererunt 2/8: quae reddunt ¼.

Et (quam)uis in his exemplis nihil referre uideatur: utro ea mo­do secentur: cum etiam si minutiarū more fieret partitio: nihilominus post reductionem minutiarū ad integra res ad idem recideret: tamen pręter (quam) ꝙ uia iam monstrata il­las reducendi uitat ambages: multę supputationes occur­rent: in quibus error immensus orietur: si ritu partium ea diuidas. Et pręsertim ubi ex diuersis integris, et uarijs mi­nutijs in unum additis, unus omnium diuisor colligitur: qui multa et uaria secar̄e debeat. Id, quod in explicandis numerorum nodis, in sequenti libro, manifestum per ex­empla faciemus.

IN INTEGRIS NVMERIS MAIOR NON diuidit minorem: cum in minore maior non contineatur. uti superiori libro, de partitione praecipientes, admonui­mus. Caeterum maior numerus minorem frangere in mi­nutias potest. Et, ut scias: quonam modo ea sectio fiat: quot (que) et quales partes faciat: illud obserua: ut minorem numerum diuidendum supra breuem lineam ductam, nu­meratorem statuas: maiorem uero, qui diuisor est: deno­minatorē lineae subijcias. Sic tot enascentur partes: quot diuidendus, qui numerator est: unitates capit. tales autē erunt: quales denominator, qui diuisor est: demonstra­bit. Quae continuo ad minimam sui nomenclaturam re­dactae [Page] manifestabunt: quot et quales partes prodeant: quando maior numerus in minutias diuidit minorem. exemplum. si per. 30. secare. 15. uelimus: fiunt 15/30. quę ad minimā nomenclaturam redactae faciunt ½. Itidem si per. 40. partiri cupiamus. 15. sectio facit 15/40. quę sunt ⅜. Similiter, si per. 13. secare uelimus. 7. prodeunt 7/13. Mi­nor numerus supra lineam numerator efficitur: ꝙ in mi­nutijs is locus sit numeri diuidendi. Maior uero numerus sub linea denominator fit: ꝙ eum locum in minutijs diui­sor obtineat. Et quemadmodū si numerator maior esset: denominator minor eum secans proferret integra: sic e cō ­uerso, quando denominator numeratore maior est: enas­cuntur minutiae: quibus tantum deest ad integrum com­ponendum: quanto numerator denominatore est minor. Ita numerus minor diuidi per maiorem duobus modis potest. Vel quando res a minore numero numeratae du­cuntur in species sub se contentas: ut numerus productus maioris sectionem ferat. ueluti si unus aureus, inter qua­tuor uiros diuidendus, multiplicetur in minutiorem pecu­niam: ut in quatuor partes distribui possit. Vel quando numerus maior minorem in minutias secat: id quod fieri potest eo modo, quo iam diximus.

Haec (quam) (quam) attinent ad sectionem integrorum: quia tamen huiusmodi partitio producit minutias: de quibus ibi prae­postere fuisset dicendum: in hunc locum potius relegan­da fuerunt.

DE RADICVM INVESTIGATIO­NE IN MINVTIIS.

QVADRATI et cubi lateris inuestigatio eodem modo fit in minutijs: quo in integris fieri solet: nisi ꝙ geminandus est labor: cum tam in numeratore (quam) in denominatore radix sit quaerenda. Latus autem in nu­meratore inuentum numeratoris erit radix. quod uero ex denominatore eruetur: denominatoris radix habebitur. inter quae linea media secanda est. Exemplum de latere minutiarum quadrato. Si de 25/16 radicem cupis eruere: nu­meratoris radicem inuenies. 5. denominatoris. 4. Sic li­nea distinguente, fiunt 5/4. Similiter de 46/94 radix quadra­ta capit 6/9. et reliquę supersunt 10/13. Radix uero cubica ea­rundem minutiarum habet ¾. et restant 19/30.

DE RADICIBVS PROPIVS INVE­niendis in numeris ne (que) qua­dratis ne (que) cubis.

VBI IN numero, qui ne (que) quadratus est: ne (que) cu­bus: radix est inuenta: semper aliquid erit reliquū: siue in prima inuestigatione id eueniat: siue in ulteriore: de qua iam dicemus. Nam si nihil restaret: is numerus quadratus aut cubus esset. Nonnun (quam) autem in amplo numero reliquum ipsum ingens erit. Prima nam (que) inue­stigatio radicem deprehendit maximi numeri quadrati, aut cubi in his contenti. inter quem et numerum illum, [Page] qui ne (que) quadratus neque cubus proponitur: ipsum reli­quum differentiam manifestat. Quocirca in eiusmodi nu­meris ueram radicem assequi nun (quam) licet: tam et si propius multo, (quam) in prima inuestigatione factum est: accedi po­test: ut scias: quot partes cuiusuis denominationis super­sint. Id quod in quadratis fiet ad hunc modum.

POST primam in integris radicis exquisitionem, in qua reliquum superest: numerum illum non quadratum, cuius in integris radix inuenta est: per denominatorē cu­iuscū (que) partis, quā optas: multiplica. Deinde per eūdem denominatorē iterū multiplica numerū productū. Quod cū factū erit: radicem numeri per secundā multiplicatio­nem producti, exquire. Haec nam (que) radix secunda cun­ctas illius denominationis partes in numeri primo pro­positi radice cōtentas demonstrabit. At (que) ideo si per par­tium denominatorem radicem illam secundam seces: nu­merus sectionis proferet primae radicis integra, et praeter­ea etiam partes aliquot illius denominationis. Caeterum aliquot minutiae semper restabunt: quae minus (quam) unam partem faciant: ut ad integrum formandum partes illae nun (quam) deduci queant.

VERBI gratia, si scire libet: quę sit radix numeri octo­narij. hanc esse. 2. deprehendes. et quatuor erunt reli­qua. Iam si scire uelis: quot quartae unius integri super­sint in radice. Primum. 8. per quatuor multiplica: et pro­deunt triginta duo. Iterum triginta duo in quatuor du­cito: et producentur. 128. Huius secundo producti ra­dicem perscrutans comperies eam. 11. totidem namque [Page] quartae sunt in octonarij numeri radice: hoc est, duo in­tegra, et tres quartae, praeter septem in minutijs reliqua: quae quartam explere nequeunt. Ita (que) ultra primam in­uestigatigationem, quae. 2. integra in radice protulit: se­cunda tres pręterea quartas eruens propius accessit.

QVOD SI etiamnum partium particulas inuestigare pergens scire uelis: quot quartae unius partis quartae, ul­tra duo integra et tres quartas supersint: ad eundem mo­dum, sicut de integrorum partibus exquirendis iam di­ctum est: numerum, cuius radicem secundo indagasti: semel in denominatorem particulae: et iterum in produ­ctum ducere debes: atque in numero secundo producto radicem inuestigare. quae, post (quam) inuenta erit: cuntas il­lius denominationis partium particulas in numeri primo propositi radice contentas demonstrabit. Illam autem radicem si per denominatorem particularum seces: nume­rus sectionis partes integrorum demōstrabit. et id, quod erit reliquum: partium particulas.

VERBI gratia. 128. cuius numeri in superiori exem­plo secundo producti radicē inuestigauimus per quatuor multiplicemus: inde nascentur. 512. Postea iterum du­camus quatuor in. 512. ita ꝓducentur. 2048. huius nu­meri radicem quęrentes deprehendemus eam esse. 45. et supersunt. 23. Igitur. 45. quartę unius partis quartae in octonarij radice erunt: quas si diuidamus per quatuor nu­merus partitionis mōstrabit. 11. et unum erit reliquum. Qua ratione comperiemus in octonarij radice undecim partes quartas, nempe duo integra et tres quartas, atque [Page] insuper unam quartam unius partis quartae contineri.

Ꝙ si cui est animus amplius progredi: poterit ad eun­dem modum etiam parcicularū particulas ulteriores per­scrutari.

IN CVBIS quo (que) numeris ad eundem omnino mo­dum omnia fiant. nisi ꝙ numerum illum non cubum cu­ius radix in integris inuenta est: non solum per denomi­natorem partis, quamcum (que) uoles: multiplicare oportet: et iterum in productum; sed (ut ratio cuborum postulat) tertio denominatorem illum in numerum ex secunda mul tiplicatione productum ducere debemus. Quo fiet: ut numeri tertio producti radix inuestigata cunctas illius denominationis partes in primi cubi radice cōtentas ma­nifestet. Itidem etiam progredilicet ad partium particu­las in his inuestigandas.

ALIO MODO PER COMPENDIVM ID fieri poterit: ad hunc modum: ut denominatorem parti­um, quas exquiris: semel in reliquum, quod post pri­mam in integris radicis exquisitionem restabit: at (que) ite­rum in productum: ducas. Postea per eundem parti­um denominatorem radicem ipsam in integris inuentam multiplica: numerumque illum partium radicis sic pro­ductum duplica. Deinde numerum, qui ex denomina­tionis partium semel in radicis reliquum atque iterum in productum multiplicatione productus est: sic diuidere per numerū ex duplicatione generatum debes: ut tamen tantum supersit: quantum numerus sectionis postea in se ipsum ductus, propemodum delere subductus possit.

[Page] Nam in his numeris non quadratis semper (uti diximus) aliquot minutiae restabunt. Ita numerus sectionis radi­cis partes ex reliquo nascentes monstrabit. Verbi gratia. Si ex octonario radicem quaeris: inuenies eam. 2. et su­persunt quatuor. Iam si scire cupis: quot quartae sint in reliquo. multiplica quatuor reliquum per quatuor deno­minatorem partium: quas quaeris. et prodeunt sedecim.

Iterum denominator quatuor in sedecim ductus creat sexaginta quatuor. Deinde radicem. 2. multiplica in de­nominatorem partium quatuor, et fient. 8. duplica pro­ductum. 8. et procreantur sedecim. Iam uero si diuidas sexaginta quatuor per sedecim: quater in illis diuisor ha­beri potest: sed tunc nihil restabit: quod numerus parti­tionis postea in se ductus deleat. quare si semel minus, (quam) alioqui fieri posset: diuisorem sedecim tollamus: ter se­decim facient quadraginta octo: et supererunt adhuc se­decim: a quibus si numerum sectionis. 3. in se ductum, qui facit nouem: subducas: restant septem. sic numerus sectionis ostendit, ex reliquo radicis fieri tres quartas, prę­ter minutias restantes. 7.

AT SI IN hoc exemplo partium particulas inuesti­gare perges, ueluti quartarum quartas: denominatorem particularum, quas quaeris: nempe quatuor semel in reli­quum post secūdam radicem partium inuentam restans, uidelicet septem ducito. inde (que) fient uiginti octo. Iterum etiam eundem denominatorem quatuor in productum uiginti octo multiplicato. et surgent. 112. Postea earun­dem particularum denominatorem quatuor ducere opor­tet [Page] in omnes partes totius radicis hactenus inuentas: quę sunt undecim. nam duo integra, quę prodierunt ex prima inuestigatione: et tres quartae, quae ex secunda: faciunt undecim quartas. quo fiet: ut quatuor in undecim ducta procreent quadragintaquatuor. quem numerum produ­ctum si duplices: nascentur octoginta octo. Per ea autē si sic diuidas. 112. ut numerus sectiōis postea in se ipsum ductus, quoad fieri potest: totum diuidendum auferat: unitas diuisor sufficiet. ita octoginta octo semel a. 112. extracta, relinquunt uiginti quatuor. et postea unitas in se ducta adhuc unum creat: quod auferendum est a. 24. et restabunt uiginti tria. Ita numerus sectionis unā quar­tam unius quartae ex secundo reliquo prodire manifestat. et supersunt. 23. Hac ratione etiam ulteriores particula­rum particulas, quatenus progredi uelis: consectari licet.

RATIONEM uero, cur quadratum per denomina­torem partium bis sit multiplicandum: Socrates apud Platonem Menonis puero reddit. Cuius sententiam pau­cis explicabo. Quadratum lineae bipedalis quatuor erit pedum. nam cum figura duos pedes longa et unum alta duorum sit pedum:

fit ut figura duos pedes longa et itidem duos alta quatuor pedum existat. Quadratum autem duplae longitudinis se­decim

capiet pedes. quoniā cū figura longitudine dupla et sola duorum pedum altitudine pedes octo complectatur:

figura, quae longitudinis duplę, et altitudinis etiam duplae erit: sedecim pedes capiet.

[Page] SIMILITER IN OMNIBVS ALIIS QVA­dratis multiplicandis opus est duplici multiplicatione. quoniam prima multiplicatio solum auget in longitudi­nem. at secunda, quae fit in productum: altitudini tan­tundem adijcit. Exempli causa. Esto quadratum pro­positū quatuor, si libet inquirere quadratum: cuius quod­que latus duplum sit ad quodque latus propositi quadra­ti. duplica quadratum propositum. inde octo nascun­tur: et tantum figura creuit in longitudinem. Longitudo enim dupla euasit: sed altitudo inuariata manet. Igitur quadratum non est. Quare si iterum duplices productū: inde fient sedecim. atque ita tantundem etiam in altitu­tudinem crescet: cum sit dupla ad altitudinem priorem.

Quod autem SOCRATES in lineis puero sub oculis demonstrauit: id EVCLIDES in numeris, qui for­mari possunt in modum quadratorum: doctis ratione patefacit: cum inquit. Si fuerint duo numeri, ambo qua­drati: erit proportio alterius ad alterum, tan (quam) sui lateris ad latus illius, proportio duplicata. Si uero ambo fue­rint cubi: erit proportio alterius ad alterum, tan (quam) sui la­teris ad latus illius, proportio triplicata.

Ꝙ SI COMPENDII DATI RATIONEM quaeris: id ita habere sub oculis uidere licebit, hoc exem­plo. Finge numerum propositum esse tria: huius radicem cōstat esse unum, et supersunt duo. Iam si scire libet: quot quartae unius integri ad illa duo respondere debeant: duc denominatorem quatuor in tria: et fient duodecim. Ite­rum [Page] multiplica quatuor in productum duodecim: inde nascentur quadraginta octo. Huius numeri figuram quadratā efforma, hoc modo.

IN HAC figura sedecim respondent

ad maximum quadratum, sub primo numero. 3. nam ex ductu quatuor in unum. et iterum in productum fient se­decim. Ita (que) hoc quadratum resecabis: cuius radix nota 4. (quia nascitur ex ductu radicis integrorum in denomi­natorem partium) ad radicem unum in integris prius in­uentam respondet. Quod superest autem: respondet ad reliqum numeri primo propositi. quippe quod nascitur ex ductu denominatoris partium quatuor in reliquum 2. et iterum in productum octo ex quo procreantur tri­ginta duo. Ex illis autem triginta duobus, quae ultra qua­dratum, quod est sedecim: supersunt duodecim illa, quae gnomonem extremum non absoluūt (Voco autem in nu­meris gnomonem, id: quod constat ex duobus numero­rum lateribus angulum rectum facientibus, instar gno­monis geometrici) ueluti reliquum maximi quadrati tri­ginta sex sub quadragintaocto resecanda sunt. Ita restant gnomones duo: qui cum quadrato sedecim quod resecui­mus: conficiunt maximum quadratum. 36. sub. 48. cō ­tentum: adijciunt (que) radici superiori quatuor: quę ad ra­dicem unum in integris inuentam respondet: duas unita­tes. uti in figura liquet. et reliquū huius quadrati triginta sex, quod est. 12. adiecisset tertiam: si modo ad gnomo­nem absoluendum, unum insuper accessisset. Ita (que) ante [Page] oculos cernere licet: gnomonem quem (que) quadrato reseca­to applicatum, in se complecti longitudinem et altitudi­nem ipsius quadrati sedecim, hoc est duplum radicis qua­tuor: et insuper in angulo restare quadratum numeri gno­monū. is est in hoc exēplo, binarius. sunt enim duo gno­mones. Quare diuisio numeri procreati ex ductu deno­minatoris in reliquum et iterum in productum, facta per duplum radicis, sic tamen, ut numerus sectionis in se du­ctus subduci possit a reliquo partitionis: ostendet: quot sint gnomones. Quo fiet: ut liqueat: quot partes ad reliquum respondentes, adden­dae sint radici prius in integris in­uentae. nam ei gnomo quisque unitatē in partibus addit.

AD EXERCENDOS IVVENES PLVRI­mum iuuabit nonnullas interrogationes subnecte­re: per quas ea, quae de minutiarum inter se comparata magnitudine dinoscendo, deque integrorum et minutia­rum additione, subductione, multiplicatione, et diuisio­ne hactenus dicta sunt: melius intelligantur. Sunt in his quo (que) quędam: quę ad enarrationem partium quotarum in numeris et in minutijs, at (que) etiam ad partium aliarum in alias transformationem faciunt. Ea autem rudimen­ta ex Arithmetica Lucae de Burgo, cuius nomen in ea ar­te non parum neque abs re celebratur: excerpsimus. quae sane ad ingenia studio sorum in numeris uegetanda mag­nopere conducent.

QVOMODO, PROPOSITIS BI­nis minutijs, scias: utrę sunt maiores.

SI QVINQVE sextę conferantur cum tribus quar­tis: utrae maiores erunt? cōtinuo scies: si utris (que) mi­nutijs iuxta alteras notatis, numeratorum in denomina­tores, denominatorum (que) in numeratores, obliqua multi­plicatio fiat: et uterque numerus productus supra suas minutias locetur. Quippe utercum (que) illorum maior erit: maiores suas minutias ostendet. Hac ratione ⅚ maiores sunt: (quam) ¾. Nam supra ⅚. 20 erunt. supra ¾. 18.

At ubi integra et minutiae cum alijs integris et minutijs conferentur: si integra erunt paria: de minutijs solis iudi­candum erit: uti supra dictum est. Ꝙ si integra altera al­teris imparia occurrant: quae maiora sunt: uincunt altera quantumuis magnas minutias adiunctas habentia. [...]

INTERROGATIONES PER additionem soluendae.

AQVO NVMERO subduci debent. 13. ut restent 12? Item a quo numero subtrahentur. 3 ½. ut relin­quantur. [Page] 4 ⅓. Huius generis interrogationes, siue de in­tegris, siue de minutijs quaeras: per additionem soluun­tur. Nam si. 12. ad. 13. addas: surgent. 25. quae summa est: unde illa. 13. eximi debent: ut restent. 12. Similiter in minutijs, adde. 3 ½ ad. 4 ⅓. et fient. 7 ⅚. unde sub­duci debēt illa. 3 ½. ut. 4 ⅓ relinquantur.

INTERROGATIONES PER multiplicationem soluendae.

QVIS numerus in. 5. diuisus erat: quando in nu­mero sectionis. 17. habentur? Item quis numerus in. 4 1/7 diuisus erat: quādo numerus sectionis profert. 2 ⅛? Multiplicatio rem aperiet. Nam si. 5. in. 17. ducas: fient 85. qui numerus in. 5. sectus educit in numero sectionis 17. Itidem in minutijs. 4 1/7 ducta in. 2 ⅛, faciēt. 8 45/56. Is numerus in. 4 1/7 sectus in numero partitiōis reddit. 2 ⅛.

QVOMODO PARTIVM PAR­ticulae sunt exquirendae.

QVOMODO exquiras ⅔ de ⅘. Aut 3/7 de 8/9. Hoc perinde est: acsi quęras. quę sunt ⅔ quatuor quin­tarum. Aut 3/7 octo nonarum. Igitur huiusmodi quęsita, quae de minutiarum minutijs occurrunt: per multiplica­tionem minutiarum alterarum per alteras expediuntur. Nā ⅔ de ⅘ sunt 8/15. Item 3/7 de 8/9 sunt 24/63. quae ad minimā nomenclaturam redactae faciunt 8/21.

QVAE sunt ¾ de. 2 ½? Interrogatio haec, nisi ꝙ in­tegra minutijs sunt admixta: pręcedēti similis est. [Page] Quocirca per multiplicationem simili modo soluitur. Nam ¾ de. 2 ½ sunt. 1 ⅞.

REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVARTVM IGNOTVM COMMONSTRAN­TIBVS.

PRAECIPVA OMNIVM REGVLA EST: quae de tribus notis quartum ignotum in noticiam educentibus, ab Arithmeticis traditur. Vulgus regulam auream uocat: ꝙ haec caeteris Arithmeticae regulis: uelut caeteris metallis aurum: praestet. quam, ut clarius expli­cemus: pauca quaedam de proportione, quatenus ad nu­meros attinet: pręfari omnino necesse est. sine quibus hęc regula non facile intelligi potest.

PROPORTIO EST DVORVM NVMERO­rum certa alterius ad alterum comparatio, at (que) habitudo. Propositis nam (que) quibusuis duobus numeris, alter altero uel maior est: uel aequalis: uel minor. Illa ita (que) ratio, qua sese, uel aequaliter, quando existunt aequales: mutuo re­spiciunt: uel inaequaliter, quando alter altero maior est: aut minor: proportio uocatur. quae nihil aliud est: (quam) eo­rum inter se comparatio. Habitudo autem certa est: qua­si diceres: notus quidam et diffinitus alterius numeri ad alterum respectus.

IPSARVM uero proportionū inter se similitudo pro­portionalitas nuncupatur. Eius autem duae sunt species. altera continua. altera separata.

CONTINVA proportionalitas inter numeros est: quando qua proportione primus se habet ad secundum: [Page] eadem, secundus se habet ad tertium. in qua specie unus at (que) idem numerus medius ita duobus circa se positis nu­meris communicat: ut ad praecedentem comparatus pri­mae proportionis sit terminus: ad sequentem uero colla­tus, secundę sit initium: ueluti pręcedentis numeri comes quidam, et sequentis dux. Haec autem species in paucio­ribus numeris (quam) in tribus inueniri non potest. (quam) (quam) etiam in illis numerus medius, dum bis repetitur: uicem subit duorum. Sint nobis pro exemplo hi tres numeri. unum. duo. quatuor. in his enim proportionum est aequalitas. Nam qua proportione unum se habet ad duo: eadem, se habent duo ad quatuor. quippe unum ad duo compara­tum subduplum est. itidem (que) duo ad quatuor. Similis e conuerso est inter eos habitudo: quando in utraque pro­portione numerum maiorem ad suum minorem compa­ramus. Nam quemadmodum quatuor ad duo duplam habent proportionem: sic duo ad unum dupla sunt.

SEPARATA uero proportionalitas est: quam ean­dem disiunctam appellare licet: cum quatuor numerorū, qua proportione primus se habet ad secundum: eadem, tertius se habet ad quartū. In qua specie pręcedentis pro­portionis terminus separatus est a sequentis initio. Haec autem species in paucioribus numeris (quam) in quatuor inue­niri nequit. in quibus proportionū deprehenditur aequa­litas: siue minorem utrius (que) proportionis numerum cum suo ipsius maiore compares: siue e conuerso. Puta si quis hos quatuor numeros inter se conferre uelit: nempe duo ad quatuor. et tria ad sex. Quemadmodum enim duo ad quatuor cōparata subdupla sunt: sic sunt tria ad sex colla­ta. [Page] Similiter e conuerso, quemadmodum quatuor ad duo collata dupla sunt: sic sunt sex ad tria cōparata. Amplius in hac specie permutatim fit collatio. Nam qua propor­tione primus se habet ad tertium: eadem, secundus se ha­bet ad quartum. At (que) ordine etiam cōuerso, qua propor­tione quartus se habet ad secundum: eadem, tertius se ha­bet ad primum. Quo fit: ut praecedentis proportionis minor numerus cum sequentis minore comparatus ean­dem habitudinem habeat: quam sequentis maior collatus cum pręcedentis maiore. Veluti in exemplo praedicto. si­cut primus numerus binarius ad tertium ternarium colla­tus subsesquialteram proportionem habet: sic secundus numerus quaternarius ad quartū senarium eadem est ha­bitudine. Itidem ordine conuerso, quemadmodum quar­tus numerus senarius ad secūdum quaternariū compara­tus sesquialteram habet proportionem: sic tertius terna­rius ad primum binarium eandem habitudinem habet. Ita (que) numeri huiusmodi: quorum una est proportio: pro­portionales uocantur. De quibus ab EVCLIDE cum in Geometria tum in Arithmetica longe principe regula huiusmodi traditur.

SI FVERINT QVATVOR NVMERI PRO­portionales: quod ex ductu primi in ultimū producetur: aequale comperietur ei: quod ex secundi in tertium ductu natū erit. At (que) itidem, quod ex secundi in tertium ductu procreabitur: aequale erit ei: quod prodibit ex primi in ul­timum ductu. Dici non potest: quantam inuestiganti­bus lucem ad exquirenda incognita praebeat haec regula. cuius ea uirtus est: ut e quatuor numeris ꝓportionalibus [Page] si quis ignotus fuerit: caeteri, qui noti sunt: latitantem il­lum prodāt. At (que) ideo si tribus numeris propositis, quis­piam inuestigare uelit: quis sit quartus: ad quem tertius ea proportione se habeat: qua primus ad secūdum: mul­tiplicet secundum in tertium: et numerum procreatum di­uidat per primum. quod post (quam) factum erit: sectionis nu­merus quartum demonstrabit. Exempli gratia▪ si quis sci­re cupit: quis sit ille numerus: ad quem tria ea proportio­ne se habeant: qua duo ad quatuor? tria in quatuor ducat: et enascentur duodecim. quae per duo diuidat: et sex pro­dibunt. Ratio huius rei in promptu est. nam secūdi in ter­tium multiplicatio producit idem: quod procrearetur: si primus in quartum ignotū multiplicaretur. Igitur ex se­cūdi in tertium ductu, quartum uelut in magna turba la­titantem habemus: sed quis sit, adhuc ignoramus. Diui­sio autem per primū facta reliquam, qua tectus est: mul­titudinem ab eo segregat: solum (que) relinquit: at (que) a caete­ris destitutum e latebris in lucem profert. Nam quando­cū (que) duo numeri inter se multiplicātur: si productus nu­merus per alterum diuidatur: partitionis numerus alterū continebit. Veluti si duo in tria ducas: fient sex. quae si per duo diuidas: numerus partitionis tria continebit. si per tria: duo. Ita (que) ad hunc modum quartus numerus igno­ratus exquiritur.

SIMILITER SI TRES NVMERI CON­tinue proportionales fuerint: quod ex ductu primi in ter­tium producetur: aequale deprehendetur ei: quod ex se­cundi in se ipsum ductu natum erit. Et quod ex secundi in seipsum ductu generabitur: ęquale erit ei: quod nascetur [Page] ex primi in tertium ductu. ad eundem (que) modum tertius numerus ignotus exquiritur: dum secundus numerus in seipsum ducitur: et numerus productus diuiditur per pri­mum: nam sectionis numerus tertium monstrabit. puta si quis duo ad quatuor comparans scire cupit: quis sit ter­tius numerus: ad quem quatuor ea proportione se habe­ant: qua duo ad quatuor? medium numerum, quatuor in se ipsum ducat: et sexdecim creabit. quę per duo diuidat: qui primus est numerus: et tertius numerus octonarius prodibit. Eadem nam (que) est in utra (que) specie, et ratio, et re­gula, numerum ignotū exquirendi. quod ad plurima in­uestiganda nosse iuuabit.

HAS proprietates numeri proportionales, vbicum (que) oceurrunt, semper secum deferunt: non solum, quando per se consyderantur: uerumetiam cum ad res quaslibet numerandas applicantur: ut eadem ex accidenti in rebus numeratis: quae in numeris ipsis: inuicem sit habitudo. Quo fit: ut innumera, quae uulgus imperscrutabilia ex­istimat: ex proportionum similitudine ueniant in notitiā: miraculum (que) rudibus explicata praebeant.

ETVT a facilibus exemplis primū ordiamur. Quando tritici modij tres triginta nūmis uęneunt: inuestigemus: octo modiorū tritici quantū erit preciū? Hic palam uide­mus duas esse proportiones. unā de tribus tritici modijs ad octo tritici modios. Alteram de triginta nummis, tri­um modiorū precio cognito, ad octo modiorū preciū ad­huc ignoratū: quod eadē habitudine ad triginta nūmos respondere debet: qua octo modij ad tres modios se ha­bent. In omnibus autem proportionibus in ordinem de­signandis, [Page] a sinistra incipientes tendimus in dextrā: quē ­admodū in scribendo Graeci, Latini, et omnes pene gen­tes faciunt. Non autem sicut in numeris per notas signā ­dis Chaldeos sequimur a dextra ordientes. Ita (que) in hoc exemplo. tres tritici modij, qui prioris sunt proportionis initium: a sinistra primum locum occupare debent. Octo autem tritici modij, qui prioris sunt proportionis finis: lo­cum secundum dextram uersus. Triginta autem nummi, qui posterioris proportionis initium existunt: tertium lo­cum a dextra teneant: oportet. [...]

Quartus autem locus adhuc uacans expectat: ut simili fine proportio posterior claudatur: precium (que) in eo repo­natur: quod ita ad triginta nummos respondeat: quem­admodū ad tres modios modij octo. Id autem per regulā supra enarratam facile exquiras: si tertium numerum per secundum multiplices: numerum (que) procreatum diuidas per primum. Igitur triginta, quae sunt in tertio loco: mul­tiplicata per octo, quae sunt in secundo: creant ducenta et quadraginta. quae, si per tria diuidantur: numerus secti­onis octuaginta profert. qui numerus precium octo mo­diorum indicat, et quarto loco repositus proportionem posteriorem complet. Sic quando tritici tres modij tri­ginta nummis uęneunt: octo constabunt octuaginta nū ­mis.

AD HVIVS EXEMPLI SIMILITVDI­nem, quandocum (que) in rebus numeratis ratione numero­rum duae proportiones habentur: quarum alterius utrū (que) extremum tam initium, a quo incipit: (quam) terminū, in quo [Page] desinit: cognoscimus. Alterius autem primum. extremū, quod eius initium est: scimus: sed eius terminum adhuc ignoramus: prioris initium proportionis: cuius ambo ex­trema nota sunt: a sinistra primo loco ponamus. eius au­tem terminum secundo loco dextram uersus. posterioris uero proportionis initium, quod est notum: tertio loco notemus. et tum demum eius terminum ad prioris pro­portionis similitudinem initio suo responsurum, secundū regulam paulo ante monstratam, inuestigeinus. Initium proportionis (ne quis ambigat) appello eum rerum nu­merum: qui prior in proportione pręcedit: siue maior ex­titerit: siue minor. terminum uero eum: qui sequitur: siue minor, siue maior fuerit. Ita (que) si posterioris proportionis initium: quod est notum: numerus minor fuerit: (quam) quar­tus inuestigandus: minor etiam numerus in priori pro­portione pręcedet. At si posterioris proportionis initium nobis notum numerus maior existat: maior itidem in pri­ori antecedet. Similiter si maior rerum numerus in priori proportione praecedit: maior etiam in posteriori antece­dat: necesse est. Sin in priori pręcedat minor: itidem in po­steriori fiet. Alioqui proportiones similes non erunt.

ILLVD autem diligenter obseruandum est: ut (quam)uis prior proportio res unius speciei, posterior autem res al­terius capiat: primus tamen a sinistra situs numerus, qui prioris proportionis est initium: et secundus a dextra po­situs, qui finem eius complet: res eiusdem speciei numera­re debeant. Similiter (que) tertius numerus notus, qui pro­portioni posteriori dat initium: et quartus inuestigādus, qui finem eius inuentus claudet: in eiusdem speciei rebus [Page] numerandis consentiant. quae res ad formādas recte pro­portionum similitudines plurimum iuuabit. Veluti in ex­emplo iam dato. in quo prior proportio est de tribus mo­dijs ad octo modios. posterior autem de triginta nūmis ad precium octo modiorum inuestigandum. Id (que) uerum erit: ut primus et secundus numerus eiusdē speciei res nu­merent: et similiter tertius et quartus inter se respondeāt, non solum in recta proportionum similitudine: quando sicut primus comparatur ad secundū: sic tertius ad quar­tum: uerumetiam in similitudine proportionum conuer­sa. quando sicut secundus comparatur ad primū: sic quar­tus ad tertium. Cęterum si permutatim proportiones ue­lis comparare, nempe prioris initium ad initium posteri­oris: et terminum prioris ad posterioris tetminum: tunc primus et tertius numerus eiusdē speciei res numerabunt, et tertius et quartus itidem facient. veluti si in exēplo da­to, compares tres modios ad triginta nummos: et octo modios ad precium inuestigandum. Quem modum simi­litudinem proportionum fabricandi, tametsi sit difficilior: pleri (que) omnes qui supputare docent: magis nunc obser­uant. quippe qui faciliorem modum rectam proportionū similitudinem formandi ignorent. Et ad permutatam cō ­parationem sequendam, incitati uidentur a mercatorum more: qui omnia pecunia ęstimant: quaerunt (que) inter se: quanti merces quaelibet uendantur? quid ꝓ singulis: quid pro uniuersis sit soluendum? comparationem aliarum re­rum plurimum ad pecuniam, nonnun (quam) ipsarum inter ip­sas facientes. Verumtamen utramcum (que) uiam sequare: re­gula iam data respondebit. quae, siue recta, siue permuta­ta [Page] proportionum comparatio fiat: semper cum ea congru­et. Nobis autem uisum est iuuenum instituendorum gra­tia, in singulis sequentibus questionibus solum rectam proportionum comparationem, in qua quae (que) proportio ambo sua extrema eiusdem speciei habet: ut intellectu fa­ciliorem, et magis naturalem sequi. ne si utram (que) in singu­lis: quod nihil necesse est: insereremus: fastidium obori­retur legentibus. Quamobrem ante omnia multa cauti­one est opus: ne in rebus numeratis proportionum simi­litudo: quae ratione numerorum cōsyderatur: male sit cō ­cepta: neue pro similitudine dissimilitudo nos fallat. At post (quam) recta proportionum similitudo cogitatione depre­hensa est: caetera per datam regulam facile explicantur.

PORRO vulgus in communi sermone fere de nume­ro inuestigando primum quaerit. veluti si quispiam inter­roget. quanti constabunt tritici modij quatuor: quando centum uenduntur mille nummis? Hanc interrogationē consyderantes, in ea proportiones duas statim deprehen­demus. alteram inter centum modios et quatuor modios, habentem notum utrum (que) extremū. alteram inter mille nummos et quatuor modiorum precium adhuc ignora­tū. Igitur nihil respicientes ordinē quaerentis vulgi: quod semper quidlibet: ut in buccam uenerit. loquitur: nobiscū consyderemus proportionem illam inter centum modios et quatuor modios, quam uulgus cum altera confundit: ambo extrema nota habere: at (que) ideo alteri praeponendā esse. Alteram autem proportionem, de mille nummis ad precium adhuc ignoratum posteriorem fore debere: cu­ius initium notum, quia maior existit numerus: (quam) quar­tus [Page] inuestigandus: maior itidem numerus in priori pro­portione praecedet. quocirca primo loco maiorem prioris numerum, nempe centum notemus. eius autem minorem numerum, quatuor, loco secundo. tertio uero loco signe­mus posterioris: initium notum. uidelicet mille. [...]

Hac ratione proportiones in ordinem aptantes secundū datam regulam mille per quatuor multiplicemus, et pro­dibunt quatuor millia, quae per centū secta faciunt in nu­mero partitionis quadraginta, qui numerus est quaesitus.

IN HOC autē exemplo, si cui permutatā proportionū similitudinem sequi magis placet: sic eas cōparabit. Sicut centum modij se habent ad mille nūmos: sic quatuor mo­dij ad precium inuestigandū. vt tertio loco numerus me­dius ponatur: tertius (que) numerus in loco medio. tantilla enim differentia est inter rectam proportionū similitudi­nem, et permutatam. Verū tamen siue hanc siue illam cō ­parationē sequi libet: nihil respiciemus ad ordinem quae­rentis uulgi. Quin potius ad huius exempli formam alia tortuose quaesita ad rectam proportionū similitudinē co­gitando reduci possunt.

HIS DVOBVS exemplis in utra (que) proportione res uęnales praecesserunt: precium uero sequutūest: de quo fuit quaestio. Nunc exemplum petamus: ubi praecedat precium: quaestio autem de rerū uęnalium numero sequa­tur. Quando octuaginta nūmis tritici modij octo emun­tur: quot haberi possunt pro triginta nūmis? Hic manife­ste sunt duae proportiones. Altera de. 80. nūmis adnū ­mos. 30. Altera de octo modijs ad numerū modiorum [Page] inuestigandū. Et quia in posteriori proportione numerus modiorum notus maior est: (quam) is qui inuestigatur. preciū quod est maius octuaginta nūmorū in priore proportio­ne primū locū tenet. minor (que) nūmorū numerus secundū tertiū autem occupat octo modiorū numerus: qui est no­tus. Quaestio (que) fit de numero modiorum ignoto. Digestis igitur in ordinem numeris, ad hunc modum. [...]

triginta per octo multiplicentur: et surgent ducenta qua­draginta, quae si per octuaginta sint secta: numerus secti­onis tria continebit. sic quando nūmi octuaginta reddūt octo modios: triginta nūmi afferent modios tres. Ita si primū exemplum supra datum cum hoc conferas: tam il­lius proportionū loca, (quam) earū extrema ipsa, conuersa esse in hoc exemplo uidebis. qui illic quartus numerus erat: hic primus est. qui illic tertius: hic secundus. qui illic se­cundus: hic tertius. qui illic primus: hic quartus et po­stremus. quae (que) illic proportio erat prior: hic posterior re­peritur: ut facile cuiuis appareat res numeratas rationem numerorum etiam conuersorū sequi: nihil (que) referre: quae res numerentur: dummodo proportio illa cuius in rebus numeratis ambo extrema sunt nota: pręcedat: illa (que), cuius initium solum notū est: sequatur.

ATQVE IDEO SI QVIS EXPERIRI CV­pit: an in quarti numeri inuestigatione error sit admissus: hac ratione idfacile deprehend et: ut in proportionū com­paranda similitudine, ambarum sedes at (que) etiam extrema ipsa conuertat. ueluti in exemplo iam dato: quod omnia primo contraria habet. Vel si magis libet. sedes earū solas [Page] mutet: posteriorē (que) ex priori faciat; at (que) ex posterioi pri­orem. Quippe mutatis proportionū simul locis, at (que) ex­tremis: uel etiam locis solis: si nihil erratum erit: necesse est eorum numeros sedes mutatas sequi. quare si alij nu­meri in his inuenti fuerint: propter errorem calculi totum opus ab initio repetendum est. Mercatorum uulgus su­mens experimentum, nū quis error interuenerit: hane lo­corum in proportionibus mutationem, regulam de tribus conuersam, uocat: cum una tantum sit regula: secundum quam cui (que) licet: quam uelit quaestionem, explicandam proponere.

Ꝙ SI QVANDO eueniat: ut rerum numerus ex se­cundi in tertium ductu ꝓueniens numero diuisore sit mi­nor: sectionem (que) non ferat: tū numerus ille minor in nu­merum partium in se contentarū est multiplicandus: ut diuisoris sectionem maior per incrementū factus recipere sufficiat. Consyderandum (que) est: quale rerum genus nu­merus ille numerat. puta an argenti libras, aut aureos, qui in nūmorum: quibus aestimantur: numerum multiplica­ri possunt. an maiora pondera: quae in numerum librarū, aut unciarum duci. an dolia uini, aut olei: quę in anpho­ratum, congiorum, aut sextariorum numerum multipli­cari. An iugera: quae in perticarum aut pedum numerum ducta augeri possunt. vel quic (quam) aliud simile. Exemplum huius rei afferamus. Centum oues emptae sunt aureis ui­ginti: quanti constiterunt tres? Proportionibus recte in ordinem redactis ad hunc modum. [...]

Secundus numerus ternarius in tertium uiginti aureorū [Page] ductus creabit sexaginta. qui numerus, quoniam per cen­tum diuidi nequit: soluamus aureos illos in uiliorem pe­cuniam. et quoniam singuli aurei (de angelis nūcloquor) aestimantur octuaginta nūmis: in illum nūmorū numerū aureos uiginti ducamus. et prodibunt quatuor millia et octingenta. qui numerus maior est diuisore centenario: per quem sectus in numero partitionis prodire faciet qua­draginta octo. Sic quando. 100. oues emuntur. 20. au­reis. 3. constabunt. 48. nūmis. Nec quēpiam illud mo­neat: ꝙ in secunda proportione finis initio, id est, quartus locus tertio non uideatur respondere: ꝙ hic nūmos, ille aureos habeat: cum uter (que) locus idem rerum genus, nem­pe pecuniam contineat. licet pecunia maior in minutiorē, uelut in partes suas ideo soluta sit: ut diuisoris sectionem numerus diuidendus caperet.

VBI AVTEM ex diuisione reliquum quidpiam erit: quod per diuisorem amplius secari non possit: similiter re­liqui numeratorem in partes suas notas: si quas huiusmo­di habeat: alio qui in partes pro arbitrio denominandas, multiplicetur: ut diuisoris, qui denominator est: sectionē maius factū pati possit. quae cum peracta erit: numerus partitionis manifestabit: pro quot partibus, uel notis, uel denominandis ipsum reliquū ualeat. quemadmodū in su­periori libro de reliqui estimatione facienda diximus. Ex­empli gratia. Si nouem ulnę panni (ut mercatorijs uoca­bulis utamur) constiterunt tribus aureis: quanti emptiest una? Proportionibus in ordinē dispositis: ut nouem pri­mo loco sint. unum secundo. tria tertio. [...]

[Page] quia unitas nullum numerū multiplicat: solum superest: ut tertius trium aureorum locus diuidatur per primū nu­merū, nouem. quod quoniam fieri nequit: redigendi sunt aurei ad uiliorem pecuniā, aureus (que) puta ęstimetur. 80. nūmis. nam sic ęstimantur Angeli. numerus (que) aureorum ductus in numerū nūmorum procreabit. 240. quę cum per nouē secta sint numerus partitionis proferet. 26. nū ­mos. et reliquae erunt 6/9. et quia nūmi partes notas ha­bent quadrantes: quorum quatuor pro nūmo ualent. sex in quatuor ducamus. et fient. 24. iterum ea secta per no­uem in numero partitionis educunt duo: et adhuc restāt 6/9 unius quadrantis. Et quia quadrans minores partes apud nos notas non habet: per partes quaslibet denomi­nandas, puta quatuor illum ęstimemus. iterū (que) ducamus sex, reliqui numeratorem in quatuor. et denuo fient. 24. quae rursus diuisa per nouem in numero sectionis duo fa­cient. et adhuc supersunt 6/9 unius quartae partis unius quadrantis. quas si cuipiā amplius minutias sectarilibet: potest ultra diuidere in partes: quascum (que) uelit. Igitur quando nouem vlnae tribus aureis emptae sunt: vna ulna constitit. 26. nūmis, duobus quadrantibus, et duabus quartis unius quadrantis, ac sexnonis unius quartae par­tis unius quadrantis. 6/9 reductae faciunt ⅔.

ILLVD HOC loco admonendum esse duximus: quo­niam unitas quemuis numerū multiplicans, aut diuidens [Page] nihil eum omnino uel auget, uel diminuit: quandocū (que) proportionibus in ordinem: secundum ꝙ ante dictū est: digestis, ipsa unitas primū locum tenebit: nulla diuisione opus est. Quemadmodum si ea secundum aut tertium lo­cum occupabit: secundi in tertium ductus non est neces­sarius. immo tunc sufficiet: si maior alteruter eorū nume­rus per primū diuidatur. Exemplum, quando unitas pri­mū occupat locum. Quando piperis libra sexdecim num­mis constat: centum librarum quantū erit preciū? Dispo­sitis in ordinem proportionum numeris, [...]

Tertij numeri precium indicantis in secundū centenariū multiplicatio abs (que) ulla diuisione rem totam expedit. Ex­emplum, quando unitas secundum locūtenet. Quando mille aurei sex captiuos redimunt: quanti ad eam rationē redimi potest unus? numeris sic signatis. [...]

Post tertij numeri millenarij solam diuisionem per primū senariū factam res est expedita. Similiter etiam fiat: si ter­tium locum unitas tenebit.

LVCRI ET DAMNI REGVLAE.

PRIVSQ VAM ad alias questiones progredimur: de lucro et damno quasdam regulas, operaeprecium pu­tamus adiungere. Et ut de lucro primum dicamus. Mer­catores ad hunc modum secum quaerere solent. Si caerae pondo centena aureis. 12. quispiam emat: at (que) ea deinde aureis. 14. uendat: quantum lucri ex centenis accrescet? Huiusmodi quaesita sic explicantur. Principio subducere oportet precium, quo res empta est: a precio, quo postea uenditur. et numerus restans, qui differentiam vtriusque precij continet: lucrum indicabit: quod ex sorte illa. 12. obueniet. videlicet. 2. deinde si. 12. quae sunt in sorte: pa­riunt in lucrum. 2. quantum lucri. 100. reddent: per re­gulam de tribus notis quartū ignotū proferentibus pro­nū est excutere. ducentes enim. 2. in. 100. procreabimus 200. quę per. 12. secantes relinquemus in sectionis nume­ro. 16 ⅔. tantū lucri ex centenis accrescet. Nam quae pro­portio est inter sortem. 12. et sortē. 100. eadem esse debet inter lucrum, quod ex. 12. creuit: et lucrū, quod ex. 100. obuenire debet. Et permutatim. quę ꝓportio est inter sor­tem. 12. et lucrū. 2. eadē inter sortē. 100. et eius lucrū, quod inuestigamus: esse debet. Similiter de denis, vicenis, tri­cenis, quadragenis, quinquagenis, vel millenis, quęri pos­set. sed mercatorius supputandi mos maxime in centenis [Page] lucra et damna consyderat. at (que) ideo de centenis exempla damus. In his autem mercatorijs regulis, quas nūc inter­seremus: proportionū comparationem permutatim solū ponemus, mercatorū more: quandoquidem per hanc cui­uis studioso recta earum comparatio sese simul aperiet.

Calculū recte confectū esse probabis si proportionū ordi­nem cōuertas hoc modo. si. 100. quę sunt in sorte lucri fa­ciunt. 16 ⅔. 12. in sortem collata lucrum reddent. 2. Ꝙ si plus aut minus calculus afferat: error interuenit. Vel si cui magis placet: negociū ad regulam sic applicabit. Si de. 12. quę sunt in sorte: fiunt. 14. in sortem et lucrū. quid ex. 100. in sortem datis ea ratione proueniet? sequentes regulā de­prehendemus. 116 ⅔. in sortem et lucrū accrescere. a qui­bus si demas. 100. quę sortem faciunt: supersunt. 16 ⅔. quę lucrū ex centenis indicant. Tui arbitrij lector, esto: vtram viam magis libeat sequi. nam mercatores ipsi, alius hanc, alius illam capessunt.

AD DAMNVM cognoscendum. id, quod de lucro iā admonuimus: studiosis suffecerit. nihil enim aliud interest: nisi ꝙ sicut venditio superans emptionis preciū lucrū exuberare facit: sic econuerso venditio minoris facta sortem vel diminuit: vel exhaurit. verūtamen exemplum de eo quo (que) dabimus. Quādo libra croci empta est aureis 3. vendita (que). 2. quae iactura ex centenis erit? Preciū, quo res minoris vēdita est: ab emptionis precio, quo pluris est empta: subtrahe. et superest. 1. quod damnū de tribus in­dicat. Deinde si de. 3. vnum perit: quantum detrimenti [Page] 100. afferent: per regulam datam exquire. reperies. 33 ⅓. Vel si magis libet alterā viam tentare. sic potes. Si de. 3. so­la. 2. supersunt: quid de. 100. relinquetur? ducantur. 2. in 100. fiunt. 200. quę si per. 3. seces exeunt. 66 ⅔. ea de. 100. manent. differentia ita (que) inter. 66 ⅔. et. 100. quę est. 33 ⅓. venit in detrimentum.

PER LVCRVM NOTVM SOR­tis ignotae exquisitio.

SAEPE MERCATORES ad nundinas ituri secū ad hunc modū supputare solent. Quanti pōdo cētena cuiuspiā mercis puta ęris ęruginis emēda sūt: vt aureis. 13. postea vēdita ex cētenis dena in lucrū pariāt? Huiusmodi quęsita expedies: si sic tecū consyderes. Qui ex centenis de­na lucri vult facere: is. 100. augere vs (que) ad. 110. studet. id, quod ex precio. 13. efficere molitur. Ita (que) in illis. 13. et sors et lucrū latet. alioqui nisi inesset lucrū: dena ex centenis nō lucrifierēt. Ea propter cū per venditionē. 13. aureis factā, lucrū ex centenis destinatū sit acquisitū: sors quae latet in 13. per regulam de tribus notis quartū ignotum proferen­tibus statim sic patefiet. Si. 110. quae sortem et lucrū capi­unt: prodeunt de sorte. 100. de qua sorte nascentur. 13. quę sortem et lucrū tenent. Multiplicare oportet. 100. in. 13. et producentur. 1300. quę si per. 110. secentur: numerus se­ctionis. 11 9/11 habebit. qui numerus sortē illorū. 13. demō ­strat. At (que) ideo tanti emēda essent ęris ęrugins pōdo. 100. vt postea. 13. aureis vēdita lucrū ꝓportione denorum ad [Page] centena reddant. Si specimen capere libet: an recte sit sup­putatum: proportionum ordinem conuerte, hoc modo. Si de. 11 9/11, quae sunt in mera sorte: surgunt. 13. sors et lu­crum: quid de. 100. mera sorte prodibit? tenta ꝑ regulā. et 110. inuenies. a quibus dempta sorte. 100. lucrum. 10. super­est. Sin plus aut minus redeat: erratum est. Aliud exem­plum. Quanti lanae mille pondo sunt empta: quae postea aureis. 50. uendita lucrum proportione duodenorum ad centena pariunt? ad regulam datam sic applicabis. Si. 112. ante lucrum partum erant. 100. quid secundum eam ratio­nem. 50. prius erant: cum quibus partū est lucrum? sup­putatio secundum regulam facta te docebit fuisse. 44 72/112. quae sunt 9/14. Aliud exemplum. Quāti constitit libra cro­ci: quando uncia nummis. 9. uendita lucrum affert pro­portione denorum ad cētena. Vncię sortem sic deprehen­des. si. 110. ante (quam) accessit lucrum: erant. 100. quid erant. 9. inuenies fuisse. 8 2/11. tot nummis uncia constitit. Deinde ut librę precium excutias: multiplica uncię p̄cium. 8 2/11 in. 12. ꝙ tot sint unciae in libra: et producuntur. 98 2/11. tot num­mis libra croci prius empta erat.

PER DETRIMENTVM NOTVM sortis ignotae exquisitio.

QVI GEMMAM emerat: uendidit eam postea aureis. 100. et dum pecunię suę rationē init: comꝑit se perdidisse. 10. ex. 100. quanti ab initio stetit gemma? [Page] Sic consyderate oportet. Qui. 10. de. 100. perdit. 10. ad. 90. minuit. at (que) ideo ad inuestigādā sortem illorū. 100. ad hūc modum cogitabit. Si. 90. ante detrimentū erant. 100. quid secundum eam rationem ante erant illa. 100. ex quibus ia­ctura facta est? ducantur. 100. in. 100. et surgent. 10000. quę secta per. 90. reddunt. 111 1/9. tanti gēma ab initio cō ­stitit. Verso in cōtrarium proportionū ordine, capere ex­perimentum licet: an recte sit supputatū: ad hunc modū. Si de. 111 1/9 sola. 100. supersunt: quid de. 100. relinquetur? si regulam sequare: deprehendes. 90. si plus aut minus ex­it: error manifestus est.

ALIA etiam uia per lucrum aut damnum ad sortis partes redigēdū sors ipsa ignota inuestigari potest. Puta, si quispiam uendens nummis. 20. de. 100. lucrifaciat 10. et haesitetur quanta sit sors: ad hunc modū per com­pendiū res expedietur. Animaduertere oportet: quota sor­tis pars sit lucrum? id quod statim fit manifestū: si lucrum 10. per sortem. 100. diuisum in minutias soluatur eo modo: quo numeri minoris per maiorem admonuimus sectionē fieri. sic nascentur 10/100. quae ad minimā nomenclaturā re­dactae faciunt 1/10. ita (que) qui ex. 100. lucratur. 10. decimā sor tis partem lucrifacit. quę pars decima addita ad sortem fit undecima totius summę. At (que) ideo qui de lucro et sorte 1/11 capit: lucrū habet illius summę. quod quādo ab ea subdu­ctum erit: sola sors restabit. Ita (que) de. 20. sumito 1/11. et inue­nies. 1 9/11. tantulum inest lucri in exigua hac summa. 20. Id autem si a. 20. subducatur: restabunt pro sorte. 18 2/11. [Page] Ea sors est illorū. 20. Rem ita habere probabis: si propor­tionū ordinem conuertas hoc modo. Si de. 18 2/11 fiunt. 20. quid accrescet de. 100. tēta: et inuenies. 110. subducito pro sorte. 100. restant pro lucro. 10. Calculus ita (que) nō errauit.

EADEM uia per damnū ad sortis partes redigendum sors ipsa potest excuti. Veluti si exemplo uerso, finga­mus eū: qui nūmis. 20, uēdit: dena ex centenis perdere. Nā dānū. 10. per sortē. 100. diuisum profert 10/100. quę faciūt. 1/10 Illud ita (que) consyderare oportet. Qui perdit. 10. ex. 100. per­dit de sua sorte 1/10. Quo fit: ut saluę sint ei restātes 9/10. de quibus partibus si sumas 1/9. at (que) eam ad omnes partes re­lictas addas: instaurabis summā: quę fuit ante dānum: et sortē habebis quęsitā. At (que) ideo in exemplo dato. si nūmis 20. uendens dena de centenis perdit: ea ratione uicena illa 9/10 totius sortis efficiunt. Quocirca si nonā partē de. 20. su­mas, uidelicet. 2 2/9. at (que) eā ad. 20. addas: fient. 22 2/9. quę sū ­ [...] sortis ante ia cturam erat. Nona autem illa pars. 2 2/9 decima est totius sortis: partem (que) eam addita instaurat: quae de sorte perierat.

LVCRI RATIO, SI MINORIS quippiam fuisset emptum.

GLASTI emptor pōdo millena certo precio merca­tus est: quę si binis aureis minoris emisset: at (que) ea po­stea aureis duodenis uendidisset: ex centenis dena fecisset lucri: quęro quanti ab initio pōdo glasti millena steterūt? Huiusmodi quęsita sic expedies. Sortem illorum. 12. inue­stigare oportet, eo modo, quē dedimus. Si. 110. erāt. 100. [Page] ante lucrū: quid secundū eam rationem ante lucrū adiun­ctum erant. 12. ducantur. 12. in. 100. producuntur. 1200. quae secta per. 110. reddunt. 10 10/11. Ea fuisset sors: si nihil aliud interuenisset. Verum quia adiectum est: si. 2. aureis minoris emisset: et. 12. uendidisset: tū lucrū accedere de­buisse ꝓportione denorū ad cētena: liquet ex hoc eū plu­ris. 10 10/11 emisse. At (que) ideo. 2. ad. 10 10/11. addenda sunt: ut fiant. 12 10/11. totaureis in initio glasti pondo. 1000. consti­terunt. Ex quo fit manifestū. si minoris. 2. aureis emisset: danda fuisse. 10 10/11. quaesors ea est: quę per uenditionem ad. 12. crescens dena ex centenis lucrifacit.

DAMNI RATIO, SI PLVRIS quippiam fuisset emptum.

FRVMENTI emptor modios quaternos certo pre­cio emit: qui si pluris nūmis quaternis (quam) sunt empti: constitissent: et uenditi fuissent nūmis tricenis senis: dena de centenis fuissent perdita. quanti igitur constiterūt mo­dij quaterni? Principio sicut proxime in lucro factum est: sortem illorū. 36. erues, hoc modo tecū cōsyderans. Si. 110. erāt. 100. quid secundū eam rationem ante erant. 36. ducā ­tur. 36. in. 100. et fient. 3600. quę deinde secentur per. 110. et prodeūt. 32 8/11. tanti emi debuissent modij quaterni: ut uenditione facta nummis. 36. dena ex centenis lucri fierēt. Verum hic perdita sunt. 10. ex. 100. at (que) ideo sicut in ia­ctura ante docuimus: sic consyderabimus. Si. 90. ante ia­cturam fuerunt. 100. quid secundum eam rationem ante fuerunt, 36. ducantur. 36. in. 100. et surgent. 3600. quę secta [Page] per. 90. reddunt. 40. tanti emi debuerunt: ut uenditi num mis. 36. dānū afferrēt detrahens dena ex centenis. Cęterū quia dictū est. si. 4. nūmi amplius ad precium accessissent. tum iacturā illam denorum ex centenis ex uenditione fa­cta nummis. 36. fuisse secuturā. 4. nummi a. 40. demendi sunt: ꝙ tanto minoris sunt empti. sic restāt. 36. quo precio quaterni frumenti modij ab initio sunt empti.

LVCRI RATIO, SI PRECIVN MVTETVR.

QVI SALIS modios singulos senis nūmis uēdit: octona ex centenis lucratur. quęri potest: si is mu­tato precio, nūmis octonis uendat: quantum lucti ex cen­tenis acquiret? Multi in huiusmodi quęsitis allucinant̄: dū sic proportiones comparant. Si. 6. dant. 8. quid dabunt. 8? ducentes nam (que). 8. in. 8. et productū per. 6. secantes depre­hendūt. 10 ⅔. quod lucrū ex centenis obuenire putāt: si singulorū salis modiorum precium a nūmis. 6. ad. 8. mute­tur. Hi toto errant caelo. nam. 6. illa, quae isti uelut sortem ponunt: et lucrū et sortem continent. Ita (que) ubicum (que) in si­milibus de lucro aut dāno quęritur: primū sors inuenien­da est: quę lucrum et dānum peperit. igitur sortem et lu­crum, quae in sex latent: sors et lucrū, quae in centenis no­ta sunt: proferēt in lucem: sicut iam docuimus hoc modo. Si. 108. ante (quam) accessit lucrum: erant. 100. quid secundum eam rationem ante lucrum erant. 6. ducantur. 6. in. 100. et fient. 600. quae per. 108. secta in numero partitionis edu­cunt. 5 5/9. tantum complecti debet sors illorum. 6. ut po­stea sex nūmis facta uenditio octona ex centenis lucrifa­ciat. [Page] Iā uero in hoc themate, qui nummis. 6. vēdidit: mu­tato precio, nūmis octonis vēdere in animo habet: et scire cupit: quantum lucri ex centenis accrescet. Id quod facile exquiri potest: si proportiones sic formentur. Si. 5 5/9, quae sunt sors: pariunt. 8. in sortem et lucrū: quid. 100. in sortem collata dabunt? Scies e uestigio: si. 8. in 100. ducas: nume­rum (que) productū diuidas per. 5 5/9. quo fiet: vt in numero sectionis ꝓdeant. 144. tantum sorsilla. 100. afferet in sor­tē et lucrū. Igitur si sortē. 100. ab ea summa subducas. 44. pro lucro restant. tantū lucri ex cētenis accrescet: si singuli salis modij nūmis. 8. uendant̄, qui ante. 6. sunt uęnūdata.

VEL SI mauis alia via rē statim expedire: ut sortem nō exquiras: id fiet ad hūc modū. Adde ad ipsa. 100. lucrū ex his accrescēs: summā (que) eā diuide ꝑ prius p̄cium: quod lucrū illud peꝑit. Id autē, quod in numero sectionis ꝓdibit: multiplica in posterius illud preciū: in quod fit cō ­mutatio. Ita numerꝰ ex hoc productus et lucrū de. 100. na tū et sortē ipsā. 100. cōplectet̄. a quo lucro si sortē. 100. de­mas: lucrū de cētenis ex nouo p̄cio obueniēs restabit. Quę uia nun (quam) fallet. Puta in exemplo iā dato, ubi uēditio senis nūmis facta ex cētenis octona i lucrū intulit: lucrum. 8. ad sortē. 100. adde. fient. 108. Eā summā diuide ꝑ prius p̄cium 6. quo lucrū illud acquisitum est. sic in numero sectiōis. 18. ꝓdeunt. quę deinde in posterius illud preciū. 8. in quod fit cōmutatio: ducenda sunt. ita ꝓducentur. 144. quę et lucrū et sortē cētenorū capiunt. a quibꝰ si. 100. ꝓ sorte demas: re­stant pro lucro. 44. tantum lucri de centenis accrescet: si precium a nūmis senis ad octonos mutet̄. Siue autē de cē ­tenis, siue de alio numero, puta quinquagenis, millenis, [Page] aut quouis alio, certū lucrū quęratur: regula hęc inuariata manet, Yim autē suā capit a multiplicatione et diuisione: quę a quatuor proportionalium regula supra data, et ab unitatis natura depēdent. Porro in diuisione, sicut unitas se habet ad diuisorē: sic sectionis numerus ad numerū di­uidendū. Et ꝑmutatim. sicut unitas se habet ad sectionis numerū: sic diuisor ad diuidendū. Similiter etiā fit in mul­tiplicatione. nam sicut unitas se habet ad multiplicatorē: sic multiplicādus ad numerū producendū. Et ꝑmutatim. sicut unitas se hēt ad multiplicandum: sic multiplicator ad numerū producēdū. Igitur esto. 6. habeāt. 1. in sortē: ea ra­tione. 108. haberēt. 18. id quod sic exquires. Si. 6. in sorte et lucro ꝓdeant (fingamus) de. 1. de quo nascentur. 108. quae sunt in sorte et lucro. ducatur. 1. in. 108. et idē numerus pro­ducetur. Is deinde diuidatur ꝑ. 6. et numerus sectionis. 18. proferet: quę secundū eam rationē sors esse deberent illo­rum. 108. Iam uero precio mutato, si scire uoles quantum reddent. 18. sic inuestigabis. Si de uno fiunt. 8. quot de. 18. fient? multiplicentur. 8. in 18. et producētur. 144. quę sor­tem et lucrum centenorum tenebunt.

QVO MODO PRECIVM STATVA­tur ad lucrū quoduis parandum.

FREQVENTER etiā mercatores in merce aliqua pōdere, numero, aut mēsura vēdi solita, post cōplures [Page] expēsas terra mari (que) supra emptiōis preciū factas, i uecti­galia, naulū, uecturā, ministroR uictū, cętera (que) id genus, certū sibi lucrū de quouis pōdere, numero, aut mēsura, de­stinant: secū (que) deliberāt: quodnā p̄cium statuāt in singula pōdera, numeros, aut mēsuras: ut lucrū illud accrescat. Id quod fiet ad eum modū: quē hoc exēplo mōstrabimus. Pi­peris pōdo millena i Lusitania nummoR. 10000. sūt emp­ta. ꝓ (que) his uectigal illic pēsitatum nūmi. 1000. Naulū de­inde illinc in Britānias cōstitit. 300. Ibi rursus aliud uecti­gal exactū. 500. Vectura deide terra facta nūmis stetit. 200. Ministri in eā negociationē missi impēsa. 2000. Mercator aduecta merce, de singulis piperis libris supra oēs impen­sas nūmos. 4. lucrifacere destinat: Cęterum hęsitat: quonā p̄cio piperis librā uēdat: ut lucrū illud accedat. Rem sic ex­pediemꝰ. preciū emptiōis, uectigal, naulū, iterū uectigal, uecturā terra factā, ministri impēsam, omnia in unā sūmā colligere oportet. et surgēt. 14000. quibꝰ etiānū lucrū nū ­moR. 4. destinatū in libras singulas debemꝰ addere: uide­licet nūmos. 4000. sic crescūt. 18000. Quā sūmā in uniuer­sum mercator et ꝓ sorte et ꝓ lucro totius negociatiōis sibi reddi cupit. At (que) ideo quatuor ꝓportionaliū regula, quā de tribꝰ notis quartū ignotū, pferētibꝰ supra dedimꝰ: e ue­stigio p̄ciū unius librę patefaciet. Nā sicut uniuersę pipe­ris librę aduectę se hēnt ad totā illā summā p̄ciū at (que) lucrū oium cōplectētē: sic una piperis libra ad suū preciū et suū lucrū se hēre debet. Quocirca si. 1. ducatur in. 18000. idem numerus ꝓducetur. qui si ꝑ numerū uniuersarū piperis li­brarū uidelicet. 1000. secet. numerus sectionis preciū uni­us librę nūmos. 18. cōtinebit. Ad eūdē modū p̄ciū et lucrū statuere licet: i his, q̄ numero aut mēsura uēdi cōsueuerūt.

QVANTITATIS SPECIES.

QVANTITATVM SPECI­es duae reperiuntur, Altera con­tinua est: quae magnitudo dici­tur. Altera discreta: quę siue mul­titudo, siue numerus appellatur. Ipsa etiā magnitudo species ha­bet duas. Altera est immobilis: quam Geometria tractat. Altera mobilis: de qua Astrologia consyderat. Itidem multi­tudinis duae species occurrunt. Earum altera per se con­syderatur: [Page] de qua differit Arithmetica. Altera refertur ad aliud. eā musica pertractat. Numerus uero est unitatum collectio.

DE PROPORTIONE ET EIVS GENERIBVS.

PROPORTIO EST DV ARVM: QVANTAE­cū (que) sunt: eiusdem generis quantitatū, certa alterius ad alteram cōparatio, at (que) habitudo. propositis nam (que) qui­busuis duabus quātitatibus, necesse est alteram altera uel maiorem, uel aequalem, uel minorem esse. Illa ita (que) habi­tudo, qua sese uel aequaliter, quando sunt ęquales: mutuo respiciunt. uel inęqualiter, quando earum altera maior re­liqua, aut minor est: appellatur proportio. quę nihil aliud est: (quam) earum inter se comparatio. Eiusdem quo (que) generis quantitates esse debent: inter quas cadit proportio. Ve­luti duo numeri, duae lineae, duę superficies, duo corpora, duo loca, duo tempora. ne (que) enim linea maior aut minor superficie est, aut corpore: nec tempus loco maius est, aut minus. sed linea linea: superficies superficie: corpus corpore. sola enim, quae unius sunt generis: inter se com­parabilia sunt. Proportio autem habitudo certa est. quasi diceres. sic determinata: ut haec sit, et non alia. Ne (que) enim necesse est: ut omnis duarum quantitatum habitudo uel a nobis sciatur: uel a rerū natura. Quippe proportio apud ueteres in tria secatur genera. quorum unum est discreto­rum, uidelicet numerorum: quod uocant Arithmeticum. Alterum continuorum: quod geometricum appellant. [Page] Tertium sonorum et concentuum: quod armonicū nun­cupant, exillorū utro (que) mixtū: ꝙ musica in pausis et pro­lationibus tēpus spectet: in [...]brante uocū notarum (que) di­uisione, numeros. Et quia adinstitutū nostrū tertiū hoc genus non attinet: parū admodum in hoc libro de eo di­cturi sumus. In numeris autem omnis minor est pars aut partes maioris. quāobrem in eis omnibus certa est habi­tudo et nota. At uero in cōtinuis proportio est magis lar­ga. Nōnun (quam) enim in eis minor quātitas est pars aut par­tes maioris. et talium omnium, interuenientibus at (que) ad­iuuantibus numeris, nota est proportio: quae et rationa­lis uocatur. Huiusmodi autem quantitates siue commu­nicantes, siue commensurabiles dicuntur: quia eas una et eadē quantitas necessario metitur. Quo fit: ut omnes nu­meri sint communicantes: ꝙ omnes eos metiatur unitas. Saepenumero autem in continuis minor quantitas nō est pars aut partes maioris. et in talibus proportio ne (que) no­bis nota est: nec naturae. qualis est inter quadrati diame­trum et eius costam: cum nulla un (quam) mensura: quae utri (que) sit communis: inueniri possit: tametsi diametri quadratū duplum sit ad quadratum costae. Huiusmodi autem pro­portio irrationalis nuncupatur: et hae quantites incōmu­nicantes, siue incommensurabiles. Vnde fit: ut quęcum (que) proportio occurrit in numeris: eadem reperiatur in om­ni genere continuorum. puta in lineis, superficiebus, cor­poribus, et temporibus. At non e conuerso idem acci­det. Infinitae nam (que) reperiuntur in continuis proportio­nes: quas numerorum natura non sustinet. Cęterum quę­cum (que) proportio in uno genere continuorum accidit: ea­dem [Page] comperietur in omnibus alijs. Nam qualitercū (que) se habet aliqua linea ad quamlibet aliam: sic se habet quęli­bet superficies ad aliquam aliam: et quodlibet corpus ad aliquod aliud: similiter et tempus: non autem sic se habet quilibet numerus ad aliquem alium. Quocirca in cōtinu­is proportio magis larga est, (quam) in discretis. Quo fit mani­festum, proportionem geometricam maioris abstractio­nis (quam) Arithmeticam esse. Omnes enim proportiones, cir­ca quas Arithmetica uerfatur: rationales sunt. de quibus hoc libro maxime dicturi fumus. Geometria uero et ra­tionales et irrationales ęqualiter consyderat.

PROPORTIONIS RATIONA­LIS SPECIES.

PROPORTIONIS RATIONALIS SPE­cies sic dinosces. Omnis quātitas ad aliā cōparata aut ei ęqualis: aut inęqualis reperitur. Quantitas ęqualis est: quae nec sibi comparatam excedit: nec ab ea exceditur. Ve­luti cubitus ad cubitum collatus. pes ad pedem. numerus quaternarius ad quaternarium. Inęqualis autem quanti­tas, quae sibi comparatam excedit: proportionem ad illā habet inęqualitatis maioris: ueluti cubitus ad pedem. nu­merus quaternarius ad binarium. Ꝙ si ab illa exceditur: minoris ad illam inęqualitatis proportionem habet. velu­ti pes ad cubitum. numerus binarius ad quaternarium.

MAIORIS VERO inęqualitatis species sūt quin­ (que): quarum tres sunt simplices: uidelicet multiplex, superparticularis, et superpartiens. Duae uero reliquae cō ­positę, [Page] nempe multiplex superparticularis et multiplex su­perpartiens ex prima et duabus reliquis conficiuntur.

Quibus rur [...]us aliae quin (que) species inaequalitatis minoris opponuntur. quę eadem seruant n omina: praeter (quam) ꝙ prę­positio haec, sub, in singulis nominibꝰ apponitur: ut sub­multiplex. subsuperparticularis. subsuperpartiens. et sic deinceps.

PORROVT DE primis quin (que) suo ordine dicamꝰ Quantitas ad aliam multiplex est: quae eam pluries integram continet. Et si bis eam capit: dupla dicitur. si ter: tripla. si quater: quadrupla. sic (que) in infinitas species uariat. Vtigitur sciatur: quomodo singulaeeius species generan­tur: facta numerorum ferie naturali, ueluti. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. quilibet eorum, qui pręcedentem pe [...] uni­tatem superat: sub alia et alia specie multiplex est ad un [...]. secūdus enim duplus est: tertius triplus. quartus quadr [...] ­plus. et sic deinceps. Et sicut in infinitum in hoc naturali numerorum progressu species multipliciter uariantur: ita etiam in qualibet specie generari possunt infini [...]numeri.

DVPLORVM in primis generatio huiusmodi est. si­cut enim primus numerus par, uidelicet binarius, duplus est ad unitatem: ita secundus par, qui est quaternarius: ad binarium numerū duplus erit. et tertius par, qui est sena­rius: ad ternariū. quartus par, qui est octonarius: ad qua­ternarium. quintus (que) par, qui est denarius: ad quinarium numerum duplus erit. et sic deinceps in infinitumin gene­ratione duplorum progressus fieri potest.

TRIPLORVN autē generatio sic obseruatur. In na­turali numerorum serie post ternarium, qui unitati triplus [Page] est: duobus intermissis, puta quaternario et quinario, se­narius, qui sequitur: triplus ad secundum numerum na­turalis seriei binarium comperietur. Iterum etiam omissis alijs duobus, uidelicet septenario et oct onario, peruenie­tur ad nouenarium, qui triplus est tertij numeri. Et rursus 10. et. 11. intermissis, duodenarius triplus erit ad quartū numerum. ad quem modum sine fine progredientes, tri­plos im [...]niemus. Erit (que) triplorum continue unus impar, alius par alternatim.

QVADRVPLORVM uero generatio incipit. si quis post quaternarium tres numeros, veluti quinarium, sena­rium, et septenarium intermittat. quartus enim occurrit octonarius: qui ad binarium numerum, qui secundus est quadruplus reperitur. At rursus. 9. 10. et. 11. intermis­sis, duodenarius numerus ternarij numeri, qui tertius est: quadruplus erit. et sic deinceps. singuli autem quadrupli numeri sunt pares: sicut in duplis euenit.

SIMILITER si quatuor numeros intermittas: quin­tupli inueniuntur. si quin (que): sextupli. si sex: septupli. at (que) ita semper proportionis generandę denominatio per uni­tatem superabit numeros omittendos. Omnium autē nu­merorum multiplicium, quorum denominatio est impar: unus par et alius impar alternatim erit. sed multiplicium, quorum denominatio est par: singuli pares erunt.

QVANTITAS superparticularis ad aliā dicitur: quę semel eam continet: et aliquam eius partem. Et si eam et eius dimidium continet: uocatur sesquialtera. si eam et eius tertiam: dicitur sesquitertia. si eam et eius quar­tam: erit sesquiquarta. et sic in infinitum nomina ducere li­cet. [Page] In comparatione tali numeri maiores dicuntur duces: minores uero comites. Generantur autem superparticu­lares proportiones ad hunc modum.

ET PRIMVM quidem de sesquialterae origine dica­mus. Dispositis uno ordine singulis numeris tertiam par­tem habentibus, qui per continuam additionem ternarij in infinitum procedunt. sicuti. 3. 6. 9. 12. 15. 18. omnes duces procreabuntur proportionis sesquialterę. quibus si singuli numeri pares sua serie subscribantur ꝓuenient om­nes eiusdem proportionis comites: si primū primo: secū ­dum secundo conferamus. et sic deinceps. [...]

ITEM dispositis singulis numeris quartam partem ha­bentibus, qui per quaternarij cōtinuā additionem procre­antur. veluti. 4. 8. 12. 16. prodibunt omnes duces pro­portionis sesquitertię: qui omnes numeros triplos siue ter­tiam partem habentes comites habebunt. si primus pri­mo, secundus secundo comparetur. et sic deinceps. [...]

SIMILITER generatur proportio sesquiquarta: si ad singulos quadruplos singuli quintupli comparentur.

[...] At (que) ita deinceps procedetur per pro­portionis superparticularis singulas alias species.

ACCIDIT autem proportioni superparticulari admi­randa haec proprietas: ut in quibuscum (que) numeris huius speciei primus dux primum comitem per solam unitatem [Page] transcendat: secundus, secundum per binarium; tertius tertium per ternarium; et ita deinceps per ordinem fit ascensus. Potest au­tem tabella depingi: in qua proportion ū tam multiplicium (quam) su­perp articularium, quotquot uoluerimus; species generentur. Cuius formam supra libro primo de numerorum multiplicatione praecipientes descripsimus. Hic autem iterum eam oculis subijce­re putamus operaeprecium. [...]

[Page] IN HAC tabellę formula secundū longitudinem et la­titudinem eadem est numerorum progressio. Ita (que) si secū ­dus ordo siue in longitudine siue in latitudine ad primum comparetur: accidit continua generatio primae multipli­cium speciei: uidelicet duplorum. si enim. 2. ad. 1. aut. 4. ad. 2. aut. 6. ad. 3. et ita ulterius comparemus: prouenit ubi (que) dupla proportio. unde et in ista ꝓportionis specie, primus dux primū comitem per solam unitatem superat. secundus secundum per binarium. tertius tertium per ter­narium et ita per ordinem sit ascēsus. Itidem si tertius or­do ad primum confera [...] generabitur species tertia mul­tipliciū, nempe proportio tripla superabit (que) primus dux primum comitem per binarium: secundus secundum per quaternarium: et ita per incrementum binarij continue fit progressus. Ad haec si quartū ordinem compares ad pri­mum: quadruplorū generatio proueniet. et primus dux primum excedet comitem per ternarium: secundus secun­dum per senarium: et ita per additionem ternarij cōtinua fit accumulatio. sic (que) per singulas multipliciū species pro­cedere in infinitū licet. Generatio uero superparticulariū ad hunc modum consyderabitur. Si enim tertiū ordinem comparemus ad secundum: accidet procreatio continua proportionis sesquialterae. Item si quartū ordinem ad ter­tiū cōferamus: prodibit ꝓportio sesquitertia. si quintū ad quartū: sesquiquarta generabitur. Et ita per ordinē singu­lae superparticularium species procreantur. superabit (que) in omni eius specie primus dux primum comitem per unū: secundus secundum per. 2. tertius tertium per. 3. et sic de­inceps, quemadmodum in duplis euenit.

[Page] ACCIDVNT autem praedictae formulae proprietates admirandae. 5. quarum prima hęc est. Numeri istius for­mulae ab unitate angulariter secundum quadrati diame­trum descendentes puta. 1. 4. 9. 16. at (que) ita deinceps, sin­guli sunt quadrati. sic (que) ad singulos quadratos deuenire licet, surgentes ex numerorum ductu in se ipsos. Secun­da formulae huius proprietas est. singuli eius numeri lon­gilateri sunt: qui immediate numeros angulares circum­cingunt. Sunt autem numeri longilateri: qui ex duorum numerorum ductu, unius in alterum, producuntur: quo­rum unus alterum sola unitate superat. Veluti circa. 4. sunt. 2. et. 6. quorum binarius ex ductu unitatis in. 2. et senarius ex ductu. 2. in. 3. procreatur. Similiter circa 9. sunt. 6. et. 12. sic (que) per ordinem inuenies omnes nu­meros longilateros, circa numeros angulares. Tertia hu­ius formulae proprietas est. Si duo numeri alicui numero angulari circumpositi coniunctim addantur ad duplum ipsius numeri angularis: surget numerus quadratus. Ve­luti additis. 2. et. 6. ad bis. 4. prodeunt. 16. Quarta pro­prietas est: si duo quadrati angulares proximi simul ad­dantur ad duplum numeri ab ipsis circumsepti: numerus nascetur quadratus. Nam additis. 4. et. 9. ad bis. 6. pro­ducuntur. 25. Quinta proprietas est. ubicū (que) in hac for­mula reperitur aliqua figura quadrata: idē ex ductu angu­lorū oppositorū in oppositos producetur. puta si. 4. in. 9. ducas: aut. 6. in. 6. nam idē utrobi (que) exibit. vel si. 3. in. 15. ducas: aut. 5. in. 9. idem producetur. Multa alia admi­randa at (que) utilia in hac tabellae formula reperiri possunt: qualia sunt ea: quae de multiplicatione et diuisione per eā [Page] facienda, primo libro monstrauimus. Verum his omissis, ad propositum reuertamur.

QVANTITAS ad aliam superpartiens dicitur: quae ipsam semel intra se capit: et insuper aliquot eius partes: de quibus simul sumptis non fit maioris quā ­titatis pars una aliquota. quae species tam ex numero par­tium superfluentium: (quam) ex earum denominatione uaria­tur in infinitum. Ex numero partium. ueluti si numerus maior minorem cōtinet et eius partes duas: dicitur super­bipartiens. si uero eam capit, et tres eius partes: supertri­partiens dicitur. et sic deinceps. Item ex denominatione partium, puta si maior minorem semel continet, et duas eius partes: quarum quęlibet tertiam facit: uocatur super­bipartiens tertias: uel magis germano uocabulo superbi­tertius. et si minorem includit, et tres eius partes: quarum quaelibet quarta est: dicitur supertrip artiens quartas: uel magis supertriquartus. ne (que) in tali ꝓgressu status aliquis erit. Huiusmodi autem proportio, ubi tam numerus par­tium (quam) earum denominatio uariatur: continue generari potest: si series una numerorum fiat a ternario incipiens, et quantumuis ulterius secūdum ordinem naturalem pro­cedens. Deinde fiat alia series: in qua sumpto initio a qui­nario numero, singuli sequētes impares per ordinem sub­scribantur. [...]

NAM si primum ordinis inferioris ad primum superio­ris conferamus: proportio orietur superbipartiens tertias, siue superbitertia: si secundum secundo: supertripartiens quartas, siue supertriquarta. et sic sine fine. Ꝙ si singulos [Page] utrius (que) seriei numeros duplicemus: secundi numeri pro­dibunt sub eisdem ꝓportionibus constituti: sunt enim. 10. et. 6. secundi numeri, interquos est superbitertia ꝓpor­tio. Similiter si duplicemus duos secūdos. fiunt. 8. et. 14. qui sunt secundi numeri: inter quos cadit supertri quarta proportio. et siodeinceps. Itidem si utrius (que) seriei nume­ros triplicemus: tertij numeri nascentur proportionem eandem uendicantes. ut. 15. ad. 9. 21. ad. 12. et sic in infinitum progressus fieri potest per singulas species. Ex hoc Arithmetici deprehendunt hic dormitasse BOE­TIVM non inoelebrem authorem: qui in generatione continua huiusmodi numerorum dicit secundum ducem et secundum comitem, inter quos est proportio prima su­pertriquarta: debere triplicari. et tertium ducem et terti­um comitem, inter quos est proportio superquadriquin­ta: quadruplicari: et ita deinceps. ut per hoc nascantur secundi numeri sub eisdem proportionibus constituti. Male etiam hic admonet numeros triplicatos iterum tri­plicari debere: quadruplicatos iterū quadruplicari, ut cae­teri numeri sub eisdē ꝓportionibus procreentur. Pręterea Boetius in generatione superpartientium de his tantum admonuit: in quibus denominatio partium per unitatem solam numerum earumdem superat. Veluti de superbi­tertia, supertriquarta, superquadriquinta, et huiusmodi. nec docet quomodo suꝑbiseptima uel alie huiusmodi ge­nerentur. Etideo ut de cuiuslibet speciei generatione in­struamur: capiamus numerū denominantem partes pro­portionis propositę. qui numerus erit primus comes pro­portionis illius. cui deinde addamus numeratorem partiū [Page] proportionis eiusdem: sic procreabimus primum ducem. Verbi gratia. si ꝓportio supertriseptima generanda pro­ponatur. capimus. 7. cui si addamus. 3. prodibunt. 10. sunt ita (que). 10. et. 7. minimi numeri: inter quos proportio suꝑ­triseptima reperitur. quibus duplicatis, exeunt numeri se­cundi eiusdem proportionis. et triplicatis, fiunt tertij. id, quod per hanc regulam fit manifestū. uidelicet quia mul­tipliciū et submultiplicium proportio semper est eadem.

QVANTITAS multiplex suꝑparticularis ad aliā dicitur: quę eam pluries (quam) semel et aliquam partem eius aliquotam cōtinet: et hoc uariatur tam ex parte mul­tiplicis, ueluti dupla superparticularis, (quam) ex parte super­particularis. ut dupla sesquialtera. tripla sesquitertia. Vbi autem stante denominatione ex parte multiplicium spe­cies solummodo ex parte superparticularium uariātur. si­cut in dupla sesquialtera, dupla sesquitertia, fiet eorū ge­neratio per hūc modū. Disponantur numeri a binario se­cundū ordinem naturalem: quibus singuli impares a qui­nario subscribantur. comparātes ita (que) primum ad primū, habebimus proportionem duplam sesquialteram: secun­dum ad secundum, duplam sesquitertiam: tertium ad ter­tium, duplam sesquiquartam. [...]

Pro generatione autem triploR superparticulariū fiat pri­mus ordo ut prius: et in secundo ordine post initiū a sep­tenario sumptū numeri continue per additionem ternarij augeantur. [...]

[Page] At pro quadruplorum superparticularium generatione, stante priori ordine, numeri in secūdo a. 9. sumentes initiū per additionem quaternarij continue augeantur. et ita de­inceps, quantumcum (que) uoluerimus: procedemus. post (quam) uero in prędictis ordinibꝰ numeri primi et minimi in suis proportionibus constituti sunt. si eos duplicauerimus nu­meri nascentur secundi. si eos triplicauerimus: tertij eisdē proportionibus congruentes. [...]

QVANTITAS ad aliam multiplex superpartiēs dicitur: quę eā pluries (quam) semel, et eius aliquot par­tes continet: ex quibus non fit maioris quātitatis una ali­quota. quae species tam ex parte multiplicis (quam) ex parte su­perpartientis in infinitum uariatur. Accidit autem huius­modi proportionis generatio ad hunc modum. Proposita quauis tali proportione, capiatur numerus denominans partes minoris numeri in eadem: ut ille sit primus comes: deinde uel duplicetur: uel triplicetur ille numerus secundū denominationem multiplicis in illa ꝓportione. tali (que) nu­mero sic multiplicato addantur unitates secundum nume­rum partium proportionis propositę. et primus dux in ea proportione nascetur comparādus ad primum comitem. Verbi gratia. in proportione tripla superquintiseptima ca piantur. 7. quibus triplicatis et. 5. superadditis, surgent 26. Ita (que). 26. et. 7. sunt primi numeri sub proportione proposita constituti. Quibus duplicatis nascentur secun­di: triplicatis: tertij. et ita deuenire licet ad omnes nume­ros sub ea proportione consistentes. Annotandum autem [Page] est sin gulas species harum quin (que) in formula quadrilate­ra superius scripta inueniri posse: si in immensum ulte­rius extendatur. Ad primum enim ordinem reliqui singu­li comparati singulas multiplicis species procreabunt. Item si tertium ordinem ad secundum: et quartum ad ter­tium: et ita ulterius conferamus: mille superparticulariū species orientur. Ꝙ si quintum ordinem ad tertium, et septimum ad quartum, et nonum ad quintum compare­mus: et ita progrediamur: habebimus singulas species su­perpartientium. Item si secundum ordinem ad quintum, et ad sep timum, et ad nonum, et ita deinceps, contuleri­mus: multiplicis superparticularis species uariae prodi­bunt. At multip licium superpartientium procreabuntur species: si ad tertium ordinem octauus, et undecimus, et quartus decimus, at (que) secundū eam rationē alij referātur.

HAE quin (que) species, quae iam sunt descriptae: alias etiā quin (que), quae sibi sunt oppositae: manifestant. Etenim hoc tantum inter eas interest: ut cum per singulas has species maior numerus, sicuti diximus: ad minorem comparetur: in illis contra fiat: ut minor conferatur ad maiorem. At (que) ideo, sub, praepositio, singulis earū nominibus appona­tur. Cęterum illarum generatio et harum est eadem.

DE PROPORTIONALITATE.

PROPORTIONALITAS est proportionum in­ter se similitudo: Ea autem bifariam secatur. Altera nam (que) proportionalitas continua est. Altera incontinua: quam eandem separatam appellare licet.

CONTINVA ꝓportionalitas est: cum quotlibet quā ­titatum [Page] eiusdem generis, qua proportione prima antece­dit secundam: eadem quaelibet aliarum proximo conse­quentem antecedit. Exemplum in numeris. sicut. 8. se ha­bent ad. 4. sic. 4. ad. 2. et. 2. ad. 1. Complurium autem quā ­titatum continue proportionalium quaelibet et antecedēs et consequens est. hoc est, et uicem primi extremi in pro­portione et secundi supplet: excepta prima, quae solū an­tecedit: et postrema, quae tantum consequitur. Et in hac quidem ꝓportionalitate, propter continuationem ꝓpor­tionum, necesse est omnes quantitates esse eiusdem gene­ris: eo ꝙ inter diuersornm generum quantitates non exi­stat proportio. Hęc uero proportionalitas in paucioribus quantitatibus, (quam) in tribus, inueniri nequit. (quam) (quam) etiam in il­lis, media quantitas, dū bis repetitur: uicem subit duarū.

INCONTINVA autem proportionalitas est: [...]ū qua­tuor quantitatum, qua proportione prima antecedit se­cundam: eadem tertia antecedit quartam. Exemplum in numeris sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. erit (que) earum quantitatum quaelibet aut tantum antecedens: aut tantū consequens. Et quia prioris proportionis extremū, quod consequens est: non continuatur antecedenti: quod est prius extremum proportionis secundę: necesse non est: ut omnes quatuor sint generis eiusdem: sicut in proportio­nalitate continua erat. sed fieri potest: ut sint eiusdem ge­neris. et fieri potest: ut sint diuersorum. Sicut enim line­am duplam aut triplam ad lineam reperiri contingit: ita superficiem ad superficiem: corpus ad corpus: tempus ad tempus: numerū ad numerū. Hęc uero proportionalitas in paucioribus quātitatibꝰ, (quam) in quatuor inueniri nequit.

[Page] PORRO in proportionibus extrema ipsa siue antece­dunt, siue consequuntur, termini ab Arithmeticis nuncu­pantur.

QVANTITATES autem, quarum proportio est si­milis, proportionales uocantur.

OMNIS autē ꝓportionalitas, siue cōtinua sit: siue se­parata: sex modis inter argumētandū uariari potest.

QVANTITATES enim, inter quas similitudo est proportionum: itidem similium proportionum erunt: eti­amsi comparatio, quae ab antecedente quantitate ad con­sequentem facta erat: e conuerso a consequente ad ante­cedentem fiat. Quae proportionalitas conuersa nuncupa­tur: ꝙ quantitates antecedentes in consequentes: et con­sequentes in antecedentes conuertantur. Exemplum de­mus in numeris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. eadem etiam similitudo e cōuerso eueniet: ut sicut. 4. se habent ad 8. sic. 3. ad. 6. se habeant.

IN quantitatibus similium proportionum, quando ea­rum antecedentes ad suas consequentes cōparantur: pro­portionum omnino similitudo cadet: etiam si ꝑmutatim quantitas unius antecedens ad alterius antecedentem, et consequens unius ad alterius consequentem conferatur.

Quae proportionalitas permutata uocatur. In qua ante­cedens proportionis secundae fit consequens primae: et cō ­sequens primae fit antecedens secundae. Exemplum in nu­meris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. Quare etiam permutatim. sicut. 8. se habēt ad. 6. sic. 4. ad. 3. Ex quo uidere licet in permutata proportionalitate id euenire: ut ambo extrema primae proportionis fiant antecedentia: et [Page] ambo extrema secundae consequentia.

CONIVNCTA uero proportionalitas dicitur: quo­ties sicut unius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se habet ad suam consequen­tem: sic etiam alterius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se ad suam consequentem habet. Quae coniuncta proportionalitas ex similitudine proportionum infertur. Exemplum in numeris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. Quocirca sicut. 8. et. 4. cō ­iuncta se habent ad. 4. sic. 6. et. 3. coniuncta se habēt ad. 3.

DISIVNCTA proportionalitas est: in qua de quan­titatibus coniunctis ad consequentes suas collatis, com­parationis illatio fit etiam ad diuisas. Exemplum in nu­meris. sicut. 8. et. 4. se habent ad. 4. sic. 6. et. 3. se habēt ad. 3. Quāobrem etiā sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3.

EVERSA ꝓportionalitas est: quando sicut unius pro­portionis quantitas antecedens cum sua consequente cō ­iuncta se habet ad suam antecedentem: sic etiam alterius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se ad suam antecedentem habet. Quae propor­tionalitas euersa ex proportionum similitudine, et aptissi­me ex proportionalitate coniuncta, inferri potest. Exem­plum in numeris. sicut. 8. et. 4. se habent ad. 4. sic. 6. et. 3. ad. 3. Quo fiet: ut sicut. 8. et. 4. se habent ad. 8. sic. 6. et 3. ad. 6. se habeant.

AEQVA proportionalitas est: quando plures quanti­tates in unam proportionem ex parte una sumuntur: at (que) aliae totidem uel eiusdem generis, uel alterius, ex parte al­tera secundū eādem proportionē applicantur: et mediorū [Page] aequali numero remoto, similitudo proportionum in ex­tremis infertur. Exemplum in numeris. sicut. 8. ad. 4. et 4. ad. 2. se habent. sic. 12. ad. 6. et. 6. ad. 3. Quamob­rem sicut. 8. ad. 2. se habent. sic. 12. ad. 3. Idē erit: etiā si cōparationis ordo conuersus at (que) intermixtus fuerit. ve­luti si dicatur: sicut. 8. ad. 4. sic. 12. ad. 6. et sicut. 4. ad 2. sic. 6. ad. 3. Quocirca sicut. 8. ad. 2. sic. 12. ad. 3. Proportionalitatum alia etiam diuisio est: quae ex medie­tatibus mox enarrandis apparebit.

DE MEDIETATIBVS.

MEDIETAS est connexio quaedam extremorū per habitudinem utrius (que) ad mediū. Sic enim a pler [...] (que) ueteribus appellatur: quae alio nomine proportionalitas uocatur ab EVCLIDE. Medietatum autem tria ge­nera PYTHAGORAS, PLATO, ARISTOTE­LES, et pleri (que) omnes ueteres posuerūt. Alias enim me­dietates Arithmeticas esse uoluerūt. Alias Geometricas. Alias armonicas. De quibus singulatim ordine dicemus.

ARITHMETICA medietas est: quando maximi medij et minimi differentię sunt ęquales. id est: ubi proportionis aequalitate neglecta, aequalis inter terminos differentia custoditur: siue in numerorū ordine naturali. utpote. 1. 2. 3. 4. siue aequales numeri cōtinue sint omis­si. sicut. 1. 4. 7. 10. Si enim unum omittas: differentia erit. 2. Si. 2. differētia erit. 3. Si. 3. differentia erit. 4. et sic deinceps. Differentia uero appellatur excessus ille nu­meri: quo maior numerus minorem superat.

[Page] HVIVS autem medietatis proprium illud est. Maxi­mi ad medium non est eadem proportio: quae medij ad minimum: sed medij ad minimum proportio semper ma­ior est: (quam) maximi ad medium. Quo fit: ut in minoribus numeris proportio semper maior sit: et in maioribus mi­nor. Verbi gratia. inter. 8. et. 4. fecundum istam medie­tatem medius est senarius. differentiam utrobi (que) numerus binarius facit. At maior est proportio medij ad minimū uidelicet. 6. ad. 4. quae est sesquialtera: (quam) maximi ad me­dium, uidelicet. 8. ad. 6. quae est sesquitertia.

ALIA eius proprietas est. si huiusmodi ꝓportiones in tribus terminis disponant: extrema simul addita tantū fa­cient: quantū mediū duplicatū. sicut. 6. 4. 2. e quibus bis 4. faciūt. 8. Item (que). 6. et. 2. faciūt. 8. Ꝙ si in quatuor ter­minis ponātur: tūc duo media per additionem coniuncta tantū efficient: quātū duo extrema sic iuncta. Vt si ponā ­tur. 8. 6. 4. 2. tantū enim creant. 6. addita ad. 4. quan­tum. 8. ad. 2. addita. Ex hac ꝓprietate sumi potest ratio generalis progressionis supra in integris positae.

RVRSVS alia eius proprietas est. si hac medietate cō ­stituta in trib terminis prius multiplicent extrema: dein­de mediū per se ipsum: id quod proueniet ex medij ductu in se ipsū: tantū superabit id: quod ex multiplicatione ex­tremorū prodibit: quantū producetur ex alterius differē ­tię in alterā ductu. Exemplū in his terminis. 2. 4. 6. Sicut 2. se habent ad. 4. ita. 4. ad. 6. bis. 6. faciunt. 12. quater 4. creant. 16. quę per. 4. excedunt. 12. Qui excessus etiā ꝓuenit ex ductu differentiarū in se. differētia enim utra (que) est. 2. bis autem. 2. faciunt. 4. Eodem modo si termini. 4. [Page] ponantur et multiplicatis extremis alterū medium in alte­rum ducatur: id quod proueniet ex alterius medij in alterū ductu: tantū superabit id: quod ex multiplicatione extre­morū prodibit: quantū producetur ex multiplicatis diffe­rentijs duabus: quę sunt inter alterutrū illorū mediorū et extrema. Veluti si essent. 2. 4. 6. 8. bis. 8. creant. 16. qua­ter. 6. faciunt. 24. quę per. 8. excedunt. 16. Idem autem excessus ex multiplicatione differētiarū, quę sunt inter al­terutrum illorū mediorum et extrema: producetur. nam si de duobus medijs id, quod prius est: capias: uidelicet. 4. differētia inter prius extremū et ipsum mediū est. 2. et dif­ferentia inter ipsū et posterius extremū est. 4. ita (que) differē ­tiae ipsę. 2. et. 4. in se ductę procreāt. 8. Similiter si de du­obꝰ medijs id, quod posterius est: sumas: uidelicet. 6. dif­ferentia inter ipsum et primum extremum est. 4. et diffe­rentia inter ipsum et secundū extremum est. 2. quae diffe­rentiae in se ductae creant. 8.

GEOMETRICA medietas est: quando maximi ad mediū eadē est ꝓportio: quę medij ad minimum. In qua medietate differentiarū ęq̄litate neglecta, ꝓportionū ęqualitas obseruat̄. sicut cernere licet in his numeris. 4. 6. 9. Vbi medius numerꝰ est. 6. Secūdū hāc medietatē mul­to aptius proportionalitas appellatur: (quam) secūdum Arith­meticam. Etenim in illa proportionalitas secundū excessū intelligitur, per ęquales differentias. At non per similitu­dinem proportionum: quemadmodum in hac euenit.

HVIVS medietatis propriū est illud. In maioribꝰ ter­minis et in minoribus ꝓportio semper ęqualis est. Veluti inter. 30. et. 10. eadem est ꝓportio: quę inter. 6. et. 2.

[Page] ALIA eius proprietas est. In proportionalitate conti­nua differentiae terminorū eadem inter se sunt proportio­ne: qua sunt termini: quorum sunt differentię. Exemplū. sicut. 8. ad. 4. dupla sunt: sic. 4. ad. 2. Similiter differētia inter. 8. et. 4. quae est. 4. dupla est ad differentiam inter 4. et. 2. quae est. 2.

RVRSVS alia proprietas geometricae medietatis in proportionalitate continua multiplicium hęc est. In nu­meris duplis minor terminus per se ipsum exceditur a ma­iori. ueluti. 1. 2. 4. 8. In numeris triplis minor terminus superatur per se ipsum duplicatū. sicut. 1. 3. 9. 27. in qua­druplis per se ipsum triplicatum sicuti. 1. 4. 16. 64. et ita deinceps minor terminus exceditur a maiore.

ALIA praeterea proprietas est. Si hęc medietas consti­tuatur in tribus terminis: quicquid ex ductu alterius ex­tremi in alterum producetur: aequale erit ei: quod ex me­dij in se ipsū ductu natū erit. Veluti si sumas. 8. 4. 2. bis 8. sunt. 16. quater. 4. tantūdem. Similiter in quatuor ter­minis, quicquid ex alterius extremi in alterum multiplica­tione natum erit: aequale erit ei: quod ex alterius medij in alterū ductu producet. sicuti si capias. 16. 8. 4. 2. bis. 16. creant. 32. quater. 8. tantundem. Ex hac proprietate de­pendet celebris illa quatuor proportionalium regula: quae de tribus notis quartum ignotum proferentibus supra da ta est. per quam in negotiationibus, innumera in lucem ueniunt.

ARMONICA medietas est: ubi positis tribus termi­nis, sicut maximus eorum se habet ad minimum: ita differentia inter maximum et medium se habet ad differē ­tiam [Page] inter medium et minimum. Haec autem medietas cū communiter et differentias et proportiones admittat: ta­men ne (que) aequalibus differentijs, ne (que) aequalibus propor­tionibus constituitur. Veluti si inter. 6. et. 2. media po­nantur. 3. ibi tripla proportio est maximi ad minimum: uidelicet. 6. ad. 2. Eademque est proportio differentiae maximi ad medium: quae est. 3. ad differentiam medij ad minimum: quę est unitas, nam. 3. ad. 1. triplam itidem proportionem faciunt: quę cū extremorū proportione cō ­sentit. Ex hac medietate eliciūtur ōnes musicę concentus.

ILLVD huius medietatis est proprium. In maioribus terminis maior semper est proportio: at (que) in minoribus minor. quod contra est in medietate Arithmetica. Verbi gratia. cape. 6. 3. 2. De quibus. 6. ad. 3. compatata du plam proportionem habent. 3. uero ad. 2. sesquialterā: quae minor est: (quam) dupla.

ALIA huiꝰ ꝓprietas: quota parte minimi termini, mi­nimꝰ ipse exceditur a medio: totidē partibus maximi, me­dius superatur ab ipso maximo. Verbi gratia: sume. 6. 3. 2. Duo excedūtur a. 3. per dimidium ipsius binarij: quod est unitas. Similiter. 6. excedunt. 3. per dimidiū ipsius senarij: quod est. 3. Rursus huius proprium est. Si ex­tremi termini proportionum simul iungantur: et totum illud additū multiplicetur per medium: id, quod inde pro­ueniet: in dupla proportione se habebit ad illud: quod ex multiplicatione extremi per extremum producetur. Verbi gratia: sume. 6. 3. 2. Adde. 6. ad. 2. fient. 8. multipli­centur. 8. per. 3. quae mediū tenent: et surgent. 24. Item si multiplices extremum per extremum, uidelicet. 6. per [Page] 2. prodibunt. 12. quae faciunt dimidium de. 24.

ILLVD annotandū est, has tres medietates inter duos terminos inueniri posse, utpote inter. 10. et. 40. quippe si in medio statuas. 25. Arithmetica medietas prodibit. Si ponas. 20. medietas Geometrica erit. Si. 16. Armo­nica medietas nascetur.

QVOMODO PROPOSITIS DVOBVS terminis medium proportionale sit inuestigandum.

PROPOSITIS duobus terminis medium Arith­meticū sic exquires. De maiori numero subtrahe mi­norem: et reliqui dimidium adde minori. ita quod inde ex­ibit: medium proportionale erit. Exempli causa inter. 10. et. 40. subductio deprehendit reliquum esse. 30. horum dimidium. 15. adde minori numero. 10. et prodeūt. 25. quod medium est quaesitum. Vel si libet facilius. Coniun­ge utrum (que) extremum: et totius coniuncti dimidiū pro­portionale Arithmeticū erit. Nam si sumas. 10. et. 40. adde ea simul: fiunt. 50. Ea si dimidies: habebis. 25. id medium est Arithmeticum.

Ꝙ SI inter eosdem terminos. 10. et. 40. mediū pro­portionale Geometricum eruere uoles: alterum in alterū multiplica. uidelicet. 10. in. 40. et procreabis. 400. cu­ius numeri producti radicem quadratam extrahere opor­tet: quae medium proportionale Geometricum erit. radi­cem autem eam. 20. inuenies.

AT SI medium proportionale Armonicum inuenire [Page] libet. Primum iunge extrema ipsa, uidelicet. 10. et. 40. sic surgent. 50. Deinde subtrahe minorem de maiore. et reliquum erit. 30. differentia utrius (que) numeri. quam si in minus extremum uidelicet. 10. ducas: nascentur, 300. Eum numerum productum diuide per summam utrius (que) extremi coniunctam: uidelicet. 50. et. 6. exibunt. quae adde minori termino. 10. et prodeunt. 16. Hoc est pro­portionale medium Armonicum inter. 10. et. 40.

QVAE MEDIETATES QVIBVS RE­rum publicarum statibus comparentur.

ARITHMETICA medietas reipublicae adsimula­tur: quae a paucis regitur: ꝙ in minoribus eius ter­minis maior sit proportio. Armonica uero medietas opti­matum reipublicae comparatur: ꝙ in maioribus eius ter­minis proportio sit maior. At medietas Geometrica, ꝙ in maioribus terminis et in minoribus proportionē ęqua­lem seruet: popularem quodam modo rempublicam re­fert: in qua ciues omnes, et summates, et plebeij, ius ęqua­le uendicant.

PRAETER has tres medietates praecipuas a ueteri­bus proditas, IORDANVS octo alias, quas collatera­les uocat: addidit: quas qui cognoscere uolet: ab ipso petat: licebit. Nos uero, qui de proportionibus tantum ea, quae ad supputationem in uita necessariam perdiscendam, spe­ctant: degustare: non uniuersas proportionum uel regu­las, uel ꝓprietates attingere decreuimus: cęteras medieta­tes a posteris ad uarietatem proportionalitatum perscru­tandam, [Page] curiosius adiectas, tan (quam) ad institutum nostrum non attinentes, omittendas censuimus.

QVOMODO PROPOSITIS DVOBVS quibusuis terminis, proportio inter eos inueniri possit.

PROPOSITIS duobus terminis quibuscum (que), ne­cesse est alterum altero uel maiorem, uel aequalem, uel minorem esse. Ita (que) si aequales sunt: ęqualitatis est pro­portio: quae neminem latere potest. Sin autem alter alte­ro maior est, aut minor: quāuis inaequalitatis sit propor­tio: quae complures species habet: facile tamen in quam speciem habitudo ea cadat: cognosces ad hunc modum. Maior terminus per minorem continuo secandus est. Eo fiet: ut quod in numero partitionis exit: proportionem denominet: quae inter utrum (que) extremum habetur. Id (que) perpetuum est: quando maior terminus in comparatione praecedens maioris inęqualitatis proportionem facit. Ve­luti si inter. 8. et. 4. proportionem quaeris: diuide. 8. per. 4. et in numero partitionis. 2. exeunt: quae deno­minantes proportionem illam monstrant esse duplam. quam in multiplicium speciem cadere palam est. Similiter si inter. 3. et. 2. proportionem quaeris. 3. per. 2. secta in numero sectionis. 1½. proferunt. qui numerus proporti­onem sesquialteram indicat: quae in superparticularium speciem cadit. ita inuenies in reliquis. Caeterum si minor terminus in comparatione praecedens minoris inaequali­tatis proportionem facit: tunc praepositio hęc, sub, deno­minationi [Page] proportionis ex numero sectionis eruēdę prae­ponenda est. Veluti si inter. 4. et. 8. proportio quaera­tur: quia post sectionem maioris factam per minorem. 2. in numero partitionis inueniuntur: subdupla erit propor­tio. quę in submultiplicium specie continetur. Si inter. 2. et. 3. proportionem quaeris: quia minor numerus in cō ­paratione praecedit: et sectio maioris per minorem facta in numero partitionis. 1½. inuenit: subsesquialtera pro­portio erit. quam de subsuperparticularium specie prodi­re manifestum est. At si quis scire cupit. quemnam sen­sum afferat hęc prępositio, sub, minoris inęqualitatis pro­portionibus praeposita: illud obseruare oportet. Quem­admodum per singulas maioris inęqualitatis species ma­ior terminus minorem plus (quam) semel cōtinet: ita per singu­las minoris inęqualitatis species, quantum minor a ma­iore superatur: tantum deest ad integrum maiorem com­ponendum. Quare cum ea minoris ad maiorem compa­ratio pariat minutias: ad uitandam earum denominatio­nem, ueteres prępositionem hanc, sub, ad singulas maio­ris inaequalitatis species addiderunt: tantum deesse signi­ficantes ad integrum componendum: quantū maior ter­minus superaret minorem. Verū si exquirere libet: quas minutias hae proportiones pariunt: continuo id cognos­ces: si minorem terminum, qui in proportione praecedit: in minutias frangas, secans per maiorem, eo modo: quo in minutiarum libro admonuimus. ita ante oculos appa­rebunt minutiae, in quauis minoris inaequalitatis specie occurrentes. Exempli gratia. si proportionem inter. 4. et [Page] 8. quęris. 4. per. 8. diuide. et fient 4/8. quę minutię signi­ficant. 4. partes de. 8. adhuc deesse ad integrū compo­nendum proportionem (que) aequalitatis creandam. Qua­tuor uero octauae ad minimam nomenclaturam redactae faciūt ½. Ita adhuc alię 4/8, quę sunt ½. desunt: ut fiat unū integrum. Quo fit manifestum, 4/8 facere dimidium illius proportionis, quae aequare deberet. 8. Sicut e contrario, si. 8. ad. 4. comparentur: dupla erit proportio: ꝙ. 8. in se capiant bis. 4. Similiter si. 3. ad. 9. cōparentur. 3. per 9. secta proferent 3/9: quę faciunt ⅓. Et 6/9 quae creant ⅔. desunt: ut aequalitatis proportio ad. 9. producatur. ita 3/9 tertiā partem faciunt illius proportionis: quę. 9. ęqua­re deberet. Item si proportionem de. 16. ad. 5. uoles sci­re: sectio maioris per minorem facta deprehendit in nu­mero partitionis. 3 ⅕. qui numerus cum minutijs triplā sesquiquintam indicat: quę in multiplicis superparticula­ris speciem cadit. Contra, si de. 5. ad. 16. proportionem quaeris. 5. per. 16. secta, creant 5/16. quę de. 16. partibus solas quin (que) inueniri demonstrant. ita desunt 11/16. ut in tegrū producatur: et aequalitatis proportio fiat. Ad eun­dem modum inter quosuis numeros proportionem nullo negocio inuestigare licet. Haec autem ex EVCLIDIS uerbis eruuntur: ubi in libro septimo dicit. Denomina­tio proportionis minoris numeri ad maiorē dicitur pars, uel partes ipsius minoris: quę in maiore sunt. Maioris au­tem [Page] ad minorem, totū, uel totum et pars, uel partes, pro­ut maior superfluit. Quibus uerbis denominationē pro­portionis, quae de minore numero ad maiorem habetur: dicit esse, uel partem unicam: ueluti ½ ⅓ ¼. uel partes plures: sicut ⅔ ¾ ⅘. quas inuenies eo modo, quo di­ctum est. Caeterum denominationem proportionis ma­ioris numeri ad minorem, admonet esse uel totum: sicut in multiplici. uel totum et partem: sicut in superparticulari. uel totum et partes: sicut in multiplici superpartienti. Liquet ita (que) in minoris inaequalitatis specie, utramcum (que) uiam sequare: rem ad idem recidere: siue ad uitandas mi­nutias hanc prępositionem, sub, maioris inęqualitatis de­nominationibus pręponas: siue minutias ipsas suis no­minibus singulas exprimas.

QVOMODO COGNOSCATVR VNA proportio alia esse maior.

SIMILES dicuntur proportiones: quę eandem de­nominationem recipiunt: quas etiam interdū unius proportionis, nonnun (quam) eiusdem, Arithmetici uocant. Maior autem proportio est: quę maiorem denominatio­nem habet. Minor uero: quae minorem. Denominatio autem omnis tam grādis esse dicitur: (quam) numerus est: qui eam designat. Vnde si de tripla et quadrupla quaeratur utra earum sit maior? quia maior numerus est quater­narius denominans quadruplam, (quam) ternarius triplam de­notans: ideo quadrupla maior erit, (quam) tripla. et quintu­pla, [Page] (quam) quadrupla. sextupla, (quam) quintupla. et sic in infinitū. Cęterum sesquialtera maior est, (quam) sesquitertia: propterea ꝙ sesquialtera denominatur de. 1 ½. et sesquitertia de. 1 ⅓. et (quam) (quam) in utra (que) numerus integer aequalis est: minutiae ta­men his adiunctae sunt inaequales. Porro minores in ses­quitertia. nam in fragmentis (uti superius libro secundo admonuimus) quanto maior est denominator: tanto mi­nus est fragmentū. Quocirca ¼. minor est: (quam) ⅓. sicut ⅓. minor, (quam) ½. at (que) ideo sesquialtera maior est: (quam) sesquitertia. et sesquiquarta maior est sesquiquinta. sesquisexta (que) ma­ior sesquiseptima. et sic de caeteris in infinitum: ubi minu­tiae in denominatione occurrunt. Vnde apparet triplā ses­quialteram, utpote de. 7. ad. 2. maiorem esse: (quam) triplam sesquitertiam. Nihilominus tamen tripla sesquitertia ma­ior est: (quam) dupla sesquitertia: uel dupla sesquialtera. quod euenit non ratione minutiarum adiunctarum: quae maio­res sunt in sesquialtera: sed ratione denominationis ex in­tegris designatae. tripla enim a. 3. denominatur: dupla a 2. Sed quaecum (que) minutiae per sesqui, denotentur: nun (quam) unum integrū aequare possunt. quare minor erit propor­tio triplę sesquitertię: (quam) duplae sesquialterę propter maio­rem triplę denominationem.

QVOMODO PROPORTIONEM EX pluribus compositam esse cognoscas.

DE CONTINVE proportionalibus prius, deinde de improportionalibus dicere destinamꝰ: quomodo [Page] in his ꝓportionem ex pluribꝰ esse compositā cognoscas. at (que) in cōtinue quidē ꝓportionalibus, de tribus quantita­tibus admonet nos EVCLIDES ad hūc modū. Si fue­rint tres quantitates continuę proportionales: proportio primae ad tertiam dicetur proportio primae ad secundam duplicata. Quibus uerbis docet. si fuerit proportio primi ad secundum: sicut secundi ad tertium: tunc ꝓportio pri­mi ad tertium erit, sicut primi ad secundum, duplicata: id est, ex duabus talibus composita. quę compositio cogno­scetur per multiplicationē denominationis ipsius ꝓpor­tionis in se. Verbi gratia. Sint tres numeri continuae pro­portionales, dupli. veluti. 2. 4. 8. in his proportio inter primum et secundum dupla est: si a maiore incipiat com­paratio. alioqui si a minore: subdupla est. Denominatio autem duplę uenit a. 2. Igitur si. 2. in se ducantur: nas­centur. 4. quae inter primum numerum et tertium qua­druplam esse proportionem denotabunt, ita demum: si a maiore incipiat comparatio. alioqui si a minore: subqua­drupla erit. Ipsa autem quadrupla est dupla duplae: quia constat ex duabus duplis. Rursus de. 4. quantitatibus EVCLIDES admonet, inquiens. Si fuerint quatuor quantitates continuae proportionales: proportio primae ad quartam dicetur proportio primae ad secundam tripli­cata. Quorum uerborū sensus hic est. Si fuerint. 4. quan­titates continuę proportionales: ꝓportio primę ad quar­tam erit, sicut primae ad secundam triplicata: hoc est prius in se, postea in productū, multiplicata. Verbi gratia. sint quatuor numeri tripli continuę proportionales. Veluti. 1. 3. 9. 27. proportio inter primum et secundum tripla est: [Page] si a maiore incipiat cōparatio. quae denominatur a. 3. tria autem in se ducta producunt. 9. ipsa autem. 9. rursus in se ducta procreant. 27. quae uigintiseptuplam proporti­onem inter primum et quartū denotant: si maior in com­paratione praecedit. ea autem est tripla triplae: quia con­stat ex tribꝰ triplis. Perinde ita (que) est: ac si diceretur. Pro­portio est duarum quantitatū simplex interuallum: et ha­bet naturam simplicis dimensionis: ut lineę. Proportio­nalitas autem in tribus, est duplex interuallum, habens unum medium: et refert naturam duplicis dimensionis: ut superficiei. Proportionalitas autem in quatuor, est tri­plex interuallum, habens duo media: et refert naturā tri­plicis dimēsionis: ut solidi. Similiter si quin (que) termini cō ­tinue proportionales fuerint: proportio extremorū com­plectetur proportionem primorum quater. si sex fuerint: quinquies eam capiet. si septem: sexies. et ita deinceps. ut semper proportio extremorum toties contineat proporti­onem primorum: quot sunt omnes termini dempto uno. Nam cum proportiones sint interualla quędam: interual­lum autem nisi inter duo extrema esse nequeat: necesse est terminos ipsos interualla cōcludentes, uno plures esse: (quam) sint ip sa interualla. Igitur si quatuor termini fuerint: sicut 1. 2. 4. 8. proportio extremorum, uidelicet. 8. ad. 1. erit octupla. et quia proportio primorū est dupla: et tria sunt interualla: octupla illa cōstabit ex tribus duplis. Si quin­ (que) termini fuerint: ueluti. 1. 2. 4. 8. 16. proportio extre­morum, uidelicet. 16. ad. 1. erit sedecupla: quę quia pri­morum proportio est dupla: et. 4. sunt interualla: con­stabit ex quatuor duplis. qua ratione ꝓportio de. 32. ad [Page] 1. cōposita erit ex quin (que) duplis. et sic in infinitum. Quo fit manifestum, in proportionalitate continua proportio­nem extremorū produci ex omnibus proportionibus me­dijs. Vel si alia uia scire uoles, pluribus continue propor­tionalibus propositis, quę ꝓportio sit inter extrema, pro­portionem inter prima duo obseruabis: sicut in exemplo proxime dato: ubi dupla erat inter. 2. et. 1. In qua deno­minator eius in se ducatur: et surgēt. 4. quę inter extremos triū terminorū, sicuti. 1. 2. 4. quadruplā proportionem designant. Deinde si denominator ille ꝓductus, uidelicet 4. iterū ducatur in denominatorem primae proportionis, uidelicet. 2. nascetur proportio inter extremos quatuor terminorū, ut puta. 1. 2. 4. 8. quę est octupla. bis enim 4. sunt. 8. Rursus si octo in denominatorem primę pro­portionis. 2. ducātur: fient. 16. quę inter extremos quin­ (que) terminorū, ueluti. 1. 2. 4. 8. 16. sedecuplam mōstrant proportionē. Denuo si. 16. in primę proportionis deno­minatorē, uidelicet. 2. ducātur: prodibūt. 32. quę ꝓpor­tionē inter extremos sex terminoR, utpote. 1. 2. 4. 8. 16. 32. denominabunt. et sic in infinitum postremae propor­tionis denominatorem productum per denominatorem primae multiplicando procedere licet. Ita in longa serie continue proportionalium, omnes multiplicationes pau­ciores per numerum binarium euenient: (quam) sunt ipsi termi­ni propositi. sicut ex praedictis apparet.

QVOMODO in terminis improportionalibus longa serie continuatis unam proportionem ex plu­ribus compositam esse cognoscas.

[Page] HIC PVTAMVS operaeprecium pauca quaedam obiter praefari: qui termini sunt improportionales. Sunt autem illi improportionales: inter quos proportio­num dissimilitudo cadit. nam sicut proportionum simili­tudo proportionalitas, sic dissimilitudo improportiona­litas uocatur. quae etiam ipsa, et continua, et separata esse potest. Improportionalitas autem cōtinua est: aut quia maior est proportio primi ad secundum, (quam) secundi ad ter­tiū: et sic deinceps. aut quia minor. uelut inter. 1. 2. 6. 24. ubi tres sunt proportiones dissimiles: quarum prima du­pla est, inter. 2. et. 1. secunda tripla, inter. 6. et. 2. quae maior est, (quam) dupla. tertia quadrupla est, inter. 24. et. 6. quae maior est, (quam) tripla. Improportionalitas uero separa­ta siue incontinua est: aut quia maior est proportio primi ad secundum, (quam) tertij ad quartum: utpote inter. 10. et. 2. ac. 6. et. 4. aut quia minor. Huius autem inter propor­tiones dissimilitudinis, siue cōtinua sit: siue separata: duę species habentur. Altera est: quando maior est proportio primi ad secundum: (quam) secundi ad tertium in continuis: uel (quam) tertij ad quartum, in separatis. quę maior improporti­onalitas nuncupatur. utputa inter. 8. et. 2. ac. 6. et. 3.

Altera est, quando minor est proportio primi ad secun­dum, (quam) secundi ad tertium, in continuis: uel (quam) tertij ad quartum, in separatis. sicuti inter. 6. et. 3. ac. 8. et. 2. quae minor improportionalitas appellatur. Ad hunc mo­dum pleri (que) omnes improportionalitatem et diffiniunt: et diuidunt.

CAETERVM quomodocū (que) termini complures siue proportionales siue improportionales longa serie sint cō ­tinuati: [Page] et quantacum (que) inter improportionales dissimili­tudo interueniat: proportionem semper inter primum et ultimum ex omnibus esse collectam, EVCLIDES nos admonet, inquiens. Cum continuatae fuerint plures pro­portiones, siue eaedem, siue diuersae: proportio primi ad ultimum dicetur ex omnibus composita. Quocirca si plu­res proportiones, siue similes, siue dissimiles inter primū terminum et ultimum mediae interueniunt: proportio in­ter ipsos extremos terminos medias illas ꝓportiones om­nes, quotquot fuerint: complectetur. Denominationem autem habebit a numero ꝓducto ex multiplicatione de­nominationum omnium proportionum mediarū, nempe primarum duarum, alterius in alteram, deinde producti cuius (que) numeri continuo in quam (que) proximā: donec per omnes sit discursum. Nam proportio componi ex duabus proportionibus dicitur: quando denominatio illius pro­ducitur ex ductu denominationum illarū proportionum alterius in alteram. Similiter ex pluribus proportionibus cōponi dicetur: quando denominatio illius producitur ex duarū primarū denomimationū, alterius in alterā deinde ꝓducti in quā (que) proximā ductu us (que) ad finē. Nec refert ab utra manu denominationes ipsas multiplicare incipias, si ue a dextra, siue a sinistra: dummodo ceptū sequens ordi­nem, per omnes discurras. Id (que) tam in proportionalitate continua, (quam) in omni improportionalitate perpetuum est.

DE PROPORTIONALITATE autem cōtinua, (quam) (quam) ex praedictis licet id uidere: unum tamen exemplum dare non grauabimur. Esto, proponantur hi quin (que) nu­meri dupli. 1. 2. 4. 8. 16. a dextra incipientes inter duos [Page] primos. 16. et. 8. duplam ꝓportionem inuenimus. iterū progredientes inter. 8. et. 4. aliam duplam deprehendi­mus. Duae igitur illae denominationes altera in alterā du­ctae quadruplam ostendent ꝓportionem inter. 16. et. 4. Rursus procedentes inter. 4. et. 2. aliam duplam cerni­mus. quam in denominationem prius ex alijs productam uidelicet quadruplam ducentes octuplam formabimus. sic inter. 16. et. 2. octuplam comperimus. Denuo pro­gredientes inter. 2. et. 1. duplam etiamnum habemus. eam autem in octuplam priores complectentem, ducen­tes, sedecuplam tandem producimus. quę proportio inter 16. et. 1. inuenitur medias omnes complectens. Itidem in omni alia ꝓportionalitate continua eueniet: quotcum (que) proportiones in ea connectantur.

NVNC exempla de improportionalitate demus: quā ­do proportiones dissimiles inter primum et postremum interueniūt. Et exempli causa sumamus hos quatuor nu­meros. 1. 2. 6. 24. Inter quatuor hos numeros tres sunt proportiones. quarum prima, inter. 2. et. 1. est dupla. secunda, inter. 6. et. 2. est tripla. tertia, inter. 24. et. 6. est quadrupla. Iigitur si scire uoles: quae proportio sit in­ter extrema uidelicet. 24. et. 1. inuestiga primū propor­tionem inter duo prima uidelicet. 2. et. 1. et duplam ha­bebis. iterum inuestiga inter. 6. et. 2. et tripla tibi occur­ret. quae denaminationes altera in alteram ductae ꝓcreant sextuplā. ea erit proportio inter. 6. et. 1. Deinde si ꝓgre­diens quęris proportionem inter. 24. et. 6. quadruplam inuenies. ea autem si in denominationem ex prioribus collectam uidelicet sextuplam ducatur: uiginti quadrupla [Page] nascetur. quam proportionem ex dupla tripla et quadru­pla compositam uidere licet. In hoc exemplo minor im­proportionalitas continua est: si a sinistra in dextram ten­das: et a maioribus terminis ad minores comparationem in singulis proportionibus facias: uti nos iam fecimus.

SIMILIS compositio proportiōis inter extrema erit: etiam si proportiones omnes ex integris et minutijs, uel minutijs solis sint denominatę. Quod ut magis appareat: exempli gratia sumamus hos quatuor numeros. 4. 6. 8. 10. inter quos, tres proportiones dissimiles habentur. ui­delicet inter. 6. et. 4. sesquialtera. inter. 8. et. 6. sesqui­tertia. inter. 10. et. 8. sesquiquarta, quarum proportio­num denominatores capiamus. uidelicet pro sesquialtera 1 ½. pro sesquitertia 1 ⅓. pro sesquiquarta 1 ¼. Ipsorum (que) priores duos alterum in alterum ducamus, eo modo: quo in minutiarum libro edocuimus. ita producetur denomi­nator proportionis ex ambabus compositę. Deinde pro­ductum exilla multiplicatione denominatorem iterum in tertiae proportionis denominatorem ducentes, procrea­bimus denominatorem illius proportionis: quę ex tribus illis componitur. Igitur si a prioribus duobus incipien­tes 1 ½ in 1 ⅓ ducamus: enascentur. 2. quę de sesquialtera et sesquitertia duplam proportionem cōponi demonstrant. Deinde. 2. in 1 ¼ ducamus: et producentur 2 ½. qui nu­merus ꝓportionem de tribus illis uarijs cōpositam duplā sesquialteram denominabit. quae proportio erit inter ex­tremos omniū illarū proportionū terminos, uidelicet. 10. [Page] et. 4. In hoc exemplo maior improportionalitas cōtinua est: si a sinistra incipias: et maiores terminos ad minores comparans in dextram tendas: uti nos iam fecimus.

IAM VERO exemplum demus: quando impropor­tionalitas separata siue incontinua occurrit. nā EVCLI­DIS regula, quę instar oraculi, neminem fallit: de ea etiā idem praecipit. Ita (que) conferamus hos quatuor terminos 8. ad. 2. pro priore proportione: et. 6. ad. 3. pro poste­riore. inter priores duos, est quadrupla: quae maior est (quam) ea: quę inter posteriores dupla est. at (que) ea propter maior improportionalitas in his reperitur. et tamen proportio inter primum terminum prioris proportionis et ultimum posterioris ex omnibus proportionibus medijs composi­ta comperietur: at (que) etiam exilla: quae duas utrim (que) po­sitas media disiungit. ea est inter. 2. quae sunt in fine pri­oris proportionis: et. 6. quae sunt in initio posterioris. Id autem per regulam modo datam fiet manifestum. Nam si quis a sinistra ab octo faciens initium in dextram tendat: inter. 8. et. 2. quae prima occurrunt: quadruplā habebit. Deinde progrediens inter. 2. et. 6. quia minor terminus in comparatione praecedit: subtriplam compe­riet: quae minoris inaequalitatis est proportio: at (que) ideo, sicut superius monstrauimus: per minutias suas denomi­nanda: uidelicet 2/6. quae sunt ⅓. ita si ⅓ quae hanc ꝓpor­tionem denominat: ducatur in. 4. quae denominant pri­orem: nascentur 4/3. quę unum integrum et unam tertiam facientes, sesquitertiam proportionem inter. 8. et. 6. ex duabus prioribus componi demonstrant. Rursus progre­dienti [Page] inter. 6. et. 3. proportio dupla occurrit. quę, quia a. 2. denominatur. 2. in productum ex priore multipli­catione denominationē, uidelicet 1⅓ ducantur. et in nu­mero producto 8/3 comperientur. quae, si ad integra redu­cas: inuenientur 2⅔. quae duplam superbitertiam ꝓpor­tionem inter. 8. et. 3. manifestant. quam ex tribus illis medijs compositā esse, per regulam EVCLIDIS ex­plicauimus. Id quod paulo apertius de industria fecimus: ut nihil interesse monstraremus: qui termini medij inter extremos interueniant: etiam si maiore extremo sint ma­iores: aut minores minore. Ꝙ (quam) sunt: qui putant: si id fi­at: maiores in medio proportiones nonnun (quam) occursuras: (quam) quae est inter primum et ultimum: et fieri posse negant: ut pars suo toto sit maior. Verumtamē id nihil obstabit: quo minus proportio inter primū et ultimū ex omnibus medijs colligatur. Nam nun (quam) accidet: ut maior in medio proportio, (quam) quae inter primū et ultimum est: intercedat: quin simul alia minoris inęqualitatis ꝓportio media etiā reperiatur: quę cum maiore copulata tantū auferet: quā ­tum illa nimium redundat: ut procreatio proportionis inter primum et ultimum ex medijs omnibus ad aequali­tatē perducatur. Etsi pergis qu [...]rere: quomodo fieri pos­sit: ut ꝓportioni adiuncta proportio quic (quam) ab' ea detra­hat: facile est explicatu: si quis proportionum naturam pernouit. Omnis nam (que) proportio maioris inęqualitatis alteri maioris inaequalitatis addita, proportionem creat laterutra maiorem. At omnis proportio minoris inae­qualitatis alteri minoris inaequalitatis adiuncta, mino­rem, [Page] (quam) alterutra sit: profert. Cęterū quādo altera maioris inęqualitatis ꝓportio, et altera inęqualitatis minoris co­pulantur: ꝓportio, quę procreatur: minor est: (quam) quę ma­ioris est inęqualitatis: et maior: (quam) quę minoris. Quo fit: ut non omnis proportionū collectio semper augeat. Ita (que) quādo proportionem, quę est inter primum et ultimū: ex medijs constare Mathematici tradunt: hoc expimunt ex omnibus medijs proportionibus eam colligi. (quam)uis nō to­ta unaquę (que) media semper sit pars illius: ꝙ interdum illa ꝓportionum copulatio detrahat. quod cū acciderit: quic­quid de singulis nō detractū restabir: partis uicem pręsta­bit in ea ꝓportione, quę est inter primū et ultimū. Rem illustremus exemplo. in quo et maiore extremo termino maiorem, et minore minorem interponamus. capiamus (que) hos quatuor terminos. 2. 1. 20. 16. inter quos, si. 2. ad 1. et. 20. ad. 16. comparemus: maior improportionali­tas separata habebitur. Nihil refert ab utra manu multi­plicatio initium sumat: dummodo ceptum ordinem pro­grediendo seruet. Igitur a sinistra, si libet: ordiamur. ubi intur. 2. et. 1. dupla ꝓportio inuenitur. at inter. 1. et. 20. subuigintupla: quae proportio progredienti proxima oc­currit: et his minutijs exprimitur 1/20. Ideo numeros has duas proportiones denominantes, alterum in alterū du­camus: uidelicet. 2. in 1/20. et ꝓducentur 2/20. quęfaciūt 1/10. et subdecuplam proportionem inter. 2. et. 20. ex priori­bus illis duabus cōpositā indicant. rursus inter. 20. et. 16. sesquiquarta occurrit. quocirca numerum eum denomi­nantem uidelicet 1 ¼ ducamus in denominationem illam [Page] exprioribus productam, uidelicet 1/10. et producētur 5/40. quę faciunt ⅛. et suboctuplam proportionem, inter. 2. et 16. ex omnibus medijs proportionibus compositam esse manifestant. Vides igitur nihil referre qui termini inter primum et ultimum medij interueniant: dummodo mul­tiplicatio ab altero extremo ad alterum progrediens, cep­tum (que) seruans ordinem, nihil erret: ne (que) minoris inęqua­litatis proportio pro maioris sumatur. id quod multos sę­pefallit. Regula nam (que) ab EVCLIDE data generalis est: siue proportiones eaedem, siue diuersae fuerint. id est: siue proportionales, siue improportionales termini oc­currant.

QVAMOBREM quod de improportionalitate sepa­rata dicimus, proportionem inter primum et ultimum ex medijs omnibus constare: multo magis in separata pro­portionalitate uerum erit: in qua proportiones inter pri­mum et ultimum partim similes, partim sunt dissimiles. Velutisi compares. 4. ad. 2. et. 6. ad. 3. in his terminis tres proportiones habentur. quarum duas similes tertia media dissimilis disiungit. Hic. 4. ad. 2. collata duplam creant. ea prima est proportio. iterum. 2. ad. 6. collata, subtriplā ꝓportionem mediam, quę duas similes utrimꝙ disiungit: mōstrant. Quocirca. 2. in ⅓ ducta ꝓferent ⅔. quę subsesquialterā proportionem inter. 4. et. 6. often­dunt. Rursus inter. 6. et. 3. dupla inuenitur, primae si­milis: quae in productā subsequialterā ducēda est. nempe 2. in ⅔. et producentur 4/3. quae sesquitertiam proportio­nem [Page] inter primum extremum terminum primę proporti­onis et ultimum secundae patefaciunt. quam ex duabus si­milibus proportionibus extremis, tertia (que) media dissimi­li compositam esse liquet. Adeundem modum fiat: quot­cum (que) et quaecum (que) proportiones, siue similes et eaedem, siue dissimiles et quantum cum (que) uarię inter primum ter­minum et postremum medię interueniant.

QVAERET FORTASSE quispiam: quorsum de proportionum compositione prius monstratum est in cō ­tinue proportionalibus? Deinde in improportionali­bus tam continue (que) separatim? et demū in separatis pro­portionalibus? quando una praeceptio pro omnibus suf­ficere potuisset. In promptu ratio est. EVCLIDEM secuti sumus: qui de proportionum compositione in quā ­titatibus continue proportionalibus prius docere, at (que) ita per faciliora discentium animos ad magis ardua praepara­re uoluit: (quam) regulam hanc enarratam tam multos recessus tam (que) uarios anfractos habentem explicaret.

QVANDO PROPORTIO QVAEVIS OC­currit: quomodo proportiones alias ipsam componentes inuestigabis.

QVI PROPOSITA proportione qualibet, pu­tat se posse dicere: quot et quales aliae proportio­nes eam componunt: in chaos maximum incidit impru­dens. Sexcentę nam (que), immo uero infinitae proportiones exquiri possunt: ex quibus quęuis conflari potest, id quod mox apparebit. Quamobrem quot proportiones quam (que) [Page] formare queant: enarrare nemo potest: quippe cum sint innumerę. Caeterum complures inueniri possunt: ex qui­bus quaeuis proportio constet. Nam proposita proporti­one qualibet, ea (necesse est) duos terminos habeat. inter quos, si nisi unum medium appones: hi tres termini du­as ꝓportiones capient: ex quibus ea, quae inter extremos est: omnino componetur. Porro cum multis modis ter­minus medius uariari possit: multę et uarię proportiones perid enasci poterunt. Id quod hoc exemplo fiet manife­stum. Inter. 16. et. 1. sedecupla proportio est. inter quae si medium terminū. 6. interponamus. Per hoc inter. 16. et. 6. proportio dupla superbitertia habetur. at inter. 6. et. 1. fextupla est proportio. Vndeliquet proportionem sedecuplam, quae est inter extrema: ex his duabus medijs constare. Id ita habere probabis: si duas illas medias de­nominationes alteram in alterā ducas. nam. 6. quae sex­tuplam denominant: ducta in 2 ⅔. quę denominant alte­ram. 16. producunt. quę sedecuplam proportionem inter extrema demonstrant. Quo fit manifestum, duplam su­perbitertiam et sextuplam componere sedecuplam. Ꝙ si inter eadem extrema alium terminum medium ponas: alię proportiones orientur. Vtpote si. 8. interseras. Eo fiet, utinter. 16. et. 8. dupla oriatur. at inter. 8. et. 1. octu­pla habebitur. quę denominationes, altera in alteram du­ctę, sedecuplam iterum creabunt. Qua ratione sedecupla ex dupla et octupla conflata erit. At si inter ipsa extrema plures termini sint interpositi: plures ita ꝓportiones ena­scentur. quas uniuersas ea, quae inter primum et ultimum [Page] est: complectetur. Veluti si. 5. 6. 8. statuamus inter. 1. et. 16. ut hic sit ordo. 1. 5. 6. 8. 16. inter quin (que) hos ter­minos quatuor diuersae proportiones habentur, inter. 5. et. 1. quintupla. inter. 6. et. 5. sesquiquinta. Igitur. 5. quae quintuplam denominant: ducta in 1 ⅕. quae deno­minant sesquiquintam: procreant 30/5. quae. 6. inregra fa­ciunt: et sextuplam proportionem inter. 6. et. 1. ex am­babus compositā indicant. Deinde progrediens inter. 8. et. 6. sesquitertiam comperies. Ita si 1 ⅓ multiplices in. 6. quae ex prioribus productam proportionem denomināt: produces 24/3. quae ad integra reductę saciunt. 8. et octu­plam inter. 8. et. 1. designant. Rursus progredere: et in­ter. 16. et. 8. dupla tibi occurret. igitur. 2. si in. 8. quae ex priorum denominationum multiplicatione proxima producta sunt: ducas: tandem produces. 16. quae sedecu­plam proportionem inter. 16. et. 1. denominant. Quo fit manifestum, sedecuplam proportionem ex quintupla, ses­quiquinta, sesquitertia, et dupla compositam esse. Igitur cū terminos inter extrema interponendos innumeris mo­dis per minutias, in quas singuli frangi possunt: uariare licet: manifesto liquet, ꝓportione ꝓposita nequa (quam) expli­cari posse: quot et quę ꝓportiones eam possint compone­re: cum infinita uarietas unam at (que) eandem ꝓportionem producat. id quod per exempla iam data uidere licet. nam ut multae proportiones, ex quibus quaeuis constat: facile inuenientur: ita omnes exquirere, quae eam formare pos­sint: infiniti operis erit.

QVOMODO CVIVSQVE PROPORTIO­nis uel ambo extrema uel alterum per nu­merum ipsam denominantem inueniri possint.

OMNIS PROPORTIO duo extrema habet, quo rum si id, quod maius est: at (que) una ipsam proporti­onis denominationē cognoscimus: diuisio ipsius noti ex­tremi per numerū eam ꝓportionē denominantem facta, ignoratū extremum minus in numero partitionis patefa­ciet. Exempli gratia. Esto: proportio dupla ꝓponatur. cu­ius maius extremum nobis notū sit. 10. si minus eius ex­tremum eruere uolumus. 10. per duo, quę duplam deno­minant: secantes, in numero partitionis. 5. inueniemus. sic extremum minus in lucem prodibit. At si proportionis denominatione cognita, minus extremum nobis erit no­tum: et maius ignoratū exquirere uelimus: ipsum minus extremum in proportionis denominationem ducamus: et numerus productus maius extremū erit. Veluti si de pro­portione tripla minus extremum sciamus esse. 6. tria, quę triplam denominant: in. 6. ducamus: et nascetur extre­mum maius: uidelicet. 18. Caeterum si denominatione proportionis cognita, neutrum eius extremū habeamus notum: numeros quoscum (que), qui eam proportionem for­ment: pro arbitrio apponere poterimus.

HACTENVS de ꝓportionum origine, generibus (que) earum, et compositione. Nunc restat: ut de earū Additi­one, Subductione, Multiplicatione, et Diuisione dicamꝰ. Id quod huius libri initio studiosis polliciti sumus.

DE PROPORTIONVM ADDITIONE.

ADDITIO proportionum, siue continuę sunt: siue separatę: siue similes: siue diuersę: fieri debet ad eū modum: quem paulo superius explicauimus. ut in longa proportionum serie, primarum duarum denominatio du­catur altera in alteram. Deinde proportionis per hoc pro­ductę denominatio in proximam denominationem duca tur. at (que) ita deinceps productę cuiusque denominationis multiplicatio in quam (que) proximam, us (que) in finem peraga­tur. quo cum uentum erit: postremo producta denomina­tio, uelut summa quaedam, ꝓportionem monstrabit om­nes complectentem. Et (quam) (quam) exempla de proportionū com positione iam ante data possunt sufficere: unū tamen ap­ponemus: in quo proportiones partim continuas, partim separatas, partim similes, partim diuersas, connectemus. Esto, septem hi numeri proponantur. 30. 24. 12. 6. 4. 2. 1. inter hos septem numeros interualla sex sunt: et toti­dem ꝓportiones. Quare a sinistra incipientes, singulos (que) numeros maiores ad minores comparantes, inueniemus primam proportionem sesquiquartam: secundam et ter­tiam duplas: quartam sesquialteram: iterum quintam et sextam duplas. Omnes has denominationes sic addemus. Primam denominationem sesquiquartā inter. 30. et. 24. in secundam duplam inter. 24. et. 12. ducentes procrea­bimus duplam sesquialteram: quae est inter. 30. et. 12. Deinde productam illam duplam sesquialteram in proxi­mā duplam inter. 12. et. 6. ducentes formabimus quin­tuplam inter. 30. et. 6. Rursus quintupla illa producta [Page] in proximam sesquialteram inter. 6. et. 4. multiplicata producet septuplam sesquialteram inter. 30. et. 4. De­nuo septupla sesquialtera illa producta, si in duplā proxi­mam inter. 4. et. 2. ducatur: enascetur quindecupla in­ter. 30. et. 2. Demum quindecuplam illam in postremā duplam multiplicantes, producemus trigintuplam inter 30. et. 1. quę proportio inrer primum et ultimum sic for­mata, uelut summa quaedam, proportiones medias om­nes intra se complectetur. Hoc modo proportiones, quę sunt numerorum inter se habitudines: per additionem in unam summam aptissime colliguntur. Nonnullis au­tem alia uia proportiones sic addere placet: ut earum om­nium, quas sunt addituri: terminos priores a sinistra no­tent alium sub alio: at (que) a dextra posteriores earum ter­minos prioribus e regione opponāt. Postea priorem ter­minum primae proportionis in priorem secundae multi­plicant: numerum (que) productum statuunt priorem termi­nū proportionis ex ambabus compositę. Deinde poste­riorem terminum primae proportionis in posteriorem se­cundae ducunt. et productum similiter faciunt posteriorē terminum compositę. Porro si proportiones plures addē ­dae fuerint: tertiae proportionis priorem terminum in pri­orem terminum ex primis duabus compositae ducunt: et productum statuunt terminū priorem ex tribus illis com­positae. posteriorem (que) terminum tertię, in posteriorem ex duabus primis compositae ducentes, productum termi­num apponunt posteriorem ex tribus illis compositae. Et sic ulterius, priorem terminum cuiusque proportionis compositę in terminū priorem proximę cuius (que) propor­tionis [Page] addendae, et posteriorem cuius (que) compositę in po­steriorem cuius (que) addendę, ducunt, us (que), in finem. Quo fit: ut inter terminos postremo productos, proportio enasca­tur omnes priores complectens. Exemplum afferamus.

Sint hae tres proportiones addendae: prima sesquitertia inter. 4. et. 3. secunda sesquialtera inter. 3. et. 2. tertia dupla inter. 2. et. 1. Si primae proportionis priorem ter­minū. 4. duces in. 3. priorem secundae, creabis. 12. qui terminus erit prior proportionis compositae. Et si. 3. po­steriorem terminum primę duces in. 2. posteriorem secū ­dae: produces. 6. qui terminus posterior compositae pro­portionis erit. Ita producti illi termini. 12. et. 6. duplam proportionem habentes indicant ex sesquitertia et sesqui­altera simul additis, fieri duplam. Id quod etiam denomi­nationes ipsę altera in alteram, ductę probant. Iam uero si priorem terminum proportionis compositae, uidelicet 12. in tertiae proportionis priorem terminum. 2. multi­plices: prodibunt. 24. qui terminus erit prior proporti­onis ex tribus compositae. Et si. 6. posteriorem terminū compositę in posteriorem tertię. 1. duces: nihil nisi ea ipsa 6. habebis. qui terminus erit posterior proportionis ex rribus collectę. Ita proportio inter productos terminos 24. et. 6. monstrat ex sesquitertia, sesquialtera, et dupla simul additis, nasci quadruplam. Nam, ut inquit EV­CLIDES. Omnium duorum numerorum composito­rum proportio unius ad alterū, est ex laterum suorū pro­ducta proportionibus. Latera autem numerorum appel­lantur: quorum multiplicatione numeri producuntur.

Id quo (que) uerum esse, proportionum denominationes, alia [Page] in aliam, sicuti praecepimus: ductae, manifesto probant. Hic proportionum addendi modus per earum terminos multiplicatos, uti diximus: productorum terminorum mutuas habitudines obiter commonstrat. Caeterum mo­dus ille superior denominationes proportionum, alias in alias ducendi, multo apertius indicat collectam earum summam.

DE PROPORTIONVM subductione.

SVBDVCTIO proportionū monstrat: quando aliae proportiones ab alijs subtrahuntur: quae proportio­nes restabunt. Ea autem tum demū fieri potest: si mino­res sunt: quae subducuntur: (quam) a quibus fit subductio: uel si sunt eis aequales. Ne (que) enim per rerum naturam, quod maius est: ex minore demi potest. Quamobrem plurimū iuuabit meminisse, proportiones eas alijs maiores esse: quae maiores alijs denominationes habent: minores au­tem, quae minores. id quod superius admonuimus. Porro modus subducendi proportiones longe facillimus hic est. Denominatio proportionum earū, quę subducendę sunt: et earum, a quibus fiet subductio: per numeros ipsas de­signantes, seorsum annotentur. Deinde numerus deno­minans proportionem, a qua fit subductio: diuidatur per numerum, qui denominat proportionem subducendam. et numerus sectionis proportionem ex ea subductione re­lictam designabit. Et ut exempla rem magis aperiant.

Esto, proportio sesquialtera subduci a dupla debeat. 2. [Page] quae duplam denominant diuisa per 1 ½. quę sesquialterae dant nomen: in numero sectionis proferunt 4/3. quę ad in­tegra reductę faciunt 1 ⅓. at (que) Ita mōstrant sesquitertiam ex ea subductione relictam. Certū specimen est recte sub­ductū esse: si proportio relicta ad subductam addita pro­portionem instaurat: a qua subducta fuit. sicut fit in nu­meris. Sesquitertia nam (que) ad sesquialterā addita per alte­rius in alteram ductum, duplam iterū in numero sectionis format. Aliud exemplum demus. sesquiquartam (que) sub­ducamus a dupla sesquialtera. 2 ½ quę denominant duplā sesquialteram, secta per 1 ¼, quaedesignant sesquiquartā: in numero sectionis monstrant 20/10. quę sunt duo integra: et duplā proportionem ex ea subdnctione superesse mon­strant. Rursus si libet cape specimen: relictam (que) duplam ad sesquiquartam adde, ducens alteram in alteram: et in numero sectionis dupla sesquialtera iterum redibit.

ALIVS etiam modus proportiones per earum termi­nos subducendi, traditur a quibusdam. Porro proportio­nem utram (que), et quę subduci, et a qua subductio fieri, de­bet: minimis notant numeris: qui eas proportiones ha­beant: quo facilius reddatur opus. proportionem autem, a qua fit subtractio: supra scribunt: quae uero subducen­da est: infra: ut termini terminis respondeant: priori pri­or, posterior (que) posteriori. Deinde priorem terminū pro­portionis eius, a qua fit subductio: in posteriorem aufe­rendae, posteriorem (que) eius terminum in auferendae prio­rem, oblique in formam crucis, ducunt: et terminos ex his [Page] duabus multiplicationibus productos statuunt esse reli­ctę proportionis terminos. Exempli gratia. aproportio­ne tripla inter. 6. et. 2. subducatur sesquitertia inter. 4. et. 3. In hac subductione. 6. in. 3. ducta creant. 18. et 2. ducta in. 4. proferunt. 8. inter quos terminos pro­ductos, uidelicet. 18. et. 8. proportio dupla sesquiquar­ta reperitur: quae ex sesquitertiae subductione de tripla re­linquitur. [...]

SVBDVCTIONEM hanc recte factam esse proba­bis: si ꝓportionis relictę denominationem addes ad sub­ductę: sicuti modo diximus. Vel si mauis: proportionem relictam ad proportionem subductam adde, per alterius terminos in alterius ducendos: sicuti proximo capite do­cuimus. quando quidem illa etiam uia redibit proportio: [...] [...]ua subductio facta est. nam si. 18. priorem terminum [...]e [...]ctę; ducas in. 4. priorem subductę: [...]ient. 72. et si. 8. posteriorem terminum relictę duces in. 3. posteriorem subductę: surgent. 24. quę proportionem illam fuisse tri­plam, a qua subductio facta est: designant.

Ꝙ SI plures ꝓportiones ab una subduci debent: prius in unā ꝓportionem, uelut in summā quandā, omnes sunt addendę: et tum demū ad eius subductionem proceden­dum: modo nō sit facta maior: (quam) ea, a qua subductio fiet. [Page] Porro sunt nōnulli: qui singulas seorsum subducunt: Cę­terū maiorem ea res laborem pariet: (quam) si quis omnes sub­ducendas prius in summam colligens unicam subductio­nem faciat.

PROPORTIONVM ita (que) subtractionē duobus his modis fieri uides. Altero per denominationū sectionem. Altero per earum terminos oblique, uti diximus: multi­plicandos. Tertius quo (que) modus ex his duobus mixtus inuentus est: qui et proportionem relictam, et subductā, necnon illam etiam, a qua fit subtractio: una opera ante oculos ponit. Is autem est huiusmodi. Proportio illa, a qua fit subductio: suis numeris in primis notetur. Dein­de inter maiorem illius terminum et minorem tertius nu­merus medius apponatur: ad quem ea proportione ma­ior terminus se habeat: qua sit ipsa proportio: quae sub­duci debet. Ita inter numerum medium et terminum mi­norem inuenietur ea proportio: quae ex subductione re­stabit. Exempli gratia. A proportione tripla inter. 6. et 2. subducamus sesquitertiā. Post (quam) notata sunt. 6. et. 2. numerus exquirendus est: ad quem maior terminus, uide­licet. 6. proportione sesquitertia, quę subducenda est: se habeat. Eum autem numerum facile inuenies: si memoria tenes regulam: quam supra enarrauimus. Quę est huius­modi. Quando maior terminus proportionis cuiusuis una cum eius denominatione notus est: si ipsum terminū per proportionis illius denominationem diuidas: minor terminus ignoratus ex numero sectionis inuenietur. Igi­tur. 6. illa, quae sesquitertię proportionis, quam inuesti­gamus: maiorem terminum praestant: per eius denomi­nationem [Page] 1⅓ diuidenda sunt. et numerus partitionis pro­feret 18/4. quae faciunt 4½. Is terminus minor erit propor­tionis sesquitertię inter. 6. et 4½. Deinde post (quam) per cō ­parationem maioris extremi ad medium numerum inter­sertum, proportionem auferendam deprehendisti: rursus compara medium numerum ad extremum minus. et pro­portionem eā, quae ex subductione relinquetur: inter eos reperies, quae est dupla sesquiquarta. Id ita esse probabis: si relictę duplę sesquiquartę denominationem ad subdu­ctę sesquitertię (sicuti mōstrauimus) addes. rursus nam (que) nascetur proportio tripla. Per hanc subducēdi uiam, tres proportiones simul ante oculos licet cernere. unam: a qua subducimus. alteram: quam subducimus. tertiam: quam relinquimus. Itidem etiam apparent singularum termi­ni. Ad hęc proportionum differentię, quae ex subductio­ne oriuntur: patefiunt per hunc modum. [...]

PROPORTIONVM igitur additio multiplicatiom numerorum similis esse uidetur. At earum subductio ma­gnopere diuisionis, praesertim eius, quae fit in minutijs: similitudinē refert. Id, quod ea, quae hoc capite, et proxi­mo sunt dicta: manifestum faciunt.

DE PROPORTIONVM multiplicatione.

MVLTIPLICATIO proportionum longe diuer­sa est ab ea: quę fit in numeris. Numerus nam (que) est unitatum collectio. At proportio numerus non est: sed ipsorum numerorum inter se respectus et habitudo: quae nisi inter duos, minimū, numeros esse nequit. Igitur pro­portionem ꝑ proportionem, uelut per quendam numerū, multiplicari, sensus communis non admittit. Caeterum quando proportio proportioni est addenda: numeri ipsas denominantes, aut ipsarum termini, per aliarum denomi­nationes, aut terminos multiplicari possunt: sicuti supra de earum additione facienda dictum est. Quę denomina­tionum aut terminorum multiplicatio est additio ipsarū habitudinū. Ita ꝓportionū diuersarum collectionem in unam summam, uulgus multiplicationē putat: (que) per eam fiat: cum tamen sit additio. Quare proportionum aliarū per alias multiplicatio, eo modo, quo fit in numeris nul­la propriē esse potest.

VERVM si per proportionum multiplicationem intel­ligis similem et continuam generationem plurium nume­rorum proportionalium ex una stirpe nascontium, et secū ­dum datam proportionem minimorum: ea fiet ad hunc modum. Proportio quęuis cui complures similes conti­nuare cupis: minimis numeris, qui eam ꝓportionem ha­beant: uelut stirps quędam, ex qua cęterę proditurę sunt: notetur. Deinde prior eius terminus in se multiplicetur: productus (que) numerus signetur. iterū idem terminus du­catur [Page] in posteriorem. productus (que) secundus apponatur numerus. Tertio posterior terminus ducatur in se ipsum. numerus (que) productus tertius tertio loco statuatur. at (que) ita inter tres illos productos terminos duo interualla ha­bentur: et duae proportiones stirpis, ex qua ductae sunt: similes nascuntur. ea (que) proportio, quae inter eorum extre­mos est: duas alias medias complectitur. Exempli gratia. proportionem sesquialteram signemus his numeris. 3. et 2. ducamus (que). 3. in se, et. 9. surgent. Iterum (que). 3. in. 2. ducamus: et fient. 6. Deinde. 2. in se multiplicemus: et prodibunt. 4. inter quos tres numeros productos. 9. 6. 4. duae proportiones sesquialterae continuantur. et inter primum. 9. et ultimū. 4. dupla sesquiquarta ex illis du­abus, sesquialteris, composita inuenitur. Et quia. 9. et. 4. illorum trium terminorum continue proportionalium ex­tremi, contra se sunt primi: ideo tres illi secundum datam proportionem sunt tres minimi. Nam secundum EV­CLIDEM, Si numerorum quotlibet continue propor­tionalium duo extremi fuerint contra se primi: eos om­nes, secundum suam proportionem in totidem numeris sumptam, minimos esse necesse est. Ꝙ si quatuor nume­ros eadem proportione procreare uolumus: primum ter­minum stirpis in omnes tres numeros productos singu­latim ducamus: numeros (que) ex his denuo productos seor­sum notemus. Deinde secundum terminum stirpis mul­tiplicemus in tertium productū [...]olū. et numerus ex hoc productus quarto loco signetur. Igitur in exemplo priore quatuor numeros. et tres sesquialteras procreaturi primū numerū productū, uidelicet. 9. in. 3. ducamus: et surgēt [Page] 27. Iterum. 6. secundum productum in. 3. ducentes, 18. formabimus. Rursus. 4. tertium productum in. 3. multiplicantes, producemus. 12. Demum (que) secundum terminum stirpis, uidelicet. 2. in solum tertium nume­rum ante productum, uidelicet. 4. ducentes, efficiemus s. qui quartus erit numerus. inter quos quatuor numeros proportiones sesquialterae tres habentur. et proportio in­ter primum. 27. et ultimum. 8. ex tribus illis coaceruata comperietur, tripla supertripartiens octauas. Et quoniā 27. et. 8. qui quatuor illorum continue proportionalium extremum locum tenent: sunt contra se primi: ideo qua­tuor illi secūdum datam proportionem sunt quatuor mi­nimi. Eodem modo priorem terminū stirpis ducentes in omnes quatuor illos numeros ultimo productos, notan­tes (que) numeros rursus producēdos, et deinde posteriorem stirpis terminum in solum quartum postremo productū multiplicantes, formabimus quin (que) numeros, et quatuor continuas ꝓportiones sesquialteras. Sic (que) etiam ulterius quotlibet numeros eadem proportione continue formare licet. uti subiectę notę monstrant. [...]

Ꝙ SI CVI proportionem per numerū aliquem mul­tiplicare libet: tunc proportionis denominatio uelut ali­qua alia res numerata accipietur. et ideo quot unitates in numero producto reperientur: totidem proportiones il­lius denominationis per numerum illum productum de­signabuntur. [Page] Veluti si unam triplam per numerum terna­rium multiplicare uelimus: surgent. 3. triplę. si duas tri­plas in ternarium ducamus: fient. 6. triplae. Similiter si unam quadruplā per ternariū multiplicemus: prodibunt 3. quadruplę. si. 2. quadruplas in ternariū ducamus, ori­entur. 8. quadruplę. et sic de alijs fiat.

DE PROPORTIONVM DI­VISIONE.

DIVISIO proportionis fit: quando inter eius ex­trema uel unus terminus medius, uel plures interpo nuntur. quo fit: ut diuidenda proportio in totidem alias proportiones secetur: quot interualla inter eius extrema ex illa interpositione oriuntur. qua de re superius abunde diximus: quādo docuimus: quomodo proportione qua­uis occurrente, proportiones alias ipsam componētes in­uestigares. Exempla illic explicata hic tantum attinge­mus. Si proportionem diuidendam partiri in duas pro­portiones cupis: unicus terminus interserendus est. Ve­luti si in sedecupla proportione inter. 16. et. 1. interpo­nas. 8. in duas proportiones eā secabis. quarū una inter 16. et. 8. dupla erit. Altera inter. 8. et. 1. octupla. At si in eadē sedecupla inter eius extrema, tres terminos inter­pones: utpote. 8. 6. 5. ut quin (que) terminorum hic sit or­do. 16. 8. 6. 5. 1. in quatuor proportiones sectio per hoc fiet. quarum prima erit dupla. secunda sesquitertia. tertia sesquiquinta. quarta quintupla. Similiter eiiā fiet: si quot­libet [Page] terminos medios appones. nam in totidem propor­tiones facta erit sectio: quot inter primum et ultimū com­perientur interualla. Nec quic (quam) refert: qui termini medij inserantur: etiam si maiore extremo maiores sint: aut mi­nore minores: quemadmodum illic latius explicauimus. Ad hunc modum diuisio▪ fit in proportionibus: nec ulla alia, (quam) hęc est: in eis reperitur.

QVOMODO PROPORTIONEM INTER quosuis numeros assignatam inuenias in mi­nimis numeris, qui eam propor­tionem habeant.

INTER QVOSLIBET numeros assignatā pro­portionem inuenire potes in numeris secundum eam proportionem minimis: ad hunc modum. Principio ob­seruandum est: an numeri ipsius datae proportionis sint cōtra se primi: ut nullus numerus eas numeret pręter uni­tatē. nā si sunt huiusmodi: illi ipsi sunt ea proportione mi­nimi. Sin autem alius numerus praeter unitatem eos nu­merat: maximus numerus utrū (que) communiter numerans est inuestigandus. et per illum inuentum uter (que) numero­rum, tam antecedens (quam) consequens diuidendus. Quo fiet: ut in numeris ambarum sectionum minimi eiusdem pro­portionis numeri appareant. Nā maximus numerus du­os communiter numerans numerat eos, per minimos il­lius proportionis numeros. Quomodo autem maximus numerus duos communiter numerans sit inuestigandus: [Page] supra libro secundo copiosius admonuimus: quando do­cuimus: Quomodo partes ad minimam sui nomenclatu­ram redigantur. quare quę illic de numeratore et denomi­natore partium sunt dicta: hic de numero antecedente et numero consequente cuius (que) proportionis repetita intel­ligantur. nam idem utrobi (que) modus est et partes ad mini­mam sui nomenclaturā, et proportiones ad minimos nu­meros ipsas habentes, reducendi. Exemplum demus in numeris contra se primis. Inter. 7. et. 3. proportio du­pla sesquitertia est. nec minores numeri haberi possunt: inter quos sit ea proportio. Exemplum demus in alijs nu­meris communicantibus: quos communis aliquis nume­rus alius (quam) unitas metitur. Veluti inter. 35. et. 15. inter quos proportio dupla sesquitertia ex sectione maioris per minorem reperitur. et quia uter (que) illorum numerorum numeratur a. 5. qui maximus numerus est eos communiter numerans: utrum (que) per. 5. diuidamus. et ex sectione. 35. facta per. 5. in numero partitionis. 7. inueniuntur. Ite­rū per. 5. diuidamus. 15. et in numero sectionis. 3. pro­deunt. sic exduabus illis sectionibus minimi numeri. 7. et. 3. comperuntur: inter quos proportio dupla sesqui­tertia haberi potest.

QVOMODO PROPORTIONVM DISIVN­ctarum similitudo inueniri possit in minimis numeris secundū ipsas proportiones continue proportionalibus.

[Page] PROPORTIONVM quarumlibet, quae separatae sunt, et disiunctę: similitudo in minimis numeris cō ­tinuatim proportionalibus secundum illas ipsas propor­tiones disiunctas, inueniri potest hoc modo. Notentur quęuis proportiones disiunctę, suis quę (que) minimis termi­nis. Deinde minimus numerus exquiratur: quem primae proportionis extremum consequens, et extremum ante­cedens secundę numerant. Nam is inuentus primam pro­portionem cum secunda copulabit. Extremum autem an­tecedens ei adiungendum, ita demū inueniemus: si primę proportionis antecedens per eum numerum multiplica­mus: per quem primę extremum consequens multiplica­tum, producit minimū ab eo, et antecedente secundę nu­meratum. Consequens uero secundę proportionis conti­nuandę exquiremus: si per eum numerū multiplicemus consequens, secundę ꝓportionis disiunctę: per quem an­tecedens eiusdem procreat minimū numerum ab ipso, et primę disiunctę cōsequente numeratum. Deinde si ante­cedens tertiae proportionis disiunctę, per aliquem nume­rū numerat consequens secundę continuatę: per eundem multiplica consequens tertię disiunctę: et produces con­sequens ꝓportionis tertię: cum duabus superioribus cō ­tinuandę. Sin autem tertium antecedens disiunctę ꝓpor­tionis per nullum numerum numerat consequens secūdae continuatae: inquirendus est minimus numerus: quem consequens secundae continuatę, et antecedens tertię dis­iunctae numerant: is autem inuentus, antecedens erit ter­tię proportionis continuatae. Postea si consequens tertiae [Page] disiunctę multiplicabis per eum numerum: per quem an­tecedens eiusdem multiplicatum, producit minimum ab eis numeratum: prodibit consequens tertiae continuatae proportionis. Deinde si reliquos terminos ante continu­atos multiplicabis per eum numerū: per quem cōsequens secundę continuatae producit minimum a se et ab antece­dente proportionis tertię disiunctę numeratum: tres pro­portiones disiunctim propositae cōiungentur. id (que) in mi­nimis terminis. Et (quam) (quam) duae primae proportiones, ante in minoribus terminis coniunctę erant: has tamen tres uni­uersas in minoribus terminis copulare non licet. At (que) ad eundem modū quotlibet ꝓportiones continuari possunt. Exemplū afferamus de tribus proportionibus: ut res ma­gis appareat. redigamus (que) ad minimos numeros conti­nue proportionales has tres proportiones: uidelicet pri­mam, triplam supertriquartam. Secūdam, subquadruplā sesquialteram. Tertiam, sesquialteram. Porro minima tri­pla supertriquarta reperitur inter. 15. et. 4. minima sub­quadrupla sesquialtera inter. 2. et. 9. Et minima sesqui­altera inter. 3. et. 2. quos numeros minimos in ordinem designemus. Deinde primas duas proportiones per ter­minos cōtinue proportionales copulaturi minimum nu­merum inquiramus: quem. 4. consequens primae et. 2. antecedens secūdę numerāt. et quia hi sunt numeri cōmu­nicātes: ideo minimi illius ꝓportionis, cuius ipsi sunt: in­quirantur. Illi autem sunt. 2. et. 1. qui [...]nenti subnoten­tur. 2. sub. 4. et. 1. sub. 2. Ita siue. 1. in. 4. siue. 2. in 2. ducamus: comperiemus. 4. minimum numerū nume­ratum [Page] ab eis. nam secundum EVCLIDEM. Quilibet duo numeri minimos numeros suae proportionis maior minorem, aut minor maiorem, multiplicantes, minimum ab ipsis numeratum producunt. quare supra uerticem in­ter primam proportionem et secūdam illum annotemus. Postea antecedens ei adiungēdum inuestigemus: et quia 4. consequens primae numerat. 4. minimum numerum numeratum a consequente primae, et antecedente secundę per unitatem. per eam multiplicemus antecedens primae 15. et ipsa. 15. prodeunt: quae supra uerticem signata an­tecedens erunt ad illa. 4. supra annotata. Deinde ut cō ­sequens secunde proportionis continuandae exquiramus. quia. 2. antecedens secundae disiunctae per. 2. multipli­cata producunt. 4. minimum uidelicet numerum nume­ratum a consequente primae disiunctae, et antecedente se­cūdae disiunctę: per illa. 2. multiplicemus. 9. cōsequens secundae disiunctae: et producemus. 18. quae supra uerti­cem signata, consequens erunt proportionis secundae cō ­tinuatae. Sic ex duabus proportionibus disiunctis duas ędidimus proportiones continuatas: quibus tertiam dis­iunctam copulemus. Et quia ternarius antecedens tertię disiunctae numerat consequens secundae continuatae, ui­delicet. 18. per. 6. multiplicemus consequens tertiae dis­iunctae: nempe. 2. per illa ipsa. 6. et prodibūt duodecim quae erunt consequens tertiae continuatae. Ita quatuor hi numeri. 15. 4. 18. 12. continue pro portionales erunt, secundum tres illa proportiones disiunctas, uidelicet tri­plam supertriquartam, subquadruplam sesquialteram, et [Page] sesquialteram. Minimi autem continue proportionales sunt: in quibus has proportiones secundum illas disiun­ctas inuenire licet. quia nulli totidē his minores hoc prae­stare possunt. [...]

SIN autem tertium antecedens, proportionis disiun­ctae, per nullum numerum numerat consequens secundae continuatae: inquirendus est minimus numerus: quem consequens secundae cōtinuatae et tertium antecedens dis­iunctae numerant. ueluti si quadruplam inter. 4. et. 1. sesquialteram inter. 3. et. 2. ac triplam inter. 3. et. 1. cō ­tinuare uelimus: comperiemus eo modo: quo iam dixi­mus: primas duas proportiones quadruplam et sesquial­teram his tribus minimis terminis. 12. 3. et. 2. secūdum datas proportiones continuari. Quibus tertiam disiun­ctam postea copulemus. et quia. 3. antecedens tertię dis­iunctae, per nullum numerum numerat consequens secū ­dae continuatę. 2. inquirendus est minimus numerus ab his numeratus. et quia. 3. et. 2. sunt numeri contra se pri mi: alter in alterū ducatur: et producentur. 6. quae erunt antecedens tertiae continuandae: et supra uerticem conse­quentis secūdae continuatae reponenda sunt. Deinde quia 3. antecedens tertiae disiunctę ducta in. 2. produxerunt 6. Similiter per illa ipsa. 2. multiplicemus cōsequens ter­tię disiunctę, uidelicet. 1. et prodeunt. 2. quę erūt conse­quens [Page] tertię continuatę. Iam uero quia tertia proportio continuata inter. 6. et. 2. maiores habet terminos: (quam) ut pręcedentes ante continuati cum ea congruant. et conse­quens secundae continuatae. 2. multiplicata per. 3. pro­duxerunt minimum a se numeratum. multiplicemus per illa. 3. antecedens secūdę cōtinuatae, uidelicet. 3. et pro­deunt. 9. quae iam erunt antecedens secundę continuatę: et supra uerticem ante. 6. statuentur. Rursus per illa. 3. multiplicemus etiam antecedens primae continuatę, uide­licet. 12. et producentur. 36. quae iam erunt antecedens primae continuatae: et supra uerticem ante. 9. reponi de­bent. Ita in his quatuor terminis. 36. 9. 6. 2. continuatae sunt in minimis terminis tres proportiones uidelicet qua­drupla, sesquialtera, et tripla, secundum illas tres disiun­ctas datas. Ex hac autem postrema terminorū ante con­tinuatorum multiplicatione per unum et eundem nume­rum facta, propterea ut cum tertia continuata proporti­one conueniant. producuntur eędem proportiones: quae ante in minoribus terminis continuatę erant. Nam secun­dum EVCLIDEM, Si unus numerus in plures duca­tur: eadem erit numerorum inde productorum: quę mul­tiplicatorum proportio. [...]

HAC RATIONE his quartā proportionem disiun­ctam: [Page] et quotlibet alias per terminos continue proporti­onales connectere licet. nam de primis quibus (que) propor­tionibus primum expedire oportet: at (que) his adaptatis, ad alias transire.

DE PROPORTIONE HABEN­te medium duo (que) extrema.

APVD GEOMETROS species quędam propor­tionis longe a prędictis diuersa reperitur. quā EV­CLIDES nuncupat proportionem habentem medium duo (que) extrema. Ea nun (quam) in paucioribus terminis (quam) in tri­bus haberi potest: cum caeterae proportiones inter duo constent. Qua in re similitudinē proportionalitatis refert. et ad quorundam corporum dimensionem, quę sine ea in­telligi nequit: adinuenta, Geometris ad multa confert. si­cuti EVCLIDES libro. 13. multis pręceptis explicat. qui etiam libro. 6. propositione. 29. secūdum eam pro­portionem lineam secare docet. Verumtamen quia in nu­meris huiusmodi proportio nō habetur: nec ad supputa­tionem facit: nos Geometris eam relinquamus.

DE PROGRESSIONE NVME­rorū continue proportionalium.

PROPORTIONVM continuatarū progressio, quā Geometricam uocant: est plurium numerorum con­tinue proportionalium in unam summam collectio: quae compendium affert numerandi eos numeros: inter quos [Page] continua et aequalis est proportio: (quam)uis numerorum dif­ferentiae sint inaequales. Et quia proportionū species ua­riae sunt: ideo uariae in his dantur progressionum regulę. Quare a multiplicium specie, in qua dupli primum occur­runt: faciamus exordium.

IN COMPLVRIBVS numeris duplis longa serie cōtinuatis primus numerus a postremo subduci, et quod de ipso postremo reliquum erit: ad ipsum integrum po­stremum addi debet. Sic summa, quę inde surget: omnes seriei continebit unitates. nec quic (quam) refert: a quo numero series initium sumat. ne (que) an numeri proportionales sint integri: an minutiae. Exemplum demus in his numeris 3. 6. 12. 24. 48. A postremo. 48. subtrahe primum. 3. et supererūt. 45. ea adde ad. 48. et fient. 93. ea summa est illius progressionis. Idem erit si ab unitate incipias, ueluti. 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. ab ultimo. 64. deme pri­mum. 1. et reliqua, quę sunt. 63. ad. 64. adde. et crescēt 127. quae summa est uniuersorū. Regula hęc et certá est: et perpetua: sicut illa de triplis.

QVANDO numeri tripli longa serie cōtinuantur: pri­mū a postremo subducito: et reliqui dimidium, quod de postremo superest: integro postremo adde. Ita numerus uniuersorū prodibit: a quocum (que) numero series incipiat: etiam si minutiae interueniāt. Exemplo sint hi numeri. 1. 3. 9. 27. 81. tolle primū. 1. a postremo. 81. et restant. 80. cuius numeri dimidium est. 40. ea adde ad. 81. et fient 121. quae summa est omniū. Similiter eueniet si a. 2, in­cipias. 2. 6. 18. 54. deme. 2. a. 54. et remanēt. 52. cuius numeri dimidium est. 26. ea adde ad. 54. et surgent. 80. [Page] quae summa est uniuersorum.

SIN quadrupli numeri cōtinue proportionales occur­rent: deme primum de postremo: et tertiam partem eius reliqui, quod de postremo superest: ad ipsum integrum postremum adiunge. et summa uniuersorum habebitur. Veluti in his numeris. 1. 4. 16. 64. subtrahe primum a. 64. et. 63. relicta sunt. quorum pars tertia est. 21. ea adde ad ul­timum. 64. et exeunt. 85. summa omnium. Itidem erit in 2. 8. 32. 128. tolle. 2. ab. 128. et relinquuntur. 126. quo­rum tertia est. 42. quae addita ad. 128. prōcreant. 170. summam uniuersorum.

AT VBI numeri quintupli longa serie connectuntur: si primus a postremo dematur: et reliqui de postremo re­licti pars quarta ad integrū postremū addatur: omnium nascetur summa. Vtpote. 1. 5. 25. 125. subtrahe▪ 1. ab 125. et restant. 124. quorū quarta est. 31. quę addita ad 125. faciunt. 156. quę summa capit omnes. Sic in infini­tum procedit ordo in multiplicibus: ut si progressio sit in sextuplis: post subductionem primi ab ultimo factā pars reliqui quinta iungatur ultimo. Si in septuplis: post fa­ctam primi a postremo subtractionem, addatur ultimo pars sexta. Si in octuplis: post eiusmodi subductionem pars septima adiungatur. Si in nonuplis: pars octaua Si in decuplis: pars nona. et sic in infinitū post subductionē primi ab ultimo factā ea pars reliqui, quę denominatur a numero unitateminore: (quam) proportionis denominatio sit: addatur ad ipsum ultimum. et omnium summa prodibit.

DE PROGRESSIONE autē numerorū superpar­ticularium unius proportionis, dantur etiam regulę. et in [Page] primis haec de numeris sesquialteris. In numeris cōtinue sesquialteris si primus duplicatus subducatur ab ultimo triplicato: id, quod reliquum est: summam omnium nu­merorum monstrabit. Exemplo sint. 2. 3. 4½. 6¾ du­plica, 2. et fiūt. 4. Triplica. 6¾. et surgent. 20¼ a qui­bus subtrahe. 4. et restant. 16¼ summa uniuersorum.

ATIN sesquitertijs primus numerus triplicatus ab ul­timo quadruplicato demendus est: et reliquum indicabit omnium summam.

IN sesquiquartis primus quadruplicatus a postremo quintuplicato subducatur. et reliquum monstrabit sum­mam.

IN sesquiquintis primus quintuplicatus ab ultimo sex­tuplicato dematur. et reliquum summam proferet.

IN sesquisextis primus sextuplicatus a postremo septu­plicato demptus omnium summam relinquet. Et sic in in­finitum, numerus ex multiplicatione primi in proportio­nis denominationem productus subduci debet a numero producto ex multiplicatione postremi in numerum uno maiorem: (quam) sit ipsa denominatio. ita reliquum monstra­bit uniuersorum summam. nec refert a quo numero pro­gressio sumat initium.

SIMILITER ad alias proportionum species regulę dari possunt: si cui obseruare libet. Verumtamen nisi fa­ciles sint: multo satius erit per additionem, ipsorum nu­merorum summam colligere: (quam) per flexuosas ambages compendium sectari. nam quorsum progressio: si com­pendium non affert?

DE FALSARVM POSITIO­NVM REGVLIS.

SVPEREST nunc: ut uiam aperiamus: per quā ex fortuitis coniecturis, atque ipsis quidem falsis, et ad quas errores insequuntur: propositae quaestionis ueritas explicetur. Arabes et Phoenices mercatura celebres, et a quibus Arithmetica profecta primum putatur: artem il­lam ueritatis inueniendę barbaro uocabulo Cathaym ap­pellant. Latini siue falsarū positionū, siue falsarū cōiectu­rarū regulas uocāt. per quas pene uniuersa, quae ad nego­ciationem attinent: at (que) alia pleraque possunt expediri: modo aliqua rei propositae pars sit certa et cognita. Per eā namque miro compendio reliqua omnia ignorata. quan­tumcum (que) aenigma prae se ferant: continuo inuestigata in notitiam proferuntur. Qua in re dici non potest: (quam) diui­nis ingenijs praediti fuerunt primi huius scientiae inuen­tores: quorum solertia factum est: ut quae pleris (que) in per­scrutabilia uidentur: nullo negocio in lucem ueniant. Porro numerorum quaestiones multae saepe occurrunt: in quibus rei ꝓposite pars aliqua nobis cognita est. sed alia eius pars, quam maxime scire cupimus: a sensu commu­ni longe summouetur. quam ut cum parte nota congruere faciamus: pro arbitrio nostro fingere poterimus eam esse: quae magis apta uidetur. et cum obseruauerimus, uel (quam) prope coniectura nostra rem attigit: uel (quam) longe a scopo errauit: iterum conijcere licet: ut si priore cōiectu parum profecerimus: saltem secundo propius accedamus. Quae­cum (que) autem per unicam positionem inueniuntur: ea etiā [Page] per duas expediri possunt. Ceterum e conuerso non idem eueniet. ne (que) enim quicquid duae positiones explicant: id unica pręstabit. Et quod maxime in his admirandum ui­detur. nihil refert: (quam) longe coniectura nos fallat. nam per illos ipsos errores, regulae mox dandae nos ad ueritatem perducent. De quibus dicere aggrediemur: et quidem prius de ea, quae per unicam positionem, id quod quaesi­tum est: eruit.

REGVLA DE VNICA FAL­SA POSITIONE.

IN NVMERORVM quaestionibus, in quibus pars est cognita: pars est ignorata: frequēter euenit: ut uni­ca coniectura fortuita, tā et si aberret a uero: id, quod in­uestigatur: manifester. Nam cum obseruamus: quid ipsa coniectura parit: proportionem (que) annotamus: quae est inter id, quod conijcimus: et id, quod ex eo consequitur: ad exemplum illius, inter partem cognitam et partem ig­noratam, proportionem alteram procreare licet: dummo­do nos adiuuet quatuor proportionalium regula: quae de tribus notis quartum ignorum proferentibus supra data est. quippe cum tria sint cognita: primū id, quod conijci­mus: secundum id, quod ex eo consequitur: inter quę ca­dit proportio: tertium, quod de quaestione proposita est cognitum: certe quartum, quod ignoratum est: et tertio respondere debet: nequa (quam) latere potest. Ita unica positio primam proportionem sibi fingit. Ad cuius exemplum regula illa quatuor proportionalium succedens, aliam (que) [Page] similem proportionem formans, id, quod quęsitum est: continuo in lucem profert. Exempla rem magis aperient. VIATOR tot aureos in itinere reperijt: ut eorum pars secunda tertia (que) et quarta simul additę facerent. 50. Hae­sitatur: quaenam summa reperta erat? Pone quāuis sum­mā: quae partes eas habeat. et uide: an illius summę par­tes denominatae simul additae faciant. 50. Sifaciunt: ea summa est: quam quaeris. Si non faciunt: ulterius inue­stigabis hoc modo. Finge summā repertam: quae partes eas habeat: esse. 12. cuius dimidium est. 6. tertia pars 4. quarta. 3. quae omnes simul additę faciunt. 13. at tu quaeris. 50. Igitur coniectura te longe fefellit. Verumta­men ille ipse error in uiā te reducet: si rem bene consyderes. Nam sicut partes summae per coniecturam positae, quę si­mul additae fiunt. 13. se habent ad ipsam summam totā: quae est. 12. sic partes summae repertae simul additae, quae sunt. 50. ad ipiam summam repertam, quae ignoratur: se habere debent. At (que) ideo ad regulam de tribus notis ne­gociū sic applicabis. Si. 13. quae partes simul additas no­tant: ueniunt ex. 12. male a te positis: cuius summę par­tes illae erunt: quę collectę complent. 50? Sequens regu­lam multiplica. 50. per. 12. et surgent. 600. ea per. 13. diuide: et prodibunt. 46 2/13. quę summa aureorū reperta erat. cuius dimidiū est. 23 1/13. pars tertia. 15 5/13. pars quar­ta. 11 7/13. quae partes simul additae faciunt. 50. Similiter eueniet: quaecum (que) alia summa (quam). 12. per coniecturam ponatur: modo partes eas habeat. Vides ita (que) per adiu­mentum [Page] regulae de tribus notis unica coniectura fortuita rem expediri: nec duabus positionibus esse opus.

PER HANC regulam exempla, quae sequuntur: pos­sunt explicari. quę subijcienda duximus: ut ad ea iuuenes exerceantur.

INVESTIGETVR numerus: in quo. 5. sint ⅔. Pone numerum: quem uoles: qui partes eas habeat. ueluti. 6. et uide: quantum capiant ⅔. et inuenies. 4. at tu quaeris. 5. Scrutare igitur: si. 4. faciunt ⅔ de. 6. de quo. 5. complebunt ⅔? tenta: et inuenies. 7 ½.

EXQVIRATVR num̄erus: ex quo, post (quam) pars ter­tia, pars quarta, et pars quinta subductę sunt: adhuc supererunt. 24. Pone numerum aliquem: qui partes eas hēat. Veluti. 60. Postea deme partes illas: et uide: quid restabit. et inuenies. 13. Ecce quantum errasti. quęsiuisti 24. at inuenisti nisi. 13. Quamobrem sic tecum ratio cina­re. Si. 13. post partes subductas supersunt de. 60. de quo numero, post subductas partes: relicta erunt. 24. Tenta per regulam de tribus notis: et inuenies. 110 10/13 numerū illum esse: cuius pars tertia est. 36 12/13. Quarta. 27 9/13.

Quinta. 22 2/13. quae omnes simul additae faciunt. 86 10/13. Et si subducantur a. 110 10/13. restabunt. 24.

SI QVIS numerum exquiri iubet: a quo parte secū ­da, tertia, et quarta subductis: restent. 24. Cōtinuo responde, id fieri nequa (quam) posse. Nam quicum (que) numerus sumatur: qui partes eas habeat: semper minor erit: (quam) par­tium [Page] ipsius summa coaceruata. quo fiet: ut ne illa quidem subduci possit: nedum quic (quam) restare. Quippe (ut obiter admoneamus) tres sunt numerorum species. Vna est eo­rum: qui partium suarum summam maiorem habent: (quam) sint illi ipsi. Hi abundantes uocantur. cuiusmodi numerus est. 12. nam huius dimidium est. 6. pars tertia. 4. quar­ta. 3. sexta. 2. duodecima. 1. quę partes simul additę re­dundantin. 16. et corporis sui numerum uincunt. Item 24. numerus est abundans. nam eius dimidium est. 12. pars tertia. 8. quarta. 6. sexta. 4. octaua. 3. duodecima 2. uicesima quarta. 1. quarum summa redundat in. 36.

Altera eorum species est: qui diminuti uocantur. in qui­bus summa partium simul posita minor est: (quam) sint ipsi. cu­iusmodi numerus est. 8. nam eius dimidium est. 4. pars quarta. 2. octaua. 1. quarum partium collecta summa. 7. minor est: (quam) totum corpus. Item. 14. numerus est dimi­nutus. nam dimidium eius est. 7. pars septima. 2. quar­tadecima. 1. summa omnium. 10. toto corpore minor est. Tertia species eorum est: in quibus partes in summā col­lectae suo corpori sunt aequales. Hi, quia nec excessum nec defectum habent: perfecti uocantur. cuiusmodi numerus est. 6. nam eius dimidiū est. 3. pars tertia. 2. sexta. 1. quę partes compositae reddunt etiam. 6. Item. 28. numerus est perfectus. nam dimidium habet. 14. quartam partem 7. septimam. 4. quartamdecimam. 2. uicesimam octa­uam. 1. quae partes coaceruatae suo toto numerum aequa­lem faciunt. 28. Hi numeri perfecti, ꝙ rari sint: uiris bo­nis assimulātur. Ita (que) ut ad rem redeamus: minimus nu­merus, qui ½ ⅓ ¼ habeat: est. 12. huius dimidiū. 6. [Page] tertia. 4. quarta. 3. partes hę collectae proferunt. 13. quę a. 12. subduci nequeunt. Ꝙ si numerus maior partes easdem habens sumatur: partium summa maior redūda­bit. Ita nun (quam) fiet earū subductio: nedum quic (quam) restabit. Quare propositis huiusmodi quęstionibꝰ, continuo, pri­us (quam) ad illas respondemus: nobiscum meditemur: an pos­sibilia suggerant: ne labor irritus frustra suscipiatur.

SI. 4. ESSENT. 6. quis numerus esset. 10? Prius (quam) respondes, quęre ab interrogante: quid intelligat ser­mone tam ambiguo? utrum uelit. 4. crescere ad. 6. an. 6. minui ad. 4? Etenim si. 4. crescunt ad. 6. eadem ratione 10. ad. 15. crescent. Nam si. 6. in. 10. ducas: crescēt. 60. quae si seces per. 4. prodeunt. 15. At si. 6. ad. 4. minu­ere uoles: sic rationem facito. Si. 6. fiant. 4. quid fient. 10? Ducantur. 4. in. 10. et surgent. 40. quae diuide per. 6. et exeunt. 6 ⅔. eous (que) minuenda essent. 10.

Itidem si quis sic roget. Si ½ de. 5. essent. 3. ipsa. 5. cuius numeri essent ¼. quaerendum ante omnia est: quid sibi uelit. Nam si dimidium de. 5. quod est. 2 ½. crescere debet ad. 3. Eadem ratione. 5. per regulam de tribus notis cre­scent ad. 6. et erunt ¼ de. 24. At si. 3. minui debent ad 2 ½. Eadem ratione. 5. per regulam de tribus notis minui debent ad. 4 ⅙. et erunt ¼ de. 16 ⅔.

SI. 3. ESSENT ½ de. 7. quae pars. 4. essent de. 11? si. 3. crescere debent ad. 3 ½. scrutare: quid secundum eam rationem. 4. esse debēt. et per regulam de tribus no­tis [Page] inuenies ea crescere ad. 4 ⅓. Iam uidendum. 4 ⅓. quę pars sunt de. 11. id quod scies: si. 11. per 4 ⅓ seces. sic ꝓ­dibunt. 2 7/13. ea pars. 4. erunt de. 11. Nam secundum hoc thema. 11. immota manent. Animaduertere ita (que) opor­tet: quid sit: quod quęratur: ne responsum aberret a quę­sito. Porro si ½ de. 7. minui deberent ad. 3. conuersa ra­tione supputandū esset. sicuti in proximis supradictū est.

EXQVIRANTVR duo numei: in quibus ½ et ⅓ uni­us sint ¼ et ⅕ alterius. Accipe aliquem numerum: qui unam secundam et unam tertiam habeat. puta. 54. cuius ½ et ⅓ sint. 45. Postea ut scias: cuius numeri illa. 45. sint una quarta et una quinta: per positionem unicam inuesti­gare licet, hoc modo. Pone quemuis numerū, qui ¼ et ⅕ habeat: utpote. 60. Deinde uide quis numerus sit quarta et quinta illius. et inuenies eū esse. 27. At tu quęrebas. 45. Sic igitur per regulā de tribꝰ notis ratio cinare. Si. 27. sunt quarta et quinta de. 60. quis numerus est: cuius quarta et quinta sunt. 45? Scrutare sequens regulam: et inuenies eum esse. 100. sic. 54. et. 100. numeri sunt: quos quaere­bas. Alia etiam uia, at (que) ea quidem compendiosa, id in­uestigari potest ad hunc modum. Eae minutiae, quae ad unum numerū utrin (que) spectant: simul addantur: ut sint unae minutiae. quo fiet: ut ½ et ⅓ per additionem collectę, faciant ⅚. At ¼ et ⅕ per additionem iunctae facient 9/20. [Page] Deinde hae minutiae seorsum coaceruatę, alterę contra al­teras annotentur. et uter (que) denominator in alterarum nu­meratorem oblique in crucis formam ducatur: numeri (que) producti reponantur iuxta suum uter (que) denominatorem: a quo ductus est. Ita ex ea multiplicatione. 54. iuxta ⅚ habebuntur. et. 100. iuxta 9/20. qui numeri partes eo modo, quo pręscriptum est: communicantes habebunt. Nume­rus autem, qui ambobus ex obliqua multiplicatione pro­ductis inaequaliter communicat: is est: qui ex numera­torum mutuo in se ductu surgit. uidelicet. 45. nam. 45. sunt ½ et ⅓ de. 54. Item (que). 45. sunt ¼ et ⅕ de. 100. Hoc compendium inueniendi numeros: qui partes ad hunc modum inaequaliter commuicantes habeant: ad multos in numeris nodos explicandos plurimum iuuabit: si in promp [...]u habeatur. [...]

MERCATOR argentilibram, quae de nota at (que) in­dicatura. 8. scrupulorum erat: aureis. 9. emit. quę­ro, si secundum eam rationem uelit de nota. 10. scrupulo­rum emere libras. 20. quot aureis constabunt? Pone: ut libet: puta constituras aureis. 80. ut singulae librae uęne­ant aureis. 4. Vide quid secundum eam rationem una li­bra [Page] de nota. 8. scrupulorum constabit. id, quod facies sie ratiocinando. Si argenti nota de. 10. profert unius librae precium. 4. quod precium unius librę dabit nota scrupu­lorum. 8. Sequere regulam de tribus notis: et inuenies eā dare. 3⅕. at tu scis cam dare. 9. Quamobrem sic suppu­tabis. Si. 3⅕ prodeunt ex. 80. quae coniectura posuit: de quo prodibunt. 9? Ducātur. 9. in. 80. et surgent. 720. quae si seces per. 3⅕. in numero partitionis prodeūt. 225. tot aureis librae. 20. de. 10. scrupulorum nota constabūt: quarum unaquae (que) precij erit aureorum. 11¼.

QVI ARGENTI libram de. 10. scrupulorū no­ta, aureis. 11. emit: postea libras argenti. 25. de alia nota aureis. 200. mercatus est. quaero cuius notae fu­erunt? Quia earum unaquę (que) constetit aureis. 8. sic ratio­cinabere. Si. 11. aurei reddunt notam. 10. quam notam reddent aurei. 8? Scrutare et inuenies. 7 3/11. Ea nota et in­dicatura librarum. 25. erat. Hic propter facilitatem nul­la posione fuit opus.

COMPLVRES huiusmodi quaestiones, et multae etiam ex his, quas supra libro tertio explicaui mus: per unieā positionem, adiuuante re­gula de tribus notis, solui possunt.

REGVLA DE DVABVS FALSIS POSITIONIBVS.

INNVMERAE quaestienes in numeris occurrunt: quae, tam et si earum pars sit cognita: pars sit ignora­ta: per unicam coniecturam ex licari nequeunt. At hae per duas positiones statim expedientur. In quibus ante omnia obseruare oportet: (quam) prope utra (que) positio uel ac­cedit ad uerum: uel a uero recedit. Item ipsorum errorum differentia magnopere notanda est. Nam per obseruatio­nem approximationis utrius (que) positionis ad uerū, et per differentiam errorum, qui ex his insequutur: ueritas in lu­cem ueniet. quae duobus modis inueniri potest: uidelicet uel per regulas pluris et minoris: uel per differentiarum obseruationem. Itaque de plure et minore quatuor haec praecepta sunt in primis ediscenda. Primū. Si utra (que) po­sitio plus (quam) uerum conijcit: alterum plus subducere ab al­tero plure oportet. Secundum. Si utra (que) positio minus (quam) uerum affert: alterum minus ab altero minore subtrahen­dum est. Tertium. Si prior positio plus, posterior minus profert: tum plus et minus in unū sunt addenda. Quar­tum. Si prior positio minus, posterior plus coniectat: tū minus et plus in unum coniungantur. Ita cum his qua­tuor modis coniectura uarietur. Primus eorum duobus uidelicet siue utra (que) cōiectura plus, siue utra (que) minus po­nat: alterius ab altero subductio fieri debet. At postre­mis duobus, uidelicet quando prior positio plus posteri­or minus conijcit: uel e conuerso: pluris et minoris addi­tio necessaria est. Et quo facilius has praeceptiones studi­osi [Page] memoria tenerent: MORVS, rogatu nostro, redegit eas in hoc carmen.

HARVM primae regulae, in qua utraque positio plus affert: sensus est. Si per priorem positionem at (que) itē per posteriorem plus (quam) ueritas exit: tunc alter error plus afferens ab altero plus afferente subducendus est. et id, quod restat, diuisor totius operationis erit. Postea prior error ducendus est in positionem posteriorem. Item (que) er­ror posterior in positionem priorem ad forman obliquę crucis. et numerorum ex his duabus multiplicationibus productorum alterius ab altero fit etiam subductio. De­inde id, quod reliquum est: per errorum differentiam di­uiditur. At (que) ita numerus partitionis ueritatem profert. Exemplum prebeamus. Tres mercatores aureos centum lucrifactos sic diuiserūt: ut secundus tres aureos plures (quam) primus caperet: tertius quatuor plures (quam) secundus. Libet inuestigare: quot aureos quis (que) habuit. In primis magna crux obliqua, formā referens X literae Graecę, quam uul­gus crucem diui Andreae uocat: in abaco depingenda est. Post id factum cōiecturas aggrediamur. et ponamus pri­mum mercatorem accepisse. 33. aureos. quo fiet, ut se­cundus. 36. tertius. 40. debuerit accipere. quae summae collectae faciunt. 109. At tantum. 100. erant diuisi. ita in 9. errauimus. qui error ex illorum. 33. falsa positione, quę nimia erat: natus est. Eapropter illam positionem. 33. ad [Page] uerticem sinistrum depictę crucis signemus: errorem uero ex ea insecutum, qui capit. 9. annotemus ad pedem ipsi­us crucis sinistrum. Et quia plus (quam) uerum coniectura pe­perit. P. litera ad ipsum plus significādum, inter sinistrū uerticem et sinistrum pedem in intimo crucis sinu scriba­tur. Deinde quia priore coniectu parum profecimus: ite­rum tentantes fingamus primum mercatorem aureos. 31. habuisse. Ea ratione secundus. 34. tertius. 38. accepit. quorum summa collecta profert. 103. At tantū. 100. sunt diuisi. Quocirca secunda coniectura etiam ipsa plus (quam) ue­rum attulit: et errauit in. 3. Quare positio illa secūda de 31. ad uerticem crucis dextrum statuenda est: error (que) ex ea insecutus ad pedem eius dextrum subnotetur. et. P. li­tera ad plus significandum inter dextrum uerticem et pe­dem dextrum in intimo sinu ponatur. Deinde minor er­ror. 3. a maiori. 9. subducatur. et. 6. quae restabunt: me­dio spacio inter utrumque errorem notanda sunt. Postea prior error. 9. ducatur in secundā positionem. 31. et ena­scētur. 279. Item secundus error. 3. ducatur in priorem positionem. 33. et producentur. 99. quarum summarum productarum minor. 99. subducatur a maiore. 279. et su­pererunt. 180. Ea si per errorū differentiam, uidelicet. 6. secētur: numerus partitionis proferet. 30. quae uera sum­ma primi erat. Primus nam (que). 30. secundus. 33. tertius 37. habuit. quae summae coaceruatae faciunt. 100. sicut thema proposuit. Ita demum ueritas per duas falsas po­sitiones inuenta medio spacio inter crucis uertices, in qui­bus hae signatae sunt: annotanda est.

[Page] [...]

SECVNDAE regulae, in qua utraque positio minus affert: sensus pene primae similis, huiusmodi est. Si per priorem positionem, at (que) item per posteriorem minus (quam) ueritas habetur: alter error ab altero subduci debet. et reliquum erit diuisor. Tum prior error in posteriorem po­sitionem, et error posterior in positionem priorem duca­tur. productorum (que) numerorum alterius ab altero fit sub­ductio. et quod reliquum est per errorum differentiam se­catur. Sic in numero partitionis ueritas apparebit. Exem­plū in themate modo dato prębeamus. et ponamus pri­mum mercatorem habuisse. 27. secundum. 30. tertiū. 34. quae summae collectae faciunt. 91. At. 100. sunt quaesita. In. 9. igitur erratum est. Ita (que) positio. 27. in sinistro cru­cis uertice: error. 9. in sinistro pede statuatur. et quia er­ror minus attuljt. M. litera, quae minus indicet: in sini­strum recessum, inter positionem et errorem, condatur. Iterum deinde coniectura tentemus. et fingamus primum mercatorem accepisse, 29. secundum. 32. tertium. 36. quę uniuersa faciunt, 97. At scopus erat, 100. sic. 3 de nume­ro [Page] destinato desunt. Quocirca ipsa posterior positio. 29. in dextro crucis uertice signetur. et error posterior. 3. in pede dextro. at (que). M. litera, ꝙ in minus sit erratum: in dextro recessu inter positionem et errorem reponatur. Post id minor error. 3. a maiori. 9. subducatur. et. 6. quę restant: medio inter errores spacio statuantur. Tum pri­or error. 9. ducendus est in posteriorem positionem. 29. et nascentur. 261. Item posterior error. 3. ducendus est in priorem positionem. 27. et producentur. 81. Horum au­tem numerorum productorum, si minor a maiore subtra­hatur: relinquentur. 180. quę si per errorum differentiam uidelicet. 6. secentur: numerus partitionis uerum primi numerum. 30. monstrabit.

[...]

TERTIAE regulae, in qua prior positio plus, po­sterior minus affert: hic sensus est. Si per priorem positionē plus, per posteriorē autē minus, (quam) ueritas inue­nitur: alter error ad alterum addi debet: ut amborū sum­ma diuisor fiat. Praeterea post (quam) prior error in positionem posteriorem, et error posterior in positionem priorem du­cti [Page] erunt: numeri ex his multiplicationibus producti in unum ambo addendi sunt. Quo fiet: ut si eorum summa per additorum errorum summam secetur: numerus par­titionis ueritatem in lucem proferat. Thema datum rur­sus tractantes exemplum afferamus. et ponamus primū mercatorem accepisse. 32. secūdum. 35. tertium. 39. quę summae collectae faciunt. 106. sic. 6. redundant: quum 100. sint quaesita. Positio igitur. 32. ad sinistrum crucis uerticem notetur. at (que) error. 6. ad pedem eius sinistrum. et. P. litera, quae in plus erratum esse moneat: inter po­sitionem et errorem in sinistro crucis sinu scribatur. Et quia coniectura nimium attulit: paulum infra tentemus. singamus (que) primum mercatorem habuisse. 29. secundum 32. tertiū. 36. qui numeri collecti proferunt. 97. at (que) ita 3. desunt de numero. 100. destinato. Ea propter ipsa se­cunda positio. 29. ad dextrum crucis uerticem. error au­tem. 3. ad pedem eius dextrum signetur. et. M. litera, quae in minus erratnm esse monstret: in crucis dextro si­nu inter positionem et errorem reponatur. Deinde post amborum errorum additionem, quae facit. 9. prior error 6. in posteriorem positionem. 29. ducatur: et enascentur 174. Item posterior error. 3. in positionem priorem. 32. ductus, educet. 96. Qui numeri producti ambo in unum additi componunt. 270. Ea si per am­borum errorum collectam summam, ui­delicet. 9. secentur: numerus par­titionis. 30. procreabit. quae uera primi sū ­ma erat.

[Page] [...]

QVARTAE regulae, in qua prior positio minus, posterior plus coniectat: idem per omnia sensus, qui tertiae: est: nisi ꝙ prior positio, quę minus affert: at (que) error ex ea insequutus, sinistram crucis partem tenere de­bent. Posterior uero positio cum suo errore dextram. Cę­tera omnia eodem modo, quo in tertia regula factum est: expediantur. Exemplum in themate iam dato spectandū ante oculos subiecimus: quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. [...]

DIFFERENTIARVM OB­SERVATIO.

PLVRIS et minoris regulis expeditis, differentiarū obseruationem ab eisdem praeceptionibus pendentē, quae etiam ipsa per duas falsas positiones expeditur: his adiungamus. Et quo magis manifestum sit: quantulum hic explicandi modus ab illo iam dato differt: idem the­ma seruemus. Et fingamus primū mercatorem accepisse 35. secundum. 38. tertium. 42. quorum summa collecta facit. 115. sic coniectura. 15. plura (quam) opus erat: peperit. Quare positio. 35. ad sinistrū crucis uerticem: et error ex ea natus. 15. ad pedem eius sinistrum statuatur. et P. li­tera, ad plus denotandum: in sinistro sinu condatur. Et quia coniectura plus iusto protulit: iterum tentemus. et ponamus primū mercatorem habuisse. 31. secundū. 34. tertium. 38. qua ratione omnes acceperunt. 103. cum ta­men tantū. 100. sint diuisi. Ita secūda positio in. 3. quae redundāt: errauit. Quocirca ipsa positio. 31. ad uerticem crucis dextrum: error. 3. ad pedem eius dextrum. P. li­tera, ad plus significandum, in dextro sinu reponatur.

Postea positionū ipsarum differentia, per minoris a ma­iore subductionem deprehensa, paulo supra medium in­ter utram (que) spacium notetur. ea est. 4. At (que) itidem er­rorum differentia, per alterius ab altero subductionem in­uenta: medio inter eos spacio reponatur. ea est. 12. De­inde consyderemus priorem positionem. 35. occultum in se excessum et adhuc ignotum habentem, procreasse erro­rem excedentem in. 15. et secundam positionem. 31. ex­cessum [Page] etiam ignotum habentem: edidisse errorem exce­dentem in. 3. Ex quo uidere licet positionum differentiam 4. quę inter earum utram (que) media est: peperisse differen­tiam errorum. 12. quae media est inter utrum (que) errorem. Et quoniam prior positio superat secundam in. 4. eo ma­gis abducit a ueritate per. 12. (quam) secunda. At secunda po­sitio quia minor est priore per. 4. eo magis appropin­quat ad ueritatem. Nihilominus tamē ueritatem excedit in. 3. Quare si magis fuisset imminuta: propius ad uerita­tem accessisset: et minotem aliquanto genuisset errorem. Ea propter inuestigare oportet: ad quem numerum secū ­da positio. 31. sit minuenda? ut nihil erroris pariat. Hoc autem manifestū fiet: si consyderemus tres numeros pro­portionales nobis esse notos. Primus est positionum er­rantium differentia: quae est. 4. Secundus, qui ex ea na­scitur: est errorum differētia. 12. Tertius numerus est se­cundus error. 3. ex secunda positione errante exiens: qui magis ad uerum appropinquat per. 12. (quam) prior error: eo ꝙ secunda positio minor est priore per. 4. Quocirca quae proportio est inter errorū differentiā. 12. longius a ueri­tate distantem, et errorem secundum. 3. propius ad uerū accedentem, hoc est inter ntram (que) sobolem: eadem esse debet inter utram (que) genitricem, uidelicet inter positionū differentiam. 4. quae ueritatem intercludens peperit dif­ferentiam errorum: et illam secundę positionis differenti­am a uero nos excludentem, et adhuc ignotam, quae ex­cessum in secundo errore edidit. Et permutatim. quę pro­portio est inter errorum differentiam. 12. et differentiam positionum. 4. quae eam peperit: eadem inter secundum [Page] errorem, 3. et a uero nos excludentem secundae positionis differentiam: quae eum ędidit: et adhuc ignota est: esse debet. Quamobrem regula de tribus notis quartum ig­notum proferentibus: rem totam patefaciet. nobis sic cō ­syderātibus. Si errorum differentia. 12. uenit ex falsarum positionū differentia ueritatem intercludente: quae est. 4. de qua falsae positionis differentia ueritatem abscondente ueniet secundus error. 3? Ducantur. 3. in. 4. et surgent 12. quae secta per. 12. in numero sectionis edunt. 1. tan­tum minui debet secunda positio. 31. ut ueritas in lucem ueniat. Illa enim unitas erat: quae excessum in secūda po­sitione faciens secundum errorem in. 6. peperit. qua sub­ducta. tollitur omnis error: et. 30. restant. qui numerus ueritatem exprimēs medio inter utram (que) positionem spa­cio notetur.

Ꝙ SI CVI scire libet: quis erat ille numerus: qui in priore positione excessum fecit: consyderet: quae propor­tio est inter errorum differentiam. 12. et priorem errorem 15. eandem esse debere inter positionum differentiam. 4. et illam prioris positionis differentiā: quae a uero nos ex­cludit: et adhuc ignota est. Et permutatim. quae propor­tio est inter errorum differentiam. 12. et positionum dif­ferentiam. 4. eandem esse debere inter priorem errorem 15. et illam prioris positionis differentiam a uero nos ex­cludentem ct ignotam. quare tractans regulam de tribus notis tertio loco statuat primum errorem. 15. hoc modo. Si differentia errorum, quae est. 12. uenit ex falsarum po­sitionū differentia: quae est. 4. de qua falsę positionis dif­ferentia ueritatē in priore positione occultāte nascetur er­ror [Page] primus 15? Ducantur. 4. in. 15. et producentur. 60. quae secta per, 12. educent. 5. Is exeessus in priore posi­tione peperit errorem in. 15. quare si subducatur: restat uerus numerus. 30. Sic sublata redundante differentia, quae facit excessum: ueritas sola rélicta sese offert: siue ex­cessum in secūda positione, siue in priore inuestigare, at (que) auferre libet. At (que) it a per duas falsas positiones, quarum utra (que) plus iusto conijeit: ueritas eruitur, per obseruatio­nem proportionum: quae sunt inter differentias errorum, et differentias positionum, adiuuāte regula quatuor pro­portionalium: quorum tria sunt nota. [...]

ADEVNDEM modum per differentiarum obser­uationem res expediatur: etiam si utra (que) positio mi­nus (quam) uerū afferat. Veluti si ponamus primum mercato­rem habuisse. 27. secundum. 30. tertium. 34. quae sum­mae collectae faciunt. 91. cū 100. sint quaesita. Quare po­sitio. 27. ad sinistrum crucis uerticem: error. 9. ad sini­strum pedem. M. litera in medio sinu reponatur. Iterum tentantes, fingamus primum accepisse. 29. secūdum. 32. tertium. 36. quae simul addita faciunt. 97. sic. 3. de. 100. [Page] desunt. Quare ea omnia a dextra, suo quę (que) loco, statuan­tur: uidelicet positio ad uerticem: error ad pedem. M. li­tera sinu medio. Deinde quia utra (que) cōiectura minus at­tulit: differentias errorum et positionum per subductio­nem capiemus. Postea consyderare oportet priorem po­sitionem. 27. defectum adhuc ignotum in se habentem, procreasse errorem. cui. 9. desunt. et secundam positionē 29. defectum etiam ignotum habentem, edidisse errorem. cuidesunt. 3. Quo fit manifestum positionum differen­tiam. 2. quę inter earum utram (que) media est: peperisse er­rorum differentiam. 6. quae media est inter utrum (que) erro­rem. At (que) ideo, ut ueritatem exquiramus: sic ratiocine­mur. Si. 6. differentia errorum nascitur ex positonū dif­ferentia. 2. ueritatem intercludente: de qua secundae po­sitionis differentia ueritatem occultante, nascetur secūdus error. 3? Operare secundum regulam quatuor poportio­nalium: et inuenies eū nasci ex. 1. quod quia secūdae po­sitioni defuit: etiam ipsa secunda coniectura minus iusto protulit. Quapropter unitas addita ueritatem exprimit. AT SI scire uoles: quantum priori positioni defuit: in regula de tribus notis tertio loco quaestionē de primo er­rore statue, hoc modo. Si errorum differentia. 6. uenit a 2. differentia positionū: de qua falsae positionis differen­tia ueritatem in priore positione arcente, nascetur primus error. 9? Regulam ducem sequens deprehendes illam fu­isse. 3. Ipsa igitur differentia addita ad primā positionem, defectum eius replet.

SIC quando per differentiarum obseruationem ueritas inquiritur: si utra (que) positio minus affert: id quod uel pri­mae [Page] coniecturae uel secūdae deesse per regulā de tribus no­tis deprehenditur: suppletur. sicut, quando utra (que) positio plus profert: id, quod siue in priore cōiectura, siue in po­steriore redundantem excessum facere per regulam de tri­bus notis inuenitur: auferendum est: ut ueritas exprima­tur. sicuti in proximo superiori exemplo uidere licuit. [...]

NVNC uideamus: quomodo per differentiarum ob­seruationem res expedietur: quando prior positio plus, posterior minus affert. uel e conuerso. Et in thema­te iam dato, fingamus primum mercatorem accepisse. 33. secundum. 36. tertium. 40. Ea in unam summam colle­cta faciunt. 109. ex quo liquet. 9. redundare. Quare a si­nistra crucis, positio uerticem, error pedem. P. litera, quę plus coniectum esse demonstret: sinū occupet. Iterum (que) tentantes, ponamus primum mercatorem habuisse. 29. secundum. 32. tertium. 36. quę per additionem coacerua­ta faciunt. 97. at (que) ita. 3. de. 100. desunt. ea dextrā tene­ant. M. litera, ad minus indicandum: in sinu dextro re­posita. Deinde consyderare oportet prioris positionis ex­cessum edidisse excessum prioris erroris: secundę autē po­sitionis [Page] defectū peperisse defectū erroris secundi. Quocir­ca hi duo errores, quia alter in plus alter in minus peccat: in unū sunt addendi: et surgēt. 12. quae errorū cumulatio uenit ex differentia positionum, uidelicet. 4. Nam quia prior positio. 9. plura (quam) oportuit attulit: secunda autem positio per. 4. tantum ab ea differens non solū excessum illum prioris abstulit: sed etiam plus, (quam) iustum erat: au­ferens, defectum superinduxit: ideo tam ad auferendum prioris positionis excessum, (quam) ad supplendum defectum posterioris, fit ista errorum additio: ut per eam tempera­mentum inter excessum et defectum inueniatur: Nam ita proportionum ratio in utramuis partem, siue excessus, si­ue defectus uim suam porrigere potest. Etenim si in dex­tram ad defectum respicimus. quę proportio est inter am­borum errorum cumulationem, et secundum errorem: ea­dem inter positionum differentiam excessum et defectum cumulantem, et illam differentiam, quae in secunda posi­tione ueritatem occultat: esse debet. Et permutatim. quae proportio est inter amborum errorum cumulationem, et positionum differentiam excessum et defectum cumulan­tem, ex qua nascitur: eadem inter secundum errorem et il­lam secundae positionis differentiam uerū abscondentem, ex qua nacitur: esse debet. At (que) ea propter si scire uoles: quis sit numerus: qui in secūda positione defuit: ut iustū suppleret: consyderare oportet, ad hunc modum. Si cu­mulatio errorum, quę est. 12. nascitur a positionum diffe­rentia ueritatem occulente: quae est. 4. de qua secūdę fal­sae positionis differentia uerum abscondente nascetur se­cūdus error. 3? Multiplica. 3 in. 4. et producentur. 12. [Page] quae per. 12. secta monstrant. 1. in numero partitionis. Hoc autem additū ad secundam positionem. 29. qui nu­merus uno deficitur: supplet id, quod defuit. et fiunt. 30. qui numerus uerus primi mercatoris erat.

AT SI scire uoles: quantum priori positioni redundā ­ti detrahendum erat: ut solum excessum auferret: et iustū numerum relinqueret: proportionum ratio a sinistra cō ­syderanda est. nam sicut amborum errorum cumulatio ad priorem errorem se habet: sic positionum differentia ad il­lam differentiam, quae in priore positione ueritatem oc­cultat: se habere debet. Et permutatim. sicut amborū er­rorum cumulatio se habet ad differentiam positionum: ex qua nascitur: sic prior error ad illam prioris positionis dif­ferentiam uerum intercludentem, ex qua nascitur: se ha­bere debet. Et ideo in operatione facienda per regulam de tribus notis, tertio loco forma quaestionem de primo er­rore: qui plus attulit: perinde quasi uerso exemplo, posi­tio prior fuisset minor: et secūda maior, hoc modo. Si. 12. cumulatio errorum nascitur apositionum differentia. 4. ueritatem praecludente: de qua prioris falsę positionis dif­ferentia ueritatem abscondente, nascetur primus error. 9? Ducantur. 4. in 9. et crescent. 36. quae secta per. 12. in numero partitionis edunt. 3. is excessus erat: qui primam positionē. 33. errare fecit. Quocirca dempto illo excessu, supersunt. 30. qui uerus erat primi mercatoris nume­rus. Ita (que) quando altera positio plus, altera minus affert: si per regulam de tribus notis exquiris numerum: qui ex­cessum in positione fecit: is inuentus subducēdus est. At si numerum in quiris: qui positioni defuit: is compertus [Page] ad eam est addendus: ut ueritas appareat. [...]

SI QVISPIAM scire cupit: quando per differentia­rum obseruationem res expeditur: cur siue utra (que) po­sitio plus, siue utra (que) minus affert: alterius positionis ab altera, at (que) alterius erroris ab altero fit subductio? Ani­maduertere debet ad ea: quae dicta sunt: nempe ꝙ distā ­tia a ueritate, uel appropinquatio ad ueritatem, per diffe­rentiam alterius positionis ab altera, at (que) alterius erroris ab altero deprehenditur. ipsa autem numerorū differen­tia per subductionem inuenitur. Ex proportione autem illarum differentiarum, quae mediae sunt inter errores et positiones: ueritas inuestigata per regulam de tribus no­ris in lucem uenst: siue in dextram partem, siue in sinistrā respicias. Nam si in dextram. quae proportio est inter er­rorum differentiam et secundum errorem: qui magis ad ueritatem appropinquat: eadem inter positionum diffe­rentiam, quae differentiam errorum peperit: et illum secū ­dae positionis numerum, qui ueritatem adhuc abscōdens [Page] secundum errorem edidit: esse debet. Et permutatim. quę proportio est inter errorum differentiam, et differentiam positionum genetricem suam: eadem inter secundum er­rorem, et ignotum numerum matrem suam erit. At si in sinistram respicias. sicut errorū differentia se habet ad pri­orem errorem: quę longius a uero recedit: sic positionum differentia ad illam prioris positionis latentem differenti­am: quę priorem errorem edidit. Et permutatim. sicut er­rorum differentia se habet ad differentiam positionū: sic prior error ad illam prioris positionis latentem differen­tiam: quae ipsam edidit: se habere debet. Porro nisi haec proportionum ratio in differentijs positionum at (que) erro­rorum inesset: nulla un (quam) quęstio per regulas falsarū posi­tionum solui quouismodo posset. Succedens autem illa quatuor proportionalium regula, quae quartum numerū ignotum latere non sinit: per tres numeros notos statim eum profert: et rem totam explicat.

AT SI scire uoles: cur in regulis pluris et minoris siue utra (que) positio plus, siue utra (que) minꝰ affert: pri­or error ducitur in secundam positionem: et secundus er­ror in positionem priorem: postea (que) alterius producti ab altero, et alterius erroris ab altero fit subductio. Ratio huius rei pendet partim ab his: quae de differentiarū pro­portione dicta sunt: partim a prima et secunda regula EVCLIDIS libro secundo. quas (quam) (quam) ille de lineis po­suit: quia tamen in numeris etiam uerae sunt: nos de nu­meris eas demus, ad hunc modum. Si fuerint duo nume­ri: quorū unus in quotlibet partes diuidatur: illud, quod ex ductu alterius in alterum fiet: aequum erit his: quae ex [Page] ductu numeri indiuisi in unamquā (que) partem numeri par­ticulatim diuisi producentur. Itē si fuerit numerus in par­tes diuisus: illud, quod ex ductu totius in se ipsum fit: aequū erit his: quę producentur ex ductu eiusdem in om­nes suas partes. Ita quando prior error in secundam po­sitionem ducitur: perinde est: quasi differētia errorum et secundus error, qui numeri sunt partes primi erroris: du­cantur in eandem secundam positionem. Veluti in primo exemplo de regulis pluris et minoris dato: ubi utra (que) po­sitio plus affert: [...]

prior error. 9. in secundam positionem. 31. ducitur: et procreantur. 279. sic si errorum differentia. 6. seorsum in 31. ducatur: nascentur. 186. et si. 3. secūdus error in. 31. ducatur: fient. 93. qui numeri producti ambo simul ad­diti faciunt. 279. Similiter cum differentia positionū. 2. et secūda positio. 31. partes sint primae positionis. 33. du­centes secundum errorem. 3. in primam positionem. 33. producemus. 99. qui numerus ꝓductus aequalis est nu­mero producendo: si ipse secundus error. 3. seorsum in positionum differentiam. 2. et postea in. 31. ducatur. sie quo (que) surgent. 99. Ita (que) cum inter differentiam errorum [Page] et secundum errorem ea sit proportio: quae est inter diffe­rentiam positionū et excessum in secunda positione: quā ­do multiplicamus differentiam errorum. 6. in secundam positionem. 31. facimus. 186. et ducimus eam non solum in totum uerum numerū. 30. sed etiam in excessum: qui ueritatem abscondit: uidelicet. 1. Et cum multiplicamus secundum errorem. 3. in secundam positionem. 31. faci­mus. 93. quę addita ad. 186. creant. 279. Horum autem utrum (que) tacite fecimus ducentes primū errorem in secun­dam positionem. Ita. 99. supra uerum addidimus. quod tantum est: quantum capit multiplicatio secundi erroris 3. in primam positionem. 33. Nam multiplicatio differē ­tiae errorum. 6. in secundae positionis excessum. 1. quae tacite facta est: quando duximus. 6. in. 31. aequiparatur multiplicationi secundi erroris. 3. in differentiā positio­nū. 2. Quia cum illa quatuor sint proportionalia: sicuti supradictum est. quae ab extremorū multiplicatione ue­niunt: ęqualia sunt his: quę a mediorum. per regulam de tribus notis. Et multiplicatio secūdi erroris. 3. in secun­dam positionem. 31. quae tacite facta est: quando duxi­mus primum errorem in secundam positionem: facit. 93. sic. 99. supra ueritatem sunt adiecta. Quare subductio numeri per multiplicationem secundi erroris in primam positionem producti, qui etiam est. 99. excessum omnem a ueritate aufert: et numerum uerū uelut in turba latitan­tem relinquit. sed quis sit: adhuc ignoramus. Diuisio au­tem facta per errorū differentiam. 6. quisnam sit: osten­dit: uidelicet. 30. Nam quando aliquis numerus ex duo­tum multiplicatione producitur: eius diuisio per alterum [Page] facta profert alterum in numero sectionis. Eadem ratio­ne subductio alterius producti ab altero, et alterius erro­ris ab altero fiet: quando utra (que) positio minus afferet.

QVOD si scire desyderas: quando per differentiarū obseruationem res expeditur: cur errorum fit ad­ditio: siue prior positio plus, posterior minus affert: siue e conuerso. Ratio illa est: quam cum exempla daremus: attigimus. uidelicet ꝙ si contingat priori positioni aliquid superesse, secundae aliquid deesse: differentia positionum non solum excessum prioris positionis aufert: sed etiā de­fectum in secūda inducit. Vel si eueniat priorem positio­nem defectum afferre: secundam excessum: tum differen­tia positionum non solum id, quod priori positioni deest: supplet: sed plus iusto aggregans excessum in secūda po­sitione parit. Quocirca ad inueniendum temperamentum inter excessum et defectum, prior error ex priore positione ueniens et posterior exiens ex posteriore, in unum coniū ­gūtur: quae errorum cumulatio inter duos errores media, in utramuis partem siue excessus siue defectus comparari potest. Nam si ad defectum respicimus. Sicut errorū cu­mulatio a differentia positionum defectū et excessum ac­cumulāte nascens se habet ad illum errorem: qui nascitur ex defectu: sic positionum differentia, ad illam falsae posi­tionis latentem differentiam: quae defectū edidit. Et per­mutatim. sicut errorum cumulatio se habet ad differentiā positionum: sic error defectum patiens ad illam differen­tiam, quae defectum attulit: se habere debet. At si in alte­ram partem, ad excessum respicimus. Sicut errorū cumu­latio se habet ad errorem: qui natus est ab excessu: sic dif­ferentia [Page] positionum ad illam falsę positionis latentem dif­ferentiam: quae peperit excessum. Et permutatim. sicut errorum cumulatio se habet ad differentiam positionum: sic error ab excessu ad illam differentiā, quę excessum pro­tulit: se habere debet. At (que) ideo regula de tribus notis fa­cile quartā illam ignotam siue excessus siue defectus dif­ferentiam, quae uerū occultat: manifestabit. Ea uero co­gnita si excessum affert: subducenda est. si defectum: ad­denda: ut uerus numerus exeat.

PORRO si scire uoles: cur in regulis pluris et minoris, siue prior positio plus, posterior minus affert: siue e conuerso: semper prior error ducitur in secundam positi­onem: et secundus error in positionem priorem: postea (que) alterius producti ad alterum fit additio: et amborū sum­ma per summam errorum diuiditur: ut ueritas exeat? Ratio tota huius rei pendet, partim ab his: quae de ratio­ne proportionū modo sunt dicta: sine quibus huiusmo­di quęstiones per falsarum positionum regulas explicari nequeunt: partim a prędictis EVCLIDIS regulis pri­ma uidelicet et secunda, libro secundo. Et ut in exemplo uersātibus res magis eluceat: repetamꝰ illud: quod in ter­tia pluris et minoris regula supra datum est: in quo prior positio plus posterior minus affert. ubi prior error. 6. ductus in secundam positionem. 29. profert. 174. secū ­dus autem error. 3. ductus in positionem priorem. 32. producit. 96. qui numeri producti ambo coniuncti fa­ciunt. 270. quae secta per. 9. proferunt. 30.

[Page] [...]

HIC multiplicatio prioris erroris. 6. in secundam posi­tionem. 29. quę procreat. 174. perinde est: ac si ipse prior error duceretur in ueritatem. 30. et fierent. 180. praeter (quam) ꝙ tot unitates multiplicationi prioris erroris in secundā po­sitionem, desunt ad aequādam eam ueritati: quot multipli­catio prioris erroris in id, quod ueritati in secūda positione defuit: addere potest. Quocirca quia. 1. defuit secundę po­sitioni: quod ductum in. 6 crearet. 6. ideo numerus pro­ductus ex multiplicatione prioris erroris in secundā positi­onem. 174. per. 6. differt a numero: qui produceretur ex multiplicatione prioris erroris in ucritatem. qui esset. 180. qui numerus per. 6. superat. 174. Similiter multiplicatio secūdi erroris. 3. in priorem positionem. 32. quę facit. 96. perinde est: acsi ipse secūdus error. 3. duceretur in ueritatē 30. et procrearentur. 90. nisi ꝙ multiplicatio secundi erro­ris in priorem positionem, per tot unitates superat multipli cationem secūdi erroris in ueritatem: quot multiplicatio se­cundi erroris in id, quod in priore positione ucritatem exce­dit: producere potest. Quare cū in priore positione excessus [Page] supra ueritatem sit. 2. qui ductus in secundū errorem. 3. cre­at. 6. ex ea multiplicatione secūdi erroris in priorem positi­onem, quę facit. 96. 6. plura producūtur: (quam) procreari de­berent: si ipse secundus error. 3. in ueritatē. 30. fuisset du­ctus: et crearentur. 90. Illa autem. 6. quę hic ueritatē exce­dunt: in priore multiplicatione prioris erroris in secundam positionē, ueritati defuerūt. Et ita defectus ab excessu sup­pletur. Nam quę proportio est inter excessum prioris posi­tionis. 2. et priorē errorem ex eo natū. 6. eadem inter defe­ctū secūdę positionis. 1. et secundū errorem ex eo natū. 3. omnino erit. Et permutatim. quę ꝓportio est inter excessū prioris positionis. 2. et defectū secundę positionis. 1. eadē erit inter priorē etrorem. 6. et secundū errorem. 3. Quare cū sint. 4. numeri proportionales: quę ab extremorū multi­plicatione producuntur: aequalia sunt his: quae a mediorū. tantū enim faciunt bis tria: quantū semel sex. Quamobrem si ambo numeri ex obliqua errorū in positiones multiplica­tione producti cōlungantur: alter alterius uitiū semper cor­riget. At (que) is, cui deest: alterius exhauriet excessū. et is, cui superest: alterius supplebit defectum. Qua ratione res ad ęqualitatē reducetur. et sient. 270. Idem autem numerus si­militer etiā producetur: si uter (que) errorū seorsum in ueritatē 30. ducatur. Nam. 6. in. 30. ducta creāt. 180. et. 3. in. 30. ducta componūt. 90. quę simul addita faciunt etiam. 270. Quamobrem cum fumma productorū ex obliqua errorū in positiones multiplicatione, sit ęqualis summę productorū ex utrius (que) seorsum erroris in ueritatem ductu: Ea (que) multi­plicatio utrius (que) seorsum erroris in ueritatem, ęqualis sit am borum errorum simul additorum summę in ueritatem du­ctae, [Page] per prędictam EVCLIDIS primā regulam secun­di: Necesse est: si ipsa errorum summa cumulata, quae est 9. summam productorum ex obliqua errorū in positiones multiplicatione, uidelicet. 270. diuidat: ipsa ueritas. 30. in numero sectionis in lucem prodeat. Nam quādo numerus aliquis ex duorū multiplicatione ꝓducitur: idem (que) per eo­rū alterū diuiditur: in numero partitionis alter apparebit.

EXPEDITIS falsarum positionum regulis: quo ma­gis studiosi in eis exerceantur: quęstiones aliquot, quę per eas solui possunt: hic subijciemus.

SOCII tres habuerunt communes aureos. 44. quo­rum secundus bis tantum, quantū primus, at (que) eo am­plius aureas. 4. contulit. tertius quantum ambo reliqui, at (que) eo amplius aureos. 6. quęro: quantum ab unoquo (que) collatum est? Experire per datas regulas. et comperies pri­mum contulisse aureos. 5. secundum. 14. tertium. 25.

TRES panni telę aureis. 250. sunt emptę. quarum se­cunda bis tanti, quanti prima constitit: at (que) eo pluris aureis. 10. tertia bis tanti, quanti aliae duae, at (que) eo pluris aureo uno. quęro: quanti tela quae (que) constitit? Tenta per datas regulas. et inuenies primam aureis. 24 ⅓ emptā esse: secundam aureis. 58 ⅔. tertiam aureis. 167.

OBSONATOR quispiam emit in coenā domini gal­linas. 3. perdices. 4. phasianos. 5. nūmis. 86. per­dix quis (que) nummis. 3. pluris, (quam) gallina cōstitit. phasianus quis (que) nummis. 7. pluris, (quam) perdix. quaero: quanti quae (que) auis empta est? Tentans per datas regulas comperies gal­linam quam (que) nummis. 2. perdicem quem (que) nummis. 5. [Page] phasianum quem (que) nummis. 12. constitisse.

CVBITI. 6. panni rubri, et. 4. panni uiridis ualent aureos. 36. Eodem precio cubiti. 9. pāni rubri, et. 7. panni uiridis ualent aureos. 57. quaero: quanti cubitus quis (que) utrius (que) panni constitit? Pone quo precio libet. 6. cu­bitos panni rubri et. 4. panni uiridis fuisse emptos: dūmo do de ambobus coloribus omnium cubitorū precium. 36. efficiat. Deinde uide si. 9. cubiti panni rubri et. 7. panni ui­ridis eodem precio emantur: quantum uel deerit, uel super­erit de. 57. et errore notato, iterū ad eundum modum po­nens perge. Ita deprehēdes per datas regulas pāni rubri cu­bitum aureos. 4. ualere: cubitum autem uiridis aureos. 3.

GALLINAE. 3. perdices. 4. phasiani. 5. ualent nū ­mis. 72. Eodem precio gallinae. 3. perdices. 5. et phasiani. 7. ualent nummis. 94⅔. quęro: quanti consti­tit unaquae (que) auis? regulas duces sequens comperies galli­nam emptam esse nummo. 1⅓ perdicem nūmis. 5⅓. pha­sianum nummis. 9⅓.

MINISTER cui, tradita a domino nūmorū summa, mādatū erat: ut quendā tritici modiorū numerū eme­ret: in mercatū profectus singulos tritici modios denis nū ­mis licetur. qua ratione de summa accepta nūmos. 40. sibi superfuturos deprehendit. At tritici uēditor duodenis nū ­mis singulos modios indicat. quod preciū minister soluere recusat: ꝙ ea ratione comperit sibi defuturos nūmos. 40. quęritur: quis erat modiorū numerus: quem emi dominus iussit? et quis nūmorū numerus ad id traditus erat? Si mo­diorū numerus esset cognitus: simul etiam nūmorū nume-rus [Page] sciretur. Ideo ut exquiras: quot modij tritici fuerunt: inuestigādus est numerus, qui in. 10. ductus additis. 40. tantum producat: quantum in. 12. multiplicatus, sub­ductis. 40. Is inuentus modiorum numerum monstra­bit. quem ut exquiras: pone fuisse modios. 36. quorum si singuli constarent nummis denis: fierent. 360. his ad­de nūmos. 40. qui superessent: et surgent. 400. ꝓ sum­ma ministro data. Postea uideamus: an uenditoris indi­catura cum his quadret. Is in singulos modios nummos 12. poscit. qua ratione modij. 36. constarent nummis 432. a quibus si. 40. subducantur: qui ad precium illud explendum defuerūt: restabūt. 392. sic. 8. desunt: ut fiāt 400. pro summa ministro data. At (que) ita positio modio­rum. 36. defectum in. 8. profert. Quare iterum pona­mus fuisse modios. 38. quorum si singuli denis cōstarent nummis: fierent. 380. quibus addamus. 40. quae super­essent. et fient. 420. pro summa ministro data. Deinde uideamus: an uenditoris indicatura de. 12. nūmis in sin­gulos modios. 38. quadret: nam sic fierent nummi. 456. a quibus si. 40. pro his, qui ad explendum precium de­fuerunt: subducas: relinquentur. 416. Ita desunt. 4. ut fiant. 420. pro summa ministro data. Sic utra (que) positio et de. 36. et de. 38. falsa est. Ex quibus si ueritatem per re­gulas supra datas inuestigare libet: inuenies modiorum numerum: quem dominus emi uoluit: esse. 40. et num­morum numerum ministro datum. 440. in quibus nu­meris emptoris licitatio cum uenditoris indicatura qua­drabit.

ALIO modo per compendium quęstio haec, at (que) aliae [Page] huiusmodi solui possunt: ut numerum, qui superfuisset: et numerum, qui defuisset: in unam summam addas. De­inde precium licitantis ministri, quod minus est: a precio maiore uenditoris indicantis subducito. et per preciorum differentiam: quae restat: illam summam nummorū, qui superfuissent: et qui defuissent: diuide. sic in numero se­ctionis exibit modiorum numerus: qui cętera omnia ape­riet. id, quod in sequenti questione licebit etiam uidere.

OPERARII a patrefamilias ad putandam uineam in unum diem conducti mercedem operarum petūt, singuli nūmos quinos. ille causatus ante uesperā ab opere eos cessasse, solum ternos offert: quibus si contenti essent: excussis loculis, deprehendit sibi superfuturos nūmos. 7. At si quini soluēdi essent: defuturos. 13. libet inuestigare: quot operarios habuit: et quot nummos? Vt nodū hūc at (que) huiusmodi, per compendium soluas: addere oportet nummos. 7. qui superfuissent: ad nummos. 13. qui de­fuissent. et surgent. 20. qui numerus secandus est. Dein­de subducere oportet mercedem minorem oblatam a ma­iore flagitata, uidelicet. 3. a. 5. et restabunt. 2. qui nu­merus diuisor erit. Ita. 20. per. 2. secta in numero parti­tionis decem proferent. Tot operarij uineam putarunt. Nummorum enim numerus, qui superfuisset: ad numerū additus, qui defuisset: diuidendus est per mercedis petitę et oblatae differentiam: ut numerus sectionis monstret: quot mercedem petunt. Postea facile scitu est: quot num­mos paterfamilias habuit. Nam mercedis oblatae nume­rus in numerum operariorum ductus id aperiet. Ita (que). 3. in. 10. ducta procreabunt. 30. quibus si. 7. addas: pro­debūt. [Page] 37. is nummorum numerus patrifamilias in locu­lis erat. Praeterea si operarius quis (que). 5. in mercedem ex­egisset: operarij decem necesse est habuissent. 50. a qui­bus si. 13. qui defuerunt: subducas: supererunt. 37.

POTES etiā rem explicare: si per falsas positiones nu­merū exquiras: qui in. 3. multiplicatus, additis. 7. tan­tum producat: quantum si in. 5. ducatur, subductis. 13. Is inuentus operariorum numerum indicabit: qui caetera omnia aperiet.

DVO AVREOS habentes, aequalem quis (que) nume­rum, ad emendum pannum in mercatum uadunt. Alter. 13. panni cubitos emit: cui superfuerunt aurei. 1 [...]. Alter eodem precio panni cubitos emit. 20. cui defuerūt aurei. 28. in quibus remansit debitor. quęro, quanti con­stitit panni cubitus quis (que): et quantū eorum uter (que) in cru­mena habuit? Potes per coniecturas falsas rem explicare: si numerum per eas inuestiges: qui in. 13. ductus additis 15. tantum producat: quantū in. 20. multiplicatus, sub­ductis. 28. Vel si mauis: per compendium supra datum rem aggredi licet. et utro (que) modo deprehendes unius cu­biti precium fuisse. 6 1/7. utrum (que) autem seorsum in crume na habuisse aureos. 94 6/7.

MERCATOR pannilinei telam empturu [...], ratione facta, comperit: si singulos cubitos nūmis. 8. emat: sibi superfuturos nummos. 50. At si. 10. nummis cubiti [Page] singuli constent: defuturos nummos. 80. quaero, quot cubitos tela capiebat? et quantum illi in loculis erat? Si per falsas positiones rem tentas: per eas inuestigandus est numerus: qui in octo ductus, additis quin quaginta tan­tum Producat: quantum in decem multiplicatus, subdu­ctis octoginta. Qua ratione inuenies telam cubitos sexa­ginta quin (que) longam fuisse: nummos (que) in loculis eum ha­buisse. 570. potes etiam per compendium datum conti­nuo rem explicare.

DVO MERCATORES nauem lanis onerandam conducunt. Alter in eam saccos lanae septem, alter lanae saccos. 11. imposuit. eorū uter (que) seorsum pro se sac­cum unum magistro nauis traditum uendi, de (que) precio naulum solui, et si quid superesset: reddi mādauit. Quod cum expleta nauigatione, factum esset: magister nauis ei, qui septem saccos imposuerat: aureos quinquaginta red­didit. ei uero, qui. 11. saccos: aureos. 20. quaeritur: quā ­tum cuius (que) sacci naulum erat? et quanti magister nauis traditum saccum uendidit? Per positiones inuestigandus est numerus: qui in. 7. multiplicatus, additis quinqua­ginta tantum producat: quantum in. 11. ductus, additis 20. qui cum inuentus fuerit: monstrabit sacci cuius (que) nau­lum fuisse aureos. 7½. saccum autem illum magistro na­uis traditum, aureis. 102½ uenditum fuisse.

QVI SACCARI libras sex emerat: interrogatus de unius librae precio, respondit. quanti librae sex [Page] pluris decem nummis constiterunt: tanti librae. 10. pluris 20. nummis sunt emptae. Quaeritur: quodnam precium est unius librae? Ad hanc quaestionem explicandam, per positiones inquirendus est numerus: qui in sex multipli­catus tantum supra decem producat: quantum in decem ductus supra. 20. proferret. Is autem inuentus unius li­brae precium indicabit. 2½. Vel si mauis: ad huius gene­ris ęnigmata soluēda, compendiū sequi licet ad hunc mo­dum. Minimum numerum a medio subducere oportet: et quatuor restabunt. qui numerus diuisor erit. Deinde medium numerum a maximo subtrahere est opus. et de­cem remanebunt. Ea per diuisorem secta librā unam nū ­mis. 2½ esse uenditam, in numero partitionis monstra­bunt. In tribus nam (que) his numeris. 6. 10. 20. duae sunt differentiae, siue duo excessus: quorum minor in hoc quę­sito maiorem secare debet. Post (quam) autem habes unius librę precium: responsi aenigma in lucem uenit. Nam si librae sex in unius librae precium ducas: procreantur nūmi. 15. At (que) iterū si librae decem per unius librae precium multi­plices: surgent nummi. 25. Ita numerus hic. 5. ęqualiter superat et. 10. nummos et. 20.

ARCHITECTVS qui intra. 30. dies aedes refici­endas suscepit: cum earum domino uehementer ur­gente, ut operi instaret: pepigit: ut in singulos dies, qui bus operaretur: mercedē acciperet nūmos. 18. at si quos dies cessaret: pro singulis redderet domino nummos. 16. Is tot diebus aedibus reficiendis operam dedit: et tot die­bus [Page] cessauit: ut facta ratione nihil ei restaret. quaero quot diebus operatus est: et quot diebus cessauit? Pactū bene consyderans cōperies de. 30. partes. 2. exquirendas esse: quarum altera ducta in. 18. tantum producat: quantum altera in. 16. id, quod per positiones fortuitas facile inue­stigabis: si sub. 30. numerum dierum, quibus operatus est: conijcias: eum (que) in. 18. ducas: deinde reliquam par­tem de. 30. multiplices in. 16. pro cessationis diebus. Postea uide: uter numerus productus altero maior erit. Si numerus pro diebus cessationis productus alterum su­perat: positio de operis diebus defectum ostentat. At si numerus productus ex operum diebus maior est: positio in excessu peccat. Vtrumcum (que) autem euenerit: annotan­dum erit. et iterum tentanda positio. Sequens ita (que) regu­las datas comperies dies, quibus operatus est: esse. 14 2/17. reliquos uero us (que) ad. 30. quibus cessauit: esse. 15 15/17. [...]

[Page] INTERROGATVS quispiam, quotam horam index horologij mōstraret: respondit. tertia et quar­ta pars horarum, quas indicat: sunt quinta et sexta pars earum, quas indicare deberet. quęro, quotam horam in­dex monstrabat? et quotam monstrare debebat? Prius (quam) respondes: animaduertere oportet morem regionis: in qua est horologium. Esto, fuerit in Italia: in qua horarū supputatio per diem et noctem progreditur us (que) ad. 24. Vtaenigma hoc soluas: per positiones, duae partes de. 24. sunt inuestigandae: quarum ⅓ et ¼ unius, sint ⅕ et ⅙ al­terius. Ita inuenies horas ab horologio monstratas esse 9 5/19. eas uero, quae debuissent monstrari: esse. 14 14/19. Quippe de 9 5/19 tertia pars est. 3 5/57. Quarta. 2 6/19. quae partes ambae simul additae faciunt. 5 437/1083. At de. 14 14/19 quinta pars est. 2 18/19. Sexta. 2 26/57. quę etiam partes am­bae simul additę creant. 5 437/1083.

AVREI ducenti inter duos aleatores aequis portio­nibus diuidi debuerunt: ut eorum uter (que). 100. de­portaret. Effusis e sacco aureis, cum rixa inter eos orta es­set: iniectis uter (que) manibus aceruum deripiunt. de quo alter plus, alter minus sustulit. Demum sedata rixa, con­uentum est: ut qui plus rapuisset: dimidium deponeret. qui minus: partem tertiam. quae summae depositae, quū aequis partibus inter eos diuisae fuissent: uter (que) se compe­rit [Page] habere aureos. 100. quēadmodū ab initio partitio fieri debuit. quaero, quantū uter (que) rapuit? Per positiones in­uenies alterū aureos octogīta quin (que) et 5/7. alterum aure­os centū quatuordecim et 2/7 rapuisse. quae summę compo­sitae faciunt. 200.

ETRIBVS aleatoribus primus de pecunia secundi dimidium lucratus est. Secundus de tertij pecunia partem tertiam. Tertius de primi pecunia partem quin­tam, lusu (que) finito, discedens eorum quis (que) centum aureos deportauit. quaero, quantum quilibet initio lusus attulit? Tentans per positiones comperies primū attulisse aure­os quinquaginta quin (que) et 5/9. Secundum aureos. 111 1/9. Tertium. 133 3/9. Nam primus de sua pecunia quintam partem perdidit, uidelicet. 11 1/9. quo factū est: ut ei resta­rēt quadraginta quatuor et 4/9. quibus dimidium de secū ­di pecunia accessit, nempe quinquaginta quin (que) et 5/9. ita centum deportauit. Secundus de sua pecunia dimidium perdidit: et de tertij pecunia partem tertiam lucratus est, uidelicet quadragīta quatuor et 4/9. quae si addas ad alterū dimidium: quod remansit: surgent etiam centum. Ter­tius de tertia parte pecuniae suae iacturam fecit. sic ei remā ­serūt octogintaocto et 8/9. quibus si quintam partem de primi pecunia lucrifactam, uidelicet. 11. 1/9 adiungas: fiēt etiam illi centum.

[Page] DVO VIATORES CORNELIVS ET AN­tonius in itinere crumenas duas, alteram rubram, alteram nigram, subinde repererunt: in quarum altera aurei. 10. plures (quam) in altera fuerunt: at (que) in ambabus au­rei centum. Cornelius secum supputans, ad Antonium inquit. Si tu mihi crumenam rubram dabis: et aureos decem de tuis: tum ego tuae pecuniae quadruplum sum habiturus. Respondit Antonius. At si tu mihi dabis crumenam nigram, et de tuis aureos uiginti: tum ego tuae pecuniae quintuplum sum habiturus. quaeritur, quot aurei in rubra crumena: quot in nigra fuerunt? et quot aureos Cornelius de suis? quot (que) Antonius habuit? Prin­cipio de centum duas partes facere oportet: quarum alte­ra superet alteram partibus decem. hae sunt quinquagin­ta quin (que), et. 45. Deinde uiatorum utrius que aureos per positiones exquisiturus, finge eorum utrum (que) nume­rum quemlibet habere: assignans etiam eis ut libet cru­menas. annota (que) errorem. Caeterum prius (quam) ad secun­dam positionem pergis: crumenarum assignationem (ser­uata ipsa eadem positione) commuta obserua (que) utra ea­rum assignatio minorem errorem parit: ut illam, reiecta altera, etiam in secunda positione teneas. Ita scies uter crumenam rubram uter nigram habuit. Postea ad secun­dam positionem accingere: et regulas datas sequens de­prehendes Cornelium de suis habuisse aureos. 40 5/19. [Page] Antonium. 36 6/19, atque in crumena rubra fuisse aureos 55. in nigra. 45.

MILES, QVI IN STATIONE ERAT: a uiatore interrogatus, quot in praesidio essent: re­spondit. Si totidem alij accederent: dimidium de totidem: et quarta pars de totidem: omnes una tecum faceremus. 100. Iuuat sci­re: quot milites essent in praesi­dio. Tenta per positio­nes: et inuenies fu­isse triginta sex.

MERCATOR AD TRINAS NVNDI­nas subinde profectus, primis omnem suam pe­cuniam per lucrum duplicauit. et insumpsit libras auri du­odecim. Secundis id, quod ex primis superfuit: per lu­crum duplicauit: et iterum insumpsit libras auri duode­cim. Tertijs id, quod ex secundis remansit: per lucrum [Page] duplicauit. et rursus insumpsit auri libras. 12. Quo factū est: ut nihil omnino ei restaret. Quęritur, quātum pecu­niae ad primas nundinas ab initio secum extulit? Tenta per positiōes: et comperies eū extulisse aurilibras. 10 ½. Licet etiam sine ulla positione quaesitum hoc explicare: si a postremis nundinis incipiens, colligens (que) per singulas lucra quę (que), et subducens impensas, ordine retrogrado ad primas nundinas pergas. quemadmodum de sacerdote tribus mendicis pecuniam erogante libro tertio monstra­uimus.

TRES pecuniam habent, aureorum quis (que) summā: quorū primus alijs duobus inquit. Si mihi dimidiū pecuniae uestrae contuleritis: habebo una cum mea pecu­nia aureos. 20. Secūdus uero caeteris dicit. Si mihi partē tertiam pecuniae uestrae donaueritis: habebo una cū mea aureos. 20. Tertius quo (que) reliquis affirmat: si mihi par­tem quartam pecuniae uestrae dederitis: habebo una cum mea aureos. 20. Quęro, quot aureos habet eorum unus­quis (que)? Pone, ut libet: puta primum habere aureos. 4. alij (necesse est) habeant in summa. 32. quorum ½ primo data faciet illi aureos. 20. Iam uero, ut seorsum exquiras secundi et tertij partes: positiones alias facere oportet, ad hunc modum. Adde simul omnium partes prima positio­ne coniectas: et fient. 36. Deinde ut partem secundi ex­quiras: inuestigare oportet de. 36. partes duas: quarum alteri pars tertia alterius iuncta faciat. 20. id, quod obiter per alias positiones faciendum est: et earum alteram inue­nies. [Page] 12. tantum habebit secundus. Sic primus et tertius habebunt. 24. e quibus. 4. sunt primi: sicut est positum: 20. erunt tertij. Sic secundum thema partes primi et se­cundi congruunt. caeterum tertij pars per hanc positio­nem erit. 24. quippe si primus et secundus ¼ ei conferant: ea erit. 4. at ipse habet. 20. sic fiunt. 24. et. 4. excedentes in prima hac positione redundant. Iterum igitur pone: ut libet: puta primum habere. 8. quo fiet: ut secundus et tertius habeant. 24. quorum ½ faciet ei: qui primus est 20. Et ut partē secundi inuenias: adde ea omnia simul: et fient. 32. postea per alias positiones obiter inuestigare oportet de. 32. partes duas: quarum alteri pars tertia al­terius iuncta faciat. 20. Et inuenies alterā esse. 14. Tan­tum habebit secundus in secunda hac positione: in qua primus habet. 8. primus uero et tertius habebunt. 18. quorum ⅓ secūdo collata faciet ei. 20. Sic primus et secū ­dus habent. 22. quorum ¼ est. 5 ½. quae addita ad. 10. faciunt. 15 ½. qua ratione desunt. 4 ½: ut fiant. 20. at (que) ita secunda positio defectum parit. Quocirca ut inter has duas falsas positiones, quarum prior excessum, secun­da defectum profert: ueritas inueniatur: adde ambos er­rores, uidelicet. 4. et. 4 ½. et surgent. 8 ½. qui numerus diuisor erit. Deinde primus ertor. 4. ducatur in secun­dam positionem. 8. et producentur. 32. Item secundus error. 4 ½ ducatur in priorem positionem. 4. et fient. 18. [Page] ea addita ad. 32. creant. 50. quae sūma si secetur per. 8 ½: in numero partitionis prodibunt. 5 15/17. tātum habuit pri­mus. Iterum pro secundi parte exquirenda, ducatur pri­or error. 4. in secundam positionem. 14. et crescent. 56. Itidem secundus error. 4 ½ in priorem positionem. 12. et fient. 54. quae addita ad. 56. creant. 110. ea si secentur per. 8 ½. in numero partitionis exeunt. 12 16/17. tantum ha­buit secundus. Rur [...]us pro tertij parte inuestiganda, du­catur prior error. 4. in secundam positionem. 10. et fiēt 40. Similiter secundus error. 4 ½ in priorem positionem 20. et fient. 90. quę addita ad. 40. creant. 130. Ea si per 8 ½ diuidantur: in numero sectionis prodibunt. 15 5/17. tan­tum habuit tertius. Experire secundum thema. et ita esse comperies.

Huiusmodi positiones duplices uocantur: ꝙ ad confir­mandas prae cipuas positiones, alię obiter fi­ant: quas spectandas oculis hic subiecimus: ut lector melius intel­ligat.

[Page] [...]

IN SV MMA, per falsarum positionū regulas uni­uersae questiones, quae in negociationibus interueni­re solent: facile explicantur. Quae uero radicum supputa­tionem, aut quadraturas requirunt: altiorem poscunt ar­tem: quam Arabes Algebram uocant. Ea mōstrat radi­cum quadratarum cubicarum (que) additionem, subductio­nem, [Page] multiplicationem, et diuisionem. per quam uniuer­sa quantumuis ardua, quae ad numeros attinent: possunt expediri. Caeterum nos tantum ea, quae ad uitam com­munem transigendam necessaria sunt: studiosis explican­da suscepimus.