De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

Table of contents

Title page

Quęso lector optime, ne librū hunc in manus legendū sumas: nisi prius corrigas impressoris errata: quę sequuntur.

REGESTRVM OPERIS.

CVTHEBERTVS TONSTALLVS THOMAE MORO SALVTEM. P. D.

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM DE ARTE SVPPVTANDI PRAEFATIO.

1

DE NVMERATIONE.

DE ADDITIONE.

DE SVBDVCTIONE.

DE MVLTIPLICATIONE.

DE PARTITIONE.

DE PROGRESSIONE.

DE QVADRATI ET CVBI LATERIBVS INVESTIGANDIS.

DE RADICVM IN CVBIS INVESTIGATIONE.

2

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM SECVNDVM PRAEFATIO.

DE PARTIVM NVMERATIONE.

DE PARTIBVS DISSIMILIBVS AD SIMILITVDINEM REDIGENDIS.

DE PARTIVN ADDITIONE.

DE PARTIVM SVBDVCTIONE.

DE PARTIVM MVLTIPLICATIONE.

DE MINVTIARVM PARTITIONE.

DE RADICVM INVESTIGATIONE IN MINVTIIS.

DE RADICIBVS PROPIVS INVEniendis in numeris ne que quadratis ne que cubis.

QVOMODO, PROPOSITIS BInis minutijs, scias: utrę sunt maiores.

INTERROGATIONES PER additionem soluendae.

Interrogationes per subductionem soluendae.

INTERROGATIONES PER multiplicationem soluendae.

QVOMODO PARTIVM PARticulae sunt exquirendae.

Interrogationes per diuisionem soluendae.

Quomodo exquiras in numeris, quota pars maioris numeri sit minor. et in minutijs, quota pars maiorum minutiarum minores existant.

Minutiarum aliarum in alias transformatio.

Interrogationes per plura et diuersa soluendae.

3

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM TERTIVM PRAEFATIO.

REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVARTVM IGNOTVM COMMONSTRANTIBVS.

QVANDO MINVTIAE OCCVRRVNT IN REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVARTVM IGNOTVM MONSTRANTIBVS QVID SIT FACIENDVM.

PECVNIAE CVIVSVIS IN QVAMLIBET PERMVTATIO QVOMODO SIT FACIENDA. Quaestio. 2.

SOCIETATIS REGVLA. Quaestio. 3.

SOCIETATIS REGVLA SECVNDA, IN QVA TEMPORVM DIVERSITAS INTERVENIT. Quęstio. 4.

SOCIETATIS REGVLA TERTIA: QVANdo temporibus intermissis, uarię summae interdum communicatę, interdum subductae fuerunt. Quaestio. 5.

DIVERSARVM REGIONVM PONDERIS COAEQVATIO. Quaestio. 6.

LVCRI EXPLORATIO. Quęstio. 7.

LVCRI EXPLORATIO IN TEMPORE MAIORI Questio. 8.

TEMPORIS INVESTIGATIO IN LVCRO MAIORI. Quęstio. 9.

LVCRI INVESTIGATIO EX MAIOri pecunia secundum respectum lucri ex summa minori Quęstio. 10.

TEMPORIS INVESTIGATIO IN LVcro maiori secundum respectum temporis in lucro minori. Quaestio. 11.

PONDERIS EXPLORATIO IN PANIbus, quando precium annonae crescit. Quęstio. 12.

PONDERIS EXPLORATIO IN PANIbus, quando precium annonae decrescit. Quęstio. 13.

LVCRI ET DAMNI REGVLAE.

PER LVCRVM NOTVM SORtis ignotae exquisitio.

PER DETRIMENTVM NOTVM sortis ignotae exquisitio.

LVCRI RATIO, SI MINORIS quippiam fuisset emptum.

DAMNI RATIO, SI PLVRIS quippiam fuisset emptum.

LVCRI RATIO, SI PRECIVN MVTETVR.

Damni ratio, si precium mutetur.

QVO MODO PRECIVM STATVAtur ad lucrū quoduis parandum.

COLLATIO IN IACTV MERCIVM FACTO OB NAVEM IN TEMPESTATE SERVANDAM. Quaestio. 14.

BONORVM INTER CREDITORES DIVISIO. Quęstio. 15.

POSTHVMI HAEREDIS INSTITVTIO. Quaestio. 16.

HAEREDVM INSTITVTIO IN partibus designatis. Quęstio. 17.

Quaestio. 18.

Quaestio. 19.

Quaestio. 20.

QVAESTIO. XXI.

Quaestio. 22.

Quęstio. 23.

Quaestio. 24.

Questio. 25.

Quęstio. 26.

Quęstio. 27.

Quęstio. 28.

Quaestio. 29.

Quęstio. 30.

Quęstio. 31.

Quęstio. 32.

Quęstio. 33.

Quaestio. 34.

Quaestio. 35.

Quęstio. 36.

Quęstio. 37.

Quaestio. 38.

Quęstio. 39.

Quęstio. 40.

Questio. 41.

Quęsto. 42.

Quęstio. 43.

Quaestio. 44.

Quaestio. 45.

Quaestio. 46.

4

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM QVARTVM PRAEFATIO.

QVANTITATIS SPECIES.

DE PROPORTIONE ET EIVS GENERIBVS.

PROPORTIONIS RATIONALIS SPECIES.

DE PROPORTIONALITATE.

DE MEDIETATIBVS.

QVOMODO PROPOSITIS DVOBVS terminis medium proportionale sit inuestigandum.

QVAE MEDIETATES QVIBVS RErum publicarum statibus comparentur.

QVOMODO PROPOSITIS DVOBVS quibusuis terminis, proportio inter eos inueniri possit.

QVOMODO COGNOSCATVR VNA proportio alia esse maior.

QVOMODO PROPORTIONEM EX pluribus compositam esse cognoscas.

QVOMODO in terminis improportionalibus longa serie continuatis unam proportionem ex pluribus compositam esse cognoscas.

QVANDO PROPORTIO QVAEVIS OCcurrit: quomodo proportiones alias ipsam componentes inuestigabis.

QVOMODO CVIVSQVE PROPORTIOnis uel ambo extrema uel alterum per numerum ipsam denominantem inueniri possint.

DE PROPORTIONVM ADDITIONE.

DE PROPORTIONVM subductione.

DE PROPORTIONVM multiplicatione.

DE PROPORTIONVM DIVISIONE.

QVOMODO PROPORTIONEM INTER quosuis numeros assignatam inuenias in minimis numeris, qui eam proportionem habeant.

QVOMODO PROPORTIONVM DISIVNctarum similitudo inueniri possit in minimis numeris secundū ipsas proportiones continue proportionalibus.

DE PROPORTIONE HABENte medium duo que extrema.

DE PROGRESSIONE NVMErorū continue proportionalium.

DE FALSARVM POSITIONVM REGVLIS.

REGVLA DE VNICA FALSA POSITIONE.

REGVLA DE DVABVS FALSIS POSITIONIBVS.

DIFFERENTIARVM OBSERVATIO.

APPENDIX EX BVDAEI LIBRO DE ASse excerpta: in qua prisca Latinorum et Gręcorū supputatio, ad aestimationem pecunię, tum Gallicae, tum Anglicae reuocatur.

GRAECORVM SVPPVTATIO.

MENSVRAE EX BVDAEI LIBRO DE ASSE.

QVOMODO EX DENARIIS FIANT SOLIDI.

§

§

§

[Page]

[Page] DE ARTE SVPPVTANDI LIBRI QVATTVOR CVTHEBERTI TONSTALLI.

Quęso lector optime, ne librū hunc in manus legendū sumas: nisi prius corrigas impressoris errata: quę sequuntur.

[Page]

In quaternione. H. folio. 3. pagina. 1. linea. 9. ibi sexdecim millia. lege sexaginta millia.

In quaternione. I. fol. 1. pag. 2. linea. 12. ibi, singulos decem eum sequē tes. dele uerbum decem: et lege, singulos eum sequentes.

In quaterniōe. K. fol. 2. pag. 1. linea. 4. ibi, et reliquo penultimę si quod erit. dele uerbum penultime: et lege, et reliquo si quod erit. Et in fol. 3. pag. 2. linea. 6. ibi subuci. lege, subduci.

In quaternione. L. fol. 2. pag. 1. linea. 5. ibi, quę est in diuisore. loco in, lege sub, hoc modo. quę est sub diuisore.

In quaternione. Q. fol. 2. pag. 2. linea. 13. ibi, diuidiandi sunt. lege, dimidiandi sunt. Et fol. 3. pag. 2. linea. 12. ibi. 14. lege. 17.

In quaterniōe. Y. fol. 2. pag. 2. linea. 16. ibi, 2/4, lege, ¾. Et fol. 4. pag. 1. linea. 1. ibi, quinqua genariū. dele uerbum quinqua genariū: et lege. 54.

In quaternione. Z. fol. 3. pag. 1. linea. 21. ibi, uel in societatem cōmunicata uel de medio. dele utro (que) loco uel: et lege, nec in societatem cō municata nec de medio. Et fol. 4. pag. 2. ibi. 250. in infima parte figurarum. lege. 350.

In quaternione. a. fol. 3. pag. 2, linea. 13. ibi, quinquaginta. lege, quadraginta.

In quaternione. d. fol. 1. pag. 2. linea. 2. ibi, pro quiuis. lege, pro quinis. et linea. 12. ibi. Qamobrem. lege. Quamobrem.

In quaternione. g. fol. 4. pag. 1. linea. 1. ibi, aureorum numeri. lege, aureorum numerum. et pag. 2. linea. 23. ibi, surgent. 15. lege, surgent. 13.

In quaternione. m. fol. 1. pag. 2. linea. 20. ibi, denominantes proportionem. lege, denominantia proportionem. Et fol. 8. pag. 2. linea. 3. ibi, seducta. dele se, et lege. 3. ducta.

In quaternione. r. fol. 1. pag. 1. linea. 7. ibi. Apud geometros. lege. Apud geometras.

In quaternione. t. fol. 4. pag. 1. linea. 12. ibi, errorem in. 6. peperit. lege. errorem in. 3. peperit.

In quaternione. u. fol. 2. pag. 1. linea. 23. ibi, nacitur. lege, nascitur.

REGESTRVM OPERIS.

A. B. C. D. E. F. G. H. I. K. L. M. N. O. P. Q. R. S. omnes du erniones. T. TV. V. terniones. X. Y. Z. duerniones. a. duernio. a b. ternio. b. c. d. e. f. g. h. i. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. x. y. z. &. duerniones.

CVTHEBERTVS TONSTALLVS THOMAE MORO SALVTEM. P. D.

[Page]

I AM ANTE ALIQVOT AN nos mi More cum mihi cum argē tarijs negocium interuenisset, nec satis inter nos de ratione conueniret, ut fraudē mihi magnopere suspectam uitarem, coactus sum rationes non admodum expeditas paulo propius inspicere, at (que) artem supputandi quondam adolescenti mihi degustatam iterū repetere. qua ratione cum me a callidorū hominum molestia explicuissem, coepi mecum cogitare, futurū mihi in reliqua uita non modicū operaeprecium, si numerandi artem sic in promptu tenerem: ut a quantūuis uersuto falli attentus non possem. Ita (que) ut penitius rem cognoscerem, omnes omnium scriptos de ea re libellos, eruditos, ineptos, Latinos, barbaros, quorū callerem linguas (nam nulla pene natio est, quae non eam artem uulgi lingua scriptā habeat) perlegi. et ne saepius toti libelli, quorum magna pars interdum non placebat, non sine fastidio relegendi essent: si quid in his alicubi, quod gratum esset, occurreret, obiter annotaui. Quo factū est, ut ex multis multorum scriptis multa etiam ipse colligerem: quae dum reposita apud me aliquandiu asseruassem, subibat animū, conducibile fore, si sermone latino, paulo magis ꝑspicua reddere ea possem. id (que) dum tentarem, et res parum procederet, [Page] fatigatione deuictus libellos saepe abieci, desperans quod destinaram, a me praestari posse, tum ꝙ res ipsa per se obscura esset, tum ꝙ multa saepe occurrerent, quae nec Latinum sermonem nedum eloquentiam admittere uidebantur. Contra incepto desistere post auspicatum opus oneri succumbentem pudebat. Ita (que) subinde tentabam, si quid uirium adderet repetitus labor. Interdum cum ipsis certare difficultatibus iuuabat. et quae molestiam nō modicam afferebant, contra (quam) fieri solet, obstinatum ad laborem augebant animum. Nonnun (quam) cogitabam, post (quam) id quod maxime optabam, consequi non possem, ut cuncta cum gratia quadam niterent: non inutile futurum, si quae barbarie quadam inculta squalebant: minus horrida redderem. Sic tandem certus propositi deuoraui tedium, ac per multas difficultates eluctatus e cōpluribus excerpta haec qualiacum (que) notaui, quae apud me iam diu de industria pressi, cogitans ad ursi exemplum foetus ipsos informes aliquando per ocium lambendo figurare.

Nunc ad pontificatum Londinensem uacantem homo omnium maxime eo honore indignus benignitate tamē regis cum de omnibus bonis, tum de me supra (quam) dici potest meriti, designatus, et quod superest uitae, sacris addicturus litteris, prophana omnia scripta longe releganda putaui. at (que) in primis illos apud me reconditos de numerandi arte commentarios Vulcani (quam) Mineruae scrinijs digniores abijciendos censui. Ne (que) enim uel dignos esse, qui in doctorum uenirent manus, uel ullam imposterum uitae meae partem sacris suffurari litteris, ut limam eis inducerem, fas esse existimaui. Rursus in mentem uenit, aliquid [Page] in his non inutile Arithmeticę operā daturis posse deprehendi: nec satis consultum fore, si quae mihi tot noctium lucubrationibus cōstiterunt, flammis absumenda committerem. Nec tamen ut regi longe supra regum fortunam erudito, de (que) me supra omnes mortales merito rude at (que) impolitum opus dedicarem, animū inducere potui: ne publica tantisper negocia remorarer: dum ille ineptijs his legendis daret operam: neue gratiam quam referendispes nequa (quam) datur: ingrato officio corrupisse uiderer. Ita (que) circumspicienti mihi, cui nam potissimum ex amicorum cohorte collectanea haec dicarem, tu ꝓ nostra consuetudine at (que) animi tui candore uisus es ex omnibus maxime idoneus, qui, si quid in hoc opere placeret, gratum habere: si quid esset ieiunius, boni consulere: si quid us (quam) offenderet, ignoscere paratus esses. Cui enim aptiora haec (quam) tibi esse possunt: qui totus in supputationibus excutiendis occupatus in regni aerario post praefectum primas tenes, qui (que) liberis tuis, quos liberalibus institui disciplinis curas, legenda ea relegare potes. illis enim uel maxime profuerint, si modo essent lectu digna, cum nulla re iuuenum magis uegetetur ingenium (quam) numerorum arte discenda. Vale.

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM DE ARTE SVPPVTANDI PRAEFATIO.

[Page]

TRTEM supputandi studiosis editurus in primis illud praefandum operępreciū esse putaui, Pythagoram et ueteres philosophos pleros (que) omnes uim quādam diuinam numeris tribuisse: id quod non abs re fecisse existimantur. Nam cū mathematicae disciplinę quattuor existāt, Arithmetica, quae numerandi artem at (que) uniuersam numerorum uim explicat, Musica, quae sonorum concentus at (que) harmoniā discernit, Geometria, quae terrae et aliarum rerū metiri magnitudinem instituit, Astrologia, quae caeli at (que) astrorum motus certa naturę lege inuariabiles docet, harum ad notitiam peruenire cupienti primū Arithmeticam, quae caeteris aditum pandit, degustare necesse est, sine qua nun (quam) ad illas penetrare licebit. Haec nam (que) ab illis nihil sumit mutuum, suis (que) contenta dotibus nihil alienum requirit, illae contra ab hac praesidia saepe petunt. Ita (que) cum dei natura sit essentia substantia (que) simplex, quae omnia intra se complexa nihil extra se quaerit, ab omni concretione corporea terrena (que) semota, illam etiam disciplinam, quae de incorporeis tractans nihil aliunde petit, par est arbitrari diuinam. Hac ueteres ipsi totā philosophandi rationem putauerunt esse conclusam. Nec tamen propterea ꝙ haec omnium prima tentāda est, intellectu quo (que) facillima deprehendetur, [Page] cum in illis multa effingi possint, quae nos per sensus corporis ueluti per manus in cognitionem ducant. quippe in Musica sonorum in musicis instrumentis concentus auribus applaudit, et se dat cognoscendum. In Geometria lineas, circulos, quadratas triquetras (que) figuras, et pyramides oculis subijcimus. Similiter in Astro logia caelum, sphaeras, axes, zodiacos, signa duodecim, astra etiam ipsa nobis fingimus, at (que) haec quidem omnia uel lignea, uel aerea, uel si magis libet, depicta. quae sane formae cum omnis nostra cognitio a sensu oriatur, plurimum ad earum rerum cognitionem, quarum sunt simulachra, rudes animos iuuabunt. At in Arithmetica sicubi haerebis, quas, quaeso, numerorum ideas excogitabis, ut tete explices? Numeros nihil corporeum exprimit: nihil oculorum, nihil aurium sensus ad numerorum nodos soluendos iuuat: nulla numerorum simulachra, nisi numeri: tantum acri ingenio, firma memoria, et mente in se collecta comprehenduntur. At (que) ideo moriones, qui sępe natura duce modulatos imitantur cantus, et omnigenas rerum formas in cōspectum delatas agnoscunt, multa (que) ex sensu communi tam apte in sermone loquuntur, ut prudentes uideri possint, si quid de numeris paulo tortuosius quęras: continuo deprehenduntur rationis egentes: sine qua nihil in numeris explicari potest. Quocirca cum uita nostra tota in terrenis uersetur: ad quorum adsequendam notitiam sensus corporis nō parum iuuant: cognitionem uero caelestium quae sola ratione sectanda sunt, maxime petamus: cum mathematicae disciplinae medium inter utra (que) gradum teneant: ad caelestium cognitionem nulla re [Page] melius exercitamur, (quam) animum a terrenis tātisper abstrahendo, dum mathesibus intēti sumus: quas nimirum hominibus ipsa rerum natura uidetur edidisse: ut esset, quo se ad caelestium meditationem exercerent. quod quum omnes disciplinae mathematicae pręstent tum lōge omnium maxime Arithmetica: quae nullis adiuta corporum imaginibus mente sola se colligente nititur. Haec praeter (quam) ꝙ in numeris abscondita quaedam, et altioribus philosophię uenis abstrusa rimatur: communem etiam supputā di rationem, sine qua uita trāsigi nullo modo potest, mortales docet. Etenim siue secessui quis, siue foro sese parat: si numerorū rationem non tenet, frequenter erit in uita non sine damno derisus. nam qui supputantem per dolum defraudabit: maiorē ex decepti inertia, (quam) ex parto per fraudem lucro, uoluptatem capiet: quem risum nemo ingenuus ferre aequo animo posset. Ita (que) uel negocio uel ocio se dedentibus nihil magis necessarium erit, (quam) numerandi artem tenere promptam. Et ut ea quae in Arithmetica sunt altius recōdita philosophi magis callent, ita quod ad supputandi rationem attinet, quae pars eius humillima est, a negociosis longe superantur, tā acres addit stimulos studium pecuniae. Quemadmodū autem caeteris mathematicis disciplinis Arithmetica ianuam aperit: ita in huius abdita penetrare sine computādi ratione perspecta facile non datur. Cui rei perdiscendae cum aliquando impense operā daremus: et uarijs ad id pręceptoribus, alijs eruditis, alijs negociosis uteremur: multorum (que) libros, qui de ea tentarunt scribere, perlegeremus: uisum est operaeprecium: quae nos e multis collegimus: studiosis legenda tradere. [Page] Id quo magis faceremus: aliorū obscura scripta, aliorum inperfecta, quorundam uero etiā errata nos impulerunt: ut quae diu multum (que) nos torserunt: uel per nos emendatiora, uel magis facta perspicua, ad posterorū uenirent manus. Quid uero pręstiterimus aliorum sit iudicium: certe conati sumus: ut ne quis in posterum, qui modo Latine sciat: ad artem supputandi discendam, pręceptore egeret. Et quoniam in supputationibus saepe euenit: ut eadem res expediri multiphariā possit: nostri instituti non est, omnes omnino eorum, qui scripserunt, pręceptiones enarrare: quod sane, pręter (quam) ꝙ inutile esset: fastidium afferret legentibus: sed ex multis et uarijs modis eos maxime monstrare: qui uisi sunt expeditissimi, qui (que) nullis inuoluti ambagibus exitum statim dabunt. Quaedam etiam leuicula compendia trademus, hactenus a nemine (quod sciam) scripto prodita. Quamobrem lectores candidi lucubratiunculas nostras uos boni cōsulere eo aequius est: ꝙ in re per se obscura plurimum desudauimus: ut luce paululum inducta, uobis inoffensa lectio renideret. cui nostro proposito, quantulumcum (que) pręstitimus, gratia a bonis uiris habenda est. Illud demum praemonendum esse duximus: quisquis hunc librum in manus legen dū sumet, nisi mauult operā perdere, ei a capite esse ordiē dum. ne (que) enim ubiuis incipienti, tan (quam) in historia, sese offeret sensus: quandoquidem ita contextum est opus, ut singula quae praecedunt, ad ea quae sequuntur, instar elementorum habeant. Supputandi autem ratio partes has habet praecipuas, Numerationem, Additionem, Subductionem, Multiplicationē, Partitionem, Progressionem, [Page] Radicum inuestigationem: de quibns singulatim suo ordine dicemus.

1

1

[Page]

DE NVMERATIONE.

INITIVM NVMERATIOnis ab uno proficiscitur, procedere autem ea potest etiam in infinitū. Verum tamen numeri primarij et simplicia habentes nomina apud omnes gentes sunt tantum decem: uidelicet unum, duo, tria, quatuor, quin (que), sex, septem, octo, nouem, decem: quibus in singulis nationibus primi nominū impositores uarie, ꝓ suo quis (que) arbitrio, nomina indiderūt. quicquid ultra decem numeraueris: compositum ex horū in se replicatione reperies. nam unum ad decem addimus, et numeramus undecim: duo ad decem, et duodecim producimus: tria ad decem, et procreamus tredecim: at (que) ita reliquos numeros primarios cum decem componimus, nempe quatuordecim, quindecim, sexdecim, septēdecim, decem et octo, decem et nouem, donec iterum ad decem uentum fuerit, ibi quia bis dena collegimus, uiginti ea uocamus, quod bis decem significat: quasi bis ginta. b. literae sono in. u. transeunte propter uicinam quādam earum in pronunciatione cognationem. nam ut genta centum: ita ginta decem apud ueteres in compositione significat.

Rursus in numerando progredimur, et singulos numeros primarios cum uiginti coniungimus: quous (que) ad ter dena ueniamus, quae triginta, hoc est ter decem, uocamus: quibus denuo primarios numeros accumulare pergimus, donec ad quater dena perueniamus: quae quadraginta uocamus. [Page] At (que) hac numerandi ratione seruata, quinquaginta, sexaginta, septuaginta, octuaginta, nonaginta procreamus, semper prioribus denis primarios numeros aggregantes, donec alia collegerimus: quibus ipsis nomina a numeris primarijs secundum denorum collectorum numerum denominata tribui manifestius est: (quam) ut sit admonendum. Decies dena centum primi nomenclatores Latine uocauerunt. Deinde alia dena rursus procreantes ipsa centena crescente numero coaceruarunt: quous (que) ad decies centena uenirent: quibus nomen indiderūt. Mille. Is summus numerus apud Latinos est: qui uno uocabulo exprimi potest. Reliqui autem omnes in infinitum numeri ex his in se replicatis et repetitis, apud Latinos, at (que) itidem apud omnes omnium gentium linguas, sua habēt collecta nomina. Exempli gratia decies millena. centies millena. millies millena. decies millies millena. at (que) id genus reliqua. praeter (quam) ꝙ Graeca lingua multo caeteris locupletior non solum decies denis. et decies centenis. sua uocabula Ecaton, et Chilia, dedit: ut caeterae nationes: sed etiam decies millenis speciatim indidit nomen: ut Myria dicerentur, et Myriades.

VIDES ita (que) in magno numerorum corpore id esse dena ipsa ex primarijs collecta numeris: quod in corpore nostro sunt artus: qui maiora existunt membra. Et quē admodum in arundinibus internodia paribus distincta spacijs proceritatem ipsam producunt calamorum: sic in maioribus numeris alia aliis aggregata dena, uelut numerorum internodia, crescentem magnitudinem connectūt. Igitur omnem numerum necesse est, uel primarium esse: [Page] uel ex denis coaceruatis collectum: uel partim ex denis, partim ex primarijs compositum.

Numeros suis litteris et notis Latini, suis Gręci uarie scribunt: quae qui latius nosse uelit: apud Latinos Valerium Probum legat, apud Gręcos Herodiani de numeris libellum. Nostri instituti est eum solum numeros scribendi morem nunc attingere: qui a Chaldeis primum in finitimos, deinde in omnes pene gentes fluxit: ut suis numeri characteribus, non litterarum elementis notarentur, qui mos signandi numeros, tam apud eruditos et Arithmeticae peritos, (quam) apud omnes omnium gentium mercatores et negotiosos sic obtinuit: ut non alius magis per orbem terrae nunc seruetur.

DECEM ita (que) sunt numerorum notae: quas Arithmetici figuras uocant: signa etiā appellare eas licet: quae omnes omnino in infinitum numeros uarie pro locorum ratione positae significare possunt. Harum nouem suos denotant quae (que) numeros, uidelicet prima. 1. unum significat. secunda. 2. duo. tertia. 3. tria. quarta. 4. quatuor. quinta. 5. quin (que). sexta. 6. sex. septima. 7. septem. octaua. 8. octo. nona. 9. nouem. Decima uero nota ad formam. o. litterae circulari figura est: quam alij circulum, uulgus cyphram uocat: quae nihil ipsa significat: uerum alijs pręposita numeris, eorum omnium qui sequuntur, auget in decuplum significationem. Exempli gratia. o. primae notae siue figutae. 1. a dextra parte iuncta eam, quae unū expresserat, decem significare facit. 10. at (que) itidem in reliquis.

ILLVD in primis animaduertendum. Cum omnes Latini et Graeci, at (que) horum aemuli caeteri aliquid scripturi a [Page] leua recepto more incipiant: at (que) ita in dextram tendant: quisquis his notis numeros scribere uelit: a dextra paginae parte incipere debet: et numeros caeteris minores a dextra parte ponere, at (que) ita in leuam tendendo progredi: ut quo maiores accedunt numeri, eo magis in leuam semper eos promoueat. Id quod itidem in numeris obseruant Latini, Graeci, et alij: ut maximum quem (que) numerum a leua, minimum quem (que) a dextra collocent. Vnde constare penitius inspicienti potest, numerandi artem a Chaldeis esse profectam: qui dum scribunt, a dextra incipiunt, et in leuam progrediuntur. dextram appello paginae partem, quę proposita ante nos charta, dextrę nostrae propior est: leuam, quae sinistrae.

HAE nouem notae et figurae omnes, quibus numeros suos denotari diximus, cum non semper easdem sedes occupent, uarie pro locorum positione significant. Nam earū unaquae (que) primo loco, qui ad dextram est, tantum suum numerum enunciat: Secundo loco leuam uersus posita, decies tantūdem. Tertio loco leuam uersus, tantundem centies. Quarto loco leuam uersus, millies tantundem. Quinto loco leuam uersus, tantundē decies millies. Sexto loco leuā uersus, centies millies tantundem. Septimo loco leuam uersus, millies tantundem millies. Octauo loco leuā uersus, decies millies tantundem millies. Nono loco leuam uersus, centies millies tantundem millies. Decimo loco leuam uersus, millies supra millies tantundem millies. Vndecimo loco leuam uersus, decies millies supra millies tantundem millies. Duodecimo loco leuam uersus, cē ties millies supra millies tantundem millies. Tertiodecimo [Page] loco leuā uersus, millies supra millies tantundem millies. at (que) id quidem millies ad quem modum ulterius etiā in infinitum progredi licet.

Postremum autem in numeris locum circulus nun (quam) obtinet: quando nihil eum sequitur, cuius significationē augeat. Alioqui si qua figura a tergo ei erit, omnes numerorum sedes occupare potest. Exemplum subdamus, in quo omnes numerorum notas suo ordine ponamus, cum aliquarum repetitione us (que) ad tertiumdecimum locum, hoc modo. [...]

Huius seriei numerum et eiusmodi similes, qui in immensum crescunt, recensurus, ne qua tibi inter numerandum oriatur confusio, quartum locum qui mille repraesentat, puncto supra posito notabis. Deinde quinto loco et sexto intermissis, iterum supra septimum locū punctū adijcies. Rursus octauo loco et nono intermissis, decimum locum puncto supra adiecto signabis. Similiter undecimo loco et duodecimo prętermissis, supra tertiumdecimum locum punctum appones. At (que) ita, si maior fuerit numerus, duobus locis a quarto semper intermissis, tertium quem (que) puncto supra posito notabis. Haec punctorum adiectio non mediocrem numerandi facilitatem pariet. nam punctis signata loca, millenaria demonstrant: ad quae, uelut ad quo sdam gradus, inter numerandum sistere licet. ne (que) enim longa numerorū series uno spiritu pronunciari potest. Quartus ita (que) locus exhibet mille. Septimus millena millia: uulgus millionē barbare uocat. Latine reddideris, [Page] ut nūc fit supputatio, uel millena millia: uel millies millena. Prisci decies centena millia dixerunt: sicut paulū infra monstrabimus. Decimus locus capit millies millena millia: uulgus milliones millionum uocat: Latine dixeris: ut nūc mos est loquēdi: uel millies millena millia, uel millies millena millies. Prisci decies millies cētena millia numerū illum uocauerunt. Tertius decimus locus exprimit millies millena millia millies: uulgus millionem de millionibus millionum uocat. Latine recepto nunc supputandi more, enunciabimus, uel millies millena millenorum millia, uel millies millena millia millies. Prisci eum numerum decies millies centena millia millies appellarunt. Numeros inter hos medios siue centenarios, siue denarios promptum est cuiuis enunciare: cum statim ante oculos nobis occurrat: inter quae genera millenariorum suntlocati. Quod post (quam) animaduertimus: illud in primis obseruare debemus: ut numeri illi centenarij et denarij inter puncta adiecta medij, secundum nunc receptū supputandi morem, ea semper exprimant millenariorū genera: quae proxime a dextra parte punctis sunt notata: quous (que) ad prima millenaria uenerimus.

IGITVR numerum hunc immensum, punctis supra positis in locis praedictis notatum, Latine sic enunciabimus, a postremis et maximis incipiētes numeris, et in minimis ac primis desinentes. Qui mos est apud omnes gē tes, uerbis numeros eloquendi. [...]

Ter millies millena millia millies, ducenties decies millies [Page] millena millia, noningenties octuagies septies millena millia, sexcenta quinquaginta quatuor millia, trecenta uiginti unum. Aliud exemplum totidem notarum, conuerso figurarum ordine, ponamus: quo magis, quod dicimus: legentibus innotescat. [...]

Hunc etiam numerum punctis, ut supra dictum est: notatum, Latine sic reddemus. Millies millena millia millies. Ducenties tricies quater millies millena millia. Quingenties sexagies septies millena millia. Octingenta nonaginta millia. centum uiginti tria.

EX HIS, quos posuimus: immensis numeris per notas suas scriptis, punctis (que) notatis, et Latine redditis, facile erit cuiuis numerum quemlibet minorem tum scribere, tum punctis signatum, Latine enunciare.

Si uero maior occurret numerus: eadem erit re ipsa facilitas: sed uerba, millies, et millia, toties in singulis maioribus numeris repetita, quoties ea addi pro loci augmento necesse est, auribus fastidium nōleue parient. Et uix un (quam) in negocijs humanis maior occurrit numerus: (quam) quem supra posuimus.

IN huiusmodi autem immensis numeris, ad singula loca punctis signata uerbis enūcianda, toties uocabula hęc, uel millia, uel millena, uel millies, repetenda sunt, quoties puncta, ab eo loco una etiam connumerato, in tota serie us (que) ad primam notam reperientur: id, quod in exemplis iam explicatis licet cernere.

[Page] VERVM, ne quis exempla faciliora in libro nostro desyderet, eiusmodi quo (que) subiungemus. At (que) ideo notis, ut libet, us (que) ad septimum locum positis (nam infra nihil est opus descendere) illud exemplum esto. [...]

Hoc exemplum, punctis prius signatum, sic Latine reddes. Sexies millena millia, octingenta quinquaginta quatuor millia, noningenta septuaginta tria. Aliud exemplū us (que) ad decimum locum addo. [...]

Numerum hunc, punctis supra positis prius distinctum, Latine sic reddemus. Septies millies millena millia, noningenties uicies quater millena millia, octingenta quinquaginta tria millia, centum sexaginta.

Plura numerorū exempla nihil est opus adscribere, quandoquidem ea, quae posuimus: facile indicant, quomodo numeri quiuis alij, et scribi et Latine enunciari debeant.

NON ME latet Romanos ueteres, prisco more, suos nūmos Sestertios computātes, numerum trāscendentem centum millia (qui numerus sextam apud Arithmeticos sedem occupat) Latine non enunciasse, nisi per aduerbia, decies, undecies, et quę supra sunt, us (que) ad centies et millies, at (que) etiam ultra in immensum: per quae numerū illum centū millium in se replicabāt. in quo uelut in limite quodam numerandi sistebant, iterum incepturi. Interdū etiā uocabula haec, centena millia, quodam sermonis compē dio [Page] omittebāt: ut dicerēt. Decies sestertiū. pro decies centenis millibus sestertiū. qui numerus millena millia sestertiorum nummorū exprimit, et septimam apud Aritstmeticos sedem tenet. Cēties sestertium. pro centies centenis millibus sestertiorū. qui numerus decies millena millia sestertiorum nummorum indicat: et sedem apud Arithmeticos occupat octauam. Millies sestertiū. pro millies centenis millibus sestertiorum nūmorum. qui numerus centies millena millia sestertiorum nummorū significat, et locum apud Arithmeticos nonū possidet. et sic ulterius us (que) in immensum ueteres ad eam rationem Latine suos nummos computabant. id quod BVDAEVS uir cū primis ętatis nostrae eruditus, in libro suo, de Asse, mira sagacitate plenius annotauit. Caeterum Arithmetici ultra centena millia transcendentes magis ad millena millia gradū quendam sistendi faciunt: quem tamen ipsum trausiliūt: et per decies, et centies, auctis locis, rursus ad millies millena millia denuo figunt gradum: at (que) ultra etiam ea, procedentes in immensum, millena millia millenis accumulant: quemadmodum ante diximus. qui mos supputandi per orbem terrae nūc est receptus. Ita (que) inter priscos et recentiores nihil interest aliud, nisi (que) hi millenariorum loca obseruantes millena millia millenis aggregant. At prscicentenorum loca uelut gradus quosdam facientes, cētena millia centenis us (que) in immensum accumulabant, semper ea in se replicantes. Caeterum locorum augmenta tam cū prisca supputatione, (quam) cum nunc recepta consentiunt.

Quamobrem nihil uideo, cur priscam computationem: [Page] post (quam) apud omnes nationes est antiquata: mordicus tenere debeamus: quando mos nunc receptus maiore ratione nititur. Etenim cum, Mille, maximus sit apud Latinos numerus, qui unico uocabulo potest exprimi: magis progredi congruit, donec ad millena millia uentum erit, (quam) ad centena millia, quae infra sunt, facere gradum. Verū si quem magis iuuat prisco more numerū aliquem immē sum Latine reddere: breue ad id quo (que) compendium trademus: ut numerum notis scriptum punctis supra uerticē signet, tertio, sexto, nono, et duodecimo loco, cęteris (que), qui deinceps, duobus semper intermissis, sequentur. illud (que) obseruet: ut a postremis incipiens singulas numerorū notas us (que) ad locum sextum, ea significatione, quam sedes suppeditabunt, per aduerbia exprimat: quę uero sextum locum praecedunt: reddat per uocabula. Cum autem ad punctis signata loca uentum erit: uocabula haec, centena millia, ad singula puncta pronunciet. ueluti in primo exemplo per nos supra posito, si quis prisco more numeros enunciare uelit. [...]

Tricies bis millies centena millia millies, centies nouies millies centena millia, octingenties septuagies sexies centena millia, quinquaginta quatuor millia, trecenta uiginti unum.

ITIDEM in alijs numeris quantumūis immensis cuiuis erit facile priscos imitari, ueluti in secundo supra posito, quem prisco more sic exprimes. [Page] [...]

Duodecies millies centena millia millies, trecenties quadragies quinquies millies centena millia, sexcenties septuagies octies centena millia, nonaginta millia, centum uiginti tria. Ad horum exemplum cęteros numeros omnes prisco more Latine reddere nullum est negocium.

GRAECI autem supputando quendam sistendi gradum faciunt ad Myriades: quae decem millia significant: quintam (que) occupant sedem. quo maiorem numerum uno uocabulo non exprimunt. deinde myriades tam multas sibi aggregant, ut ipsarum etiam myriadum faciant myriadem: quae summa millies centena millia, sicut loquuntur prisci: uel centies millena millia: sicut nunc Arithmetici: significat: et nonum locum tenet. ultra quem numerum Gręci uocabulis carentes rursus myriades in se replicāt: donec totidem myriadum myriades accumulauerint: quot propositi numeri magnitudo suggerit.

Hactenus de numeratione dixisse sufficiat.

DE ADDITIONE.

ADDITIO NVMERORVM EST DVOrum pluriumue numerorum in unam summam collectio. Id autem fieri potest, siue minores quiuis numeri maioribus addantur, siue econuerso, siue aequales aequalibus. Illud summopere obseruandū est: ut siue duo siue plures sint numerorum ordines: quos in unam summam [Page] colligere uelimus: ita eos omnino scribamus: ut sub prima nota primi ordinis primae reliquorum ordinum figurę directe, uelut ad perpendiculum, locentur: sub secunda secundae: sub tertia tertiae: et sic deinceps: ut in singulis ordinibus loci quo (que) numerorum, uelut sub una linea perpendiculari sibi respondeant. Nam alioqui si numerorū ordines oblique scripti fuerint, et ipsi eorum loci alij alijs permixti se mutuo directe uon respexerint: ut nesciatur: quis cui locus respondeat: magna sequetur in computando confusio. Id (que) non modo in numerorum additione: uerū etiam in deductione, multiplicatione, et partitione eueniet. Quare ne in huiusmodi labyrinthum incidamus: in uniuersum praecipiendum est in tota numerandi arte: ut accurate ante omnia ponantur directi numerorum ordines: ut primi in singulis loci primis, secūdi secūdis, tertij tertijs, et sic deinceps respondeant.

AD HAEC in numerorū additione, deductione, multiplicatione, partitione, per uniuersas numerorum sedes, siue secūdas, siue tertias, siue quartas, siue ulteriores, illud perpetuo seruare debemus: ut tantisper dum numeros addimus, deducimus, multiplicamus, partimur, omnes omnium locorum notas pro primarijs numeris, non autem pro denarijs, centenarijs, millenarijs, aut ulterioribus accipiamus. Peracto uero opere, quando summam uel collectam, uel deductam, uel multiplicatam, uel partitam resencemus: singulis numerorum sedibus suam uim restituimus: ut tum notae in exprimenda summa eam significationem habeant: quam loci suppeditabunt.

[Page] QVI NVMEROS numeris additurus es: si duo tantum sint ordines: post (quam) alterum numerum supra, alterū infra scripseris: sub ambobus lineam calamo ducito. Deinde a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: incipiens, inferiorem primi loci numerum superiori eiusdem loci adde: et numerum ex his duobus compositum, si una nota scribi possit (quod certe erit: si minor (quam) decē fuerit) sub linea directe sub primo loco pone. [...]

Sin fuerit numerus denarius, aut eo maior, ut duabus notis ad eius expressionem sit opus: primam figuram, etiam si circulus sit: sub linea directe sub primo loco signa. Et secundae figurae numerum memoriter tenens ad secundum locum progredere. Vbi si circulos tam in superiore, (quam) inferiore ordine reperis: numerum memoria retentum sub linea secūdo loco subscribe. [...]

Sin neutra figura circulus fuerit: ante omnia reposce a memoria numerum depositum: ne eius obrepat obliuio: si reliquos numeros prius addas: (quam) illum repetis: eum (que) ad inferiorem eius loci notam memoriter adiungens, illam ipsam sic auctam, ad superiorem secundi loci siguram adde: et umerum ex eis surgentem, si una nota scribi possit: sub linea directe sub secundo loco scribe. [...]

Si uero altera tantum secundi loci nota circulus fuerit: altera figura significans: numerū ipsum memoria retentū ex memoria promens adde significanti figurae: et ex eis surgentem [Page] numerum, si una nota scribi possit, secundo loco subscribe. [...]

Sin ad eum numerum exprimendum, qui secūdo loco reperitur: duabus notis opus erit: primam earum, etiam si circulus erit: sub linea directe sub secundo loco pone: et secundae notae numerum memoria seruans, ad tertium locum progredere. Vbi itidem per omnia facies, uti secūdo loco fecisti: et numerum ex additione repertum tertio loco repone. et sic ulterius usque ad postremum locum perge. [...]

Quo cum uentum erit: numerum ex additione repertum, si una nota scribi potest: postremo loco depone. [...]

Sin duabus figuris ad eum exprimendum opus erit: numerus, qui superest memoria retentus: a sinistra postremi numeri, sub linea ponatur. [...]

Illa generaliter in omni numerorū addendi loco obseruare debemus: ut quotiescum (que) in ordinibus addendis omnes notę eiusdem loci, circuli fuerint: si nullus numerus mente sit retentus, qui lineae subdatur: subscribatur circulus. [...]

Et similiter quotiescū (que) in ordinibus addendis circulus et nota significās eiusdem loci fuerint: nullus (que) numerus superest memoria retentus: qui significanti notae addatur: [Page] illa ipsa nota significans, siue superioris siue inferioris ordinis fuerit: lineae subscribatur. [...]

Praeterea quotiescum (que) supra lineam ductam plures sunt superiorum ordinum (quam) inferiorum, loci, notae illę quae supersunt: eisdem locis sub linea subscribi debent, quibus supra lineam steterunt. [...]

Exemplum duorum ordinū petamus: quod ea omnia cō tineat, quae supra docuimus. Id autē erit eiusmodi. [...]

Quisquis hos duos numeros in unum compositurus est, uel mente cogitet, uel uerbis enunciet ea quae sequuntur. Primo loco in inferiori ordine reperio tria. addo ea ad qua tuor quae sunt in superiore ordine. fiunt septē. ea sub linea ducta subscribo primo loco. deinde trāseo ad secundū. reperio infra quattuor, supra nouem, addo: fiunt tredecim: quae, quia duabus notis scribi necesse est: primā figuram, quae tria demonstrat: subscribo secundo loco, Alteram uero, quae unum repraesentat memoriter tenens progredior ad tertium locum. Vbi primū exonerās memoriam, unū, quod mente teneo adiungo ad sex, qui numerus inferioris ordinis primus occurrit. fiūt septem. ea addo ad octo, quę sunt in superiori ordine. sic prodeunt quindecim. et quoni am ea duabus notis scribenda sunt: primā tertio loco subscribo, quin (que). alteram, quae unum indicat, seruans memoria [Page] transeo ad quartum locum. Vbi primum promens ex memoria unum mente retentum, id adiungo ad tria, quae inferiori ordine sunt scripta. fiunt quattuor. quae addo ad quin (que) in superiori ordine, et subscribo quarto loco nouē. Pergo ad quintum locum ubi supra et infra circuli occurrūt. nihil habeo quod addam: at (que) ideo subscribo circulū. sexto loco infra duo, supra circulus occurrūt. nihil est cui addam duo. subscribo duo. accedo ad septimū locum. ibi infra circulus, supra tria sunt: nihil est inferius, quod adiūgam ad tria. subscribo tria. festino ad octauū et postremum locum. reperio infra sex: adiungo ad septem quae supra sunt. exeunt tredecim. is numerus, quia duabus notis signandus est: primā, nempe tria, octauo loco subscribo: et aliam, quę unū significat: a sinistra eiusdem loci qui postremus est, pono. at (que) ita sub linea facio nonum locum. numerus ita (que) sub linea, quem duos supra lineam numeros addentes, composuimus, continet in uniuersum. Centies tricies ter millena millia, ducenta nouem millia, quingenta triginta septem. Quę de duobus ordinibus componendis diximus: pene nobis instituendis suffecerint, si plures numerorū ordines in unam summam redigere uelimus. Verum ut paucis praecipiendis rem magis aperiamus: Multos ordines in unum collecturi, numeros primas sedes occupantes primo colligere sic debemus: ut ab inferioribus ordinibus incipientes ad superiores ascēdamus, et numerum ex additione repertum, si primarius erit, primo loco sub linea ponamus. Sin exdenarijs numeris aliquis fuerit, circulus eo loco subsignetur. et nota, quę denarium illum, secūdum suam denominationem repręsentare [Page] debet, memorię commendata secundarum sedium figuris, si infra centum numerus fuerit, annumeretur. Nam alioqui si numerus centenarius, aut eo maior us (que) ad mille sur get, ut in magnis additionibus nōnun (quam) euenit: cētena ter tium locum, et quae supersunt dena, secundum occupent. Verumtamen ubi numerus unius sedis us (que) ad centū aut supra ascendit, et nota quae illum significatura est, memoriter retenta in tertium ab illa sede locum transferri debet, ne nobis circa secundi loci additionem occupatis, obrepat obliuio numeri retenti, statim eum sub linea paulum sub tertio loco alicubi notemus: ut cum ad illum uenerimus: admoneamur eum reliquis sui loci numeris adiungere. Si uero numerus ex primario et denario compositus erit: numerus primarius sub linea subscribatur: et denarius me moria retentus secundum suam denominationem figuris secundi loci connumeretur: sicut de duobus ordinibus est supradictum. Expedito secundo loco ad tertium transeundum est: et itidem per omnia faciendum, quemadmodum in secundo. Deinde ad quartum locum similiter pergendum: et deinceps ad reliquos omnes: in quibus obseruentur: quae de secundo loco diximus. Vbicun (que) autem eandem sedem circuli aliqui et notę significantes occupāt: circulis omissis, reliquae figurae simul additę sub linea suo loco ponantur. Quae diximus magis illustrabuntur sequentibus exemplis. [Page] [...]

EX HIS tot numeris unum collecturus, sic cogitabis tacitus: uel si mauis, uerbis enunciabis. primo loco praeter circulos notae reliquae octo constituūt. igitur sub linea scribantur octo. Secundus locus circulos habet. sub linea noto circulum. Tertij loci notae praeter circulos exprimūt decē. uno igitur memoriter seruato pro denario numero, at (que) eo adiūcto ad quarti loci figuras, fiunt quinquaginta quin (que). horum quin (que) sub linea quarto loco notantur: et quin (que) mēteretēta quinti loci notis, quę circulis permixtę sunt: aggregata faciunt nouē. ealineae subdūtur. Sexto loco, quia circuli sunt: circulus lineę subijcietur. Septimo loco notae omnes compositae producunt centū et octo. subscribuntur ita (que) octo: et centenarij numeri nota, in nonū locum, qui connumerato septimo, tertius ab eo est: sub linea reponenda seruatur. Octauo et postremo ordinum, [Page] qui supra lineam sunt, loco ex numeris collectis surgunt nonaginta. nouem igitur memoriae mandantur. circulus octauo loco reponitur. Nono loco sub linea ex memoria promo nouem ab octauo loco delata. ibi reperio unū pro centenarij numeri nota ex septimo loco ante reconditum: quae simul adiuncta fiunt decem. Nono igitur loco circulum subnoto: et ab eius sinistra unum depono: quod decimū locum facit. Numerus igitur ex additione sub linea collectus erit. Millies millena millia, octies millena millia nonaginta quin (que) millia et octo.

Aliud exemplum multorum ordinum magis intricatum subijcio. [...]

OMNES in hoc exemplo primi loci notae simul iunctae centum et duo constituunt. duo sub linea primo loco scribantur. et centenarius numerus per unitatis notam scribendus [Page] transferatur in tertium locum. In secundo loco, quia nihil habes nisi circulos, subnotetur circulus. Tertio loco, quia omnes figurae circuli sunt: et nihil est, quod addas ad unum ex primo loco pro centenario numero translatum, subscribatur unū. Quartus locus iunctis simul notis centum continet: quamobrem subscribere oportet circulum: et in tertium locum, qui a quarto etiam connumerato sextus est: seruare reponendum unum. Quintus locus centum et octo continet. subnotentur octo. iterum unum in tertium locum, qui septimus est a quinto connumerato, seruetur. Sextus locus, quia notae omnes sunt circuli, unum habet subscriptum, ex quarto loco pro centenario numero seruatum. Septimus locus quia multas habet notas, repeto primo a memoria unum, ex quinto loco pro centenario numero seruatum. adiungo reliquis eius loci figuris. fiunt nonaginta septem. ideo sub linea subscribo septem, seruans nouem memoriter. Demum ad octauum et postremum supra lineam locum properans, nouem ante recondita iungo numeris eius loci. surgunt centum. quamobrem circulum unum octauo loco, alium a sinistra loco nono sub linea repono: et centenarij numeri notam in decimum locum, qui connumerato octauo, ab co tertius est: transfero. continet autem hic numerus coaceruatus. Millies millena millia, septies millena millia, cē tum octuaginta millia, centum et duo.

QVI numeros numeris addere prompte uelit: ante omnia memoriter ediscere debet: quos numeros procreent singuli sub decem numeri primarij, uel ipsi geminati, uel reliquis primarijs adiūcti. Quod certe tam scitu facile est: [Page] ut pueri adhuc impuberes id ferme non ignorent. Verum si quis adeo rustice est educatus: ut id nesciat: poterit una hora, modo operam dare uelit, id ediscere. Verbi gratia. Nouem et nouem faciunt decem et octo. nouem et octo, decem et septem. nouem et septem creant sexdecim. nouē et sex, quindecim. nouem et quin (que), quatuordecim. nouem et quattuor, tredecim. nouem et tria, duodecim. nouem et duo, undecim. Deinde octo et octo producunt sexdecim. octo et septem, quindecim. octo et sex, quattuordecim. octo et quin (que), tredecim. octo et quatuor, duodecim. octo et tria, undecim. octo et duo, decem. Rursus septem et septem creant quatuordecim. septem et sex, tredecim. septem et quin (que), duodecim. septem et quatuor, un decim. septem et tria, decem. septē et duo, nouem. Deinde sex et sex faciunt duodecim. sex et quin (que), undecim. sex et quatuor, decem. sex et tria, nouem. sex et duo, octo. Praeterea quin (que) et quin (que) producunt decem. quin (que) et quatuor, nouem. quin (que) et tria, octo. quin (que) et duo, septem. Ad haec quatuor et quatuor procreant octo. quatuor et tria, septem. quatuor et duo, sex. Deni (que) tria et tria constituunt sex. tria et duo, quin (que). duo et duo, quatuor. Nam unum ad reliquos numeros adiungere pueri omnes infan tiam egressi sciunt. Quae diximus, figuris notata sub oculis posita sequuntur. [Page] [...]

[Page] SI quis apud se scrutari uelit: cur hęc ita se habent: ut dum per singulos locos notas addimus: eas (que) pro primarijs computamus: numerus tamē sub linea collectus, quādo locis sua significatio redditur: recte in uniuersum respōdeat. In prōpturatio est. Nam quemadmodum in primo numerādi loco, primarias notas, si recte copulatę sūt: numerus sub linea collectus continet: ita necesse est: ut per singulos locos figuras omnes, si recte cōiunctę sunt: numerus sub linea coaceruatus exprimat. Et si quis numerus, dū addimus, memoria retētus, a loco ubi repertus est: in aliū transfertur: id fit: quia maior est, (quam) ut eo loco, quo natus est, reponi debuerit: et quando in suum locū recte translatus est: uelut illius loci foetus numeratur. Ad haec cum per omnes quidem locos figurarum forma eadem sit, significatio uero pro augmento loci longe diuersa: denominationem tamen omnes a primo loco recipiunt: ut quot illic unitates singulae repręsentant: totidem secundo loco dena: tertio centena: quarto millena: et sic deinceps, exprimant. Quādo igitur singulis numerorum sedibus, numerum ibi collectum, sub linea subij cimus: eadem per omnes sedes ratio est: quę de primo loco: ut sicut ibi omnes numeros numerus sub linea locatus continet: ita in omnibus locis collectos numeros repręsentet. Et cum omnium locorū notę denominationem a primo loco mutuentur: significationem autem diuersam singuli loci suppeditent: numerus sub linea collectus totidem secundo loco dena, tertio centena, quarto millena, et sic deinceps, nobis denominabit: quot unitates locorum illorū notę: si primo loco fuissent positę: repręsentarent.

SI SCIRE cupis: an recte numeros collegeris: numerorum additionem recte factam esse, per deductionem probabis. [Page] Ita (que) si post (quam) numerorum additorum ordinem aliquem a summa coaceruata deduces: reliquorum ordinum non deductorum summa ex deductione surget: tunc in addendo nihil est erratum. Nam cum partes complures ad cuiusuis rei compositionem coeunt: si qua earum sola sublata erit: caeteras remanere necesse est. Id manifestius fiet: cum de deductione pręcepta dederimus: ad quam nunc properamus. [...]

ET QVONIAM nulla natio est: quae uaria nūmismatū genera non habeat: alia pluris precij, alia uilioris: ideo ad tā uariorū additionem faciendam, singulis et nummorū et summarū generibus suę classes in abaco designandę sunt: ut una quę (que) siue summa siue pecunia, quo maior est alijs: magis sinistram occupet: quo uilior: magis dextrā. Veluti si in unā summā colligēdi sint aurei, ualentes singuli denarios uicenos quinos: denarij, ualentes singuli. 4. nūmos sestertios: sestertij, ualētes singuli duos asses et semissem: cuiusmodi sunt uetera nūmismata Romana: aurei sinistrā occupent. denarij in dextrā uergentes, medium locū teneant. sestertij uero dextrā. Deinde genera haec tā uaria additurus, a prima classe dextra sestertiorū incipe: numeros (que) omnes colligēs, at (que) obseruās, quot quaternarij reperiuntur: si quis numerus excurrit: qui quaternariū nō perficit: illū ibi subsignato. Ipsos autem quaternarios memoria tenens trāsfer in proximā denariorū classem. continuo (que) memoriā exonerās, et denarios illic repertos eis adiungens, per omnes ipsius classis numeros discurre: at (que) animaduerte: quot uiceni quini sūt obuij. numerū autem excurrentem, qui. 25. nō implet: ibi deponito. At uiceni quini memoria reconditi, in proximā aureorū classem transferātur, [Page] cum illis primum computādi. et numerus omnium collectu illic subnotetur. Itidem si in quauis alia natiōe aurei, denarij, nūmi uiliores illius regionis supputandi sunt: eodem modo curandum: ut singulis sua classis detur. Viam tantum monstramus. caetera facile dabit frequens exercitatio.

Exemplum ante oculos spectandū hic subnotauimus: quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. [...]

DE SVBDVCTIONE.

SVBDVCTIO NVMERORVM EET MINOris numeri a maiore: uel aequalis ab aequale subtractio. Hanc autem eandem, uel deductionem, uel subtractionem appellare Latine licet. Vsus eius est: a toto subducta parte, reliquam totius partem cognoscere: et ut apertius dicamus: duobus propositis numeris, alterum ab altero demere: ut uideatur quid sit reliquum: et quantum alter alterum superet. Verbi gratia. sume duos numeros, alterum septem, alterum tria. si a septem tria deducas: reliqua sunt quatuor. totidem ita (que) unitatibus tria superantur. In subductione necesse omnino est: ut duo sint numerorū ordines: alter a quo fieri debet deductio: alter, qui summam deducendam contineat. Oportet autem semper uel minorem summam a maiore, uel aequalem ab ęquale subducere. nā maiorem a minore subtrahere contra rerum aturam est. Qui de computandi scripserunt arte: uaria pręcepta de subducendis numeris dederunt: quorū alij nōnun (quam) numeri propositi notas inter subtrahēdū [Page] putauerūt esse delēdas. Alij lōgis ambagibus obscura quędā docuerūt: ut pene difficilius nō esset numeros diuidere, (quam) deducere. Quę dū legeremꝰ: et eorū ꝓbaremus nihil: ꝙ uel tortuosos haberēt āfractus: uel multis lituris figuras cōfūderēt: diu multū (que) inuestigātes, si quid apertius inuenire possemus: tādē Ioānis Garthi philosophi eruditissimi at (que) in Arithmetica lōge peritissimi auxilio, lōge facillimā et certissimā uiā in subducendis numeris inuenimus: qua certe numerus omnis quantūuis magnus, quantumuis intricatus, manentibus notis uniuersis, nullo negocio subduci potest. Et ne multa expectatiōe lectorē torqueamus: ea subducēdi ratio est eiusmodi. Post (quam) maior numerus, a quo fieri debet deductio: supra: et minor numerus, qui deducēdus est: infra ita scribetur: ut loci numerorū locis respondeāt: primi primis, secūdi secūdis, tertij tertijs, et sic deinceps: linea (que) sub ambobus numeris a leua in dextrā perducta erit: sicut in numerorū additiōe supra docuimus: tū a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: incipientes a primo loco, primum numerum inferioris ordinis a primo superiore, si ille ipse superior maior fuerit: subducamus: et quod ex deductione reperietur: sub linea primo loco ponamus. [...]

Si uero numerus inferior superiore maior erit: ut ab eo deduci nō possit: tūc superiori numero decē memoriter adiūgamus, cōputātes superiorē illū minorē numerū uelut ex primario et denario numero cōpositū: et ab eo sic aucto maiorē numerū inferiorem deducamus. Exempli gr̄a. superior numerus esto, tria, inferior nouem. nemo deducere nouem a tribus potest. ad tria igitur mente adiungamus decem: et nouem a tredecim auferamus: tum quatuor supersunt. is est numerus: quem requirimus: qui sub linea locetur. [...]

[Page] Ꝙ si superior ordo circulū habeat: ut inferior numerus, quā tuluscū (que) fuerit: ab eo demi nō possit: illū ipsum circulū ꝓ decē memoriter numeremus: et ab eo inferiorē notā, quę semper denario numero minor erit: auferamus. Exempli gr̄a. sit circulus supra, infra septē. fieri non potest: ut septē a nihilo deducamus. circulū igitur pro decem animo computemus: et a decē subducamus septē. reliqua erūt tria. [...]

Quotiescū (que) autē denario numero memoriter adiecto, superiorē numerū augebimus: ut inferior qui maior est: ab eo demi possit: toties per omnes numerorū locos, unū ad sequētis loci inferiorem numerū, e uestigio memoriter addemus: illū (que) ipsū adiecta unitate sic auctū, a superiore eiꝰ loci numero, si maior sit: subducemus: et quod reliquū erit: eo ipso loco sub linea reponemus: unde id subtraximus. [...]

Sin minor erit illius loci numerus superior, (quam) ut ab eo demi possit numerus inferior unitate illa auctus: rursus denario numero adiecto augeatur numerus ille superior: ut inferior ab eo subduci possit. [...]

Id (que) per omnes numerorum locos semper est obseruandum. Sic primo loco expedito, ad secundum transeundum: ubi per omnia faciendum est itidem: ut in primo. Sic cum ad tertiū, quartum, ulteriorem ue locum uentum erit: eadem perpetuo seruanda sunt.

AT SI quibusuis numerorum sedibus in inferiore demendo numero circulus, in superiore autem, a quo fit subductio: nota significans reperiatur: si nihil a priore loco propter denarium numerum mutuo sumptum memoria retentum erit: quod deduci debeat: numerus ille superior integer subscribetur. [...]

[Page] Quando uero in utro (que) numerorū ordine circulus nobis occurret: si nihil ex memoria promi potest: quod subscribatur: subnotetur circulus. [...]

Vbicum (que) autem in quouis numerorū loco numerus inferior superiori aequalis erit: cū nihil sit reliquū: subscribatur circulus: pręter (quam) postremo loco. ibi enim si numerus subducendus ei par sit: a quo fit subtractio: nihil omnino subnotari debet, quia tunc per cętera peracta est subductio. et circulus in numeris postremum locum occupare nun (quam) potest. [...]

Ꝙ si superior numerorum ordo numeris aliquot et notis inferiorem transcendat: post (quam) inferioris ordinis numeros omnes a superiore subduximus: quicquid de superiore ordine reliquum erit: eisdem locis et notis sub linea numeris relictis adiungatur: quibus supra lineam suo ordine stetit. [...]

Nunc exempla petamus: quę uiā demōstratā clarius illustrēt. [...]

QVISQVIS a quinquagies septies millenis millibus, ducentis nonaginta quin (que) millibus, quadringētis nonaginta, subducere cupit, quadragies octies millena millia, septingēta sexaginta quin (que) millia, ducēta nonaginta septem. dispositis notarū ordinibus, linea (que) ducta: eiusmodi, quę sequūtur, tacitus secū cōsyderet: a primis auspicādo numeroR sedibꝰ. Septem a circulo subducere nō possum. cōputo igitur circulū pro decem: et a decem demo septē. supersunt tria. ea sub linea locātur. Trāseo ad secundā sedem. numerus inferior subducendus [Page] occurrit, nouem. huic unū addo: quia ad circulū in primo loco assumpsi decem, et pro decem computo. ea a nouem demere nō possum. mutuor igitur alia decem: et addens ea superioribus nouem, cōputo decem et nouē: a quibus deduco decem. reliqua sunt nouem. quę subscribo. Pergo ad tertiū locū: ubi quia in priore sede sum decē mutuatus: unū adiungo ad numerum inferiorem, nempe, duo: et fiunt tria, ea subduco a quatuor, quę supra sunt. reliquum est unū. id subscribo. Progredior ad quartū locū. numerꝰ uter (que) quin (que) cōtinet. et quia alter alterū exhaurit: nihil erit reliquū. pono igitur sub linea circulū. Quinto loco sex a nouem subtraho. tria relinquūtur: quę lineę subijcio. Sexto loco, quia septem a duobus demi nō possunt: assumptis ad ea decē, fiunt duodecim. a quibus aufero septē, et quin (que) supersunt: quae lineę subdo. Septimo loco quia. 10. in priore sede sum mutuatus: inferiorē numerū, octo, uno augeo, et nouē cōputo. ea, quia a septē auferre nō possū: ad septem assumptis decē, a septemdecē aufero nouē. reliqua manent octo. ea sub linea depono. Propero ad postremū locum: quo memoria affert unū: quia ex superiore sede sumpta sunt decē mutua. eo ad inferiorem numerū quaternarium iū cto, fiunt quin (que). quibus a quin (que) superioribus dēptis, nihil superest reliquū. nihil igitur omnino subscribitur: tum quia subductio iam peracta est: tum quia postremus locus circulū nun (quam) capit. Reliquum igitur superioris numeri, a quo inferiorem subduximus: sub linea reperietur. Octies millena millia, quingenta triginta millia, centū nonaginta tria. Iterum aliud exemplum plurium locorū magis impeditū ponamus. [...]

[Page] Primo loco, quia supra septē est circulus, assumātur decē: a quibus septē deductis, tria supersunt. Secūdo loco occurrunt octo: quę unitate ex memoria augētur: et fiūt nouē. si ea a decē ad circulū assumptis subtrahātur: remanet unū. Tertio loco unum supra, infra circulus est. unū ex memoria promitur: quod superius exhaurit. et quia nihil superest: subscribemus circulū. Quarto loco, quia inferius circulus est: superius septem: a quibus nihil est: quod subducamus: ipsa septē subscribuntur. Quinto loco, quia octo a circulo demi nequeūt: a decem quę mutuamur: ea deducimus. duo restāt. Sexto loco, ad quatuor: quę infra sunt: unū addimus ex priore sede memoria sumministrante: quę simul addita subducimus a decem ad circulū superiorem assumptis. remanent quin (que). Septimo loco, septē uno aucta, quia ab uno demi nequeūt: ab undecim tollūtur, sumptis decē. tria subnotamus. Octauo loco, quin (que) quę sunt infra, uno ex priore sede delato, augemus: et sex ab octo subtrahimus. duo manent reliqua. Nono loco supra et infra circulus est. igitur sub linea ponitur circulus. Decimo lo co, sublatis quatuor a decem, quia a circulo nequeunt eximi: sex subsignāda sunt. Vndecimo loco, octo, quę inferius sunt: uno in memoria recondito augemus. etnouē, quia a circulo nō possumus: a decem deducimus. sic unū manet reliquum. Duodecimo loco promimus unū ex memoria: et addimus ad quatuor. quę, quia supra circulus est: auferimus a decem: et quin (que) nobis supersunt. ea sub linea deponimus. et quoniam unū adhuc superest mente reconditum: quod unitatem illam superioris ordinis postremam exhaurit: circulus subscribi deberet: nisi postremus esset locus: qui eū non capit. igitur nihil amplius apponitur: quia peractum est opus. Reliqui summa [Page] est. Quingenties sedecies millies millena millia, uities ter millena millia, quingēta uiginti septē millia, et tredeci. Si quis expedite sine ulla mora numeros uelit subducere: primum memoriter ediscat: quantum erit reliquum: si singuli numeri primarij, minores a maioribus subducantur: id quod pueri pleri (que) omnes tenent. et rursus quid supererit: si numeri simplices, maiores a minoribus cum denario numero infra uiginti copulatis fuerint subducti.

Et quemadmodum in additione pręcepimus in primis, in memoria recondendum esse, quos numeros procrearent singuli numeri primarij sibi inuicem copulati: ita hice cō uerso pernecessarium putamus: ut expedite quis teneat: quos relinquant numeros singuli numeri primarij, uel inuicem a se subducti, uel a procreatis per sui additionē numeris extracti. Quod si quis ignorat: unius horae labor: modo intentus sit animus: id suppeditabit. Verbi gratia, decem a decem et nouem deductis, supersunt nouem. nouem a decem et octo demptis, reliqua sunt nouem. nouem a septemdecem sublatis, manent octo. si nouem tollas a sexdecem: remanent septem. si nouē demas a quindecim: restant sex. si nouem auferas a quatuordecim: supererunt quin (que). nouem exemptis a tredecim, quatuor relicta sunt. Si uero nouem extrahas a duodecim: tria remanebunt. Ab undecim sublatis nouem, duo superesse palam est.

Deinde octo a septemdecem tollantur: nouem remanebunt. Octo demantur a sexdecem: octo relinquuntur. octo subducantur a quindecim: septē erunt reliqua. Octo auferantur a quatuordecim: sex adhuc supersunt. Si octo deducas a tredecim: quin (que) manent. Si octo a duodecim [Page] extrahas: quatuor existunt reliqua. Si octo tollas ab undecim: tria sunt relicta. Rursus septem a sexdecim tolle: nouem deprehendes. Septem aufer a quindecim: octo reperies. Septem subtrahe a quatuordecim: uidebis superesse septem. Septem deme a tredecim: sex inuenies. Septem a duodecim demptis, quin (que) supersunt. Septem ab undecim sublatis, quatuor relicta sunt. Iam sex a quindecim dempta, nouē reliquunt. Sex a quatuordecim subductis, supersunt octo. Deme sex a tredecim: remanebūt septem. tolle sex a duodecim: reliqua erunt sex. Aufer sex ab undecim: quin (que) tamen supersunt. Age, si quin (que) a quatuordecim subduxeris: nouem superesse inuenies. Si quin (que) a tredecim tollas: octo deprehendes. Si quin (que) a duodecim demas: reperies septem. Si quin (que) ab undecim subducas: reliqua erunt sex. Iam uero, si quatuor a tredecim deducantur: relinquentur nouem. Si quatuor tollantur a duodecim: octo remanebunt. Si quatuor ab undecim auferantur: septem erunt reliqua. Rursus tria demantur a duodecim: nouem nobis occurrunt. Subducantur tria ab undecim: octo sese offerunt. Deni (que) duo sublata ab undecim nobis relinquunt nouem.

Haec, quę pluribus uerbis edocuimus: figuris annotata sub oculis subiecimus. [Page] [...]

[Page] MVLTI, qui de subtractione antehac scripserunt: pręcipiunt: quoties numerus maior in aliqua numerorum sede deducendus est: (quam) is a quo deduci debeat: statim ab ulteriori loco proximo decem esse petenda: delendam (que) esse notam: unde fuerunt petita: et aliam unitate minorem eius loco reponēdam. Ꝙ si circuli sint medij: iubent omnes esse delendos: et eorum loco figuras nouenarias apponendas. Sin unitas sit figura: quae decem commodat: illam in circulum mutādam. Et quia non inutile ad multa erit: quae illi prodūt cognoscere: (quam)uis priores deleant notas: eorum exempla figuris annotata subiecimus. [...]

Numerus superior a quo deductio fieri debeat: signetur. tria millia et decem. inferior, mille centū et undecim. Principio quia unum a circulo non possunt deducere, decem a secundo loco sumunt: et figura unitatis ibi deleta: circulū reponunt. ab illis decem exempto uno, nouem supersunt. Secundo loco, quia unum a circulo subducere non licet: et tertius itidem locus circulum habet: ex quarto loco, ubi tria notata sunt, decem petunt: et pro nota ternaria, quam delent: binariam ibi reponunt: circulum (que) tertij loci medium in figuram nouenariam mutant. Deinde unum secundo loco extrahunt a decem: et sub linea reponunt nouem. Tertio loco unum auferunt a nouem. manent octo. Quarto loco unum a duobus deducūt. et unum, quod est reliquum: sub linea locant. Haec deducendi uia (quam) (quam) certa [Page] est: et memoriam seruandis unitatibus non onerat: numeri tamen maioris, a quo fit deductio: notas confundit: ut si cui propter errorem in subducendo admissum repetendum esset opus: numerū primo datū agnoscere nō posset. Alij, quoties numerus subducendus maior eo est: a quo fit subtractio: praecipiunt inferioris numeri distantiam a denario, ad superiorem, a quo sieri debet deductio: addi: et numerum ex additione illa procreatum lineae subdi. Et quandocum (que) distantiam accipiunt: semper subtrahendę proximae figurae unitatem mente reconditam addunt. ut illa nota sic aucta deducatur ab ea: quae supra eam posita est. id (que) per omnes numerorum locos seruant. ut si septem a quatuor essent demenda: quia septem a decem per tria distant: tria ad quatuor addunt: septemque sic procreata subscribunt. et unum mente seruatum in proximi loci numerum inferiorem: qui deducendus est transferunt. [...]

Si uero nota: cui addendum est unum memoria retentū: nouenaria fuerit. quia uno aucta fit decem: et nihil a decē distat: numerum supra uerticem positum, a quo fuisset facta deductio: integrum subscribunt. ut si nouem secundo loco: quibus unitas ex primo loco seruata addēda est: subducenda essent: a tribus in superiore ordine positis. quia nouem uno aucta fiunt decem: et nulla est distantia: quae capi possit: tria, quae supra uerticem sunt: sub linea reponunt. [...]

Sin figura cui addenda est unitas: sit circulus: cum nihil sit: cui addatur: eam ipsam a superiore figura auferunt: et reliquum subnotant. [...]

[Page] Si uero supra etiam circulus sit: nouem, quae distantia est a decem: lineae subdunt. [...]

Vbicum (que) uero superior nota circulus est: inferior figura significans: distantiam inferioris a decem subscribunt. ut si duo a circulo deduci debeant: quia duo a decem per octo distant: octo subscribuntur. [...]

Caetera quae tradunt: cum his omnino consentiunt: quae nos supra praecepimus. Hic quo (que) subducendi modus: (quam)uis neminem fallat: tamen dum frequenter aucupamur distantiam: dum eam inuentam ad superiorem numerum addimus: diu nos moratur. et pene plus de additione (quam) de subtractione refert. Quamobrem uia per nos supra tradita magis erit sequenda: quę cum sit certissima, tum longe cęteris est et breuior, et expeditior: nec ullam affert subducenti moram. notas quo (que) primas relinquit semper intactas: ut si cui propter errorem in subtrahendo admissum, repetendum esset opus: primus numerus ante oculos pręsto illi maneat. Ꝙ si quis inuestigare pergat. quare quoties decem ab aliqua numerorum sede mutuamur: toties ad inferiorem sequentis loci numerum: qui deduci debeat: unum addamus: cum prima facie cuiuis uideri possit: unitatem illam ad superiorem sequentis loci numerum, a quo fit subtractio: potius addi debere. Ne praecepta dare uideamur: quorum lectori non constet ratio: causam aperiemus: cur ita fieri necesse sit. Nam omnis numerus ultra primum locum uel numeros denarios continet: uel ex denarijs collectos. unde cum in aliquo numerorum loco maior occurrit nota in ordine inferiori, (quam) quae ex minori [Page] superioris ordinis deduci possit: necesse est superiorem ordinem ab ulteriori aliqua numerorum sede eum numerū mutuari: qui sufficere possit. is autem erit denarius a proxima ulteriori classe petitus: qui iunctus ad minorem illum primarium superioris ordinis numerum, ad cuius accersitur auxilium: magnitudinem superabit illius maioris numeri: qui prius a minori non potuit subduci. Quocirca cū denarium aliquem numerum ab ulteriori fede petimus, illius notam secūdum praeceptionem nostram ibi relinquē tes intactam: si nihil ad inferiorem illius loci figuram, unde decē sumpsimus: adderemus: quod denarij numeri com modati notam adhuc restantem exhauriret: decem ibi redundarent: quę ante memoriter fuissent illinc deprompta. Quamobrem, ut illa decem sumpta mutuo, quorum adhuc figura nihil mutata ibi manet: cum ad illum locum uentum erit: exhauriamus: unitatem semper ad sequentis loci inferiorem numerum: qui subducendus est: addimus: quae numerum illum denarium ibi redundantem subducat. Id (que) fit per omnes numerorum sedes: quoties decem uel ad circulum, uel ad alium primarium assumimus.

Si quis experiri uult, an recte subductio facta sit? id quod summę reliquum est, ad numerum subtractum addat. et si ex illa numerorum adiunctione maior numerus, a quo mi norē subduximus: iterū surget: tum necesse est subtractionem recte peractam esse. Ꝙ si alium numerum, (quam) eum a quo prius minorem abstulimus: additio illa ꝓducet: errorem calculi interuenisse palam est. Nam quemadmodū totum omnibus suis partibus seiunctis par est: ita partes omnes compositae suo toto sunt pares. Cum ita (que) maior [Page] numerus totus a quo subductio facta est: minorem, qui subtractus est, et reliquum quod superest, partes suas habeat: eis (que) par sit: fieri non potest, quin partes illae rursus compositae suum totum, id est primum numerum, a quo minorem abstulimus: denuo procreent. Et si partes illae simul positę alium numerum creant: error manifestus est. nam omnes partes collectas a suo toto dissidere rerum natura non patitur. Vsum autem subductionis esse iam ante diximus: ut indicet: quid sit reliquum: et quantum maior numerus minorem superet. Quod quum per praecepta, quae tradidimus: inuentum fuerit: simul deprehensum erit, quantum ipsi numeri inter se distabunt. Nam quantum alter numerus alterum superabit: tantum inter se distare comperientur: ut quot unitatibus minor a maiori superatus fuerit (quod semper ipsum reliquum indicabit) totidem distent. Verbi gratia. sume duos numeros, alterum septem, alterum tria. deme tria a septem. reliqua sunt quatuor. septem enim tria superant quatuor unitatibus. distant igitur inter se totidem. Ꝙ si duos numeros ęquales sumas: et alterum demas ab altero: quia nihil erit reliquum: nihil inter se distabunt. Ita (que) si perscrutari uelis: quantum duo quiuis numeri inter se distabunt: post (quam) altero ab altero subducto, comperisti reliquum: una opera differentiam deprehendisti.

[Page] Ꝙ SI uarij generis nummi subducendi sunt: descriptis in suas classes, uti in additione diximus: eorū generibus, ueluti aureis ualentibus singulis denarios. 25. denarijs ualentibus singulis sestertios. 4. sestertijs ualentibus singulis duos asses et semissem: cuiusmodi sunt uetera nummismata Romana: numerorum subductio a dextra sumat initium: subtrahantur (que) numeri primae nummorum classis inferiores a superioribus: si id fieri potest. Caeterum si id fieri nequit: a proxima denariorum classe sumptus mutuo denarius, et in 4. sestertios resolutus numerum sestertiorum superioris numeri augeat: ut tum demum inferioris subductioni sufficiat. et quoties numerus aliquis mutuo sumetur: toties ad classis sequentis proximum numerum subducendum, unitas est addenda. Similiter si denariorum numerus subducendus maior sit: (quam) ut a superiore demi possit: aureum mutuum a proxima sinistra classe petamus: ut is in denarios. 25. resolutus numerum denariorum, a quibus fiet fubductio: augeat. et cum ad illam classem uentum erit: ad numerum proximum subducendum unitatem adiungamus. Itidem fiat de quibuscumque uarijs nummismatum generibus, cuiusuis nationis, subducendis. Veluti aureis, denarijs, et nummis uilioribus.

Exemplum hic subnotauimus: quod solus facile sine praeeunte explicabis. [...]

[Page]

DE MVLTIPLICATIONE.

MVLTIPLICATIO NVMERORVM EST unius in alterum ductu tertij numeri maioris procreatio: qui toties numerum multiplicatum contineat: quoties numerus multiplicans capit unitatem. Et ut apertius dicamus. Numerorū multiplicatio est maioris numeri procreatio per alicuius numeri ad se ipsum, frequentem accumulationem, crebram (que) additionem toties repetitam, quoties numerus multiplicans cōtinet unitatem. Vsus eius non modo Astrologis pro reductione signorū ad gradus, graduum ad minuta, minutorū ad dimidia, et sic deinceps, uerū etiam ad uitam humanam degēdam mercatoribus, et omniū hominū conditioni pernecessarius est. Verbigratia. Si quis centū tritici modios, decem nummis unumquem (que): aut centum uini dolia, decē aureis singula, emit: et scire cupit: quid ei pro uniuersis sit soluendū. In multiplicatione peragēda tres omnino numeri requiruntur. Primū numerus multiplicandus: quem per aliū multiplicare destinamus. Deinde numerus multiplicans, qui toties eum numerū, quē multiplicare decreuimus: colligat: quoties in se ipso continet unitatem. Nihil autem refert: an minor numerus multiplicet maiorem: an e cōuerso minorem maior. Nam ex eorū mutuo in se ductu idem utrobi (que) numerus semper surget. Sicut ter septē, et septies tria eū dem numerū creant, facilior tamen longe multiplicandi modus est: cum numerus minor multiplicantis partes occupat: et numerus maior multiplicandi: (quam) cū contra fit. Tertius numerus, quem requirimus: ex numeri multiplicantis in eum, qui multiplicandus est: ductu, uelut amborū foetus procreatur, [Page] per multiplicationem nobis inuestigandus. Numerus is, qui multiplicat: ab eo, quem multiplicare uolumus: eo dinoscitur, ꝙ numerus multiplicās per aduerbiū semper exprimitur: multiplicandus autem per nomen. uti si ter septem dicas. ternarius numerus multiplicans est: septenarius multiplicandus. Illud in primis animaduertendū est: Vnū necse ipsum ne (que) aliū numerū multiplicare. Nēpe semel unū nihil est nisi unum. quatuor semel nihil amplius sunt, (quam) quatuor. Et ut facillima quae (que) primum expediamus. Si quis aliquem numerum per decem multiplicare uelit. unum solum circulum a dextra ei praeponat: qui sequentem numerum augebit in decuplum. Si numerum quemuis per centum multiplicare uoles. duos a dextra praepone ei circulos: et numerus, qui sequitur, augebitur in centuplum. Sin per mille numerū quemlibet multiplicare cupimus. tribus a dextra adiectis circulis, auctus est in millecuplum. At (que) itidem si quis per eum numerū, quem aliquis quantumuis ulterior numerorum locus significat: alium numerum multiplicare destinat: is totidem eidem ascribens circulos, quotlocum illum representare possunt: multiplicationem absoluet.

Principio ad numeros oēs expedite multiplicādos nō parū nobis cōducet, in memoria recōditū habere: quē numerū singuli primarij infra decem, alius in alium ducti procreent: id, quod ex numerorū uelut in tabula depictorū quadā descriptione facile deprehēdi potest. Ea autē est huiusmodi. A sinistra ab uno incipiēs, ac naturali numeroR serie in dextrā progrediens, singulos primarios us (que) ad decē, modicis interuallis scribe. Deinde ab illo ipso uno ad sinistram posito, uelut a quodam uertice, iterum incipiens, eandem numerorū seriem, [Page] deorsum uersus tendendo, modicis et paribus interuallis distingue. singulos (que) primarios us (que) ad decem ita scribe: ut numerorum utra (que) series uelut pythagorae normam angulum rectū facientem nobis depingat. Postea sub prima serie, quae a leua in dextram tendit: a binario numero incipiens, aliam decem numerorū seriem contexe: in qua singuli numeri, qui in dextram progrediuntur: binarij incrementum accipiant. ea series desinat in uiginti. Tertius rursus ordo decem numerorum a ternario numero ad sinistram exordium sumens desinat in triginta, singuli (que) numeri in dextram protensi incremento ternarij augeantur. Quartus itidem ordo a quaternario initium capiens, at (que) per decem numeros in dextram progrediens, singulis auctis adijciat quaternarium: desinat (que) in quadraginta. Quinta similiter series a quinario procedens per decem numeros, quinario quem (que) auctos, finiatur in quinquaginta. Sextus ordo a senario ad leuam orsus, per decem numeros, senario quē (que) auctos, ad sexaginta pertendat. Septima quo (que) series a septenario exorsa singulis auctis numeris septenarij incrementum adijciat, in septuaginta desinēs. Octauus ordo ab octonario ad octoginta perueniat: octonarij augmentū ad singulos auctos numeros accommodans. Nona series similiter a nouenario progrediens ad nonaginta, per numeros decem, nouenario quem (que) crescentes protendatur. Decimus ordo a denario procedens sequentes numeros, denario singulos, augeat: desinat (que) in centum. Deinde numeris ita scriptis, lineę parallelę inter singulos ordines directę sic ducantur: tam a summo uertice ad imum cadentes, (quam) transuersę a leua in dextram, ut eiusmodi linearum ductu singuli numeri quadratis locellis ubi (que) concludantur. [Page] [...]

HAEC numerorū figura mira quadam proprietate primariorū numerorū multiplicationem nobis ante oculos e uestigio demō strat. Nam si scire cupis: quē numerū duo quilibet primarij in se ducti creēt. Primū illorū alterū in serie suprema a sinistra in dextrā protensa perquire. Deinde alterū uestiga in prima ad sinistrā serie descēdente. quos ambos cū inueneris: ab altero inter parallelas lineas recta semita descēdens, ab altero in trāfuersum parallelas duces sequēs, ꝓgredere: donec ad linearū in quadrāgularem [Page] formā coeuntiū locellū angularē peruenias: in quo numerū, quē requiris: ex amborū in se ductu procreatum deprehendes. Verbi gratia. siuis scire: quem numerū septies octo procreent. in altera serie septē, in altera octo quęre: parallelas (que) utrius (que) numeri, alteras descēdentes, alteras trāsuersas, uelut duces, sequere: donec in quadrāgularē coeāt figurā ▪ in cuius angulari locello quinquaginta sex notata inuenies. At (que) itidem in reliquis numeris primarijs. Verūtamen, ut ante dixi: qui sine ulla mora numeros multiplicare uelit: primariorū inter se multiplicationē in memoria, uelut in numerato, recōditā habere debet: ut expedite, cū res poscet: singulos numeros ex primariorū in se ductu generatos, tan (quam) ex thesauro depromat. id, quo dpaucis horis quiuis uel infirma memoria facile potest ediscere. Alioqui si ad numerorū figurā supra nobis depictā identidē respiciendū erit: quid fiet: quādo librorū nō adest copia? Ne igitur in leuiculis semper sit hęrendum: paucarū horarū industria longi tēporis tediū deuoret: ut quoties usus postulabit: numerorū primariorū multiplicationem mente prius repositā memoria suppeditet. Id quod ad numerorū quo (que) partitionem nō minus cōferet. uti latius dicemus: quādo eo uentū erit.

Ꝙ SI cui est animus eiusmodi numerorū figurā in tantā amplitudinē dilatare: ut magnos etiā numeros per linearū inspectionē cōpendio quodā multiplicare possit: Ab uno exorsus, quēadmodū ante diximus, naturalem numerorū seriem, quantū ei libuerit: quantū (que) in immēsum uelit: tam a sinistra in dextrā progrediens, (quam) a uertice deorsum descendens extēdat: singulos (que) cōtexens ordines illud semꝑ obseruet: ut a quo numero initiū series noua capiet: illius incremēto singuli eius numeri sequētes augeātur.

Pręter cęteras quo (que) ęgregias huius figurę dotes ab Arithmeticis traditas, quas nūc altius attingere nr̄i instituti nō est: illa insignis habet̄: (que) si ab uno, qui numerus ad leuā sūmus est: ad centū, [Page] qui ad dextrā habetur imus: per āgulos oppositos linea ducatur [...] numeri oēs, quos secabit: quadrati reperiētur: qui ex cuius (que) eorū in se ip sū ductu, ꝓcreant̄. id quod eueniret: si quātūuis in immēsū pertēderet figura. Ad hęc ubicū (que) occurrunt numeri quadrati: idē ex ductu anguloR oppositoR in oppositos ꝓducet̄. ut si tria per tria multiplicent̄: perinde sit: acsi unū in nouē ducatur. quod quia ad radicū in numeris inuestigationē: de qua suo loco dicturi sumus: pernouisse est utile: hic degustasse, non alienū est uisum.

QVI de numerādi scripserūt arte: de simplicibus numeris inter se multiplicādis, certā hāc dederūt regulā: quę sane et breuis est: et supputationē auspicātibꝰ admodum utilis: ut duo quiuis numeri primarij multiplicādi sumant̄: maioris (que) numeri, si alter maior fuerit: a denario distātia capiatur. Deinde quot in ea distātia reperiētur unitates: toties minor numerus a suo denario, quē ipse denominat: subtrahatur. et numerus relictus erit is, quē quęrimꝰ. Verbi gr̄a. Scire uolens, quotū numerū cōponāt quinquies septē: sume tria, distātiā septenarij: qui maior est numerus. ac ter aufer quin (que), numerū minorē, a denario, quē denominat: hoc est a quin quaginta. suꝑsunt triginta quin (que): quę ex horū in se ductu ꝓcreantur. Sin numeri ęquales fuerint: nihil refert: utrius a denario distātiā assumas: ut quoti ipsa distātia deprehēdas unitates: toties a denario, quē alter denoiabit: alterū numerū demas. uti si octies octo multiplicādi sūt: sume duo, distātiā utrius (que) a denario: bis (que) aufer octo ab octoginta. reliquū erit sexaginta quatuor. is est numerus: quē requirimus, ex illorū in se ductu generatus. Alij autem ad multiplicationem numerorū primariorū, quorū duo quiuis additi maiorem denario numerū procreant: aliam docuerunt, regulam: ut uter (que) numerus ad sinistrā, alter sub altero scribatur. Deinde utrius (que) a denario distātia e regione ad dextrā ponatur. [Page] distātię (que), altera per alterā multiplicent̄ ▪ et quod ꝓductū erit: sub linea ducta notetur. Deinde alterutrius distaria ab altero subtrahatur: et prius adiecto, si quid memoria seruat: subscripto numero, ex distātiarū in se ductu procreato, a sinistra locetur. uti si sexies octo multiplicare uelis. supra octo, infra sex repone. Postea contra octo oppone pro distātia ad dextrā duo. cōtra sex oppone quatuor. duc postea duo in quatuor. fiunt octo. ea subscribantur. Exime deinde per oppositos angulos, uel duo a sex: uel si mauis: quatuor ab octo. supersūt quatuor. ea a sinistra numeri prius subscripti locentur. Ꝙ si numeri primarij simul additi numerū denariū non transcendant (hi autem sunt omnes minores infra sex) eos sine ullo pręcepto pueri pleri (que) omnes multiplicare sciunt.

NVMEROS multiplicaturi supremo loco eum scribamus: quem multiplicare destinamus. tum deinde inferius alterum, per quem multiplicare superiorem uolumus: ita reponamus: ut primarij numeri illius ordinis primarijs superioris, deni denis, centeni centenis, et sic deinceps respondeant. Et si numeri sint inaequales: maior semper supra pro multiplicādo ponatur: minor infra pro multiplicante. Quo fiet: ut multiplicationis modus futurus sit expeditior. Postea sub ambobus numeris a leua in dextram calamo linea ducatur. [...]

Deinde prima nota multiplicātis numeri in primā multiplicādi ducat̄: et si id, quod ex multiplicatiōe, pueniet, infra decem erit: ad dextrā primo loco sub linea reponatur. [...]

Si uero surgat numerus aliquis ex denis collectus: subscribatur circulus: et denorū illorum denominatio memoriae commendetur: ad sequentis loci multiplicationem addenda. [...]

SIN PRODEAT numerus aliquis ex denis et primarijs compositus: primarius primo loco deponatur: denorumque denominatio [Page] mente recondatur: ut ad sequentis loci numerum ex multiplicatione procreandū coniungi possit. [...]

Iterum nota prima numeri multiplicātis ducatur in multiplicandi secundam: et quod inde creatum erit: post (quam) ei additum fuerit id: quod mente retentum est, si quid tale ex priore loco translatum superest: secundo loco subscribatur. [...]

Rursus eodem modo in tertiam, quartā, et reliquas quā tumlibet ulteriores multiplicandi numeri figuras eadem prima nota numeri multiplicantis ducatur: et quod ex ipsis in se ductis creabitur: eisdem locis sub linea reponatur: quibus enatum erit. Demum prima illa multiplicantis nota, quę suum peregit opus: ne amplius turbam faciat: obelisco transfigatur. [...]

Post haec secunda numeri multiplicantis nota in primam multiplicandi, et deinceps in omnes reliquas, co ordine, eodem (que) modo ducatur: quo de prima nota fieri debere diximus. Et numeri ex eorum in se ductu proueniētes ita sub linea et sub figuris ex priore multiplicatione productis ponantur: ut primus eorum sub secūda multiplicantis nota: secūdus sub tertia: tertius sub quarta: et sic deinceps in sinistram procedendo locetur. Et (quam)uis pauciores notę numeri multiplicantis, (quam) multiplicandi, fuerint: semper tamen progressus in leuam a secunda nota multiplicantis exorsus, minimum, per totidem seruetur locos: quot figurae fuerint in numero multiplicando. Postea secunda nota suum enixa foetum calamo transfigatur.

[Page] Tertia deinde et quarta ac reliquę omnes, quotquot fuerint: multiplicantis numeri notę in singulas multiplicandi numeri eodem modo ducendę sunt: numeri (que) ex multiplicatione nascē tes [...] sub linea et sub ordinibus ex priore multiplicatione procreatis ita reponendae: ut tertiae notae multiplicantis foetus, a tertio loco, quartae a quarto, et sic deinceps, progressionis in sinistram capiat exordiū: per totidem (que) notas, minimū, protendatur: quot reperiētur in numero multiplicando. Singulae (que) notę, post (quam) officio sunt functae: obeliscis inductae calamo transfigantur. [...]

Peracta demum figurarum omnium multiplicatione, rursus sub omnibus numerorum ordinibus ex multiplicatione procreatis altera linea a leua in dextram ducta, ad primum locum pertendat. Deinde a primo loco exorsi, omnes illos numeros ex figurarum in se ductu natos simul addamus: numeros (que) exlocis singulis collectos eisdē locis sub linea subscribamus. Ita numerus sub linea repositus is erit: quē multiplicatio nobis procreabit. [...]

De circulis autem illud pręmonendum putamus: ut quoties in numero multiplicante nobis occurrit circulus: totidem sub linea circulos reponamus: quot fuerint figurae numeri multiplicandi. [...]

[Page] Ꝙ si numerus multiplicandus circulum aliquem habeat: is etiam sub linea suo ponatur loco: nisi aliquid in memoria retētum supersit: quod illic deponi debeat. [...]

NVNC EA, quae diximus: illustremus exemplis.

Multiplicemus septem millia noningenta [...] sexaginta tria per mille octingenta quinquaginta duo. Post (quam) numeri scripti, subiecta (que) linea fuerit: sic nobiscū tacite meditemur. Primo loco bis tria creant sex. ea sub linea primo loco notamus. Iterum bis sex faciunt duodecim. duo sub linea secundo loco ponimus. unū pro denarij denominatione mente retinemus. Rursus bis nouem procreant decem et octo. quibus unum ex memoria addimus. fiunt decem et nouem. nouem igitur tertio loco lineę subdimus. unum mente recondimus. Demum bis septem producūt quatuordecim: quę quum augentur uno ex memoria deprompto: fiunt quindecim. sic quin (que) quarto loco reponimus: unitatem in quintum locum transferimus. at (que) ita primam illam notam multiplicantis numeri, quę suum peregit opus: obelisco transfigimus. Postea secundam multiplicantis notā, nempe quin (que), in primam multiplicandi ducamus, intra nos ita mussitantes. Ter quin (que) creant quindecim. quin (que) secundo loco sub linea ponimus. unum mente seruamus. Iterum quinquies sex faciunt triginta: quibus unum ex memoria depromitur. fiunt triginta unum. ex his unum tertio loco reponimus. tria mente seruantur. Rursus quinquies nouem [Page] producunt quadraginta quin (que): quibus tria ex memoria addita quadraginta octo faciunt. octo quarto loco subscribimus, quatuor mente retentis. Demū quinquies septem sunt triginta quin (que). his ex memoria quatuor adiungantur. fient triginta nouem. ea sub linea ponantur ad sinistram. Ita secunda multiplicantis nota suum enixa foetum obelisco signatur. Tertiam deinde multiplicantis figuram assumentes, sic ducimus in primam multiplicandi. Octies tria sunt uiginti quatuor. quatuor tertio loco lineę subdimus. duo mente retinemus. Iterum octies sex sunt quadraginta octo. ad quae duobus ex memoria additis fiūt quinquaginta. circulus igitur quarto loco subscribitur. et quin (que) memoria seruat. Rursus octies nouem sunt septuaginta duo: quibus memoria sumministrat quin (que). sic fiunt septuaginta septem. subnotantur septem loco quinto, depositis apud memoriam septem. Deni (que) octies septem sunt quinquaginta sex: ad quę quum septem ante reposita iunguntur: proueniunt sexaginta tria. ea sexto et septimo loco subscribuntur: transfigitur (que) ita calamo tertia multiplicantis figura. Tandem uentū est ad quartam et postremam multiplicantis notam: quae cum sit unitas, et nullum numerum multiplicare possit: omnes figurae numeri multiplicandi, eo ordine, quo sunt scriptae: semel sub reliquis enatorum numerorum ordinibus sic ponantur: ut prima quarto loco sub ipsa unitate notetur: reliquae (que) omnes in sinistram, nempe secunda in quintum locum, tertia in sextum, quarta in septimum, promoueantur. His ita peractis, ac sub omnibus enatis numeris linea a leua in dextram ad primum us (que) locū perducta, uniuersorum [Page] numerorum ex multiplicatione prouenientium sūma collecta sub linea deponatur. ea erit. Quater decies millena millia, septingenta quadraginta septem millia, quadringenta septuaginta sex.

SED quoniā in hoc exemplo, quod iam explicauimus: nulli interuenerunt circuli: alterum adiungamus: in quo tam in numero multiplicāte, (quam) multiplicando, circuli sint admixti. id autem sit eiusmodi. [...]

Multiplicemus sexdecim millia quingenta tria, per quatuor millia et uigiti. Post numeros scriptos lineam (que) subiectam primum nobis occurrit in numero multiplicante circulus. totidem igitur circulos sub linea reponamus: quot sunt notae numeri multiplicandi. Deinde secūda nota multiplicantis in primam multiplicandi ducatur. inde sex enascentur. ea secū do loco subscribantur. Et quia secunda figura numeri multiplicantis circulus est: ex quo nihil gigni potest: is tertio loco subnotetur. Rursus secunda multiplicantis nota in tertiam, nempe quin (que), ducatur. et fient decem. subijcitur igitur quarto loco circulus: unum (que) memoriae seruandum commendatur. Et quia quarta figura numeri multiplicandi circulus est: et unum adhuc memoria seruat: id sub linea quinto loco reponatur. Deinde secunda ipsa multiplicantis nota in quintam multiplicandi, nempe sex, ducta, duodecim proueniunt. ea sexto et septimo loco statuantur. postea secunda ipsa multiplicantis nota suo functa officio calamo transfigatur. Iterum tertio loco [Page] in numero multiplicante alter occurrit circulus. quamobrem totidem circuli quot reperiuntur figurae numeri multiplicandi: a tertio loco incipientes, in leuam promouentur. Quarta nota numeri multiplicantis quaternaria in primam multiplicandi ternariam ducta duodecim producit. duo quarto loco subscribuntur. unum mente reconditur. et quia secunda numeri multiplicandi figura circulus est: unum illud mente retentum quinto loco deponitur. Rursus quarta multiplicantis nota in tertiam, uidelicet quin (que), ducitur. prodeunt uiginti. circulus ita (que) sexto loco subditur, duobus memoria repositis. Et quia in numero multiplicando alter itidem circulus est obuius: duo illa mente recondita septimo loco sub linea locantur. Demum quarta nota numeri multiplicantis in quintā et postremā multiplicandi ducatur. et enascentur uiginti quatuor. ea octauo loco et nono deponantur. Post absolutam multiplicationem, sub omnibus ordinibus linea perducatur. sub qua uniuersorum foetuum collecta summa continebit. Ducenties quadragies ter millena millia, ducenta uiginti duo millia, et sexaginta.

Quaeret fortasse quispiam. cur ita singuli numeri ex multiplicatione procreati semper ad leuam oblique promoueantur? et non potius directe sub numero multiplicādo collocentur? Sed quisquis multiplicationis naturam altius consyderabit: statim mirari desinet. Nam cum multiplicatio toties numerum, qui multiplicatur: sibi ipsi addat, at (que) accumulet: quoties numerus, qui eum multiplicat: continet unitatem: oportet omnino alium numerum maiorem inuestigari: ad quem is, qui multiplicatur: uicē [Page] habeat unitatis. Et quoniam unitas natura primū in numeris locum tenet: sequentes autem eam numeri in ulteriores sedes secundum sui augmentum truduntur: quisquis numerus unitatis uicem occupabit: is primam itidem sedē habeat, necesse est: et quae ipsum sequūtur: in ulteriores sedes promoueat. Cum ita (que) numerus multiplicans non solum in omnes multiplicandi notas ducatur: uerū etiam ei leges praescribat: quoties ad inuestigationem numeri maioris, unitatis uicem sit subiturus: necesse est omnino et tot maiorum numerorū procreandos ordines poni: quot sunt notae numeri multiplicantis: et rursus illos ipsos ordines a singulis numeri multiplicantis notis, quae representādis unitatibus legem dant: nouas subinde primas sedes accipere. At (que) ita si primus locus, qui dux caeteris est: ab ea sede incipiet: ubi nota multiplicans sita est: siue secunda, siue tertia, siue ulterior fuerit: omnes omnino loci, qui eius ductum sequuntur: ulteriores erunt. Et cum maiores numeri ex notarum in se ductu semper quaerantur: statim ut sunt inuenti: in sinistram, quae maiorū numerorum sedes est: promoueri debent.

Multiplicationem recte factam esse certa ratione probabimus: si numerus ex multiplicatione procreatus per numerum multiplicantem diuidatur: et sectio nobis numerum, qui multiplicatus est: instauret. Ꝙ si alium numerum reddat: erratum esse necesse est. Hoc autem manifestius fiet: post (quam) numerorū partitionem explicuerimus.

DVPLICATIO numerorū est eorū per duo multiplicatio. Fit autē: quādo nota binaria posita sub primo loco numeri multiplicandi, ducitur in omnes eius figuras, [Page] eo modo, quo ante dictū est. de qua, cum sit species multiplicationis, at (que) ea quidem longe omnium facillima: nihil attinet separatim pręcepta dare: sicut quidam fecerūt. nō magis (quam) de triplicatione, quadruplicatione, reliquis (que) multiplicationis speciebus, quae sunt infinitę. De quibus adhuc nemo quic (quam) speciatim edidit. (quam) (quam) in multis earum, ꝙ sint difficiliores: maior uideri potuisset ratio: si quis id attigisset. Verum in his omnibus quomodo multiplicatio sit facienda: ea, quae iam dicta sunt: abunde sumministrant.

DE PARTITIONE.

PARTITIO NVMERORVN EST NVmeri diuidendi per numerum diuisorem sectio in quasuis partes: quarum quęlibet toties cōtineat unitatem: quoties numerus diuidendus capit diuisorem. Numerus autem diuisor uel minor diuidēdo, uel ei ęqualis, esse debet. Porro maior numerus non diuidit minorem: cum in minore maior non contineatur. Et ut manifestius sectionis naturam explicemus. Numerorum partitio est partium quarumuis, quotaecum (que) fuerint: procreatio ex numeri diuidendi sectione per numerum diuisorem partes illas, quas quaerimus: denominantem. Quantitas autem illarum partium ita deprehenditur: si a numero, qui diuidendus est: diuisorem toties subtrahamus: quoties fieri potest: diligenter obseruantes, quoties id faciemus. nam quoties subtractio repetita erit: toties numerus, quem quęrimus: unitatem continebit. Ita nihil [Page] aliud est numeros partiri: (quam) per numeri diuisoris crebram, ab eo qui diuiditur, subductionem, tertium numerū procreare: qui ex tot constet accumulatis unitatibus: quot re petitis iterationibus diuisor numerus a diuidendo subductus est. Partitionis enim officiū est nobis aperire: quā tum quaelibet pars numeri diuidendi, quotacum (que) sit: in se continet. et quoties in numero diuidendo numerus diuisor includitur.

QVEMADMODVM autem in multipicatione praediximus non mediocriter conducere: si quis memoria teneret: quos numeros procrearent primarij numeri in se ducti: ita hoc loco admonēdum putamus, numeros partituris supra (quam) dici potest, conferre: si sine ulla mora dicere possinr: quibus ex numeris compositi sint, quas (que) in partes soluantur singuli numeri sub centum. Nam sicut primariorum inter se multiplicatio numeros maiores creat: quorum tamen maximus centenarium non transcendit: sic e conuerso procreatorū ex primarijs numerorum partitio ipsos in partes, ex quibus constant: dissoluit: numeros (que) ostendit minores: ex quibus maiores sunt accumulati. Et (quam)uis sufficere possit ad utrum (que) pernoscendū multiplicationis tabula supra a nobis descripta: si quis eam ordine retrogrado consyderet: et ab imis et maximis numeris contemplari incipiens ad summos et minimos tendat: tamē quo magis rem subijciamus oculis: quod (que) pro faciliori partitione mēte cōcepimus: exprimamus: aliā partitionis tabulam non absimilem, ordine tātum numerorum conuerso, describemus. quae in summa parte, et ad sinistram numeros maiores: in ima, et ad dextram minores [Page] contineat. Ea fiet ad hunc modum. Ab ima parte ab uno incipiētes, naturali (que) numerorum serie in leuam progredientes singulos primarios us (que) ad decem modicis interuallis scribamus. Iterum ab illo ipso uno ad dextram reposito, uelut a quadam basi, capientes exordium eandem numerorum seriem, ad decem us (que) sursum uersus ascendendo, modicis et paribus interuallis distinguamus: ut uelut normam quandam rectum habentem angulum utraque series referat. Deinde singulos ordines struentes illud obseruemus: ut a quo numero initium seriei alicuius sumemus: siue binarius, siue ternarius, siue ulterior fuerit: eius incremento singulos decem eum sequentes numeros in sinistram promotos augeamus. Parallelae deinde lineae inter singulos ordines ductae tam a summo fastigio ad imum cadentes, (quam) transuersae a leua in dextrā, singulos notatos numeros quadratis includant locellis.

[Page] [...] ITA CONTRA (quam) in multiplicationis tabula descriptum est: summas et sinistras partes maiores numeri statim oculis occurrentes tenebunt. Quorum si quem per minorem partiri uolemus: parallelas a maiori numero diuidendo, tam ad imum marginem, (quam) ad dextrum latus ducentes, oculis sequamur. Vbi se nobis contuendos offerent numeri: ex quibus constat: minores. quorum alter diuisor erit: alter qui nobis indicet: quoties a diuidendo [Page] diuisor ipse subductus eum totum exhauriat. Verum enim uero quisquis huius tabellae descriptae uim memoria reconditam tenet: ut non solum quos numeros generent multiplicati primarij: dicere expedite possit: sed etiam in quos primarios generati ipsi soluantur: id quod plurimum bidui exercitatione cuiuis licet assequi: is sine ulla mora, numeros quantumuis magnos in partes, quascum (que) uelit: facile partietur. Id (que) ita esse argumento est: ꝙ ꝗ alioqui in diuidendis numeris hęrent: proposita multiplicationis tabella sese confestim explicant. quam si ordine retrogrado mente repositam haberēt: nihilo facilior illis esset multiplicatio (quam) partitio.

MODVS autem expeditus quoscum (que) partiendi numeros eiusmodi est: ut primū numerus diuidendus a dextro latere scribatur: et ab eius sinistra numerus diuisor. inter quos linea cadēs media ponatur. Deinde sub numero diuidendo duę lineae parallelae modico interuallo inter se distantes a leua in dextram ducantur. sub quibus iterū diuisor numerus sic subnotetur: ut ultima nota diuisoris ad sinistram sub ultima diuidēdi, et penultima sub penultima, et sic deinceps locetur. At (que) id quidem ita fiet: si totus numerus diuisor a diuidendi notis supra se repositis subduci potest.

CAETERVM si maior fuerit diuisor, (quam) diuidendi numeri notae supra selocatae: ut ab his non possit totus subtrahi: tunc postrema diuisoris figura sub penultima diuidendi ponatur.

HIC quidem numerus parallelis subiectus diuisor ambulans non abs re dici potest: ꝙ ad sinistram semper incipiens, [Page] post (quam) a diuidendo numero subductus est: siguris suis deletis progrediatur ad dextrā. ille uero ad leuam lineę cadentis positus, diuisor stans non immerito uocatur: ꝙ manens nos admoneat: quis numerus sit diuisor. Inter parallelas uero numerus is ponatur medius: qui nobis indicat: quoties in diuidendo numero diuisor cōtinetur: ut ab illo toties huius fiat subductio. uulgus hunc numerū quotientem barbare uocat, participium effingens ab aduerbio. is nobis uidetur apte appellari posse numerꝰ partitionis, aut si mauis, numerꝰ sectionis: ꝙ ex maioris numeri sectione generetur.

ETVT a facillimis primum incipiamus. Si quem numerum in decem partes diuidere uolemus: primam a dextra parte notam, perlineam cadentem mediam, separemꝰ a caeteris. et peracta est partitio. Si in centum: duas primas seiungamus notas. Si in mille: seponamus tres. Si in decem millia: quattuor distinguamus. Et ut in uniuersum praecipiamus. Quandocū (que) maiores numeros partiri uolumus per minorem numerum unitatis nota et uno circulo aut pluribus scriptum: quem aliqua numerorum sedes significat: totidem a dextra per lineam cadentem notas separemus: quot locū illū pręcedunt. et absoluetur partitio. Notae autem a caeteris separatę reliquū indicabunt: quod ex diuisione superest: et supra diuisorem stantem linea interposita notentur. is locus est eius reliqui: quod post partitionem peractam remanebit. Id ita esse palam est. nam si una nota ad dextrā apposita sequentem numerum ultra id, quod ipsa significat: augebit in decuplum: duae additae eodem modo in centuplum: tres in millecuplum: et sic [Page] deinceps illę ipsę sublatę datū incrementū omnino tollēt.

SIVERO diuisor numerus, per quē partiri uelis: unicam notam habet: is sub ultima diuidendi numeri figura: siue ipsi diuidendo aequalis, siue eo minor fuerit: ponatur. Et si diuisor ipse diuidendo numero aequalis erit: quia tantum semel ab eo subduci potest: unitatis nota sub diuidē do inter parallelas inseratur: Statim (que) tam diuisor sub lineis, (quam) prima diuidendi figura calamo transfigatur. et diuisor in dextram ambulans sub penultima diuidendi nota iterum reponatur.

Ꝙ. si diuidendo numero minor erit diuisor: cōsyderandū erit: quoties diuidendus eum contineat? an semel? an bis? an saepius? numerus (que) id indicans inter lineas parallelas sub diuidendo ponatur. si semel: unitatis nota reponenda. si bis: nota binarij. siter: ternarij. et sic deinceps. Tum per illum numerū inter parallelas repositum diuisor multiplicandus est: numerus (que) ex multiplicatione proueniēs sub parallelis infra diuisorē, prius tamen, ne rationes conturbet, deletum ponatur. is (que) numerus a diuidendo supra parallelas locato subducatur. et si quid reliquum erit: supra diuidendi figuras: a quibus fit subtractio: prius deletas, nerationem conturbent: scribatur. Quo facto, deleatur etiam numerus subductus sub parallelis repositus. et diuisor in dextram progrediens iterum sub penultima diuidendi figura locetur. Vbi animaduertendū erit: quoties penultima diuidendi cum toto reliquo supra ultimam diuidendi posito (si quod fuerit) contineat diuisorem. Ipsum autem reliquum ad respectum penultimae diuidendi, et quoties in progressu occurret, ad sequentium respectū, [Page] denarium illum numerum, quem nota ipsum exprimens denominat: semper significabit. ut si unitatis nota in reliquo sit: decem exprimat. si binarij: uiginti. si ternarij: triginta. et sic deinceps. Numerus uero ipse indicans, quoties penultima diuidendi cum reliquo capit diuisorem, inter parallelas est reponendus. Illud tamen perpetuo est obseruādum. Quandocum (que) diuisor in diuidendo saepius (quam) nouies continetur: nouem inter lineas tantum sunt reponenda. Per numerum autem ipsum inter parallelas positum multiplicandus est diuisor. et numerus ex eo proueniens, si una nota scribi possit: sub diuisore prius deleto, ne rationes conturbet: reponatur.

SIN numerus ille proueniens ex denario et primario sit compositus: ut duabus notis signari debeat: primarius semper sub diuisore ponatur. denarius autem ab eius sinistra sub reliquo diuidēdi, si quod fuerit, aut sub alia ipsius diuidendi figura supra se posita statuatur. numerus (que) is ab ipsis diuidendi figuris supra se positis subducatur. postea deleantur notae, tam quae subductae sunt, (quam) a quibus fit deductio. et si quid ex hac subductione iterum erit reliquum: supra penultimam diuidendi notetur.

DEINDE diuisor in dextram obambulans sub nota proxima penultimae diuidendi rursus collocetur. et itidem per omnia fiat: quemadmodū in penultima. At (que) ad hūc modum diuisor promoueri debet: donec ad primam diuidendi figuram uentum erit. ubi si quid ex deductione reliquum supererit: id supra diuisorem stantem linea interposita notetur. qui locus est eius reliqui: quod post diuisionem peractam remanet. quod certe semper minus erit (quam) [Page] diuisor: nisi in partione fuerit erratum.

Quotiescum (que) autem post priorem subductionem inter partiendum cōtinget diuisorem maiorem esse notis diuidendi supra se locatis: ut ab his subduci non possit: toties inter lineas circulus ponatur. et per unum locum progrediatur diuisor, notae (que) illae diuidendi, a quibus fieri subductio nō potuit: ad respectum illius, sub qua diuisor locatus est: uel denorū, si in secundo ab ea loco, uel centenorum, si in tertio posita fuerint: in sequenti diuisoris subtractione semper habebunt. Et ut magis ea quae diximus aperiamus exemplo. diuidamus septem millia octingenta uiginti quin (que) per sex. Scriptis primum diuidendo et diuisore cum parallelis medijs, eo modo, quo diximus: [...] sic partiturus secum cogitet. Sex in septem semel tā tum reperio▪ unitatis igitur notam inter parallelas repono. et quia illa unitas sex non multiplicat: ipsa sex subduco a septem. superest unum reliquum. id supra septem calamo transfixa statuo. deleo (que) sex diuisorem. et sub penultima diuidendi iterum ea pono. ibi occurrunt in reliquo et penultima diuidendi decem et octo. sex in his ter habentur. igitur tria inter parallelas depono. per quae multiplico sex: et fiunt decem et octo. decē sub reliquo, octo sub diuisore prius deleto statuo. deinde octo ab octo subduco et nihil superest. unitatis autem notam decem repraesentantem subtraho ab uno supra se posito reliquum signante. Iterum promoueo diuisorem: et sub proxima penultimae eum colloco. Ibi quia diuisor maior est diuidendo: circulum [Page] inter lineas insero: deleo (que) diuisorem: ac rursus sub prima diuidendi figura eum repono. Illic in diuidendo uiginti quin (que) deprehendo. quorum uiginti ideo manent: quia diuisor proxime cum circulus lineis est insertus: ab his subduci non potuit. in quibus, quia quater sex habentur: quatuor inter lineas scribo. per quae multiplico sex: et et fiunt uiginti quatuor. Ita (que) sub diuisore deleto quatuor subnoto. et sub proxima diuidendi sequente pono notam binarij: quae uiginti significat. tūc quatuor a quin (que) in diuidendo numero supra se repositis deduco. et unū superest. duo (que) a duobus demo. postea transfigo calamo tam subductos numeros, (quam) a quibus subducti sunt. Vnum (que) quod post diuisionem peractam manet reliquum: supra diuisorem stantem linea interposita colloco. Ita numerus indicans, quoties facta sit subductio, surgit inter lineas. Mille trecenta quatuor.

PRAETEREA si diuisor numerus unicam notam significantem cum uno circulo aut pluribus habeat: totidē diuidendi numeri figuras linea cadente interserta separemus a dextra: quot circuli in diuisore notam significantem praecedunt. Deinde per illam significantem notam solam amotis circulis, diuidendum numerum eo modo partiamur: quo cum unica nota fieri debere diximus. praeter (quam) ꝙ partitio, cum ad separatas per lineam figuras uentū erit: cessabit. et si quid reliquū superest ex ea diuisoris subductione, quę a figura diuidendi proxime separatas pręcedente, facta est: id una cum ipsis figuris separatis totius partitionis reliquum erit. At (que) ideo supra diuisorem stantem, linea interposita, notetur. [Page] [...]

Ꝙ SI DIVISOR numerus duas aut plures habeat significantes notas: unum (que) aut plures in fine circulos: totidem in diuidendo numero similiter a dextra separandae sunt figurae: quot circuli in diuisore: figuras ipsas antecedunt. et per illas significantes notas solas amotis circulis, diuidendum numerum eo modo partiri oportet: quo cū pluribus notis fieri debere mox pręcipiemus. cesset (que) partitio quando ad separatas figuras ueniemus: quas uti iam dictum est ascribemus in reliquum. [...]

QVANDO autem diuisor duas aut plures significantes notas habet: sub diuidendo numero ductis parallelis ita singulae scribantur, ut ultima diuisoris sub ultima diuidendi, penultima sub penultima, et sic deinceps, omnino reponantur. nisi totus diuisor numerus maior esset totidē diuidendi figuris supra se locatis: ut ab his subduci non posset. nam tunc diuisoris ultima sub penultima diuidendi. et penultima sub antepenultima, in initio statui deberet. sicuti ante dictum est. Quo peracto, consyderandum est: utrum quoties ultima diuisoris in ultima diuidēdi supra [Page] se posita reperitur: toties diuisoris penultima in diuidendi penultima, et reliquo ultimę, si quod post diuisoris subtractionē supererit: et antepenultima diuisoris in antepenultima diuidendi, et reliquo penultimę, si quod erit, et sic per cęteras diuisoris notas reperiri possit? et si id possit fieri: numerus indicans quoties diuisor continetur: inter parallelas ponatur. et per eum singulae diuisoris notae multiplicentur: suo quae (que) ordine: numeri (que) ex multiplicatione prouenientes sub ipsis multiplicatis diuisoris notis sic ponātur: ut si figuris pluribus scribendi erūt: prima earum sub nota multiplicata, reliquae post eam suo ordine locentur. singuli (que) numeri a figuris diuidendi supra se positis, et a reliquo, si quod erit, subducantur: deletis tam diuisoris (quam) diuidendi notis, eo modo, quo ante dictum est: cū de diuisore unicam notā habente pręciperetur. [...]

AT SI penultima et antepenultima et quaeuis alia diuisoris nota toties non reperiatur in diuidendi figuris supra se locatis, et reliquo earumdem, si quod erit: quoties ultima diuisoris in ultima diuidendi cōtinetur: tunc quia toties illę a supra se repositis subduci nō possunt: quoties haec ab ultima diuidendi: subducamus ultimam diuisoris ab ultima diuidēdi semel minꝰ, (quam) alioqui subtrahi posset. et consyderemus, an reliquum, quod ex ultima diuidendi figura supererit: penultimae et antepenultimae et caeteris eiusdem figuris tantum sumministret? quantum ad subductionem reliquarū diuisoris notarū ferendam satis erit.

Ꝙ si post id factum singulae diuisoris notae a diuidendi figuris supra se positis et a reliquo eiusdem adhuc subduci [Page] nequeunt: ultimam diuisoris bis minus, (quam) alioqui subduci posset: ab ultima diuidendi subtrahamus. et iterum consyderemus: an reliquum, quod supererit, tantundem penultimae et caeteris diuidendi figuris, suppeditabit: quantum subductionem diuisoris ferre possit.

Ꝙ SI ne (que) bis minus subducere sufficiat: tentemus, an ter minus satis esse possit. Si ne id quidem procedit: experiamur, an quater minus deducendo proficere possimꝰ. At (que) ita rariorem ultimae diuisoris subductionem subinde tentemus: donec reliquum, quod in ultima diuidendi per hoc augebitur: caeteris eiusdem figuris tantū sumministret: quantum ad iustam subtractionem cęterarum diuisoris notarum ferēdam sufficere possit. Ad id autem inuestigandum partitionis tabella, quā supra descripsimus, inspecta plurimum rudes iuuabit. ut quoties ipsam rariorem subductionem in ultima diuidendi consyderant: semper interiores ab ea et dexteriores parallelas duces, quadrangularem formam minorem contrahentes, inspiciant▪ quarum extremi in marginibus locelli facile indicabunt: quis numerus sit sumendus: quid (que) futurum reliquum.

CVM uero consyderando deprehenderimus: quoties ultimę diuisoris subductio fieri debeat: ut caeterae eiusdem notae a supra positis similiter subtrahi possint: numerum id indicantem inter parallelas supra ultimam diuisoris no tam apponamus. et per illum numerum quamlibet diuisoris notam multiplicemus: prouenientem (que) ex singulis multiplicationibus numerum sub ipsis multiplicatis diuisoris figuris sic ponamus: ut, si notis pluribus scribendus erit: primam earum semper sub multiplicata figura, [Page] reliquas post eam suo ordine collocemus: eas (que) a figuris diuidendi supra se locatis, et a reliquo, quando occurret: subtrahamus: delentes semper prius ipsas diuidendi figuras: a quibus fit deductio. et quod ex singulis subtractionibus reliquum supererit: supra ipsas diuidendi figuras: in quibus repertum est: prius deletas scribamus eo modo: quo ante diximus de unica praecipientes nota.

Quandocum (que) autem in quouis reliquo aliqua nota retro manet non dum per subtractionem exhausta: praecedens (que) eam diuidendi figura, ex qua post subductionem nihil reliquum mansit: integre deletur: supra ponatur circulus: ut retro adhuc restantis reliqui nos admoneat: simul (que) eius augeat significationem.

QVOD cum peractum erit: singulae diuisoris notae deletis prioribus, per unum locum promoueātur in dextrā. et ultima diuisoris sub penultima diuidendi, eius (que) penultima sub diuidēdi antepenultima, et sic deinceps, locetur. Iterū (que) de diuisoris notis subducendis eodem modo consyderandū est: eodem modo faciendum: quemadmodum iam dictum est. Rursus (que) subductione ꝑacta, per unum locum promouendus est diuisor. at (que) eadem obseruanda sunt: donec prima diuisoris nota sub primā diuidendi uenerit. ubi finietur opus.

ITAQVE si post subductionē quic (quam) remanserit: quod minus sit: (quam) diuisor: quia partitio finita est: supra diuisorem stantem linea interposita notetur: ut inde nobis appareat: quota pars diuisoris sub linea subiecti sit ipsum reliquum supra positum.

SI VERO reliquū ipsum maius sit: (quam) diuisor: quoniā [Page] errorem interpartiendum certū est interuenisse: opus totum denuo repetendumest.

PRAETEREA quotiescum (que) post unam omnium diuisoris notarum subductionem us (que) ad finem operis diuisor ipse diuidendi notis supra se locatis maior reperitur: ut ab his non possit totus subuci: toties circulus inter parallelas est reponendus. et singulae diuisoris notae nulla facta subductione per unum locū transferendae sunt in dextrā. Relictae autem illae diuidendi figurae in proxima sequenti diuisoris subductione debent exhauriri. At (que) ideo si post consummatam subtractionem in numero diuidendo circulus ad dextram superest: is inter parallelas a dextra collocetur.

ILLVD quo (que) etiam in hac partitione, quae per plures fit diuisoris notas: perpetuo seruandum est: ut si aliqua diuisoris nota saepius (quam) nouies in diuidendi figuris supra se reperiatur: nouem tantum inter lineas sint reponenda. quemadmodum in diuisione per unicam diuisoris notam facienda supra dictum est.

ET quoniam auspicantibus pręcepta sine exemplis obscura uideri solent: exēplis illustremꝰ ea, quę iā dicta sunt. [...]

[Page] DIVIDAMVS bis millena millia noningenta quindecim millia, quadringenta decem, per quadraginta septem. Scripto statim numero diuidēdo supra parallelas, sub parallelis diuisorem statuamus. et quia sub ultima diuidendi nota binaria, ultima diuisoris nota quaternaria poni nō poterit: ꝙ hęc illa sit maior: sub penultima diuidēdi: quę nouem continet: quatuor reponamus: et a dextra septem. Deinde partiturus eiusmodi, quae sequuntur: secū tacitus mussitet. Quatuor in figuris diuidēdi supra positis: quae uiginti nouē denotant: septies reperio. septies enim quatuor, uiginti octo creant: et adhuc unū superest. uerum si septies sumpsero quatuor: et unū reliquū fecero: alterā diuisoris notam septenariā per septem multiplicatā in figura diuidendi supra se posita, et reliquo, quae undecim continēt: toties nō reperiam. sumo igitur sexies quatuor ex uiginti nouē. et quin (que) facio reliqua: ut utra (que) diuisoris nota toties in supra se locatis reperiatur. repono (que) sex inter line as: et per ea multiplico quatuor: sic fiunt uiginti quatuor. igitur sub multiplicata figura quaternaria prius deleta repono quatuor: et binarij notā, quae uiginti significat: post eam sub ultima diuidendi colloco. Deinde quatuor a nouem supra positis demo. quin (que) autem reliqua supra nouē noto. duo (que) etiā a duobus subduco: et utras (que) notas transfigo. Iterū multiplico sex inter lineas posita ꝑ septē, alterā diuidendi notā: et ꝓcreo quadraginta duo: quorū duo sub multiplicata figura septenaria repono: quaternarij (que) figurā, quae quadraginta significat, post eam a sinistra, prius septem deletis, statuo. Deinde quia duo ab uno demere nō possum: assumo decem mutuo: et duo ab undecim tollo. [Page] supersunt nouem reliqua. quae supra uerticē signo. et quoniam decē mutuo sumpsi: sequentē notā quaternariā uno augeo. sic quin (que) illa iam facta a quin (que) supra se repositis subtraho: deleo (que) utras (que) notas. At (que) ita post primā subductionem totius diuisoris per numerū partitionis multiplicati, utram (que) diuisoris ipsius notam per unum locum in dextram promoueo. ibi diuisoris notam quaternariam in nouē reliquis bis reperio: et tamen unū supererit: quod cum quinaria diuidendi figura supra septē locata satis erit ad septem bis subtrahenda. duo igitur inter lineas depono. per ea multiplico quatuor, posteriorem diuisoris notā. et fiunt octo. ea subducūtur a nouem. unū superest. quod supra nonariam diuidendi figuram prius deletā notatur. deleta simul etiam nota diuisoris quaternaria. Rursus septem multiplico per duo. fiunt quatuordecim. horum notā quaternariam sub multiplicata figura septenaria, unitatis autem notam, quae decem indicat: post eam sub uno reliquo statuo. deinde quatuor a quin (que), et unum ab uno reliquo supra se reposito aufero: at (que) utris (que) notis deletis, unū ex quin (que) relictum supra uerticem noto. Rursus (que) post totius diuisoris multiplicati subductionem utrā (que) eius notam per unū locum in dextram promoueo. ubi supra quatuor unitatis notam in diuidendo numero relictam, supra septem quatuor reperio. et quia quadraginta septē in quatuordecim haberi nequeunt: nec ulla potest fieri subductio: circulo inter lineas inserto, per unum locum rursus diuisorem ad dextram transfero. ibi supra quaternariā diuisoris notam in diuidendo numero quatuor, et ex priore reliquo unū, quod decem denotat: comperio. sic in quatuordecim [Page] ter quatuor habentur: et duo erunt reliqua pro altera diuisoris nota subducenda. tria ita (que) inter lineas depono. et per ea multiplico quatuor: fiunt duodecim. horū notam binariam sub figura quaternaria multiplicata: unitatem autem decem denotātem sub reliquo subsigno. statim (que) ea subduco a quatuordecim deletis. et duo suꝑsunt. multiplico deinde septem per tria: unde creantur uiginti unum. horū unitatis notā sub figura septenaria multiplicata: notā autem binarij a sinistra sub reliquo pono: at (que) ea subtraho a supra positis diuidendi figuris: uidelicet ab unitatis nota et duobꝰ reliquis. sic nihil omnino superest. at (que) ita utrę (que) diuisoris et diuidendi notę delentur. Verū tamen (quam) (quam) omnes numeri diuidendi significātes notae per subtractionem sunt exhaustae: tamen quia in eo superest adhuc circulus: et partitio plene peracta nō est: propterea ꝙ non dum prima diuisoris nota sub primam diuidendi successerit: circulus ipse inter lineas ad dextram recondatur. Ita numerus partitionis inter lineas comperietur. Sexaginta duo millia, et triginta. [...]

[Page] VNVM explicauimus pro rudibus exemplū: ubi duabus notis scriptus erat diuisor. alterū aggrediamur: in quo tres notas, postremam (que) harum minimam, reliquas anteriores maiores habeat. cuiusmodi exempla difficilius explicātur: (quam) si postrema diuisoris nota maior anterioribus esset. Diuidamus ita (que) nouies millena millia, septingenta quadraginta millia, quingenta sexaginta tria, per trecenta octoginta nouem. Et quum notas diuidendi et diuisoris scripserimus: duxerimus (que) parallelas: sub his diuisorem ita statuamus: ut ultima eius nota sit sub ultima diuidendi: penultima sub penultima: antepenultima sub antepenultima. Deinde cōsyderemus, quoties ternariam notam ultimā diuisoris a nonaria diuidendi ultima possimꝰ subducere: ut pro caeteris diuisoris notis, quae maiores sunt: subtrahendis, satis supersit. et bis id fieri posse deprehendemus. duo igitur inter parallelas ponimus. per quae tria multiplicamus. fiūt sex. ea subducimus a nouem. tria manent reliqua. ea supra postremā diuidendi deletam notamus: simul deleta etiam diuisoris postrema. Iterū per duo multiplicemus mediam diuisoris octonariam notam. surgunt sexdecim. sex sub octo deletis, reponimus: unitatis (que) notam post octo sub postrema diuisoris. deinde et sex a septem demimus: et unum reliquum supra scribimus. unitatis autem notam a tribus, quae ex priore reliquo supersunt: extrahimus: et duo relicta signamus supra uerticē. delentur (que) figurę, tam quae subductae sunt: (quam) a quibus fit subductio. Rursus tertiam diuisoris notam nonariam per duo multiplicemus: et fiūt decem et octo. quorū octo sub nonaria deleta reponimus: unitatis notā pro decem proximo [Page] sequēti loco. et quia octo a quatuor supra positis subducere nō possumus: decē mutuo sumptis, octo a quatuordecim subducimus. ita deletis notis, sex relicta signantur supra uerticem. pro illis autem decem assumptis unū addimus ad sequentem unitatis notam: quę est in diuisore: et duo illa, quia ab uno supra se reposito auferre non licet: decem mutuantes ab undecim tollimus. rursus (que) deletis notis, nouem relicta signamus supra uerticē. Et quoniam decem iterum sumpsimus: iterum sequenti loco unū a duobꝰ supra signatis demimus. unum (que), quod superest: notamus, deleta nota binaria. Et quoniam semel omnes diuisoris notas a supra positis multiplicatas abstulimus: eas per unum locum singulas in dextram promouemus. Ibi iterum consyderamus: quoties tria a decem et nouem supra positis extrahi possunt: ut tamen satis ad cęterarum diuisoris notarum subductionem supersit. id quinquies fieri posse comperimus. quin (que) igitur inter lineas supra tria reconduntur. per ea, tria multiplicantur. et fiunt quindecim. quorum quinque sub multiplicata figura ternaria reponuntur. et unitatis nota pro decem loco sequenti. deinde quin (que) subducuntur a nouem supra se positis: et quatuor reliqua supra scribuntur. unitatis autem nota ab uno reliquo tollitur: delentur (que) figurae. Multiplicatur deinde secūda octonaria diuisoris nota per quin (que). inde surgunt quadraginta. circulus ita (que) sub octo locatur. et quaternaria nota, quę quadraginta significat: post eum. ea subtrahitur a quatuor supra positis. et utra (que) nota trāsfigit̄ obelisco. postea multiplicatur tertia nonaria diuisoris nota ꝑ quin (que). et crescunt quadraginta quin (que). quorū quin (que) sub [Page] nouem collocantur. et loco sequenti quatuor pro quadraginta. sic quin (que), quia circulus supra se notatur: a decem mutuo sumptis auferuntur. et quin (que) manent. quae supra circulum deletum annotantur. et quoniam decem sunt assumpta: unum ad sequentem quaternariam notam additur: at (que) ita quin (que) a sex supra se locatis deducuntur. deletis (que) figuris, unum, quod relictū est: signatur supra uerticem. Sic omnes diuisoris notae per quin (que) multiplicatae, et a supra positis subductae, per unum locum singulę trāsferuntur in dextram. Et quia diuisoris notae in diuidendi figuris supra se positis haberi nequeunt: circulus inter lineas inseritur. Rursus per unum locum singulae diuisoris notae in dextram procedūt. Ibi consyderamus quoties diuisoris ultima ternaria a diuidendi notis supra se locatis, quae designant quindecim: tolli queat. et (quam)uis quinquies id fieri possit: semel tamen minus subducimus: ut sequentium diuisoris notarū habeatur ratio: quatuor (que) inter parallelas locamus. per ea multiplicamus tria. et fiunt duodecim. quorum notam binariam sub tribus multiplicatis locantur: et unitatis nota pro decem, in sede sequenti. Deinde duo subducūtur a quin (que). et tria reliqua manent. ea supra scribūtur. unitatis autem nota tollitur ab uno supra uerticem posito. statim (que) delentur notę, tam quę subductae sunt, (quam) a quibus fit subductio. Multiplicatur deinde octonaria diuisoris nota per quatuor. et oriuntur triginta duo. horum duo sub octo recondūtur: ternaria nota loco sequenti. Deinde duo illa demuntur a quin (que). tria uero, quae ex his supersunt: in uertice notantur. ternaria autem diuisoris nota a tribus, quę supra notantur: aufertur. [Page] delentur (que) utrae (que) notae. Postea tertia diuisoris nota nonaria per quatuor multiplicatur. inde surgunt triginta sex. horum sex sub nouem multiplicatis, ternaria nota loco sequenti subnotatur. ea a supra se repositis auferuntur, nempe sex a sex: et ternaria nota a tribus. Deinde per unū locum in dextram singulae diuisoris notae rursus procedunt. Et quia prima diuisoris nota sub primam diuidendi successit: nihil (que) in diuidendo numero praeter tria superest: unde fiat subductio: at (que) eapropter diuisor in diuidendo non reperitur: circulus inter lineas ad dextram reponitur. tria autem illa, quae partitione finita, supersunt: supra diuisorem stantem, linea interposita, notantur. Ita partitionis numerus inter lineas surgit. Viginti quinque millia et quadraginta, at (que) in reliquo tres trecentesimae octogesimae nonae partes. Hactenus exempla exposuisse sufficiat: in quibus diuisor plures habet notas. per haec enim intellecta facile sese quiuis explicare potest: etiam si diuisor quatuor aut quin (que) plures ue habeat notas. cuiusmodi exemplum mente consyderandum sub oculis subiecimus. [...]

[Page] IN OMNI autem sectione quotiescum (que) interpartiendum post subductionem factam diuisor in dextram promouendus est: si reliquum, quod in diuidendi notis supra diuisoris uerticem signatis, ex ea subductione superest: maius reperitur: (quam) totus diuisor: error omnino admissus est. et frustra ulterius in ea partitione progrediendum esset: nisi quis operam perdere mallet. Quamobrem iterum a capite repetendū est opus. Nam non solum post peractam totam partitionem, reliquum, quod superest: toto diuisore minus erit: si recte processit opus: uerū etiā in medio opere, quandocum (que) in dextram promouendus est diuisor: idem euenire debet. Quae res, si bene animaduersa fuerit: non mediocre compendium, cum in omni partitione, tum praecipue in immēsis summis diuidendis, afferet.

ILLVD obseruare est operaeprecium. Maior numerus minorem non diuidit. quippe quum in minore maior non contineatur: id quod huius capitis initio admonuimus. Caeterum ratio iniri potest: qua maior numerus etiam minorem diuidere recte possit. id quod fiet: si de rebus a minore numero numeratis, prius una in species sub se contentas ducatur: ut earum productus numerus diuisore maior factus, eius sectionem ferat. Veluti si inter septem uiros tres aureos partiri uolumus. Quādoquidem in numero ternario numerus septenarius non habetur: soluamus aureum unum in centum nummos sestertios: quibus aestimatur. centenarium (que) numerum per ternarum multiplicemus. et enascentur trecenta. quae deinde si in septem [Page] partiamur: numerus sectionis prodibit, quadraginta duo, et sex septimae. Ita (que) si inter septem uiros tres aureos, centum nummis singulos aestimatos, distribuamus: unusquis (que) consequetur quadraginta duos nummos, et praeterea unius nummi sex septimas.

AD HAEC maior numerus minorem frangere in minutias potest. id quod sequenti libro de minutiarum partitione praecipientes, monstrabimus.

QVISQVIS experir cupit: an numeros recte diuiserit: numerum partitionis per diuisorem multiplicet. et si ex ca multiplicatione at (que) ex reliquo, si quod superest: numerus diuidendus exibit: nihil errauit sectio. Cęterum si alius ex ea multiplicatione numerus: (quam) diuidendus redibit: propter admissum in calculo errorem partitio tota denuo repetenda est. Id (que) ita esse rerum natura monstrat. Nam quemadmodum si partes, quae ab aliquo toto dēptae sunt: iterum componantur: idem totum redeat necesse est: ita si ex partium earumdem instaurata compositione aliud totum prodeat: (quam) ante fuerit: uel partes alienas per errorem esse sumptas, uel easdem male iterum cōiunctas, esse oportet. Cum ita (que) ex numero diuiso per crebram diuisoris subductionem exhausto, peracta diuisione, nihil aliud supersit: (quam) partitionis numerus: et reliquū, si quod fuerit: si numerus ipse diuisor ad numerum partitionis restantem toties iterum addatur: quoties ante subductus est: id quod facile fit: si numerum partitionis per diuisorem multiplicemus, adiungamus (que) reliquum, si quod remanebit: [Page] numerum ante dissectum denuo instaurari necesse est. quia et omne totum cum suis partibus consentit: et pars, quae dissentit, aliena est a toto.

DIMIDIATIO numerorum nihil aliud est: (quam) eorum per duo sectio. quae certe et prima, et longe omnium facillima est species partitionis. Et (quam) uis nō magni referat nulla de ea praecepta separatim dare: cum ea, quae iam dicta sunt: abunde sufficiant: quia tamen minore tum linearum apparatu tū consyderatione species haec partitionis eget: (quam) caeterae: quae, cum sint innumerabiles: tum omnes hac difficiliores: operęprecium esse putauimus facilitatis eius compendium auspicantibus enarrare. Ne (que) enim duabus parallelis est opus. unica tantum linea sub diuidendo numero ducatur. Deinde numerū quēuis per mediū secturus quispiā a sinistra incipiēs per omnes notas in dextrā tendat. et si ultimus diuidendi numeri character nota sit unitatis: a penultimo sectionem ordiatur: singulorū (que) locorum paribꝰ numeris per mediū sectis, ipsum dimidiū sub linea locis singulis subijciat. Sin impar occurrit numerus, unitate dempta, reliquum numerum per medium secet: dimidium (que) sub linea reponat. unitas autem ipsa pro decem computata memoria (que) recondita ad sequentem sectionem seruetur: ut uel denarium numerū creet: si circulus ad dextram proximus est: uel ex denario et primario compositum: si alia occurrit nota. is (que) numerus, si par est, per medium secetur. si impar, unitate rursus dempta at (que) ad sequentem sectionem, uti iam dictum est: seruata, relictus numerus per medium diuidatur. Si uero in diuidendo numero prius (quam) ad primā notā uentum erit: unitas occurret: [Page] si nihil superest memoria retentum, quod ei adiungatur: sub linea ponatur circulus. unitas (que) ipsa ad sequentem sectionem seruetur. semper autem dimidium sub linea recō datur. Ita progrediendum est in dextram, us (que) ad primam notam: quę si circulus fuerit: et proximus ei numerus par repertus est: sub linea ponatur. Sin proximus ei numerus impar compertus est: a quo dempta unitas mente retenta manet: circulus ipse cum unitate iunctus decem denotabit: quorū quin (que), quae sunt dimidium: sub linea reponentur. Sin unitatis fuerit nota: si denarius aliquis ex memoria ei adiungitur: unitate dempta, decem sunt secanda: et quin (que) sub linea recondenda. ipsa autē unitatis nota pro totius sectionis reliquo, supra diuisorem stantem linea interposita, notetur. sic scripta unius integri partem denotabit secundam: quae dimidium capit. Itidem in reliqui locum transferetur unitas: etiam si nullus denarius numerus memoria retentus superest: qui cum ea iungatur. Numerus autem partitionis sub linea diuidendo numero subiecta surgens apparebit.

Hęc (quam) quis propter facilitatem exemplo nihil egeant: unū tamen pro rudibus adiungendum esse duximus. [...]

INVESTIGEMVS ita (que) dimidium in millenis millibus, centum quadraginta et unis millibus, at (que) triginta uno. Scripto suis notis numero, ducta (que) sub eo linea, quia unitas in initio a sinistra occurrit: incipimus a penultima. ubi etiam altera unitas est. Ita (que) quoniā ibi undecim habentur: [Page] unitate pro denario ad sequentem sectionem seruata, decem relicta per medium secamus. et quin (que) sub linea reponimus. Progredimur deinde ad proximū locum: ubi quatuor reperimus: quibus denarium ex memoria depromimus: ut fiant quatuordecim. horū dimidium, septem, sub linea locamus. rursus (que) progredimur. Ibi occurrit unitas: quae secari non potest: Ideo sub linea circulus ponatur: et unitas seruetur in sequentem locum. In quo quia circulus occurrit: cui unitas adiuncta decem faciunt: quin (que) sud linea statuemus. Denuo progredimur. ibi tria occurrunt: quorū uno, quia numerus est impar, dempto, duo secamus: et horū alterum sub linea condimus, denario numero mente in sequentem sectionem retento. Rursus ad dextram progredimur ad primam unitatis notam: cui decem ex memoria adiuncta creant undecim. unitate ita (que) dempta, decem per medium secamus: et horū quin (que) sub linea reponimus. unitatem autem illā supra diuisorem stantem linea interposita signamus: ut unius integri partē secūdā significet. Ita partitionis numerus sub linea manebit. Quingēta septuaginta millia, quingenta quindecim.

DE PROGRESSIONE.

PROGRESSIO ARITHMETICA EST numerorū inter se ęqualiter distantium in unam summam collectio: et ueluti compendiū quoddam eos numeros numerandi, qui paribus interuallis distant. Eius autem duae sunt species. Altera est: in qua naturali numerorum serie seruata, numerus quilibet sequens [Page] sola unitate praecedentem superat: sicuti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Altera in qua numeros quoslibet omittentes, et paria seruantes interualla, longam numerorum seriem connectimus. veluti. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. In utra (que) autē specie idem est per compendium numeros colligendi modus. is autem hac bimembri constat regula. Si numerorū inter se aequaliter distantium, at (que) ordine continuo dispositorum series par occurret: eorum primus numerus iungatur cū postremo: numerus (que) ex eis aggregatus per dimidium numeri loca seriei numerantis multiplicetur. Ita fiet: vt numerus ex hoc productus summam omniū commonstret. veluti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. primus numerus. 1. ad postremum. 8. addatur et fient. 9. Cum (que) in tota serie sint. 8. loca. ducamus. 9. in 4, eorum dimidiū. et prodibunt. 36. quae omnium est summa. Similiter si exempli causa proponātur. 1. 3. 5. 7. 9. 11. primus numerus ad postremum addatur et fient. 12. et cū in tota serie sint. 6. loca: ducamus. 12. in eorum dimidium: nempe. 3. sic surgēt. 36. quae summa est uniuersorū. Ꝙ si numerorū a se ęqualiter distantium at (que) ordine continuo dispositorum series erit impar: tune numerus indicans, quot loca sunt in serie, non in eum numerum ducatur: qui indicat quotus locus est in serie medius, sed in eum numerum qui in serie medius reperitur: at (que) ab utro (que) extremo aequaliter distat. Ita numerus procreatus omnium summā patefaciet. sicuti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. quia loca seriei sunt. 7. et medius numerus est. 4. 7. in. 4. ducamus: et fient. 28. quae sū ma est uniuersorum. Itidem si exempli causa sumantur. 1. 4. 7. 10. 13. quia loca seriei sunt. 5. et medius numerꝰ est. 7. [Page] 5. in. 7. ducamus: et fient. 35. quae summa est omnium.

Alia regula datur magis generalis: et tamen non minus certa: (quam) est illa prior. ea autē est huiusmodi. In omni progressione Arithmetica, siue series par, siue impar fuerit: numerus ab extremorum additione collectus in numerū indicantem, quot loca sunt in serie, multiplicetur. numerus (que) productus postea dimidietur. et summa progressionis habebitur. Exemplum in serie pari. 1. 3. 5. 7. 9. 11. primus numerus additus ad postremū facit. 12. et quia. 6. loca seriei sunt. 12. per. 6. multiplicemus. et surgent. 72. quae si dimidientur: fient. 36. quae summa est progressionis. Exemplum in serie impari. 1. 4. 7. 10. 13. extremi numeri simul additi faciunt. 14. et quia in serie sunt. 5. loca. 5. in. 14. ducta creant. 70. quae si dimidientur: prodeunt. 35. quae summa reperietur vniuersae progressionis.

SI VIS experiri an recte summā collegeris. ab vniuersa summa per cōpendiū inuestigata singulos in serie numeros subtrahe. et si nihil erit reliquum: recte collegisti. Ꝙ si quid reliqui mansit: error interuenit.

Alia species progressionis habetur: quam Geometricam uocant: in qua numerorum longo ordine dispositorū interualla sunt inaequalia. quando inter numeros serie quadā cōnexos proportio aliqua reperitur: veluti. dupla. tripla. quadrupla. aut ea maior. de qua in proportionū libro postea dicturi sumus.

DE QVADRATI ET CVBI LATERIBVS INVESTIGANDIS.

[Page] DE QVADRATI ET CVBI LATERIbus exquirendis dicturos praefari primum pauca quaedam nos oportet: quis numerus sit quadratus: quis cubus: quo magis de rebus notis praecepta daturi cuncta intellectu faciliora reddamus. Numerus ita (que) quadratus est: qui ex vnico numeri cuiusuis in se ductu cōstituitur. cuiusmodi numerus est quaternarius. qui ex vnico binarij numeri in se ductu ꝓcreatur. bina nam (que) semel in se ducta producunt quatuor. Similiter nouenariꝰ numerus quadratus est. nam terna semel in se ducta educunt nouem. Itidem. 16. quadratus est numerus. quippe quaterna in se semul ducta progenerant sexdecim. Ad eū dem modum reliqui numeri omnes in se semel ducti quadrati ideo dicuntur: ꝙ si diuisim per vnitates scribantur: formam quadratam referant. [...]

VNDE quemadmodum in corpore cōtinuo quadrati latus appellatur: sic in numeris latus quadrati numerus ille vocatur: qui unum e lateribus numeri quadrati perficit: quod Arithmetici quadrati radicem nō inepte appellant: ꝙ ex eius in se ductu numerꝰ quadratus, velut ex radice quapiam arbor, surgat.

CVBVS numerus est: qui ex numeri cuiusuis semel in se at (que) iterum in numerum productum multiplicatione, componitur. cuiusmodi numerus est octonarius. nambina in se semel ducta creant. 4. iterū bina in. 4. ducta creāt 8. Similiter. 27. numerus est cubus. terna enim in se ducta creant. 9. iterum (que) terna in nouem ducta faciunt. 27. Itidē. 64. numerus est cubus. quippe quaterna in se semel ducta [Page] educunt. 16. iterum (que) quaterna in. 16. ducta procreant. 64. at (que) ad eūdem modum reliqui numeri omnes semel in se, at (que) iterū in numerū productū multiplicati, cubi ideo dicuntur: ꝙ si in corporū solidorū formā redigātur: ad exemplum cubi, tres dimensiones aequales, nempe lōgitudinē, latitudinem, et crassitudinem, habere reperientur. Est autem cubus corpus solidum sex continēs planicies quadratas, at (que) harum latera duodecim: quorū quatuor inferna sunt. quatuor superna: quatuor ab infernis ad superna ꝑtendunt. angulos (que) habet octo: videlicet quatuor infernos, quatuor supernos. in quorū singulis terna latera coeunt. Latini tesseram uocant. (quam) (quam) in numeris uocabulo ipso graeco Latinitate iam donato magis utuntur: vt cubum uocent. Cubi uero latus numerus ille dicitur: qui vnum e cubi lateribus efficit: et quadrati in eo cōtenti lateri ęquale est. quod cubi radicem satis apposite nuncupant: quemadmodum de quadrati latere iam admonuimꝰ. Quocirca manifestum est, in omni numero cubo numerum quadratum haberi. Caeterūnon econuerso reperies in omni quadrato cubum. Vnitatem autem Arithmetici et numerum quadratū, et cubum esse uolunt.

IN huiusmodi laterum exquisitione magnū enascetur studiosis compendium ad Arithmeticam pernoscendam. per hanc enim Ptolemęus astrorum longe peritissimus corporum supra cęlestium et sphaerarū magnitudines adinuenit: uelocitatem (que) motuum in his deprehendit. Ad haec eius cognitio non modo Astrologiae discendae, uerū etiam Geometriae, tantopere conducit: vt sine hac, quae in his pulcherrima sunt: intelligi nequeant.

[Page] VERVMTAMEN rerum ordo poscit: ut de quadratilatere inuestigando, prius dicere aggrediamur. Et cum quadrati lateris exquisitio nihil aliud sit: (quam) numeri alicuius inuentio: qui in se ductus uel totum numerum propositum, si quadratus fuerit: producit: uel maximum numerum quadratū in eo contentum: si ipse non sit quadratus: numerum ipsum latus facientem sic inuestigabis.

PRINCIPIO numerus quiuis, in quo quadrati radicem inuestigare cupis: punctis supra uerticem signetur in locis imparibus. uidelicet. Primo. Tertio. Quinto. Septimo. Nono. et reliquis itidem. Et quia quadrati lateris inuestigatio nihil aliud est: (quam) quaedam diuisionis species: sub numero punctis notato duae lineae parallelae ducendae sunt. inter quas latus ipsum exquitendū ponatur: quemadmodum in diuisione praecepimus. quia quot adscripta pūcta deprehendes: tot in numero sectiōis numeros primarios habebis, numeri propositi radicem ostendentes. Deinde sub extrema ad sinrstrā nota, puncto loco impari signata, numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se ductus totum respectu sui loci numerum supra se repositum subductus aboleat: uel saltem (quam) proxime fieri potest: si totum delere nequit. Huiusmodi autem numerus primarius inuentus inter parallelas inserendus est, at (que) in se multiplicādus. et post (quam) numeri procreati facta erit subductio: reliquum, si quod erit: supra notas, a quibus fit subtractio: deletas e uestigio, ne rationem conturbent: reponatur. Deinde numerus ipse primarius duplicandus est: et duplum sub proxima figura dexteriori ponendum.

Ꝙ si ex duplicatione numerus duabus notis scribendus [Page] prodeat: earum prima dextram uersus sub proxima figura, quae inter puncto signatas media est: reponi debet. Altera suo ordine sequens ipsam sub ea nota reponatur: sub qua primarius numerus inuentus est. Iterum deinde alius numerus primarius exquirendus est: qui in duplum ductus totum numerum, qui supra duplum positus est: ita subtractus exhauriat: ut postea etiam in se ipsū ductus totū numerū a dextra proximo puncto signatū cū reliquo, si quod erit: absorbeat. Sin totū auferre nequit: ab eo tollat: (quam) plurimum potest. Quod cum peractum erit: totus inter parallelas numerus duplicādus est: duplum (que) sub proxima figura dextram uersus ita ponendum: ut primi dupli nota sub ea figura, quae proxime inter puncto signatas media est: uelut ad perpendiculū reponatur: alię (que) postipsam, suo (que) quę (que) ordine, tendentes in sinistram. Rursus deinde exquirendus est numerus aliquis primarius: qui in duplum ductus totum numerum, qui supra duplū situs est: sicsubductus auferat: ut postea etiā in se ipsum ductus numerū a dextra proximo puncto notatū, uel totū deleat cū reliquo, si quod erit: uel (quam) prope id fieri potest. At (que) ad hūc modū ꝓgrediendū est ad primam us (que) notam. Quotiescum (que) autem post numeri primarij duplicati multiplicationem et subductionem, numerum ipsum primarium ducimus in se ipsum: semper id sub aliquo pūcto fieri debet: statim (que) e uestigio quicquid inter parallelas in numero sectionis reperitur: duplicandum est: et primi dupli nota sub proxima inter puncta figura ad dextram reponenda est: caeterae (que) post eam, suo ordine in sinistram progredientes: quemadmodum iam [Page] diximus. Illud quo (que) diligenter obseruandum est. Quandocū (que) in quauis inuestigationis parte numerus aliquis primarius inueniri nequit: primū in duplū deinde in se du cēdus, quin productus maior erit numero supra se locato: ut ab illo subduci nō possit: tūc circulus ad numerū inter parallelas ascribēdus est. omnibus (que) notis numeri, cuius radicē quaerimus: intactis dimissis, deletis tamē sub parallelis dupli notis, progressus in dextrā fiat: si non dū peractū est opus. totus (que) inter parallelas numerus ita duplicetur: ut prima dupli nota circularis sub proxima ad dextrā figura, quę inter pūcto signatas media est: reponatur: caeterę (que) post eā suo ordine in sinistrā tendentes: ut ante dictū est. Peracta demū radicis inuestigatione, si nihil reliquum erit: palam est numerum propositum: cuius latus scrutati sumus: quadratū esse. Ꝙ si quid reliquum mansit: non erit quadratus: sed numerus inter parallelas radix esse comperietur maximi numeri quadrati in eo contenti.

Et quoniam obscura sine exemplis non facile intelligi queunt: exempla nunc adiungamus: quae cuncta magis illustrent. [...]

EX quinquagies septies millenis millibus, octingentis triginta sex millibus, et uiginti nouem, radicem eruamus. [Page] Post (quam) numeris suo ordine perscriptis, ductae erunt parallelae: loca (que) imparia punctis annotata: sub postremo ad sinistram numero puncto notato numerum aliquem primarium quęramus: qui in se ductus uel totum numerum supra se notatū, qui est. 57. uel (quam) proxime fieri potest: subductus deleat. is autem erit septenarius. nam. 7. in se ducta. 49. creant. quę, si subducantur a. 57. supersunt. 8. ita (que) 7. inter parallelas inserenda sunt. ac post multiplicationē et subductionem factam deletis notis. 8. supra postremū punctum manebunt reliqua: quae supra uerticem notentur. Deinde. 7. inter parallelas posita duplicemus: et fient 14. quorū. 4. sub proxima ad dextram nota octonaria reponantur: et unitas denarium numerum designans a sinistra sub numero octonario ex priori subductione relicto. Tum iterum inueniendus est numerus aliquis primarius: qui in quatuordecim, quę dupla sunt: ductus numerū supra illa positū sic auferat: ut postea in se ductus proximū a dextra numerū pūcto notatum cū reliquo, si quod erit: subductus tollat: uel saltem (quam) propeaccedi potest. is autē erit senarius inter parallelas sub proximo puncto inserendus. ꝑ quē multiplicata. 14. faciūt. 84. quę ab. 88. supra se positis subducta relinquūt. 4. Deinde sex in se ducta creant. 36. quę a. 43. supra se notatis exēpta, reliqua faciūt. 7. supra uerticem numeri ternarij puncto proxime signati notanda. Iterum deinde duplicare oportet: quicquid inter parallelas inuenitur. quocirca. 76. duplicata faciunt 152. quorū prima nota. 2. sub proxima inter puncta figura senaria ponenda est a dextra: caeterę (que) post can suo ordine a sinistra. Deinde numerus aliquis primarius rursus est [Page] quęrendus: qui in totum duplum ductus numerum supra se positum auferat. Sed quoniam is inueniri nequit: ꝙ numerus duplus. 152. maior sit numero supra se locato. 76. circulus inter parallelas sub proximo ad dextram puncto, ipso inter parallelas numero addatur. notę (que) dupli sub pa rallelis deleantur. Caeterum notae numeri cuius radicem quaerimus: maneant intactae. Progrediamur (que) in dextrā. et rursus duplicemꝰ totū inter parallelas numerū. 760. ex ea duplicatione surgent. 1520. quorū nota circularis sub proxima ad dextrā figura binaria, ponenda est inter puncto signatas media: cęterae (que) post eam suo quae (que) ordine. Ac tū numerus aliquis primarius perquiratur: qui in totum duplum ductus numerū supra id locatū, subductus deleat: postea (que) in se ductus proximū a dextra numerum puncto signatū cū reliquo, si quod erit: auferat. uel saltem (quam) proxime fieri potest. Is autem erit quinarius. 5. igitur inter parallelas reponentur. per ea (que) singulę numeri dupli notae seorsum multiplicentur: numeri (que) ex multiplicatione prouenientes subducātur a figuris supra se locatis. quae statim deleantur. Et demū in se ductus numerus ille quinarius subtrahatur a nouenario numero puncto notato. et. 4. crunt relicta. Vnde satis liquet: quoniam toto opere absoluto, adhuc aliquid superest: numerū primo propositum non fuisse quadratum. nam si quadratus fuisset: nihil mansisset reliquum.

Hoc exemplo studiosis quadrati lateris inuestigādi uiam aperuisse suffecerit. Alterum plurium notarum oculis spectandum at (que) animo consyderandum adiungamus: quod facile sine praeeunte quiuis explicabit. [Page] [...]

SI QVIS experiri uelit: an uera radix quadrati numeri sit inuenta. Radicem ipsā in se multiplicet. et si quid reliqui mansit: numero ex multiplicatione producto addat. quo fiet: ut nisi perperam facta sit inuestigatio: numerus primo propositus redeat. Ꝙ si alius numerus prodit: opus repetendum est: ut error corrigatur.

Ipsum autem reliquum ęquare aliquādo potest quadrati lateris inuenti duplum: superare nun (quam) potest. ut puta, si numerus ꝓpositus esset. s. radix maximi numeri quadrati in eo contenti erit. 2. quae in se ducta creant. 4. et. 4. erunt relicta: quę duplum radicis continent. Nam si. 5. reliqua essent: iam fierent. 9. quę aliā radicem habent: uidelicet. 3. Itidē si propositus numerus esset. 15. quadrata radix eius esset. 3. quae in se ducta faciunt. 9. et. 6. reliqua: quę duplicatā radicem capiunt. At si relicta essent. 7. prodirent. 16. [Page] quę aliam radicem, nempe. 4. ostentāt. Similiter si numerus propositus esset. 24. radix maximi numeri quadrati in eo cōtenti erit. 4. quę in se multiplicata faciunt. 16. et. 8. relinquuntur, quę duplum radicis continent. nam si reliqua essent. 9. iam fierent. 25. et surgeret alia radix: uidelicet. 5. At (que) ad eundem modū deinceps cęteri numeri se habent. quamobrem si in reliquo plus reperias, (quam) quadrati lateris inuenti duplum: errorem calculi palam est interuenisse.

DE RADICVM IN CVBIS INVESTIGATIONE.

I AM ANTE ADMOMVIMVS CVBVM numerum eum esse: qui ex numeri cuiusuis semel in se, at (que) iterum in numerum productum, multiplicatione componitur. cuius latus inuestigaturi, millenariorum loca, punctis supra uerticem adscriptis, signemus. Ductis deinde sub eo numero parallelis: quemadmodum de quadrato numero fieri pręcepimus: sub extremo ad sinistrā millenario numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se, at (que) iterum in numerum productū, multiplicatus, totum respectu sui loci numerū supra se repositum subductus aboleat. uel saltem, (quam) plurimum potest: si totum auferre nequit. Huiusmodi autem numerus primarius inuētus inter parallelas inseratur. semel (que) in se at (que) iterum in numerum productum multiplicetur. et post (quam) numeri procreati facta erit subductio: reliquum, si quod restabit: supra notas a quibus fit subtractio: deletas e uestigio, ne rationem cōturbent: reponatur. Quantum autem [Page] quiuis numerus primarius prius in se et deinde in numerum procreatum multiplicatus producat: ne quis diu hęsitet: quae sequuntur: ante oculos posita declarabunt.

Semel | Vnum | Semel | 1.
Bis | Bina | Bis | 8.
Ter | Terna | Ter | 27.
Quater | Quaterna | Quater | 64.
Quinquies | Quina | Quinquies | 125.
Sexies | Sena | Sexies | 216.
Septies | Septena | Septies | 343.
Octies | Octona | Octies | 512.
Nouies | Nouena | Nouies | [...]29.
Decies | Dena | Decies | 1000.

DEINDE numerus ipse primarius triplicandus est. et eius, quod triplum erit: prima nota sub proxima figura praeter unam a dextra reponenda est: caeterae (que) post eam, suo quę (que) ordine, a sinistra. Postea exquirendus est numerus aliquis primarius: qui una cum numero primario p [...] us inuento, nunc pro denario computando, ductus in totum triplum, deinde solus in numerum ex multiplicatione procreatum ductus, totum sui loci respectu, numerum supra se repositū cum reliquo, si quod erit: subductus deleat. postea (que) etiā solus in se ipsum cubice, hoc est, prius in se, deinde in productū multiplicatus, totum numerum a dextra proximo puncto signatum, cū pręcedenti reliquo, si quod fuerit: exhauriat: aut si totum auferre nequit: tollat ab eo: (quam) plurimum potest. Quod cum peractum erit: iterum triplicādum est: quicquid in numero sectionis inter parallelas cōtinetur. et eius quod ex huiusmodi triplicatione [Page] natū erit: prima nota sub proxima praeter unam figura a dextra reponatur. caeterę autem post eā, suo quę (que) ordine. Rursus (que) inuestigandus est numerus aliquis primarius: qui una cum omnibus numeris primarijs prius inter parallelas insertis ductus in totū triplum, postea (que) sine illis solus in numerum ex multiplicatione natum ductus, quicquid supra triplum numerum repositum est: uel totum absorbeat: uel ex eo: (quam) plurimum potest: deleat. Deinde itidem cubice solus in se ipsum ductus totum numerū a dextra proximo puncto suppositū cum reliquo, si quod erit: modo fieri possit: auferat. alioqui ab eo: (quam) plurimum potest: eximat. Post hęc denuo triplicandum est: quicquid inter parallelas reperitur. et numerus alius primarius exquirendus: cętera (que) us (que) in finem operis ad eundem modum peragenda: quemadmodū iam dictum est. Ꝙ si nihil reliqui mansit: numerus, cuius radicem uestigauimus: cubus erat. At si quid est relictum: numerus nō erat cubus. Ceterum eruta radix latus est maximi numeri cubici in eo numero contenti.

VBICVMQVE autem in quauis inuestigationis parte numerus aliquis primarius inueneri nequit: qui una cū alijs numeris primarijs prius inter parallelas insertis in to tum triplum ducatur: postea (que) solus in numerum procreatum multiplicetur: quin numerus productus maior erit numero supra se locato; ut ab illo subduci non possit: tūc circulus inter parallelas in numerum partitionis inseratur. omnibus (que) notis numeri, cuius radicem quaerimus: intactis dimissis, deletisque sub parallelis tripli notis, si non dum finitum est opus: progressus in dextram ultra [Page] proximum numerū puncto signatū fiat. totus (que) inter parallelas numerus ita triplicetur: ut primi tripli nota circularis sub proxima figura praeter unam, ultra numerum proximo puncto signatum, a dextra reponatur: cęterę (que) posteam, suo quę (que) ordine tendentes in sinistram.

EXEMPLA nunc afferamus: quę singula manifestēt.

At (que) ex ducenties quinquagies millies millenis millibus, quingenties uities ter millenis millibus, quingentis octoginta duobus millibus, quadringentis sexaginta quatuor, radicem cubicam eruamus. [...]

STATIMQVE post (quam) numeri suo ordine perscripti: ductae (que) subtus parallelae: et millenariorum sedes pūctis erunt signatę: sub postremo ad sinistram millenario puncto notato numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se, et iterum in numerū productum multiplicatus, uel totum numerū respectu sui loci supra se repositū, qui est. 250. subductus deleat: uel saltem ex eo, (quam) plurimum potest: auferat. Is numerus est senarius. nam sexies sena sexies. 216. accumulāt. quę si subducas a 250. supersunt 34. ita (que). 6. inter parallelas inserendasunt. ac post multiplicationem [Page] et subductionē deletis notis. 34. pro reliquo sic notāda sunt: ut. 4. supra postremū punctū notētur: et 3. ab eorū sinistra. Deinde. 6. inter parallelas posita triplicemus. et surgēt. 18. quorū. s. sub proxima nota pręter unā a dextra reponātur: a sinistra. 1. Tum inuestigādus est nu merus aliquis primarius: qui una cum numero primario prius inuento pro denario computādo ductus in totū triplum, deinde solus in numerū procreatū ductus, totū eius loci respectu numerū supra repositum subtractus sic tollat: ut postea etiā solus cubice in se ductus uel totū numerum a dextra proximo puncto signatū, et reliquū, si quod pręcedit: exhauriat. uel saltē ex eo, (quam) plurimū potest: deleat. Is uero erit. 3. quoniā nota ternaria locata a dextra senarij, quę ante reposita est: profert. 63. quę ducta in. 18. creant. 1134. deinde. 3. sola ducta in ipsa. 1134. producūt. 3402. quę sic subnotāda sunt: ut prima nota sub prima tripli figura reponatur: cęterę suo ordine sequētes post eā. quarū a supra se positis facta subductione, supersunt. 50. deinde 3. sola in se cubice ducta faciunt. 27. quorū. 7. sub numero ternario proximo puncto signato: et. 2. ab eorum sinistra statuenda sunt. Horū tunc subtractione a supra se locatis notis facta. 476. supersunt. Deinde. 63. quę sunt inter parallelas triplicētur. et surgent. 189. quorū. 9. sub octonaria nota, quę proxima figura pręter unā est: reponātur: cęterę post eā statuantur a sinistra. Rursus in quirēdus est numerus aliquis primarius, qui una cum numeris primarijs ante inuētis prius in totū triplū, et postea solus in numerum productū multiplicatus numerū supra repositum uel totū subductus auferat: uel (quam) plurimū ex eo potest. Id autem [Page] hoc loco fieri nequa (quam) potest. nam etiā si minimus numerus primarius hoc est ipsa unitas assumeretur ad. 63. ut essent. 631. ea (que) in triplū uidelicet. 189. ducerētur: et postea sola unitas in productū multiplicaretur: surgerent. 119259. quę longe transcen derent numerū supra se repositū. 7658. Ita quoniā subductio fieri nullo modo potest: circulus inter parallelas ad numerum sectiōis apponatur. Sic omnibus notis numeri cuius radicē quęrimus: intactis dimissis, deletis (que) sub parallelis tripli notis, facto ultra proximum punctū in dextrā progressu, quicquid inter parallelas est: hoc est. 630. denuo triplicemus. et fient. 1890. quorū circulū, quę prima tripli est nota: sub figura senaria, quę proxima pręter unā est: ultra proximū numerū puncto notatum, signemus: caeteras (que) post eā suo quā (que) ordine. Rursus deinde exquiramus numerū aliquē primariū: qui una cū. 630. in numerū triplum. 1890. ductus, postea (que) solus in numerū productū multiplicatus, numerū supra se repositū subductus sic aboleat: ut postea etiā cubice ductus in se ipsum, uel totū numerū a dextra proximo puncto, signatū cū reliquo, si quod erit: uel quantū ex eo potest: deleat. Is autem est. 4. nam. 6304. in triplum numerū uidelicet. 1890. ducta producūt. 11914560. Deinde. 4. in ipsum numerū productum multiplicata creant. 47658240. quae sunt supra se positis notis pręter postremā omnino aequales: at (que) eas subductae delent. Postea. 4. in se cubice ducta faciūt. 64. quae totū, quod superest: sic auferūt: ut nihil penitus supersit. Numerū ita (que) propositū liquet fuisse cubū.

ET quoniā in cubi lateris inuestigatione post triplicationem alicuius primarij numeri factā, statim alius numerus [Page] primarius quęrēdus est: qui una cū primario numero prius inuento in totū triplū ducatur: deinde solus in productū, at (que) iterū solus in se cubice multiplicetur (quia numerus ille primarius tam uarie consyderandus est: primū, quid producit: quādo pars est maioris numeri: iterū, quid solus profert multiplicatur in productū: rursus, quid cubice in se ductus procreare ualet) parum exercitatos moratur hęc cogitatio: quisnam numerus primarius tot officia praestare possit. Quāobrem, ut in cęteris omnibus, ita in hac re plurimū iuuabit exercitatio: quę per assuetudinem, quantūuis ardua, prona reddit. Cęterum non mediocriter cōducet: si post numeri primarij inter parallelas positi triplicationē, prius (quam) numerū aliquē primariū cum eo copulabis: circulū ei adiungas: tentes (que) quē numerū in triplū ductus faciat. Deinde etiam tentari potest unus aut alter numerus primarius: qui in triplū similiter ducatur. et numerus ex hoc productus ad numerū priorem procreatum ex ductu numeri circulum assumentis addatur. Huiusmodi enim numerorū productoR additio eundē proferet numerū: qui fuisset natus: si ab initio numerꝰ ille primarius, quē tentauimus: una cū numero primario prius inter parallelas posito, fuisset in triplum ductus. Sic enim cum uideris: quē numerum ea multiplicatio, at (que) additio procreabit: facile coniecturā capies, tum ex numeri supra repositi, tum ex numeroR productoR at (que) additorum uel magnitudine, uel exilitate, quis numerus primarius assumpti circuli uicē subiturus maxime quadrabit. Veluti in exemplo iā dato. post primā senarij numeri inter parallelas positi triplicationē ex qua fiūt. 18. si quis assumēs circulū. 60. [Page] in. 18. ducat: numerus productus erit. 1080. Deinde tentemus: si. 3. in. 18. ducātur: quid fiat: et producentur. 54. quae si addant̄ ad. 1080. surgēt. 1134. qui numerus similiter prodijsset: si ab initio. 63. in. 18. fuissent ducta. Postea si tria in numerū ip sum productū. 1134. ducātur: fient. 3402. quę satis apte respōdent numeris supra se repositis: et tamen satis supererit: ut. 3. in se cubice postea ducātur. At si per notā binarij id facere tentaremus: numerus supra reponendus nimium redundaret. si per. 4. aut. 5. numerus productus foret maior: (quam) ut a supra se repositis posset subduci. Longe autē facillimū erit: si post (quam) numerū inter parallelas positū, adiūcto circulo, in triplū duxisti: primum de numero quinario, qui inter primarios medius est: eo modo tētes: quo supra dictū est. Ita statim scies: an maiore numero primario, an minore sit opus. Ad eundem modum tentare proderit: quoties post triplicationē numerus aliquis primarius inquirēdus est: qui ea officia pręstet: quae paulo ante sunt dicta. Hoc exemplū explicuisse suffecerit: ut uiam cubi lateris inuestigandi daremus. Alterū pluriū notarum spectandum consyderandum (que) adiungamus. [...]

EXPLICITVS EST LIBER PRIMVS SVPPVTATIONEM DOCENS INTEGRORVM. SEQVITVR SECVNDVS, DE PARTIVM SVPPVTATIONE.

2

2

[Page]

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM SECVNDVM PRAEFATIO.

MVLTI QVI IN SVPPVTANDIS integris nihil haerent: post (quam) ad numerādas partes, quae nus (quam) non sunt obuiae: uentum est: libellos abijciunt: non aliam (opinor) ob causam: (quam) ꝙ nō sit tam expedita partium (quam) integrorum numeratio. qui si secordia abiecta, animum intenderent: cuncta, quę per nimias delicias corruptis animis ardua uidentur: reperirent prona. Nam ut integrorū numeratio pene a nemine ignoratur: qui modo sensum communem habet: et eam uult perdiscere: sic quae de partibus numerandis traduntur: ut non admodū acutam mentis aciem requirunt: ita poscunt hominem nec dormitantem, nec stupidum: et cuius animus inter legendū minime peregrinetur. Et quā uis haec non, sicut AESOPI fabellę, cum quadam uoluptate penetrent intellectum: propterea tamen studiosis nequa (quam) est cessandum. Cogitent quemadmodum pulcherrimis quibus (que) difficultatem prętexuit rerum ipsa natura: quae nihil, quod est magnum: cito prehendi uoluit. simul (que) secum reputent: quantus in tota uita pro tantillo studio percipietur fructus. Nam quis (quęso) mortalium uitam sic potest transigere: ut non sit ei frequenter habenda supputatio. in qua labi et decipi, praeter (quam) ꝙ damnosum est: ridiculum putatur. Verumtamen hanc, quam nunc aggredimur: partium supputationem non magno egere acumine, uel hinc licet cognoscere: ꝙ mercatores in [Page] hac nihil cedunt philosophis. et nescio an longe superent. adeo magis industriam, (quam) ingenium postulat. Illud omnino praefandum esse duximus. Quisquis integra supputare nescit: is ne partium calculum putet se posse discere. Quippe, qui nimium ingenio fretus ordine praepostero stolidus id tentabit: is simile quiddam facere uidebitur: ut si quis ignorans literas moliretur legere. Quamobrem illa omnes in promptu prius tenere debēt: (quam) ad haec accingantur. Alioqui, ut in adagio est: et operā et oleum perdent.

[Page]

DE PARTIVM NVMERATIONE.

OMNE INTEGRVM IN PARtes, quotcū (que) uelis: solui per intellectū potest. et quemadmodum integrorum numeratio ab uno incipit: at (que) in infinitum potest extendi: sic integrorum sectio a secūdis orditur partibus. (Ne (que) enim in pauciores partes (quam) duas quic (quam) dissolui posse rerum natura patitur.) In infinitum autem protenditur arbitrio secantis. Iterū partes ipsas in alias particulas, at (que) eas quidem innumeras, intellectus soluit. Particularum (que) ipsarum rursus alia fragmenta excogitari possunt: ut res finem habitura non sit: si cui minutias cōsectari libet. Ad eiusmodi autem partes recte numerādas duo omnino requiruntur numeri. Alter qui partes dissectorum numeret. quem Arithmetici numeratorem appellant. qui quot in se capit unitates: tot partes dissecti nobis repraesentat. Alter qui partibus ipsis sua nomina tribuat. denominatorem eum uocant: ꝙ quot unitates in se contineat: in tot partes totū quidpiam diuisum esse denotet. Vtpote, tres quartę. quę sunt tres partes alicuius integri in quatuor diuisi. Scribuntur autē ita partes: ut numerator supra breuē lineam ductam: denominator infra eam ponatur, ad hūc modum. ⅔ ¾ ⅘ numerator (que) semper prius pronunciatur: (quam) denominator. ut dicamus. duę tertiae. tres quartae. quatuor quintae.

VERVMTAMEN harum minutiarum quaedā simplicia fragmenta dicūtur. hae sunt partes, in quas integra [Page] soluuntur. quaedam fragmentorum fragmenta. quas minutiarū minutias Arithmetici uocare solent. hae sunt particulę. in quas rursus partes frangūtur. Nos in hoc libro, sicut partes integrorum simplices, aliquando fragmenta, sępe etiam minutias indiscriminatim uocabimus: Itidem quo (que) appellabimus partium particulas, interdum minutiarum minutias, nonnun (quam) fragmentorum fragmenta. Inter quas species plurimū, cum in scribendo, et in enunciando, tum etiam in multis alijs interest. Nam quae sunt simplices minutiae: sic scribuntur: ut breuis linea supra se numeratorem, infra denominatorem habeat: uti iam diximus. Et si plura simplicia fragmenta scribenda sunt: modico interuallo distinguntur. ad hunc modum. ½ ⅔ ¾ unicum (que) numeratorem, et unicum denominatorem singulae habent: et recto casu semper enunciantur. ut dicamus una secunda. duae tertiae. tres quartae. Quae uero sunt partium particulae: duos, aut interdum plures et numeratores et denominatores capiunt. Quarum aliae ad sinistram ponendae recto enunciantur casu: lineam (que) habent mediam. hę sunt ipsae particulae. Aliae ad dextram locandae, obliquo (que) casu enunciatae media linea carent. hę sunt partes: quarum sunt particulae. ut si duas tertias unius quartę notis scribere uelis: ad hūc modum facias. ⅔ ¼ Id autem significatur: ut sint duae tertiae partes unius partis quartae ab aliquo integro dissectae: quod in quatuor partitum est. Vel si tres quartas unius tertiae unius secundae signare cupis: ad hunc modum notes. ¾ ⅓ ½ quod exprimit tres quartas partes unius partis [Page] tertiae alicuius secundae ab integro dissectae: quod in duo diuisum est. Ita (que) dum fragmentorum fragmenta ratiocinator tractat: summopere cauere debet: ne dormitā ti obrepat obliuio: quarum partium sint particulae. Neue pro dissectis integrorū partibus partium fragmenta com putet. Nam si id committat: error calculi non mediocris sequetur.

SEMPER autem in omnibus dissectorum minutijs, quo maior denominator fuerit: eo minores erunt partes, remotiores (que) ab integris. et quo fuerit minor: eo partes maiores erunt. at (que) ad integra propius accedēt. Nam duę partes secundae maiores sunt: (quam) duae tertię. et duae tertiae maiores, (quam) duae quartae. et duae quartę maiores, (quam) duae quintae. et sic in uniuersum, quanto magis numerādo crescit denominator: tanto magis quantitate partes diminuuntur.

AD numerationem autem partium plenius pernoscendam, tria in primis obseruanda sunt. Primum: vt quandocum (que) numerator et denominator sunt aequales: tunc partes unum integrū constituant. Exempli gratia. 3/3 5/5 7/7 tres tertiae unum integrum faciunt. sic quin (que) quintae. sic septem septimę. sic id genus reliqua. Alterū illud est: quandocum (que) numerator maior est denominatore: quot unitatibus denominatorem numerator superat: totidem partes plures sunt: (quam) quae integrum faciunt. ut nouem octauae integrum et partem octauam faciunt. septem quintę integrum et duas quintas. sex quartae integrum et duas quartas. 9/8 7/5 6/4. Tertium est: ut quandocū (que) numerator mi, nor est denominatore: [Page] quot unitatibus numerator denominatore minor est: totidē partes desint ad integrū cōponendum. ut duae tertiae sunt duae partes alicuius integri in tria dissecti: quibus tertia pars deest ad integrū faciendum. Itidem tres quartę quarta parte minus continent: (quam) integrum. ⅔ ¾ At (que) itidem in reliquis similibus.

ITAQVE denominatoris augmentum partes quantitate quidem minores, numero uero plures reddit. Quē admodum econuerso numeratoris incrementum vel integra progignit: vel partes multo propiores integris.

AD HAEC cum omnis integrorum inter se multiplicatio et quantitate et numero maiorem edat foetum: nempe numerum productum. Econtrario in partibus euenit: vt minutię multiplicatę quantitate minores, numero plures comperiantur.

DE PARTIBVS DISSIMILIBVS AD SIMILITVDINEM REDIGENDIS.

CVMIN SVPPVTATIONIBVS FACIendis partes aliae alijs maiores, longe (que) dissimiles frequenter occurrant: interdum fragmentorum fragmenta simplicibus aggregata fragmentis: nonnun (quam) integra partibus intermixta: ne tam uarium chaos rationes totas conturbet: eiusmodi tam diuersa prius ad similitudinem quandam reducere necesse est: (quam) ea uel addere, uel subtrahere, vel multiplicare, vel diuidere, quiuis aggrediatur. quo fiet: ut operis aequalitas cūcta tum prona, [Page] tum facilia reddat. Quando alioqui, si quis tam dissimilia inter se committere tentaret: in labyrinthum inextricabilem sese ingereret. Igitur ante (quam) illa quispiam moliatur: haec, quę de dissimilibus in unam faciem redigendis praecepta sequūtur: prius tenere curet.

SIVE autē maiores partes in minores mutare libet: siue e conuerso minores in maiores redigere: partes quaelibet in quasuis transformantur. si partiū, quas trāsfigurare uolumus numeratorē in denominatorē earū, in quas sunt transformandae: multiplicemus. et numerū ex hoc enatum per earum partium denominatorem, quas transfigurare est animus: diuidamus. Quo fiet: vt partitionis numerus partes illas edat: in quas fit transformatio. Quod quidem solum, eruditis praecipisse suffecerit. Caeterum ut rudium habeatur ratio: utram (que) speciem seorsum explicabimus. Ita (que) maiores partes in quasuis minores transformantur: si maiorum partium numeratorem in denominatorem minorum multiplices: et numerum ex hoc enatum per maiorum denominatorem diuidas. Quo peracto numerus partitionis patefaciet: quot partes minores ex maiorum transformatione nascuntur. ut si tres quartas ad octauas transformare uelis: per tria, maiorum partium numeratorem, octo, minorum denominatorem multiplices. et prodeunt uiginti quatuor. quae deinde per quatuor, maiorum denominatorem diuidas. et numerus partitionis sex habebit. Ex tribus igitur quartis ad octauas reductis sex octauae consurgunt. Et si duodecim tertias ad quintas transfigurare cupis: duodecim, maiorum partium numeratorem, in quin (que), denominatorem minorum [Page] ducas: et sexaginta nascuntur. quę per tria, maiorum denominatorē diuidas. et numerus sectionis uiginti creabit. Sic ex duodecim tertijs uiginti quintae generantur. Ꝙ si tres quintas ad septimas uis reducere: per tria, maiorum partium numeratorem, septem denominatorē minorū multiplica. et procreabis uiginti unum. quae postea per quin (que), maiorum denominatorem diuide. et numerus partitionis quatuor ostendet. unum (que) restabit reliquum: quod unam quintam unius septimae signisicat. Sic ex tribus quintis ad septimas reductis fiunt quatuor septimae, et quinta pars unius septimae. Nam quandocū (que) in eiusmodireductione reliquum occurrit: partis erit particula: denominationem (que) in recto casu a maiorum partium denominatore qui diuisor extitit: sumet. Alterum uero in casu obliquo a denominatore minorum.

MINORES partes e conuerso in quaslibet maiores trāsfigurantur: quando per numeratorem minoris denominator maioris multiplicatur: et numerus inde proueniens per minoris denominatorem diuiditur. tunc enim numerus partitionis palam indicabit: quot partes maiores ex minorum transfiguratione surgunt. ut si sex nonas in tertias quis commutare uelit: per sex minorum partium numeratorem, tria, denominatorem maiorū multiplicet. et creabit decem et octo. quae deinde per nouem, minorū denominatorem diuidat: et in numero sectionis duo comperiet. Ita (que) ex sex nonis in tertias commutatis duę tertiae generantur. Et si duodecim sextę in quartas sint mutandę: duodecim, numerator minorum partium in quatuor, maiorum denominatorem ducantur: et progignuntur quadraginta [Page] octo. ea (que) postea per sex, denominatorem minorum diuidantur. et octo in numero partitionis erunt. Ita duodecim sextę reducūtur ad octo quartas. Ꝙ si septem octauas ad quintas quis reducere cupiat: septem, numeratorem minorū partium, in quin (que), denominatorem maiorum ducat: et conficiet triginta quin (que). quae deinde per octo, denominatorem minorum diuidat: et numerus partitionis quatuor habebit. et reliquum supererit. tres octauę unius quintę. Quamobrem ex septem octauis in quintas commutatis, quatuor quintę oriuntur, et tres octauae unius quintę. Nam in eiusmodi reductione fragmentum fragmenti quandocum (que) occurrit: denominationem in casu recto a minoris fragmenti denominatore, per quem fit sectio: capit: denominationem (que) in obliquo a denominatore maioris.

DIVERSARVM denominationum partes ad easdē denominationes rediguntur: quando unius fragmenti denominator per alterius denominatorem multiplicatur. nā numerus inde proueniens denominator communis erit. vt si duas tertias et tres quartas ad eandem denominationem uelis reducere: tria, denominatorem primi fragmenti per quatuor, denominatorē secundi multiplices. et enascentur duodecim, denominator cōmunis. [...]

Ꝙ SI scire cupis: quot duodecimę partes seorsum sint in duabus tertijs: duo, numeratorē illius primi fragmenti, in quatuor denominatorem posterioris ducas: et octo pro numeratore procreantur. quibus denominator cōmunis sub linea suppositus indicat in duabus tertijs octo duodecimas deprehendi. 8/12 Itidem si uis scire: quot duodecimę [Page] partes seorsum sint in tribus quartis: tria, numeratorem ipsius secundi fragmenti, in tria, denominatorē primi multiplices: et nouem pro numeratore consurgent. quibus denominator cōmunis sub linea subiectꝰ demōstrat in tribꝰ quartis nouē duodecimas inueniri. [...]

DEINDE si ad cōmunem denominatorem numeratorem etiam cōmunem uis inuestigare: prioris fragmēti numeratorem in denominatorem posterioris, et similiter numeratorem secundi fragmenti in prioris denominatorem, ad formam crucis diui Andreae, multiplica. Numeri (que) ex his duabus multiplicationibus prouenientes simul addā tur. et numerus inde proueniens numerator cōmunis erit. Vt si duo, numerator primi fragmenti, in quatuor, denominatorem secundi ducantur: fient octo. Et si tria, secundi fragmenti numerator, per tria, denominatorem primi multiplicentur: surgent nouem. quae addita ad octo faciunt septemdecim, qui numerus erit numerator cōmunis. Ita duae tertiae et tres quartae, ad eandem denominationem reductae numeratorem habent cōmunem septemdecim, denominatorem uero duodecim [...]

SIVERO plura fuerunt fragmēta: uti duae tertię. tres quartae. quatuor quintae. post duo priora fragmenta, sicuti diximus, reducta, iterum denominator cōmunis prius inuestigatus per tertij fragmenti denominatorem multiplicetur: et surgent sexaginta, omnium denominator communis. [...]

Ꝙ SI scire cupis: quot partes sexagesimae sint in quouis fragmento numeratorem ipsius fragmenti in denominatorem cōmunem multiplica: nempe sexaginta: numerum (que) [Page] procreatū diuide per eiusdem fragmenti denominatorem. ita deprehendes in duabus tertijs quadraginta sexagesimas. et in tribus quartis quadraginta quin (que) sexa ⅔ 40/60 gesimas. et in quatuor quitis quadraginta octo sexage ¾ 45/60 simas.

DEINDE numeratorem omniū fragmentorū ⅘ 48/60 cōmunem inuestigaturus prius reductorum fragmentorum numeratorem per denominatorem tertij, et numeratorem tertij per denominatorem fragmentorum prius reductorum, multiplica. Numeros (que) ex his duabus multiplicationibus generatos simul adde: et numerator communis omnium fragmentorum prodibit. ut si septemdecim, prius reductorū numeratorem cōmunem, in quin (que), tertij fragmenti denominatorē ducamus: inde (que) procreemus octuaginta quinque: et iterum duodecim, communem prius reductorum denominatorem, in quatuor, tertij fragmenti numeratorem multiplicemus: at (que) ita generemus quadraginta octo: hos (que) duos numeros simul coniungamus: enascentur centum triginta tria. Is numerus erit omnium fragmentorum numerator cōmunis. sic duae tertiae, tres quartae, et quatuor quintae, ad cōmunem numeratorem et denominatorem reductae, fiunt centum triginta tres sexagesimae. Eodem modo progrediendum est: etiam si plura 133/60 fuerint fragmenta ad eā dem denominationem reducenda: ut primis quibus que quemadmodum diximus expeditis, proxime sequentia ad eundem modum absoluantur: donec per omnia fragmenta sit discursum.

[Page] EX praedictis nimirum liquet, numerum statim inueniri posse: qui partes, quascum (que) uolumus: denominatas habeat. Quippe si partes omnes denominatas inter se multiplicemus: numerus procreatus partes eas continebit. Exempli gratia, si numerum aliquem cupis exquirere: qui capiat unam secundam, unam tertiam, unam quartā, unam quintam, unā sextam, unā septimā. omnes has partium denominationes inter ½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ 1/7 se multiplica. quae generāt quin (que) millia et quadraginta. is est numerus quaesitus.

IN eiusmodi autem numero singuli numeratores, partes plures us (que) ad totidem continere possunt, quot in denominatoribus singulis reperientur. nam in eodem etiam deprehendas unam secundam, duas tertias, tres quartas, quatuor quītas, quin (que) sextas, sex septimas. uel si mauis. reperias duas secūdas, tres tertias, ½ ⅔ ¾ ⅘ ⅚ 6/7 quatuor quartas, quin (que) quintas, sex sextas, septem septimas. Partes autem unius at (que) eiusdē numeri 2/2 3/3 4/4 5/5 6/6 7/7 plures in numeratore (quam) in denominatore contineri nequeunt. nam is numerus ea ratione seipso maior esset. quod est contra rerū naturam. ueluti si quaeras numerum: qui quin (que) quartas habeat: frustra inuestiges. Quippe cum quin (que) quartę unū integrum et quartam praeterea partem constituant. At nullus numerus quarta parte seipso maior haberi potest. Minimus autem numerus, qui partes quascū (que) uelis: denominatas habeat: quemadmodum sit inuestigandus: paulo post dicemus: quando trademus: quomodo partes ad minimā sui nomenclaturam redigantur.

[Page] PARTIVM particulae, quae fragmentorum sunt fragmenta: et minutiarū minutiae etiam nuncupantur: in integrorum partes, quas simplices uocant minutias: mutā tur: si earum numeratores inter se multiplicētur: ut unus omnium communis numerator fiat. At (que) itidem earum denominatores in se ducantur: ut unus omnium cōmunis denominator enascatur. Ideo (que) si ad eandem denominationem reducere cupias duas tertias unius quartae, unius secundae. ⅔ ¼ ½ unitatibus in duo ductis, tantum duo surgunt. cum unitas alios numeros nō multiplicet. sic oritur numerator communis. Deinde tria in quatuor ducta creant duodecim. quae iterum in duo multiplicata producunt uiginti quatuor. ita compertus est denominator cō munis. Quamobrem duae tertiae unius quartae unius secundae, ad simplicia fragmenta redactae, procreant duas uigesimas quartas unius integri. 2/24.

INTEGRA in partes quascum (que) uolumus: frangū tur: si numerus integrorū per denominatorem illarū partium, quas procreare cupimus: multiplicetur. quippe numerus ex multiplicatione generatus enatarū partiū summā demonstrabit. Etenim si integrum ad sextas reducere est animus: unitatem per sex multiplicemus: et enascētur sex. qui numerus erit partium. Si tria integra ad sextas resoluere libet: sex in tria ducantur. ita fient decem et octo. qui numerꝰ existit partiū, solutis in sextas tribus integris.

SI QVA uero integra una cū partibus occurrant: quae ad partium denominationem reducere uelimus: numerū integrorū per denominatorem partium multiplicemus: et [Page] numero procreato partiū numeratorem addamus. inde (que) crescenti numero eundem denominatorem supponamus, linea interposita. Exempli gratia. si quin (que) integra et tres quartas ad eandem denominationem reducere cupimus: integrorum nota primum scribatur. deinde ante eam ad dextram, ipsum fragmentū, breui linea interserta. ad hūc modum. 5 ¾. quin (que) deinde, numerum integrorū, per quatuor denominatorem fragmenti multiplicemus: et cō surgēt uiginti. quibus addita tria, numeratorē cōmunem, uiginti tria creant. his sub linea media, quatuor, denominatorem subijciamus. sic nobis enascentur ex hac reductione uiginti tres quartae. 23/4.

Ꝙ SI integra et plura simplicia fragmenta ad unum simplex fragmentum reducere quis uelit: numerum integrorum et primum fragmentum, sicuti iam pręcepimus: absoluat. Deinde fragmentum simplex ex hoc enatū cum alijs sequentibus copulando, per singula fragmenta discurrat: donec uniuersa in eandem denominationem transformauerit, eo modo, quo ante dictum est.

SI VERO integra et partiū particulę simul reperiantur: et ad simplex fragmentū uelis ea reducere: primū partium particulae ad simplicia fragmenta reducendae sunt: sicuti ante praeceptum est. et tum demum integra cum his in eandem denominationem sunt copulanda.

ITIDEMQVE per omnia fiet: si integra et plura fragmentorum fragmenta sese simul offerant. his nam (que) omnibus prius ad simplicia fragmenta redactis, caetera seruentur: quae iam praedicta sunt.

[Page] PARTES ECONVERSO REDVCVNTVR ad integra: si numeratorem ipsarum partium per earum denominatorem diuidamus. nam numerus partitionis integra continebit. Vt si decem et octo tertiae ad integra reducendae sint: decem et octo per tria diuidamus. et numerus partitionis prodibit. sex. totidē ita (que) sunt integra. Vel si ex uiginti duabus quartis integra procreanda sint: uiginti duo per quatuor secemus: et in numero partitionis quinque deprehendentur: at (que) duo reliqua. Igitur quin (que) fiunt integra. et duae quartae supersunt. Quia semper in omni diuisione tam integrorum (quam) partiū, reliquū, si quod restabit: a diuisore, per quem sectio facta est: suā denominationem sumet. Ipsum autem reliquū, quod integrum creare nequit: eadem proportione se habet ad integrum: sicut numerator ad denominatorem: qui diuisor extitit. Quocirca cūꝑ integrū diuisorem, id, quod reliquū erit: āplius secari non possit: per dimidiū diuiforis, si modo is dimidiari potest: diuidatur. et numerus sectionis dimidiū ostendet integri. uti in exemplo proximo, ubi duae quartae supersunt. per duo, diuisoris dimidium, facta sectio, cum numerus sectionis sit unum: unum dimidium monstrat. Si uero id fieri non potest: per tertiam diuisoris partem reliquum diuidatur: modo tantum supersit. et numerus partitionis uel unam tertiā uel plures indicabit superesse. Puta si per nouem numerus esset diuisus: et sex manerent reliqua. per tertiam diuisoris partē, nempe tria, sectio facta duas tertias unius integri superesse manifestat. Alioqui si per tertiā sectio nō quadrabit: per diuisoris partem quartā: nisi minus ea supersit: reliquū secetur. [Page] quippe sic facta sectione, numerꝰ partitionis patefaciet: an una quarta remaneat: an plures. Veluti si ꝑ sexdecim numerus fuisset diuisus: reliqua (que) essent duodecim: quarta di uisoris pars ꝓ reliquo secādo sumpta, in numero partitionis tria ꝓducit: quę tres partes quartas uniꝰ integri demō strant. Si nec id quidē procedit, tū de quinta, aut sexta, aut alia quauis diuisoris parte, ad eūdē modū tentadū. Caeterū si nihil horū iuuare potest: reliquū ipsū ad minimā sui nomenclaturā redigendū est, his, qui sequuntur: modis.

PARTES RELIQVAE, QVAE VNVM INtegrum conficere non possunt: ad minimam sui nomenclaturam rediguntur, ad hunc modum. Numerator et denominator toties diuidiandi sunt: quoties id fieri potest. in singulis (que) dimidiationibꝰ, linea interposita, numerator supra eam: denominator infra scribatur. et postrema dimidiatio notetur. quia qua proportione se habebit ipsius numerator ad denominatorem subiectū: eadem primus numerator denominatorem suū respiciet. Et si in alterutro eorum inter dimidiandum impar occurrit numerus: quia amborum dimidiatio amplius progredi non potest: illic erit sistendum. Continuo (que) maximus numerus ambos cōmuniter numerans est inuestigādus, qui eorū utrū (que) per diuisionem possit exhaurire.

MAXIMVS numerus duos cōmuniter numerans sic inuestigatur. Numeratorem et denominatorem post dimidiationem cessantem a se inuicem subtrahe: quoties id fieri potest. ex qua subducttione frequenter repetita, si eorum alter ad unitatem soluitur: eiusmodi numeri contra se primi ab Arithmeticis uocantur: et ad minorē nomenclaturam [Page] redigi nequeunt. cū omnes numeri contra se primi sua proportione sint minimi. Exempli causa, reliquae sint uiginti sex quinquagesimae: quas ad minimā nomenclaturam redigere uelimus. harum numerator dimidiatꝰ relinquit tredecim. At [...] denominator per mediū sectus creat uiginti quin (que). sic ex dimidiatione, tredecim uigesimae quintę generantur. Vltra propter imparē in utro (que) occurrentē numerū [...] dimidiatio non procedit. (quam)uis, etiam si in alterutro solo fuisset imparitas: dimidiatio cessasset. Quaerendus est ergo per crebram alterius ab altero subductionē, maximus numerus ambos cōmuniter numerās. In primis (que) tredecim, numeratorē a uiginti quin (que), denominatore subducamꝰ: et relinquemus duodecim, ea rursus a tredecim, numeratore subtrahamꝰ. et unū remanebit. quod nobis idicat numeros ex dimidiatione cessante repertos, cōtra se primos esse.

Ꝙ SI ex crebra numeratoris et denominatoris subductione a se inuicē facta, [...] neuter eorum ad unitatem soluitur: tandem omnino reperientur similes. Quod quando compertum est: simul inuentus est maximus numerus ambos cōmuniter nume rans. is uidelicet, in quo similes deprehenduntur. per quē dati reliqui numerator seorsum diuidendus est: at (que) itidē denominator. sic (que) numerus utrius (que) sectionis tam alterū prioris numeratoris numeratorem ea proportione minimū: (quam) alterum prioris denominatoris denominatorē, itidem etiam minimū ea proportione demonstrabit. qui minimā indicabunt nomenclaturam: ad quam partes redigi possunt. At (que) ita manifestum est maximū numerum [Page] duos cōmuniter numerantem eos numerare per numeros ea proportione minimos. Exemplū paratū est. si triginta quatuor centesimas secundas ad minimā nomenclaturam redigere uelimus. statim nam (que) ex dimidiatione decē et septem quinquagesimae primae prodeunt. qui numeri sunt impares et contra se primi. Postea ex prima numeratoris a denominatore subductione, triginta quatuor ex denominatore restabūt. deinde iterum repetita subductio relinquit in denominatore, decē et septem. similitudinē (que) utrius (que) numeri tā numeratoris (quam) denominatoris ostēdit. Is ergo numerus, decē et septem, qui maximus est ambos cōmuniter numerans: eorū [...] utrum (que) diuidat. Quo fiet ut in numero partitionis ex numeratoris quidem sectione unū inueniatur. ex sectione uero denominatoris, tria. Igitur una tertia minima nomenclatura est: ad quam perduci possint uel decem et septem quinquagesimae primae: quae cessante dimidiatione repertę sunt. uel triginta quatuor cētetesimae secūdae: qui pro 17/51 ⅓ positꝰ est numerꝰ.

ALTERVM exemplū dari potest: si reliquae 34/102 ⅓ sint quatuordecim uigesimae octauae: quas ad minimam nomenclaturā reducere uelimus. horum quatuordecim secta per mediū relinquunt 14/28 septem. At uiginti et octo dimidiata creant quatuordecim. sic septem quartędecimae ex dimidiatiōe generātur. [...] ultra prop ter imparem numerū septenariū dimidiatio nō procedit. quęrendus est ergo maximus numerus ambos cōmuniter numerans: qui utrū (que) tam numeratorē (quam) denominatorem diuidendo deleat. is est septem. semel enim septem subducta [Page] numeratorem tollūt. quippe omnis numerus seipsum et numerare et subducere potest. rursus septem bis subtracta denominatorem etiam auferunt. numerus ita (que) partitionis utrius (que) palam indicat septem quartas decimas ad unā secundam redigi. 7/14 ½. Qamobrem cum primū reliquū eandem rationē habeat: quā pro sua portione suum habet dimidiū: ad unam secundā recidit. quatuordecim igitur uigesimae octauae ad unam secundam: quae minima earū nomenclatura est: rediguntur. 14/28 ½

MINIMVS numerus, qui partes quascumque uolumus: denominatas habeat: sic est exquirendus. Post (quam) partes, quas in numero aliquo inuestigare destinamus: suis notis sunt descriptę: numerus, qui partes illas uniuersas habeat: ex denominatorum in se multiplicatione facile procreatur▪ quemadmodū superius obiter admonuimus. Caeterum minimus numerus, qui partes eas capiat: maiorem, ut eruatur: poscit industriam. Is autem proportione minima partes illas omnes habere comperietur: qui minimus numerus est: quem omnes illae numerant. Ita (que) de primis quibus (que) denominationibus primum expedire oportet: at (que) initio inuestigare: quis sit minimus numerus a duabus primis denominationibus numeratus.

Et quidem si hę contra se primae fuerint: ut nullus numerus eas numeret praeter unitatem. quia sunt sua proportione minimae: quod ex alterius in alterum ductu generabitur: erit minimus numerus ab eis numeratus. Sin alius pręter unitatem numerus eas numeret: sumantur partes ea proportione minimae. quae quemadmodum exquirantur: [Page] proximo capite edocuimus. quae cum sunt inuentae: subnotentur sub partibus: quarū respectu sunt minimae. Deinde partes illae maiores, quarum respectu alterę sunt minimę: per numeros sua proportione minimos, maior per minorē, aut minor per maiorem, multiplicatę minimum ab ipsis numeratum producent. Nam secundum EVCLIDIS scitū, Quilibet duo numeri minimos numeros suę ꝓportionis, maior minorem, aut minor maiorem, multiplicātes, minimū ab ipsis numeratum producunt. Qui numerus minimus a duabus primis denominationibus numeratus, ad hunc modum inuentus, cum tertia denominatione statim cōferendus est: minimus (que) numerus ab illis numeratus ad eundem modū exquirendus. Is, post (quam) cognitus erit: cum quarta denominatione similiter conferatur: minimus (que) numerus ab illis numeratus itidem eruatur. Idem (que) indagandi modus per omnes denominationes: si quae ulteriores fuerint: seruetur. Minimus autē numerus ab illis numeratus, qui postremo conferentur: partes omnes propositas minima proportione capiet. Exempla demus: quae rem magis illustrent. At (que) inuestigemus minimum numerum, qui unam secundam, unam tertiam, unam quartam, unam quintam, unam sextam, at (que) unam septimam habeat▪ ½ ⅓ ¼ ⅕ ⅙ 1/7

IN PRIMISQVE exquiramus, quis sit minimus numerus: quem duae primae denominationes numerant. quae quia sunt contra se primae: duo in tria ducantur. et sex enascentur. qui numerus minimus est: quem duo et tria numerant: qui (que) unam secundam, et unā tertiam habeat. Iterum sex cum tertia denominatione, nempe cum [Page] quaternario conferamus. et quoniam numerus binarius ambos cōmuniter numerat: bis (que) in quatuor, et ter in sex reperitur. quia tria et duo, numeri sunt ea ꝓportione minimi: tria sub sex, et duo sub quatuor subnotemus. Deinde uel senarium maiorem numerū per binariū de duobus minima proportione subnotatis, minorem: uel quaternarium minorem per ternarum, de duobus minima proportione subscriptis, maiorem multiplicantes, duodecim procreabimus. qui numerus minimus est: quē sex et quatuor numerant: qui (que) unam secūdam, unam tertiam, et unam quartā proferat. Rursus duodecim cum quarta denominatione, uidelicet cum quinario conferamus. qui numeri, quia contra se primi sunt, at (que) sua proportione minimi: quin (que) in duodecim ducamus. et sexaginta creantur. qui minimus numerus est: quem quin (que) et duodecim numerant: qui (que) unā secūdam, unam tertiam, unam quartam, et unam quintam producat. Deinde sexaginta cum senario numero: quae denominatio proxima est: conferamus. et quoniam senarius et se ipsum per unitatem, et sexaginta per denariū numerat. decem, et unū, qui numeri sunt ea proportione minimi: subsignentur. Ita (que) siue sexaginta maiorem numerū per unum: qui numerus de duobus minima ꝓportione subnotatis, minor est: siue sex minorem numerū per decem, numerū ex subscriptis maiorem multiplicemus: sexaginta iterū prodibunt. qui numerus minimus est a sexaginta, et a sex numeratus: et qui unā secū dam, unam tertiam, unā quartam, unam quintā, at (que) unā sextā capiat. Demū sexaginta cū septem conferamus. qui numeri cōtra se primi, at (que) sua proportione minimi cōperiuntur. [Page] et ideo septē in sexaginta ducentes quadringenta uiginti procreabimus. qui numerus minimus est: quē sexaginta et septem numerant: qui (que) unam secundam, unam tertiam, unam quartam, unam quintam, unam sextam, et unam septimā proferre potest. Hac ratione numerus partes, quascum (que) uolumus: denominatas complectens, exquiritur. Quinetiā si omnes hi denominatores in se multiplicentur: fient quin (que) millia et quadraginta. qui numerus itidem omnes eas denominationes habet. Caeterum numerus eas, minima proportione, capiens is est: quem exquisiuimus. nempe quadringenta uiginti. qui numerus in illo duodecies continetur. quemadmodum ex illius sectione per hunc facienda, cuiuis licet cernere. Alia itidem huius generis exempla, quęcū (que) occurrunt: ad hunc modum explicari possunt.

MODVS EXQVIRENDI PRECIVM QVArumuis partium hic est attingendus. Nam cū ex integrorum diuisionibus partes, quae supersunt: tam crebrae supputantibus occurrant: ut nus (quam) ferme non sint obuiae: ne earū aestimatio longa mora quempiam torqueat inuestigantem: pro quanta pecuniae summa ualeant: operaeprecium esse duximus uiā demonstrare: qua id quo (que) deprehendi possit. Ea autem est eiusmodi. Si per partiū numeratorem precium totius integri, cuius sunt partes: multiplicetur: et numerus ex multiplicatione procreatus per earundem partiū denominatorem diuidatur: numerus partitionis preciū indicabit partiū. Reliquū uero, si quod ex ea sectione restabit: supra diuisorē stantem linea interposita, notetur. Exemplū demus: ut magis quod dicimus: [Page] eluceat. Si singula uini dolia aureis uiginti cōstiterunt: et duarum tertiarum precium scire cupimus. uiginti per partium numeratorem, qui duo continet: multiplicemus: ut sint quadraginta. quae deinde per denominatorē, qui tria continet: diuidamus. et numerus partitionis surget. tredecim aurei. et superest una tertia unius aurei. quae cum precij sit particula: nobiscum cōsyderemus: qua pecunia uiliori possit aestimari: sicut iam dicemus.

MINVTIARVM QVARVMLIBET PECVnię reliquarū aestimatio deprehenditur ad hunc modum. Si pecuniae summa, cuius pars est quoduis reliquū: in argenti libris per diuisionē quęsita est: inuestigemus: quot aureis? quot solidis? uel si libet: quot denarijs? aut quot nūmis sestertijs? aut quot semissibus? aut quot quadrantibus? aut quot sextantibus argenti libra aestimatur? Vel si pecunia prior in aureis per sectionem inuestigata fuerit: exquiramus: pro quot denarijs? uel si libet: pro quot nū mis sestertijs? aut pro quot obolis? aut pro quot quadrā tibus? aut si quod aes signatū uilius in usu est: aureus integer ualeat? Deinde aestimationem totius illius partis, cuius pars ipsum reliquū est: per reliqui numeratorē multiplicemus. numerū (que) ꝓcreatū per ipsius reliqui denominatorem diuidamus. et numerus partitionis aestimationē reliqui monstrabit. Iterum (que) secūdum reliquum, si quod prodibit: notetur. et ulterius, si ita libet: ad eundem modum procedatur. Exemplum repetamus: quod proximo capite dedimus. in quo precium duarū tertiarū unius dolij uiginti aureis empti, tredecim aureos inuenimus. et reliqua erat una tertia unius aurei. Quę, ut sciamus: quid afferat: [Page] unum aureum centum nummis ęstimemus. quorū numerus in unum, reliqui numeratorem ductus tantum centum creat. quae per tria, reliqui denominatorem diuisa in numero partitionis educunt triginta tres nummos. et iterū superest una tertia unius nummi. quam ęreis adhuc, sextantibus, ad eundem modum aestimare potes. Igitur precium duarū tertiarum unius dolij uiginti aureis empti erit, tredecim aurei, triginta tres nūmi, et una tertia unius nummi. Ita (que) in arbitrio est computātis: an pecunię ęstimationem ordine quodam exquirere uelit: ut primum uestiget: quot argenti libras pecuniae summa quaeuis habeat. Deinde, si quid reliquum superest: quot id aureos faciat. Iterum, si quid remanet: quot id denarios creet.

Tertio, si quid restat: quot id producat nummos: et sic deinceps. Vel an statim in primo reliquo ad uilissimā pecuniam descendere malit: ut per eam reliquum aestimet. Verumtamen utramcum (que) uiam elegerit: idem est indagandi modus.

AT SI exintegrorum sectionibus partium occurrant particulae: quarum precium exquirere uelimus: eas prius ad simplices integrorum partes reducamus. Deinde precium ad eundem modum inuestigemus: quemadmodum in simplicibus fragmentis iam diximus.

DE PARTIVN ADDITIONE.

PARTIVM ADDITIO EST PLVRIVM minutiarum seorsum propositarum in unam summā collectio. Ea autem, quando partes eiusdem sunt denominationis: [Page] nullum habet negocium. sola etenim numeratorum fit additio. et numerus procreatus supra breuem lineam notatur: sub qua denominator apponitur. Exempli gratia. si quatuor septimas, quin (que) septimas, sex septimas uis addere: solis numeratoribus per additionem cō iunctis, fiunt quindecim septimę. 4/7 5/7 6/7 15/7

QVANDO uero partes diuersos denominatores habent: si binę minutię fuerint: post (quam) ad communem denominationem sunt redactę: priorū numerator per denominatorem posteriorū, et numerator posteriorū per priorū denominatorem, ad formā. X. literę gręcę: quae speciem crucis diui Andreae refert: multiplicari debent. numeri (que) inde prouenientes ambo simul addi. et cōsurget numerator cōmunis. Et si plures praeterea minutiae diuersos habentes denominatores occurrunt: primis quibus (que), quē admodum diximus: expeditis: proximę sequentes similiter copulentur: donec omnes absolutę sint: eo modo, quo supra dictū est: cū de dissimilium denominatorū reductione facienda pręciperemus. ubi de cōmunium numeratorū additione non nihil etiam attigimus: ne quis id ibi desyderaret: cum de cōmunium denominatorū inuestigatione diceremus. Quamobrem illic explicata exempla, hic tantū spectāda ponemus. ⅔ ¾ duę tertiae et tres quartę denominatorem habent cōmunem, duodecim. numeratorem uero cōmunem, decem et septem: ex additione, quae multiplicationē ad speciem crucis factā sequi debet. 17/12, quibus additae ⅘ quatuor quintae procreabunt 133/60 centum triginta tres sexagesimas.

[Page] QVANDO minutiae integris addendę sunt: si unę minutiae erunt: notentur post ipsa integra. Veluti si 31/37 addendae sint ad. 12. sic notis copulentur. 12 31/37. Ꝙ si plures sint minutiae, et plura integra: prius integra in unam summam componantur. Postea minutiae seorsum eo modo simul additae, quo supra dictum est: his adiungantur. Veluti si ⅔ ¾ ⅘ addendae essent ad. 30. et. 16. Prius 30. et. 16. coniungantur. et fient. 46. tum deinde ipsae minutiae per additionem collectę facient. 2 13/60. quae ad integrorum summam iungantur. et surgent. 48 13/60.

AT SI minutię integris et minutijs addendae sunt: solae minutiae prius addantur, eo modo: quo dictum est. Deinde, quod ex earum summa surget: ipsis addatur integris. et si quae minutiae restabunt: post illa signētur. ueluti si ⅚ addendae sunt ad. 7 ⅜. prius copulentur ⅚ cū ⅜. quae faciunt. 1 5/24. eaiungantur ad. 7. et uniuersorum summa fiet. 8 5/24. Haec uia multo minus habet laboris: (quam) si quis integra in minutias his adiunctas frangat: unum (que) de his corpus faciens postea alteris ea minutijs copulet. id quod quidam faciunt: ad hunc modū. Integra per partium denominatorem multiplicant: et numero procreato partium numeratorem addunt. at (que) ita numerator communis enascitur. cui denominatorem nihil immutatum sub linea subdūt. Veluti in exēplo dato. 7. integra in uicicinum denominatorem. 8. ducunt: et numero. 56. producto [Page] numeratorem. 3. addētes 59/8 faciunt. quas postea coniungunt cum ⅚ eo modo, quo dictū est. et res ad idem recidet.

QVANDO integra integris et minutijs addenda sunt: prius integra cōiungantur. postea adiungantur minutiae. Veluti si. 6. cum. 3 ⅕ copulanda sint. prius. 6. ad. 3. addantur: et fient. 9. quibus apponantur minutiae. et uniuersorū summa fiet. 9 ⅕. Itidem si plura integra cum cō pluribus integris et compluribus minutijs connectenda sunt: prius omnes minutię, in unum corpus colligantur eo modo: quo dictū est. Postea integra, quę inde ꝓueniunt: ad alia integra iungantur. et summa quaesita surget.

AT SI integra et minutiae integris et minutijs addi debent: prius in unam summam integra colligātur. Postea minutiae seorsum eo modo, quo dictum est: copulatae his addantur. Veluti si. 3 ½ ad. 6 ⅓ adiungi debent. prius 3. ad. 6 addātur: et sient. 9. postea ½ et ⅓ simul additae faciunt ⅚: quę ad. 9. adiungantur: ut omnium summa surgat. 9 ⅚. Eodem modo fiat: si complura integra, et cō plures minutiae addendae essent: ut prius integra colligā tur: post copulentur minutiae. ex quibus, siue integra, siue minutiae, siue ambo surgunt: addantur ad priora.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interueniunt: prius hae ad simplices minutias redigantur. et tum demū in singulis secundum ea, quae supra dicta sunt: additio peragatur.

[Page]

DE PARTIVM SVBDVCTIONE.

PARTIVM subductio est summae partium propositarum minoris a maiore subtractio: per quā relictus partium illarū numerus apparet. Oportet autem semper uel minorem summam a maiore: uel aequalem ab aequali subtrahere. nam maior a minore subduci nequa (quam) potest. Propositis ita (que) binis minutijs, at (que) utrarum (que) numeratore in alterarū denominatorem inuicē, in speciem crucis, multiplicatis, illae minutiae maiores esse dicentur: quarū numerator in alterarū denominatorē ductus maiorē profert numerum.

QVAMOBREM si binae minutię eundem denominatorem habent: quarum alteras ab alteris cupias subducere: minor alterarum numerator a numeratore alterarū maiore, si inaequales extiterint: subducatur. et reliquum supra denominatorem ponatur: linea interposita. Exempli gratia. si duas tertias a septē tertijs subtrahas: quin (que) tertiae remanebunt. ⅔ a 7/3 5/3. Vbi uero numeratores et denominatores reperientur aequales: facta subductione nihil erit reliquum.

QVANDO autem minutiae diuersos denominatores habent: prius denominatores inter se multiplicentur: et consurgens numerus denominator communis erit. Deinde priorum minutiarum numerator in posteriorum numeratorem, et numerator posteriorū in denominatorem priorum, ad formam crucis ducatur. Quod ubi factum erit: si numeri procreati fuerint inaequales: minor a maiore [Page] subducatur: et reliquum supra cōmunem denominatorem, linea interiecta, ponatur. Exemplum illud esto. Si quis subtrahere uelit a quatuor quintis duas tertias: denominatoribus in se ductis, prius producatur denominator cōmunis. postea quatuor, numerator alterarū minutiarum in tria, alterarum denominatorem, ducta creabunt duodecim, alterū numeratorem. Iterum duo, alterarum minutiarum numerator, in quin (que), denominatorem alterarum multiplicata generabunt decem, numeratorem alterū: quae, cum sint pauciora: (quam) duodecim: ab illis subducātur: et duo relinquentur. quae supra denominatorem communem prius procreatū locentur. sic facta subductione, reliquae erunt duae quintaedecimę. ⅔ a ⅘ subducuntur: et relinquunt 2/15.

QVANDO minutiae subducentur ab integris: suffecerit eas ab uno integro, in minutias soluto, subducere. et quod tam de integris (quam) de minutijs restabit: totius subductionis erit reliquum. Veluti si 4/7 subtrahendae sunt a 12. sumamus. 1. de. 12. et restabunt. 11. ab illo autem uno demptis 4/7, relinquentur 3/7. quę copulatae cum. 11. restare faciunt. 11 3/7. tantum superest: si 4/7 a. 12. subducimus. Alij integra minutiarum more, supra lineam notant: cui unitatem subijciunt, ad integra delignanda. Deinde quasi minutiae a minutijs subducendae essent: post obliquam numeratorum in denominatores multiplicationem, minorem productum a maiore subducunt: et supra lineam notant. cui denominatorem subdunt. ita. 7. in [Page] 12. ducta creant. 84. et. 4. in. 1. ducta faciunt. 4. quę subducta ab. 84. relinquunt 80/7. Ea, si reducas ad integra: fient. 11 3/7. ita res ad idem recidet. 4/7 × 8/1 80/7 AT SI minutiae ab integris et minutijs subducentur: fieri potest: ut quę subduci debent: minores sint illis: quę integris adiunguntur. id quod si acciderit: tum ab illis minutijs subducantur: et integra intacta maneant. quibus adiunctum id, quod restabit: totius subductionis erit reliquū. Veluti si 4/9 subduci debenta. 6 9/10. ipsis. 6. integris manentibus, 4/9 subducantur a 9/10 eo modo, quo dictum est. et restabunt 41/90. quę si. 6. integris adiungā tur: relinquentur ex ea subductione. 6 41/90. Ꝙ si minutiae: quae subducendae sunt: maiores sint his: quae integris adiunguntur: tunc de integris saltem unum in minutias adiunctas soluatur: ut post (quam) unum corpus ex his factū sit: ab eo fiat subductio. Veluti si ⅘ ab. 8 ½ subtrahi debēt: solue unū de illis. 8. in secūdas: et fiēt 3/2 a quibus deme ⅘. et restant 7/10. quę si iungas cum. 7. relictis de. 8. relinquentur. 7 7/10 tantum restabit si ⅘ ab. 8 ½ subduces. Hęc uia multo breuior est: (quam) si quis omnia integra in minutias adiunctas frangat: et postea ab eis alias minutias subducat. id quod quidam faciūt: qui ducentes. 8. in. 2. et. 1. ad iungentes, creant 17/2. a quibus demūt ⅘ eo modo, quo supra dictum est: et restant. 7 7/10. sic res ad idem recidet.

[Page] QVANDO integra ab integris et minutijs subduci debent: demātur integra ab integris: et quod supererit: totius subductionis erit reliquum. Veluti si. 9. a. 13 ⅗ subtrahenda sunt. eximantur. 9. a. 13. et restant. 4. una cū minutijs ⅗. ita si. 9. a. 13. subducas: id totum, quod relinquitur: est 4 ⅗.

VERVM si integra et minutiae ab integris et minutijs subduci debent: tunc utra (que) integra seorium in minutias adiunctas soluantur: ut una minutiarum facies utrinque consistat. postea (que) subductio eodem modo fiat: sicuti sieri solet: quando minutiae a minutijs subducuntur. qua peracta, denuo colligantur integra, ex eo: quod restabit. Veluti si. 3. ⅖ a. 4 ⅔ subtrahendę sint. 3. soluātur in quintas. quibus adiungatur minutiarum numerator. 2. et surgent 17/ [...]. Item. 4. soluantur in tertias. et numerator minutiarum. 2. his adiungatur. ita fient 14/3. Postea 17/5 a 14/3 demantur: et restabunt 19/15. quae faciunt. 1 4/15. tantum relinquetur: si. 3 ⅖ a. 4 ⅔ eximantur.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interueniunt: prius hae ad simplices minutias redigantur. et tum demum in singulis, secundum ea, quae supra dicta sunt: subductio peragatur.

SI LIBET experiri: num recte subductum sit: addere oportet id: quod restat: ad id, quod subtrahit: et sū ma, a qua fit subductio: instaurabitur. Si plus aut minus redit: erratum est. Nam additionem subductio, subductionem (que) [Page] additio probat: sicuti fit in integris. Veluti si ⅓ demat̄ ab ½. suꝑerit ⅙. adde ⅙: quę relinquitur: ad ⅓: quę subducit̄. et instaurabitur ½. a qua subductio facta est.

DE PARTIVM MVLTIPLICATIONE.

PARTIVM multiplicatio est uel ex partium mutuo in se ductu, uel ex integrorum in partes, uel ex ipsarū in integra, noui fragmenti procreatio: per quam plurima etiam diuersorū generum, singula quę (que) unius in singula alterius ducta, per accumulationem coeunt in unum: et de dissimilibus fit unum fragmentum.

ILLVD AVTEM ad naturam multiplicationis plenius pernoscendam obseruare oportet. Cum integrorum quidem inter se multiplicatio et numero et cumuli quantitate maius edat id: quod procreatur: Econtrario fit in partibus: ut hę multiplicatę, quantitate minores, numero plures inueniātur.

IGITVR fragmentorum inter se multiplicatio fiet ad hūc modum. In primis numeratores omnes inter se multiplicentur. et ex hoc enascetur omnium numerator communis. deinde omnes denominatores itidem in se ducantur. et totius cumuli denominator consurget. Itaque si duas tertias per tres quartas multiplicare uolumus: duo in tria ducta faciunt sex, omniū numeratorem. postea tria in quatuor ducta procreant duodecim, multiplicationis [Page] denominatorem. sic ⅔ per ¾ multiplicatae faciunt 6/12.

CVR ID AVTEM ita fiat: si rationem poscis: illa est: ꝙ si numeratores in se soli ducerentur: uiderentur integra inter se multiplicari. at (que) ita numerator nimium cresceret. Veluti in exemplo dato, dum duo in tria ducuntur: fiunt sex. quae, si nihil praeterea fieret: uiderentur integra. Caeterū quia nō duo integra per tria: sed duę tertiae unius integri per tres eius quartas multiplicandae sunt: similiter partium denominatores in se ducuntur: ut partium diuisione, quę per denominatoris multiplicationē fit: (quanto enim magis denominator crescit: tanto magis partes cōminuuntur) nimia numeratoris augmentatio tantum corrigatur: quantum plus iusto creuerat: at (que) ea ratione ad aequalitatem redigatur. Ita post (quam) etiam denominatores in se ducti creāt duodecim: liquet sex duodecimas esse: quae alioqui sex integra uideri possent.

PORRO si per minutias uelis integra multiplicare: aut minutias per integra: ipsum integrorum numerū per minutiarum numeratorem multiplica: et producetur omniū numerator. cui minutiarum denominator nihil immutatus sub linea supponatur. Veluti si. 2. integra per ¾, aut ¾ per. 2. integra multiplicentur, procreantur 6/4. quę faciunt. 1½. Alij integra ad exemplum minutiarū ita scribunt: ut numerus integrorum supra breuem lineam notetur: et sub ea reponatur unitatis nota: quae integra illa esse significet. iuxta quae sic scripta, quasi minutiae essent: ueras apponunt minutias: quas in ea ducunt. Deinde [Page] numeratorem integrorum pet minutiarū numeratorem, harum (que) denominatorem per denominatorem illorū mul tiplicant. qui modus et expeditus est: et res ad idem recidit. nam cum ipsa unitas integra designans alios numeros non multiplicet: denominator semper inuariatus manet. ita 2/1 ducta in ¾ faciunt 6/4.

SIC obiter expedita est partium duplicatio. quam speciem quidam separatim tractant.

SI AVTEM per minutias uoles integra, alijs minutijs adiuncta, multiplicare: uel e conuerlo minutias per integra minutijs adiuncta: reduc prius integra in minutias sibi adiunctas: ipsa integra multiplicando in illarum denominatorem: numero (que) procreato illarum numeratorem addendo. cui numeratori sic accumulato minutiarum illarum adiunctarum denominator sub linea subdatur. Deinde ipsę minutię iuxta alteras scribātur: numerator (que) per numeratorem, et denominator per denominatorem multiplicetur. Puta si duo integra cum duabus septimis per duas quartas multiplicanda fuerint: duo in septem ducta creabunt quatuordecim: quibus duo, quae sunt in numeratore addita producēt sexdecim. is erit numerator: cui denominator septem capiens sub linea iungi debet. Deinde numerator in alterarū numeratorem ductus creabit triginta duo. Denominatores (que) itidem in se ducti, producent uiginti octo. sic. 2. integra et 2/7 reducta creāt 16/7. quę per 2/4 multiplicata, componūt 32/28. Ea unum integrum faciunt, et 1/7.

[Page] QVANDO integra in integra minutijs adiuncta ducenda sunt: prius integra minutijs adiuncta in sociarum minutiarum faciem reducito: ipsa integra in illarum denominationem ducens, numero (que) producto numeratorem addens. cui numeratori, sic coaceruato, denominator sub linea subdatur. iuxta quas minutias integra minutiarum more, supra lineam notentur: subiecta his unitate. Deinde numeratores in numeratores ducantur: itemque denominatores in denominatores: sicuti fit in minutijs. Veluti si. 9. in. 3⅘ ducenda sint. 3. in. 5. ducta facient 15. quibus addita. 4. creant 19/5. postea. 9. in. 19. ducta producent. 171. quae supra lineam ponantur. Item semel 5. faciunt. 5. quae sub linea locentur. Ita ex hac multiplicatione fient 171/5. quae, si ad integra libet reducere: creabunt. 34⅕.

AT SI integra et minutiae in integra et minutias duci debent: ueluti. 3 4/9 in. 5⅜: utra (que) integra prius in minutias sibi adiunctas redigantur. et postea minutiarum more multiplicatio fiat. Ita (que) in prioribus illis. 3. in. 9. ducta creant. 27. quibus numerator. 4. adiunctus producit 31/9. Similiter in alteris fiat. 5. in. 8. ducta faciunt. 40. quibus numerator. 3. additus educit 43/8. Iā uero 31/9 ductę in 43/8 ꝓducūt 1333/72. quę ad integra reductae faciūt. 18 37/72.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interueniunt: prius hae ad simplices minutias redigendae sunt. et [Page] postea in singulis, secundū ea, quę supra dicta sunt: multiplicatio peragenda.

DE MINVTIARVM PARTITIONE.

PARTIVM diuisio est duorum fragmentorum, alterius alterum oblique secātis, per multiplicationem in unum coitio: per quam tertium enascitur fragmentum, ex utrius (que) illorum aequali complexu generatum. In omni autem partium diuisione fragmentum partibus diuisoris fungens a parte sinistra poni debet: fragmentum uero diuidendum a dextra. quemadmodum fit in integris: ut diuisor sinistram occupet. Deinde fragmenti diuidendi numerator in diuisoris denominatorē multiplicetur: et enascetur sectionis numerator. Postea denominator diuidendi fragmenti in diuisoris numeratorem ducatur: et partitionis denominator proueniet. qui sub numeratore prius procreato, linea interiecta, supponi debet. Ita ad hunc modum numeratorum in denominatores, et denominatorum in numeratores multiplicatio oblique in formam crucis diui Andreae facta fragmentum procreabit diuisoris et diuidendi uim pariter cōplectēs. Exempli gratia. Si per tres sextas diuidere duas tertias uoles: multiplica duo in sex: et fiunt duodecim, numerator operis. Deinde tria in tria ducantur: et procreabuntur nouem, sectionis denominator. Sic per 3/6 diuisę ⅔ faciunt 12/9. quę, si earū numerator per denominatorem secetur: integrum unum et tertiam unius integri partem constituunt.

[Page] SVNT: qui iubent in minutijs diuidendis diuisorem a dextra poni: quasi id magni referat. qui cur id fieri sic uelint: nihil uideo: quando illi ipsi pręcipiunt fragmenti diuidendi numeratorem in diuisoris denominatorem, contra (que) diuidendi denominatorem in numeratorem diuisoris duci. Quod pręceptum si quis seruet: nihil omnino refert: ab utra parte diuisor steterit. Id, quod res ipsa ante oculos posita palam indicabit: si in medio fragmentum diuidendum, at (que) utrin (que) idem fragmentū secans statuatur, ad hunc modum. Nam fragmēti medij [...] diuidendi numerator in diuisoris denominatorem, uel a sinistra, uel a dextra, ductus eundem creat numerum: similiter (que) diuidendi denominator in numeratorem, uel sinistrum, uel dextrum, multiplicatus idem faciet. Quamobrem cum in integris diuisor sinistrā teneat: non temere aliud in partibus statuemus: praesertim cum in explicandis difficillimis quibus (que) quaestionibus, in quibus minutiae interueniunt: hae, quae diuisoris funguntur partibus: suapte natura sinistram teneant. id quod in sequenti libro passim cuiuis licebit cernere. Quas minutias, quando ad diuisionem uentum erit: si de suo loco in dextram transferes: laborem geminabis.

SI QVAERIS: cur ita in minutiarū partitione multiplicatio in formam obliquę crucis fiat: ratio illa est: ꝙ minutiarū exilitas fit per denominatoris multiplicationē. quanto enim magis ille crescit: tanto magis hae comminuuntur: et numero plures fiunt. At e conuerso numeratoris incrementum uel integra progignit: uel partes multo [Page] propiores integris. Ita (que) cum minutiarū inter se multiplicatio, ex numeratoris directo in alterum numeratorem ductu, denominatoris (que) itidem in alterarū denominatorem constet: quemadmodum proximo capite edocuimus: minutiarum uero diuisio, quę suapte natura multiplicationi contraria est: per multiplicationem fieri etiam ipsa debeat: ut tertiū his mutua sectione coeuntibus fragmentum enascatur: quoniam altera illa multiplicatio cō ficitur directe: haec, quę partes secat: necesse est: oblique fiat: ut alterarum numerator in alterarū denominatorem, denominator (que) alterarum in alterarum numeratorem ducatur. alio qui sectio nimia redderetur: nec ad aequalitatem res posset perduci. Veluti in exēplo iam dato. quando per 3/6 diuidere ⅔ uolumus▪ multiplicantes tria, diuidendi denominatorē per tria, diuisoris numeratorem, si nihil praeterea faceremus: uideremur per tria integra partes illas secare: at (que) ita diuidendo, nimium excederemus. Sed quoniam illa tria, per quae diuisimus: non erant tria integra: sed erant tres sextę: propterea diuidendi numeratorem in sex, diuisoris denominatorem ducentes, corrigimus excessum illum: at (que) ita partitionem ad aequalitatem reducimus. tantum enim diuidendi numeratorem supplemus: quantum plus iusto denominatorem eius auximus, partes minuendo.

EN TIBI expeditā partium diuisionem. quā ut plenius pernoscas, illud obseruare oportet: tres earum secā di esse species. Vna est: quando partes maiores a minoribus secant. in qua specie nascunt minutię: quę plus (quam) unū [Page] integrum creant. Exemplum. si per ⅓ seces ½ oriuntur 3/2. quae unum integrum et dimidium componunt. Altera. quando aequales partes diuidunt aequales. ex qua unum creatur integrum. Exempli causa. Si per ½ diuidas ½ fiūt ex ea sectione 2/2: quę unum integrum faciunt. Tertia est: ubi partes minores diuiduntur a maioribus: id, quod in minutijs saepenumero euenit. sic enim hae coire possunt. In hac partes procreatae minus reddunt: (quam) unum integrum. Exempli gratia. si per ½ seces ⅓: prodeunt ⅔: quae tertia parte minus, (quam) unum integrum edunt.

Et ut scias: quē sensum afferat minutiarū partitio: primo numerū aliquē inuestigare oportet: qui utras (que) minutias, tam quae diuidunt: (quam) quae diuidendae sunt: contineat. id, quod facile fit: si utrarum (que) denominatores inter se multiplices: deinde in numero illo procreato duos numeros minores exquiras: alterū, qui partes diuidendas: alterū, qui partes diuisores referat. Ita deprehēdes nihil omnino interesse: utrum alterum illorum numerorum per alterum diuidas: an partes alteras per alteras. Exemplū in prima secandi specie. ubi per ⅓ secamus ½ si numerū quaerimus: qui ⅓ et ½ capiat: tria in duo ducta, sex nobis creant. qui numerus utras (que) minutias cōplectitur. Postea in sex, prius numerum inuestigemus: qui unā eorū tertiam exprimat. is erit duo. deinde iterum [...] alterum numerum inquiramus: qui creet unam eorum secundam. et tria esse comperiemus. Quibus numeris inuentis, nihil referre deprehendemus: [Page] utrū per ⅓ secemus ½: an tria per duo. Nam utrobi (que) res ad idem recidet. quippe ex partium sectione proueniunt tres secundę: quę unū integrum et dimidium faciunt. nam numeratoris per denominatorē partitio unū in numero partitionis producit: ultra quod una secunda superest. Id, quod itidem eueniet: si tria per duo seces.

Alterum exemplum in secunda secandi specie. Si per ½ diuidas 2/4: inde podeunt 4/4. quae unum integrum creant. Idem surget: si quatuor diuidas per quatuor. quippe in octonario numero ex denominatorum in se ductu procreato. 4. unam secundam, et. 4. duas quartas faciunt. At in tertia secandi specie, quando maiores partes diuisoris funguntur partibus: quemadmodum tunc in integris sectio fieri nequit: nisi minor numerus, uel in species sub se cōtentas multiplicetur: uel in minutias soluatur: sicuti mox dicemus: ita dum minutiae coeuntes sic secantur: huiusmodi partitio nil nisi minutias parit: quippe quę unum integrum nequeunt aequare. quia quot partibus numerator a denominatore superatur: totidem desunt ad integrū componendum. Veluti si per ½ seces ⅓: prodeunt ⅔. Quod perinde ualet: ac si duo per tria diuidere moliaris. nam in numero senario utras (que) cōplectente minutias tria unam secundam, duo unā tertiam faciunt. Quae sectio in integris fieri nequa (quam) potest: ut uterque numerus integer maneat. id, quod mox explicabimus. Quamobrem quā do partes quaelibet per alteras quasuis partes diuidendae proponuntur: hoc significatur: ut partes illae alicuius [Page] numeri propositae diuidantur per alteras eiusdem numeri partes propositas.

PRAETEREA cum in integris multiplicatio semper augeat: partitio (que) diminuat: in minutijs cōtra euenit: ut eę multiplicādo decrescāt: et augeantur partiendo. Nam si per unam tertiam una secunda multiplicetur: procreatur una sexta. quę longe minor est: (quam) uel una secunda: uel una tertia. At e conuerso, si per unam tertiam una secunda diuidatur: fiunt tres secundae: quae unum integrum et dimidiū componunt. quod longe plus est: (quam) uel una tertia: uel una secunda. Verumtamen qui minutiarum naturam eam esse meminerit: ut quanto magis in numero denominator crescit: tanto magis quantitate partes diminuantur: id, quod ante saepius admonuimus: statim mirari desinet: cur minutię multiplicando decrescant. cum in his numeri incrementum diminutionem afferat quantitatis. et denominator ꝓ ratione, magis (quam) numerator augeatur. Maius mirum prima facie uideri potest: quomodo partes diuidendo crescant. sed nec id quidem quempiam turbare debet: qui partium diuisionem ab integrorū longe diuersam esse pernouit. Etenim illa fit per subductionem diuisoris a numero diuidendo toties repetitā, quoties id fieri potest. Hęc autem per duorum fragmentorum obliquam in unum coitionem: per quam tertium exoritur fragmentum ex aequali illorum complexu productū. Quare quoniam multiplicationis natura est: ut partes edat minores partitionis, quae ei contraria est: esse debet: ut partes instauret: pleniores (que) eas reddat. Cui rei nō absimile quiddam nonnun (quam) in integris uidere licet: si quis minutiores [Page] nūmos ad librarum aureorum ue summā cupiat redigere. id quod fit per sectionem. si per illum nummorum numerum, quo libra una aut aureus unus aestimatur. uniuersus nummorū numerus diuidatur. Ita (que) quando minutię per minutias secantur: omnia maiora fiunt: quemadmodum aurei at (que) librae congeruntur ex minutioribus nummis. Quocirca partiū diuisio nihil aliud est: (quam) iuestigatio quędā: quot et quę partes ex duabus fragmētis ad tertij fragmenti ꝓcreationē pariter per sectionē coeuntibus oriātur.

SI QVAE uero minutię per integra fuerint diuidendę: ab earum sinistra numerus integrorum supra lineam scribatur: ueluti minutiarum numerator quidam: sub quo, linea interiecta, notetur unitas: quę, quasi quidam denominator, integra designet. tum (que) multiplicatiōe in formā crucis facta, sic fiat diuisio: quemadmodum in alijs minutijs. Nam si per 2/1 diuidantur ¾ post (quam) in speciē crucis multiplicatio fiet: orientur ⅜. Alio modo id fieri potest: et res ad idem recidet: ut denominatore manente intacto, numerator minutiarū per numerum integrorū in partes aequales, si fieri potest: diuidatur. Veluti si per. 2. integra 6/8 secentur: fient ⅜. Alioqui si numerator per integrorum numerum in partes aequales secari non possit: numerus integrorum in denominatorem diuidendi fragmē ti multiplicetur: et res erit confecta. sicuti si per. 2. integra ¾ secentur: prouenient ⅜.

SIC OBITER expedita est partium dimidiatio. quā speciem curiosi quidam separatim tractant: cum longe sit [Page] facilior: (quam) si quis eas per tria, quatuor, aut quemuis alium maiorem numerum secare uelit.

AT SI minutiae per integra et minutias secandae proponuntur: prius integra in minutias sibi adiunctas redigantur: ut una de his minutiarum facies appareat: quae, quia diuisoris partibus fungentur: sinistram occupabūt. aliae uero minutiae, quae sectionem pati debent: dextram. deinde multiplicatione in formam crucis facta, minutiarū more, diuisio peragatur. Veluti si per. 2½ partiri ¾ uoles prius adiunctarū minutiarū denominator. 2. in. 2. ducatur: et fient. 4. quibus additus numerator. 1. educit 5/2, per quas si seces ¾: ex ea partitione prouenient 6/20.

Ꝙ SI integra per minutias diuidi debēt: integra quidem minutiarum more, supra lineam, cui subdatur unitas: a dextra locentur: minutiae autem a sinistra. Caetera uero, quae de multiplicatione in formam crucis facienda iam diximus: nihil immutentur. Exempli gratia. si per ⅔ secare uis 4/1, enascentur 12/2.

PORRO si integra per integra et minutias diuidenda sunt: post (quam) integra, quae minutias adiunctas habent: in earum formā redacta erunt: a sinistra locentur: ꝙ diuisoris fungantur partibus. caetera uero expediantur: sicuti proxime diximus: quando integra per minutias secātur. Veluti si per. 2⅔ secandę sunt 4/1, minutiarū adiūctarum denominator. 3. ducatur in. 2. et fient. 6. quibus numerator. 2. additus creat 8/3. per eas autem si diuidas 4/1, inde [Page] prouenient 12/8: quae faciunt. 1½.

AT SI integra et minutiae per minutias secandę sunt: prius integra in minutias sibi adiūctas redigantur: ut una de his minutiarū facies fiat. deinde a dextra positę, per alteras minutias fragmentorū more secentur. Veluti si per ⅚ partiri. 5¾ uoles. 5. in. 4. ducantur: et. 20. prodibunt. quibus numeratorē. 3. adde: et surgent 23/4. Postea multiplica. 4. denominatorē deuidendi fragmēti in. 5. numeratorē diuisoris. et producētur. 20. Deinde numerator diuidēdi. 23. ducatur in denominatorē diuisoris. 6. et surgēt 138. quę, si per. 20. secta ad integra redigātur: pferēt. 6 9/10.

AD EVNDEM modū fiat: si integra et minutię per integra secādę sunt. id quod quando acciderit: ipsa integra a sinistra locata minutiarū speciē induāt: uti supra dictū est.

QVANDO uero integra et minutiae per integra et minutias diuidi debent: prius utra (que) integra in minutias sibi adiūctas seorsum redigantur: ut omnia minutiarū speciē utrin (que) referant. Deinde minutiae, quę diuidendę sunt: a dextra locatę, per alteras, fragmentorū more secētur. Veluti si per. 3 2/9 partiri. 6 1/7 cupis. 3. in. 9. multiplicata et producto numerator additus facient 29/9. Item. 6. in. 7. ducta producto (que) numerator adiunctus proferent 43/7. Postea si per 29/9 secētur 43/7: ex ea partitione 387/203 prodibūt. quae ad integra reductae faciunt. 1 184/203.

VBICVMQVE autem minutiarum minutiae interueniunt: prius hę ad simplices minutias redigendae sunt: et [Page] postea in singulis, secundum ea, quae supra dicta sunt: diuisio peragenda.

SI CAPERE experimētū libet: an partitio recte facta sit: sectionis numerū in diuisorē multiplica: et numerus diuidēdus producetur. nam multiplicatio diuisionē, et multiplicationē diuisio ꝓbat in minutijs: quemadmodū fit in integris. Igitur quando per ⅓ secātes ½ educimus 3/2. quae faciunt. 1½. recte diuisum esse probabimus: si 3/2 in diuisorē ⅓ ducemus. ita 3/6 pducentur. quę ad minimā nomenclaturā redactae faciūt ½. quod fragmentū diuidēdū erat.

IN MINVTIIS OPERAEPRECIVM ILlud admonere putauimus: in quo multum exercitatos labi saepenumero uidimus. Quandocum (que) minutiae: quae diuisoris fungūtur partibus: et quae sunt diuidendę: eundem denominatorē habent: qui in utris (que) suo numeratore minor reperitur: maior (que) existit earum numerator: quae secandę sunt: (quam) quę secare debent: quoniā tunc in utris (que), minutiae totidem integra repraesentant: quoties utrius (que) numerator denominatorem suum continet: partitio nequa (quam) oblique in formam crucis fiat: sicuti fit in minutijs. sed denominatoribus manentibus intactis, maior diuidē di numerator per diuisoris numeratorem, qui minor est: integrorum more secetur. Alioqui si supputator illas sicut minutias diuideret incautus: cum integra designent: et minor numerator maiorem partiri possit: in labyrinthum inextricabilem ignorans sese immergeret. Exemplis rem illustremus. Esto per 5/3 secandae essent 7/3. denominatoribus [Page] utrius (que) nihil immutatis, septem per. 5. diuisa educent unum integrum et duas quintas. Aut si per 8/6 partiri cupias 10/6 per octo secans decem unum integrū procreabis: et supererunt 2/8: quae reddunt ¼.

Et (quam)uis in his exemplis nihil referre uideatur: utro ea modo secentur: cum etiam si minutiarū more fieret partitio: nihilominus post reductionem minutiarū ad integra res ad idem recideret: tamen pręter (quam) ꝙ uia iam monstrata illas reducendi uitat ambages: multę supputationes occurrent: in quibus error immensus orietur: si ritu partium ea diuidas. Et pręsertim ubi ex diuersis integris, et uarijs minutijs in unum additis, unus omnium diuisor colligitur: qui multa et uaria secar̄e debeat. Id, quod in explicandis numerorum nodis, in sequenti libro, manifestum per exempla faciemus.

IN INTEGRIS NVMERIS MAIOR NON diuidit minorem: cum in minore maior non contineatur. uti superiori libro, de partitione praecipientes, admonuimus. Caeterum maior numerus minorem frangere in minutias potest. Et, ut scias: quonam modo ea sectio fiat: quot (que) et quales partes faciat: illud obserua: ut minorem numerum diuidendum supra breuem lineam ductam, numeratorem statuas: maiorem uero, qui diuisor est: denominatorē lineae subijcias. Sic tot enascentur partes: quot diuidendus, qui numerator est: unitates capit. tales autē erunt: quales denominator, qui diuisor est: demonstrabit. Quae continuo ad minimam sui nomenclaturam redactae [Page] manifestabunt: quot et quales partes prodeant: quando maior numerus in minutias diuidit minorem. exemplum. si per. 30. secare. 15. uelimus: fiunt 15/30. quę ad minimā nomenclaturam redactae faciunt ½. Itidem si per. 40. partiri cupiamus. 15. sectio facit 15/40. quę sunt ⅜. Similiter, si per. 13. secare uelimus. 7. prodeunt 7/13. Minor numerus supra lineam numerator efficitur: ꝙ in minutijs is locus sit numeri diuidendi. Maior uero numerus sub linea denominator fit: ꝙ eum locum in minutijs diuisor obtineat. Et quemadmodū si numerator maior esset: denominator minor eum secans proferret integra: sic e cō uerso, quando denominator numeratore maior est: enascuntur minutiae: quibus tantum deest ad integrum componendum: quanto numerator denominatore est minor. Ita numerus minor diuidi per maiorem duobus modis potest. Vel quando res a minore numero numeratae ducuntur in species sub se contentas: ut numerus productus maioris sectionem ferat. ueluti si unus aureus, inter quatuor uiros diuidendus, multiplicetur in minutiorem pecuniam: ut in quatuor partes distribui possit. Vel quando numerus maior minorem in minutias secat: id quod fieri potest eo modo, quo iam diximus.

Haec (quam) (quam) attinent ad sectionem integrorum: quia tamen huiusmodi partitio producit minutias: de quibus ibi praepostere fuisset dicendum: in hunc locum potius releganda fuerunt.

[Page]

DE RADICVM INVESTIGATIONE IN MINVTIIS.

QVADRATI et cubi lateris inuestigatio eodem modo fit in minutijs: quo in integris fieri solet: nisi ꝙ geminandus est labor: cum tam in numeratore (quam) in denominatore radix sit quaerenda. Latus autem in numeratore inuentum numeratoris erit radix. quod uero ex denominatore eruetur: denominatoris radix habebitur. inter quae linea media secanda est. Exemplum de latere minutiarum quadrato. Si de 25/16 radicem cupis eruere: numeratoris radicem inuenies. 5. denominatoris. 4. Sic linea distinguente, fiunt 5/4. Similiter de 46/94 radix quadrata capit 6/9. et reliquę supersunt 10/13. Radix uero cubica earundem minutiarum habet ¾. et restant 19/30.

DE RADICIBVS PROPIVS INVEniendis in numeris ne (que) quadratis ne (que) cubis.

VBI IN numero, qui ne (que) quadratus est: ne (que) cubus: radix est inuenta: semper aliquid erit reliquū: siue in prima inuestigatione id eueniat: siue in ulteriore: de qua iam dicemus. Nam si nihil restaret: is numerus quadratus aut cubus esset. Nonnun (quam) autem in amplo numero reliquum ipsum ingens erit. Prima nam (que) inuestigatio radicem deprehendit maximi numeri quadrati, aut cubi in his contenti. inter quem et numerum illum, [Page] qui ne (que) quadratus neque cubus proponitur: ipsum reliquum differentiam manifestat. Quocirca in eiusmodi numeris ueram radicem assequi nun (quam) licet: tam et si propius multo, (quam) in prima inuestigatione factum est: accedi potest: ut scias: quot partes cuiusuis denominationis supersint. Id quod in quadratis fiet ad hunc modum.

POST primam in integris radicis exquisitionem, in qua reliquum superest: numerum illum non quadratum, cuius in integris radix inuenta est: per denominatorē cuiuscū (que) partis, quā optas: multiplica. Deinde per eūdem denominatorē iterū multiplica numerū productū. Quod cū factū erit: radicem numeri per secundā multiplicationem producti, exquire. Haec nam (que) radix secunda cunctas illius denominationis partes in numeri primo propositi radice cōtentas demonstrabit. At (que) ideo si per partium denominatorem radicem illam secundam seces: numerus sectionis proferet primae radicis integra, et praeterea etiam partes aliquot illius denominationis. Caeterum aliquot minutiae semper restabunt: quae minus (quam) unam partem faciant: ut ad integrum formandum partes illae nun (quam) deduci queant.

VERBI gratia, si scire libet: quę sit radix numeri octonarij. hanc esse. 2. deprehendes. et quatuor erunt reliqua. Iam si scire uelis: quot quartae unius integri supersint in radice. Primum. 8. per quatuor multiplica: et prodeunt triginta duo. Iterum triginta duo in quatuor ducito: et producentur. 128. Huius secundo producti radicem perscrutans comperies eam. 11. totidem namque [Page] quartae sunt in octonarij numeri radice: hoc est, duo integra, et tres quartae, praeter septem in minutijs reliqua: quae quartam explere nequeunt. Ita (que) ultra primam inuestigatigationem, quae. 2. integra in radice protulit: secunda tres pręterea quartas eruens propius accessit.

QVOD SI etiamnum partium particulas inuestigare pergens scire uelis: quot quartae unius partis quartae, ultra duo integra et tres quartas supersint: ad eundem modum, sicut de integrorum partibus exquirendis iam dictum est: numerum, cuius radicem secundo indagasti: semel in denominatorem particulae: et iterum in productum ducere debes: atque in numero secundo producto radicem inuestigare. quae, post (quam) inuenta erit: cuntas illius denominationis partium particulas in numeri primo propositi radice contentas demonstrabit. Illam autem radicem si per denominatorem particularum seces: numerus sectionis partes integrorum demōstrabit. et id, quod erit reliquum: partium particulas.

VERBI gratia. 128. cuius numeri in superiori exemplo secundo producti radicē inuestigauimus per quatuor multiplicemus: inde nascentur. 512. Postea iterum ducamus quatuor in. 512. ita ꝓducentur. 2048. huius numeri radicem quęrentes deprehendemus eam esse. 45. et supersunt. 23. Igitur. 45. quartę unius partis quartae in octonarij radice erunt: quas si diuidamus per quatuor numerus partitionis mōstrabit. 11. et unum erit reliquum. Qua ratione comperiemus in octonarij radice undecim partes quartas, nempe duo integra et tres quartas, atque [Page] insuper unam quartam unius partis quartae contineri.

Ꝙ si cui est animus amplius progredi: poterit ad eundem modum etiam parcicularū particulas ulteriores perscrutari.

IN CVBIS quo (que) numeris ad eundem omnino modum omnia fiant. nisi ꝙ numerum illum non cubum cuius radix in integris inuenta est: non solum per denominatorem partis, quamcum (que) uoles: multiplicare oportet: et iterum in productum; sed (ut ratio cuborum postulat) tertio denominatorem illum in numerum ex secunda mul tiplicatione productum ducere debemus. Quo fiet: ut numeri tertio producti radix inuestigata cunctas illius denominationis partes in primi cubi radice cōtentas manifestet. Itidem etiam progredilicet ad partium particulas in his inuestigandas.

ALIO MODO PER COMPENDIVM ID fieri poterit: ad hunc modum: ut denominatorem partium, quas exquiris: semel in reliquum, quod post primam in integris radicis exquisitionem restabit: at (que) iterum in productum: ducas. Postea per eundem partium denominatorem radicem ipsam in integris inuentam multiplica: numerumque illum partium radicis sic productum duplica. Deinde numerum, qui ex denominationis partium semel in radicis reliquum atque iterum in productum multiplicatione productus est: sic diuidere per numerū ex duplicatione generatum debes: ut tamen tantum supersit: quantum numerus sectionis postea in se ipsum ductus, propemodum delere subductus possit.

[Page] Nam in his numeris non quadratis semper (uti diximus) aliquot minutiae restabunt. Ita numerus sectionis radicis partes ex reliquo nascentes monstrabit. Verbi gratia. Si ex octonario radicem quaeris: inuenies eam. 2. et supersunt quatuor. Iam si scire cupis: quot quartae sint in reliquo. multiplica quatuor reliquum per quatuor denominatorem partium: quas quaeris. et prodeunt sedecim.

Iterum denominator quatuor in sedecim ductus creat sexaginta quatuor. Deinde radicem. 2. multiplica in denominatorem partium quatuor, et fient. 8. duplica productum. 8. et procreantur sedecim. Iam uero si diuidas sexaginta quatuor per sedecim: quater in illis diuisor haberi potest: sed tunc nihil restabit: quod numerus partitionis postea in se ductus deleat. quare si semel minus, (quam) alioqui fieri posset: diuisorem sedecim tollamus: ter sedecim facient quadraginta octo: et supererunt adhuc sedecim: a quibus si numerum sectionis. 3. in se ductum, qui facit nouem: subducas: restant septem. sic numerus sectionis ostendit, ex reliquo radicis fieri tres quartas, pręter minutias restantes. 7.

AT SI IN hoc exemplo partium particulas inuestigare perges, ueluti quartarum quartas: denominatorem particularum, quas quaeris: nempe quatuor semel in reliquum post secūdam radicem partium inuentam restans, uidelicet septem ducito. inde (que) fient uiginti octo. Iterum etiam eundem denominatorem quatuor in productum uiginti octo multiplicato. et surgent. 112. Postea earundem particularum denominatorem quatuor ducere oportet [Page] in omnes partes totius radicis hactenus inuentas: quę sunt undecim. nam duo integra, quę prodierunt ex prima inuestigatione: et tres quartae, quae ex secunda: faciunt undecim quartas. quo fiet: ut quatuor in undecim ducta procreent quadragintaquatuor. quem numerum productum si duplices: nascentur octoginta octo. Per ea autē si sic diuidas. 112. ut numerus sectiōis postea in se ipsum ductus, quoad fieri potest: totum diuidendum auferat: unitas diuisor sufficiet. ita octoginta octo semel a. 112. extracta, relinquunt uiginti quatuor. et postea unitas in se ducta adhuc unum creat: quod auferendum est a. 24. et restabunt uiginti tria. Ita numerus sectionis unā quartam unius quartae ex secundo reliquo prodire manifestat. et supersunt. 23. Hac ratione etiam ulteriores particularum particulas, quatenus progredi uelis: consectari licet.

RATIONEM uero, cur quadratum per denominatorem partium bis sit multiplicandum: Socrates apud Platonem Menonis puero reddit. Cuius sententiam paucis explicabo. Quadratum lineae bipedalis quatuor erit pedum. nam cum figura duos pedes longa et unum alta duorum sit pedum:

[figure]

fit ut figura duos pedes longa et itidem duos alta quatuor pedum existat. Quadratum autem duplae longitudinis sedecim

[figure]

capiet pedes. quoniā cū figura longitudine dupla et sola duorum pedum altitudine pedes octo complectatur:

[figure]

figura, quae longitudinis duplę, et altitudinis etiam duplae erit: sedecim pedes capiet.

[figure]

[Page] SIMILITER IN OMNIBVS ALIIS QVAdratis multiplicandis opus est duplici multiplicatione. quoniam prima multiplicatio solum auget in longitudinem. at secunda, quae fit in productum: altitudini tantundem adijcit. Exempli causa. Esto quadratum propositū quatuor, si libet inquirere quadratum: cuius quodque latus duplum sit ad quodque latus propositi quadrati. duplica quadratum propositum. inde octo nascuntur: et tantum figura creuit in longitudinem. Longitudo enim dupla euasit: sed altitudo inuariata manet. Igitur quadratum non est. Quare si iterum duplices productū: inde fient sedecim. atque ita tantundem etiam in altitutudinem crescet: cum sit dupla ad altitudinem priorem.

Quod autem SOCRATES in lineis puero sub oculis demonstrauit: id EVCLIDES in numeris, qui formari possunt in modum quadratorum: doctis ratione patefacit: cum inquit. Si fuerint duo numeri, ambo quadrati: erit proportio alterius ad alterum, tan (quam) sui lateris ad latus illius, proportio duplicata. Si uero ambo fuerint cubi: erit proportio alterius ad alterum, tan (quam) sui lateris ad latus illius, proportio triplicata.

Ꝙ SI COMPENDII DATI RATIONEM quaeris: id ita habere sub oculis uidere licebit, hoc exemplo. Finge numerum propositum esse tria: huius radicem cōstat esse unum, et supersunt duo. Iam si scire libet: quot quartae unius integri ad illa duo respondere debeant: duc denominatorem quatuor in tria: et fient duodecim. Iterum [Page] multiplica quatuor in productum duodecim: inde nascentur quadraginta octo. Huius numeri figuram quadratā efforma, hoc modo.

IN HAC figura sedecim respondent

[figure]

ad maximum quadratum, sub primo numero. 3. nam ex ductu quatuor in unum. et iterum in productum fient sedecim. Ita (que) hoc quadratum resecabis: cuius radix nota 4. (quia nascitur ex ductu radicis integrorum in denominatorem partium) ad radicem unum in integris prius inuentam respondet. Quod superest autem: respondet ad reliqum numeri primo propositi. quippe quod nascitur ex ductu denominatoris partium quatuor in reliquum 2. et iterum in productum octo ex quo procreantur triginta duo. Ex illis autem triginta duobus, quae ultra quadratum, quod est sedecim: supersunt duodecim illa, quae gnomonem extremum non absoluūt (Voco autem in numeris gnomonem, id: quod constat ex duobus numerorum lateribus angulum rectum facientibus, instar gnomonis geometrici) ueluti reliquum maximi quadrati triginta sex sub quadragintaocto resecanda sunt. Ita restant gnomones duo: qui cum quadrato sedecim quod resecuimus: conficiunt maximum quadratum. 36. sub. 48. cō tentum: adijciunt (que) radici superiori quatuor: quę ad radicem unum in integris inuentam respondet: duas unitates. uti in figura liquet. et reliquū huius quadrati triginta sex, quod est. 12. adiecisset tertiam: si modo ad gnomonem absoluendum, unum insuper accessisset. Ita (que) ante [Page] oculos cernere licet: gnomonem quem (que) quadrato resecato applicatum, in se complecti longitudinem et altitudinem ipsius quadrati sedecim, hoc est duplum radicis quatuor: et insuper in angulo restare quadratum numeri gnomonū. is est in hoc exēplo, binarius. sunt enim duo gnomones. Quare diuisio numeri procreati ex ductu denominatoris in reliquum et iterum in productum, facta per duplum radicis, sic tamen, ut numerus sectionis in se ductus subduci possit a reliquo partitionis: ostendet: quot sint gnomones. Quo fiet: ut liqueat: quot partes ad reliquum respondentes, addendae sint radici prius in integris inuentae. nam ei gnomo quisque unitatē in partibus addit.

AD EXERCENDOS IVVENES PLVRImum iuuabit nonnullas interrogationes subnectere: per quas ea, quae de minutiarum inter se comparata magnitudine dinoscendo, deque integrorum et minutiarum additione, subductione, multiplicatione, et diuisione hactenus dicta sunt: melius intelligantur. Sunt in his quo (que) quędam: quę ad enarrationem partium quotarum in numeris et in minutijs, at (que) etiam ad partium aliarum in alias transformationem faciunt. Ea autem rudimenta ex Arithmetica Lucae de Burgo, cuius nomen in ea arte non parum neque abs re celebratur: excerpsimus. quae sane ad ingenia studio sorum in numeris uegetanda magnopere conducent.

[Page]

QVOMODO, PROPOSITIS BInis minutijs, scias: utrę sunt maiores.

SI QVINQVE sextę conferantur cum tribus quartis: utrae maiores erunt? cōtinuo scies: si utris (que) minutijs iuxta alteras notatis, numeratorum in denominatores, denominatorum (que) in numeratores, obliqua multiplicatio fiat: et uterque numerus productus supra suas minutias locetur. Quippe utercum (que) illorum maior erit: maiores suas minutias ostendet. Hac ratione ⅚ maiores sunt: (quam) ¾. Nam supra ⅚. 20 erunt. supra ¾. 18.

At ubi integra et minutiae cum alijs integris et minutijs conferentur: si integra erunt paria: de minutijs solis iudicandum erit: uti supra dictum est. Ꝙ si integra altera alteris imparia occurrant: quae maiora sunt: uincunt altera quantumuis magnas minutias adiunctas habentia. [...]

INTERROGATIONES PER additionem soluendae.

AQVO NVMERO subduci debent. 13. ut restent 12? Item a quo numero subtrahentur. 3 ½. ut relinquantur. [Page] 4 ⅓. Huius generis interrogationes, siue de integris, siue de minutijs quaeras: per additionem soluuntur. Nam si. 12. ad. 13. addas: surgent. 25. quae summa est: unde illa. 13. eximi debent: ut restent. 12. Similiter in minutijs, adde. 3 ½ ad. 4 ⅓. et fient. 7 ⅚. unde subduci debēt illa. 3 ½. ut. 4 ⅓ relinquantur.

Interrogationes per subductionem soluendae.

CVM QVO numero coniungenda sunt. 23. ut fiant 39? Item cum quo numero copulanda sunt. 6 ⅔. ut fiant. 13 ⅖? Huiusmodi quaesita per subductionem soluuntur. Nam si. 23. a. 39. subducas: restabunt. 16. quę iuncta ad. 23. faciunt. 39. Similiter in minutijs, subducito. 6 ⅔ a. 13 ⅖. et supererunt. 6 11/15. quae si iungas ad 6 ⅔. surgent. 13 ⅖.

SI QVAERIS quantum ⅖ superant 3/7. per subductionem scies. Nam post (quam) eo modo, quo dictum est: deprehendisti 3/7 maiores esse: (quam) ⅖: alteras ab alteris subducito: et 1/35 restabit. quę differentiam inter has minutias monstrabit. Id probare licet: sicut in subductione. Nam si 1/35 addas ad ⅖. fiet summa aequalis ad 3/7. Itidem si quęratur: quę sit differentia inter ⅖ et 3/7. eodē modo scire licet.

[Page]

INTERROGATIONES PER multiplicationem soluendae.

QVIS numerus in. 5. diuisus erat: quando in numero sectionis. 17. habentur? Item quis numerus in. 4 1/7 diuisus erat: quādo numerus sectionis profert. 2 ⅛? Multiplicatio rem aperiet. Nam si. 5. in. 17. ducas: fient 85. qui numerus in. 5. sectus educit in numero sectionis 17. Itidem in minutijs. 4 1/7 ducta in. 2 ⅛, faciēt. 8 45/56. Is numerus in. 4 1/7 sectus in numero partitiōis reddit. 2 ⅛.

QVOMODO PARTIVM PARticulae sunt exquirendae.

QVOMODO exquiras ⅔ de ⅘. Aut 3/7 de 8/9. Hoc perinde est: acsi quęras. quę sunt ⅔ quatuor quintarum. Aut 3/7 octo nonarum. Igitur huiusmodi quęsita, quae de minutiarum minutijs occurrunt: per multiplicationem minutiarum alterarum per alteras expediuntur. Nā ⅔ de ⅘ sunt 8/15. Item 3/7 de 8/9 sunt 24/63. quae ad minimā nomenclaturam redactae faciunt 8/21.

QVAE sunt ¾ de. 2 ½? Interrogatio haec, nisi ꝙ integra minutijs sunt admixta: pręcedēti similis est. [Page] Quocirca per multiplicationem simili modo soluitur. Nam ¾ de. 2 ½ sunt. 1 ⅞.

Interrogationes per diuisionem soluendae.

PER QVEM numerum diuisa sunt. 36. quando. 9. prodierunt in numero sectionis? Item per quem numerum diuisa sunt. 12 ¼. quādo numerus partitionis habet. 3 ½? Huiusmodi interrogationes per sectionem soluuntur. Quippe. 36. per. 9. secta, monstrant. 4. in numero partitionis. Nam quādo duo numeri aliquem componunt: si is per illorum alterum secetur: alter in numero partitionis exit. Ita cum quater. 9. faciunt. 36. si numerum illum compositum seces per. 9. exeunt. 4. Si per. 4. exeunt. 9. Similiter. 12 ¼ per. 3 ½ diuisa, educunt. 3 ½ in numero partitionis.

PER QVEM numerum multiplicare oportet. 2 ½: ut 7 ⅔ producātur? Hoc genus interrogationum per diuisionē explicatur. Nam si per. 2 ½ seces. 7 ⅔. ex ea partitione prouenient. 3 1/15. It est numerus: in quem, si. 2 ½ ducas: producentur. 7 ⅔.

Quomodo exquiras in numeris, quota pars maioris numeri sit minor. et in minutijs, quota pars maiorum minutiarum minores existant.

[Page] QVOTA pars sunt. 4. de. 12. aut ⅔ de ¾? Hoc facile sciri potest tam in integris, (quam) in minutijs: si id, quod minus est: per maius in minutias eo modo diuidas: quo de utris (que) supra dictum est. Nam si. 4. per. 12. seces: fient 4/12. quae sunt ⅓ de. 12. Et si per ¾ diuidas ⅔. prodibūt 8/9. Igitur dicam ⅔ esse 8/9 de ¾. Id (que) ita esse uel ex hoc capere experimentum licet: ꝙ si sumas 8/9 de ¾. id, quod alteras minutias in alteras ducēdo facere licet: inuenies eas esse ⅔.

Minutiarum aliarum in alias transformatio.

QVOT decimae octauae sunt in 5/9? Hoc genus uocant minutiarum aliarum in alias transformationem. id, quod fit per partitionem. Nam si per 1/18 diuidas 5/9. ex ea sectione prouenient 10/18. quae sunt 5/9. sic in 5/9 cō periuntur 10/18. Eodem modo quaelibet aliae minutiae in alias quaslibet per sectionem transfigurantur: etiam si integra sunt adiuncta. Veluti si quaeratur: quot tertiae sint in. 3 ½. per ⅓ diuide. 3 ½. et ꝓuenient. 10 ½. tot sunt tertiae in. 3 ½. Hunc modum partes alias in alias transformandi, supra etiam dedimus: quando de partibus dissimilibus ad similitudinem redigendis: praecepimus. (quam) (quam) ibi de minutiarum sectione, quae non dum explicata erat: de industria reticuimus.

[Page]

Interrogationes per plura et diuersa soluendae.

CVM QVOT octauis supputari debent ⅗: ut fiant 8/9? Principio consydera: cum quo numero iungēdę sunt ⅗: ut surgant 8/9: id, quod per subductionem scies. Nam si subducas ⅗ ab 8/9: restabunt 13/45. cum eo numero copulāda sunt ⅗: ut fiant 8/9. Iam uero uidendū est: quot octauas 13/45 capiant: id, quod scies: si per ⅛ seces 13/45. sic in numero sectionis prodibunt. 2 14/45. cum tot igitur octauis, hoc est cum duabus et 14/45 unius octauae, copulandae sunt ⅗: ut surgant 8/9. Eodem modo de similibus fiat.

SVbtrahātur ⅗ a tot septimis: ut ½ supersit. Principio uidendum: a quo opus est subducere ⅗: ut ½ restet. id, quod deprehendes: si ⅗ ad ½ addas. ita surgent. 1 1/10. a quibus demere oportet ⅗: ut ½ relinquatur. Deinde uide: quot septimae sunt in. 1 1/10. id, quod scies: si per 1/7 seces 1 1/10. ita surgent. 7 7/10. quae sunt. 7. septimae et 7/10 unius septimae: de tot septimis subducere oportet ⅗: ut ½ supersit. Id ita esse probabis: si capias. 7. septimas: quae sunt unum integrum. postea sumas. 7. decimas unius septimae: quae sunt 7/70. et faciunt 1/10. Sic in summa fiunt 1 1/10. sicuti iam dictum est. Similiter fiat in huiusmodi quaesitis.

[Page] SVbducatur differentia: quę est inter ⅖ et ⅚ de tali numero: ut restet differentia: quae est inter ½ et 5/9. Primum per subductionem exquirenda est differentia inter ⅖ et ⅚. ea est 13/30. Deinde eodem modo quęre differentiam inter ½ et 5/9. et eam inuenies 1/18. Postea ambas eas differentias adde: et surgent 22/45. a quo numero fiat subductio primae differentiae, uidelicet 13/30: et altera differentia, quae quaesita est: restabit.

PER QVOT quintas multiplicanda sunt. 2 ½: ut inde crescant. 7 ⅔? Primum uide: per quem numerum opus est multiplicare. 2 ½: ut fiant. 7 ⅔. id, quod scies: si per. 2 ½ diuidas. 7 ⅔. ita exibunt. 3 1/15. in quę si. 2 ½ ducas: produces. 7 ⅔. Deinde uidendum: quot sunt quintae in. 3 1/15. id qd facile cognosci potest: si ꝑ⅕ seces. 3 1/15. Nam inde prouenient. 15 ⅓. quae sunt. 15. quintae et ⅓ unius quintę. per tot quintas multiplicanda sunt. 2 ½: ut fiant. 7 ⅔.

SVmantur ⅔ de tot octauis: ut ½ inde proueniat. Hoc tantum ualet: ac si dicas. ½ cuius numeri faciet ⅔? uel per quem numerum multiplicanda sunt ⅔: ut fiat ½? Sicuti supra edoctus es: per ⅔ diuide ½. et prouenient ¾. Huius numeri ½ faciet ⅔. Nā ⅔ de ¾ sunt ½. Iam uero ut scias in ¾ quot sūt octauę: si per ⅛ seces ¾: prouonient. 6. [Page] Ita (que) de 6/8 sumēdae sunt ⅔: ut fiat ½.

DIuidātur. 7 ½ per tot: ut inde proueniāt ⅚ de. 17 ½. Principio sumendae sunt ⅚ de. 17 ½ eo modo, quo dictum est. eę sunt. 14 7/12. Is numerus partitionis illius esse debet. Postea uidendum: per quem numerum secā dae sunt. 7 ½ ut inde proueniant. 14 7/12. id, quod fiet: sicut supra dictum est: si per. 14 7/12 diuidas. 7 ½. ita exibunt 90/175: quae sunt 18/35. per quae diuidere oportet. 7 ½: ut inde proueniant. 14 7/12. hoc est ⅚ de. 17 ½.

DIuidantur. 7 ½ per tot nonas: ut inde proueniant 2 ¼. Primo uidendum: per quem numerum secanda sunt. 7 ½: ut inde proueniant. 2 ¼. id quod scies: si per 2 ¼ seces. 7 ½. ita proueniēt. 3 ⅓. per eum numerum diuidere oportet. 7 ½: ut exeant. 2 ¼. Iam uero quot nonę sunt in. 3 ⅓: cognosces: si ea per 1/9 diuidas: proueniēt enim 30. Ita (que) per. 30. nonas diuidēda sunt. 7 ½: ut. 2 ¼ proueniant.

DVcantur toties ⅗ in ⅚: ut inde fiant ⅝. Primū ⅗ ducantur in ⅚. et producet ½. Postea multiplica ½ in in eum numerū: qui faciet ⅝ quem inuenies: si per ½ seces ⅝. ita prouenient. 1 ¼. in quem numerum si ducas ½: producentur ⅝. Thema enim hoc innuit: ut numerus ex multiplicatione ⅗ in ⅚ productus, ducatur in eum numerum: [Page] qui faciat ⅝.

QVęro 7/9 de quot sextis existunt ⅗. Primum uide 7/9 cuius numeri sunt ⅗? Id, quod scire licet: si particulas quotas exquirens, per ⅗ diuidas 7/9. inde enim ꝓuenient. 1 8/27. cuius numeri 7/9 faciunt ⅗. Postea quaere: quot sextę sunt in. 1 8/27. id, quod scies, secans ea per ⅙. ita inuenies. 7 7/9 de tot sextis 7/9 existunt ⅗. Hoc est de 7. sextis, et. 7. nonis unius sextae.

SVbducantur ⅔ de ⅚ a tali numero: ut restent ¾ de 5/7. Primum cape ⅔ de ⅚: quę sunt 5/9. Postea sume ¾ de 5/7: quae sunt 15/28. eas adde ad 5/9: et fiēt. 1 23/252. de quo numero si subductio fiat: restabit: quod quaesitum est.

SVbducatur dimidium trium quartarum de. 12 ½ a tali numero: ut quin (que) sextae duarum tertiarum de. 10 ¼ restent. Ptimum uide: quę sint ¾ de. 12 ½. eę sunt. 9 ⅜. quorum cape ½: quę est. 4 11/16. tantum est dimidium trium quartarū de. 12 ½. Deinde uide: quę sint ⅔ de. 10 ¼. eę sunt. 6 ⅚. quorum cape ⅚: quae sunt. 5 25/36. Iam uero secundum thema subduci debent. 4 11/16 a tali numero: ut restent. 5 25/36. Quocirca adde. 4 11/16 ad. 5 25/36. et surgent 10 55/144. Is est ille numerus: a quo subductio fieri debet: ut restetid: quod thema iubet.

[Page] EXPLICITVS EST LIBER SECVNDVS SVPPVTATIONEM PARTIVM DOCENS. SEQVITVR LIBER TERTIVS DE VARIIS NVMERORVM QVAESTIONIBVS EXPLICANDIS.

3

3

[Page]

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM TERTIVM PRAEFATIO.

POSTQVAM, TAM IN INTEGRIS (quam) in partium minutijs, omnem supputādi rationem explicauimus: superest: ut studiosis paululum aperiamus: quantum ea conferat ad uitam degendam. Numeros namque ipsos per se consyderandos hactenus exposuimus. quae res auspicantibus parum uoluptatis afferre uidebatur. Nūc eos ad res numeratas applicantes artem ipsam pandemus per artis opificiū. Qua de re: dici non potest: utrum maior capietur utilitas, an uoluptas: quādo ea, quae scire pernecessarium est: et rudi populo uelut ęnigmata uidentur: sine Sphinge solui possunt. Ad quae peruestiganda regulas quasdam perutiles trademus: quibus nonnulla quaesitu difficilia, quae (que) prima facie supra humani ingenij captū rudibus uideri possunt: facile inueniantur. Ex quibus altius intellectis, plurima alia similia nullo negocio deprehendi queant. Eiusmodi autem attingere pręcipue est animus: cuiusmodi in uita saepius occurrunt. (quam) (quam) his tortuosa quaedam, et quae latentes anfractus habeant: ad maiorem ingeniorum exercitationem admiscebimus. Verum enimuero qui numerorum nodos explicare cupit: quaestione quapiam proposita, non temere ante respondere debet: (quam) secū alte rem consyderauit. Nam qui alio qui linqua (quam) ingenio promptior [Page] [...] [Page] [...] [Page] quicquid incōfyderate in mentem uenit: stolide mox blaterat: praeter (quam) ꝙ aberrat a scopo: ridiculus existimatur. Caeterum illud admonere lectorem operaeprecium putamus: ut nisi prius teneat: quomodo tam integra (quam) minutias supputet: ne hoc libello legendo sese torqueat. At si illis pernotis, hunc in manus sumat: cuncta tum facilia, tum iucunda spondemus. Sed rem aggrediamur.

[Page]

REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVARTVM IGNOTVM COMMONSTRANTIBVS.

PRAECIPVA OMNIVM REGVLA EST: quae de tribus notis quartum ignotum in noticiam educentibus, ab Arithmeticis traditur. Vulgus regulam auream uocat: ꝙ haec caeteris Arithmeticae regulis: uelut caeteris metallis aurum: praestet. quam, ut clarius explicemus: pauca quaedam de proportione, quatenus ad numeros attinet: pręfari omnino necesse est. sine quibus hęc regula non facile intelligi potest.

PROPORTIO EST DVORVM NVMEROrum certa alterius ad alterum comparatio, at (que) habitudo. Propositis nam (que) quibusuis duobus numeris, alter altero uel maior est: uel aequalis: uel minor. Illa ita (que) ratio, qua sese, uel aequaliter, quando existunt aequales: mutuo respiciunt: uel inaequaliter, quando alter altero maior est: aut minor: proportio uocatur. quae nihil aliud est: (quam) eorum inter se comparatio. Habitudo autem certa est: quasi diceres: notus quidam et diffinitus alterius numeri ad alterum respectus.

IPSARVM uero proportionū inter se similitudo proportionalitas nuncupatur. Eius autem duae sunt species. altera continua. altera separata.

CONTINVA proportionalitas inter numeros est: quando qua proportione primus se habet ad secundum: [Page] eadem, secundus se habet ad tertium. in qua specie unus at (que) idem numerus medius ita duobus circa se positis numeris communicat: ut ad praecedentem comparatus primae proportionis sit terminus: ad sequentem uero collatus, secundę sit initium: ueluti pręcedentis numeri comes quidam, et sequentis dux. Haec autem species in paucioribus numeris (quam) in tribus inueniri non potest. (quam) (quam) etiam in illis numerus medius, dum bis repetitur: uicem subit duorum. Sint nobis pro exemplo hi tres numeri. unum. duo. quatuor. in his enim proportionum est aequalitas. Nam qua proportione unum se habet ad duo: eadem, se habent duo ad quatuor. quippe unum ad duo comparatum subduplum est. itidem (que) duo ad quatuor. Similis e conuerso est inter eos habitudo: quando in utraque proportione numerum maiorem ad suum minorem comparamus. Nam quemadmodum quatuor ad duo duplam habent proportionem: sic duo ad unum dupla sunt.

SEPARATA uero proportionalitas est: quam eandem disiunctam appellare licet: cum quatuor numerorū, qua proportione primus se habet ad secundum: eadem, tertius se habet ad quartū. In qua specie pręcedentis proportionis terminus separatus est a sequentis initio. Haec autem species in paucioribus numeris (quam) in quatuor inueniri nequit. in quibus proportionū deprehenditur aequalitas: siue minorem utrius (que) proportionis numerum cum suo ipsius maiore compares: siue e conuerso. Puta si quis hos quatuor numeros inter se conferre uelit: nempe duo ad quatuor. et tria ad sex. Quemadmodum enim duo ad quatuor cōparata subdupla sunt: sic sunt tria ad sex collata. [Page] Similiter e conuerso, quemadmodum quatuor ad duo collata dupla sunt: sic sunt sex ad tria cōparata. Amplius in hac specie permutatim fit collatio. Nam qua proportione primus se habet ad tertium: eadem, secundus se habet ad quartum. At (que) ordine etiam cōuerso, qua proportione quartus se habet ad secundum: eadem, tertius se habet ad primum. Quo fit: ut praecedentis proportionis minor numerus cum sequentis minore comparatus eandem habitudinem habeat: quam sequentis maior collatus cum pręcedentis maiore. Veluti in exemplo praedicto. sicut primus numerus binarius ad tertium ternarium collatus subsesquialteram proportionem habet: sic secundus numerus quaternarius ad quartū senarium eadem est habitudine. Itidem ordine conuerso, quemadmodum quartus numerus senarius ad secūdum quaternariū comparatus sesquialteram habet proportionem: sic tertius ternarius ad primum binarium eandem habitudinem habet. Ita (que) numeri huiusmodi: quorum una est proportio: proportionales uocantur. De quibus ab EVCLIDE cum in Geometria tum in Arithmetica longe principe regula huiusmodi traditur.

SI FVERINT QVATVOR NVMERI PROportionales: quod ex ductu primi in ultimū producetur: aequale comperietur ei: quod ex secundi in tertium ductu natū erit. At (que) itidem, quod ex secundi in tertium ductu procreabitur: aequale erit ei: quod prodibit ex primi in ultimum ductu. Dici non potest: quantam inuestigantibus lucem ad exquirenda incognita praebeat haec regula. cuius ea uirtus est: ut e quatuor numeris ꝓportionalibus [Page] si quis ignotus fuerit: caeteri, qui noti sunt: latitantem illum prodāt. At (que) ideo si tribus numeris propositis, quispiam inuestigare uelit: quis sit quartus: ad quem tertius ea proportione se habeat: qua primus ad secūdum: multiplicet secundum in tertium: et numerum procreatum diuidat per primum. quod post (quam) factum erit: sectionis numerus quartum demonstrabit. Exempli gratia▪ si quis scire cupit: quis sit ille numerus: ad quem tria ea proportione se habeant: qua duo ad quatuor? tria in quatuor ducat: et enascentur duodecim. quae per duo diuidat: et sex prodibunt. Ratio huius rei in promptu est. nam secūdi in tertium multiplicatio producit idem: quod procrearetur: si primus in quartum ignotū multiplicaretur. Igitur ex secūdi in tertium ductu, quartum uelut in magna turba latitantem habemus: sed quis sit, adhuc ignoramus. Diuisio autem per primū facta reliquam, qua tectus est: multitudinem ab eo segregat: solum (que) relinquit: at (que) a caeteris destitutum e latebris in lucem profert. Nam quandocū (que) duo numeri inter se multiplicātur: si productus numerus per alterum diuidatur: partitionis numerus alterū continebit. Veluti si duo in tria ducas: fient sex. quae si per duo diuidas: numerus partitionis tria continebit. si per tria: duo. Ita (que) ad hunc modum quartus numerus ignoratus exquiritur.

SIMILITER SI TRES NVMERI CONtinue proportionales fuerint: quod ex ductu primi in tertium producetur: aequale deprehendetur ei: quod ex secundi in se ipsum ductu natum erit. Et quod ex secundi in seipsum ductu generabitur: ęquale erit ei: quod nascetur [Page] ex primi in tertium ductu. ad eundem (que) modum tertius numerus ignotus exquiritur: dum secundus numerus in seipsum ducitur: et numerus productus diuiditur per primum: nam sectionis numerus tertium monstrabit. puta si quis duo ad quatuor comparans scire cupit: quis sit tertius numerus: ad quem quatuor ea proportione se habeant: qua duo ad quatuor? medium numerum, quatuor in se ipsum ducat: et sexdecim creabit. quę per duo diuidat: qui primus est numerus: et tertius numerus octonarius prodibit. Eadem nam (que) est in utra (que) specie, et ratio, et regula, numerum ignotū exquirendi. quod ad plurima inuestiganda nosse iuuabit.

HAS proprietates numeri proportionales, vbicum (que) oceurrunt, semper secum deferunt: non solum, quando per se consyderantur: uerumetiam cum ad res quaslibet numerandas applicantur: ut eadem ex accidenti in rebus numeratis: quae in numeris ipsis: inuicem sit habitudo. Quo fit: ut innumera, quae uulgus imperscrutabilia existimat: ex proportionum similitudine ueniant in notitiā: miraculum (que) rudibus explicata praebeant.

ETVT a facilibus exemplis primū ordiamur. Quando tritici modij tres triginta nūmis uęneunt: inuestigemus: octo modiorū tritici quantū erit preciū? Hic palam uidemus duas esse proportiones. unā de tribus tritici modijs ad octo tritici modios. Alteram de triginta nummis, trium modiorū precio cognito, ad octo modiorū preciū adhuc ignoratū: quod eadē habitudine ad triginta nūmos respondere debet: qua octo modij ad tres modios se habent. In omnibus autem proportionibus in ordinem designandis, [Page] a sinistra incipientes tendimus in dextrā: quē admodū in scribendo Graeci, Latini, et omnes pene gentes faciunt. Non autem sicut in numeris per notas signā dis Chaldeos sequimur a dextra ordientes. Ita (que) in hoc exemplo. tres tritici modij, qui prioris sunt proportionis initium: a sinistra primum locum occupare debent. Octo autem tritici modij, qui prioris sunt proportionis finis: locum secundum dextram uersus. Triginta autem nummi, qui posterioris proportionis initium existunt: tertium locum a dextra teneant: oportet. [...]

Quartus autem locus adhuc uacans expectat: ut simili fine proportio posterior claudatur: precium (que) in eo reponatur: quod ita ad triginta nummos respondeat: quemadmodū ad tres modios modij octo. Id autem per regulā supra enarratam facile exquiras: si tertium numerum per secundum multiplices: numerum (que) procreatum diuidas per primum. Igitur triginta, quae sunt in tertio loco: multiplicata per octo, quae sunt in secundo: creant ducenta et quadraginta. quae, si per tria diuidantur: numerus sectionis octuaginta profert. qui numerus precium octo modiorum indicat, et quarto loco repositus proportionem posteriorem complet. Sic quando tritici tres modij triginta nummis uęneunt: octo constabunt octuaginta nū mis.

AD HVIVS EXEMPLI SIMILITVDInem, quandocum (que) in rebus numeratis ratione numerorum duae proportiones habentur: quarum alterius utrū (que) extremum tam initium, a quo incipit: (quam) terminū, in quo [Page] desinit: cognoscimus. Alterius autem primum. extremū, quod eius initium est: scimus: sed eius terminum adhuc ignoramus: prioris initium proportionis: cuius ambo extrema nota sunt: a sinistra primo loco ponamus. eius autem terminum secundo loco dextram uersus. posterioris uero proportionis initium, quod est notum: tertio loco notemus. et tum demum eius terminum ad prioris proportionis similitudinem initio suo responsurum, secundū regulam paulo ante monstratam, inuestigeinus. Initium proportionis (ne quis ambigat) appello eum rerum numerum: qui prior in proportione pręcedit: siue maior extiterit: siue minor. terminum uero eum: qui sequitur: siue minor, siue maior fuerit. Ita (que) si posterioris proportionis initium: quod est notum: numerus minor fuerit: (quam) quartus inuestigandus: minor etiam numerus in priori proportione pręcedet. At si posterioris proportionis initium nobis notum numerus maior existat: maior itidem in priori antecedet. Similiter si maior rerum numerus in priori proportione praecedit: maior etiam in posteriori antecedat: necesse est. Sin in priori pręcedat minor: itidem in posteriori fiet. Alioqui proportiones similes non erunt.

ILLVD autem diligenter obseruandum est: ut (quam)uis prior proportio res unius speciei, posterior autem res alterius capiat: primus tamen a sinistra situs numerus, qui prioris proportionis est initium: et secundus a dextra positus, qui finem eius complet: res eiusdem speciei numerare debeant. Similiter (que) tertius numerus notus, qui proportioni posteriori dat initium: et quartus inuestigādus, qui finem eius inuentus claudet: in eiusdem speciei rebus [Page] numerandis consentiant. quae res ad formādas recte proportionum similitudines plurimum iuuabit. Veluti in exemplo iam dato. in quo prior proportio est de tribus modijs ad octo modios. posterior autem de triginta nūmis ad precium octo modiorum inuestigandum. Id (que) uerum erit: ut primus et secundus numerus eiusdē speciei res numerent: et similiter tertius et quartus inter se respondeāt, non solum in recta proportionum similitudine: quando sicut primus comparatur ad secundū: sic tertius ad quartum: uerumetiam in similitudine proportionum conuersa. quando sicut secundus comparatur ad primū: sic quartus ad tertium. Cęterum si permutatim proportiones uelis comparare, nempe prioris initium ad initium posterioris: et terminum prioris ad posterioris tetminum: tunc primus et tertius numerus eiusdē speciei res numerabunt, et tertius et quartus itidem facient. veluti si in exēplo dato, compares tres modios ad triginta nummos: et octo modios ad precium inuestigandum. Quem modum similitudinem proportionum fabricandi, tametsi sit difficilior: pleri (que) omnes qui supputare docent: magis nunc obseruant. quippe qui faciliorem modum rectam proportionū similitudinem formandi ignorent. Et ad permutatam cō parationem sequendam, incitati uidentur a mercatorum more: qui omnia pecunia ęstimant: quaerunt (que) inter se: quanti merces quaelibet uendantur? quid ꝓ singulis: quid pro uniuersis sit soluendum? comparationem aliarum rerum plurimum ad pecuniam, nonnun (quam) ipsarum inter ipsas facientes. Verumtamen utramcum (que) uiam sequare: regula iam data respondebit. quae, siue recta, siue permutata [Page] proportionum comparatio fiat: semper cum ea congruet. Nobis autem uisum est iuuenum instituendorum gratia, in singulis sequentibus questionibus solum rectam proportionum comparationem, in qua quae (que) proportio ambo sua extrema eiusdem speciei habet: ut intellectu faciliorem, et magis naturalem sequi. ne si utram (que) in singulis: quod nihil necesse est: insereremus: fastidium oboriretur legentibus. Quamobrem ante omnia multa cautione est opus: ne in rebus numeratis proportionum similitudo: quae ratione numerorum cōsyderatur: male sit cō cepta: neue pro similitudine dissimilitudo nos fallat. At post (quam) recta proportionum similitudo cogitatione deprehensa est: caetera per datam regulam facile explicantur.

PORRO vulgus in communi sermone fere de numero inuestigando primum quaerit. veluti si quispiam interroget. quanti constabunt tritici modij quatuor: quando centum uenduntur mille nummis? Hanc interrogationē consyderantes, in ea proportiones duas statim deprehendemus. alteram inter centum modios et quatuor modios, habentem notum utrum (que) extremū. alteram inter mille nummos et quatuor modiorum precium adhuc ignoratū. Igitur nihil respicientes ordinē quaerentis vulgi: quod semper quidlibet: ut in buccam uenerit. loquitur: nobiscū consyderemus proportionem illam inter centum modios et quatuor modios, quam uulgus cum altera confundit: ambo extrema nota habere: at (que) ideo alteri praeponendā esse. Alteram autem proportionem, de mille nummis ad precium adhuc ignoratum posteriorem fore debere: cuius initium notum, quia maior existit numerus: (quam) quartus [Page] inuestigandus: maior itidem numerus in priori proportione praecedet. quocirca primo loco maiorem prioris numerum, nempe centum notemus. eius autem minorem numerum, quatuor, loco secundo. tertio uero loco signemus posterioris: initium notum. uidelicet mille. [...]

Hac ratione proportiones in ordinem aptantes secundū datam regulam mille per quatuor multiplicemus, et prodibunt quatuor millia, quae per centū secta faciunt in numero partitionis quadraginta, qui numerus est quaesitus.

IN HOC autē exemplo, si cui permutatā proportionū similitudinem sequi magis placet: sic eas cōparabit. Sicut centum modij se habent ad mille nūmos: sic quatuor modij ad precium inuestigandū. vt tertio loco numerus medius ponatur: tertius (que) numerus in loco medio. tantilla enim differentia est inter rectam proportionū similitudinem, et permutatam. Verū tamen siue hanc siue illam cō parationē sequi libet: nihil respiciemus ad ordinem quaerentis uulgi. Quin potius ad huius exempli formam alia tortuose quaesita ad rectam proportionū similitudinē cogitando reduci possunt.

HIS DVOBVS exemplis in utra (que) proportione res uęnales praecesserunt: precium uero sequutūest: de quo fuit quaestio. Nunc exemplum petamus: ubi praecedat precium: quaestio autem de rerū uęnalium numero sequatur. Quando octuaginta nūmis tritici modij octo emuntur: quot haberi possunt pro triginta nūmis? Hic manifeste sunt duae proportiones. Altera de. 80. nūmis adnū mos. 30. Altera de octo modijs ad numerū modiorum [Page] inuestigandū. Et quia in posteriori proportione numerus modiorum notus maior est: (quam) is qui inuestigatur. preciū quod est maius octuaginta nūmorū in priore proportione primū locū tenet. minor (que) nūmorū numerus secundū tertiū autem occupat octo modiorū numerus: qui est notus. Quaestio (que) fit de numero modiorum ignoto. Digestis igitur in ordinem numeris, ad hunc modum. [...]

triginta per octo multiplicentur: et surgent ducenta quadraginta, quae si per octuaginta sint secta: numerus sectionis tria continebit. sic quando nūmi octuaginta reddūt octo modios: triginta nūmi afferent modios tres. Ita si primū exemplum supra datum cum hoc conferas: tam illius proportionū loca, (quam) earū extrema ipsa, conuersa esse in hoc exemplo uidebis. qui illic quartus numerus erat: hic primus est. qui illic tertius: hic secundus. qui illic secundus: hic tertius. qui illic primus: hic quartus et postremus. quae (que) illic proportio erat prior: hic posterior reperitur: ut facile cuiuis appareat res numeratas rationem numerorum etiam conuersorū sequi: nihil (que) referre: quae res numerentur: dummodo proportio illa cuius in rebus numeratis ambo extrema sunt nota: pręcedat: illa (que), cuius initium solum notū est: sequatur.

ATQVE IDEO SI QVIS EXPERIRI CVpit: an in quarti numeri inuestigatione error sit admissus: hac ratione idfacile deprehend et: ut in proportionū comparanda similitudine, ambarum sedes at (que) etiam extrema ipsa conuertat. ueluti in exemplo iam dato: quod omnia primo contraria habet. Vel si magis libet. sedes earū solas [Page] mutet: posteriorē (que) ex priori faciat; at (que) ex posterioi priorem. Quippe mutatis proportionū simul locis, at (que) extremis: uel etiam locis solis: si nihil erratum erit: necesse est eorum numeros sedes mutatas sequi. quare si alij numeri in his inuenti fuerint: propter errorem calculi totum opus ab initio repetendum est. Mercatorum uulgus sumens experimentum, nū quis error interuenerit: hane locorum in proportionibus mutationem, regulam de tribus conuersam, uocat: cum una tantum sit regula: secundum quam cui (que) licet: quam uelit quaestionem, explicandam proponere.

Ꝙ SI QVANDO eueniat: ut rerum numerus ex secundi in tertium ductu ꝓueniens numero diuisore sit minor: sectionem (que) non ferat: tū numerus ille minor in numerum partium in se contentarū est multiplicandus: ut diuisoris sectionem maior per incrementū factus recipere sufficiat. Consyderandum (que) est: quale rerum genus numerus ille numerat. puta an argenti libras, aut aureos, qui in nūmorum: quibus aestimantur: numerum multiplicari possunt. an maiora pondera: quae in numerum librarū, aut unciarum duci. an dolia uini, aut olei: quę in anphoratum, congiorum, aut sextariorum numerum multiplicari. An iugera: quae in perticarum aut pedum numerum ducta augeri possunt. vel quic (quam) aliud simile. Exemplum huius rei afferamus. Centum oues emptae sunt aureis uiginti: quanti constiterunt tres? Proportionibus recte in ordinem redactis ad hunc modum. [...]

Secundus numerus ternarius in tertium uiginti aureorū [Page] ductus creabit sexaginta. qui numerus, quoniam per centum diuidi nequit: soluamus aureos illos in uiliorem pecuniam. et quoniam singuli aurei (de angelis nūcloquor) aestimantur octuaginta nūmis: in illum nūmorū numerū aureos uiginti ducamus. et prodibunt quatuor millia et octingenta. qui numerus maior est diuisore centenario: per quem sectus in numero partitionis prodire faciet quadraginta octo. Sic quando. 100. oues emuntur. 20. aureis. 3. constabunt. 48. nūmis. Nec quēpiam illud moneat: ꝙ in secunda proportione finis initio, id est, quartus locus tertio non uideatur respondere: ꝙ hic nūmos, ille aureos habeat: cum uter (que) locus idem rerum genus, nempe pecuniam contineat. licet pecunia maior in minutiorē, uelut in partes suas ideo soluta sit: ut diuisoris sectionem numerus diuidendus caperet.

VBI AVTEM ex diuisione reliquum quidpiam erit: quod per diuisorem amplius secari non possit: similiter reliqui numeratorem in partes suas notas: si quas huiusmodi habeat: alio qui in partes pro arbitrio denominandas, multiplicetur: ut diuisoris, qui denominator est: sectionē maius factū pati possit. quae cum peracta erit: numerus partitionis manifestabit: pro quot partibus, uel notis, uel denominandis ipsum reliquū ualeat. quemadmodū in superiori libro de reliqui estimatione facienda diximus. Exempli gratia. Si nouem ulnę panni (ut mercatorijs uocabulis utamur) constiterunt tribus aureis: quanti emptiest una? Proportionibus in ordinē dispositis: ut nouem primo loco sint. unum secundo. tria tertio. [...]

[Page] quia unitas nullum numerū multiplicat: solum superest: ut tertius trium aureorum locus diuidatur per primū numerū, nouem. quod quoniam fieri nequit: redigendi sunt aurei ad uiliorem pecuniā, aureus (que) puta ęstimetur. 80. nūmis. nam sic ęstimantur Angeli. numerus (que) aureorum ductus in numerū nūmorum procreabit. 240. quę cum per nouē secta sint numerus partitionis proferet. 26. nū mos. et reliquae erunt 6/9. et quia nūmi partes notas habent quadrantes: quorum quatuor pro nūmo ualent. sex in quatuor ducamus. et fient. 24. iterum ea secta per nouem in numero partitionis educunt duo: et adhuc restāt 6/9 unius quadrantis. Et quia quadrans minores partes apud nos notas non habet: per partes quaslibet denominandas, puta quatuor illum ęstimemus. iterū (que) ducamus sex, reliqui numeratorem in quatuor. et denuo fient. 24. quae rursus diuisa per nouem in numero sectionis duo facient. et adhuc supersunt 6/9 unius quartae partis unius quadrantis. quas si cuipiā amplius minutias sectarilibet: potest ultra diuidere in partes: quascum (que) uelit. Igitur quando nouem vlnae tribus aureis emptae sunt: vna ulna constitit. 26. nūmis, duobus quadrantibus, et duabus quartis unius quadrantis, ac sexnonis unius quartae partis unius quadrantis. 6/9 reductae faciunt ⅔.

ILLVD HOC loco admonendum esse duximus: quoniam unitas quemuis numerū multiplicans, aut diuidens [Page] nihil eum omnino uel auget, uel diminuit: quandocū (que) proportionibus in ordinem: secundum ꝙ ante dictū est: digestis, ipsa unitas primū locum tenebit: nulla diuisione opus est. Quemadmodum si ea secundum aut tertium locum occupabit: secundi in tertium ductus non est necessarius. immo tunc sufficiet: si maior alteruter eorū numerus per primū diuidatur. Exemplum, quando unitas primū occupat locum. Quando piperis libra sexdecim nummis constat: centum librarum quantū erit preciū? Dispositis in ordinem proportionum numeris, [...]

Tertij numeri precium indicantis in secundū centenariū multiplicatio abs (que) ulla diuisione rem totam expedit. Exemplum, quando unitas secundum locūtenet. Quando mille aurei sex captiuos redimunt: quanti ad eam rationē redimi potest unus? numeris sic signatis. [...]

Post tertij numeri millenarij solam diuisionem per primū senariū factam res est expedita. Similiter etiam fiat: si tertium locum unitas tenebit.

QVANDO MINVTIAE OCCVRRVNT IN REGVLA DE TRIBVS NOTIS QVARTVM IGNOTVM MONSTRANTIBVS QVID SIT FACIENDVM.

SI PROPORTIONIBVS IN ORDINEM aptatis, in quouis trium locorū minutiae interueniant: integri numeri illius loci, si qui sunt admixti: [Page] statim in minutias redigātur. id quod fiet: si numerus integrorum per minutiarum appositarum denominatorem multiplicetur: et numero procreato earū numerator addatur. ei (que) sic aucto, sub linea interiecta, subdatur denominator. quemadmodum in superiori libro docuimus, de integris in minutias soluendis praecipientes. In eo autem loco, in quo nullae intercesserunt minutię: numeri integri velut minutiae per unitatem sub linea, subdendam scribā tur: vt omnia loca formam minutiarum referant. Deinde secundi loci in tertium multiplicatio, et numeri producti diuisio fiat: quemadmodum de minutijs praeceptū est.

Exemplum vnum suffecerit eiusmodi. Quando serici tres ulnae cum dimidio: vt mercatorijs uocabulis utamur: sex aureis sunt emptae: quanti constiterunt tres quartę? Integris primi loci solutis in minutias, septem orientur secundae 7/2. Locus (que) secūdus solas continet minutias [...]/4. Locus integrorum tertius in speciem minutiarum sic scribendus 6/1. Ita (que) sic locatis minutijs [...] exsecundi loci in tetiū ductu nascentur 18/4. quę diuisa per 7/2 educūt 36/28. Ea constituūt unum integrum. et restant 8/28. quae, ad minimam nomenclaturam redactae, faciunt duas septimas. At (que) hoc pacto, quando tres ulnae serici cū dimidio emptae sunt sex aureis. ¾ unius ulnae uno aureo et duabus septimis constiterunt. Ꝙ si minutiarum minutiae [Page] uel simplicibus minutijs, uel integris admixtae sese offerent: ante (quam) opus aggredimur: reducenda sunt omnia in vnam minutiarū faciem. quemadmodum superiori libro docuimus. postea (que) fiat multiplicatio, et diuisio: sicut in minutijs fieri consueuit.

PECVNIAE CVIVSVIS IN QVAMLIBET PERMVTATIO QVOMODO SIT FACIENDA. Quaestio. 2.

SI QVISPIAM AB ALIQ VA REGIONE in aliam longe profecturus ad periculum a latronibus uitandum, pecuniam eius nationis, unde proficiscitur: mensarijs dare uelit: vt eius ęstimationem illic, quo iter destinat: recipiat: scire (que) cupiat: quantum in illius regionis pecunia sit habiturus? Id hoc modo facillime dinoscat. Principio maiorem quāuis pecuniam in uiliorem per multiplicationem redigi: contra (que) uiliorem in quamlibet maiorem per diuisionem reduci, pene manifestius est: (quam) ut fit admonendum. Quamobrem pecuniam permutaturus primū animaduertat: quot minutioribus nūmis illius regionis, ubi fit permutatio: mensarius unū aureū regionis alterius, quo iter adornat: aestimat. Qua de re cum eo pacta inire oportet. Quod cum obseruauerit: omnem illam pecuniae summam, quam mensario daturus est: siue in argenti libris, siue in aureis fuerit: in eosdē nū mos minutiores redigat. Id quod fiet e uestigio: si totius summae permutandae numerū in eum nūmorum eorumdem [Page] numerum, quo pars ipsius, puta libra una uel aureus unus aestimatur: multiplicet. Deinde numerū ex hoc enascentem per summam ęstimationis unius aurei illius regionis, quo iter parat: diuidat. et numerus sectionis patefaciet: quot illic aureos sit recepturus. Cuius rei ratio per regulam de tribus notis quartum ignotū proferentibus, palam nobis constabit. vti mox in exemplo dicemus.

ROMAM pfecturus quispiā mille aureos āgelos, octuaginta nūmis singulos aestimatos, mensarijs tradidit: vt Romae ei redderent aureos ducatos. conuenit (que) in singulos quinquaginta quatuor nūmos, Romae singulos aureos ducatos reddi. scire cupit quot ducati Romae sunt reddendi? Primū aureis angelis mille multiplicatis in octuaginta nūmorum numerum, qui numerus unius aurei ęstimationem capit: surgunt octuaginta nūmorum millia. quae nūmorū summa facile in ducatos cōmutatur: si quis secū consyderet: Quae proportio est inter quinquaginta quatuor nūmos: qui pro uno ducato de cōpacto ualent: et octuaginta nūmorum millia: quibus mille aurei angeli aestimantur: eandem, inter unum ducatū et numerū ducatorū inuestigandum esse debere. Vel si magis libet, permutatim. Quae proportio est inter quinquaginta quatuor nūmos et unum ducatum: eandem esse inter octuaginta nūmorum millia et numerum ducatorū exquirendum. Ita (que) proportionibus in ordinem dispositis, ad hūc modum. [...]

Quia secundus numerus octuaginta millium, per tertiū vnitatis numerum nihil augetur: sola secundi diuisio per [Page] primum numerum quinquagenarium facta sufficiet. quae in numero partitionis prodire faciet mille quadringenta octuaginta unum. et uiginti sex nūmi supersunt. qui numerus est aureorum, Romae ex pacto reddendus.

ET QVAMVIS in pecuniarum permutatione, quae ab alia regione in aliam frequentatur: pecunia aliqua uilior plurimū quaeratur: qua utrius (que) nationis pecunia maior secundum sui precium prius aestimetur: (quam) ad proportionū regulam iam datam numeri applicari possint. Veluti in exemplo proximo. qui modus et facilis est: et expeditus. interdū tamen breuior uia reperitur. Quippe quā do aliquis argenti librarum, aut aureorū, aut cuiusuis pecuniae numerus illius regionis, ubi fit permutatio: alicui uel librarum, uel aureorum, uel cuiuslibet pecuniae numero, in ea regione: in quam commutamus: ita ex pacto respondet. vt nihil omnino uel desit: uel supersit. tum abs (que) ulla in uiliores nūmos reductione facienda, statim ad proportionū regulam numeros applicabimus. Exempli gratia. tres aurei angeli pro quin (que) coronatis gallicis ualent. mille angeli quot coronatos reddent? Consyderatis proportionibus, deprehendemus. quae pportio est inter tres aureos angelos, et mille: eandem, inter quin (que) coronatos et numerum coronatorū exquirendum esse debere. Vel si libet, permutatim. quae proportio est inter tres aureos angelos et quin (que) coronatos: eandem esse inter mille angelos, et numerum coronatorum inuestigandum. [...]

Facientes igitur id quod iubet regula, comperiemus aureos angelos mille reddere coronatos mille sexcentos sexaginta [Page] sex et duas tertias unius coronati.

SOCIETATIS REGVLA. Quaestio. 3.

TRES MERCATORES SOCIETAtem inierunt, suas quis (que) pecuniae partes in medium conferentes. quorum primus nonaginta aureos attulit. secundus sexaginta. tertius quinquaginta. at (que) impigre mercaturam exercentes centum aureos lucri fecerunt. quos inter se diuidere cupientes ambigunt: quā tum cui (que) secundum pecuniae collatę portionem, de lucro sit cessurum. Hanc quęstionem altius nobiscum consyderantes confestim animaduertemus id, quod in omni societate semper consyderandum est: lucrum hoc commune centum aureorum ex communi omnium accreuisse pecunia. et quemadmodum pecunia communis commune lucrum peperit: ita suam cuius (que) pecuniam id attulisse lucri: quod ad quem (que) pro sua portione pertinebit. Quare sicut omnium partes simul additae se habent ad singulorū partes: sic omnium commune lucrum ad lucrū singulorum se habere debet. Et permutatim. sicut omnium partes simul additae se habent ad commune lucrum: sic partes singulorum ad singulorum lucrum se habere debent. Ita (que) haesitationem hanc ad regulam quatuor proportionalium applicantes, statim eam explicabimus. Quocirca primus locus omnes omniū partes in societatem collatas simul additas habere debet. Secundus autem suam cuius (que) pecuniae partem separatim aliam sub alia notatā. Tertius uero commune lucrū. Post eā numerorū ordinationem pecuniaepars [Page] a quolibet collata seorsum in lucrum cōmune ducatur. et numerus ex hoc enatus per omnium partium summam simul additam diuidatur. Ita cuius (que) partitionis numerus lucrum singulorum patefaciet. quod quarto loco, e regione partis cuius (que) collatae, statuendū est, eo modo: qui ante oculos numerorū notis hic subsignatur. [...]

In omnibus autem societatis regulis, an recte sit supputatum: specimen hinc capere licet. si lucra singulorum simul addita communis lucri summam reddant.

MINVTIAE etiam, si quae restabunt: per additionē colligantur. at (que) integra, quę ex his creabuntur: integrorum addantur numero. Cuiusmodi exemplum erit. si primus contulit quadraginta. secūdus triginta. tertius uiginti. de qua pecunia communi quinquaginta lucri fiunt. [...]

Reliquae omnes minutiae in hoc exemplo simul additę faciunt unum integrum. et singulorum lucra addita creant quadraginta nouem. sic surgunt quinquaginta: quae communi lucro respondent.

[Page]

SOCIETATIS REGVLA SECVNDA, IN QVA TEMPORVM DIVERSITAS INTERVENIT. Quęstio. 4.

TRIVM MERCATORVM SOCIETATEM ineuntium, primus quadraginta quatuor aureos cō tulit in medium: at (que) octo mensibus in societate permansit. Secundus triginta duos conferens aureos, perstetit in societate mensibus sex. Tertius, qui attulit aureos uiginti quatuor: in societate menses quatuor mansit. ex quibus lucri facti sunt aurei octoginta. Ambigi potest: quā tum cui (que) lucri, secundum temporis et pecuniae quantitatem, debeatur. In hac haesitatione at (que) eius similibus, altius intuenti primum illud occurrit: quod in omni societate consyderandum esse superiori regula diximus. uidelicet, ut sicut omnium partes simul additę se habent ad singulorum partes: sic omnium commune luerum ad lucrū singulorū se habere debeat. Et permutatim. sicut de omnium partibus simul additis occurrit comparatio ad commune lucrum: sic de singulorum partibus ad lucrum singulorum. Caeterum haec comparatio geminam consyderationem habet, tam temporis inaequalis, (quam) inęqualis pecuniae. quorum utrum (que) ad cuius (que) lucrum excutiendum parem cogitationem requirit: nec alterum ab altero seiungi potest. quando nec pecunia cuius (que) sine suo tempore▪ cui (que) lucrum attulit: nec cuius (que) tempus sine sua pecunia. Immo uero sicut omnium pecunia simul addita at (que) omnium tempora coaceruata, commune lucrū uniuersis peperit: [Page] ita cuius (que) pecunia connexa cum suo tempore: cui (que) lucrū dedit. Ita (que) cum de pecunia et tempore cuius (que), quae separari non possunt: gemina comparatio simul fieri debeat, tam ad aliorum pecunias et eorū tempora: (quam) ad cō mune lucrum, et lucrum cuius (que) suum: pecuniam cuius (que) per suum ipsius tempus multiplicare oportet. Quo fiet: ut numerus ex hoc productus proportiones partium suarū, eorum inquam numerorum: ex quibus in se ductis enatus est: comprehendat. Etenim secundū EVCLIDIS scitum. Omnium duorum numerorum compositorū proportio alterius ad alterum est ex laterū suorum producta proportionibus. Latera numerorum EVCLIDES uocat, quorum multiplicatione numeri producuntur. Postquā multiplicationē cuius (que) tēporis cū sua ipsius pecunia separatim factā, quoniā singulae pecuniae partes cū singulis temporis multiplicando coiuerunt: unus (que) numerus, sic de utro (que) factus est: ut de gemina comparatione proportio una uirtutem utrius (que) complectens prodiuerit: numeri ipsi procreati seorsum sunt notādi: ut ad regulam societatis applicari possint. Quippe sicut omnium pecunia cum omniū tempore coniuncta se habet ad suam cuius (que) pecuniā, copulatam cum suo tempore: sic lucrum omniū cōmune ad [...]uum cuius (que) lucrum se habere debet. Et permutatim, sicut omnium pecunia cum omniū tempore copulata se habet ad cōmune lucrum: sic sua cuius (que) pecunia cum suo tempore connexa, ad suum cuius (que) lucrum se habere debet. Ita (que) per regulam quatuor proportionaliū quęsitū explicabitur: si numeri omnes ex temporis et pecuniae multiplicatione seorsum procreati simul addantur: [Page] summae (que) ex his collectae primus locus detur. Secundus autē assignetur numeris seorsum enatis ex unius cuius (que) pecuniae ductu in suū tempus: ut separatim alius sub alio notetur. Tertius uero locus lucrum cōmune partum habeat. Deinde seorsum secundi loci numerus cuius (que) procreatus ducatur in commune lucrum: quod tertij loci est. numerus (que) ex hoc enatus per primi loci numerū diuidatur. quemadmodum in proxima societatis regula dictum est. et numerus sectionis declarabit: quantum cui (que) lucri secūdum temporis et pecuniae quantitatē debeatur. quod quarto loco e regione cuius (que) pecuniae reponendum est, ad hunc modum. [...]

SOCIETATIS REGVLA TERTIA: QVANdo temporibus intermissis, uarię summae interdum communicatę, interdum subductae fuerunt. Quaestio. 5.

QVATVOR MERCATORES SOCIEtatem inierunt biennio duraturam, paciscentes: ut pro portione pecuniae conferendae lucrū cui (que) accresceret. quorum primus ab initio triginta aureos contulit: et post octauum mensem transactum, eorū decem de medio subduxit. Iterum (que) vicesimo mense inchoante, duodecim aureos in societatem intulit. Secundus a principio [Page] viginti quatuor aureos attulit: ac post sextum mensem abstulit octo. Denuo (que) sextidecimi mensis exordio, quatuordecim in commune exhibuit. Tertius statim ab inita societate, viginti aureos intulit: peractis (que) mensibus septem, omnem suam pecuniā de medio exemit. rursus (que) mense decimo octauo incipiente, sexdecim imposuit aureos. Quartus demum septimo mense inchoante decem et octo aureos pro se contulit: at (que) horum nouem abstulit post quartum mensem finitum. Iterum (que) decimo septimo mense exordiente, quindecim in societatem addidit. De quorū omnium pecunia cōmuniter in societatem collata, lucri facti sunt aurei centum. Ambigitur transacto biennio, quantum cui (que) lucri cedet. Haesitatio haec propter intricatam tum summarū, tum temporum varietatem, plus industriae (quam) acuminis exigit. Siquidem propius rem contemplantibus, illud manifestum est. sicut communis omnium pecunia cum omniū temporibus coniuncta cō mune lecrum attulit: itidem suam cuius (que) pecuniam cum suo tempore copulatam suum cui (que) lucrū afferre par esse. Singula igitur cuius (que) mercatoris tempora, quibus summa quae (que) ipsius vel in societatem cōmunicata, vel de medio exempta fuit: in pecunias ipsorum temporū seorsum multiplicata, simul sunt addenda. Quę pecuniarum cum tempore coniunctio, cū ad eum modū per singulos mercatores absoluta erit: quatuor proportionalium regula rem totam sic expediet: quemadmodū proximo capite latius edocuimus. Quod ipsum satis fuerit eruditis ostendisse. Ceterum quoniam haec pecuniarum in societatem importatio at (que) exportatio, alio at (que) alio tempore facta [Page] maiorem in fronte (quam) in recessu difficultatem ostentat: ne quem terreat tam varia rerum facies: nodum hunc explicabimus: vt auspicantibus viam monstremus, similia: si qua occurrent: soluendi.

Primus ita (que) mercator a principio triginta aureos. 8. mē sibus in societate habuit. vt igitur tempus illud cum pecunia copuletur. 8. in. 30. ducantur. et fient. 240. quae seorsum tantisper, dum alia expediuntur: notanda sunt.

Post octauum mensem finitum, vs (que) ad vicesimū, decem aureis subductis, soli. 20. reliqui manserūt, vndecim mē sibus medijs. 11. igitur in. 20. ductis, creātur. 220. quę similiter interim notentur seorsum. Postea vicesimo mense, ad viginti aureos, qui adhuc in societate remanserunt: alij. 12. sunt illati. Hae duae summae simul additae faciūt aureos. 32. qui mensibus quin (que) vs (que) in finem anni communes fuerunt. Igitur. 5. in. 32. ducta educunt. 160. quae sub alijs summis seorsum notatis ponantur. Deinde illae omnes summae seorsum notatae simul addantur: et prouenient. 620. Ea sūma surgit ex omnibus primi mer catoris tum summis, tum mensibus simul coeuntibus.

Secundus autem mercator ab initio. 24. aureos sex mensibus in societatem cōmunicauit. quare. 6. in. 24. ducta producent. 144. quae seorsum notentur. A sexto autem mense transacto vs (que) ad sextum decimum, nouem mensibus medijs, cum octo aurei subducti essent: relicti erant 16. quocirca. 9. in. 16. ducta creabunt. 144. seorsum similiter notanda. Demum mense decimo sexto. 14. aurei in societatem illati additi ad priores. 16. faciunt. 30. ꝗ nouē mensibus reliquis cōmunes fuerūt. 9. ita (que) in triginta [Page] ducta procreabunt. 270. quae ad reliquas summas seorsum notatas addita producūt. 558. Ea summa est et temporum et pecuniae secundi mercatoris simul coniunctorū. Tertius mercator statim ab inita societate. 20. aureos inferens, septem mensibus eos in societate reliquit. et ideo. 7. in. 20. ducta, creabunt. 140. quae seorsum signentur. Post mensem autem septimum finitum, cum pecuniam suam omnem exemisset: nihil cum cęteris habuit cōmune us (que) ad decimum octauum mensem. in cuius initio denuo. 16. in societatem intulit. quę per. 7. numerū mensium relictum multiplicata producunt. 112. ea priori summę seorsum notatae addita procreant. 252. Quę summa est et temporū et pecuniarum tertij mercatoris simul coeuntium. Quartus mercator septimo demum mense inchoante. 18. aureos conferens. 4. mensibus eos in societate continuit. quamobrem. 4. in. 18. ducta, progenerant. 72. quae seorsū subnotemus. A fine autem quarti mensis post illatam pecuniam transacti, us (que) ad mensem decimū septimū, sublatis nouem aureis, adhuc. 9. restabāt mēsibus sex medijs. ea propter. 6. in. 9. ducta educunt. 54. seorsum et ipsa notanda. Decimo septimo mē se incipiente, ad. 9. quę in societate remanserant. 15. adiunxit. quae faciūt. 24. ea per. 8. numerum mensium relictum, multiplicata educent. 192. quae ad alias summas seorsum signatas addita, perficient. 138. ea summa est tū mēsium, tum pecuniarū quarti mercatoris. Iam uero singulorum mercatorum temporibus cum suis pecunijs cō nexis, superest: ut omniū sūmaeseorsum annotatae simul addantur. Inde surgent. 1748. quae summa ex omnibus [Page] tum pecunijs tum mensibus omnium mercatorū collecta primum locum tenebit. Secundum uero singulorum summae tum pecunias cuius (que) tum menses complectentes, seorsum alię sub alijs notatae. Tertium autem locum commune lucrum habebit. Deinde secundū regulam quatuor proportionalium multiplicatio, et diuisio fiat. et lucrum in quarto loco patefiet, ad hunc modum. [...]

DIVERSARVM REGIONVM PONDERIS COAEQVATIO. Quaestio. 6.

CENTVM PONDO AB ALEXANDRIA in Angliam deportata reddunt pondo septuaginta quin (que). quantū reddent Alexandriae Anglica pondo ducenta triginta sex? Rem consyderanti facile succurrit. quę proportio est inter septuaginta quin (que) pondo Anglica, et ducenta triginta sex Anglica: eādem esse inter centū Alexandrina et numerum, quem de Alexandrinis quęrimus. Et permutatim. quę proportio est inter septuaginta quin (que) Anglica et centum Alexandrina: eandem inter. 236. Anglica, et numerum, quem de Alexandrinis quęrimus: [Page] esse debere. Quocirca primo loco positis. 75. Secundo 236. Tertio. 100. quatuor proportionalium regula deprehendit ducenta triginta sex pondo Britannica reddere Alexandrię trecenta quatuordecim et 50/75. quae sunt 10/15.

Anglica | Anglica | Alexādrina | Alexādrina |
75 | 236 | 100 | 314 50/75 quę sunt 10/15 |

LVCRI EXPLORATIO. Quęstio. 7.

SIDE CENTVM AVREIS AVREI DVodecim in annum lucri fiant: Secundum eam rationem de aureis septuaginta nouem quātum lucri in annū crescet? Facile est explicatu. nam quae proportio est numeri centenarij ad septuaginta nouem: eadem erit numeri duodenarij ad lucrū quęsitum. Et permutatim, quae proportio est numeri centenarij ad duodecim: eadem erit de septuaginta nouē ad lucrū inuestigatū. dispositis ita (que) in ordinem numeris, ut primum locum centum teneant. Secundum septuaginta nouem. Tertium duodecim. quatuor proportionalium regula demonstrat ex aureis. 79. lucri fieri aureos nouem, et 48/100. quae sunt 12/25. [...]

Hoc lucrum per omnia par est usurę centesimae. qua maiorem apud Romanos leges non permittunt. De singulis nam (que) centenis duodena quotannis in foenus usura centesima [Page] exigit. quae ideo centesimę nomen habet: ꝙ cum in menses usurę debeantur: pars sortis centesima singulis mensibus in usuram uenit: centesimo (que) demū mense sortem foenus aequat. Intra centesimam minores usurę interdum centesimae dodrantem, interdum bessem, in menses reddunt. quae etiam ipsę graues existimantur. At mediocres putantur, quae eius semissem in menses pendūt. Quae uero non ultra centesimae trientem, aut quadrantem, aut sextantē in menses pariunt: ciuiles habentur, et humanę.

LVCRI EXPLORATIO IN TEMPORE MAIORI Questio. 8.

MERCATOR EX AVREIS SEPTVaginta per menses tres lucri fecit quin (que). quā tum lucri tredecim mensibus ex aureis septuaginta obueniet? Duae proportiones deprehenduntur. Altera de tribus mēsibus ad mēses. 13. Altera de quin (que) lucri factis ad numerū inuestigatum. Nam sicut tres mē ses se habent ad menses tredecim: sic quin (que) lucri facta ad numerum quaesitum. Et permutatim. sicut tres menses ad quin (que) lucri facta se habent: sic. 13. menses ad numerū inuestigatum. Quare quatuor proportionalium regula duce, primo loco statuentes. 3. Secūdo. 13. Tertio. 5. comperiemus aureos viginti unum, et duas tertias. 13. mensibus lucri fieri. [...]

[Page]

TEMPORIS INVESTIGATIO IN LVCRO MAIORI. Quęstio. 9.

QVI PER MENSES QVATVOR EX aureis nonaginta lucri fecit quin (que): scire cupit: quanto tempore ijdem aurei lucri centum reddent? Haesitatio haec proximae similis est: praeter (quam) ꝙ hic de tempore illic de lucro fit inuestigatio. Simili igitur modo soluenda est. Quippe duę proportiones apparent. Nā sicut quin (que) aurei lucri facti se habent ad aureos centum lucri faciendos: sic quatuor mēses quibus quin (que) aurei lucri accreuerunt: ad numerum mensium inuestigatum. Et permutatim. sicut quin (que) aurei lucri facti se habēt ad mē ses. 4. sic. 100. aurei lucri faciendi ad numerum mensiū, de quo quaesitum est. Primo igitur loco notatis. 5. Secū do. 100. Tertio. 4. Regula quatuor proportionaliū aureos. 100. ex. 90. lucri fieri mēsibus. 80. manifestat. qui numerus mensium creat annos sex et menses octo. [...]

LVCRI INVESTIGATIO EX MAIOri pecunia secundum respectum lucri ex summa minori Quęstio. 10.

MERCATOR QVISPIAM TRIBVS mensibus ex decem aureis lucri fecit quatuor: scire cupit ad eandem rationem ex sexcentis aureis decem et octo mensibus, quot aurei lucri fieri possunt? [Page] Nullum haesitationis genus frequētius, (quam) huiusmodi est: inter mercatores: dum secum deliberant de quouis mercimonij genere: si pecunias suas in id impendant: quanto tempore quantū lucri poterit acquiri. Ad hanc rem expedite discutiendam in primis illud fieri oportet: quod faciendum est: quoties in duabus proportionibus cum pecuniae certę diuersitate temporis certi diuersitas concurrit: ut pecuniae quae (que) summa per suū tempus multiplicetur: vnus (que) ita numerus vim utrius (que) complexus producatur ex ambobus. qui deinde cum lucro per ea parto comparetur. Quo fiet: vt in ordinem proportiones ambae redigi statim possint. quemadmodum in proximis quaestionibus diximus. Nam duas proportiones rem consyderantes comperiemus. quarū alterius ambo extrema sunt cognita. Alterius uero alterum solum. Nam quae proportio est inter decem aureos cum suo tempore trium mensium copulatos et aureos sexcentos cum suo tempore mensiū decem et octo iūctos: cuius proportionis ambo extrema sunt cognita: eandem esse debere lucri quatuor aureorum noti ad lucrum illud: quod ignoratū in quirimus. Et permutatim. quę proportio est inter aureos decem connexos cum suo tempore trium mensium, et lucrum quatuor aureorum cognitum: eadem deprehendetur inter sexcentos aureos coniunctos cum suo tempore mensium decem et octo, et lucrum illud: quod uestigamus. Facta ita (que) aureorum decem multiplicatione per suum tempus triū mensiū, surgunt triginta. Rursus (que), si in sexcentos aureos ducantur decem et octo, suorum mensium numerus: prodibunt decem millia et octingenta. Postea quatuor proportionalium [Page] regula nobis eam sequentibus negociū explica bit: si primo loco triginta. Secundo decem millia et octingenta. Tertio quatuor: quod lucrum nobis notū est: ponamus. Ita deprehendemus ex sexcentis aureis mensibus decē et octo lucri fieri aureos mille quadringentos et quadraginta. [...]

Hic inuestigatum est: quantum accrescet lucri.

TEMPORIS INVESTIGATIO IN LVcro maiori secundum respectum temporis in lucro minori. Quaestio. 11.

FREQVENTER ETIAM MERCATOres inuertunt huiusmodi quęstionem: vt de tempore sit haesitatio. veluti si quispiam: qui tribus mensibus ex decem aureis lucri fecit quatuor: scire cupiat ad eandem rationem: quot mensibus ex sexcentis aureis mille quadringentos et quadraginta lucri facere potest? In hac quaestione lucrū in utra (que) proportione certū. tempus uero in altera adhuc ignoratum. Quare multiplicatio pecuniae certę per ignotū tempus fieri nequa (quam) potest: vt ambas proportiones ad quatuor proportionalium regulam semel applicare sufficiat. Alia igitur uia tentanda est. Et rem consyderantibus in primis ad exemplum lucri quatuor aureorū, quod ex decem aureis mensibus tribus creuit: excutiendum uidetur: quātum lucri aurei sexcenti mēsibus tribus parient. Id quod facile discuti potest: [Page] si cogitemus duas hic proportiones reperiri. Alterā de aureis decem ad sexcentos. Alterā de quatuor aureorū lucro ad lucrum illud: quod exquirimus. Nam sicut aurei decem se habent ad sexcentos: sic quatuor aureorum lucrum ad lucrum exquirendum. Et permutatim. sicut aurei decem se habent ad lucrum quatuor aureorum: sic aurei sexcenti ad lucrum inuestigandum. Ita (que) primo loco positis. 10. Secundo. 600. Tertio. 4. per quatuor proportionalium regulam comperiemus ex. 600. aureis, mensibus tribus lucri fieri. 240. Deinde post (quam) compertum est: quantum lucri menses tres ex aureis sexcentis afferunt: continuo deprehendetur: quot mensibus aurei mille quadringenti et quin quaginta ex sexcentis lucri fieri possunt. Nam quae proportio est aureorum ducentorum et quadraginta: qui tribus mensibus lucri fiunt: ad aureos mille quadringentos et quadraginta: eadem erit temporis trimestris ad numerum mensium inuestigandū. Et permutatim. sicut ducenti et quadraginta aurei, qui trium mensium sunt lucrū: se habent ad tres menses. sic aurei mille quadringenti et quadraginta se habebunt ad mensium numerum, de quo quaesitum est. Quamobrem primo loco positis. 240. Secundo. 1440. Tertio. 3. e uestigio quatuor proportionalium regula denuo repetita nos edocebit: aureos. 1440. ex. 600. lucri fieri mensibus. decem et octo. [...]

Ita (que) tempus hoc de quo quęsitum est particulatim inuestigandum erat, vt eius portione cognita facile exquireretur reliquum. Caetera id genus exempla ad eundem modum [Page] excuti possunt. Quo fit manifestū, quatuor proportionalium regulam, quoniam semel tentata non satisfacit: bis nonnun (quam) adeundam esse: vt cuncta in lucem eruat.

PONDERIS EXPLORATIO IN PANIbus, quando precium annonae crescit. Quęstio. 12.

QVANDO TRITICI NODIVS NVMmis decem uenditur: primariae notae panis: qui nūmi preciū habeat: pēdebit vncias quadraginta tres. Secundū eā rationē, quanti ponderis erit panis unius nummi: quando tritici modius tredecim nūmis constat? Hic obseruare oportet, ubi (que) gentium receptam panificij legem esse: vt pro qua portione tritici precium crescit: pro ea panum unius precij pondus minuatur. Sicut enim annonae copia panibus eiusdem precij et magnitudinem et pondus auget: sic contra annonae caritas ab eodem precio et pondus his et magnitudinem demit. Quocirca cū pro maioris precij ratione diminutio ponderis sit inuestiganda. Ea propter in proportionum comparatione, quod extremum utrius (que) maius est: pręponi debet: vt quaestio sit de minori alterius extremo: quod ignoratur. Cum autem altera proportio de tredecim nummis ad nūmos decem, ambo extrema nota habeat: eam praecedere oportet. Altera uero de quadraginta tribus uncijs ad numerum pō deris inquirendū, sequi priorem debet. Nam in hoc quaesito quantus reperitur excessus nummorum tredecim ultra decem: tantus erit quadraginta trium unciarū excessus supra numerum ponderis inuestigandum: eadem (que) [Page] proportio. Et permutatim. sicut. 13. se habent ad. 43. sic decem ad numerum ponderis inquirendum se habere debent. Ita (que) si primam sedem tredecim occupent. Secundā decem. Tertiam. 43. Quatuor proportionalium regula rem totam illustrabit. per quam deprehendemus, quādo tredecim nummis tritici modius uaenit: unius nummi panem uncias triginta tres et unam tertiam pendere. [...]

PONDERIS EXPLORATIO IN PANIbus, quando precium annonae decrescit. Quęstio. 13.

SI PANIS VNIVS NVMMI PENDET uncias. 43. quando tritici modius. 10. nummis constat. quanti ponderis ad eam rationē erit panis unius nummi, si tritici modius nūmis septem uęneat? Hic quia tritici precium est imminutum: iuxta panificij leges pondus panis augebitur. Quocirca qua proportione nummi. 7. superantur a. 10. eadem. 43. unciae superabuntur a pondere panis inuestigando. Et permutatim. sicut. 7. se habent ad. 43. sic. 10. ad numerū ponderis inuestigandum. Quare in proportione priore de. 7. nūmis ad nummos. 10. extremum quod minus est praecedere, quod maius est: sequi debet: ut posterior proportio de panum pondere, desinat in pondus maius. Ita digestis in ordinem proportionibus, per regulam quatuor poportiona lium cōperiemus unius nūmi panē pendere uncias. 61 3/7 [Page] quando tritici modius septem nummis constat. [...]

LVCRI ET DAMNI REGVLAE.

PRIVSQ VAM ad alias questiones progredimur: de lucro et damno quasdam regulas, operaeprecium putamus adiungere. Et ut de lucro primum dicamus. Mercatores ad hunc modum secum quaerere solent. Si caerae pondo centena aureis. 12. quispiam emat: at (que) ea deinde aureis. 14. uendat: quantum lucri ex centenis accrescet? Huiusmodi quaesita sic explicantur. Principio subducere oportet precium, quo res empta est: a precio, quo postea uenditur. et numerus restans, qui differentiam vtriusque precij continet: lucrum indicabit: quod ex sorte illa. 12. obueniet. videlicet. 2. deinde si. 12. quae sunt in sorte: pariunt in lucrum. 2. quantum lucri. 100. reddent: per regulam de tribus notis quartū ignotū proferentibus pronū est excutere. ducentes enim. 2. in. 100. procreabimus 200. quę per. 12. secantes relinquemus in sectionis numero. 16 ⅔. tantū lucri ex centenis accrescet. Nam quae proportio est inter sortem. 12. et sortē. 100. eadem esse debet inter lucrum, quod ex. 12. creuit: et lucrū, quod ex. 100. obuenire debet. Et permutatim. quę ꝓportio est inter sortem. 12. et lucrū. 2. eadē inter sortē. 100. et eius lucrū, quod inuestigamus: esse debet. Similiter de denis, vicenis, tricenis, quadragenis, quinquagenis, vel millenis, quęri posset. sed mercatorius supputandi mos maxime in centenis [Page] lucra et damna consyderat. at (que) ideo de centenis exempla damus. In his autem mercatorijs regulis, quas nūc interseremus: proportionū comparationem permutatim solū ponemus, mercatorū more: quandoquidem per hanc cuiuis studioso recta earum comparatio sese simul aperiet.

Calculū recte confectū esse probabis si proportionū ordinem cōuertas hoc modo. si. 100. quę sunt in sorte lucri faciunt. 16 ⅔. 12. in sortem collata lucrum reddent. 2. Ꝙ si plus aut minus calculus afferat: error interuenit. Vel si cui magis placet: negociū ad regulam sic applicabit. Si de. 12. quę sunt in sorte: fiunt. 14. in sortem et lucrū. quid ex. 100. in sortem datis ea ratione proueniet? sequentes regulā deprehendemus. 116 ⅔. in sortem et lucrū accrescere. a quibus si demas. 100. quę sortem faciunt: supersunt. 16 ⅔. quę lucrū ex centenis indicant. Tui arbitrij lector, esto: vtram viam magis libeat sequi. nam mercatores ipsi, alius hanc, alius illam capessunt.

AD DAMNVM cognoscendum. id, quod de lucro iā admonuimus: studiosis suffecerit. nihil enim aliud interest: nisi ꝙ sicut venditio superans emptionis preciū lucrū exuberare facit: sic econuerso venditio minoris facta sortem vel diminuit: vel exhaurit. verūtamen exemplum de eo quo (que) dabimus. Quādo libra croci empta est aureis 3. vendita (que). 2. quae iactura ex centenis erit? Preciū, quo res minoris vēdita est: ab emptionis precio, quo pluris est empta: subtrahe. et superest. 1. quod damnū de tribus indicat. Deinde si de. 3. vnum perit: quantum detrimenti [Page] 100. afferent: per regulam datam exquire. reperies. 33 ⅓. Vel si magis libet alterā viam tentare. sic potes. Si de. 3. sola. 2. supersunt: quid de. 100. relinquetur? ducantur. 2. in 100. fiunt. 200. quę si per. 3. seces exeunt. 66 ⅔. ea de. 100. manent. differentia ita (que) inter. 66 ⅔. et. 100. quę est. 33 ⅓. venit in detrimentum.

PER LVCRVM NOTVM SORtis ignotae exquisitio.

SAEPE MERCATORES ad nundinas ituri secū ad hunc modū supputare solent. Quanti pōdo cētena cuiuspiā mercis puta ęris ęruginis emēda sūt: vt aureis. 13. postea vēdita ex cētenis dena in lucrū pariāt? Huiusmodi quęsita expedies: si sic tecū consyderes. Qui ex centenis dena lucri vult facere: is. 100. augere vs (que) ad. 110. studet. id, quod ex precio. 13. efficere molitur. Ita (que) in illis. 13. et sors et lucrū latet. alioqui nisi inesset lucrū: dena ex centenis nō lucrifierēt. Ea propter cū per venditionē. 13. aureis factā, lucrū ex centenis destinatū sit acquisitū: sors quae latet in 13. per regulam de tribus notis quartū ignotum proferentibus statim sic patefiet. Si. 110. quae sortem et lucrū capiunt: prodeunt de sorte. 100. de qua sorte nascentur. 13. quę sortem et lucrū tenent. Multiplicare oportet. 100. in. 13. et producentur. 1300. quę si per. 110. secentur: numerus sectionis. 11 9/11 habebit. qui numerus sortē illorū. 13. demō strat. At (que) ideo tanti emēda essent ęris ęrugins pōdo. 100. vt postea. 13. aureis vēdita lucrū ꝓportione denorum ad [Page] centena reddant. Si specimen capere libet: an recte sit supputatum: proportionum ordinem conuerte, hoc modo. Si de. 11 9/11, quae sunt in mera sorte: surgunt. 13. sors et lucrum: quid de. 100. mera sorte prodibit? tenta ꝑ regulā. et 110. inuenies. a quibus dempta sorte. 100. lucrum. 10. superest. Sin plus aut minus redeat: erratum est. Aliud exemplum. Quanti lanae mille pondo sunt empta: quae postea aureis. 50. uendita lucrum proportione duodenorum ad centena pariunt? ad regulam datam sic applicabis. Si. 112. ante lucrum partum erant. 100. quid secundum eam rationem. 50. prius erant: cum quibus partū est lucrum? supputatio secundum regulam facta te docebit fuisse. 44 72/112. quae sunt 9/14. Aliud exemplum. Quāti constitit libra croci: quando uncia nummis. 9. uendita lucrum affert proportione denorum ad cētena. Vncię sortem sic deprehendes. si. 110. ante (quam) accessit lucrum: erant. 100. quid erant. 9. inuenies fuisse. 8 2/11. tot nummis uncia constitit. Deinde ut librę precium excutias: multiplica uncię p̄cium. 8 2/11 in. 12. ꝙ tot sint unciae in libra: et producuntur. 98 2/11. tot nummis libra croci prius empta erat.

PER DETRIMENTVM NOTVM sortis ignotae exquisitio.

QVI GEMMAM emerat: uendidit eam postea aureis. 100. et dum pecunię suę rationē init: comꝑit se perdidisse. 10. ex. 100. quanti ab initio stetit gemma? [Page] Sic consyderate oportet. Qui. 10. de. 100. perdit. 10. ad. 90. minuit. at (que) ideo ad inuestigādā sortem illorū. 100. ad hūc modum cogitabit. Si. 90. ante detrimentū erant. 100. quid secundum eam rationem ante erant illa. 100. ex quibus iactura facta est? ducantur. 100. in. 100. et surgent. 10000. quę secta per. 90. reddunt. 111 1/9. tanti gēma ab initio cō stitit. Verso in cōtrarium proportionū ordine, capere experimentum licet: an recte sit supputatū: ad hunc modū. Si de. 111 1/9 sola. 100. supersunt: quid de. 100. relinquetur? si regulam sequare: deprehendes. 90. si plus aut minus exit: error manifestus est.

ALIA etiam uia per lucrum aut damnum ad sortis partes redigēdū sors ipsa ignota inuestigari potest. Puta, si quispiam uendens nummis. 20. de. 100. lucrifaciat 10. et haesitetur quanta sit sors: ad hunc modū per compendiū res expedietur. Animaduertere oportet: quota sortis pars sit lucrum? id quod statim fit manifestū: si lucrum 10. per sortem. 100. diuisum in minutias soluatur eo modo: quo numeri minoris per maiorem admonuimus sectionē fieri. sic nascentur 10/100. quae ad minimā nomenclaturā redactae faciunt 1/10. ita (que) qui ex. 100. lucratur. 10. decimā sor tis partem lucrifacit. quę pars decima addita ad sortem fit undecima totius summę. At (que) ideo qui de lucro et sorte 1/11 capit: lucrū habet illius summę. quod quādo ab ea subductum erit: sola sors restabit. Ita (que) de. 20. sumito 1/11. et inuenies. 1 9/11. tantulum inest lucri in exigua hac summa. 20. Id autem si a. 20. subducatur: restabunt pro sorte. 18 2/11. [Page] Ea sors est illorū. 20. Rem ita habere probabis: si proportionū ordinem conuertas hoc modo. Si de. 18 2/11 fiunt. 20. quid accrescet de. 100. tēta: et inuenies. 110. subducito pro sorte. 100. restant pro lucro. 10. Calculus ita (que) nō errauit.

EADEM uia per damnū ad sortis partes redigendum sors ipsa potest excuti. Veluti si exemplo uerso, fingamus eū: qui nūmis. 20, uēdit: dena ex centenis perdere. Nā dānū. 10. per sortē. 100. diuisum profert 10/100. quę faciūt. 1/10 Illud ita (que) consyderare oportet. Qui perdit. 10. ex. 100. perdit de sua sorte 1/10. Quo fit: ut saluę sint ei restātes 9/10. de quibus partibus si sumas 1/9. at (que) eam ad omnes partes relictas addas: instaurabis summā: quę fuit ante dānum: et sortē habebis quęsitā. At (que) ideo in exemplo dato. si nūmis 20. uendens dena de centenis perdit: ea ratione uicena illa 9/10 totius sortis efficiunt. Quocirca si nonā partē de. 20. sumas, uidelicet. 2 2/9. at (que) eā ad. 20. addas: fient. 22 2/9. quę sū [...] sortis ante ia cturam erat. Nona autem illa pars. 2 2/9 decima est totius sortis: partem (que) eam addita instaurat: quae de sorte perierat.

LVCRI RATIO, SI MINORIS quippiam fuisset emptum.

GLASTI emptor pōdo millena certo precio mercatus est: quę si binis aureis minoris emisset: at (que) ea postea aureis duodenis uendidisset: ex centenis dena fecisset lucri: quęro quanti ab initio pōdo glasti millena steterūt? Huiusmodi quęsita sic expedies. Sortem illorum. 12. inuestigare oportet, eo modo, quē dedimus. Si. 110. erāt. 100. [Page] ante lucrū: quid secundū eam rationem ante lucrū adiunctum erant. 12. ducantur. 12. in. 100. producuntur. 1200. quae secta per. 110. reddunt. 10 10/11. Ea fuisset sors: si nihil aliud interuenisset. Verum quia adiectum est: si. 2. aureis minoris emisset: et. 12. uendidisset: tū lucrū accedere debuisse ꝓportione denorū ad cētena: liquet ex hoc eū pluris. 10 10/11 emisse. At (que) ideo. 2. ad. 10 10/11. addenda sunt: ut fiant. 12 10/11. totaureis in initio glasti pondo. 1000. constiterunt. Ex quo fit manifestū. si minoris. 2. aureis emisset: danda fuisse. 10 10/11. quaesors ea est: quę per uenditionem ad. 12. crescens dena ex centenis lucrifacit.

DAMNI RATIO, SI PLVRIS quippiam fuisset emptum.

FRVMENTI emptor modios quaternos certo precio emit: qui si pluris nūmis quaternis (quam) sunt empti: constitissent: et uenditi fuissent nūmis tricenis senis: dena de centenis fuissent perdita. quanti igitur constiterūt modij quaterni? Principio sicut proxime in lucro factum est: sortem illorū. 36. erues, hoc modo tecū cōsyderans. Si. 110. erāt. 100. quid secundū eam rationem ante erant. 36. ducā tur. 36. in. 100. et fient. 3600. quę deinde secentur per. 110. et prodeūt. 32 8/11. tanti emi debuissent modij quaterni: ut uenditione facta nummis. 36. dena ex centenis lucri fierēt. Verum hic perdita sunt. 10. ex. 100. at (que) ideo sicut in iactura ante docuimus: sic consyderabimus. Si. 90. ante iacturam fuerunt. 100. quid secundum eam rationem ante fuerunt, 36. ducantur. 36. in. 100. et surgent. 3600. quę secta [Page] per. 90. reddunt. 40. tanti emi debuerunt: ut uenditi num mis. 36. dānū afferrēt detrahens dena ex centenis. Cęterū quia dictū est. si. 4. nūmi amplius ad precium accessissent. tum iacturā illam denorum ex centenis ex uenditione facta nummis. 36. fuisse secuturā. 4. nummi a. 40. demendi sunt: ꝙ tanto minoris sunt empti. sic restāt. 36. quo precio quaterni frumenti modij ab initio sunt empti.

LVCRI RATIO, SI PRECIVN MVTETVR.

QVI SALIS modios singulos senis nūmis uēdit: octona ex centenis lucratur. quęri potest: si is mutato precio, nūmis octonis uendat: quantum lucti ex centenis acquiret? Multi in huiusmodi quęsitis allucinant̄: dū sic proportiones comparant. Si. 6. dant. 8. quid dabunt. 8? ducentes nam (que). 8. in. 8. et productū per. 6. secantes deprehendūt. 10 ⅔. quod lucrū ex centenis obuenire putāt: si singulorū salis modiorum precium a nūmis. 6. ad. 8. mutetur. Hi toto errant caelo. nam. 6. illa, quae isti uelut sortem ponunt: et lucrū et sortem continent. Ita (que) ubicum (que) in similibus de lucro aut dāno quęritur: primū sors inuenienda est: quę lucrum et dānum peperit. igitur sortem et lucrum, quae in sex latent: sors et lucrū, quae in centenis nota sunt: proferēt in lucem: sicut iam docuimus hoc modo. Si. 108. ante (quam) accessit lucrum: erant. 100. quid secundum eam rationem ante lucrum erant. 6. ducantur. 6. in. 100. et fient. 600. quae per. 108. secta in numero partitionis educunt. 5 5/9. tantum complecti debet sors illorum. 6. ut postea sex nūmis facta uenditio octona ex centenis lucrifaciat. [Page] Iā uero in hoc themate, qui nummis. 6. vēdidit: mutato precio, nūmis octonis vēdere in animo habet: et scire cupit: quantum lucri ex centenis accrescet. Id quod facile exquiri potest: si proportiones sic formentur. Si. 5 5/9, quae sunt sors: pariunt. 8. in sortem et lucrū: quid. 100. in sortem collata dabunt? Scies e uestigio: si. 8. in 100. ducas: numerum (que) productū diuidas per. 5 5/9. quo fiet: vt in numero sectionis ꝓdeant. 144. tantum sorsilla. 100. afferet in sortē et lucrū. Igitur si sortē. 100. ab ea summa subducas. 44. pro lucro restant. tantū lucri ex cētenis accrescet: si singuli salis modij nūmis. 8. uendant̄, qui ante. 6. sunt uęnūdata.

VEL SI mauis alia via rē statim expedire: ut sortem nō exquiras: id fiet ad hūc modū. Adde ad ipsa. 100. lucrū ex his accrescēs: summā (que) eā diuide ꝑ prius p̄cium: quod lucrū illud peꝑit. Id autē, quod in numero sectionis ꝓdibit: multiplica in posterius illud preciū: in quod fit cō mutatio. Ita numerꝰ ex hoc productus et lucrū de. 100. na tū et sortē ipsā. 100. cōplectet̄. a quo lucro si sortē. 100. demas: lucrū de cētenis ex nouo p̄cio obueniēs restabit. Quę uia nun (quam) fallet. Puta in exemplo iā dato, ubi uēditio senis nūmis facta ex cētenis octona i lucrū intulit: lucrum. 8. ad sortē. 100. adde. fient. 108. Eā summā diuide ꝑ prius p̄cium 6. quo lucrū illud acquisitum est. sic in numero sectiōis. 18. ꝓdeunt. quę deinde in posterius illud preciū. 8. in quod fit cōmutatio: ducenda sunt. ita ꝓducentur. 144. quę et lucrū et sortē cētenorū capiunt. a quibꝰ si. 100. ꝓ sorte demas: restant pro lucro. 44. tantum lucri de centenis accrescet: si precium a nūmis senis ad octonos mutet̄. Siue autē de cē tenis, siue de alio numero, puta quinquagenis, millenis, [Page] aut quouis alio, certū lucrū quęratur: regula hęc inuariata manet, Yim autē suā capit a multiplicatione et diuisione: quę a quatuor proportionalium regula supra data, et ab unitatis natura depēdent. Porro in diuisione, sicut unitas se habet ad diuisorē: sic sectionis numerus ad numerū diuidendū. Et ꝑmutatim. sicut unitas se habet ad sectionis numerū: sic diuisor ad diuidendū. Similiter etiā fit in multiplicatione. nam sicut unitas se habet ad multiplicatorē: sic multiplicādus ad numerū producendū. Et ꝑmutatim. sicut unitas se hēt ad multiplicandum: sic multiplicator ad numerū producēdū. Igitur esto. 6. habeāt. 1. in sortē: ea ratione. 108. haberēt. 18. id quod sic exquires. Si. 6. in sorte et lucro ꝓdeant (fingamus) de. 1. de quo nascentur. 108. quae sunt in sorte et lucro. ducatur. 1. in. 108. et idē numerus producetur. Is deinde diuidatur ꝑ. 6. et numerus sectionis. 18. proferet: quę secundū eam rationē sors esse deberent illorum. 108. Iam uero precio mutato, si scire uoles quantum reddent. 18. sic inuestigabis. Si de uno fiunt. 8. quot de. 18. fient? multiplicentur. 8. in 18. et producētur. 144. quę sortem et lucrum centenorum tenebunt.

Damni ratio, si precium mutetur.

DAMNI RATIO per eandē regulā ad eundē modū excutietur: pręter (quam) ꝙ sicut lucrū additur sorti: sic iactura de sorte subducit: et numerus restās per prius preciū, quod detrimentū attulit: secat̄. quod autē in numero partitiōis reperiet: du cere oportet in pciū illud: in quod fit cōmutatio. sic numerus ꝓductus et sortē indicabit et dā num siue de cētenis quęrat, siue de millenis, siue de quouis alio numero iacturā terminante. Exempli gratia. qui. 6. nūmis vendit: duodena de cētenis perdit: quid iacturae ex [Page] centenis sustinebit: si precio diminuto. 4. nūmis uendat. de. 100. subduci debent. 12. et restabūt. 88. quę secentur per prius illud preciū. 6. quod iacturā peꝑit. et ꝓdibunt in sectionis numero. 14 ⅔. Ea autē deinde multiplicētur in minus precium. 4. in quod fit cōmutatio. et. 58 ⅔ surgēt: quae sortem et iacturā centenorū demōstrabunt. quot ita (que) ab eo numero us (que) ad. 100. desunt: totidem de centenis i [...] iacturā ueniunt. ea autem sunt. 41 ⅓. Vel si per exquisitionē sortis illorū. 6. magis id scire libet: sic tecū cōsyderans rem statim explicabis. Qui nūmis. 6. uendendo de. 100. perdit 12. is. 100. ad. 88. minuit. quę iactura nascitur ex nūmis illis 6. Sic igit ratiocinare. Si. 88. ante iacturā erāt. 100. quid secūdum eā rationē ante erant. 6. quę dānum attulerunt? tē ta per datā regulā: et inuenies. 6 9/11. Ea sors erat illorum. 6. Id (que) ita esse ꝓbabis: si ꝓportionū cōuertas ordinem, hoc modo. Si. 6 9/11 minuuntur ad. 6. quantum secundū eam rationē decrescent. 100? experire per regulā: et. 88. relicta deprehendes. Iam uero mutato precio, si sors illa. 6 9/11 minuatur ad. 4. quid iacturę ex. 100. erit: data regula e uestigio aperiet. Nam si. 4. in. 100. ducantur. fient. 400. quae si per 6 9/11 secētur: numerus partitionis. 58 ⅔ habebit. Quod autē supra eum numerū us (que) ad. 100. deest: in iacturā (uti diximus) uenit. utra (que) igitur uia rem eodem perducit.

QVO MODO PRECIVM STATVAtur ad lucrū quoduis parandum.

FREQVENTER etiā mercatores in merce aliqua pōdere, numero, aut mēsura vēdi solita, post cōplures [Page] expēsas terra mari (que) supra emptiōis preciū factas, i uectigalia, naulū, uecturā, ministroR uictū, cętera (que) id genus, certū sibi lucrū de quouis pōdere, numero, aut mēsura, destinant: secū (que) deliberāt: quodnā p̄cium statuāt in singula pōdera, numeros, aut mēsuras: ut lucrū illud accrescat. Id quod fiet ad eum modū: quē hoc exēplo mōstrabimus. Piperis pōdo millena i Lusitania nummoR. 10000. sūt empta. ꝓ (que) his uectigal illic pēsitatum nūmi. 1000. Naulū deinde illinc in Britānias cōstitit. 300. Ibi rursus aliud uectigal exactū. 500. Vectura deide terra facta nūmis stetit. 200. Ministri in eā negociationē missi impēsa. 2000. Mercator aduecta merce, de singulis piperis libris supra oēs impensas nūmos. 4. lucrifacere destinat: Cęterum hęsitat: quonā p̄cio piperis librā uēdat: ut lucrū illud accedat. Rem sic expediemꝰ. preciū emptiōis, uectigal, naulū, iterū uectigal, uecturā terra factā, ministri impēsam, omnia in unā sūmā colligere oportet. et surgēt. 14000. quibꝰ etiānū lucrū nū moR. 4. destinatū in libras singulas debemꝰ addere: uidelicet nūmos. 4000. sic crescūt. 18000. Quā sūmā in uniuersum mercator et ꝓ sorte et ꝓ lucro totius negociatiōis sibi reddi cupit. At (que) ideo quatuor ꝓportionaliū regula, quā de tribꝰ notis quartū ignotū, pferētibꝰ supra dedimꝰ: e uestigio p̄ciū unius librę patefaciet. Nā sicut uniuersę piperis librę aduectę se hēnt ad totā illā summā p̄ciū at (que) lucrū oium cōplectētē: sic una piperis libra ad suū preciū et suū lucrū se hēre debet. Quocirca si. 1. ducatur in. 18000. idem numerus ꝓducetur. qui si ꝑ numerū uniuersarū piperis librarū uidelicet. 1000. secet. numerus sectionis preciū unius librę nūmos. 18. cōtinebit. Ad eūdē modū p̄ciū et lucrū statuere licet: i his, q̄ numero aut mēsura uēdi cōsueuerūt.

[Page]

COLLATIO IN IACTV MERCIVM FACTO OB NAVEM IN TEMPESTATE SERVANDAM. Quaestio. 14.

SEX MERCATORES EMPTIS MERCIbus nauem onerarunt. Primi merces constiterunt aureis uiginti quin (que). Secundi quadraginta. Tertij quinquaginta sex. Quarti sexaginta quatuor. Quinti septuaginta quin (que). Sexti centum. Graui deinde tempestate inter nauigādum orta, cum nauis onere nimio depressa crebris fluctibus pene obrueretur: nautae saluti suae consulentes, causa leuandae nauis eijciunt in mare grauissimas quas (que) merces: quae pro centum et uiginti aureis alioqui ualebant. Quo iactu factū est: ut seruata nauis reliquum onus in portum destinatum adueheret. Mercatores, quorum erant eiectae merces, postulant: ut cęteri, quorū bona seruata sunt: iacturam cōmuniter sustineant. Id quod illis omnibus aequum uisum est. Caeterum ambigūt quonam modo pro rata cuius (que) bonorum portione collatio ea fieri debeat. Hanc haesitationem explicaturis statim nobis occurrunt duę proportiones. Altera de mercium omnium in nauem impositarū summa ad cuius (que) merces impositas. Altera, quę secūdū illam adaptari debet: de communi omnium iactura ad cuius (que) iacturam sustinendam. Nam sicut omnium merces impositae ad cuius (que) merces se habent: ita omnium iactura ad cuius (que) iacturam se habere debet. Et permutatim. sicut omnium merces impositae [Page] se habent ad cōmunem omnium iacturam. ita cuius (que) impositae merces ad iacturam cuius (que). Quocirca haesitatio haec per quatuor proportionaliū regulam sic facile explicatur: ut primo loco omnium mercium aestimationem simul additam statuamus. Secundo loco uniuscuius (que) mercium ęstimationem separatim aliam sub alia notatā. Tertio loco communem iacturam ad hunc modum. [...]

Deinde si regulā sequamur: deprehendemus primū mercatorem. 8. et 120/360. quę faciūt ⅓. conferre debere. Secundum. 13. et 120/360. quę faciunt ⅓. Tertium. 18. et 240/360. quę faciunt ⅔. Quartum. 21. et 120/360. quę faciunt ⅓. Quintū 25. Sextum. 33. et 120/360. quę faciunt ⅓. Ꝙ si scire cupis: num calculus errauit: singulorum collationes simul adde. quae si uniuersae collectae respondent cōmuni iacturae: recte [Page] supputatum est: alio qui error interuenit.

BONORVM INTER CREDITORES DIVISIO. Quęstio. 15.

SI CVIVSQVAM, QVI SOLVENDO non est: bona inter multos creditores pro cuius (que) debiti rata portione diuidi ideo debent: uel ꝙ is foro cedat: uel ꝙ solum uertat: uel ꝙ post mortē eius propter ęs alienum non adeatur haereditas: ad eundem modū, quemadmodum in iactu mercium de collatione facienda diximus: partitio fieri debet. cuius rei, ut exemplum demus. Esto, creditores octo fuerint: quibus debentur mille. Primo quindecim. Secūdo uiginti quatuor. Tertio triginta duo. Quarto quinquaginta quatuor. Quinto sexaginta. Sexto septuaginta quin (que). Septimo octuaginta sex.

Octauo centum. bona (que) debitoris: quae inter eos sunt distrahenda: nō transcendant centū et quinquaginta. Rem consyderanres duas proportiones statim deprehēdemus. unam de coaceruatis debitis omnibus, quae debentur creditoribus uniuersis: ad id, quod cui (que) debetur. Alteram de uniuersis debitoris bonis ad eam portionem, quā quis (que) creditor habiturus est. Nam sicut coaceruata debita, quae debentur uniuersis se habent ad illud debitum: quod unicui (que) debetur: sic uniuersa debitoris bona ad eam bonorū partem, quam quis (que) creditor habiturus est: se habere debent. Et permutatim. sicut coaceruata debita, quae debentur uniuersis, se habent ad uniuersa debitoris bona: sic illud debitum, quod cui (que) debetur: ad eam bonorum portionē, [Page] quam quis (que) creditor habiturus est. Quare quatuor ꝓportionaliū regula rem reddet expeditam: si primo loco omnia debita simul addita, quę creditoribus uniuersis debentur: ponamus. Secundo loco illud debitum, quod cuique debetur, aliud sub alio seorsum annotatum. Tertio loco uniuersorum debitoris bonorum summam. Deinde faciētes id, quod iubet regula: comperiemus primo creditori obuētura quin (que) et 20/446. Secūdo octo et 32/446. Tertio decē. et 340/446. Quarto decē et octo 72/446. Quinto uiginti et 80/446. Sexto uiginti quin (que) et 100/446. Septimo uiginti octo et 412/446. Octauo triginta tria et 282/446

Certū specimē erit, nihil errasse calculū: si partes cui (que) obuenientes simul additę respondeāt uniuersis debitoris relictis bonis. [...]

[Page]

POSTHVMI HAEREDIS INSTITVTIO. Quaestio. 16.

MORITVRVS QVISPIAM, CVI grauida erat uxor, et mille aureorum hęreditas: sic testamentum condidit. Si uxor mea filiū pariet: is ex besse mihi haeres esto. uxor autem ex triente. Sin uxor mea pariet filiam: uxor ex besse mihi haeres esto. filia uero ex triente. Vxor deinde geminos masculum et foeminam uno partu enixa est. Ambigitur: quonam modo diuidenda sit haereditas: ut defuncti uoluntas non infringatur. Huiusmodi hęsitationem altius consyderantes in primis deprehendimus testatoris uoluntatem esse: ut filius altero tanto amplius habeat: (quam) uxor. Itidem (que) uxor altero tanto amplius: (quam) filia. Ita (que) cum filij pars ad portionem matris dupla esse debeat: ꝙ is duas haereditatis partes, mater tertiam sit habitura: matris (que) pars item ad portionem filię: ꝙ ea duas partes consequutura sit: et filia tertiam: eo fiet: ut pars filij ad filię portionem quadrupla sit futura. Quāobrem numerus aliquis exquirendus est: qui simplum, duplum, et dupli duplum, quod quadruplum ad simplum est: habeat. ut in totidem partes diuidi possit hęreditas. Minimus autem numerus, qui partes eas habeat: capiendus est: quo facilior sit supputatio. Is autem est septenarius. nam unum duplicatū profert duo. ea (que) iterum duplicata, quatuor. quae cuncta simul addita faciunt septem. Et quoniā mille aurei in septem partes diuidendi sunt: quarum quatuor filius habere debet: duas mater: unā filia. quot aurei cui (que) obuenient: [Page] statim excutiemus: si animaduertamus: quae proportio est omnium partium simul additarum: hoc est septenarij numeri ad cuius (que) portionem: eandem mille aureorū esse debere ad eum numerum: qui cui (que) obueniet. Et permutatim. quae omnium partium simul additarum proportio est ad mille aureos: eandem esse portionis cuius (que) ad numerum aureorū inuestigandum. ad regulam igitur quatuor proportionaliū quęsitum applicantes e uestigio rem totam explicabimus: si primo loco omnium partium numerū statuamus. Secundo cuius (que) partem, aliam sub alia notatam. Tertio loco mille aureos: quae tota est haereditas, ad hunc modum. [...]

Deinde regulam sequentes inueniemus filij partē capere 571 et 3/7. Matris. 285 et 5/7. Filię uero. 142 et 6/7. Specimē certū erit, nihil erratum esse: si omnium partes simul additae toti haereditati respondeant.

Ꝙ SI VXOR VNO PARTV TRES FILIos et duas filias ęderet: id quod in Aegypto est frequens: ut mulieres quin (que) geminos pariant: ad eandem rationē partitio fieri deberet: ut quilibet filius ad portionem matris duplū haberet: itidem (que) mater ad portionem cuius (que) filiae. Quocirca numerus capiendus esset: qui bina simpla, [Page] et simpli duplū, at (que) simpli terna quadrupla haberet. Minimum autem numerū, qui bina simpla, et simpli duplū, habeat: cōperies quatuor: qui (que) terna quadrupla capiat: duodecim. ea simul addita fiunt sexdecim. in quot partes haereditas esset diuidenda: ut ex his quilibet filius quaternas, mater duas, filiae unicas accipiant. caetera secundum regulam quatuor proportionalium expediantur.

HAEREDVM INSTITVTIO IN partibus designatis. Quęstio. 17.

ANIMAM AGENS QVISPIAM, CVI quin (que) erant filij, et trium millium aureorum hęreditas: huiusmodi testamentum fecit. Primus filius meus natu maximꝰ ex semisse mihi haeres esto. Secundus natu proximus ex triente. Tertius ex quadrante. Quartus ex quinta parte. Quintus ex sextante. Ambigitur: quonam modo diuidenda sit hęreditas? Nam si testatoris uerba ipsa sequemur: ut primus filius haereditatis dimidium, mille et quingentos aureos: Secundus tertiam partem, mille aureos accipiat: tunc tertius integram quartam, septingentos et quinquaginta aureos consequi nequa (quam) poterit: cū soli supersint quingenti. Quartus autem filius, cui debetur pars quinta: et quintus, cui sexta: nihil omnino habituri sunt. Igitur cū filij partes illas haereditatis a patre designatas consequi integras nō possint: aliae partes minores inuestigandę sunt: quae designatis illis pro portione respondeant: ut singulis filijs satisfiat. Principio ergo exquirendę sunt partes designatae: quę facile [Page] inueniuntur: si relictam summā per singulos seorsum denominatores diuidas. Ita cuius (que) sectiōis numerus partem per denominatorem a patre designatam continebit. Quo fiet: ut dimidium inueniamus, aureos mille et quingentos. Tertiam partem aureos mille. Quartam septingentos et quinquaginta. Quintam sexingentos. Sextam quingentos. qui numeri seorsum alius sub alio debent annotari: ut eorum pro portione alij numeri minores inuestigentur ex summa trium millium in haereditate relicta. Hos autem numeros si filij haberent: ipsis, suo cuiusque uoto, satisfactum esset: nec amplius petere ex hoc patris testamēto possent. Numeri uero hi collecti in uniuersum faciunt, quatuor millia trecenta quinquaginta, qui numerus partes a patre designatas uniuersas habet. Verumtamen quia hereditas relicta summa minori clauditur: nempe trium millium: uidendum quonam modo secundū testatoris uoluntatem facienda sit partitio. Qua in re si post iam cognitas partes designatas penitius hęsitationē scrutemur: proportiones duas comperiemus. unam de simul additis partibus uniuersis designatis ad cuius (que) filij partē a patre designatam. Alteram de uniuersa relicta haereditate ad illam eius partem inuestigandam: quā quis (que) filius pro partis designatae portione accepturus est. quae secundum illam priorem formari debet. Etenim quę proportio est inter uniuersas partes designatas simul additas, et cuius (que) filij partem a patre designatam: eadem inter uniuersam relictā haereditatem et illam eius partem exquirendā, quam quis (que) filius pro partis designatae portione habiturus est: existere debet. Vel si libet permutatim ea comparare. [Page] Sicut uniuersae partes designatae simul additae le nabent ad uniuersam relictam haereditatem: sic cuius (que) filij pars a patre designata ad illam hęreditatis partem exquirendam: quā quis (que) filius pro partis designatae portione accepturus est: se habere debet. post (quam) igitur primo loco partes uniuersae designatae simul additae sunt notatae: Secūdo cuius (que) filij partes, quas pater designauit: alia sub alia seorsum: Tertio relictę hęreditatis sūma: cōtinuo quatuor proportionalium regula rem inuolutam explicat. ex qua deprehendes, primo filio obuenire 1034 2100/4350. Secūdo 689 2850/4350. Tertio 517 1050/4350. Quarto 413 3450/4350. Quinto 344 3600/4350.

Probatio certa est recte supputatū esse: si post hęreditatis partitionem, omnium filiorū partes trium millium aureorū summae respondeant. Haesitationem hanc extricantes uulgarem supputationum morem secuti sumus. Cęterum qui Arithmeticae penetralia magis callēt: breuiori uia sese expediunt. Eam autem in sequenti quęstione trademus. [...]

[Page]

Quaestio. 18.

QVINQVE SOCII TRIA AVREORVM millia lucri facta diuidere inter se de cōpacto sic cupiunt: ut primus unam partem secundam sibi habeat. Secundus unam tertiam. Tertius unam quartam. Quartus unam quintam. Quintus unam sextam. Caeterum haesitant, quonā modo iusta partitio fiet. Ad huiusmodi quęstiones explicādas numerum aliquem exquirere oportet: qui partes denominatas omnes complectatur. Is autem est minimus numerus: quem partium denominatores numerant. qui quemadmodum exquiratur: superiori libro edocuimus. Ita (que) in hoc quaesito minimus numerus, qui partes propositas habeat▪ comperietur, sexaginta. In quo numero, singulae partes propositae seorsum inquirendae sunt. Id quod per sectionem ipsius numeri sexagenarij, per earū singulas, separatim expeditur. Quo fiet: ut partitionis numerus partem de sexaginta secundam, triginta inueniat. Tertiam uiginti. Quartam quindecim. Quintam duodecim. Sextam decem. qui numeri in unum collecti omnes octoginta septem creant. Ad harum partium exemplum, quę de sexaginta sunt erutę: singulorum portiones, de summa trium millium aureorum▪ diuidenda formandae sunt. Nam sicut omnes illi sectionis numeri, quos sexaginta diuisa pariunt: simul additi se habent ad eorum singulos: sic summa trium millium aureorum diuidēda, ad illam summam, quę cui (que) ex partitione debetur: se habere debet. Et permutatim. sicut omnes illi sectionis numeri de sexaginta eruti se habent ad tria aureorum millia diuidenda: sic uniscuius (que) sectionis numerus ad illam [Page] summam, quam quis (que) ex partitione consequetur: se habere debet. Ita (que) si primam sedem omnes sectionis numeri de sexaginta prodiuntes, simul additi teneant: qui sunt 87: Secūdam singuli eorum, alius sub alio seorsum annotati: Tertiam trium millium aureorū summa diuidenda: quatuor proportionalium regula negocium extricabit. [...]

Partes ex sectione cui (que) obuenientes summae diuidenda respondebunt. si recte processit calculus. De industria hi [...] eandem summā: quae in ptoximo quęsito erat: in easdem partes secandā proposuimus: ut lector sciret: quanto breuius per minores numeros, (quam) per maiores, eadem res expediri possit: id quod propter faciliorem tum multiplicationem, tum sectionem, euenire necessum est.

Quaestio. 19.

QVI QVATVOR AMICOS HABEBATeorum primo nouem aureos in testamento legauit. Secundo uiginti quatuor. Tertio tanto amplius (quam) secundo dedit: quantum secundus supra primum [Page] haberet. Quarto tanto amplius (quam) tertio: quantum tertius supra secundum caperet. quaeritur quantū tertius et quartus consequentut. Hęsitationem consyderantes proportionalitatem in ea continuam deprehendemus. Nam sicut primi legatum ad legatum secundi se habet: sic secundi ad legatum tertij se habere debet. Et rursus, sicut secundi legatum se habet ad legatum tertij: sic tertij ad quarti legatum. At (que) e conuerso, sicut quarti legatum se habet ad legatum tertij: sic tertij ad legatum secundi. Et rursus, sicut tertij legatum ad secundi se habet: sic secundi ad primi legatum se habere debet. Quamobrem secundum trium proportionalium regulam supra a nobis enarratāres explicari debet: ut secundi legatum, quod in proportionum comparatione bis repetitur: in se multiplicetur: et uumerus inde procreatus per primi legatū diuidatur. Ita sectionis numerus tertij legatum in lucem proferet, aureos. 64. Et rursus tertij legatum, quod in proportionum continuatione bis repetimus: in se mulriplicandum est: et numerus ex hoc enatus per secundi legatum diuidendus. Quo fiet: ut sectionis numerus quarti legatum manifestet, aureos. 170 16/24. quae sunt ⅔ unius aurei. [...]

Quaestio. 20.

INTER TRES AVREORVM DVCENtorum diuisio de compacto fieri debet: ut primus triplo plus (quam) secundus habeat. Secundus quadruplo plus (quam) tertius. Quonam modo, secundum pactūfiet [Page] iusta partitio? Facile id extricabitur: sia tertio qui minimā partem accepturus est: retrogrado ordine incipias, cui assignes: si libet: unitatem. Et quia in quadruplo secundus tertium superabit: tertij partem quadruplica: et enascentur quatuor. quae pars erit secundi. At quoniam primus triplo amplius (quam) secundus consequetur: secundi pars triplicanda est. et prodibunt duodecim. Ea pars erit primi.

Hinumeri simul additi creant septemdecim. secundū quē uumerū summae propositae partitio fiet. in totidem nā (que) partes aurei ducenti diuidendi sunt: ut ex his Primus. 12. Secundus. 4. Tertius unam habeat. confestim uero quis aureorum numerus cui (que) cedet: secundum regulam quatuor proportionalium excutiemus: si primo loco partes omnium simul additas ponamus. eę sunt. 17. secundo cuiusque partem, aliam sub alia seorsum annotatam. tertio summam. 200. aureorū diuidendam. Nam quae proportio est omnium earum partium simul additarū, ad cuius (que) partem: eadem erit summae diuidendae, ad eam: quam quis (que) habiturus est. Et permutatim. quae proportio est simul additarum omnium partium, ad summam diuidendam: eadem erit cuiusque partis ad eam summam, quam quis (que) consequetur. [...]

Si uis probare secundum pacta processisse calculum: partem [Page] primi in tria diuide. et sectionis numerus secūdi partem educet. Rursus secundi partem in quatuor. et numerus partitionis tertij partem proferet.

QVAESTIO. XXI.

TRES INTER SE PARTIRI CENTVM aureos cupiunt. quorum primus unā tertiam et unā quartā habere postulat. Secundus unam quartam et unā quintam. Tertius unam quintam et unam sextam. Quęritur, quantū cui (que) ex partitione obueniet? Ad huiusmodi quaestiones soluendas, in primis minimus numerus exquirēdus est: qui omnes cuius (que) denominatores simul capiat. Is autem est sexaginta. Ex quo numero, quę partes unicui (que) ex partitione prouenire deberent: si is diuidēdus esset: prius inuestigare oportet. id, quod facile deprehēdi potest, diuidēdo numerū ipsum sexa genarium, separatim per singulos partiū denominatores. Deinde partes ex numeris sectionum inuentę, seorsum addendę sunt: ut sciamus: quantum cui (que) partes suę coniūctę dabunt. Ita numerus partitionis de sexaginta partem tertiam. 20. partē quartam. 15. quę per additionem educunt. 35. primo deberi patefacit. Partem uero quartam. 15. et partem quintā 12. quę per additionem faciunt. 27. secundo deberi. Partem autem quintā. 12. et partem sextā. 10. quę per additionem procreant. 22. tertio deberi. Ad quarū partium de sexaginta erutarū exemplar, post (quam) numeri ex his collecti sunt additi: singuli portiones suas de summa centū ꝓposita facile consequentur. Etenim si primo loco numeri illi, ex cuius (que) partibus separatim per additionem numerorū sectionis iam collecti uidelicet. 35. 27. et. 22. mox omnes [Page] in unū rursus additi statuantur: ut sint. 84. Secūdo singuli illi separatim per additionem numerorū sectionis collecti, alius sub alio seorsum annotati. Tertio summa centū: quę diuidenda est: facile per quatuor proportionaliū regulam res tota extricabitur. Nam sicut in unū coaceruati omnes illi cuius (que) numeri, qui per additionē numerorū sectionis seorsum collecti erant: se habēt ad ipsorū singulos: sic cē tū, quę diuidenda sunt: ad illā summā, quę cui (que) ex partitione debetur: se habere debēt. Et ꝑmutatim. sicut in unū coaceruati omnes illi cuius (que) numeri, qui per additionē nu merorū sectionis seorsum collecti erāt: se habēt ad centū: quę sunt diuidenda: sic singuli cuius (que) numeri per additionem numerorū sectionis seorsum collecti, ad illam summam, quam cui (que) partitio assignabit: se habere debet. [...]

Quaestio. 22.

QVATVOR INTER SE DIVIDERE sexcentos aureos sic cupiunt: ut primus duas tertias, at (que) una nouem aureos, habeat. Secundus tres quintas, et aureos octo. Tertius quin (que) sextas, et aureos septem. Quartus septem octauas, et aureos sex. Ambigitur, quantum cuilibet conferet partitio. In primis minimus numerus, qui omnes has denominationes capiat: inquirendus est. Is autem est centū et uiginti. Quem numerum [Page] si per singulas denominationes seces: inuenies tertiam eius partem, quadraginta. Quintā, uiginti quatuor. Sextam, uiginti. Octauam, quindecim. Cęterū quoniam primus duas tertias habiturus est: quadraginta illa, quae partem tertiā faciunt: duplicare oportet. et surgent octoginta. qui numerus in duabus tertijs reperitur. Et quia ultra duas tertias, primo etiam nouem aurei accedūt: nouem addenda sunt ad. 80. ut fiant. 89. ea summa est eorum: quae primus habere postulat. Porro quia secundus tres quintas habebit: uiginti quatuor, quae quintam faciunt: triplicanda sunt. et fient septuaginta duo. qui numerus in tribus quintis reperitur. et quia ultra tres quintas octo aurei secundo debentur: adduntur octo: quę creant 80. ea summa est eorum: quae secundus flagitat. Pręterea quia tertius quin (que) sextas est consequuturus: uiginti, quae sextam implent: in quin (que) ducere est opus. et prodibunt centum. qui numerus in quin (que) sextis reperitur. cui, quia tertius septem aureos amplius petit: septem adiungātur: et fient centum et septem. Quae summa est eorū: quę tertio deben̄tur. Quartus uero quoniam septem octauas postulat: quindecim, quę octauam creant: ducere in septem oportet. et enascentur centum et quin (que). qui numerus in septem octauis deprehenditur. cui numero (quia quartus sex aureos adhuc exigit) addere oportet sex. et surgēt centum et undecim. quae summa est omniū: quę quartus habiturus est. En tibi numeros: quos quis (que) habere postulat. quos omnes si simul addas: surgent trecenta octoginta septem. Ad cuius summae exemplū ex partibus sic collectae, sexcentorū aureorū partitio fieri debet. Nam sicut [Page] omnes numeri, qui in partibus denominatis seorsum reperiuntur: una cum cuius (que) aureorū accessione, simul additi se habent ad singulos ipsos numeros: sic sexcenti aurei, qui sunt diuidendi: ad numerum, quem cui (que) partitio assignabit: se habere debet. Et permutatim. sicut omnes illi numeri, qui in partibus denominatis seorsum reperiuntur: una cum aureorum accessione, simul additi se habent ad sexcentos aureos: sic ipsorum numerorum singuli ad numerum, qui cui (que) ex partitione debetur: se habere debet. Quocirca primo loco positis numeris illis omnibus simul additis, qui ex partibus denominatis et aureorū accessione surgunt. qui faciunt. 387. Secundo eorum singulis, alio sub alio seorsum annotato. Tertio summa. 600. aureorum: statim quantum cui (que) ex partitione accrescet: quatuor proportionalium regula demonstrabit. Et si partes omnes cui (que) accrescentes, collectae aequales erunt summae diuidendae: nihil est erratum. [...]

Quęstio. 23.

ESTO, CENTVM AVREI INTER TRES ea lege diuidendi sint: ut quoties primus quinos consequitur: secundus senos capiat. quoties secūdus septenos [Page] habet: tertius sumat nouenos. In hac partitione ambigitur: cum pro quiuis quibus (que) primi secundus senos habeat: quantū debetur tertio. Rem inuolutam sic extricabis. Consydera, si septeni aurei secundi tertio nouenos pariūt: facile sciri potest: quot aureos tertio seni secundi referent. Nam sicut septeni secundi se habent ad senos eiusdem: sic noueni tertij ad summam, quam is habiturus est: se habere debent. Et permutatim. sicut septeni secundi se habent ad tertij nouenos: sic secundi seni ad summam, quam tertius est consequuturus. Quar [...] quatuor proportionaliū regula deprehendit, pro numero tertij in tota hac partitione, aureos septenos et 5/7 sumendos esse. Qamobrem si omniū triū numeros uidelicet. 5. 6. et. 7. cū 5/7 in unā summam coaceruatos primo loco statuamus: uidelicet cē tum triginta et unam septimas 131/7. secundo autem eorū singulos, alium sub alio seorsum annotatum designemus: tertio summam centum diuidendam: quatuor proportionalium regula ad exemplum prioris proportionis, quę de omnibus illis partibus ad earum unamquam (que) reperitur: facile posteriorem de summa diuidenda, ad eam summā, quam quis (que) habiturus est: deformabit. statim (que) patefaciet primo 26 94/131. Secundo 32 8/131. Tertio 41 29/131. ex partitione deberi. [...]

[Page] IN HAC partitione faciēda, quādo alioqui exercitatos labi nōnun (quam) uidimus: admonēdos iuuenes esse duximus: ne errarent: ut post (quam) primi et secundi numeros in centum multiplicatos per diuisorem secuerint: cum ad tertij numerum uentum erit: integra in minutias eis adiūctas statim redigant. ut fiant. 54. septimae. quas deinde in centū multiplicent. sic surgent 5400/7. Hoc loco quia minutiae, quae diuidendae sunt: et quae sunt diuisores: eundem denominatorem habent: maior numerator earum, quae secandae sunt: per earum, quae secant: numeratorem minorem, integrorum more, diuidendus est: ut numerus eruatur: qui attinebit ad tertium. Alioqui cum tam diuisor (quam) diuidendus easdem integrorū minutias numerent: nempe septimas: si diuisoris denominatorem, uidelicet septem, in diuidendi numeratorem, integrorum minutias continentem, et diuidendi denominatorem in diuisoris numeratorem, itidem integrorum minutias numerantem, duceremus in formam crucis: tunc tam diuisorem (quam) diuidendum, qui integrorum septimas continent: ad septimarum septimas redigeremus. et cum duas priores sectiones de simplicibus minutijs expediuerimus, scilicet de integrorum septimis: tertiam hanc, quae cum eis consentire deberet: de minutiarum minutijs faceremus: totius (que) partitionis mutaremus diuisorem.

Quaestio. 24.

QVATVOR INTER SE PARTIRI CENtū aureos sic cupiunt: ut quot ternos primus capit: totidem secundus quaternos habeat. quot quinos secundus: [Page] totidem senos tertius sumat. quot tertius septenos: totidem quartus octonos consequatur. Ambigitur quonam modo fiet iusta partitio. Multos exercitatos uidimꝰ ad hoc saxum impingere: dum nec singulorum partes scirent inuestigare: ne (que) his tandem inuentis, summam propositam ad earum rationem diuidere. Tota autem res sic expedietur. Principio singulorum partes ad eundem modū exquiruntur: quem proximo quaesito monstrauimus. Et secundi quidem pars, cui fabricandae primi portio dat legem: facile cognoscitur: cum alter ternos, alter quaternos sit accepturus. Tertij uero portio, quae tot senos habere debet: quot secundus quinos capit: non tam cito sese offert: cum secundus quaternos non quinos sumat. Quā obrem consyderandum est: si quini aurei senos afferunt: quot aureos quaterni reddent. et per quatuor proportionalium regulam deprehendemus tertij portionem capere aureos 4 et ⅘. Rursus quarti pars, quę tot octonos habere debet: quot tertius septenos sumit: cum tertij portio 4 et ⅘ non septenos, capiat: ad hunc modum exquiretur: ut uidendum sit: si septeni pariunt octonos: quot ad eam rationem ex 4 et ⅘ obuenire debent. Et quatuor proportionalium regula monstrabit quarti portionem. 5. et 17/35. Demum post (quam) exquisitae sunt partes singulorum: omnes in unam summam per additionem colligantur. et prodibunt 605/35. quę diuisoris fungentur partibus: et primum [Page] locum tenebunt. secundum singulorum partes aliae sub alijs seorsum annotatae. tertium summa. 100. aureorum: quae diuidenda est. Caetera per quatuor proportionalium regulam expediantur. Cum autem ad quarti portionem uentum erit: post (quam) ea in centum multiplicata est: quia minutiae productę denominatorem habebunt eundem: quem diuisor: ideo numerator earum solus per diuisoris numeratorē, integrorū ritu, secetur. sicut in proximo quaesito monstrauimus. cuius rei rationem illic aperuimus. partes autē cuius (que) apparebūt, hę quę sequūtur. [...]

Questio. 25.

LEGIO HABET PEDITVM SEX MILLIA et centum: Equites septingētos uiginti sex. Esto, pedes stipendium quatuor nūmos sestertios in diem capiat: eques nouem. Si duorum millium aureorum pręda secū dum eandem rationem inter eos distribuenda sit: quantum consequentur equites? quantum (que) pedites? In primis multiplicare oportet equitum numerum in numerū stipendij: quod eorum quilibet in diem capit: et surgent 6534. quae summa seorsum erit annotanda. Itidem (que) faciendum est de peditum numero: et fient. 24400. quae [Page] seorsum etiam notentur. deinde illi duo numeri procreati simul addantur: et prodibunt. 30934. quae summa, si reperta esset: nullo negocio inter equites et pedites posset diuidi. At (que) ideo ad illarum summarum productarū exemplum, haec, quae proposita est: summa duorum milliū erit diuidenda. Nam quę proportio est amborum productorum numerorum ad alterum ex ductu equitum in sua stipendia natum: eadem comperietur numeri propositi duorum millium ad eum numerū: quem equites ex pręda habere debent. Et permutatim. quę proportio est amborum numerorum productorum ad numerum propositum duorum millium: eadem erit alterius ex ductu equitum in sua stipendia nati, ad numerum, quem equites ex pręda consequentur. Quare ut primū de equitibus absoluamus: primo loco ambos numeros productos simul additos locemus. Secundo numerum ex ductu equitum in sua stipendia procreatum. Tertio numerum distribuendum duorum millium. Deinde ex quatuor proportionaliū regula deprehēdemꝰ equitibus obuenire 422 13852/30934. q̄sūt 6926/15467. Ea summa est: quam equites uniuersi consequentur. quā ipsam si per equitum numerū postea diuidas: tum deprehendes: quantum unusquis (que) eques habiturus est. Et quo niam ea minor est: (quam) ut per equitum numerum secari possit: in uiliorem pecuniam multiplicanda est: ut sectionem subire ualeat. De peditum portione inuestiganda, similiter agendum erit. Nam quę proportio est amborum productorum numerorum, ad alterum ex ductu peditum in sua stipendia natum: eadem reperietur propositi numeri [Page] duorum millium, ad eum numerum, quem pedites ex pręda consequentur. Et permutatim, quae proportio est amborum productorum numerorum ad numerum propositum duorum millium: eadem erit alterius ex ductu peditum in sua stipendia nati, ad numerum, quem pedites ex pręda habituri sunt. Caetera eo modo expediantur, quo de equitibus diximus. et peditū portio erit 1577 17082/30934.

ADEVNDEM modum distributio fiat: si inter canonicos et alios cuiusuis templi sacerdotes pecuniā diuidere sic oporteat: ut quoties inferiori sacerdoti tria obueniunt: canonico accrescant quin (que).

Quęstio. 26.

IN VNA MOLETRINA TRINAE MOLAE reperiuntur: quarum unae duodecim horis modios tritici decem et octo moliunt. Secūdae per idem tempus modios tredecim. Tertiae tanto tempore modios octo. Accedit ad moletrinam rusticus, tritici modios afferens uiginti quatuor: quos omnibus molis sic supponi desyderat: ut uno momento singulę suum opus absoluant. et scire cupit a molitore: quanto tempore sit expectandum: ut res expediatur: quantum (que) quibus (que) molis sit subijciendum: ut omnes una desinant. Prima questio facilis explicatu uidetur: si omnes modios simul addamus: quę duodecim horis moliuntur ā trinis molis: cum duae proportiones deprehendantur. una de omnibus illis modijs simul additis: qui sunt triginta nouem: ad modios uiginti quatuor a rustico allatos. Altera de duodecim horis, ad illum horarū [Page] numerum, quo molae expedient opus. Etenim sicut omnes modij simul additi, qui sunt. 39. se habent ad. 24. mo dios a rustico allatos: sic horae duodecim ad illum horarū numerū, quo res absolui potest, se habere debent. Et permutatim, sicut illi. 39. modij simul additi se habent ad duodecim horas: sic. 24. modij ad illum horarum numerum, quo res finietur. Ita demum ex quatuor proportionalium regula comperietur, uiginti quatuor modios a trinis illis molis expediri posse septem horis et quindecim tricesimis nonis. [...]

Post (quam) deinde prius quaesitum de tempore, quo modij 24. simul absolui possunt: exploratum est. posterius quęsitum de modiorum numero, qui singulis quibus (que) molis subijci debet: continuo potest excuti: cū de tempore iam certo ad singularū molarū modios quęstio sit uersa. Nam sicut. 12. horae se habent ad horas. 7. et 15/39. sic. 18. modij, qui per primas molas. 12. horis conficiuntur: ad illum modiorum numerum se habere debet: qui horis. 7. et 15/39 molis eisdem subijcientur. Et permutatim, sicut. 12. horae se habent ad modios. 18. qui per primas molas eo tempore expediuntur: sic horae. 7. et 15/39 ad illum modiorum numerum, qui eisdem molis per id tempus sunt subijciendi. Ad quem modū si per secundas at (que) item tertias molas comparationem facias: quae res ante obscura uisa [Page] est: a regula quatuor proportionalium illustrabitur. Id quod statim fiet: si primo loco horas. 12. statuas. Secundo horas. 7. et 15/39. Tertio illum modiorum numerum, qui a singulis molis duodecim horis confici potest, alium sub alio seorsum annotatum. [...]

ITA comperiemus primis molis subijciēdos esse modios undecim et unius modij unam decimā tertiam. Secundis molis modios octo. Tertijs modios quatuor et duodecim decimas tertias. Qui modiorum numerus in summam collectus profert uiginti quatuor modios a rustico allatos. Ex quo liquere potest recte supputatum esse.

Quęstio. 27.

AQVAE PLENA CISTERNA QVAEPIam fistulas tres habet: ex quarum maxima si extrahas epistomium: una hora aqua tota effluet. Secunda fistula, quae minor est: aquam euomit horis duabus. Tertia, quae minima est: tribus horis emittit aquā. Iam si exemptis epistomijs, una omnes fistulae pateant: Ambigitur: quanto tempore tota aqua effluet? In hac haesitatione explicanda quoniam una hora integra, maxima fistula totam aquam fundit: minor horis duabus: minima tribus: [Page] minimus numerus in primis in quirendus est: quem hi numeri, unum, duo, et tria, numerant. Qui quemadmodum sit inuestigandus: superiorilibro edocuimus. Is autem comperietur numerus senarius: qui numeros hos, a quibus numeratur: partes suas habet. Et quia intra se complectitur numeros illos omnes: a quibus numeratur: qui tempus aquae numerant per singulas fistulas seorsum exeuntis: diuidendus erit: uti mox dicemus. Postea consyderandum est: sicut maxima fistula una hora totā aquā exhaurit: ita quae duabus horis id facit: una hora aquae dimidium effundit. quae tribus horis id peragit: una hora tertiam aquae partem emittit. Deinde quia omnes fistulae uno tempore aperiuntur: omnes numeri inclusi in integro illo et eius partibus, quas numeri eum numerantes denominant: educendi sunt: ut simul addantur. Id quod statim fiet: si integrum illum per singularum partium denominationem seorsum diuidas. quippe si sex per duo seces: tria inuenies. si per tria, duo. Nam quia numerus senarius numerus minimus integer est: quem unū, duo, et tria numerant: qui (que) partem unam secundam at (que) unam tertiam habeat: ipse integer sumendus est. cuius pars quidem secūda, tria, tertia uero duo continet. Hi autem numeri sex, tria, et duo simul additi procreabunt undecim. qui numerus tempus aquae per omnes fistulas fluentis, exprimit: numeros (que) omnes ex integro illo et eius partibus exeuntes simul additos capit. Hic diuisoris partibus fungetur in hoc quaesito. Caeterum quoniam sex ab undecim diuidi nequeunt: ut uter (que) numerus integer maneat: Ideo numerus ille horarum senarius in sexaginta momenta, quę partes [Page] sunt unius horae: multiplicandus est: ut sectionem ferat. Ita numerus continens tempus aquę ex singulis fistulis seorsum effluentis: per numerum momentorum aquae simul ex uniuersis erūpentis diuidetur. qui quoties in horarum numero diuidendo fuerit inuentus: tot effluentis aquae momenta comperientur.

IDQVE ITA habere huiusmodi consyderatione deprehendi potest. Nam cum numerus senarius complectatur omne tēpus separatim elabentis aquae: fistula, quę una hora aquam educit: sex horis sexies id faceret. quę uero duabus horis aquam emittit: sex horis ter id perageret. quae tribus horis aquam exhaurit: sex horis bis aquā effū deret. at (que) ita simul omnes fistulę sex horis aquā undecies educerēt. Verū quia in quaestione proposita aqua tantum semel non undecies ex cisterna fundenda est: quę proportio est inter undecim et unum: eadem erit inter sex, et aquę effundendae tempus. Et permutatim. quae proportio est inter undecim et. 6. eadem erit inter. 1. et tempus aquae fundēdae. Secūdum regulam igitur quatuor proportionalium per. 11. secantes horas. 6. prius in. 60. momenta multiplicatas: uti iam diximus: comperiemus omnes cisternae fistulas patentes triginta duobus unius horae momentis at (que) octo undecimis totam aquam emittere. [...]

VEL SI libet. 6. per. 11. in minutias: secare deprehē demus 6/11 unius horae: quae tempus monstrant exhauriedae [Page] aquae. qui secandi modus cum priori consentit. quippe cum in una hora. 60. sint momenta: quorum pars undecima momenta. 5. et5/11momentorum capiat: ea pars sexies sibi addita profert momēta 32 et8/11. Porro momenta 5. sexies accumulata creant. 30. Rursus5/11momentorum sexies aggregatę educunt 30/11 momentorum: quae duo integra momenta constitunt et 8/11.

PORRO SI ID genus questioni unum integrū nō admisceatur: facilius multo explicabitur. nec erit necesse numerum diuidendum in partes suas frangere. quā do quidem maior diuisore comperietur. Veluti si cisternae alicuius tres sint fistulae: quarū si maxima aperiatur: quatuor horis aqua effluet. si minor: horis sex. si minima: horis octo. et ambigitur: si una omnes fistulae, sublatis epistomijs, patefiant: quanto tempore ex cisterna aqua tota exibit. Principio minimus numerus inuestigandus est: quem quatuor, sex, et octo numerant. Is autem comperietur, uiginti quatuor. qui partes suas habet numeros illos omnes, a quibus numeratur: tempus numerantes aquae per singulas fistulas seorsum exeuntis. Hic numerus secā dus est: ut quaesitum eruamus. Tum consyderandum est: sicut fistula, quae cisternam quatuor exhaurit horis: una hora quartā eius partem emittit: sic quę sex horis id complet: una hora sextam eius partem facit uacuam: quę horis octo aquam educit: una hora partem octauam aufert. [Page] Deinde quia omnes fistulae uno tempore fluunt: omnes numeri comprehensi in illius integri partibus: quas numeri eum numerantes denominant: exquirendi sunt: at (que) una addendi. ut per eos integer ille, qui suis partibus eos includit: diuidatur. Et quia ex. 24. quarta pars continet sex: sexta. 4. octaua tria. sex, quatuor et tria simul addā tur: et fient. 13. qui numerus tempus aquae per omnes fistulas simul effluentis numerat. Hic numerus diuisor numerum. 24. integrum partium suarum denominationibus tempus aquae per singulas fistulas seorsum fusae demonstrantem, atque intra suas partes numeros additos includentem secare debet. Quippe cum numerus. 24. capiat omne tempus separatim effluentis aquae: fistula, quę cisternā. 4. horis exhaurit: horis. 24. sexies id faceret. quae sex horis aquam fundit: horis. 24. quater id cōpleret. quę horis octo aquam educit. 24. horis ter eam emitteret. at (que) ita omnes simul. 24. horis aquam tredecies educerent. Verum quia in quaestione proposita aqua tantum semel non tredecies ex cisterna fundenda est: quae proportio est inter. 13. et unum: eadem erit inter. 24. et aquae effundē dae tempus. Et permutatim. quae proportio est inter. 13. et. 24. eadem erit inter unum et tempus aquę exhauriendae. Secundum regulam igitur quatuor proportionalium per. 13. secantes. 24. comperiemus omnibus fistulis apertis aquam ex cisterna effluere hora una et undecim decimis tertijs. [...]

[Page]

Quęstio. 28.

ESTO, CISTERNA QVAEPIAM TRES habeat fistulas: quarum maxima per horae quadrantem plenam cisternam exhauriat: minor per horae dimidium: quae minima est: per horae spacium totam aquam fundat. si sublatis epistomijs, una omnes fistulae pateant: quanto tempore uacua reddetur cisterna? Haesitatio haec superiori similis est: et simili modo soluenda, praeter (quam) ꝙ illic de horis integris, hic de unius horae partibus quaesitum est. Verumtamen si quem minutias uitare iuuat: id quod plerique omnes, quantum fieri potest: cupiunt: hic quo (que) integrorum more cuncta expediri possunt: ut horae quadrans uelut integrum quiddam computetur. horae dimidium, quod duos quadrantes continet: pro duobus integris. hora uero, quae. 4. quadrantes capit: pro. 4. integris. Ita minimum numerū, quem unum, duo, et. 4. numerant: inuestigantes, deprehendemus. 8. qui numerus omne tempus elabentis aquae complectens diuidendus est. Deinde consyderemus eā fistulā, quae per horae quadrantem totam aquā fundit: per octo quadrantes octies id efficere: quae per horae dimidiū aquā emittit: per octo quadrantes quater id praestare: quae per horae spacium aquam exhaurit: per octo quadrantes bis eam educere: at (que) ita fistulas omnes una patentes per octo quadrātes decies et quater aquā fundere. Sed quia in quęstione proposita aqua tantum semel non decies et quater emittenda est: quae proportio est inter. 14. et. 1. eadem erit inter. 8. et aquae exhauriendae tempus. Et permutatim. quę proportio est inter. 14. et. 8. eadem erit inter. 1. [Page] et tēpus aquae effudendę. 14. igitur numerus diuisor erit. Et quia. 8. numerus diuidendus, qui horarū quadrantes numerat: minor est (quam) diuisor: propterea multiplicetur in horarum momenta totidem: quot horae quadrantem efficiūt. ea autem sunt. 15. Ita surgent. 120. quae si per. 14. secentur: partitionis numerus proferet 8 8/14. totidē nā (que) momentis cisterna uacua fiet.

Quaestio. 29.

AQVAE DVCTVS PER SALIENTEM quatuor horis cisternam implet. Obstruso uero saliente, fistula in cisternae fundo, si tollas epistomium: undecim horis emittit aquam. I am si ua cuam cisternam patefactus saliens impleat: at (que) per idem tempus aperta fistula exhauriat: intra quantum temporis plena erit cisterna? Ex hoc labyrintho sic tete extricabis. Quia cisternam implendi tempus, quod quatuor est horarum: cum euacuandi tempore, quod est horarum undecim: concurrit: quatuor in undecim ducere oportet: ut unus numerus de utro (que) fiat: qui partes omnes utrius (que) temporis intra se cō plectatur. Is autem numerus erit. 44. Et quia tempus implendi celerius est: et euacuādi tardius: obseruare oportet utrius (que) temporis inter se distantiam. Eam autem, si alterum tempus ab altero subducas: numerus restans indicabit. qui reperietur septem. Ita si numerum ex utrius (que) temporis multiplicatione procreatum diuidas per eorum inter se distātiam: numerus sectionis patefaciet: quot horis, effluentis aquę tarditatem celeritas influentis assequetur. [Page] Horaeigitur. 44. diuisae per septem, in numero partitionis educunt. 6. horas et 2/7. intra quas cisterna plena erit. Sic omnes horas et implendi et exhauriendi per multiplicationem in unum numerum collectas earum inter se differentia secabit: ut quaesitum explices. Id (que) ita habere uel ex illa cōsyderatione liquere potest: ꝙ saliens quatuor horis cisternam implens una hora quartam eius partem reddit plenam. fistula autem, quę undecim horis aquam educit: una hora partem undecimam eiusdem quartae partis exhaurit. Ideo ut sciamus: quātum una hora conferet ad implendum: ab una quarta parte pars una undecima subducatur: et supersunt 7/44. quę minutię restantes indicāt: quot partes cisternę una hora implentur. nempe de quadraginta quatuor partibꝰ solę septem. Quoties ita (que) septē in. 44. habentur: totidem horę requiruntur ad cisternam implendam. Nam sicut septem cisternae partes se habent ad. 44. quę sunt omnes eius partes: sic una hora, qua septem cisternę partes implentur: ad illū horarum numerum, quo tota plena erit: se habere debet. Et permutatim, sicut septem partes cisternę se habent ad unam horam: ita. 44. quę sunt omnes cisternę partes: ad eum horarum numerum, quo poterit impleri. [...]

Quęstio. 30.

TVRRIS EXSTRVENDA EST: CVIVS altitudo erit quadraginta cubitorum. singula latera [Page] exterius latitudinem habebunt cubitorum uicenum. interior autem habitatio ad usus hominum per singula latera cubitos patebit quindenos, cōuenit (que) cū operis redemptore, singulos aureos in singulos cubitos [...]ri. quanti igitur constabit totius turris substructio? Ad hoc quaesitum peruestigandum, in primis quia latera omnia paria sunt: eorum latitudinem in se multiplicare oportet. et surgent quadringenta. Deinde numerus ille ex latitudinis ductu procreatus rursus in altitudinē ducendus est: et proueniēt sexdecim millia, tot aureis constaret turris: si esset solida: nihil (que) haberet concaui. Caeterum quia interna habitatio per singula latera cubitos patebit quindenos: ipsam concauitatem in se multiplicare oportet. unde prodibunt ducenta uiginti quin (que). Qui numerus ex cōcauitatis in se ductu creatus denuo in altitudinem ducēdus est: at (que) ita exibūt nouem millia. tot cubitos capit uniuersa concauitas. quae si dematur de turris soliditate: quae sexdecim millium cubitorum erat: restabunt septem millia. tanti constabit absoluta turris.

Quęstio. 31.

MVRVS ERIGENDVS EST: QVI MILle cubitos in longitudinem porrigetur. surget autem in altitudinem cubitos quadraginta. at crassitudo erit cubitorum quin (que). Is fiet ex lapidibus sectis: quorum unusquis (que) dimidij cubiti longitudinem habebit: latitudinem partis tertiae unius cubiti: crassitudinem partis quartae.

Quot eiusmodi lapides muro exstruēdo sufficient? Haesitatio haec sic extricabitur. Muri longitudinem, quae cubitorū est mille: in altitudinem, quae quadraginta est: multiplicare [Page] oportet. et surgēt quadraginta millia. qui numerus procreatus rursus in crassitudinem, quae quin (que) cubitosimplet: ducendus est. et prouenient ducēta millia. tot cubitos tenet tota muri quadratura. Similiter lapidum dimensio, quae constat ex minutijs: in se multiplicanda est. ½ ⅓ ¼ et prodibit una uicesima quarta unius cubiti. quae secti cuius (que) lapidis dimensionem capit. Iam ut scias: quot lapides murum consummabunt: per lapidū dimensionem minutias habentem 1/24 diuidere oportet muri quadraturam: quae ex integris numeris constat. 20000/1. Vnde creabuntur quater millena at (que) octingenta millia. 4800000. toties enim in muri quadratura dimensio lapidum reperitur. At (que) ideo tot lapides muro erigendo sufficient.

Quęstio. 32.

QVATVOR ARCHITECTI AD PRAEtorium aedificandum euocantur. primus uno anno confectum opus dare spondet. Secūdus biennio. Tertius triennio. Quartus quadriennio. Iam si una omnes aggrediantur opus: quanto tempore absolutum erit praetoriū? Quęstio haec similis est illi de cisterna tres habēte fistulas: et simili modo soluenda. Nam minimus numerus in primis inquirendus est: quem hi numeri, unum, duo, tria, et quatuor numerant. Hunc autem inueniemus, duodenarium, qui numeros illos omnes, a quibus numeratur: separatim exstruēdi operis tempus numerantes, intra se cō plectitur. [Page] at (que) ideo annotandus est: ut sectionem subeat. Illud postea animaduertendum est. Qui annū poscit: anno integro rem absolutam dabit. Qui biennium petit: anno uno operis dimidium conficiet. Qui triennium: anno uno tertiam operis partem eriget. Qui quadrienniū: anno uno quartam aedificabit. Deinde quoniam omnes architecti operas suas in unum conferunt: omnes numeri comprehensi in integro illo et eius partibus, quas numeri eum numerantes denominant: perscrutādi sunt: et simul addendi. quo fiet: ut cum duodenarius numerus minimus integer existat: qui ab uno, duobus, tribus, et quatuor numeratur: qui (que) ½ ⅓ et ¼ habeat: pro uno anno integro numerus ipse integer sumendus sit. Et cum eius dimidium. 6. contineat: tertia. 4. quarta. 3. numeri illi, sex, quatuor, et tria, qui denominatis illis partibus sunt inclusi: ad. 12. addantur, et fient. 25. qui numerus tēpus numerat: quo omnes architecti simul operas conferunt. Hic diuisor erit: et numerum illum. 12. in se at (que) in suis partibus numeros additos includentem, separatim (que) aedificantium tempora complectentem, secare debet. Ita tempora separatim extruendi operis uno anno comprehensa, per tempus iunctim erigendi diuidētur. Nam cum numerus duodenarius complectatur omne tempus operis separatim extruendi: architectus, qui uno anno prętorium ędificabit: duodecim annis duodecies id absolueret. qui biennio id çomplebit. 12. annis sexies id efficeret. qui triennio 12. annis quater opus erigeret. qui quadriennio. 12. annis ter opus consummaret. at (que) ita una omnes architecti. 12. [Page] annis uicies et quinquies opus absoluerent. Sed quia in quęstione proposita opus tantū semel non uicies et quinquies fieri debet: ideo quae proportio est inter. 25. et. 1. eadem erit inter. 12. et tempus finiendi operis. Et permutatim, quę proportio est inter. 25. et. 12. eadem erit inter 1. et operis finiendi tēpus. Ita (que) per. 25. secare. 12. oportet. et quoniam numerus diuidendus diuisore minor est 12. quae annos numerāt: in. 12. menses, quae partes sunt unius anni: ducantur. et prodibunt. 144. quae secta per 25. reddent menses. 5. et 19/25. quo tempore praetorium omnes consummabunt. [...]

QVAESITVM explicari facilius potuisset: si unū integrum non fuisset admixtum. sicuti in fistularum quęstione diximus.

Quęstio. 33.

DVO ARCHITECTI suscipiunt opus faciendū: quorum alter diebus triginta solus id perficeret. Alter solus diebus quadraginta. Hi, quo celerius rem finiant: tertium architectum accersunt: at (que) omnes una conferentes operas, diebus quindecim totum opus conficiūt. Quaeritur, quot diebus tertius accersitus id solus effecisset? Vt rem abstrusam eruamus: principio excutere oportet: quantum illius operis uno die, primorum duorum uter (que) pro parte sua fecit. Et quidē scitu facile est: si quindecim illos dies facti ab omnibus operis per utrius (que) dies, quibus solus id absoluisset: seorsum diuidamus. Ita si dies [Page] quindecim per dies primi triginta secemus: cum maior numerus sit diuisor minor diuidendus. eae minutiae prodeant: necesse est. quas numerus diuidendus factus numerator, et numerus diuisor denominator effectus creabunt. uidelicet 15/30. quę ad minimam nomenclaturam redactę faciunt ½. tantum de illo opere primus uno die fecit. Similiter dies secundi. 40. secantes. 15. procreāt 15/40. quae faciunt ⅜. tantum de illo opere secūdus uno die peregit. Iam uero si ½ et ⅜ simul addantur: colliguntur ⅞. tantum uno die de illo opere ambo confecerunt. reliquum fecit tertius. Quantum autem id sit: scies: si ab uno die, quo simul omnes opus faciunt: subducas opus a duobus primis factum: nempe ⅞. ita supererit ⅛. quae minutiae restantes indicāt octauam operis partem uno die a tertio factam esse. Quod cum est compertum: uidendum est: quoties in quindecim illis diebus totius operis facti, minutiae illae, quae tertij opus demonstrant: contineantur. id, quod e uestigio per sectionem patefiet. nam si per ⅛ quindecim secentur. numerus partitionis proferet centū uiginti. quo dierum numero tertius solus opus consummasset.

Quaestio. 34.

TVRRIS CVIVSPIAM PARS TERTIA sub terra latet. Quarta pars sub aqua demergitu [...]. cubiti sexaginta supra aquam eminent. Ambigi [...] [...] [Page] cubiti in terra sint: quot in aqua. Minimum numerum exquirere oportet: quem partium illarum sub aqua et terra tectarum denominatores numerant. Is autem si denominator alter in alterum ducatur: inuenietur. 12. qui numerus non solum latentes illas turris partes intra se complectitur: sed totum etiam turris corpus: cuius illae sunt partes. Qua ratione partes quo (que) caeteras eminentes uniuersas capit. Ita (que) si a tertia et quarta turris parte reliquas separare uolumus: subducamus a. 12. ambas illas sub aqua et terra latentium partium denominationes. quae faciunt. 7. et restabunt. 5. partes reliquę de. 12. Hae autē partes sunt supra aquam exstantes. quae cubitos. 60. in se continent. Iam uero post (quam) comperimus: omnes turris partes esse. 12. at (que) earū quin (que) capere cubitos. 60. Scitu facile est: quot cubiti sint in tota turri. Nam sicut turris partes. 5. se habent ad partes. 12. quae sunt uniuersae: sic cubiti. 60. ad eum cubitorū numerum qui in tota turri continentur: se habere debent. Et permutatim, sicut partes. 5. turris se habent ad cubitos. 60. quos cōtinent: sic partes. 12. quae sunt uniuersae: ad eum cubitorum numerum, quos tota turris capit. Igitur designatis in eum ordinem proportionibus, ut primo loco sint. 5. secundo. 12. tertio. 60. quatuor proportionalium regula deprehēdit in tota turri cubitos. 144. contineri. [...]

Deinde cubitorum numerus, quos tertia pars sub terra tegit: facile eruitur: si numerum uniuersorum turris cubitorum diuidas in tria. sectionis enim numerus. 48. cubitos profert. qui sub terra latent. Eadem facilitate inuenire [Page] licet numerum cubitorū, quos pars quarta sub aquis demersos tenet: si uniuersos turris cubitos in quatuor seces. Nam numerus partitionis educet. 36. Itidem si uniuersū cubitorum numerum uidelicet. 144. in partium uniuersarum numerum nempe. 12. diuidas: in numero sectionis 12. surgent. Ex quo scire licet. 60. cubitos. 5. partes totius numeri capere. quinquies enim. 12. creant. 60.

Quaestio. 35.

ROMAM EX BRITANNIA QVISPIAM proficiscens singulis diebus uiginti millia passuum conficit. Septimo post die alter iter ingressus triginta tria passuum millia quottidie progreditur. Quot diebus illū praecedentem hic sequens assequetur? Vt rem confestim explices: spacium in primis annotare oportet a priore cō fectum: ante (quam) posterior profectus est. id est centū uiginti millia passuum, sex diebus confecta. Quae summa diuidenda est. At illud spacium, quod quottidie posterior amplius (quam) prior conficit: diuisor nobis erit. Id autem est tredecim millia passuum. Ita si centum uiginti per tredecim secemus: deprehendemus in numero sectionis, nouē dies et tres tertiasdecimas. per quod tempus posterior priorē consequetur. [...]

Quęstio. 36.

NAVIS EX BRITANNIA IN PALESTInam proficiscens singulis diebus septuaginta millia passuum procedit: noctibus uero reflante uento, retro a [Page] cursu suo quindecim millia reijcit [...]r. Iam cum tota nauigatio quater millena millia passuū capiat: quando in Palestinā appellet nauis? Facile id extri [...]atu est. nam nocturna milliaria a diurnis deducenda sunt. et summa restans, quae cursū nauis indicat: diuisoris partes subibit: per quā secare oportet totius nauigationis numerū. nempe, 4000. Ita sectionis numerus demonstrabit, septuaginta duobus diebꝰ et quadraginta quinquagesimis quintis nauigationem hanc absolui posse. [...]

Quęstio. 37.

CVRSOR AB EBORACO LONDINVM proficiscens, quin (que) diebus iter conficit. At alter magis expeditus a Londino Eboracum tribus diebus excurrit. Si eodem tempore uter (que), alter a Londino, ab Eboraco alter discedit. intra quantum tempus occurret alter alteri? Ad hoc quaesitum eruendum, ex his duobus cursoris utrius (que) temporibus, laterum uicem subituris per multiplicationem alterius in alterum, unum numerum producere oportet: qui itineris ab utro (que) separatim conficiendi uniuersum tempus per multiplicationem coaceruatū intra se complectatur. tria igitur in. 5. ducta. 15. progenerabunt. qui numerus annotandus est: ut sectionem patiatur. Deinde quia uter (que) uno tempore iter facit: utrius (que) tempus simul est addendum. et per summam ex hoc surgentem: quę est. 8. continuo diuidere oportet numerum illum. 15. productum. Ita sectionis numerus tempus occursus monstrabit. Id (que) ita esse hac consyderatione deprehendemus. [Page] ꝙ qui quin (que) diebus iter peragit: uno die conficit partem eius quintam. qui tribus diebus: uno die tertiam. Quocirca numeri inclusi in producti numeri partibus illis denominatis, quas uter (que) uno die conficit: inuestigandi sunt: et simul addendi. Quo fiet: ut cū de quindecim quinta pars tria, tertia quin (que) capiat: quin (que) et tria simul addātur: et surgent octo. quae summa tempus utrius (que) itineris una conficiendi numerat. Is diuisor erit. Nam numerus intra se complectens separatim peragendi itineris tempora in se multiplicata secabitur per numerum itineris una conficiendi. Et quoties hic in illo deprehendetur: tot dies ad cursorū requiruntur occursum. Ita si quindecim per octo diuidantur: partitionis numerus unum diem et septem octauas proferet. quo tempore in itinere alter alteri occurret. [...]

ALIA etiam consyderatione rem ita se habere facile sciri potest: ꝙ in quindecim illis diebus ex utrius (que) tempore in se multiplicato productis alter cursor quinquies, alter ter iter absoluisset. Qua ratione ambo una octies per id tempus iter confecissent. Verumtamen quia in quaestione proposita ambo semel, at non octies, iter sunt facturi: quę proportio est inter. 8. et. 1. eadem erit inter. 15. et tempus occursus. Igitur secundum regulam quatuor proportionalium per. 8. secantes. 15. in numero secttionis inueniemꝰ 1 ⅞.

Quaestio. 38.

[Page] SPACIVM EST: QVOD EXPEDITVS cursor uno die ter cōficit. Alter paulo segnior uno die bis illud permeat. si alter alteri obuiam eodem tēpore prodeat: quando inter se occurrent: Si rem bene consyderes: quoniam unus dies totum tempus utrius (que) itineris peragendi intra se complectitur: diuidere oportet unum diem per tempus utrius (que) simul additum. quod in summa facit quin (que). ex qua sectione proferet una diei pars quinta: quae tempus occursus indicabit. Id (que) ita esse ex hoc apparebit: ꝙ qui ter uno die spacium transcurrit: tertia diei parte semel id conficit. qui uero bis uno die id facit: dimidio diei id complet. Secundum ita (que) ea, quae pręcepta sunt quęstione proxima: si ½ ducatur in ⅓. exit ⅙ diei: in qua alter ½ sui itineris, alter ⅓ expediet. Deinde quia ambo simul iter faciunt: amborum itinera simul addantur: hoc est ½ ad ⅓. et summa surget ⅚. in quibus simul ambo quinquies ⅙ sui itineris in ⅙ diei parte facient. Cęterum quia in quęstione proposita ambo tantum semel ⅙ sui itineris in ⅙ diei parte sunt facturi: quae proportio est inter ⅚ et unitatem: eadem erit inter ⅙: et tempus, quo inter se occurrent. Igitur secundum regulam quatuor proportionalium, per ⅚ secantes ⅙, in numero sectionis deprehendemus 6/30. quę ad minimam nomenclaturam redactę faciunt ⅕. qua diei [Page] parte ambo inter se occurrent.

Quęstio. 39.

PATERFAMILIAS MINISTRO QVATVor aureos tradit: iubet (que) emi piperis, zingiberis, amyg dalarū, et saccari tot libras ęquali numero: quot ea pecunia suppeditare potest. Minister cū pharmacopola haelitat: quot librae de singulis generibꝰ sumi debeāt. Negocu hoc sic extricabis. In primis animaduerte: quanti una libra generum singulorum in pecunia minutiori constabit. ea (que) ipsa unius librae singulorum precia simul adde. is numerus futurus est diuisor. Deinde in eum pecuniae eiusdem minutioris numerum: quo precium unius aurei soler ęstimari: quatuor aureos multiplicare oportet: numerum (que) ex hoc enatum per diuisorem secare. Ita sectionis numerus rem totam patefaciet. Exempli gratia. Esto piperis libra uendatur nūmis sexdecim. zingiberis decem et octo. amygdalarum duobus. saccari quatuor. Precia haec simul adde. et surgent. 40. Tum quia unus aureus centum nū mis aestimatur: quatuor aureos in numerum centenarium multiplica. et quadringenta produces. quae secta per quadraginta, educent decem. tot libras singulorum generum referunt aurei quatuor. Ratio est in promptu. Nam cum de uno quo (que) genere, singularum librarum precia in vnū diuisorem sint coaceruata: necesse est: quoties is in diuidendo comperietur: tot librae cuius (que) generis prodeant aequali numero. [...]

Quęstio. 40.

[Page] AVRI LIBRAM QVISPIAM MINIStro tradit in uiliorem pecuniam ab argentario permutandam, et cum auri libra cōstet ex aureis quadraginta octo: aureus autem capiat denarios viginti quin (que): quinarios quinquaginta: nummos sestertios centum: ex singulis aequalem numerum, quantus haberi potest: sibi iubet referri. Minister cum argentario deliberat: quot de quo (que) genere nummismata sumi debeant: ut numeri seruetur aequalitas. Haec hęsitatio proximę, quam modo explicauimus: similis est: et simili modo soluenda. Exquirenda nam (que) erit aliqua pecunia uilior: (quam) sint ulla nummismata in quae fit commutatio. at (que) in eam singula cuius (que) generis nummismata, quae pluris valent: redigenda sūt. Ꝙ si nulla minutior in vsu reperitur: fingamus viliorem: at (que) in eam nummismata, quę nobis reddi volumus: redigamus. Et quoniam apud ueteres nūmus sestertius, qui de optatis est minimus: decē aereis quadrantibus ęstimabatur: vniuersa nummismata soluamus in quadrantes. Sic ex aureo in quadrantes ducto prodeunt. 1000. ex denario. 40. ex quinario. 20. ex nummo sestertio. 10. Omnes deinde hi numeri simul sunt addendi: et surgent 1070. qui numerus cuius (que) generis unum nummisma cō tinet. Hic diuisor erit. Postea aùri libra in ipsos ęreos quadrantes multiplicetur: et fient. 48000. quem numerum productum si per diuisorem secabis: sectionis numerus quadraginta quatuor integra proferet. Totidem enim et non plura cuius (que) generis nūmismata aequali numero minister ex auri libra referre potest. Caeterum minutiae adhuc supersunt, noningenti viginti quadrantes. qui quoniam [Page] singulorum nummismatum aequalem numerū praestare nequeunt: pro arbitrio in quamlibet pecuniam commutandi sunt. Aureum hic sumo: quales Romani veteres fuerunt. quorum pleri (que) adhuc exstant: at (que) instar gemmarū in precio habentur. quales (que) nostrates Nobiles rosati: qui veteribus Romanis pōdere respondent: auri vero indicatura paululum quiddam cedūt: cum ueteres Eduardei nostrates et indicaturam et pōdus veterū Romanorum referant. [...]

Questio. 41.

SOCIETATEM TRES IN ANNVM INIerunt. Primus aureos sexaginta contulit: menses (que) tā tum sex in societate mansit. Secundus aureorum summā attulit: quę septem menses socijs communis fuit. Tertius suos aureos in medium prolatos quin (que) mensibus cū caeteris communicauit. Lucrum ex his partum est, quod diuidunt aequaliter. quaeritur quot aureos secundus: quot tertius in societatem intulit? Nodum hunc sic solues. Cū singulorum pecuniae suos menses habeant: primi aureos sexaginta in numerum suorum mensium, quibus communes fuerunt: multiplica. et surgent. 360. Deinde lucrum aequaliter diuisum indicat etiam aliorū aureos in suos mē ses multiplicatos, qui lucrum pepererunt: eandem fecisse [Page] summam: quae primi mensium et pecuniae erat. Quare si utrius (que) aureorum summam a numero suorum mensium sepa [...]are voles: summam illam ex primi mensium et pecuniae multiplicatione collectain bis diuide: semel per menses secūdi, qui sunt. 7. et numerus sectionis pecuniam ab illo collatam indicabit. 51 3/7. Iterum (que) per tertij menses 5. et partitionis numerus aureos ab eo cōmunicatos manifestabit. 72.

Quęsto. 42.

IN SACCVLO COMMVNEM AVREORVM summam tres habebant: quorum unusquis (que) suae summae numerum ignorabat. Verumtamen eorum primus socios suos sciebat ambos centū et quinquaginta aureos habere. Secundus cognoscebat alios ambos habere ducentos et quadraginta. Tertius reliquos habere trecentos uiginti sex. Aperto deinde sacculo, coniecto (que) illo aureorū numero in grandem alienae pecunię aceruum, haesitant inter se: cum suum quis (que) nesciat: quot aureos in uniuersum omnes, quot (que) singuli repetere debeant. Difficile uidetur explicatu prima facie. Caeterū penitius introspicienti res sese aperit. Nam cum tres sint: et eorū unusquis (que) pecunię alienae numerum sciat: suae nesciat: pecuniae portio, quae ad quem (que) attinet: ab ipso ignorata, cognita est a reliquis duobus. Quare si omnes aliorum numeros ab unoquo (que) cognitos in unum addamus: bis singulorū pecuniam numerus ille tenebit. Collecti autem omnes hi numeri procreabunt septingenta sexdecim. qui numerus uniuersam omnium pecuniam bis capiat: necesse est. Quo fit: ut dimidium [Page] eius aureorum numeri, qui ex sacculo effusus est: demonstret. Is autem est. 358. Ea summa est omniū aureorum. Deinde si scire libet: quot aurei ad primum attinebant: a dimidiato illo numero, qui omnium aureos capit: subtrahe summam, quam ipse duos reliquos habere sciebat. ita relictus numerus aureos eius indicabit. 208. Iterum si ab eodem dimidiato numero subducatur numerus: quem secundus reliquos duos habere cognoscebat: remanebunt centum decem et octo. qui numerus aureorum secundi erat. Rursus si ab illo dimidiato numero demas numerum: quem tertius reliquos ambos habere non ignorabat: triginta duo restabunt. totidem erant aurei tertij. Certum est argumentum recte supputatum esse: si collecti omnes numeri post subductionem restantes, qui singulorum aureos indicant: summae dimidiatae, quę omniū aureos capit: et ex qua fit subductio: respondet.

Ꝙ SI DE QVATVOR PROPOSITA FVisset quęstio: quorum quis (que) pecuniam sciuisset aliorum: suam ignorasset. quia pecuniae portio, quę ad quem (que) spectasset: ab ipso ignorata, a reliquis tribus cognita fuisset: summae omnium cognitae in unum additae ter pecuniam omnium collegissent. at (que) ideo numerus ille ex omnibus collectus in tria secādus fuisset: ut numerus sectionis omnium pecuniam mōstraret. Ex quo sectionis numero singulorum deinde partes per subductionem inuestigandae fuissent: eo modo quo dictum est. Itidem si de quin (que) fuisset sic inquisitum. quia pecuniae portio ad quem (que) spectans ab ipso ignorata, a quatuor reliquis fuisset cognita: numerus ex cognitis summis coaceruatus pecuniam cō munem [Page] quater tenuisset: at (que) in quatuor fuisset secandus: ut omnium pecuniam patefaceret. Eodem modo si sex fuissent: per quin (que). si septem: per sex secandus fuisset collectus ille numerus: ꝙ toties caperet singulorū pecuniam. et sic deinceps in infinitum. quęrendae (que) essent per subductionem partes singulorum eo modo, quo diximus.

Quęstio. 43.

SACERDOTEM TENENTEM IN CRVmena pecuniā pauperibus erogandā mēdici tres adeunt. Is eorum inopiae misertus dimidium illius, quod in crumena erat: primo mendico contulit: et duos praeterea nummos. Secundo uero donauit eius, quod relictū erat: dimidium: at (que) ultra id nummos tres. Tertio quo (que) supra dimidium eius, quod restabat: quatuor nummos dedit. Quo factum est: ut unicus nummus superesset. Libet inuestigare: quot nummi in crumena erant. Multo facilius est enarratu: (quam) prima fronte uidetur: si a tertio mendico numeros ordine retrogrado colligere incipias. Nam si ad unicum nummum in crumena relictū addas quatuor: fiēt 5. quos propter dimidiū tertio praeter eos a sacerdote donatum duplicare oportet. sic prodeunt. 10. His tres nū mos secundo ultra dimidium donatos addere debemus. et surgent. 13. quos propter dimidium a sacerdote ei collatū duplicare est opus. Qua ratione. 26. fiunt. His si rursus duos nūmos supra dimidium primo datos addas: creabis 28. quos ipsos etiamnū duplicare necesse est propter dimidium primo datum. sic deni (que). 56. enascuntur. qui nū morum numerus in crumena erat. Id (que) ita habere probabis: [Page] si numerum illum collectū eo ordine distribuas: quo sacerdos fecit. Quippe si primo dones dimidium: supersunt. 28. ex quibus si duos amplius ei eroges: restāt. 26. Iterum eos propter secundum dimidia. et manent. 13. de quibꝰ tres ei supererogati relinquūt. 10. Eos rursus propter tertium dimidia: et reliquos habes. 5. quorum si. 4. ei conferas: unicus nummus restabit.

Quaestio. 44.

QVI AVREOS EX REGIO CVBICVlo surripuerat: suspectus ab hostiario furti, et detentus, eorū dimidium, ut elaberetur: elargitus est. hostiarius insontem putans duos aureos ei reddidit. Iterum secundus hostiarius, illum suspectum habens, exitu prohibuit. cui fur dimidium eius, quod superfuit: obtulit. Is quo (que) insontem existimans redditis aureis. 4. illum dimisit. Rursus illum palacio exeuntem portę ianitor comprehendit. Huic etiam fur dimidium eius, quod restabat: uelut cani offam obiecit. At is caeteris benignior dimisso sex aureos restituit. sic demum fur elapsus aureos tantum. 12. ex furto deportauit. Inuestigemꝰ: quot aureos in uniuersum surripuit? Res sic extricabitur: quēadmodū in proximo quaesito: ut ordine retrogrado a postremo ad primum tendamus: nisi ꝙ illic ad singulas duplicationes, propter aureos supererogatos, additione opus erat: hic ad singulas duplicationes, propter aureos restitutos, subductio necessaria est. Ita (que) si a. 12. illis aureis ex furto deportatis 6. a ianitore restitutos demas: supersunt. 6. quę, propterea ꝙ tertio fur dimidium dedit: duplicare oportet. et fient. [Page] 12. Ab his propter. 4. a secundo hostiario restitutos subtrahamus. 4. sic. 8. remanebunt. Ea deinde ideo duplicemus: ꝙ secundo fur dimidium contulit. ita surgunt 16. A quibus. 2. ob id deducenda sunt: quia primus hostiarius. 2. reddidit. Qua ratione relinquūtur. 14. et quoniā primo hostiario furti dimidium oblatū est: ea duplicentur. et prodibunt. 28. qui numerus uniuersos aureos surreptos capit. Vt autem probemus non errasse calculū: cōuerso ordine numerum hunc ad furis exemplum distrihuamus. et de. 28. primo hostiario dimidium, quod est 14. offeramus. Is nobis reddat. 2. et fient. 16. Horū dimidium secundo hostiario demus: nempe. 8. qui nobis 4. restituat. sic habentur. 12. Eorum deinde dimidium quod est. 6. tertio ianitori offeramus. Is. 6. reddat. et rursus fient. 12. quae ex uniuerso furto restabant. Ad eūdem modū res explicabitur: si cuipiam inuestigare libet: quantum sibi quis (que) hostiariu [...] retinuit. Liquet nam (que) primum hostiarium. 12. sibi seruasse: secundū. 4. tertium ianitorem retinuisse nihil.

Quaestio. 45.

Q VANDO ROTAE LINEA DIMETIens, quam Gręci diametron uocāt: septem pedes habet: quantus erit ambitus apsidis extremę? et quoties in mille passibus rota circūuoluetur? In primis obseruare oportet Geometrica ratione ab ARCHIMEDE deprehensum esse, diametrum tertiam circuli partem et tertię paulominus septimam comprehendere. Nam dimetiens (ut ille ait) si in partes septuagesimas secetur: capit ultra tertiā circuli partem, minus (quam) decem septuagesimas: [Page] quae partem septimam faciunt. At si in septuagesimas primas diuidatur: ultra tertiā circuli partem plus capit (quam) decem septuagesimas primas: quae partes sunt septuagesimis minores: nec septimam partem implent. Propius accedere non potuit ARCHIMEDES, tametsi multa conatus: ut diametri ad circulum rationem inueniret. quae si comperta esset: iam quadratura circuli fuisset inuē ta. quam assequi desperarunt pleri (que) omnes philosophi: qui adhuc fuerūt. et in primis ARISTOTELES ipse.

Vltra ARCHIMEDEM penetrare nemo hactenus potuit. Ita (que) cum omnis circulus ter diametrū et diametri paulominus septimā colligat: sed quantulo minus adhuc non sit compertum: illud faciamus: quod Geometrae solent: ut pro septima, cui paululum deest: septimam sumentes integram, perinde computemus: ac si demetiens tertiam circuli partem, et tertię septimam capiat. Qua ratione si extremae apsidis ambitum ex diametro colligere uelimus: multiplicare oportet septem: qui numerus est diametri: in tria, et numero producto adddere unam septimam. Ita fient uiginti duo. quae ratio erit apsidis rotae ad diametrum. et tot pedes una circumuolutio capiet. Quod post (quam) exploratum est: per numerum illum. 22. secare oportet illum pedum numerum: quem mille pafsus continent. Is autem est quin (que) millia. Nam passus: ut ait COLVMELLA: quin (que) pedes habet. Quo fiet: ut sectionis numerus. 227 6/22 proferat. quae faciunt 3/11. Toties fere circumuoluetur rota in mille passibus. Propius id sciri nō potest propter certam diametri ad circulum [Page] rationem adhuc incompertam. Et uix tandem in immenso spacio deprehendi potest error.

Quaestio. 46.

QVIS NON PVTARET NORMAE FAbricandę artificiū delegandū esse fabris? At emendatae normae faciendae ratio tota pendet a numeris. quam PYTHAGORAS inuenisse traditur. Ea autem est huiusmodi. Porro si sumantur regulae tres: e quibus una lō ga sit pedes tres: altera pedes quatuor: tertia pedes quin (que). Hę (que) regulę inter se compositae summis cacuminibus alia aliam tangant: trigoni habebunt speciem: et normam emendatam formabunt. Nam secundum EVCLIDIS regulam ubi quod ab uno trianguli latere in se ipsum ducto producitur: ęquale reperitur duobus quadratis: quae a duobus reliquis lateribus describuntur: rectus est angulus cui latus illud opponitur. Ita (que) si huiꝰ trigoni singula latera in se ipsa multiplices: numeros (que) ita procrees quadratos. qui ex his maximus erit: tantum in se continebit: quantum duo reliqui quadrati simul additi. quippe tria in se ducta educunt nouem. quatuor (que) item in se multiplicata sexdecim. qui numeri in unū additi uiginti quin (que) proferunt. At si quin (que) in se ipsa ducantur (quod latus e tribus maximum est) itidem enascentur uiginti quin (que). qui numerus aequalis est duobus quadratis reliquis. Id PYTHAGORAS cum inuenisset: non dubitans se a musis in ea inuentione adiutum, hostias his immolauisse dicitur. Ab illo igitur certa ratio normam fabricādi per numeros deprehensa est: cum ante eum fabri normam facientes [Page] uix magno labore rem ad uerum perducerent. Nihil autem refert: quod mensurę genus numeretur ab ipsis numeris normam efficientibus. Nam siue unciae fuerint: siue palmi, siue pedes, siue cubiti, siue aliud quidlibet: eorum summa cacumina simul coeuntia normam deformabūt. Iam quod hi numeri primarij, tria, quatuor, et quin (que), in quibus normę ratio primum inuenta fuit: perficiūt: itidem id praestabunt omnes numeri maiores eandem rationem habentes. cuiusmodi sunt triginta, quadraginta, quinquaginta. quorū qui maximus est: in se ductus quadratum producet aequalem duorum reliquorū quadratis. [...]

EXPLICITVS EST LIBER TERTIVS DE VARIIS NVMERORVM QVAESTIONIBVS EXPLICANDIS. SEQVITVR LIBER QVARTVS DE PROPORTIONIBVS.

[Page]

4

4

[Page]

CVTHEBERTI TONSTALLI IN LIBRVM QVARTVM PRAEFATIO.

QVI IN NVMERORVM abdita penetrare uolet: proportionibus dinoscendis operam dare debet. quarum non solum in numeris, uerumetiam in tota rerum natura tanta uis est: ut sine ea nihil uel ad usus hominū utile, uel ad aspectus amoenū, reperiri possit. id quod, quocum (que) oculos tuleris: facile intelligas. Principio quae ad habitationem nostram ędes fabrefactae sunt: nisi laxitatem longitudini at (que) altitudini congruentem habeant: inamoenae et incommodae ab omnibus existimantur. Si nimis sunt luminosę: pręter (quam) ꝙ sub dio habitare uidemur: ad frigora arcenda tempestates (que) ferendas inutiles putantur. Silumina in his uel angusta sunt: uel rara: carceris speciem referūt. Si parietes nimiū crassi: castella uidentur. Cōtra si nimium tenues: parum tutas a furibus credimus. Ita nisi singulae aedium partes sibi pro portione respondeant: earum gratia tota perit. Pictorum uero ars tota, quae ad hominum oblectationem inuenta, magno (que) in precio apud ueters habita est: nihil praestabit gratū: si quę illustrari deberent: fuscis obscurentur coloribus: si quę obscurari: fiāt illustria: si in corpore depingendo membra alia enormia, alia exilia inter se non consentiant. [Page] quippe risum non uoluptatem irritus labor pariet. At si colores floridi temperentur austeris: candidi fuscis: fulgentes umbrosis: ut quę longinqua sunt recessisse uideantur: quę propinqua: sic emineant: ut exstare uideri possint: si uniuersa lineamenta sibi pro portione consentiant: neminem non ea ars summopere delectabit. Qui disciplinae militari dant operā: et arma corporibus, et tela tormentis, habilia quaerunt. Qui classem ędificant: armamenta pro nauium parāt magnitudine. Sarcinatores, qui uestimenta faciunt: sic ea aptare student: ut corporū seruent symmetriam. Cętera itidem artificia proportionū cognitionem uniuersa postulant. Quid medici, qui pharmaca dant ęgrotis? An nō eorū summa cura est: ut post (quam) morbi uim sagaci solertia deprehenderunt: sic calida frigidis, sic humida siccis misceant: ut aegroti corporis temperamento conueniant. id quod ignoratis proportionibus, fieri nequa (quam) potest. Ipsa etiam ciborum nostrorum condimenta, dum sani sumus: nisi salsa recentibus, acria dulcibus, austera lenibus, temperentur: ingrata palato, at (que) insipida comperiemus. Ita nec corporis humani sanitas incolumis seruari, nec labefactata refici, sine proportionum notitia facile poterit: ut non abs re existimari possit, corpora nostra non magis ex quatuor elementis, (quam) eorum pro portione constare. Deni (que) omnium opifex deus et mūdi fabricę et rebus in ea creatis uniuersis eam formā dedit: ut cuncta inter se symmetriam tenerent. id quod in singulis licet cernere: siue cęlum, siue terrā spectes. Quocirca sacrę Literę, mensura, numero, et pondere, quibus in rebus maxime uis proportionum eminet: deum omnia [Page] disposuisse testantur. Et ne in confirmandis his, quae in confesso sunt: longius immoremur. [...]u [...] palam sit nihil us (quam) uel aspectu decorum, uel usu gratū esse: cui desit proportio: propterea cognitionem eius ad uitam transigendam operaeprecium erit expetere. Quod cum ad caetera negocia commodius gerēda, tum praecipue ad artem supputandi discendam, plurimum conducet. in qua sine proportionum notitia nihil arduum explicari potest. Igitur in hoc libro genera proportionum paulo altius in primis repetere est animus. Deinde earum subijciemus additionem, subductionem, multiplicationem, et sectionem. Postremo regulas quasdam ad supputationem utiles, quę sine his ne intelligi quidem queunt: studiosis prodemus.

QVANTITATIS SPECIES.

QVANTITATVM SPECIes duae reperiuntur, Altera continua est: quae magnitudo dicitur. Altera discreta: quę siue multitudo, siue numerus appellatur. Ipsa etiā magnitudo species habet duas. Altera est immobilis: quam Geometria tractat. Altera mobilis: de qua Astrologia consyderat. Itidem multitudinis duae species occurrunt. Earum altera per se consyderatur: [Page] de qua differit Arithmetica. Altera refertur ad aliud. eā musica pertractat. Numerus uero est unitatum collectio.

DE PROPORTIONE ET EIVS GENERIBVS.

PROPORTIO EST DV ARVM: QVANTAEcū (que) sunt: eiusdem generis quantitatū, certa alterius ad alteram cōparatio, at (que) habitudo. propositis nam (que) quibusuis duabus quātitatibus, necesse est alteram altera uel maiorem, uel aequalem, uel minorem esse. Illa ita (que) habitudo, qua sese uel aequaliter, quando sunt ęquales: mutuo respiciunt. uel inęqualiter, quando earum altera maior reliqua, aut minor est: appellatur proportio. quę nihil aliud est: (quam) earum inter se comparatio. Eiusdem quo (que) generis quantitates esse debent: inter quas cadit proportio. Veluti duo numeri, duae lineae, duę superficies, duo corpora, duo loca, duo tempora. ne (que) enim linea maior aut minor superficie est, aut corpore: nec tempus loco maius est, aut minus. sed linea linea: superficies superficie: corpus corpore. sola enim, quae unius sunt generis: inter se comparabilia sunt. Proportio autem habitudo certa est. quasi diceres. sic determinata: ut haec sit, et non alia. Ne (que) enim necesse est: ut omnis duarum quantitatum habitudo uel a nobis sciatur: uel a rerū natura. Quippe proportio apud ueteres in tria secatur genera. quorum unum est discretorum, uidelicet numerorum: quod uocant Arithmeticum. Alterum continuorum: quod geometricum appellant. [Page] Tertium sonorum et concentuum: quod armonicū nuncupant, exillorū utro (que) mixtū: ꝙ musica in pausis et prolationibus tēpus spectet: in [...]brante uocū notarum (que) diuisione, numeros. Et quia adinstitutū nostrū tertiū hoc genus non attinet: parū admodum in hoc libro de eo dicturi sumus. In numeris autem omnis minor est pars aut partes maioris. quāobrem in eis omnibus certa est habitudo et nota. At uero in cōtinuis proportio est magis larga. Nōnun (quam) enim in eis minor quātitas est pars aut partes maioris. et talium omnium, interuenientibus at (que) adiuuantibus numeris, nota est proportio: quae et rationalis uocatur. Huiusmodi autem quantitates siue communicantes, siue commensurabiles dicuntur: quia eas una et eadē quantitas necessario metitur. Quo fit: ut omnes numeri sint communicantes: ꝙ omnes eos metiatur unitas. Saepenumero autem in continuis minor quantitas nō est pars aut partes maioris. et in talibus proportio ne (que) nobis nota est: nec naturae. qualis est inter quadrati diametrum et eius costam: cum nulla un (quam) mensura: quae utri (que) sit communis: inueniri possit: tametsi diametri quadratū duplum sit ad quadratum costae. Huiusmodi autem proportio irrationalis nuncupatur: et hae quantites incōmunicantes, siue incommensurabiles. Vnde fit: ut quęcum (que) proportio occurrit in numeris: eadem reperiatur in omni genere continuorum. puta in lineis, superficiebus, corporibus, et temporibus. At non e conuerso idem accidet. Infinitae nam (que) reperiuntur in continuis proportiones: quas numerorum natura non sustinet. Cęterum quęcum (que) proportio in uno genere continuorum accidit: eadem [Page] comperietur in omnibus alijs. Nam qualitercū (que) se habet aliqua linea ad quamlibet aliam: sic se habet quęlibet superficies ad aliquam aliam: et quodlibet corpus ad aliquod aliud: similiter et tempus: non autem sic se habet quilibet numerus ad aliquem alium. Quocirca in cōtinuis proportio magis larga est, (quam) in discretis. Quo fit manifestum, proportionem geometricam maioris abstractionis (quam) Arithmeticam esse. Omnes enim proportiones, circa quas Arithmetica uerfatur: rationales sunt. de quibus hoc libro maxime dicturi fumus. Geometria uero et rationales et irrationales ęqualiter consyderat.

PROPORTIONIS RATIONALIS SPECIES.

PROPORTIONIS RATIONALIS SPEcies sic dinosces. Omnis quātitas ad aliā cōparata aut ei ęqualis: aut inęqualis reperitur. Quantitas ęqualis est: quae nec sibi comparatam excedit: nec ab ea exceditur. Veluti cubitus ad cubitum collatus. pes ad pedem. numerus quaternarius ad quaternarium. Inęqualis autem quantitas, quae sibi comparatam excedit: proportionem ad illā habet inęqualitatis maioris: ueluti cubitus ad pedem. numerus quaternarius ad binarium. Ꝙ si ab illa exceditur: minoris ad illam inęqualitatis proportionem habet. veluti pes ad cubitum. numerus binarius ad quaternarium.

MAIORIS VERO inęqualitatis species sūt quin (que): quarum tres sunt simplices: uidelicet multiplex, superparticularis, et superpartiens. Duae uero reliquae cō positę, [Page] nempe multiplex superparticularis et multiplex superpartiens ex prima et duabus reliquis conficiuntur.

Quibus rur [...]us aliae quin (que) species inaequalitatis minoris opponuntur. quę eadem seruant n omina: praeter (quam) ꝙ prępositio haec, sub, in singulis nominibꝰ apponitur: ut submultiplex. subsuperparticularis. subsuperpartiens. et sic deinceps.

PORROVT DE primis quin (que) suo ordine dicamꝰ Quantitas ad aliam multiplex est: quae eam pluries integram continet. Et si bis eam capit: dupla dicitur. si ter: tripla. si quater: quadrupla. sic (que) in infinitas species uariat. Vtigitur sciatur: quomodo singulaeeius species generantur: facta numerorum ferie naturali, ueluti. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. quilibet eorum, qui pręcedentem pe [...] unitatem superat: sub alia et alia specie multiplex est ad un [...]. secūdus enim duplus est: tertius triplus. quartus quadr [...] plus. et sic deinceps. Et sicut in infinitum in hoc naturali numerorum progressu species multipliciter uariantur: ita etiam in qualibet specie generari possunt infini [...]numeri.

DVPLORVM in primis generatio huiusmodi est. sicut enim primus numerus par, uidelicet binarius, duplus est ad unitatem: ita secundus par, qui est quaternarius: ad binarium numerū duplus erit. et tertius par, qui est senarius: ad ternariū. quartus par, qui est octonarius: ad quaternarium. quintus (que) par, qui est denarius: ad quinarium numerum duplus erit. et sic deinceps in infinitumin generatione duplorum progressus fieri potest.

TRIPLORVN autē generatio sic obseruatur. In naturali numerorum serie post ternarium, qui unitati triplus [Page] est: duobus intermissis, puta quaternario et quinario, senarius, qui sequitur: triplus ad secundum numerum naturalis seriei binarium comperietur. Iterum etiam omissis alijs duobus, uidelicet septenario et oct onario, peruenietur ad nouenarium, qui triplus est tertij numeri. Et rursus 10. et. 11. intermissis, duodenarius triplus erit ad quartū numerum. ad quem modum sine fine progredientes, triplos im [...]niemus. Erit (que) triplorum continue unus impar, alius par alternatim.

QVADRVPLORVM uero generatio incipit. si quis post quaternarium tres numeros, veluti quinarium, senarium, et septenarium intermittat. quartus enim occurrit octonarius: qui ad binarium numerum, qui secundus est quadruplus reperitur. At rursus. 9. 10. et. 11. intermissis, duodenarius numerus ternarij numeri, qui tertius est: quadruplus erit. et sic deinceps. singuli autem quadrupli numeri sunt pares: sicut in duplis euenit.

SIMILITER si quatuor numeros intermittas: quintupli inueniuntur. si quin (que): sextupli. si sex: septupli. at (que) ita semper proportionis generandę denominatio per unitatem superabit numeros omittendos. Omnium autē numerorum multiplicium, quorum denominatio est impar: unus par et alius impar alternatim erit. sed multiplicium, quorum denominatio est par: singuli pares erunt.

QVANTITAS superparticularis ad aliā dicitur: quę semel eam continet: et aliquam eius partem. Et si eam et eius dimidium continet: uocatur sesquialtera. si eam et eius tertiam: dicitur sesquitertia. si eam et eius quartam: erit sesquiquarta. et sic in infinitum nomina ducere licet. [Page] In comparatione tali numeri maiores dicuntur duces: minores uero comites. Generantur autem superparticulares proportiones ad hunc modum.

ET PRIMVM quidem de sesquialterae origine dicamus. Dispositis uno ordine singulis numeris tertiam partem habentibus, qui per continuam additionem ternarij in infinitum procedunt. sicuti. 3. 6. 9. 12. 15. 18. omnes duces procreabuntur proportionis sesquialterę. quibus si singuli numeri pares sua serie subscribantur ꝓuenient omnes eiusdem proportionis comites: si primū primo: secū dum secundo conferamus. et sic deinceps. [...]

ITEM dispositis singulis numeris quartam partem habentibus, qui per quaternarij cōtinuā additionem procreantur. veluti. 4. 8. 12. 16. prodibunt omnes duces proportionis sesquitertię: qui omnes numeros triplos siue tertiam partem habentes comites habebunt. si primus primo, secundus secundo comparetur. et sic deinceps. [...]

SIMILITER generatur proportio sesquiquarta: si ad singulos quadruplos singuli quintupli comparentur.

[...] At (que) ita deinceps procedetur per proportionis superparticularis singulas alias species.

ACCIDIT autem proportioni superparticulari admiranda haec proprietas: ut in quibuscum (que) numeris huius speciei primus dux primum comitem per solam unitatem [Page] transcendat: secundus, secundum per binarium; tertius tertium per ternarium; et ita deinceps per ordinem fit ascensus. Potest autem tabella depingi: in qua proportion ū tam multiplicium (quam) superp articularium, quotquot uoluerimus; species generentur. Cuius formam supra libro primo de numerorum multiplicatione praecipientes descripsimus. Hic autem iterum eam oculis subijcere putamus operaeprecium. [...]

[Page] IN HAC tabellę formula secundū longitudinem et latitudinem eadem est numerorum progressio. Ita (que) si secū dus ordo siue in longitudine siue in latitudine ad primum comparetur: accidit continua generatio primae multiplicium speciei: uidelicet duplorum. si enim. 2. ad. 1. aut. 4. ad. 2. aut. 6. ad. 3. et ita ulterius comparemus: prouenit ubi (que) dupla proportio. unde et in ista ꝓportionis specie, primus dux primū comitem per solam unitatem superat. secundus secundum per binarium. tertius tertium per ternarium et ita per ordinem sit ascēsus. Itidem si tertius ordo ad primum confera [...] generabitur species tertia multipliciū, nempe proportio tripla superabit (que) primus dux primum comitem per binarium: secundus secundum per quaternarium: et ita per incrementum binarij continue fit progressus. Ad haec si quartū ordinem compares ad primum: quadruplorū generatio proueniet. et primus dux primum excedet comitem per ternarium: secundus secundum per senarium: et ita per additionem ternarij cōtinua fit accumulatio. sic (que) per singulas multipliciū species procedere in infinitū licet. Generatio uero superparticulariū ad hunc modum consyderabitur. Si enim tertiū ordinem comparemus ad secundum: accidet procreatio continua proportionis sesquialterae. Item si quartū ordinem ad tertiū cōferamus: prodibit ꝓportio sesquitertia. si quintū ad quartū: sesquiquarta generabitur. Et ita per ordinē singulae superparticularium species procreantur. superabit (que) in omni eius specie primus dux primum comitem per unū: secundus secundum per. 2. tertius tertium per. 3. et sic deinceps, quemadmodum in duplis euenit.

[Page] ACCIDVNT autem praedictae formulae proprietates admirandae. 5. quarum prima hęc est. Numeri istius formulae ab unitate angulariter secundum quadrati diametrum descendentes puta. 1. 4. 9. 16. at (que) ita deinceps, singuli sunt quadrati. sic (que) ad singulos quadratos deuenire licet, surgentes ex numerorum ductu in se ipsos. Secunda formulae huius proprietas est. singuli eius numeri longilateri sunt: qui immediate numeros angulares circumcingunt. Sunt autem numeri longilateri: qui ex duorum numerorum ductu, unius in alterum, producuntur: quorum unus alterum sola unitate superat. Veluti circa. 4. sunt. 2. et. 6. quorum binarius ex ductu unitatis in. 2. et senarius ex ductu. 2. in. 3. procreatur. Similiter circa 9. sunt. 6. et. 12. sic (que) per ordinem inuenies omnes numeros longilateros, circa numeros angulares. Tertia huius formulae proprietas est. Si duo numeri alicui numero angulari circumpositi coniunctim addantur ad duplum ipsius numeri angularis: surget numerus quadratus. Veluti additis. 2. et. 6. ad bis. 4. prodeunt. 16. Quarta proprietas est: si duo quadrati angulares proximi simul addantur ad duplum numeri ab ipsis circumsepti: numerus nascetur quadratus. Nam additis. 4. et. 9. ad bis. 6. producuntur. 25. Quinta proprietas est. ubicū (que) in hac formula reperitur aliqua figura quadrata: idē ex ductu angulorū oppositorū in oppositos producetur. puta si. 4. in. 9. ducas: aut. 6. in. 6. nam idē utrobi (que) exibit. vel si. 3. in. 15. ducas: aut. 5. in. 9. idem producetur. Multa alia admiranda at (que) utilia in hac tabellae formula reperiri possunt: qualia sunt ea: quae de multiplicatione et diuisione per eā [Page] facienda, primo libro monstrauimus. Verum his omissis, ad propositum reuertamur.

QVANTITAS ad aliam superpartiens dicitur: quae ipsam semel intra se capit: et insuper aliquot eius partes: de quibus simul sumptis non fit maioris quā titatis pars una aliquota. quae species tam ex numero partium superfluentium: (quam) ex earum denominatione uariatur in infinitum. Ex numero partium. ueluti si numerus maior minorem cōtinet et eius partes duas: dicitur superbipartiens. si uero eam capit, et tres eius partes: supertripartiens dicitur. et sic deinceps. Item ex denominatione partium, puta si maior minorem semel continet, et duas eius partes: quarum quęlibet tertiam facit: uocatur superbipartiens tertias: uel magis germano uocabulo superbitertius. et si minorem includit, et tres eius partes: quarum quaelibet quarta est: dicitur supertrip artiens quartas: uel magis supertriquartus. ne (que) in tali ꝓgressu status aliquis erit. Huiusmodi autem proportio, ubi tam numerus partium (quam) earum denominatio uariatur: continue generari potest: si series una numerorum fiat a ternario incipiens, et quantumuis ulterius secūdum ordinem naturalem procedens. Deinde fiat alia series: in qua sumpto initio a quinario numero, singuli sequētes impares per ordinem subscribantur. [...]

NAM si primum ordinis inferioris ad primum superioris conferamus: proportio orietur superbipartiens tertias, siue superbitertia: si secundum secundo: supertripartiens quartas, siue supertriquarta. et sic sine fine. Ꝙ si singulos [Page] utrius (que) seriei numeros duplicemus: secundi numeri prodibunt sub eisdem ꝓportionibus constituti: sunt enim. 10. et. 6. secundi numeri, interquos est superbitertia ꝓportio. Similiter si duplicemus duos secūdos. fiunt. 8. et. 14. qui sunt secundi numeri: inter quos cadit supertri quarta proportio. et siodeinceps. Itidem si utrius (que) seriei numeros triplicemus: tertij numeri nascentur proportionem eandem uendicantes. ut. 15. ad. 9. 21. ad. 12. et sic in infinitum progressus fieri potest per singulas species. Ex hoc Arithmetici deprehendunt hic dormitasse BOETIVM non inoelebrem authorem: qui in generatione continua huiusmodi numerorum dicit secundum ducem et secundum comitem, inter quos est proportio prima supertriquarta: debere triplicari. et tertium ducem et tertium comitem, inter quos est proportio superquadriquinta: quadruplicari: et ita deinceps. ut per hoc nascantur secundi numeri sub eisdem proportionibus constituti. Male etiam hic admonet numeros triplicatos iterum triplicari debere: quadruplicatos iterū quadruplicari, ut caeteri numeri sub eisdē ꝓportionibus procreentur. Pręterea Boetius in generatione superpartientium de his tantum admonuit: in quibus denominatio partium per unitatem solam numerum earumdem superat. Veluti de superbitertia, supertriquarta, superquadriquinta, et huiusmodi. nec docet quomodo suꝑbiseptima uel alie huiusmodi generentur. Etideo ut de cuiuslibet speciei generatione instruamur: capiamus numerū denominantem partes proportionis propositę. qui numerus erit primus comes proportionis illius. cui deinde addamus numeratorem partiū [Page] proportionis eiusdem: sic procreabimus primum ducem. Verbi gratia. si ꝓportio supertriseptima generanda proponatur. capimus. 7. cui si addamus. 3. prodibunt. 10. sunt ita (que). 10. et. 7. minimi numeri: inter quos proportio suꝑtriseptima reperitur. quibus duplicatis, exeunt numeri secundi eiusdem proportionis. et triplicatis, fiunt tertij. id, quod per hanc regulam fit manifestū. uidelicet quia multipliciū et submultiplicium proportio semper est eadem.

QVANTITAS multiplex suꝑparticularis ad aliā dicitur: quę eam pluries (quam) semel et aliquam partem eius aliquotam cōtinet: et hoc uariatur tam ex parte multiplicis, ueluti dupla superparticularis, (quam) ex parte superparticularis. ut dupla sesquialtera. tripla sesquitertia. Vbi autem stante denominatione ex parte multiplicium species solummodo ex parte superparticularium uariātur. sicut in dupla sesquialtera, dupla sesquitertia, fiet eorū generatio per hūc modū. Disponantur numeri a binario secundū ordinem naturalem: quibus singuli impares a quinario subscribantur. comparātes ita (que) primum ad primū, habebimus proportionem duplam sesquialteram: secundum ad secundum, duplam sesquitertiam: tertium ad tertium, duplam sesquiquartam. [...]

Pro generatione autem triploR superparticulariū fiat primus ordo ut prius: et in secundo ordine post initiū a septenario sumptū numeri continue per additionem ternarij augeantur. [...]

[Page] At pro quadruplorum superparticularium generatione, stante priori ordine, numeri in secūdo a. 9. sumentes initiū per additionem quaternarij continue augeantur. et ita deinceps, quantumcum (que) uoluerimus: procedemus. post (quam) uero in prędictis ordinibꝰ numeri primi et minimi in suis proportionibus constituti sunt. si eos duplicauerimus numeri nascentur secundi. si eos triplicauerimus: tertij eisdē proportionibus congruentes. [...]

QVANTITAS ad aliam multiplex superpartiēs dicitur: quę eā pluries (quam) semel, et eius aliquot partes continet: ex quibus non fit maioris quātitatis una aliquota. quae species tam ex parte multiplicis (quam) ex parte superpartientis in infinitum uariatur. Accidit autem huiusmodi proportionis generatio ad hunc modum. Proposita quauis tali proportione, capiatur numerus denominans partes minoris numeri in eadem: ut ille sit primus comes: deinde uel duplicetur: uel triplicetur ille numerus secundū denominationem multiplicis in illa ꝓportione. tali (que) numero sic multiplicato addantur unitates secundum numerum partium proportionis propositę. et primus dux in ea proportione nascetur comparādus ad primum comitem. Verbi gratia. in proportione tripla superquintiseptima ca piantur. 7. quibus triplicatis et. 5. superadditis, surgent 26. Ita (que). 26. et. 7. sunt primi numeri sub proportione proposita constituti. Quibus duplicatis nascentur secundi: triplicatis: tertij. et ita deuenire licet ad omnes numeros sub ea proportione consistentes. Annotandum autem [Page] est sin gulas species harum quin (que) in formula quadrilatera superius scripta inueniri posse: si in immensum ulterius extendatur. Ad primum enim ordinem reliqui singuli comparati singulas multiplicis species procreabunt. Item si tertium ordinem ad secundum: et quartum ad tertium: et ita ulterius conferamus: mille superparticulariū species orientur. Ꝙ si quintum ordinem ad tertium, et septimum ad quartum, et nonum ad quintum comparemus: et ita progrediamur: habebimus singulas species superpartientium. Item si secundum ordinem ad quintum, et ad sep timum, et ad nonum, et ita deinceps, contulerimus: multiplicis superparticularis species uariae prodibunt. At multip licium superpartientium procreabuntur species: si ad tertium ordinem octauus, et undecimus, et quartus decimus, at (que) secundū eam rationē alij referātur.

HAE quin (que) species, quae iam sunt descriptae: alias etiā quin (que), quae sibi sunt oppositae: manifestant. Etenim hoc tantum inter eas interest: ut cum per singulas has species maior numerus, sicuti diximus: ad minorem comparetur: in illis contra fiat: ut minor conferatur ad maiorem. At (que) ideo, sub, praepositio, singulis earū nominibus apponatur. Cęterum illarum generatio et harum est eadem.

DE PROPORTIONALITATE.

PROPORTIONALITAS est proportionum inter se similitudo: Ea autem bifariam secatur. Altera nam (que) proportionalitas continua est. Altera incontinua: quam eandem separatam appellare licet.

CONTINVA ꝓportionalitas est: cum quotlibet quā titatum [Page] eiusdem generis, qua proportione prima antecedit secundam: eadem quaelibet aliarum proximo consequentem antecedit. Exemplum in numeris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 4. ad. 2. et. 2. ad. 1. Complurium autem quā titatum continue proportionalium quaelibet et antecedēs et consequens est. hoc est, et uicem primi extremi in proportione et secundi supplet: excepta prima, quae solū antecedit: et postrema, quae tantum consequitur. Et in hac quidem ꝓportionalitate, propter continuationem ꝓportionum, necesse est omnes quantitates esse eiusdem generis: eo ꝙ inter diuersornm generum quantitates non existat proportio. Hęc uero proportionalitas in paucioribus quantitatibus, (quam) in tribus, inueniri nequit. (quam) (quam) etiam in illis, media quantitas, dū bis repetitur: uicem subit duarū.

INCONTINVA autem proportionalitas est: [...]ū quatuor quantitatum, qua proportione prima antecedit secundam: eadem tertia antecedit quartam. Exemplum in numeris sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. erit (que) earum quantitatum quaelibet aut tantum antecedens: aut tantū consequens. Et quia prioris proportionis extremū, quod consequens est: non continuatur antecedenti: quod est prius extremum proportionis secundę: necesse non est: ut omnes quatuor sint generis eiusdem: sicut in proportionalitate continua erat. sed fieri potest: ut sint eiusdem generis. et fieri potest: ut sint diuersorum. Sicut enim lineam duplam aut triplam ad lineam reperiri contingit: ita superficiem ad superficiem: corpus ad corpus: tempus ad tempus: numerū ad numerū. Hęc uero proportionalitas in paucioribus quātitatibꝰ, (quam) in quatuor inueniri nequit.

[Page] PORRO in proportionibus extrema ipsa siue antecedunt, siue consequuntur, termini ab Arithmeticis nuncupantur.

QVANTITATES autem, quarum proportio est similis, proportionales uocantur.

OMNIS autē ꝓportionalitas, siue cōtinua sit: siue separata: sex modis inter argumētandū uariari potest.

QVANTITATES enim, inter quas similitudo est proportionum: itidem similium proportionum erunt: etiamsi comparatio, quae ab antecedente quantitate ad consequentem facta erat: e conuerso a consequente ad antecedentem fiat. Quae proportionalitas conuersa nuncupatur: ꝙ quantitates antecedentes in consequentes: et consequentes in antecedentes conuertantur. Exemplum demus in numeris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. eadem etiam similitudo e cōuerso eueniet: ut sicut. 4. se habent ad 8. sic. 3. ad. 6. se habeant.

IN quantitatibus similium proportionum, quando earum antecedentes ad suas consequentes cōparantur: proportionum omnino similitudo cadet: etiam si ꝑmutatim quantitas unius antecedens ad alterius antecedentem, et consequens unius ad alterius consequentem conferatur.

Quae proportionalitas permutata uocatur. In qua antecedens proportionis secundae fit consequens primae: et cō sequens primae fit antecedens secundae. Exemplum in numeris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. Quare etiam permutatim. sicut. 8. se habēt ad. 6. sic. 4. ad. 3. Ex quo uidere licet in permutata proportionalitate id euenire: ut ambo extrema primae proportionis fiant antecedentia: et [Page] ambo extrema secundae consequentia.

CONIVNCTA uero proportionalitas dicitur: quoties sicut unius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se habet ad suam consequentem: sic etiam alterius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se ad suam consequentem habet. Quae coniuncta proportionalitas ex similitudine proportionum infertur. Exemplum in numeris. sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3. Quocirca sicut. 8. et. 4. cō iuncta se habent ad. 4. sic. 6. et. 3. coniuncta se habēt ad. 3.

DISIVNCTA proportionalitas est: in qua de quantitatibus coniunctis ad consequentes suas collatis, comparationis illatio fit etiam ad diuisas. Exemplum in numeris. sicut. 8. et. 4. se habent ad. 4. sic. 6. et. 3. se habēt ad. 3. Quāobrem etiā sicut. 8. se habent ad. 4. sic. 6. ad. 3.

EVERSA ꝓportionalitas est: quando sicut unius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente cō iuncta se habet ad suam antecedentem: sic etiam alterius proportionis quantitas antecedens cum sua consequente coniuncta se ad suam antecedentem habet. Quae proportionalitas euersa ex proportionum similitudine, et aptissime ex proportionalitate coniuncta, inferri potest. Exemplum in numeris. sicut. 8. et. 4. se habent ad. 4. sic. 6. et. 3. ad. 3. Quo fiet: ut sicut. 8. et. 4. se habent ad. 8. sic. 6. et 3. ad. 6. se habeant.

AEQVA proportionalitas est: quando plures quantitates in unam proportionem ex parte una sumuntur: at (que) aliae totidem uel eiusdem generis, uel alterius, ex parte altera secundū eādem proportionē applicantur: et mediorū [Page] aequali numero remoto, similitudo proportionum in extremis infertur. Exemplum in numeris. sicut. 8. ad. 4. et 4. ad. 2. se habent. sic. 12. ad. 6. et. 6. ad. 3. Quamobrem sicut. 8. ad. 2. se habent. sic. 12. ad. 3. Idē erit: etiā si cōparationis ordo conuersus at (que) intermixtus fuerit. veluti si dicatur: sicut. 8. ad. 4. sic. 12. ad. 6. et sicut. 4. ad 2. sic. 6. ad. 3. Quocirca sicut. 8. ad. 2. sic. 12. ad. 3. Proportionalitatum alia etiam diuisio est: quae ex medietatibus mox enarrandis apparebit.

DE MEDIETATIBVS.

MEDIETAS est connexio quaedam extremorū per habitudinem utrius (que) ad mediū. Sic enim a pler [...] (que) ueteribus appellatur: quae alio nomine proportionalitas uocatur ab EVCLIDE. Medietatum autem tria genera PYTHAGORAS, PLATO, ARISTOTELES, et pleri (que) omnes ueteres posuerūt. Alias enim medietates Arithmeticas esse uoluerūt. Alias Geometricas. Alias armonicas. De quibus singulatim ordine dicemus.

ARITHMETICA medietas est: quando maximi medij et minimi differentię sunt ęquales. id est: ubi proportionis aequalitate neglecta, aequalis inter terminos differentia custoditur: siue in numerorū ordine naturali. utpote. 1. 2. 3. 4. siue aequales numeri cōtinue sint omissi. sicut. 1. 4. 7. 10. Si enim unum omittas: differentia erit. 2. Si. 2. differētia erit. 3. Si. 3. differentia erit. 4. et sic deinceps. Differentia uero appellatur excessus ille numeri: quo maior numerus minorem superat.

[Page] HVIVS autem medietatis proprium illud est. Maximi ad medium non est eadem proportio: quae medij ad minimum: sed medij ad minimum proportio semper maior est: (quam) maximi ad medium. Quo fit: ut in minoribus numeris proportio semper maior sit: et in maioribus minor. Verbi gratia. inter. 8. et. 4. fecundum istam medietatem medius est senarius. differentiam utrobi (que) numerus binarius facit. At maior est proportio medij ad minimū uidelicet. 6. ad. 4. quae est sesquialtera: (quam) maximi ad medium, uidelicet. 8. ad. 6. quae est sesquitertia.

ALIA eius proprietas est. si huiusmodi ꝓportiones in tribus terminis disponant: extrema simul addita tantū facient: quantū mediū duplicatū. sicut. 6. 4. 2. e quibus bis 4. faciūt. 8. Item (que). 6. et. 2. faciūt. 8. Ꝙ si in quatuor terminis ponātur: tūc duo media per additionem coniuncta tantū efficient: quātū duo extrema sic iuncta. Vt si ponā tur. 8. 6. 4. 2. tantū enim creant. 6. addita ad. 4. quantum. 8. ad. 2. addita. Ex hac ꝓprietate sumi potest ratio generalis progressionis supra in integris positae.

RVRSVS alia eius proprietas est. si hac medietate cō stituta in trib terminis prius multiplicent extrema: deinde mediū per se ipsum: id quod proueniet ex medij ductu in se ipsū: tantū superabit id: quod ex multiplicatione extremorū prodibit: quantū producetur ex alterius differē tię in alterā ductu. Exemplū in his terminis. 2. 4. 6. Sicut 2. se habent ad. 4. ita. 4. ad. 6. bis. 6. faciunt. 12. quater 4. creant. 16. quę per. 4. excedunt. 12. Qui excessus etiā ꝓuenit ex ductu differentiarū in se. differētia enim utra (que) est. 2. bis autem. 2. faciunt. 4. Eodem modo si termini. 4. [Page] ponantur et multiplicatis extremis alterū medium in alterum ducatur: id quod proueniet ex alterius medij in alterū ductu: tantū superabit id: quod ex multiplicatione extremorū prodibit: quantū producetur ex multiplicatis differentijs duabus: quę sunt inter alterutrū illorū mediorū et extrema. Veluti si essent. 2. 4. 6. 8. bis. 8. creant. 16. quater. 6. faciunt. 24. quę per. 8. excedunt. 16. Idem autem excessus ex multiplicatione differētiarū, quę sunt inter alterutrum illorū mediorum et extrema: producetur. nam si de duobus medijs id, quod prius est: capias: uidelicet. 4. differētia inter prius extremū et ipsum mediū est. 2. et differentia inter ipsū et posterius extremū est. 4. ita (que) differē tiae ipsę. 2. et. 4. in se ductę procreāt. 8. Similiter si de duobꝰ medijs id, quod posterius est: sumas: uidelicet. 6. differentia inter ipsum et primum extremum est. 4. et differentia inter ipsum et secundū extremum est. 2. quae differentiae in se ductae creant. 8.

GEOMETRICA medietas est: quando maximi ad mediū eadē est ꝓportio: quę medij ad minimum. In qua medietate differentiarū ęq̄litate neglecta, ꝓportionū ęqualitas obseruat̄. sicut cernere licet in his numeris. 4. 6. 9. Vbi medius numerꝰ est. 6. Secūdū hāc medietatē multo aptius proportionalitas appellatur: (quam) secūdum Arithmeticam. Etenim in illa proportionalitas secundū excessū intelligitur, per ęquales differentias. At non per similitudinem proportionum: quemadmodum in hac euenit.

HVIVS medietatis propriū est illud. In maioribꝰ terminis et in minoribus ꝓportio semper ęqualis est. Veluti inter. 30. et. 10. eadem est ꝓportio: quę inter. 6. et. 2.

[Page] ALIA eius proprietas est. In proportionalitate continua differentiae terminorū eadem inter se sunt proportione: qua sunt termini: quorum sunt differentię. Exemplū. sicut. 8. ad. 4. dupla sunt: sic. 4. ad. 2. Similiter differētia inter. 8. et. 4. quae est. 4. dupla est ad differentiam inter 4. et. 2. quae est. 2.

RVRSVS alia proprietas geometricae medietatis in proportionalitate continua multiplicium hęc est. In numeris duplis minor terminus per se ipsum exceditur a maiori. ueluti. 1. 2. 4. 8. In numeris triplis minor terminus superatur per se ipsum duplicatū. sicut. 1. 3. 9. 27. in quadruplis per se ipsum triplicatum sicuti. 1. 4. 16. 64. et ita deinceps minor terminus exceditur a maiore.

ALIA praeterea proprietas est. Si hęc medietas constituatur in tribus terminis: quicquid ex ductu alterius extremi in alterum producetur: aequale erit ei: quod ex medij in se ipsū ductu natū erit. Veluti si sumas. 8. 4. 2. bis 8. sunt. 16. quater. 4. tantūdem. Similiter in quatuor terminis, quicquid ex alterius extremi in alterum multiplicatione natum erit: aequale erit ei: quod ex alterius medij in alterū ductu producet. sicuti si capias. 16. 8. 4. 2. bis. 16. creant. 32. quater. 8. tantundem. Ex hac proprietate dependet celebris illa quatuor proportionalium regula: quae de tribus notis quartum ignotum proferentibus supra da ta est. per quam in negotiationibus, innumera in lucem ueniunt.

ARMONICA medietas est: ubi positis tribus terminis, sicut maximus eorum se habet ad minimum: ita differentia inter maximum et medium se habet ad differē tiam [Page] inter medium et minimum. Haec autem medietas cū communiter et differentias et proportiones admittat: tamen ne (que) aequalibus differentijs, ne (que) aequalibus proportionibus constituitur. Veluti si inter. 6. et. 2. media ponantur. 3. ibi tripla proportio est maximi ad minimum: uidelicet. 6. ad. 2. Eademque est proportio differentiae maximi ad medium: quae est. 3. ad differentiam medij ad minimum: quę est unitas, nam. 3. ad. 1. triplam itidem proportionem faciunt: quę cū extremorū proportione cō sentit. Ex hac medietate eliciūtur ōnes musicę concentus.

ILLVD huius medietatis est proprium. In maioribus terminis maior semper est proportio: at (que) in minoribus minor. quod contra est in medietate Arithmetica. Verbi gratia. cape. 6. 3. 2. De quibus. 6. ad. 3. compatata du plam proportionem habent. 3. uero ad. 2. sesquialterā: quae minor est: (quam) dupla.

ALIA huiꝰ ꝓprietas: quota parte minimi termini, minimꝰ ipse exceditur a medio: totidē partibus maximi, medius superatur ab ipso maximo. Verbi gratia: sume. 6. 3. 2. Duo excedūtur a. 3. per dimidium ipsius binarij: quod est unitas. Similiter. 6. excedunt. 3. per dimidiū ipsius senarij: quod est. 3. Rursus huius proprium est. Si extremi termini proportionum simul iungantur: et totum illud additū multiplicetur per medium: id, quod inde proueniet: in dupla proportione se habebit ad illud: quod ex multiplicatione extremi per extremum producetur. Verbi gratia: sume. 6. 3. 2. Adde. 6. ad. 2. fient. 8. multiplicentur. 8. per. 3. quae mediū tenent: et surgent. 24. Item si multiplices extremum per extremum, uidelicet. 6. per [Page] 2. prodibunt. 12. quae faciunt dimidium de. 24.

ILLVD annotandū est, has tres medietates inter duos terminos inueniri posse, utpote inter. 10. et. 40. quippe si in medio statuas. 25. Arithmetica medietas prodibit. Si ponas. 20. medietas Geometrica erit. Si. 16. Armonica medietas nascetur.

QVOMODO PROPOSITIS DVOBVS terminis medium proportionale sit inuestigandum.

PROPOSITIS duobus terminis medium Arithmeticū sic exquires. De maiori numero subtrahe minorem: et reliqui dimidium adde minori. ita quod inde exibit: medium proportionale erit. Exempli causa inter. 10. et. 40. subductio deprehendit reliquum esse. 30. horum dimidium. 15. adde minori numero. 10. et prodeūt. 25. quod medium est quaesitum. Vel si libet facilius. Coniunge utrum (que) extremum: et totius coniuncti dimidiū proportionale Arithmeticū erit. Nam si sumas. 10. et. 40. adde ea simul: fiunt. 50. Ea si dimidies: habebis. 25. id medium est Arithmeticum.

Ꝙ SI inter eosdem terminos. 10. et. 40. mediū proportionale Geometricum eruere uoles: alterum in alterū multiplica. uidelicet. 10. in. 40. et procreabis. 400. cuius numeri producti radicem quadratam extrahere oportet: quae medium proportionale Geometricum erit. radicem autem eam. 20. inuenies.

AT SI medium proportionale Armonicum inuenire [Page] libet. Primum iunge extrema ipsa, uidelicet. 10. et. 40. sic surgent. 50. Deinde subtrahe minorem de maiore. et reliquum erit. 30. differentia utrius (que) numeri. quam si in minus extremum uidelicet. 10. ducas: nascentur, 300. Eum numerum productum diuide per summam utrius (que) extremi coniunctam: uidelicet. 50. et. 6. exibunt. quae adde minori termino. 10. et prodeunt. 16. Hoc est proportionale medium Armonicum inter. 10. et. 40.

QVAE MEDIETATES QVIBVS RErum publicarum statibus comparentur.

ARITHMETICA medietas reipublicae adsimulatur: quae a paucis regitur: ꝙ in minoribus eius terminis maior sit proportio. Armonica uero medietas optimatum reipublicae comparatur: ꝙ in maioribus eius terminis proportio sit maior. At medietas Geometrica, ꝙ in maioribus terminis et in minoribus proportionē ęqualem seruet: popularem quodam modo rempublicam refert: in qua ciues omnes, et summates, et plebeij, ius ęquale uendicant.

PRAETER has tres medietates praecipuas a ueteribus proditas, IORDANVS octo alias, quas collaterales uocat: addidit: quas qui cognoscere uolet: ab ipso petat: licebit. Nos uero, qui de proportionibus tantum ea, quae ad supputationem in uita necessariam perdiscendam, spectant: degustare: non uniuersas proportionum uel regulas, uel ꝓprietates attingere decreuimus: cęteras medietates a posteris ad uarietatem proportionalitatum perscrutandam, [Page] curiosius adiectas, tan (quam) ad institutum nostrum non attinentes, omittendas censuimus.

QVOMODO PROPOSITIS DVOBVS quibusuis terminis, proportio inter eos inueniri possit.

PROPOSITIS duobus terminis quibuscum (que), necesse est alterum altero uel maiorem, uel aequalem, uel minorem esse. Ita (que) si aequales sunt: ęqualitatis est proportio: quae neminem latere potest. Sin autem alter altero maior est, aut minor: quāuis inaequalitatis sit proportio: quae complures species habet: facile tamen in quam speciem habitudo ea cadat: cognosces ad hunc modum. Maior terminus per minorem continuo secandus est. Eo fiet: ut quod in numero partitionis exit: proportionem denominet: quae inter utrum (que) extremum habetur. Id (que) perpetuum est: quando maior terminus in comparatione praecedens maioris inęqualitatis proportionem facit. Veluti si inter. 8. et. 4. proportionem quaeris: diuide. 8. per. 4. et in numero partitionis. 2. exeunt: quae denominantes proportionem illam monstrant esse duplam. quam in multiplicium speciem cadere palam est. Similiter si inter. 3. et. 2. proportionem quaeris. 3. per. 2. secta in numero sectionis. 1½. proferunt. qui numerus proportionem sesquialteram indicat: quae in superparticularium speciem cadit. ita inuenies in reliquis. Caeterum si minor terminus in comparatione praecedens minoris inaequalitatis proportionem facit: tunc praepositio hęc, sub, denominationi [Page] proportionis ex numero sectionis eruēdę praeponenda est. Veluti si inter. 4. et. 8. proportio quaeratur: quia post sectionem maioris factam per minorem. 2. in numero partitionis inueniuntur: subdupla erit proportio. quę in submultiplicium specie continetur. Si inter. 2. et. 3. proportionem quaeris: quia minor numerus in cō paratione praecedit: et sectio maioris per minorem facta in numero partitionis. 1½. inuenit: subsesquialtera proportio erit. quam de subsuperparticularium specie prodire manifestum est. At si quis scire cupit. quemnam sensum afferat hęc prępositio, sub, minoris inęqualitatis proportionibus praeposita: illud obseruare oportet. Quemadmodum per singulas maioris inęqualitatis species maior terminus minorem plus (quam) semel cōtinet: ita per singulas minoris inęqualitatis species, quantum minor a maiore superatur: tantum deest ad integrum maiorem componendum. Quare cum ea minoris ad maiorem comparatio pariat minutias: ad uitandam earum denominationem, ueteres prępositionem hanc, sub, ad singulas maioris inaequalitatis species addiderunt: tantum deesse significantes ad integrum componendum: quantū maior terminus superaret minorem. Verū si exquirere libet: quas minutias hae proportiones pariunt: continuo id cognosces: si minorem terminum, qui in proportione praecedit: in minutias frangas, secans per maiorem, eo modo: quo in minutiarum libro admonuimus. ita ante oculos apparebunt minutiae, in quauis minoris inaequalitatis specie occurrentes. Exempli gratia. si proportionem inter. 4. et [Page] 8. quęris. 4. per. 8. diuide. et fient 4/8. quę minutię significant. 4. partes de. 8. adhuc deesse ad integrū componendum proportionem (que) aequalitatis creandam. Quatuor uero octauae ad minimam nomenclaturam redactae faciūt ½. Ita adhuc alię 4/8, quę sunt ½. desunt: ut fiat unū integrum. Quo fit manifestum, 4/8 facere dimidium illius proportionis, quae aequare deberet. 8. Sicut e contrario, si. 8. ad. 4. comparentur: dupla erit proportio: ꝙ. 8. in se capiant bis. 4. Similiter si. 3. ad. 9. cōparentur. 3. per 9. secta proferent 3/9: quę faciunt ⅓. Et 6/9 quae creant ⅔. desunt: ut aequalitatis proportio ad. 9. producatur. ita 3/9 tertiā partem faciunt illius proportionis: quę. 9. ęquare deberet. Item si proportionem de. 16. ad. 5. uoles scire: sectio maioris per minorem facta deprehendit in numero partitionis. 3 ⅕. qui numerus cum minutijs triplā sesquiquintam indicat: quę in multiplicis superparticularis speciem cadit. Contra, si de. 5. ad. 16. proportionem quaeris. 5. per. 16. secta, creant 5/16. quę de. 16. partibus solas quin (que) inueniri demonstrant. ita desunt 11/16. ut in tegrū producatur: et aequalitatis proportio fiat. Ad eundem modum inter quosuis numeros proportionem nullo negocio inuestigare licet. Haec autem ex EVCLIDIS uerbis eruuntur: ubi in libro septimo dicit. Denominatio proportionis minoris numeri ad maiorē dicitur pars, uel partes ipsius minoris: quę in maiore sunt. Maioris autem [Page] ad minorem, totū, uel totum et pars, uel partes, prout maior superfluit. Quibus uerbis denominationē proportionis, quae de minore numero ad maiorem habetur: dicit esse, uel partem unicam: ueluti ½ ⅓ ¼. uel partes plures: sicut ⅔ ¾ ⅘. quas inuenies eo modo, quo dictum est. Caeterum denominationem proportionis maioris numeri ad minorem, admonet esse uel totum: sicut in multiplici. uel totum et partem: sicut in superparticulari. uel totum et partes: sicut in multiplici superpartienti. Liquet ita (que) in minoris inaequalitatis specie, utramcum (que) uiam sequare: rem ad idem recidere: siue ad uitandas minutias hanc prępositionem, sub, maioris inęqualitatis denominationibus pręponas: siue minutias ipsas suis nominibus singulas exprimas.

QVOMODO COGNOSCATVR VNA proportio alia esse maior.

SIMILES dicuntur proportiones: quę eandem denominationem recipiunt: quas etiam interdū unius proportionis, nonnun (quam) eiusdem, Arithmetici uocant. Maior autem proportio est: quę maiorem denominationem habet. Minor uero: quae minorem. Denominatio autem omnis tam grādis esse dicitur: (quam) numerus est: qui eam designat. Vnde si de tripla et quadrupla quaeratur utra earum sit maior? quia maior numerus est quaternarius denominans quadruplam, (quam) ternarius triplam denotans: ideo quadrupla maior erit, (quam) tripla. et quintupla, [Page] (quam) quadrupla. sextupla, (quam) quintupla. et sic in infinitū. Cęterum sesquialtera maior est, (quam) sesquitertia: propterea ꝙ sesquialtera denominatur de. 1 ½. et sesquitertia de. 1 ⅓. et (quam) (quam) in utra (que) numerus integer aequalis est: minutiae tamen his adiunctae sunt inaequales. Porro minores in sesquitertia. nam in fragmentis (uti superius libro secundo admonuimus) quanto maior est denominator: tanto minus est fragmentū. Quocirca ¼. minor est: (quam) ⅓. sicut ⅓. minor, (quam) ½. at (que) ideo sesquialtera maior est: (quam) sesquitertia. et sesquiquarta maior est sesquiquinta. sesquisexta (que) maior sesquiseptima. et sic de caeteris in infinitum: ubi minutiae in denominatione occurrunt. Vnde apparet triplā sesquialteram, utpote de. 7. ad. 2. maiorem esse: (quam) triplam sesquitertiam. Nihilominus tamen tripla sesquitertia maior est: (quam) dupla sesquitertia: uel dupla sesquialtera. quod euenit non ratione minutiarum adiunctarum: quae maiores sunt in sesquialtera: sed ratione denominationis ex integris designatae. tripla enim a. 3. denominatur: dupla a 2. Sed quaecum (que) minutiae per sesqui, denotentur: nun (quam) unum integrū aequare possunt. quare minor erit proportio triplę sesquitertię: (quam) duplae sesquialterę propter maiorem triplę denominationem.

QVOMODO PROPORTIONEM EX pluribus compositam esse cognoscas.

DE CONTINVE proportionalibus prius, deinde de improportionalibus dicere destinamꝰ: quomodo [Page] in his ꝓportionem ex pluribꝰ esse compositā cognoscas. at (que) in cōtinue quidē ꝓportionalibus, de tribus quantitatibus admonet nos EVCLIDES ad hūc modū. Si fuerint tres quantitates continuę proportionales: proportio primae ad tertiam dicetur proportio primae ad secundam duplicata. Quibus uerbis docet. si fuerit proportio primi ad secundum: sicut secundi ad tertium: tunc ꝓportio primi ad tertium erit, sicut primi ad secundum, duplicata: id est, ex duabus talibus composita. quę compositio cognoscetur per multiplicationē denominationis ipsius ꝓportionis in se. Verbi gratia. Sint tres numeri continuae proportionales, dupli. veluti. 2. 4. 8. in his proportio inter primum et secundum dupla est: si a maiore incipiat comparatio. alioqui si a minore: subdupla est. Denominatio autem duplę uenit a. 2. Igitur si. 2. in se ducantur: nascentur. 4. quae inter primum numerum et tertium quadruplam esse proportionem denotabunt, ita demum: si a maiore incipiat comparatio. alioqui si a minore: subquadrupla erit. Ipsa autem quadrupla est dupla duplae: quia constat ex duabus duplis. Rursus de. 4. quantitatibus EVCLIDES admonet, inquiens. Si fuerint quatuor quantitates continuae proportionales: proportio primae ad quartam dicetur proportio primae ad secundam triplicata. Quorum uerborū sensus hic est. Si fuerint. 4. quantitates continuę proportionales: ꝓportio primę ad quartam erit, sicut primae ad secundam triplicata: hoc est prius in se, postea in productū, multiplicata. Verbi gratia. sint quatuor numeri tripli continuę proportionales. Veluti. 1. 3. 9. 27. proportio inter primum et secundum tripla est: [Page] si a maiore incipiat cōparatio. quae denominatur a. 3. tria autem in se ducta producunt. 9. ipsa autem. 9. rursus in se ducta procreant. 27. quae uigintiseptuplam proportionem inter primum et quartū denotant: si maior in comparatione praecedit. ea autem est tripla triplae: quia constat ex tribꝰ triplis. Perinde ita (que) est: ac si diceretur. Proportio est duarum quantitatū simplex interuallum: et habet naturam simplicis dimensionis: ut lineę. Proportionalitas autem in tribus, est duplex interuallum, habens unum medium: et refert naturam duplicis dimensionis: ut superficiei. Proportionalitas autem in quatuor, est triplex interuallum, habens duo media: et refert naturā triplicis dimēsionis: ut solidi. Similiter si quin (que) termini cō tinue proportionales fuerint: proportio extremorū complectetur proportionem primorum quater. si sex fuerint: quinquies eam capiet. si septem: sexies. et ita deinceps. ut semper proportio extremorum toties contineat proportionem primorum: quot sunt omnes termini dempto uno. Nam cum proportiones sint interualla quędam: interuallum autem nisi inter duo extrema esse nequeat: necesse est terminos ipsos interualla cōcludentes, uno plures esse: (quam) sint ip sa interualla. Igitur si quatuor termini fuerint: sicut 1. 2. 4. 8. proportio extremorum, uidelicet. 8. ad. 1. erit octupla. et quia proportio primorū est dupla: et tria sunt interualla: octupla illa cōstabit ex tribus duplis. Si quin (que) termini fuerint: ueluti. 1. 2. 4. 8. 16. proportio extremorum, uidelicet. 16. ad. 1. erit sedecupla: quę quia primorum proportio est dupla: et. 4. sunt interualla: constabit ex quatuor duplis. qua ratione ꝓportio de. 32. ad [Page] 1. cōposita erit ex quin (que) duplis. et sic in infinitum. Quo fit manifestum, in proportionalitate continua proportionem extremorū produci ex omnibus proportionibus medijs. Vel si alia uia scire uoles, pluribus continue proportionalibus propositis, quę ꝓportio sit inter extrema, proportionem inter prima duo obseruabis: sicut in exemplo proxime dato: ubi dupla erat inter. 2. et. 1. In qua denominator eius in se ducatur: et surgēt. 4. quę inter extremos triū terminorū, sicuti. 1. 2. 4. quadruplā proportionem designant. Deinde si denominator ille ꝓductus, uidelicet 4. iterū ducatur in denominatorem primae proportionis, uidelicet. 2. nascetur proportio inter extremos quatuor terminorū, ut puta. 1. 2. 4. 8. quę est octupla. bis enim 4. sunt. 8. Rursus si octo in denominatorem primę proportionis. 2. ducātur: fient. 16. quę inter extremos quin (que) terminorū, ueluti. 1. 2. 4. 8. 16. sedecuplam mōstrant proportionē. Denuo si. 16. in primę proportionis denominatorē, uidelicet. 2. ducātur: prodibūt. 32. quę ꝓportionē inter extremos sex terminoR, utpote. 1. 2. 4. 8. 16. 32. denominabunt. et sic in infinitum postremae proportionis denominatorem productum per denominatorem primae multiplicando procedere licet. Ita in longa serie continue proportionalium, omnes multiplicationes pauciores per numerum binarium euenient: (quam) sunt ipsi termini propositi. sicut ex praedictis apparet.

QVOMODO in terminis improportionalibus longa serie continuatis unam proportionem ex pluribus compositam esse cognoscas.

[Page] HIC PVTAMVS operaeprecium pauca quaedam obiter praefari: qui termini sunt improportionales. Sunt autem illi improportionales: inter quos proportionum dissimilitudo cadit. nam sicut proportionum similitudo proportionalitas, sic dissimilitudo improportionalitas uocatur. quae etiam ipsa, et continua, et separata esse potest. Improportionalitas autem cōtinua est: aut quia maior est proportio primi ad secundum, (quam) secundi ad tertiū: et sic deinceps. aut quia minor. uelut inter. 1. 2. 6. 24. ubi tres sunt proportiones dissimiles: quarum prima dupla est, inter. 2. et. 1. secunda tripla, inter. 6. et. 2. quae maior est, (quam) dupla. tertia quadrupla est, inter. 24. et. 6. quae maior est, (quam) tripla. Improportionalitas uero separata siue incontinua est: aut quia maior est proportio primi ad secundum, (quam) tertij ad quartum: utpote inter. 10. et. 2. ac. 6. et. 4. aut quia minor. Huius autem inter proportiones dissimilitudinis, siue cōtinua sit: siue separata: duę species habentur. Altera est: quando maior est proportio primi ad secundum: (quam) secundi ad tertium in continuis: uel (quam) tertij ad quartum, in separatis. quę maior improportionalitas nuncupatur. utputa inter. 8. et. 2. ac. 6. et. 3.

Altera est, quando minor est proportio primi ad secundum, (quam) secundi ad tertium, in continuis: uel (quam) tertij ad quartum, in separatis. sicuti inter. 6. et. 3. ac. 8. et. 2. quae minor improportionalitas appellatur. Ad hunc modum pleri (que) omnes improportionalitatem et diffiniunt: et diuidunt.

CAETERVM quomodocū (que) termini complures siue proportionales siue improportionales longa serie sint cō tinuati: [Page] et quantacum (que) inter improportionales dissimilitudo interueniat: proportionem semper inter primum et ultimum ex omnibus esse collectam, EVCLIDES nos admonet, inquiens. Cum continuatae fuerint plures proportiones, siue eaedem, siue diuersae: proportio primi ad ultimum dicetur ex omnibus composita. Quocirca si plures proportiones, siue similes, siue dissimiles inter primū terminum et ultimum mediae interueniunt: proportio inter ipsos extremos terminos medias illas ꝓportiones omnes, quotquot fuerint: complectetur. Denominationem autem habebit a numero ꝓducto ex multiplicatione denominationum omnium proportionum mediarū, nempe primarum duarum, alterius in alteram, deinde producti cuius (que) numeri continuo in quam (que) proximā: donec per omnes sit discursum. Nam proportio componi ex duabus proportionibus dicitur: quando denominatio illius producitur ex ductu denominationum illarū proportionum alterius in alteram. Similiter ex pluribus proportionibus cōponi dicetur: quando denominatio illius producitur ex duarū primarū denomimationū, alterius in alterā deinde ꝓducti in quā (que) proximā ductu us (que) ad finē. Nec refert ab utra manu denominationes ipsas multiplicare incipias, si ue a dextra, siue a sinistra: dummodo ceptū sequens ordinem, per omnes discurras. Id (que) tam in proportionalitate continua, (quam) in omni improportionalitate perpetuum est.

DE PROPORTIONALITATE autem cōtinua, (quam) (quam) ex praedictis licet id uidere: unum tamen exemplum dare non grauabimur. Esto, proponantur hi quin (que) numeri dupli. 1. 2. 4. 8. 16. a dextra incipientes inter duos [Page] primos. 16. et. 8. duplam ꝓportionem inuenimus. iterū progredientes inter. 8. et. 4. aliam duplam deprehendimus. Duae igitur illae denominationes altera in alterā ductae quadruplam ostendent ꝓportionem inter. 16. et. 4. Rursus procedentes inter. 4. et. 2. aliam duplam cernimus. quam in denominationem prius ex alijs productam uidelicet quadruplam ducentes octuplam formabimus. sic inter. 16. et. 2. octuplam comperimus. Denuo progredientes inter. 2. et. 1. duplam etiamnum habemus. eam autem in octuplam priores complectentem, ducentes, sedecuplam tandem producimus. quę proportio inter 16. et. 1. inuenitur medias omnes complectens. Itidem in omni alia ꝓportionalitate continua eueniet: quotcum (que) proportiones in ea connectantur.

NVNC exempla de improportionalitate demus: quā do proportiones dissimiles inter primum et postremum interueniūt. Et exempli causa sumamus hos quatuor numeros. 1. 2. 6. 24. Inter quatuor hos numeros tres sunt proportiones. quarum prima, inter. 2. et. 1. est dupla. secunda, inter. 6. et. 2. est tripla. tertia, inter. 24. et. 6. est quadrupla. Iigitur si scire uoles: quae proportio sit inter extrema uidelicet. 24. et. 1. inuestiga primū proportionem inter duo prima uidelicet. 2. et. 1. et duplam habebis. iterum inuestiga inter. 6. et. 2. et tripla tibi occurret. quae denaminationes altera in alteram ductae ꝓcreant sextuplā. ea erit proportio inter. 6. et. 1. Deinde si ꝓgrediens quęris proportionem inter. 24. et. 6. quadruplam inuenies. ea autem si in denominationem ex prioribus collectam uidelicet sextuplam ducatur: uiginti quadrupla [Page] nascetur. quam proportionem ex dupla tripla et quadrupla compositam uidere licet. In hoc exemplo minor improportionalitas continua est: si a sinistra in dextram tendas: et a maioribus terminis ad minores comparationem in singulis proportionibus facias: uti nos iam fecimus.

SIMILIS compositio proportiōis inter extrema erit: etiam si proportiones omnes ex integris et minutijs, uel minutijs solis sint denominatę. Quod ut magis appareat: exempli gratia sumamus hos quatuor numeros. 4. 6. 8. 10. inter quos, tres proportiones dissimiles habentur. uidelicet inter. 6. et. 4. sesquialtera. inter. 8. et. 6. sesquitertia. inter. 10. et. 8. sesquiquarta, quarum proportionum denominatores capiamus. uidelicet pro sesquialtera 1 ½. pro sesquitertia 1 ⅓. pro sesquiquarta 1 ¼. Ipsorum (que) priores duos alterum in alterum ducamus, eo modo: quo in minutiarum libro edocuimus. ita producetur denominator proportionis ex ambabus compositę. Deinde productum exilla multiplicatione denominatorem iterum in tertiae proportionis denominatorem ducentes, procreabimus denominatorem illius proportionis: quę ex tribus illis componitur. Igitur si a prioribus duobus incipientes 1 ½ in 1 ⅓ ducamus: enascentur. 2. quę de sesquialtera et sesquitertia duplam proportionem cōponi demonstrant. Deinde. 2. in 1 ¼ ducamus: et producentur 2 ½. qui numerus ꝓportionem de tribus illis uarijs cōpositam duplā sesquialteram denominabit. quae proportio erit inter extremos omniū illarū proportionū terminos, uidelicet. 10. [Page] et. 4. In hoc exemplo maior improportionalitas cōtinua est: si a sinistra incipias: et maiores terminos ad minores comparans in dextram tendas: uti nos iam fecimus.

IAM VERO exemplum demus: quando improportionalitas separata siue incontinua occurrit. nā EVCLIDIS regula, quę instar oraculi, neminem fallit: de ea etiā idem praecipit. Ita (que) conferamus hos quatuor terminos 8. ad. 2. pro priore proportione: et. 6. ad. 3. pro posteriore. inter priores duos, est quadrupla: quae maior est (quam) ea: quę inter posteriores dupla est. at (que) ea propter maior improportionalitas in his reperitur. et tamen proportio inter primum terminum prioris proportionis et ultimum posterioris ex omnibus proportionibus medijs composita comperietur: at (que) etiam exilla: quae duas utrim (que) positas media disiungit. ea est inter. 2. quae sunt in fine prioris proportionis: et. 6. quae sunt in initio posterioris. Id autem per regulam modo datam fiet manifestum. Nam si quis a sinistra ab octo faciens initium in dextram tendat: inter. 8. et. 2. quae prima occurrunt: quadruplā habebit. Deinde progrediens inter. 2. et. 6. quia minor terminus in comparatione praecedit: subtriplam comperiet: quae minoris inaequalitatis est proportio: at (que) ideo, sicut superius monstrauimus: per minutias suas denominanda: uidelicet 2/6. quae sunt ⅓. ita si ⅓ quae hanc ꝓportionem denominat: ducatur in. 4. quae denominant priorem: nascentur 4/3. quę unum integrum et unam tertiam facientes, sesquitertiam proportionem inter. 8. et. 6. ex duabus prioribus componi demonstrant. Rursus progredienti [Page] inter. 6. et. 3. proportio dupla occurrit. quę, quia a. 2. denominatur. 2. in productum ex priore multiplicatione denominationē, uidelicet 1⅓ ducantur. et in numero producto 8/3 comperientur. quae, si ad integra reducas: inuenientur 2⅔. quae duplam superbitertiam ꝓportionem inter. 8. et. 3. manifestant. quam ex tribus illis medijs compositā esse, per regulam EVCLIDIS explicauimus. Id quod paulo apertius de industria fecimus: ut nihil interesse monstraremus: qui termini medij inter extremos interueniant: etiam si maiore extremo sint maiores: aut minores minore. Ꝙ (quam) sunt: qui putant: si id fiat: maiores in medio proportiones nonnun (quam) occursuras: (quam) quae est inter primum et ultimum: et fieri posse negant: ut pars suo toto sit maior. Verumtamē id nihil obstabit: quo minus proportio inter primū et ultimū ex omnibus medijs colligatur. Nam nun (quam) accidet: ut maior in medio proportio, (quam) quae inter primū et ultimum est: intercedat: quin simul alia minoris inęqualitatis ꝓportio media etiā reperiatur: quę cum maiore copulata tantū auferet: quā tum illa nimium redundat: ut procreatio proportionis inter primum et ultimum ex medijs omnibus ad aequalitatē perducatur. Etsi pergis qu [...]rere: quomodo fieri possit: ut ꝓportioni adiuncta proportio quic (quam) ab' ea detrahat: facile est explicatu: si quis proportionum naturam pernouit. Omnis nam (que) proportio maioris inęqualitatis alteri maioris inaequalitatis addita, proportionem creat laterutra maiorem. At omnis proportio minoris inaequalitatis alteri minoris inaequalitatis adiuncta, minorem, [Page] (quam) alterutra sit: profert. Cęterū quādo altera maioris inęqualitatis ꝓportio, et altera inęqualitatis minoris copulantur: ꝓportio, quę procreatur: minor est: (quam) quę maioris est inęqualitatis: et maior: (quam) quę minoris. Quo fit: ut non omnis proportionū collectio semper augeat. Ita (que) quādo proportionem, quę est inter primum et ultimū: ex medijs constare Mathematici tradunt: hoc expimunt ex omnibus medijs proportionibus eam colligi. (quam)uis nō tota unaquę (que) media semper sit pars illius: ꝙ interdum illa ꝓportionum copulatio detrahat. quod cū acciderit: quicquid de singulis nō detractū restabir: partis uicem pręstabit in ea ꝓportione, quę est inter primū et ultimū. Rem illustremus exemplo. in quo et maiore extremo termino maiorem, et minore minorem interponamus. capiamus (que) hos quatuor terminos. 2. 1. 20. 16. inter quos, si. 2. ad 1. et. 20. ad. 16. comparemus: maior improportionalitas separata habebitur. Nihil refert ab utra manu multiplicatio initium sumat: dummodo ceptum ordinem progrediendo seruet. Igitur a sinistra, si libet: ordiamur. ubi intur. 2. et. 1. dupla ꝓportio inuenitur. at inter. 1. et. 20. subuigintupla: quae proportio progredienti proxima occurrit: et his minutijs exprimitur 1/20. Ideo numeros has duas proportiones denominantes, alterum in alterū ducamus: uidelicet. 2. in 1/20. et ꝓducentur 2/20. quęfaciūt 1/10. et subdecuplam proportionem inter. 2. et. 20. ex prioribus illis duabus cōpositā indicant. rursus inter. 20. et. 16. sesquiquarta occurrit. quocirca numerum eum denominantem uidelicet 1 ¼ ducamus in denominationem illam [Page] exprioribus productam, uidelicet 1/10. et producētur 5/40. quę faciunt ⅛. et suboctuplam proportionem, inter. 2. et 16. ex omnibus medijs proportionibus compositam esse manifestant. Vides igitur nihil referre qui termini inter primum et ultimum medij interueniant: dummodo multiplicatio ab altero extremo ad alterum progrediens, ceptum (que) seruans ordinem, nihil erret: ne (que) minoris inęqualitatis proportio pro maioris sumatur. id quod multos sępefallit. Regula nam (que) ab EVCLIDE data generalis est: siue proportiones eaedem, siue diuersae fuerint. id est: siue proportionales, siue improportionales termini occurrant.

QVAMOBREM quod de improportionalitate separata dicimus, proportionem inter primum et ultimum ex medijs omnibus constare: multo magis in separata proportionalitate uerum erit: in qua proportiones inter primum et ultimum partim similes, partim sunt dissimiles. Velutisi compares. 4. ad. 2. et. 6. ad. 3. in his terminis tres proportiones habentur. quarum duas similes tertia media dissimilis disiungit. Hic. 4. ad. 2. collata duplam creant. ea prima est proportio. iterum. 2. ad. 6. collata, subtriplā ꝓportionem mediam, quę duas similes utrimꝙ disiungit: mōstrant. Quocirca. 2. in ⅓ ducta ꝓferent ⅔. quę subsesquialterā proportionem inter. 4. et. 6. oftendunt. Rursus inter. 6. et. 3. dupla inuenitur, primae similis: quae in productā subsequialterā ducēda est. nempe 2. in ⅔. et producentur 4/3. quae sesquitertiam proportionem [Page] inter primum extremum terminum primę proportionis et ultimum secundae patefaciunt. quam ex duabus similibus proportionibus extremis, tertia (que) media dissimili compositam esse liquet. Adeundem modum fiat: quotcum (que) et quaecum (que) proportiones, siue similes et eaedem, siue dissimiles et quantum cum (que) uarię inter primum terminum et postremum medię interueniant.

QVAERET FORTASSE quispiam: quorsum de proportionum compositione prius monstratum est in cō tinue proportionalibus? Deinde in improportionalibus tam continue (que) separatim? et demū in separatis proportionalibus? quando una praeceptio pro omnibus sufficere potuisset. In promptu ratio est. EVCLIDEM secuti sumus: qui de proportionum compositione in quā titatibus continue proportionalibus prius docere, at (que) ita per faciliora discentium animos ad magis ardua praeparare uoluit: (quam) regulam hanc enarratam tam multos recessus tam (que) uarios anfractos habentem explicaret.

QVANDO PROPORTIO QVAEVIS OCcurrit: quomodo proportiones alias ipsam componentes inuestigabis.

QVI PROPOSITA proportione qualibet, putat se posse dicere: quot et quales aliae proportiones eam componunt: in chaos maximum incidit imprudens. Sexcentę nam (que), immo uero infinitae proportiones exquiri possunt: ex quibus quęuis conflari potest, id quod mox apparebit. Quamobrem quot proportiones quam (que) [Page] formare queant: enarrare nemo potest: quippe cum sint innumerę. Caeterum complures inueniri possunt: ex quibus quaeuis proportio constet. Nam proposita proportione qualibet, ea (necesse est) duos terminos habeat. inter quos, si nisi unum medium appones: hi tres termini duas ꝓportiones capient: ex quibus ea, quae inter extremos est: omnino componetur. Porro cum multis modis terminus medius uariari possit: multę et uarię proportiones perid enasci poterunt. Id quod hoc exemplo fiet manifestum. Inter. 16. et. 1. sedecupla proportio est. inter quae si medium terminū. 6. interponamus. Per hoc inter. 16. et. 6. proportio dupla superbitertia habetur. at inter. 6. et. 1. fextupla est proportio. Vndeliquet proportionem sedecuplam, quae est inter extrema: ex his duabus medijs constare. Id ita habere probabis: si duas illas medias denominationes alteram in alterā ducas. nam. 6. quae sextuplam denominant: ducta in 2 ⅔. quę denominant alteram. 16. producunt. quę sedecuplam proportionem inter extrema demonstrant. Quo fit manifestum, duplam superbitertiam et sextuplam componere sedecuplam. Ꝙ si inter eadem extrema alium terminum medium ponas: alię proportiones orientur. Vtpote si. 8. interseras. Eo fiet, utinter. 16. et. 8. dupla oriatur. at inter. 8. et. 1. octupla habebitur. quę denominationes, altera in alteram ductę, sedecuplam iterum creabunt. Qua ratione sedecupla ex dupla et octupla conflata erit. At si inter ipsa extrema plures termini sint interpositi: plures ita ꝓportiones enascentur. quas uniuersas ea, quae inter primum et ultimum [Page] est: complectetur. Veluti si. 5. 6. 8. statuamus inter. 1. et. 16. ut hic sit ordo. 1. 5. 6. 8. 16. inter quin (que) hos terminos quatuor diuersae proportiones habentur, inter. 5. et. 1. quintupla. inter. 6. et. 5. sesquiquinta. Igitur. 5. quae quintuplam denominant: ducta in 1 ⅕. quae denominant sesquiquintam: procreant 30/5. quae. 6. inregra faciunt: et sextuplam proportionem inter. 6. et. 1. ex ambabus compositā indicant. Deinde progrediens inter. 8. et. 6. sesquitertiam comperies. Ita si 1 ⅓ multiplices in. 6. quae ex prioribus productam proportionem denomināt: produces 24/3. quae ad integra reductę saciunt. 8. et octuplam inter. 8. et. 1. designant. Rursus progredere: et inter. 16. et. 8. dupla tibi occurret. igitur. 2. si in. 8. quae ex priorum denominationum multiplicatione proxima producta sunt: ducas: tandem produces. 16. quae sedecuplam proportionem inter. 16. et. 1. denominant. Quo fit manifestum, sedecuplam proportionem ex quintupla, sesquiquinta, sesquitertia, et dupla compositam esse. Igitur cū terminos inter extrema interponendos innumeris modis per minutias, in quas singuli frangi possunt: uariare licet: manifesto liquet, ꝓportione ꝓposita nequa (quam) explicari posse: quot et quę ꝓportiones eam possint componere: cum infinita uarietas unam at (que) eandem ꝓportionem producat. id quod per exempla iam data uidere licet. nam ut multae proportiones, ex quibus quaeuis constat: facile inuenientur: ita omnes exquirere, quae eam formare possint: infiniti operis erit.

[Page]

QVOMODO CVIVSQVE PROPORTIOnis uel ambo extrema uel alterum per numerum ipsam denominantem inueniri possint.

OMNIS PROPORTIO duo extrema habet, quo rum si id, quod maius est: at (que) una ipsam proportionis denominationē cognoscimus: diuisio ipsius noti extremi per numerū eam ꝓportionē denominantem facta, ignoratū extremum minus in numero partitionis patefaciet. Exempli gratia. Esto: proportio dupla ꝓponatur. cuius maius extremum nobis notū sit. 10. si minus eius extremum eruere uolumus. 10. per duo, quę duplam denominant: secantes, in numero partitionis. 5. inueniemus. sic extremum minus in lucem prodibit. At si proportionis denominatione cognita, minus extremum nobis erit notum: et maius ignoratū exquirere uelimus: ipsum minus extremum in proportionis denominationem ducamus: et numerus productus maius extremū erit. Veluti si de proportione tripla minus extremum sciamus esse. 6. tria, quę triplam denominant: in. 6. ducamus: et nascetur extremum maius: uidelicet. 18. Caeterum si denominatione proportionis cognita, neutrum eius extremū habeamus notum: numeros quoscum (que), qui eam proportionem forment: pro arbitrio apponere poterimus.

HACTENVS de ꝓportionum origine, generibus (que) earum, et compositione. Nunc restat: ut de earū Additione, Subductione, Multiplicatione, et Diuisione dicamꝰ. Id quod huius libri initio studiosis polliciti sumus.

[Page]

DE PROPORTIONVM ADDITIONE.

ADDITIO proportionum, siue continuę sunt: siue separatę: siue similes: siue diuersę: fieri debet ad eū modum: quem paulo superius explicauimus. ut in longa proportionum serie, primarum duarum denominatio ducatur altera in alteram. Deinde proportionis per hoc productę denominatio in proximam denominationem duca tur. at (que) ita deinceps productę cuiusque denominationis multiplicatio in quam (que) proximam, us (que) in finem peragatur. quo cum uentum erit: postremo producta denominatio, uelut summa quaedam, ꝓportionem monstrabit omnes complectentem. Et (quam) (quam) exempla de proportionū com positione iam ante data possunt sufficere: unū tamen apponemus: in quo proportiones partim continuas, partim separatas, partim similes, partim diuersas, connectemus. Esto, septem hi numeri proponantur. 30. 24. 12. 6. 4. 2. 1. inter hos septem numeros interualla sex sunt: et totidem ꝓportiones. Quare a sinistra incipientes, singulos (que) numeros maiores ad minores comparantes, inueniemus primam proportionem sesquiquartam: secundam et tertiam duplas: quartam sesquialteram: iterum quintam et sextam duplas. Omnes has denominationes sic addemus. Primam denominationem sesquiquartā inter. 30. et. 24. in secundam duplam inter. 24. et. 12. ducentes procreabimus duplam sesquialteram: quae est inter. 30. et. 12. Deinde productam illam duplam sesquialteram in proximā duplam inter. 12. et. 6. ducentes formabimus quintuplam inter. 30. et. 6. Rursus quintupla illa producta [Page] in proximam sesquialteram inter. 6. et. 4. multiplicata producet septuplam sesquialteram inter. 30. et. 4. Denuo septupla sesquialtera illa producta, si in duplā proximam inter. 4. et. 2. ducatur: enascetur quindecupla inter. 30. et. 2. Demum quindecuplam illam in postremā duplam multiplicantes, producemus trigintuplam inter 30. et. 1. quę proportio inrer primum et ultimum sic formata, uelut summa quaedam, proportiones medias omnes intra se complectetur. Hoc modo proportiones, quę sunt numerorum inter se habitudines: per additionem in unam summam aptissime colliguntur. Nonnullis autem alia uia proportiones sic addere placet: ut earum omnium, quas sunt addituri: terminos priores a sinistra notent alium sub alio: at (que) a dextra posteriores earum terminos prioribus e regione opponāt. Postea priorem terminum primae proportionis in priorem secundae multiplicant: numerum (que) productum statuunt priorem terminū proportionis ex ambabus compositę. Deinde posteriorem terminum primae proportionis in posteriorem secundae ducunt. et productum similiter faciunt posteriorē terminum compositę. Porro si proportiones plures addē dae fuerint: tertiae proportionis priorem terminum in priorem terminum ex primis duabus compositae ducunt: et productum statuunt terminū priorem ex tribus illis compositae. posteriorem (que) terminum tertię, in posteriorem ex duabus primis compositae ducentes, productum terminum apponunt posteriorem ex tribus illis compositae. Et sic ulterius, priorem terminum cuiusque proportionis compositę in terminū priorem proximę cuius (que) proportionis [Page] addendae, et posteriorem cuius (que) compositę in posteriorem cuius (que) addendę, ducunt, us (que), in finem. Quo fit: ut inter terminos postremo productos, proportio enascatur omnes priores complectens. Exemplum afferamus.

Sint hae tres proportiones addendae: prima sesquitertia inter. 4. et. 3. secunda sesquialtera inter. 3. et. 2. tertia dupla inter. 2. et. 1. Si primae proportionis priorem terminū. 4. duces in. 3. priorem secundae, creabis. 12. qui terminus erit prior proportionis compositae. Et si. 3. posteriorem terminum primę duces in. 2. posteriorem secū dae: produces. 6. qui terminus posterior compositae proportionis erit. Ita producti illi termini. 12. et. 6. duplam proportionem habentes indicant ex sesquitertia et sesquialtera simul additis, fieri duplam. Id quod etiam denominationes ipsę altera in alteram, ductę probant. Iam uero si priorem terminum proportionis compositae, uidelicet 12. in tertiae proportionis priorem terminum. 2. multiplices: prodibunt. 24. qui terminus erit prior proportionis ex tribus compositae. Et si. 6. posteriorem terminū compositę in posteriorem tertię. 1. duces: nihil nisi ea ipsa 6. habebis. qui terminus erit posterior proportionis ex rribus collectę. Ita proportio inter productos terminos 24. et. 6. monstrat ex sesquitertia, sesquialtera, et dupla simul additis, nasci quadruplam. Nam, ut inquit EVCLIDES. Omnium duorum numerorum compositorum proportio unius ad alterū, est ex laterum suorū producta proportionibus. Latera autem numerorum appellantur: quorum multiplicatione numeri producuntur.

Id quo (que) uerum esse, proportionum denominationes, alia [Page] in aliam, sicuti praecepimus: ductae, manifesto probant. Hic proportionum addendi modus per earum terminos multiplicatos, uti diximus: productorum terminorum mutuas habitudines obiter commonstrat. Caeterum modus ille superior denominationes proportionum, alias in alias ducendi, multo apertius indicat collectam earum summam.

DE PROPORTIONVM subductione.

SVBDVCTIO proportionū monstrat: quando aliae proportiones ab alijs subtrahuntur: quae proportiones restabunt. Ea autem tum demū fieri potest: si minores sunt: quae subducuntur: (quam) a quibus fit subductio: uel si sunt eis aequales. Ne (que) enim per rerum naturam, quod maius est: ex minore demi potest. Quamobrem plurimū iuuabit meminisse, proportiones eas alijs maiores esse: quae maiores alijs denominationes habent: minores autem, quae minores. id quod superius admonuimus. Porro modus subducendi proportiones longe facillimus hic est. Denominatio proportionum earū, quę subducendę sunt: et earum, a quibus fiet subductio: per numeros ipsas designantes, seorsum annotentur. Deinde numerus denominans proportionem, a qua fit subductio: diuidatur per numerum, qui denominat proportionem subducendam. et numerus sectionis proportionem ex ea subductione relictam designabit. Et ut exempla rem magis aperiant.

Esto, proportio sesquialtera subduci a dupla debeat. 2. [Page] quae duplam denominant diuisa per 1 ½. quę sesquialterae dant nomen: in numero sectionis proferunt 4/3. quę ad integra reductę faciunt 1 ⅓. at (que) Ita mōstrant sesquitertiam ex ea subductione relictam. Certū specimen est recte subductū esse: si proportio relicta ad subductam addita proportionem instaurat: a qua subducta fuit. sicut fit in numeris. Sesquitertia nam (que) ad sesquialterā addita per alterius in alteram ductum, duplam iterū in numero sectionis format. Aliud exemplum demus. sesquiquartam (que) subducamus a dupla sesquialtera. 2 ½ quę denominant duplā sesquialteram, secta per 1 ¼, quaedesignant sesquiquartā: in numero sectionis monstrant 20/10. quę sunt duo integra: et duplā proportionem ex ea subdnctione superesse monstrant. Rursus si libet cape specimen: relictam (que) duplam ad sesquiquartam adde, ducens alteram in alteram: et in numero sectionis dupla sesquialtera iterum redibit.

ALIVS etiam modus proportiones per earum terminos subducendi, traditur a quibusdam. Porro proportionem utram (que), et quę subduci, et a qua subductio fieri, debet: minimis notant numeris: qui eas proportiones habeant: quo facilius reddatur opus. proportionem autem, a qua fit subtractio: supra scribunt: quae uero subducenda est: infra: ut termini terminis respondeant: priori prior, posterior (que) posteriori. Deinde priorem terminū proportionis eius, a qua fit subductio: in posteriorem auferendae, posteriorem (que) eius terminum in auferendae priorem, oblique in formam crucis, ducunt: et terminos ex his [Page] duabus multiplicationibus productos statuunt esse relictę proportionis terminos. Exempli gratia. aproportione tripla inter. 6. et. 2. subducatur sesquitertia inter. 4. et. 3. In hac subductione. 6. in. 3. ducta creant. 18. et 2. ducta in. 4. proferunt. 8. inter quos terminos productos, uidelicet. 18. et. 8. proportio dupla sesquiquarta reperitur: quae ex sesquitertiae subductione de tripla relinquitur. [...]

SVBDVCTIONEM hanc recte factam esse probabis: si ꝓportionis relictę denominationem addes ad subductę: sicuti modo diximus. Vel si mauis: proportionem relictam ad proportionem subductam adde, per alterius terminos in alterius ducendos: sicuti proximo capite docuimus. quando quidem illa etiam uia redibit proportio: [...] [...]ua subductio facta est. nam si. 18. priorem terminum [...]e [...]ctę; ducas in. 4. priorem subductę: [...]ient. 72. et si. 8. posteriorem terminum relictę duces in. 3. posteriorem subductę: surgent. 24. quę proportionem illam fuisse triplam, a qua subductio facta est: designant.

Ꝙ SI plures ꝓportiones ab una subduci debent: prius in unā ꝓportionem, uelut in summā quandā, omnes sunt addendę: et tum demū ad eius subductionem procedendum: modo nō sit facta maior: (quam) ea, a qua subductio fiet. [Page] Porro sunt nōnulli: qui singulas seorsum subducunt: Cęterū maiorem ea res laborem pariet: (quam) si quis omnes subducendas prius in summam colligens unicam subductionem faciat.

PROPORTIONVM ita (que) subtractionē duobus his modis fieri uides. Altero per denominationū sectionem. Altero per earum terminos oblique, uti diximus: multiplicandos. Tertius quo (que) modus ex his duobus mixtus inuentus est: qui et proportionem relictam, et subductā, necnon illam etiam, a qua fit subtractio: una opera ante oculos ponit. Is autem est huiusmodi. Proportio illa, a qua fit subductio: suis numeris in primis notetur. Deinde inter maiorem illius terminum et minorem tertius numerus medius apponatur: ad quem ea proportione maior terminus se habeat: qua sit ipsa proportio: quae subduci debet. Ita inter numerum medium et terminum minorem inuenietur ea proportio: quae ex subductione restabit. Exempli gratia. A proportione tripla inter. 6. et 2. subducamus sesquitertiā. Post (quam) notata sunt. 6. et. 2. numerus exquirendus est: ad quem maior terminus, uidelicet. 6. proportione sesquitertia, quę subducenda est: se habeat. Eum autem numerum facile inuenies: si memoria tenes regulam: quam supra enarrauimus. Quę est huiusmodi. Quando maior terminus proportionis cuiusuis una cum eius denominatione notus est: si ipsum terminū per proportionis illius denominationem diuidas: minor terminus ignoratus ex numero sectionis inuenietur. Igitur. 6. illa, quae sesquitertię proportionis, quam inuestigamus: maiorem terminum praestant: per eius denominationem [Page] 1⅓ diuidenda sunt. et numerus partitionis proferet 18/4. quae faciunt 4½. Is terminus minor erit proportionis sesquitertię inter. 6. et 4½. Deinde post (quam) per cō parationem maioris extremi ad medium numerum intersertum, proportionem auferendam deprehendisti: rursus compara medium numerum ad extremum minus. et proportionem eā, quae ex subductione relinquetur: inter eos reperies, quae est dupla sesquiquarta. Id ita esse probabis: si relictę duplę sesquiquartę denominationem ad subductę sesquitertię (sicuti mōstrauimus) addes. rursus nam (que) nascetur proportio tripla. Per hanc subducēdi uiam, tres proportiones simul ante oculos licet cernere. unam: a qua subducimus. alteram: quam subducimus. tertiam: quam relinquimus. Itidem etiam apparent singularum termini. Ad hęc proportionum differentię, quae ex subductione oriuntur: patefiunt per hunc modum. [...]

PROPORTIONVM igitur additio multiplicatiom numerorum similis esse uidetur. At earum subductio magnopere diuisionis, praesertim eius, quae fit in minutijs: similitudinē refert. Id, quod ea, quae hoc capite, et proximo sunt dicta: manifestum faciunt.

[Page]

DE PROPORTIONVM multiplicatione.

MVLTIPLICATIO proportionum longe diuersa est ab ea: quę fit in numeris. Numerus nam (que) est unitatum collectio. At proportio numerus non est: sed ipsorum numerorum inter se respectus et habitudo: quae nisi inter duos, minimū, numeros esse nequit. Igitur proportionem ꝑ proportionem, uelut per quendam numerū, multiplicari, sensus communis non admittit. Caeterum quando proportio proportioni est addenda: numeri ipsas denominantes, aut ipsarum termini, per aliarum denominationes, aut terminos multiplicari possunt: sicuti supra de earum additione facienda dictum est. Quę denominationum aut terminorum multiplicatio est additio ipsarū habitudinū. Ita ꝓportionū diuersarum collectionem in unam summam, uulgus multiplicationē putat: (que) per eam fiat: cum tamen sit additio. Quare proportionum aliarū per alias multiplicatio, eo modo, quo fit in numeris nulla propriē esse potest.

VERVM si per proportionum multiplicationem intelligis similem et continuam generationem plurium numerorum proportionalium ex una stirpe nascontium, et secū dum datam proportionem minimorum: ea fiet ad hunc modum. Proportio quęuis cui complures similes continuare cupis: minimis numeris, qui eam ꝓportionem habeant: uelut stirps quędam, ex qua cęterę proditurę sunt: notetur. Deinde prior eius terminus in se multiplicetur: productus (que) numerus signetur. iterū idem terminus ducatur [Page] in posteriorem. productus (que) secundus apponatur numerus. Tertio posterior terminus ducatur in se ipsum. numerus (que) productus tertius tertio loco statuatur. at (que) ita inter tres illos productos terminos duo interualla habentur: et duae proportiones stirpis, ex qua ductae sunt: similes nascuntur. ea (que) proportio, quae inter eorum extremos est: duas alias medias complectitur. Exempli gratia. proportionem sesquialteram signemus his numeris. 3. et 2. ducamus (que). 3. in se, et. 9. surgent. Iterum (que). 3. in. 2. ducamus: et fient. 6. Deinde. 2. in se multiplicemus: et prodibunt. 4. inter quos tres numeros productos. 9. 6. 4. duae proportiones sesquialterae continuantur. et inter primum. 9. et ultimū. 4. dupla sesquiquarta ex illis duabus, sesquialteris, composita inuenitur. Et quia. 9. et. 4. illorum trium terminorum continue proportionalium extremi, contra se sunt primi: ideo tres illi secundum datam proportionem sunt tres minimi. Nam secundum EVCLIDEM, Si numerorum quotlibet continue proportionalium duo extremi fuerint contra se primi: eos omnes, secundum suam proportionem in totidem numeris sumptam, minimos esse necesse est. Ꝙ si quatuor numeros eadem proportione procreare uolumus: primum terminum stirpis in omnes tres numeros productos singulatim ducamus: numeros (que) ex his denuo productos seorsum notemus. Deinde secundum terminum stirpis multiplicemus in tertium productū [...]olū. et numerus ex hoc productus quarto loco signetur. Igitur in exemplo priore quatuor numeros. et tres sesquialteras procreaturi primū numerū productū, uidelicet. 9. in. 3. ducamus: et surgēt [Page] 27. Iterum. 6. secundum productum in. 3. ducentes, 18. formabimus. Rursus. 4. tertium productum in. 3. multiplicantes, producemus. 12. Demum (que) secundum terminum stirpis, uidelicet. 2. in solum tertium numerum ante productum, uidelicet. 4. ducentes, efficiemus s. qui quartus erit numerus. inter quos quatuor numeros proportiones sesquialterae tres habentur. et proportio inter primum. 27. et ultimum. 8. ex tribus illis coaceruata comperietur, tripla supertripartiens octauas. Et quoniā 27. et. 8. qui quatuor illorum continue proportionalium extremum locum tenent: sunt contra se primi: ideo quatuor illi secūdum datam proportionem sunt quatuor minimi. Eodem modo priorem terminū stirpis ducentes in omnes quatuor illos numeros ultimo productos, notantes (que) numeros rursus producēdos, et deinde posteriorem stirpis terminum in solum quartum postremo productū multiplicantes, formabimus quin (que) numeros, et quatuor continuas ꝓportiones sesquialteras. Sic (que) etiam ulterius quotlibet numeros eadem proportione continue formare licet. uti subiectę notę monstrant. [...]

Ꝙ SI CVI proportionem per numerū aliquem multiplicare libet: tunc proportionis denominatio uelut aliqua alia res numerata accipietur. et ideo quot unitates in numero producto reperientur: totidem proportiones illius denominationis per numerum illum productum designabuntur. [Page] Veluti si unam triplam per numerum ternarium multiplicare uelimus: surgent. 3. triplę. si duas triplas in ternarium ducamus: fient. 6. triplae. Similiter si unam quadruplā per ternariū multiplicemus: prodibunt 3. quadruplę. si. 2. quadruplas in ternariū ducamus, orientur. 8. quadruplę. et sic de alijs fiat.

DE PROPORTIONVM DIVISIONE.

DIVISIO proportionis fit: quando inter eius extrema uel unus terminus medius, uel plures interpo nuntur. quo fit: ut diuidenda proportio in totidem alias proportiones secetur: quot interualla inter eius extrema ex illa interpositione oriuntur. qua de re superius abunde diximus: quādo docuimus: quomodo proportione quauis occurrente, proportiones alias ipsam componētes inuestigares. Exempla illic explicata hic tantum attingemus. Si proportionem diuidendam partiri in duas proportiones cupis: unicus terminus interserendus est. Veluti si in sedecupla proportione inter. 16. et. 1. interponas. 8. in duas proportiones eā secabis. quarū una inter 16. et. 8. dupla erit. Altera inter. 8. et. 1. octupla. At si in eadē sedecupla inter eius extrema, tres terminos interpones: utpote. 8. 6. 5. ut quin (que) terminorum hic sit ordo. 16. 8. 6. 5. 1. in quatuor proportiones sectio per hoc fiet. quarum prima erit dupla. secunda sesquitertia. tertia sesquiquinta. quarta quintupla. Similiter eiiā fiet: si quotlibet [Page] terminos medios appones. nam in totidem proportiones facta erit sectio: quot inter primum et ultimū comperientur interualla. Nec quic (quam) refert: qui termini medij inserantur: etiam si maiore extremo maiores sint: aut minore minores: quemadmodum illic latius explicauimus. Ad hunc modum diuisio▪ fit in proportionibus: nec ulla alia, (quam) hęc est: in eis reperitur.

QVOMODO PROPORTIONEM INTER quosuis numeros assignatam inuenias in minimis numeris, qui eam proportionem habeant.

INTER QVOSLIBET numeros assignatā proportionem inuenire potes in numeris secundum eam proportionem minimis: ad hunc modum. Principio obseruandum est: an numeri ipsius datae proportionis sint cōtra se primi: ut nullus numerus eas numeret pręter unitatē. nā si sunt huiusmodi: illi ipsi sunt ea proportione minimi. Sin autem alius numerus praeter unitatem eos numerat: maximus numerus utrū (que) communiter numerans est inuestigandus. et per illum inuentum uter (que) numerorum, tam antecedens (quam) consequens diuidendus. Quo fiet: ut in numeris ambarum sectionum minimi eiusdem proportionis numeri appareant. Nā maximus numerus duos communiter numerans numerat eos, per minimos illius proportionis numeros. Quomodo autem maximus numerus duos communiter numerans sit inuestigandus: [Page] supra libro secundo copiosius admonuimus: quando docuimus: Quomodo partes ad minimam sui nomenclaturam redigantur. quare quę illic de numeratore et denominatore partium sunt dicta: hic de numero antecedente et numero consequente cuius (que) proportionis repetita intelligantur. nam idem utrobi (que) modus est et partes ad minimam sui nomenclaturā, et proportiones ad minimos numeros ipsas habentes, reducendi. Exemplum demus in numeris contra se primis. Inter. 7. et. 3. proportio dupla sesquitertia est. nec minores numeri haberi possunt: inter quos sit ea proportio. Exemplum demus in alijs numeris communicantibus: quos communis aliquis numerus alius (quam) unitas metitur. Veluti inter. 35. et. 15. inter quos proportio dupla sesquitertia ex sectione maioris per minorem reperitur. et quia uter (que) illorum numerorum numeratur a. 5. qui maximus numerus est eos communiter numerans: utrum (que) per. 5. diuidamus. et ex sectione. 35. facta per. 5. in numero partitionis. 7. inueniuntur. Iterū per. 5. diuidamus. 15. et in numero sectionis. 3. prodeunt. sic exduabus illis sectionibus minimi numeri. 7. et. 3. comperuntur: inter quos proportio dupla sesquitertia haberi potest.

QVOMODO PROPORTIONVM DISIVNctarum similitudo inueniri possit in minimis numeris secundū ipsas proportiones continue proportionalibus.

[Page] PROPORTIONVM quarumlibet, quae separatae sunt, et disiunctę: similitudo in minimis numeris cō tinuatim proportionalibus secundum illas ipsas proportiones disiunctas, inueniri potest hoc modo. Notentur quęuis proportiones disiunctę, suis quę (que) minimis terminis. Deinde minimus numerus exquiratur: quem primae proportionis extremum consequens, et extremum antecedens secundę numerant. Nam is inuentus primam proportionem cum secunda copulabit. Extremum autem antecedens ei adiungendum, ita demū inueniemus: si primę proportionis antecedens per eum numerum multiplicamus: per quem primę extremum consequens multiplicatum, producit minimū ab eo, et antecedente secundę numeratum. Consequens uero secundę proportionis continuandę exquiremus: si per eum numerū multiplicemus consequens, secundę ꝓportionis disiunctę: per quem antecedens eiusdem procreat minimū numerum ab ipso, et primę disiunctę cōsequente numeratum. Deinde si antecedens tertiae proportionis disiunctę, per aliquem numerū numerat consequens secundę continuatę: per eundem multiplica consequens tertię disiunctę: et produces consequens ꝓportionis tertię: cum duabus superioribus cō tinuandę. Sin autem tertium antecedens disiunctę ꝓportionis per nullum numerum numerat consequens secūdae continuatae: inquirendus est minimus numerus: quem consequens secundae continuatę, et antecedens tertię disiunctae numerant: is autem inuentus, antecedens erit tertię proportionis continuatae. Postea si consequens tertiae [Page] disiunctę multiplicabis per eum numerum: per quem antecedens eiusdem multiplicatum, producit minimum ab eis numeratum: prodibit consequens tertiae continuatae proportionis. Deinde si reliquos terminos ante continuatos multiplicabis per eum numerū: per quem cōsequens secundę continuatae producit minimum a se et ab antecedente proportionis tertię disiunctę numeratum: tres proportiones disiunctim propositae cōiungentur. id (que) in minimis terminis. Et (quam) (quam) duae primae proportiones, ante in minoribus terminis coniunctę erant: has tamen tres uniuersas in minoribus terminis copulare non licet. At (que) ad eundem modū quotlibet ꝓportiones continuari possunt. Exemplū afferamus de tribus proportionibus: ut res magis appareat. redigamus (que) ad minimos numeros continue proportionales has tres proportiones: uidelicet primam, triplam supertriquartam. Secūdam, subquadruplā sesquialteram. Tertiam, sesquialteram. Porro minima tripla supertriquarta reperitur inter. 15. et. 4. minima subquadrupla sesquialtera inter. 2. et. 9. Et minima sesquialtera inter. 3. et. 2. quos numeros minimos in ordinem designemus. Deinde primas duas proportiones per terminos cōtinue proportionales copulaturi minimum numerum inquiramus: quem. 4. consequens primae et. 2. antecedens secūdę numerāt. et quia hi sunt numeri cōmunicātes: ideo minimi illius ꝓportionis, cuius ipsi sunt: inquirantur. Illi autem sunt. 2. et. 1. qui [...]nenti subnotentur. 2. sub. 4. et. 1. sub. 2. Ita siue. 1. in. 4. siue. 2. in 2. ducamus: comperiemus. 4. minimum numerū numeratum [Page] ab eis. nam secundum EVCLIDEM. Quilibet duo numeri minimos numeros suae proportionis maior minorem, aut minor maiorem, multiplicantes, minimum ab ipsis numeratum producunt. quare supra uerticem inter primam proportionem et secūdam illum annotemus. Postea antecedens ei adiungēdum inuestigemus: et quia 4. consequens primae numerat. 4. minimum numerum numeratum a consequente primae, et antecedente secundę per unitatem. per eam multiplicemus antecedens primae 15. et ipsa. 15. prodeunt: quae supra uerticem signata antecedens erunt ad illa. 4. supra annotata. Deinde ut cō sequens secunde proportionis continuandae exquiramus. quia. 2. antecedens secundae disiunctae per. 2. multiplicata producunt. 4. minimum uidelicet numerum numeratum a consequente primae disiunctae, et antecedente secūdae disiunctę: per illa. 2. multiplicemus. 9. cōsequens secundae disiunctae: et producemus. 18. quae supra uerticem signata, consequens erunt proportionis secundae cō tinuatae. Sic ex duabus proportionibus disiunctis duas ędidimus proportiones continuatas: quibus tertiam disiunctam copulemus. Et quia ternarius antecedens tertię disiunctae numerat consequens secundae continuatae, uidelicet. 18. per. 6. multiplicemus consequens tertiae disiunctae: nempe. 2. per illa ipsa. 6. et prodibūt duodecim quae erunt consequens tertiae continuatae. Ita quatuor hi numeri. 15. 4. 18. 12. continue pro portionales erunt, secundum tres illa proportiones disiunctas, uidelicet triplam supertriquartam, subquadruplam sesquialteram, et [Page] sesquialteram. Minimi autem continue proportionales sunt: in quibus has proportiones secundum illas disiunctas inuenire licet. quia nulli totidē his minores hoc praestare possunt. [...]

SIN autem tertium antecedens, proportionis disiunctae, per nullum numerum numerat consequens secundae continuatae: inquirendus est minimus numerus: quem consequens secundae cōtinuatae et tertium antecedens disiunctae numerant. ueluti si quadruplam inter. 4. et. 1. sesquialteram inter. 3. et. 2. ac triplam inter. 3. et. 1. cō tinuare uelimus: comperiemus eo modo: quo iam diximus: primas duas proportiones quadruplam et sesquialteram his tribus minimis terminis. 12. 3. et. 2. secūdum datas proportiones continuari. Quibus tertiam disiunctam postea copulemus. et quia. 3. antecedens tertię disiunctae, per nullum numerum numerat consequens secū dae continuatę. 2. inquirendus est minimus numerus ab his numeratus. et quia. 3. et. 2. sunt numeri contra se pri mi: alter in alterū ducatur: et producentur. 6. quae erunt antecedens tertiae continuandae: et supra uerticem consequentis secūdae continuatae reponenda sunt. Deinde quia 3. antecedens tertiae disiunctę ducta in. 2. produxerunt 6. Similiter per illa ipsa. 2. multiplicemus cōsequens tertię disiunctę, uidelicet. 1. et prodeunt. 2. quę erūt consequens [Page] tertię continuatę. Iam uero quia tertia proportio continuata inter. 6. et. 2. maiores habet terminos: (quam) ut pręcedentes ante continuati cum ea congruant. et consequens secundae continuatae. 2. multiplicata per. 3. produxerunt minimum a se numeratum. multiplicemus per illa. 3. antecedens secūdę cōtinuatae, uidelicet. 3. et prodeunt. 9. quae iam erunt antecedens secundę continuatę: et supra uerticem ante. 6. statuentur. Rursus per illa. 3. multiplicemus etiam antecedens primae continuatę, uidelicet. 12. et producentur. 36. quae iam erunt antecedens primae continuatae: et supra uerticem ante. 9. reponi debent. Ita in his quatuor terminis. 36. 9. 6. 2. continuatae sunt in minimis terminis tres proportiones uidelicet quadrupla, sesquialtera, et tripla, secundum illas tres disiunctas datas. Ex hac autem postrema terminorū ante continuatorum multiplicatione per unum et eundem numerum facta, propterea ut cum tertia continuata proportione conueniant. producuntur eędem proportiones: quae ante in minoribus terminis continuatę erant. Nam secundum EVCLIDEM, Si unus numerus in plures ducatur: eadem erit numerorum inde productorum: quę multiplicatorum proportio. [...]

HAC RATIONE his quartā proportionem disiunctam: [Page] et quotlibet alias per terminos continue proportionales connectere licet. nam de primis quibus (que) proportionibus primum expedire oportet: at (que) his adaptatis, ad alias transire.

DE PROPORTIONE HABENte medium duo (que) extrema.

APVD GEOMETROS species quędam proportionis longe a prędictis diuersa reperitur. quā EVCLIDES nuncupat proportionem habentem medium duo (que) extrema. Ea nun (quam) in paucioribus terminis (quam) in tribus haberi potest: cum caeterae proportiones inter duo constent. Qua in re similitudinē proportionalitatis refert. et ad quorundam corporum dimensionem, quę sine ea intelligi nequit: adinuenta, Geometris ad multa confert. sicuti EVCLIDES libro. 13. multis pręceptis explicat. qui etiam libro. 6. propositione. 29. secūdum eam proportionem lineam secare docet. Verumtamen quia in numeris huiusmodi proportio nō habetur: nec ad supputationem facit: nos Geometris eam relinquamus.

DE PROGRESSIONE NVMErorū continue proportionalium.

PROPORTIONVM continuatarū progressio, quā Geometricam uocant: est plurium numerorum continue proportionalium in unam summam collectio: quae compendium affert numerandi eos numeros: inter quos [Page] continua et aequalis est proportio: (quam)uis numerorum differentiae sint inaequales. Et quia proportionū species uariae sunt: ideo uariae in his dantur progressionum regulę. Quare a multiplicium specie, in qua dupli primum occurrunt: faciamus exordium.

IN COMPLVRIBVS numeris duplis longa serie cōtinuatis primus numerus a postremo subduci, et quod de ipso postremo reliquum erit: ad ipsum integrum postremum addi debet. Sic summa, quę inde surget: omnes seriei continebit unitates. nec quic (quam) refert: a quo numero series initium sumat. ne (que) an numeri proportionales sint integri: an minutiae. Exemplum demus in his numeris 3. 6. 12. 24. 48. A postremo. 48. subtrahe primum. 3. et supererūt. 45. ea adde ad. 48. et fient. 93. ea summa est illius progressionis. Idem erit si ab unitate incipias, ueluti. 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. ab ultimo. 64. deme primum. 1. et reliqua, quę sunt. 63. ad. 64. adde. et crescēt 127. quae summa est uniuersorū. Regula hęc et certá est: et perpetua: sicut illa de triplis.

QVANDO numeri tripli longa serie cōtinuantur: primū a postremo subducito: et reliqui dimidium, quod de postremo superest: integro postremo adde. Ita numerus uniuersorū prodibit: a quocum (que) numero series incipiat: etiam si minutiae interueniāt. Exemplo sint hi numeri. 1. 3. 9. 27. 81. tolle primū. 1. a postremo. 81. et restant. 80. cuius numeri dimidium est. 40. ea adde ad. 81. et fient 121. quae summa est omniū. Similiter eueniet si a. 2, incipias. 2. 6. 18. 54. deme. 2. a. 54. et remanēt. 52. cuius numeri dimidium est. 26. ea adde ad. 54. et surgent. 80. [Page] quae summa est uniuersorum.

SIN quadrupli numeri cōtinue proportionales occurrent: deme primum de postremo: et tertiam partem eius reliqui, quod de postremo superest: ad ipsum integrum postremum adiunge. et summa uniuersorum habebitur. Veluti in his numeris. 1. 4. 16. 64. subtrahe primum a. 64. et. 63. relicta sunt. quorum pars tertia est. 21. ea adde ad ultimum. 64. et exeunt. 85. summa omnium. Itidem erit in 2. 8. 32. 128. tolle. 2. ab. 128. et relinquuntur. 126. quorum tertia est. 42. quae addita ad. 128. prōcreant. 170. summam uniuersorum.

AT VBI numeri quintupli longa serie connectuntur: si primus a postremo dematur: et reliqui de postremo relicti pars quarta ad integrū postremū addatur: omnium nascetur summa. Vtpote. 1. 5. 25. 125. subtrahe▪ 1. ab 125. et restant. 124. quorū quarta est. 31. quę addita ad 125. faciunt. 156. quę summa capit omnes. Sic in infinitum procedit ordo in multiplicibus: ut si progressio sit in sextuplis: post subductionem primi ab ultimo factā pars reliqui quinta iungatur ultimo. Si in septuplis: post factam primi a postremo subtractionem, addatur ultimo pars sexta. Si in octuplis: post eiusmodi subductionem pars septima adiungatur. Si in nonuplis: pars octaua Si in decuplis: pars nona. et sic in infinitū post subductionē primi ab ultimo factā ea pars reliqui, quę denominatur a numero unitateminore: (quam) proportionis denominatio sit: addatur ad ipsum ultimum. et omnium summa prodibit.

DE PROGRESSIONE autē numerorū superparticularium unius proportionis, dantur etiam regulę. et in [Page] primis haec de numeris sesquialteris. In numeris cōtinue sesquialteris si primus duplicatus subducatur ab ultimo triplicato: id, quod reliquum est: summam omnium numerorum monstrabit. Exemplo sint. 2. 3. 4½. 6¾ duplica, 2. et fiūt. 4. Triplica. 6¾. et surgent. 20¼ a quibus subtrahe. 4. et restant. 16¼ summa uniuersorum.

ATIN sesquitertijs primus numerus triplicatus ab ultimo quadruplicato demendus est: et reliquum indicabit omnium summam.

IN sesquiquartis primus quadruplicatus a postremo quintuplicato subducatur. et reliquum monstrabit summam.

IN sesquiquintis primus quintuplicatus ab ultimo sextuplicato dematur. et reliquum summam proferet.

IN sesquisextis primus sextuplicatus a postremo septuplicato demptus omnium summam relinquet. Et sic in infinitum, numerus ex multiplicatione primi in proportionis denominationem productus subduci debet a numero producto ex multiplicatione postremi in numerum uno maiorem: (quam) sit ipsa denominatio. ita reliquum monstrabit uniuersorum summam. nec refert a quo numero progressio sumat initium.

SIMILITER ad alias proportionum species regulę dari possunt: si cui obseruare libet. Verumtamen nisi faciles sint: multo satius erit per additionem, ipsorum numerorum summam colligere: (quam) per flexuosas ambages compendium sectari. nam quorsum progressio: si compendium non affert?

[Page]

DE FALSARVM POSITIONVM REGVLIS.

SVPEREST nunc: ut uiam aperiamus: per quā ex fortuitis coniecturis, atque ipsis quidem falsis, et ad quas errores insequuntur: propositae quaestionis ueritas explicetur. Arabes et Phoenices mercatura celebres, et a quibus Arithmetica profecta primum putatur: artem illam ueritatis inueniendę barbaro uocabulo Cathaym appellant. Latini siue falsarū positionū, siue falsarū cōiecturarū regulas uocāt. per quas pene uniuersa, quae ad negociationem attinent: at (que) alia pleraque possunt expediri: modo aliqua rei propositae pars sit certa et cognita. Per eā namque miro compendio reliqua omnia ignorata. quantumcum (que) aenigma prae se ferant: continuo inuestigata in notitiam proferuntur. Qua in re dici non potest: (quam) diuinis ingenijs praediti fuerunt primi huius scientiae inuentores: quorum solertia factum est: ut quae pleris (que) in perscrutabilia uidentur: nullo negocio in lucem ueniant. Porro numerorum quaestiones multae saepe occurrunt: in quibus rei ꝓposite pars aliqua nobis cognita est. sed alia eius pars, quam maxime scire cupimus: a sensu communi longe summouetur. quam ut cum parte nota congruere faciamus: pro arbitrio nostro fingere poterimus eam esse: quae magis apta uidetur. et cum obseruauerimus, uel (quam) prope coniectura nostra rem attigit: uel (quam) longe a scopo errauit: iterum conijcere licet: ut si priore cōiectu parum profecerimus: saltem secundo propius accedamus. Quaecum (que) autem per unicam positionem inueniuntur: ea etiā [Page] per duas expediri possunt. Ceterum e conuerso non idem eueniet. ne (que) enim quicquid duae positiones explicant: id unica pręstabit. Et quod maxime in his admirandum uidetur. nihil refert: (quam) longe coniectura nos fallat. nam per illos ipsos errores, regulae mox dandae nos ad ueritatem perducent. De quibus dicere aggrediemur: et quidem prius de ea, quae per unicam positionem, id quod quaesitum est: eruit.

REGVLA DE VNICA FALSA POSITIONE.

IN NVMERORVM quaestionibus, in quibus pars est cognita: pars est ignorata: frequēter euenit: ut unica coniectura fortuita, tā et si aberret a uero: id, quod inuestigatur: manifester. Nam cum obseruamus: quid ipsa coniectura parit: proportionem (que) annotamus: quae est inter id, quod conijcimus: et id, quod ex eo consequitur: ad exemplum illius, inter partem cognitam et partem ignoratam, proportionem alteram procreare licet: dummodo nos adiuuet quatuor proportionalium regula: quae de tribus notis quartum ignorum proferentibus supra data est. quippe cum tria sint cognita: primū id, quod conijcimus: secundum id, quod ex eo consequitur: inter quę cadit proportio: tertium, quod de quaestione proposita est cognitum: certe quartum, quod ignoratum est: et tertio respondere debet: nequa (quam) latere potest. Ita unica positio primam proportionem sibi fingit. Ad cuius exemplum regula illa quatuor proportionalium succedens, aliam (que) [Page] similem proportionem formans, id, quod quęsitum est: continuo in lucem profert. Exempla rem magis aperient. VIATOR tot aureos in itinere reperijt: ut eorum pars secunda tertia (que) et quarta simul additę facerent. 50. Haesitatur: quaenam summa reperta erat? Pone quāuis summā: quae partes eas habeat. et uide: an illius summę partes denominatae simul additae faciant. 50. Sifaciunt: ea summa est: quam quaeris. Si non faciunt: ulterius inuestigabis hoc modo. Finge summā repertam: quae partes eas habeat: esse. 12. cuius dimidium est. 6. tertia pars 4. quarta. 3. quae omnes simul additę faciunt. 13. at tu quaeris. 50. Igitur coniectura te longe fefellit. Verumtamen ille ipse error in uiā te reducet: si rem bene consyderes. Nam sicut partes summae per coniecturam positae, quę simul additae fiunt. 13. se habent ad ipsam summam totā: quae est. 12. sic partes summae repertae simul additae, quae sunt. 50. ad ipiam summam repertam, quae ignoratur: se habere debent. At (que) ideo ad regulam de tribus notis negociū sic applicabis. Si. 13. quae partes simul additas notant: ueniunt ex. 12. male a te positis: cuius summę partes illae erunt: quę collectę complent. 50? Sequens regulam multiplica. 50. per. 12. et surgent. 600. ea per. 13. diuide: et prodibunt. 46 2/13. quę summa aureorū reperta erat. cuius dimidiū est. 23 1/13. pars tertia. 15 5/13. pars quarta. 11 7/13. quae partes simul additae faciunt. 50. Similiter eueniet: quaecum (que) alia summa (quam). 12. per coniecturam ponatur: modo partes eas habeat. Vides ita (que) per adiumentum [Page] regulae de tribus notis unica coniectura fortuita rem expediri: nec duabus positionibus esse opus.

PER HANC regulam exempla, quae sequuntur: possunt explicari. quę subijcienda duximus: ut ad ea iuuenes exerceantur.

INVESTIGETVR numerus: in quo. 5. sint ⅔. Pone numerum: quem uoles: qui partes eas habeat. ueluti. 6. et uide: quantum capiant ⅔. et inuenies. 4. at tu quaeris. 5. Scrutare igitur: si. 4. faciunt ⅔ de. 6. de quo. 5. complebunt ⅔? tenta: et inuenies. 7 ½.

EXQVIRATVR num̄erus: ex quo, post (quam) pars tertia, pars quarta, et pars quinta subductę sunt: adhuc supererunt. 24. Pone numerum aliquem: qui partes eas hēat. Veluti. 60. Postea deme partes illas: et uide: quid restabit. et inuenies. 13. Ecce quantum errasti. quęsiuisti 24. at inuenisti nisi. 13. Quamobrem sic tecum ratio cinare. Si. 13. post partes subductas supersunt de. 60. de quo numero, post subductas partes: relicta erunt. 24. Tenta per regulam de tribus notis: et inuenies. 110 10/13 numerū illum esse: cuius pars tertia est. 36 12/13. Quarta. 27 9/13.

Quinta. 22 2/13. quae omnes simul additae faciunt. 86 10/13. Et si subducantur a. 110 10/13. restabunt. 24.

SI QVIS numerum exquiri iubet: a quo parte secū da, tertia, et quarta subductis: restent. 24. Cōtinuo responde, id fieri nequa (quam) posse. Nam quicum (que) numerus sumatur: qui partes eas habeat: semper minor erit: (quam) partium [Page] ipsius summa coaceruata. quo fiet: ut ne illa quidem subduci possit: nedum quic (quam) restare. Quippe (ut obiter admoneamus) tres sunt numerorum species. Vna est eorum: qui partium suarum summam maiorem habent: (quam) sint illi ipsi. Hi abundantes uocantur. cuiusmodi numerus est. 12. nam huius dimidium est. 6. pars tertia. 4. quarta. 3. sexta. 2. duodecima. 1. quę partes simul additę redundantin. 16. et corporis sui numerum uincunt. Item 24. numerus est abundans. nam eius dimidium est. 12. pars tertia. 8. quarta. 6. sexta. 4. octaua. 3. duodecima 2. uicesima quarta. 1. quarum summa redundat in. 36.

Altera eorum species est: qui diminuti uocantur. in quibus summa partium simul posita minor est: (quam) sint ipsi. cuiusmodi numerus est. 8. nam eius dimidium est. 4. pars quarta. 2. octaua. 1. quarum partium collecta summa. 7. minor est: (quam) totum corpus. Item. 14. numerus est diminutus. nam dimidium eius est. 7. pars septima. 2. quartadecima. 1. summa omnium. 10. toto corpore minor est. Tertia species eorum est: in quibus partes in summā collectae suo corpori sunt aequales. Hi, quia nec excessum nec defectum habent: perfecti uocantur. cuiusmodi numerus est. 6. nam eius dimidiū est. 3. pars tertia. 2. sexta. 1. quę partes compositae reddunt etiam. 6. Item. 28. numerus est perfectus. nam dimidium habet. 14. quartam partem 7. septimam. 4. quartamdecimam. 2. uicesimam octauam. 1. quae partes coaceruatae suo toto numerum aequalem faciunt. 28. Hi numeri perfecti, ꝙ rari sint: uiris bonis assimulātur. Ita (que) ut ad rem redeamus: minimus numerus, qui ½ ⅓ ¼ habeat: est. 12. huius dimidiū. 6. [Page] tertia. 4. quarta. 3. partes hę collectae proferunt. 13. quę a. 12. subduci nequeunt. Ꝙ si numerus maior partes easdem habens sumatur: partium summa maior redūdabit. Ita nun (quam) fiet earū subductio: nedum quic (quam) restabit. Quare propositis huiusmodi quęstionibꝰ, continuo, prius (quam) ad illas respondemus: nobiscum meditemur: an possibilia suggerant: ne labor irritus frustra suscipiatur.

SI. 4. ESSENT. 6. quis numerus esset. 10? Prius (quam) respondes, quęre ab interrogante: quid intelligat sermone tam ambiguo? utrum uelit. 4. crescere ad. 6. an. 6. minui ad. 4? Etenim si. 4. crescunt ad. 6. eadem ratione 10. ad. 15. crescent. Nam si. 6. in. 10. ducas: crescēt. 60. quae si seces per. 4. prodeunt. 15. At si. 6. ad. 4. minuere uoles: sic rationem facito. Si. 6. fiant. 4. quid fient. 10? Ducantur. 4. in. 10. et surgent. 40. quae diuide per. 6. et exeunt. 6 ⅔. eous (que) minuenda essent. 10.

Itidem si quis sic roget. Si ½ de. 5. essent. 3. ipsa. 5. cuius numeri essent ¼. quaerendum ante omnia est: quid sibi uelit. Nam si dimidium de. 5. quod est. 2 ½. crescere debet ad. 3. Eadem ratione. 5. per regulam de tribus notis crescent ad. 6. et erunt ¼ de. 24. At si. 3. minui debent ad 2 ½. Eadem ratione. 5. per regulam de tribus notis minui debent ad. 4 ⅙. et erunt ¼ de. 16 ⅔.

SI. 3. ESSENT ½ de. 7. quae pars. 4. essent de. 11? si. 3. crescere debent ad. 3 ½. scrutare: quid secundum eam rationem. 4. esse debēt. et per regulam de tribus notis [Page] inuenies ea crescere ad. 4 ⅓. Iam uidendum. 4 ⅓. quę pars sunt de. 11. id quod scies: si. 11. per 4 ⅓ seces. sic ꝓdibunt. 2 7/13. ea pars. 4. erunt de. 11. Nam secundum hoc thema. 11. immota manent. Animaduertere ita (que) oportet: quid sit: quod quęratur: ne responsum aberret a quęsito. Porro si ½ de. 7. minui deberent ad. 3. conuersa ratione supputandū esset. sicuti in proximis supradictū est.

EXQVIRANTVR duo numei: in quibus ½ et ⅓ unius sint ¼ et ⅕ alterius. Accipe aliquem numerum: qui unam secundam et unam tertiam habeat. puta. 54. cuius ½ et ⅓ sint. 45. Postea ut scias: cuius numeri illa. 45. sint una quarta et una quinta: per positionem unicam inuestigare licet, hoc modo. Pone quemuis numerū, qui ¼ et ⅕ habeat: utpote. 60. Deinde uide quis numerus sit quarta et quinta illius. et inuenies eū esse. 27. At tu quęrebas. 45. Sic igitur per regulā de tribꝰ notis ratio cinare. Si. 27. sunt quarta et quinta de. 60. quis numerus est: cuius quarta et quinta sunt. 45? Scrutare sequens regulam: et inuenies eum esse. 100. sic. 54. et. 100. numeri sunt: quos quaerebas. Alia etiam uia, at (que) ea quidem compendiosa, id inuestigari potest ad hunc modum. Eae minutiae, quae ad unum numerū utrin (que) spectant: simul addantur: ut sint unae minutiae. quo fiet: ut ½ et ⅓ per additionem collectę, faciant ⅚. At ¼ et ⅕ per additionem iunctae facient 9/20. [Page] Deinde hae minutiae seorsum coaceruatę, alterę contra alteras annotentur. et uter (que) denominator in alterarum numeratorem oblique in crucis formam ducatur: numeri (que) producti reponantur iuxta suum uter (que) denominatorem: a quo ductus est. Ita ex ea multiplicatione. 54. iuxta ⅚ habebuntur. et. 100. iuxta 9/20. qui numeri partes eo modo, quo pręscriptum est: communicantes habebunt. Numerus autem, qui ambobus ex obliqua multiplicatione productis inaequaliter communicat: is est: qui ex numeratorum mutuo in se ductu surgit. uidelicet. 45. nam. 45. sunt ½ et ⅓ de. 54. Item (que). 45. sunt ¼ et ⅕ de. 100. Hoc compendium inueniendi numeros: qui partes ad hunc modum inaequaliter commuicantes habeant: ad multos in numeris nodos explicandos plurimum iuuabit: si in promp [...]u habeatur. [...]

MERCATOR argentilibram, quae de nota at (que) indicatura. 8. scrupulorum erat: aureis. 9. emit. quęro, si secundum eam rationem uelit de nota. 10. scrupulorum emere libras. 20. quot aureis constabunt? Pone: ut libet: puta constituras aureis. 80. ut singulae librae uęneant aureis. 4. Vide quid secundum eam rationem una libra [Page] de nota. 8. scrupulorum constabit. id, quod facies sie ratiocinando. Si argenti nota de. 10. profert unius librae precium. 4. quod precium unius librę dabit nota scrupulorum. 8. Sequere regulam de tribus notis: et inuenies eā dare. 3⅕. at tu scis cam dare. 9. Quamobrem sic supputabis. Si. 3⅕ prodeunt ex. 80. quae coniectura posuit: de quo prodibunt. 9? Ducātur. 9. in. 80. et surgent. 720. quae si seces per. 3⅕. in numero partitionis prodeūt. 225. tot aureis librae. 20. de. 10. scrupulorum nota constabūt: quarum unaquae (que) precij erit aureorum. 11¼.

QVI ARGENTI libram de. 10. scrupulorū nota, aureis. 11. emit: postea libras argenti. 25. de alia nota aureis. 200. mercatus est. quaero cuius notae fuerunt? Quia earum unaquę (que) constetit aureis. 8. sic ratiocinabere. Si. 11. aurei reddunt notam. 10. quam notam reddent aurei. 8? Scrutare et inuenies. 7 3/11. Ea nota et indicatura librarum. 25. erat. Hic propter facilitatem nulla posione fuit opus.

COMPLVRES huiusmodi quaestiones, et multae etiam ex his, quas supra libro tertio explicaui mus: per unieā positionem, adiuuante regula de tribus notis, solui possunt.

[Page]

REGVLA DE DVABVS FALSIS POSITIONIBVS.

INNVMERAE quaestienes in numeris occurrunt: quae, tam et si earum pars sit cognita: pars sit ignorata: per unicam coniecturam ex licari nequeunt. At hae per duas positiones statim expedientur. In quibus ante omnia obseruare oportet: (quam) prope utra (que) positio uel accedit ad uerum: uel a uero recedit. Item ipsorum errorum differentia magnopere notanda est. Nam per obseruationem approximationis utrius (que) positionis ad uerū, et per differentiam errorum, qui ex his insequutur: ueritas in lucem ueniet. quae duobus modis inueniri potest: uidelicet uel per regulas pluris et minoris: uel per differentiarum obseruationem. Itaque de plure et minore quatuor haec praecepta sunt in primis ediscenda. Primū. Si utra (que) positio plus (quam) uerum conijcit: alterum plus subducere ab altero plure oportet. Secundum. Si utra (que) positio minus (quam) uerum affert: alterum minus ab altero minore subtrahendum est. Tertium. Si prior positio plus, posterior minus profert: tum plus et minus in unū sunt addenda. Quartum. Si prior positio minus, posterior plus coniectat: tū minus et plus in unum coniungantur. Ita cum his quatuor modis coniectura uarietur. Primus eorum duobus uidelicet siue utra (que) cōiectura plus, siue utra (que) minus ponat: alterius ab altero subductio fieri debet. At postremis duobus, uidelicet quando prior positio plus posterior minus conijcit: uel e conuerso: pluris et minoris additio necessaria est. Et quo facilius has praeceptiones studiosi [Page] memoria tenerent: MORVS, rogatu nostro, redegit eas in hoc carmen.

A plure deme plusculum.

Minus minori subtrahe.

Pluri minus coniungito.

At (que) ad minus plus adijce.

HARVM primae regulae, in qua utraque positio plus affert: sensus est. Si per priorem positionem at (que) itē per posteriorem plus (quam) ueritas exit: tunc alter error plus afferens ab altero plus afferente subducendus est. et id, quod restat, diuisor totius operationis erit. Postea prior error ducendus est in positionem posteriorem. Item (que) error posterior in positionem priorem ad forman obliquę crucis. et numerorum ex his duabus multiplicationibus productorum alterius ab altero fit etiam subductio. Deinde id, quod reliquum est: per errorum differentiam diuiditur. At (que) ita numerus partitionis ueritatem profert. Exemplum prebeamus. Tres mercatores aureos centum lucrifactos sic diuiserūt: ut secundus tres aureos plures (quam) primus caperet: tertius quatuor plures (quam) secundus. Libet inuestigare: quot aureos quis (que) habuit. In primis magna crux obliqua, formā referens X literae Graecę, quam uulgus crucem diui Andreae uocat: in abaco depingenda est. Post id factum cōiecturas aggrediamur. et ponamus primum mercatorem accepisse. 33. aureos. quo fiet, ut secundus. 36. tertius. 40. debuerit accipere. quae summae collectae faciunt. 109. At tantum. 100. erant diuisi. ita in 9. errauimus. qui error ex illorum. 33. falsa positione, quę nimia erat: natus est. Eapropter illam positionem. 33. ad [Page] uerticem sinistrum depictę crucis signemus: errorem uero ex ea insecutum, qui capit. 9. annotemus ad pedem ipsius crucis sinistrum. Et quia plus (quam) uerum coniectura peperit. P. litera ad ipsum plus significādum, inter sinistrū uerticem et sinistrum pedem in intimo crucis sinu scribatur. Deinde quia priore coniectu parum profecimus: iterum tentantes fingamus primum mercatorem aureos. 31. habuisse. Ea ratione secundus. 34. tertius. 38. accepit. quorum summa collecta profert. 103. At tantū. 100. sunt diuisi. Quocirca secunda coniectura etiam ipsa plus (quam) uerum attulit: et errauit in. 3. Quare positio illa secūda de 31. ad uerticem crucis dextrum statuenda est: error (que) ex ea insecutus ad pedem eius dextrum subnotetur. et. P. litera ad plus significandum inter dextrum uerticem et pedem dextrum in intimo sinu ponatur. Deinde minor error. 3. a maiori. 9. subducatur. et. 6. quae restabunt: medio spacio inter utrumque errorem notanda sunt. Postea prior error. 9. ducatur in secundā positionem. 31. et enascētur. 279. Item secundus error. 3. ducatur in priorem positionem. 33. et producentur. 99. quarum summarum productarum minor. 99. subducatur a maiore. 279. et supererunt. 180. Ea si per errorū differentiam, uidelicet. 6. secētur: numerus partitionis proferet. 30. quae uera summa primi erat. Primus nam (que). 30. secundus. 33. tertius 37. habuit. quae summae coaceruatae faciunt. 100. sicut thema proposuit. Ita demum ueritas per duas falsas positiones inuenta medio spacio inter crucis uertices, in quibus hae signatae sunt: annotanda est.

[Page] [...]

SECVNDAE regulae, in qua utraque positio minus affert: sensus pene primae similis, huiusmodi est. Si per priorem positionem, at (que) item per posteriorem minus (quam) ueritas habetur: alter error ab altero subduci debet. et reliquum erit diuisor. Tum prior error in posteriorem positionem, et error posterior in positionem priorem ducatur. productorum (que) numerorum alterius ab altero fit subductio. et quod reliquum est per errorum differentiam secatur. Sic in numero partitionis ueritas apparebit. Exemplū in themate modo dato prębeamus. et ponamus primum mercatorem habuisse. 27. secundum. 30. tertiū. 34. quae summae collectae faciunt. 91. At. 100. sunt quaesita. In. 9. igitur erratum est. Ita (que) positio. 27. in sinistro crucis uertice: error. 9. in sinistro pede statuatur. et quia error minus attuljt. M. litera, quae minus indicet: in sinistrum recessum, inter positionem et errorem, condatur. Iterum deinde coniectura tentemus. et fingamus primum mercatorem accepisse, 29. secundum. 32. tertium. 36. quę uniuersa faciunt, 97. At scopus erat, 100. sic. 3 de numero [Page] destinato desunt. Quocirca ipsa posterior positio. 29. in dextro crucis uertice signetur. et error posterior. 3. in pede dextro. at (que). M. litera, ꝙ in minus sit erratum: in dextro recessu inter positionem et errorem reponatur. Post id minor error. 3. a maiori. 9. subducatur. et. 6. quę restant: medio inter errores spacio statuantur. Tum prior error. 9. ducendus est in posteriorem positionem. 29. et nascentur. 261. Item posterior error. 3. ducendus est in priorem positionem. 27. et producentur. 81. Horum autem numerorum productorum, si minor a maiore subtrahatur: relinquentur. 180. quę si per errorum differentiam uidelicet. 6. secentur: numerus partitionis uerum primi numerum. 30. monstrabit.

[...]

TERTIAE regulae, in qua prior positio plus, posterior minus affert: hic sensus est. Si per priorem positionē plus, per posteriorē autē minus, (quam) ueritas inuenitur: alter error ad alterum addi debet: ut amborū summa diuisor fiat. Praeterea post (quam) prior error in positionem posteriorem, et error posterior in positionem priorem ducti [Page] erunt: numeri ex his multiplicationibus producti in unum ambo addendi sunt. Quo fiet: ut si eorum summa per additorum errorum summam secetur: numerus partitionis ueritatem in lucem proferat. Thema datum rursus tractantes exemplum afferamus. et ponamus primū mercatorem accepisse. 32. secūdum. 35. tertium. 39. quę summae collectae faciunt. 106. sic. 6. redundant: quum 100. sint quaesita. Positio igitur. 32. ad sinistrum crucis uerticem notetur. at (que) error. 6. ad pedem eius sinistrum. et. P. litera, quae in plus erratum esse moneat: inter positionem et errorem in sinistro crucis sinu scribatur. Et quia coniectura nimium attulit: paulum infra tentemus. singamus (que) primum mercatorem habuisse. 29. secundum 32. tertiū. 36. qui numeri collecti proferunt. 97. at (que) ita 3. desunt de numero. 100. destinato. Ea propter ipsa secunda positio. 29. ad dextrum crucis uerticem. error autem. 3. ad pedem eius dextrum signetur. et. M. litera, quae in minus erratnm esse monstret: in crucis dextro sinu inter positionem et errorem reponatur. Deinde post amborum errorum additionem, quae facit. 9. prior error 6. in posteriorem positionem. 29. ducatur: et enascentur 174. Item posterior error. 3. in positionem priorem. 32. ductus, educet. 96. Qui numeri producti ambo in unum additi componunt. 270. Ea si per amborum errorum collectam summam, uidelicet. 9. secentur: numerus partitionis. 30. procreabit. quae uera primi sū ma erat.

[Page] [...]

QVARTAE regulae, in qua prior positio minus, posterior plus coniectat: idem per omnia sensus, qui tertiae: est: nisi ꝙ prior positio, quę minus affert: at (que) error ex ea insequutus, sinistram crucis partem tenere debent. Posterior uero positio cum suo errore dextram. Cętera omnia eodem modo, quo in tertia regula factum est: expediantur. Exemplum in themate iam dato spectandū ante oculos subiecimus: quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. [...]

[Page]

DIFFERENTIARVM OBSERVATIO.

PLVRIS et minoris regulis expeditis, differentiarū obseruationem ab eisdem praeceptionibus pendentē, quae etiam ipsa per duas falsas positiones expeditur: his adiungamus. Et quo magis manifestum sit: quantulum hic explicandi modus ab illo iam dato differt: idem thema seruemus. Et fingamus primū mercatorem accepisse 35. secundum. 38. tertium. 42. quorum summa collecta facit. 115. sic coniectura. 15. plura (quam) opus erat: peperit. Quare positio. 35. ad sinistrū crucis uerticem: et error ex ea natus. 15. ad pedem eius sinistrum statuatur. et P. litera, ad plus denotandum: in sinistro sinu condatur. Et quia coniectura plus iusto protulit: iterum tentemus. et ponamus primū mercatorem habuisse. 31. secundū. 34. tertium. 38. qua ratione omnes acceperunt. 103. cum tamen tantū. 100. sint diuisi. Ita secūda positio in. 3. quae redundāt: errauit. Quocirca ipsa positio. 31. ad uerticem crucis dextrum: error. 3. ad pedem eius dextrum. P. litera, ad plus significandum, in dextro sinu reponatur.

Postea positionū ipsarum differentia, per minoris a maiore subductionem deprehensa, paulo supra medium inter utram (que) spacium notetur. ea est. 4. At (que) itidem errorum differentia, per alterius ab altero subductionem inuenta: medio inter eos spacio reponatur. ea est. 12. Deinde consyderemus priorem positionem. 35. occultum in se excessum et adhuc ignotum habentem, procreasse errorem excedentem in. 15. et secundam positionem. 31. excessum [Page] etiam ignotum habentem: edidisse errorem excedentem in. 3. Ex quo uidere licet positionum differentiam 4. quę inter earum utram (que) media est: peperisse differentiam errorum. 12. quae media est inter utrum (que) errorem. Et quoniam prior positio superat secundam in. 4. eo magis abducit a ueritate per. 12. (quam) secunda. At secunda positio quia minor est priore per. 4. eo magis appropinquat ad ueritatem. Nihilominus tamē ueritatem excedit in. 3. Quare si magis fuisset imminuta: propius ad ueritatem accessisset: et minotem aliquanto genuisset errorem. Ea propter inuestigare oportet: ad quem numerum secū da positio. 31. sit minuenda? ut nihil erroris pariat. Hoc autem manifestū fiet: si consyderemus tres numeros proportionales nobis esse notos. Primus est positionum errantium differentia: quae est. 4. Secundus, qui ex ea nascitur: est errorum differētia. 12. Tertius numerus est secundus error. 3. ex secunda positione errante exiens: qui magis ad uerum appropinquat per. 12. (quam) prior error: eo ꝙ secunda positio minor est priore per. 4. Quocirca quae proportio est inter errorū differentiā. 12. longius a ueritate distantem, et errorem secundum. 3. propius ad uerū accedentem, hoc est inter ntram (que) sobolem: eadem esse debet inter utram (que) genitricem, uidelicet inter positionū differentiam. 4. quae ueritatem intercludens peperit differentiam errorum: et illam secundę positionis differentiam a uero nos excludentem, et adhuc ignotam, quae excessum in secundo errore edidit. Et permutatim. quę proportio est inter errorum differentiam. 12. et differentiam positionum. 4. quae eam peperit: eadem inter secundum [Page] errorem, 3. et a uero nos excludentem secundae positionis differentiam: quae eum ędidit: et adhuc ignota est: esse debet. Quamobrem regula de tribus notis quartum ignotum proferentibus: rem totam patefaciet. nobis sic cō syderātibus. Si errorum differentia. 12. uenit ex falsarum positionū differentia ueritatem intercludente: quae est. 4. de qua falsae positionis differentia ueritatem abscondente ueniet secundus error. 3? Ducantur. 3. in. 4. et surgent 12. quae secta per. 12. in numero sectionis edunt. 1. tantum minui debet secunda positio. 31. ut ueritas in lucem ueniat. Illa enim unitas erat: quae excessum in secūda positione faciens secundum errorem in. 6. peperit. qua subducta. tollitur omnis error: et. 30. restant. qui numerus ueritatem exprimēs medio inter utram (que) positionem spacio notetur.

Ꝙ SI CVI scire libet: quis erat ille numerus: qui in priore positione excessum fecit: consyderet: quae proportio est inter errorum differentiam. 12. et priorem errorem 15. eandem esse debere inter positionum differentiam. 4. et illam prioris positionis differentiā: quae a uero nos excludit: et adhuc ignota est. Et permutatim. quae proportio est inter errorum differentiam. 12. et positionum differentiam. 4. eandem esse debere inter priorem errorem 15. et illam prioris positionis differentiam a uero nos excludentem ct ignotam. quare tractans regulam de tribus notis tertio loco statuat primum errorem. 15. hoc modo. Si differentia errorum, quae est. 12. uenit ex falsarum positionū differentia: quae est. 4. de qua falsę positionis differentia ueritatē in priore positione occultāte nascetur error [Page] primus 15? Ducantur. 4. in. 15. et producentur. 60. quae secta per, 12. educent. 5. Is exeessus in priore positione peperit errorem in. 15. quare si subducatur: restat uerus numerus. 30. Sic sublata redundante differentia, quae facit excessum: ueritas sola rélicta sese offert: siue excessum in secūda positione, siue in priore inuestigare, at (que) auferre libet. At (que) it a per duas falsas positiones, quarum utra (que) plus iusto conijeit: ueritas eruitur, per obseruationem proportionum: quae sunt inter differentias errorum, et differentias positionum, adiuuāte regula quatuor proportionalium: quorum tria sunt nota. [...]

ADEVNDEM modum per differentiarum obseruationem res expediatur: etiam si utra (que) positio minus (quam) uerū afferat. Veluti si ponamus primum mercatorem habuisse. 27. secundum. 30. tertium. 34. quae summae collectae faciunt. 91. cū 100. sint quaesita. Quare positio. 27. ad sinistrum crucis uerticem: error. 9. ad sinistrum pedem. M. litera in medio sinu reponatur. Iterum tentantes, fingamus primum accepisse. 29. secūdum. 32. tertium. 36. quae simul addita faciunt. 97. sic. 3. de. 100. [Page] desunt. Quare ea omnia a dextra, suo quę (que) loco, statuantur: uidelicet positio ad uerticem: error ad pedem. M. litera sinu medio. Deinde quia utra (que) cōiectura minus attulit: differentias errorum et positionum per subductionem capiemus. Postea consyderare oportet priorem positionem. 27. defectum adhuc ignotum in se habentem, procreasse errorem. cui. 9. desunt. et secundam positionē 29. defectum etiam ignotum habentem, edidisse errorem. cuidesunt. 3. Quo fit manifestum positionum differentiam. 2. quę inter earum utram (que) media est: peperisse errorum differentiam. 6. quae media est inter utrum (que) errorem. At (que) ideo, ut ueritatem exquiramus: sic ratiocinemur. Si. 6. differentia errorum nascitur ex positonū differentia. 2. ueritatem intercludente: de qua secundae positionis differentia ueritatem occultante, nascetur secūdus error. 3? Operare secundum regulam quatuor poportionalium: et inuenies eū nasci ex. 1. quod quia secūdae positioni defuit: etiam ipsa secunda coniectura minus iusto protulit. Quapropter unitas addita ueritatem exprimit. AT SI scire uoles: quantum priori positioni defuit: in regula de tribus notis tertio loco quaestionē de primo errore statue, hoc modo. Si errorum differentia. 6. uenit a 2. differentia positionū: de qua falsae positionis differentia ueritatem in priore positione arcente, nascetur primus error. 9? Regulam ducem sequens deprehendes illam fuisse. 3. Ipsa igitur differentia addita ad primā positionem, defectum eius replet.

SIC quando per differentiarum obseruationem ueritas inquiritur: si utra (que) positio minus affert: id quod uel primae [Page] coniecturae uel secūdae deesse per regulā de tribus notis deprehenditur: suppletur. sicut, quando utra (que) positio plus profert: id, quod siue in priore cōiectura, siue in posteriore redundantem excessum facere per regulam de tribus notis inuenitur: auferendum est: ut ueritas exprimatur. sicuti in proximo superiori exemplo uidere licuit. [...]

NVNC uideamus: quomodo per differentiarum obseruationem res expedietur: quando prior positio plus, posterior minus affert. uel e conuerso. Et in themate iam dato, fingamus primum mercatorem accepisse. 33. secundum. 36. tertium. 40. Ea in unam summam collecta faciunt. 109. ex quo liquet. 9. redundare. Quare a sinistra crucis, positio uerticem, error pedem. P. litera, quę plus coniectum esse demonstret: sinū occupet. Iterum (que) tentantes, ponamus primum mercatorem habuisse. 29. secundum. 32. tertium. 36. quę per additionem coaceruata faciunt. 97. at (que) ita. 3. de. 100. desunt. ea dextrā teneant. M. litera, ad minus indicandum: in sinu dextro reposita. Deinde consyderare oportet prioris positionis excessum edidisse excessum prioris erroris: secundę autē positionis [Page] defectū peperisse defectū erroris secundi. Quocirca hi duo errores, quia alter in plus alter in minus peccat: in unū sunt addendi: et surgēt. 12. quae errorū cumulatio uenit ex differentia positionum, uidelicet. 4. Nam quia prior positio. 9. plura (quam) oportuit attulit: secunda autem positio per. 4. tantum ab ea differens non solū excessum illum prioris abstulit: sed etiam plus, (quam) iustum erat: auferens, defectum superinduxit: ideo tam ad auferendum prioris positionis excessum, (quam) ad supplendum defectum posterioris, fit ista errorum additio: ut per eam temperamentum inter excessum et defectum inueniatur: Nam ita proportionum ratio in utramuis partem, siue excessus, siue defectus uim suam porrigere potest. Etenim si in dextram ad defectum respicimus. quę proportio est inter amborum errorum cumulationem, et secundum errorem: eadem inter positionum differentiam excessum et defectum cumulantem, et illam differentiam, quae in secunda positione ueritatem occultat: esse debet. Et permutatim. quae proportio est inter amborum errorum cumulationem, et positionum differentiam excessum et defectum cumulantem, ex qua nascitur: eadem inter secundum errorem et illam secundae positionis differentiam uerū abscondentem, ex qua nacitur: esse debet. At (que) ea propter si scire uoles: quis sit numerus: qui in secūda positione defuit: ut iustū suppleret: consyderare oportet, ad hunc modum. Si cumulatio errorum, quę est. 12. nascitur a positionum differentia ueritatem occulente: quae est. 4. de qua secūdę falsae positionis differentia uerum abscondente nascetur secūdus error. 3? Multiplica. 3 in. 4. et producentur. 12. [Page] quae per. 12. secta monstrant. 1. in numero partitionis. Hoc autem additū ad secundam positionem. 29. qui numerus uno deficitur: supplet id, quod defuit. et fiunt. 30. qui numerus uerus primi mercatoris erat.

AT SI scire uoles: quantum priori positioni redundā ti detrahendum erat: ut solum excessum auferret: et iustū numerum relinqueret: proportionum ratio a sinistra cō syderanda est. nam sicut amborum errorum cumulatio ad priorem errorem se habet: sic positionum differentia ad illam differentiam, quae in priore positione ueritatem occultat: se habere debet. Et permutatim. sicut amborū errorum cumulatio se habet ad differentiam positionum: ex qua nascitur: sic prior error ad illam prioris positionis differentiam uerum intercludentem, ex qua nascitur: se habere debet. Et ideo in operatione facienda per regulam de tribus notis, tertio loco forma quaestionem de primo errore: qui plus attulit: perinde quasi uerso exemplo, positio prior fuisset minor: et secūda maior, hoc modo. Si. 12. cumulatio errorum nascitur apositionum differentia. 4. ueritatem praecludente: de qua prioris falsę positionis differentia ueritatem abscondente, nascetur primus error. 9? Ducantur. 4. in 9. et crescent. 36. quae secta per. 12. in numero partitionis edunt. 3. is excessus erat: qui primam positionē. 33. errare fecit. Quocirca dempto illo excessu, supersunt. 30. qui uerus erat primi mercatoris numerus. Ita (que) quando altera positio plus, altera minus affert: si per regulam de tribus notis exquiris numerum: qui excessum in positione fecit: is inuentus subducēdus est. At si numerum in quiris: qui positioni defuit: is compertus [Page] ad eam est addendus: ut ueritas appareat. [...]

SI QVISPIAM scire cupit: quando per differentiarum obseruationem res expeditur: cur siue utra (que) positio plus, siue utra (que) minus affert: alterius positionis ab altera, at (que) alterius erroris ab altero fit subductio? Animaduertere debet ad ea: quae dicta sunt: nempe ꝙ distā tia a ueritate, uel appropinquatio ad ueritatem, per differentiam alterius positionis ab altera, at (que) alterius erroris ab altero deprehenditur. ipsa autem numerorū differentia per subductionem inuenitur. Ex proportione autem illarum differentiarum, quae mediae sunt inter errores et positiones: ueritas inuestigata per regulam de tribus noris in lucem uenst: siue in dextram partem, siue in sinistrā respicias. Nam si in dextram. quae proportio est inter errorum differentiam et secundum errorem: qui magis ad ueritatem appropinquat: eadem inter positionum differentiam, quae differentiam errorum peperit: et illum secū dae positionis numerum, qui ueritatem adhuc abscōdens [Page] secundum errorem edidit: esse debet. Et permutatim. quę proportio est inter errorum differentiam, et differentiam positionum genetricem suam: eadem inter secundum errorem, et ignotum numerum matrem suam erit. At si in sinistram respicias. sicut errorū differentia se habet ad priorem errorem: quę longius a uero recedit: sic positionum differentia ad illam prioris positionis latentem differentiam: quę priorem errorem edidit. Et permutatim. sicut errorum differentia se habet ad differentiam positionū: sic prior error ad illam prioris positionis latentem differentiam: quae ipsam edidit: se habere debet. Porro nisi haec proportionum ratio in differentijs positionum at (que) errororum inesset: nulla un (quam) quęstio per regulas falsarū positionum solui quouismodo posset. Succedens autem illa quatuor proportionalium regula, quae quartum numerū ignotum latere non sinit: per tres numeros notos statim eum profert: et rem totam explicat.

AT SI scire uoles: cur in regulis pluris et minoris siue utra (que) positio plus, siue utra (que) minꝰ affert: prior error ducitur in secundam positionem: et secundus error in positionem priorem: postea (que) alterius producti ab altero, et alterius erroris ab altero fit subductio. Ratio huius rei pendet partim ab his: quae de differentiarū proportione dicta sunt: partim a prima et secunda regula EVCLIDIS libro secundo. quas (quam) (quam) ille de lineis posuit: quia tamen in numeris etiam uerae sunt: nos de numeris eas demus, ad hunc modum. Si fuerint duo numeri: quorū unus in quotlibet partes diuidatur: illud, quod ex ductu alterius in alterum fiet: aequum erit his: quae ex [Page] ductu numeri indiuisi in unamquā (que) partem numeri particulatim diuisi producentur. Itē si fuerit numerus in partes diuisus: illud, quod ex ductu totius in se ipsum fit: aequū erit his: quę producentur ex ductu eiusdem in omnes suas partes. Ita quando prior error in secundam positionem ducitur: perinde est: quasi differētia errorum et secundus error, qui numeri sunt partes primi erroris: ducantur in eandem secundam positionem. Veluti in primo exemplo de regulis pluris et minoris dato: ubi utra (que) positio plus affert: [...]

prior error. 9. in secundam positionem. 31. ducitur: et procreantur. 279. sic si errorum differentia. 6. seorsum in 31. ducatur: nascentur. 186. et si. 3. secūdus error in. 31. ducatur: fient. 93. qui numeri producti ambo simul additi faciunt. 279. Similiter cum differentia positionū. 2. et secūda positio. 31. partes sint primae positionis. 33. ducentes secundum errorem. 3. in primam positionem. 33. producemus. 99. qui numerus ꝓductus aequalis est numero producendo: si ipse secundus error. 3. seorsum in positionum differentiam. 2. et postea in. 31. ducatur. sie quo (que) surgent. 99. Ita (que) cum inter differentiam errorum [Page] et secundum errorem ea sit proportio: quae est inter differentiam positionū et excessum in secunda positione: quā do multiplicamus differentiam errorum. 6. in secundam positionem. 31. facimus. 186. et ducimus eam non solum in totum uerum numerū. 30. sed etiam in excessum: qui ueritatem abscondit: uidelicet. 1. Et cum multiplicamus secundum errorem. 3. in secundam positionem. 31. facimus. 93. quę addita ad. 186. creant. 279. Horum autem utrum (que) tacite fecimus ducentes primū errorem in secundam positionem. Ita. 99. supra uerum addidimus. quod tantum est: quantum capit multiplicatio secundi erroris 3. in primam positionem. 33. Nam multiplicatio differē tiae errorum. 6. in secundae positionis excessum. 1. quae tacite facta est: quando duximus. 6. in. 31. aequiparatur multiplicationi secundi erroris. 3. in differentiā positionū. 2. Quia cum illa quatuor sint proportionalia: sicuti supradictum est. quae ab extremorū multiplicatione ueniunt: ęqualia sunt his: quę a mediorum. per regulam de tribus notis. Et multiplicatio secūdi erroris. 3. in secundam positionem. 31. quae tacite facta est: quando duximus primum errorem in secundam positionem: facit. 93. sic. 99. supra ueritatem sunt adiecta. Quare subductio numeri per multiplicationem secundi erroris in primam positionem producti, qui etiam est. 99. excessum omnem a ueritate aufert: et numerum uerū uelut in turba latitantem relinquit. sed quis sit: adhuc ignoramus. Diuisio autem facta per errorū differentiam. 6. quisnam sit: ostendit: uidelicet. 30. Nam quando aliquis numerus ex duotum multiplicatione producitur: eius diuisio per alterum [Page] facta profert alterum in numero sectionis. Eadem ratione subductio alterius producti ab altero, et alterius erroris ab altero fiet: quando utra (que) positio minus afferet.

QVOD si scire desyderas: quando per differentiarū obseruationem res expeditur: cur errorum fit additio: siue prior positio plus, posterior minus affert: siue e conuerso. Ratio illa est: quam cum exempla daremus: attigimus. uidelicet ꝙ si contingat priori positioni aliquid superesse, secundae aliquid deesse: differentia positionum non solum excessum prioris positionis aufert: sed etiā defectum in secūda inducit. Vel si eueniat priorem positionem defectum afferre: secundam excessum: tum differentia positionum non solum id, quod priori positioni deest: supplet: sed plus iusto aggregans excessum in secūda positione parit. Quocirca ad inueniendum temperamentum inter excessum et defectum, prior error ex priore positione ueniens et posterior exiens ex posteriore, in unum coniū gūtur: quae errorum cumulatio inter duos errores media, in utramuis partem siue excessus siue defectus comparari potest. Nam si ad defectum respicimus. Sicut errorū cumulatio a differentia positionum defectū et excessum accumulāte nascens se habet ad illum errorem: qui nascitur ex defectu: sic positionum differentia, ad illam falsae positionis latentem differentiam: quae defectū edidit. Et permutatim. sicut errorum cumulatio se habet ad differentiā positionum: sic error defectum patiens ad illam differentiam, quae defectum attulit: se habere debet. At si in alteram partem, ad excessum respicimus. Sicut errorū cumulatio se habet ad errorem: qui natus est ab excessu: sic differentia [Page] positionum ad illam falsę positionis latentem differentiam: quae peperit excessum. Et permutatim. sicut errorum cumulatio se habet ad differentiam positionum: sic error ab excessu ad illam differentiā, quę excessum protulit: se habere debet. At (que) ideo regula de tribus notis facile quartā illam ignotam siue excessus siue defectus differentiam, quae uerū occultat: manifestabit. Ea uero cognita si excessum affert: subducenda est. si defectum: addenda: ut uerus numerus exeat.

PORRO si scire uoles: cur in regulis pluris et minoris, siue prior positio plus, posterior minus affert: siue e conuerso: semper prior error ducitur in secundam positionem: et secundus error in positionem priorem: postea (que) alterius producti ad alterum fit additio: et amborū summa per summam errorum diuiditur: ut ueritas exeat? Ratio tota huius rei pendet, partim ab his: quae de ratione proportionū modo sunt dicta: sine quibus huiusmodi quęstiones per falsarum positionum regulas explicari nequeunt: partim a prędictis EVCLIDIS regulis prima uidelicet et secunda, libro secundo. Et ut in exemplo uersātibus res magis eluceat: repetamꝰ illud: quod in tertia pluris et minoris regula supra datum est: in quo prior positio plus posterior minus affert. ubi prior error. 6. ductus in secundam positionem. 29. profert. 174. secū dus autem error. 3. ductus in positionem priorem. 32. producit. 96. qui numeri producti ambo coniuncti faciunt. 270. quae secta per. 9. proferunt. 30.

[Page] [...]

HIC multiplicatio prioris erroris. 6. in secundam positionem. 29. quę procreat. 174. perinde est: ac si ipse prior error duceretur in ueritatem. 30. et fierent. 180. praeter (quam) ꝙ tot unitates multiplicationi prioris erroris in secundā positionem, desunt ad aequādam eam ueritati: quot multiplicatio prioris erroris in id, quod ueritati in secūda positione defuit: addere potest. Quocirca quia. 1. defuit secundę positioni: quod ductum in. 6 crearet. 6. ideo numerus productus ex multiplicatione prioris erroris in secundā positionem. 174. per. 6. differt a numero: qui produceretur ex multiplicatione prioris erroris in ucritatem. qui esset. 180. qui numerus per. 6. superat. 174. Similiter multiplicatio secūdi erroris. 3. in priorem positionem. 32. quę facit. 96. perinde est: acsi ipse secūdus error. 3. duceretur in ueritatē 30. et procrearentur. 90. nisi ꝙ multiplicatio secundi erroris in priorem positionem, per tot unitates superat multipli cationem secūdi erroris in ueritatem: quot multiplicatio secundi erroris in id, quod in priore positione ucritatem excedit: producere potest. Quare cū in priore positione excessus [Page] supra ueritatem sit. 2. qui ductus in secundū errorem. 3. creat. 6. ex ea multiplicatione secūdi erroris in priorem positionem, quę facit. 96. 6. plura producūtur: (quam) procreari deberent: si ipse secundus error. 3. in ueritatē. 30. fuisset ductus: et crearentur. 90. Illa autem. 6. quę hic ueritatē excedunt: in priore multiplicatione prioris erroris in secundam positionē, ueritati defuerūt. Et ita defectus ab excessu suppletur. Nam quę proportio est inter excessum prioris positionis. 2. et priorē errorem ex eo natū. 6. eadem inter defectū secūdę positionis. 1. et secundū errorem ex eo natū. 3. omnino erit. Et permutatim. quę ꝓportio est inter excessū prioris positionis. 2. et defectū secundę positionis. 1. eadē erit inter priorē etrorem. 6. et secundū errorem. 3. Quare cū sint. 4. numeri proportionales: quę ab extremorū multiplicatione producuntur: aequalia sunt his: quae a mediorū. tantū enim faciunt bis tria: quantū semel sex. Quamobrem si ambo numeri ex obliqua errorū in positiones multiplicatione producti cōlungantur: alter alterius uitiū semper corriget. At (que) is, cui deest: alterius exhauriet excessū. et is, cui superest: alterius supplebit defectum. Qua ratione res ad ęqualitatē reducetur. et sient. 270. Idem autem numerus similiter etiā producetur: si uter (que) errorū seorsum in ueritatē 30. ducatur. Nam. 6. in. 30. ducta creāt. 180. et. 3. in. 30. ducta componūt. 90. quę simul addita faciunt etiam. 270. Quamobrem cum fumma productorū ex obliqua errorū in positiones multiplicatione, sit ęqualis summę productorū ex utrius (que) seorsum erroris in ueritatem ductu: Ea (que) multiplicatio utrius (que) seorsum erroris in ueritatem, ęqualis sit am borum errorum simul additorum summę in ueritatem ductae, [Page] per prędictam EVCLIDIS primā regulam secundi: Necesse est: si ipsa errorum summa cumulata, quae est 9. summam productorum ex obliqua errorū in positiones multiplicatione, uidelicet. 270. diuidat: ipsa ueritas. 30. in numero sectionis in lucem prodeat. Nam quādo numerus aliquis ex duorū multiplicatione ꝓducitur: idem (que) per eorū alterū diuiditur: in numero partitionis alter apparebit.

EXPEDITIS falsarum positionum regulis: quo magis studiosi in eis exerceantur: quęstiones aliquot, quę per eas solui possunt: hic subijciemus.

SOCII tres habuerunt communes aureos. 44. quorum secundus bis tantum, quantū primus, at (que) eo amplius aureas. 4. contulit. tertius quantum ambo reliqui, at (que) eo amplius aureos. 6. quęro: quantum ab unoquo (que) collatum est? Experire per datas regulas. et comperies primum contulisse aureos. 5. secundum. 14. tertium. 25.

TRES panni telę aureis. 250. sunt emptę. quarum secunda bis tanti, quanti prima constitit: at (que) eo pluris aureis. 10. tertia bis tanti, quanti aliae duae, at (que) eo pluris aureo uno. quęro: quanti tela quae (que) constitit? Tenta per datas regulas. et inuenies primam aureis. 24 ⅓ emptā esse: secundam aureis. 58 ⅔. tertiam aureis. 167.

OBSONATOR quispiam emit in coenā domini gallinas. 3. perdices. 4. phasianos. 5. nūmis. 86. perdix quis (que) nummis. 3. pluris, (quam) gallina cōstitit. phasianus quis (que) nummis. 7. pluris, (quam) perdix. quaero: quanti quae (que) auis empta est? Tentans per datas regulas comperies gallinam quam (que) nummis. 2. perdicem quem (que) nummis. 5. [Page] phasianum quem (que) nummis. 12. constitisse.

CVBITI. 6. panni rubri, et. 4. panni uiridis ualent aureos. 36. Eodem precio cubiti. 9. pāni rubri, et. 7. panni uiridis ualent aureos. 57. quaero: quanti cubitus quis (que) utrius (que) panni constitit? Pone quo precio libet. 6. cubitos panni rubri et. 4. panni uiridis fuisse emptos: dūmo do de ambobus coloribus omnium cubitorū precium. 36. efficiat. Deinde uide si. 9. cubiti panni rubri et. 7. panni uiridis eodem precio emantur: quantum uel deerit, uel supererit de. 57. et errore notato, iterū ad eundum modum ponens perge. Ita deprehēdes per datas regulas pāni rubri cubitum aureos. 4. ualere: cubitum autem uiridis aureos. 3.

GALLINAE. 3. perdices. 4. phasiani. 5. ualent nū mis. 72. Eodem precio gallinae. 3. perdices. 5. et phasiani. 7. ualent nummis. 94⅔. quęro: quanti constitit unaquae (que) auis? regulas duces sequens comperies gallinam emptam esse nummo. 1⅓ perdicem nūmis. 5⅓. phasianum nummis. 9⅓.

MINISTER cui, tradita a domino nūmorū summa, mādatū erat: ut quendā tritici modiorū numerū emeret: in mercatū profectus singulos tritici modios denis nū mis licetur. qua ratione de summa accepta nūmos. 40. sibi superfuturos deprehendit. At tritici uēditor duodenis nū mis singulos modios indicat. quod preciū minister soluere recusat: ꝙ ea ratione comperit sibi defuturos nūmos. 40. quęritur: quis erat modiorū numerus: quem emi dominus iussit? et quis nūmorū numerus ad id traditus erat? Si modiorū numerus esset cognitus: simul etiam nūmorū nume-rus [Page] sciretur. Ideo ut exquiras: quot modij tritici fuerunt: inuestigādus est numerus, qui in. 10. ductus additis. 40. tantum producat: quantum in. 12. multiplicatus, subductis. 40. Is inuentus modiorum numerum monstrabit. quem ut exquiras: pone fuisse modios. 36. quorum si singuli constarent nummis denis: fierent. 360. his adde nūmos. 40. qui superessent: et surgent. 400. ꝓ summa ministro data. Postea uideamus: an uenditoris indicatura cum his quadret. Is in singulos modios nummos 12. poscit. qua ratione modij. 36. constarent nummis 432. a quibus si. 40. subducantur: qui ad precium illud explendum defuerūt: restabūt. 392. sic. 8. desunt: ut fiāt 400. pro summa ministro data. At (que) ita positio modiorum. 36. defectum in. 8. profert. Quare iterum ponamus fuisse modios. 38. quorum si singuli denis cōstarent nummis: fierent. 380. quibus addamus. 40. quae superessent. et fient. 420. pro summa ministro data. Deinde uideamus: an uenditoris indicatura de. 12. nūmis in singulos modios. 38. quadret: nam sic fierent nummi. 456. a quibus si. 40. pro his, qui ad explendum precium defuerunt: subducas: relinquentur. 416. Ita desunt. 4. ut fiant. 420. pro summa ministro data. Sic utra (que) positio et de. 36. et de. 38. falsa est. Ex quibus si ueritatem per regulas supra datas inuestigare libet: inuenies modiorum numerum: quem dominus emi uoluit: esse. 40. et nummorum numerum ministro datum. 440. in quibus numeris emptoris licitatio cum uenditoris indicatura quadrabit.

ALIO modo per compendium quęstio haec, at (que) aliae [Page] huiusmodi solui possunt: ut numerum, qui superfuisset: et numerum, qui defuisset: in unam summam addas. Deinde precium licitantis ministri, quod minus est: a precio maiore uenditoris indicantis subducito. et per preciorum differentiam: quae restat: illam summam nummorū, qui superfuissent: et qui defuissent: diuide. sic in numero sectionis exibit modiorum numerus: qui cętera omnia aperiet. id, quod in sequenti questione licebit etiam uidere.

OPERARII a patrefamilias ad putandam uineam in unum diem conducti mercedem operarum petūt, singuli nūmos quinos. ille causatus ante uesperā ab opere eos cessasse, solum ternos offert: quibus si contenti essent: excussis loculis, deprehendit sibi superfuturos nūmos. 7. At si quini soluēdi essent: defuturos. 13. libet inuestigare: quot operarios habuit: et quot nummos? Vt nodū hūc at (que) huiusmodi, per compendium soluas: addere oportet nummos. 7. qui superfuissent: ad nummos. 13. qui defuissent. et surgent. 20. qui numerus secandus est. Deinde subducere oportet mercedem minorem oblatam a maiore flagitata, uidelicet. 3. a. 5. et restabunt. 2. qui numerus diuisor erit. Ita. 20. per. 2. secta in numero partitionis decem proferent. Tot operarij uineam putarunt. Nummorum enim numerus, qui superfuisset: ad numerū additus, qui defuisset: diuidendus est per mercedis petitę et oblatae differentiam: ut numerus sectionis monstret: quot mercedem petunt. Postea facile scitu est: quot nummos paterfamilias habuit. Nam mercedis oblatae numerus in numerum operariorum ductus id aperiet. Ita (que). 3. in. 10. ducta procreabunt. 30. quibus si. 7. addas: prodebūt. [Page] 37. is nummorum numerus patrifamilias in loculis erat. Praeterea si operarius quis (que). 5. in mercedem exegisset: operarij decem necesse est habuissent. 50. a quibus si. 13. qui defuerunt: subducas: supererunt. 37.

POTES etiā rem explicare: si per falsas positiones numerū exquiras: qui in. 3. multiplicatus, additis. 7. tantum producat: quantum si in. 5. ducatur, subductis. 13. Is inuentus operariorum numerum indicabit: qui caetera omnia aperiet.

DVO AVREOS habentes, aequalem quis (que) numerum, ad emendum pannum in mercatum uadunt. Alter. 13. panni cubitos emit: cui superfuerunt aurei. 1 [...]. Alter eodem precio panni cubitos emit. 20. cui defuerūt aurei. 28. in quibus remansit debitor. quęro, quanti constitit panni cubitus quis (que): et quantū eorum uter (que) in crumena habuit? Potes per coniecturas falsas rem explicare: si numerum per eas inuestiges: qui in. 13. ductus additis 15. tantum producat: quantū in. 20. multiplicatus, subductis. 28. Vel si mauis: per compendium supra datum rem aggredi licet. et utro (que) modo deprehendes unius cubiti precium fuisse. 6 1/7. utrum (que) autem seorsum in crume na habuisse aureos. 94 6/7.

MERCATOR pannilinei telam empturu [...], ratione facta, comperit: si singulos cubitos nūmis. 8. emat: sibi superfuturos nummos. 50. At si. 10. nummis cubiti [Page] singuli constent: defuturos nummos. 80. quaero, quot cubitos tela capiebat? et quantum illi in loculis erat? Si per falsas positiones rem tentas: per eas inuestigandus est numerus: qui in octo ductus, additis quin quaginta tantum Producat: quantum in decem multiplicatus, subductis octoginta. Qua ratione inuenies telam cubitos sexaginta quin (que) longam fuisse: nummos (que) in loculis eum habuisse. 570. potes etiam per compendium datum continuo rem explicare.

DVO MERCATORES nauem lanis onerandam conducunt. Alter in eam saccos lanae septem, alter lanae saccos. 11. imposuit. eorū uter (que) seorsum pro se saccum unum magistro nauis traditum uendi, de (que) precio naulum solui, et si quid superesset: reddi mādauit. Quod cum expleta nauigatione, factum esset: magister nauis ei, qui septem saccos imposuerat: aureos quinquaginta reddidit. ei uero, qui. 11. saccos: aureos. 20. quaeritur: quā tum cuius (que) sacci naulum erat? et quanti magister nauis traditum saccum uendidit? Per positiones inuestigandus est numerus: qui in. 7. multiplicatus, additis quinquaginta tantum producat: quantum in. 11. ductus, additis 20. qui cum inuentus fuerit: monstrabit sacci cuius (que) naulum fuisse aureos. 7½. saccum autem illum magistro nauis traditum, aureis. 102½ uenditum fuisse.

QVI SACCARI libras sex emerat: interrogatus de unius librae precio, respondit. quanti librae sex [Page] pluris decem nummis constiterunt: tanti librae. 10. pluris 20. nummis sunt emptae. Quaeritur: quodnam precium est unius librae? Ad hanc quaestionem explicandam, per positiones inquirendus est numerus: qui in sex multiplicatus tantum supra decem producat: quantum in decem ductus supra. 20. proferret. Is autem inuentus unius librae precium indicabit. 2½. Vel si mauis: ad huius generis ęnigmata soluēda, compendiū sequi licet ad hunc modum. Minimum numerum a medio subducere oportet: et quatuor restabunt. qui numerus diuisor erit. Deinde medium numerum a maximo subtrahere est opus. et decem remanebunt. Ea per diuisorem secta librā unam nū mis. 2½ esse uenditam, in numero partitionis monstrabunt. In tribus nam (que) his numeris. 6. 10. 20. duae sunt differentiae, siue duo excessus: quorum minor in hoc quęsito maiorem secare debet. Post (quam) autem habes unius librę precium: responsi aenigma in lucem uenit. Nam si librae sex in unius librae precium ducas: procreantur nūmi. 15. At (que) iterū si librae decem per unius librae precium multiplices: surgent nummi. 25. Ita numerus hic. 5. ęqualiter superat et. 10. nummos et. 20.

ARCHITECTVS qui intra. 30. dies aedes reficiendas suscepit: cum earum domino uehementer urgente, ut operi instaret: pepigit: ut in singulos dies, qui bus operaretur: mercedē acciperet nūmos. 18. at si quos dies cessaret: pro singulis redderet domino nummos. 16. Is tot diebus aedibus reficiendis operam dedit: et tot diebus [Page] cessauit: ut facta ratione nihil ei restaret. quaero quot diebus operatus est: et quot diebus cessauit? Pactū bene consyderans cōperies de. 30. partes. 2. exquirendas esse: quarum altera ducta in. 18. tantum producat: quantum altera in. 16. id, quod per positiones fortuitas facile inuestigabis: si sub. 30. numerum dierum, quibus operatus est: conijcias: eum (que) in. 18. ducas: deinde reliquam partem de. 30. multiplices in. 16. pro cessationis diebus. Postea uide: uter numerus productus altero maior erit. Si numerus pro diebus cessationis productus alterum superat: positio de operis diebus defectum ostentat. At si numerus productus ex operum diebus maior est: positio in excessu peccat. Vtrumcum (que) autem euenerit: annotandum erit. et iterum tentanda positio. Sequens ita (que) regulas datas comperies dies, quibus operatus est: esse. 14 2/17. reliquos uero us (que) ad. 30. quibus cessauit: esse. 15 15/17. [...]

[Page] INTERROGATVS quispiam, quotam horam index horologij mōstraret: respondit. tertia et quarta pars horarum, quas indicat: sunt quinta et sexta pars earum, quas indicare deberet. quęro, quotam horam index monstrabat? et quotam monstrare debebat? Prius (quam) respondes: animaduertere oportet morem regionis: in qua est horologium. Esto, fuerit in Italia: in qua horarū supputatio per diem et noctem progreditur us (que) ad. 24. Vtaenigma hoc soluas: per positiones, duae partes de. 24. sunt inuestigandae: quarum ⅓ et ¼ unius, sint ⅕ et ⅙ alterius. Ita inuenies horas ab horologio monstratas esse 9 5/19. eas uero, quae debuissent monstrari: esse. 14 14/19. Quippe de 9 5/19 tertia pars est. 3 5/57. Quarta. 2 6/19. quae partes ambae simul additae faciunt. 5 437/1083. At de. 14 14/19 quinta pars est. 2 18/19. Sexta. 2 26/57. quę etiam partes ambae simul additę creant. 5 437/1083.

AVREI ducenti inter duos aleatores aequis portionibus diuidi debuerunt: ut eorum uter (que). 100. deportaret. Effusis e sacco aureis, cum rixa inter eos orta esset: iniectis uter (que) manibus aceruum deripiunt. de quo alter plus, alter minus sustulit. Demum sedata rixa, conuentum est: ut qui plus rapuisset: dimidium deponeret. qui minus: partem tertiam. quae summae depositae, quū aequis partibus inter eos diuisae fuissent: uter (que) se comperit [Page] habere aureos. 100. quēadmodū ab initio partitio fieri debuit. quaero, quantū uter (que) rapuit? Per positiones inuenies alterū aureos octogīta quin (que) et 5/7. alterum aureos centū quatuordecim et 2/7 rapuisse. quae summę compositae faciunt. 200.

ETRIBVS aleatoribus primus de pecunia secundi dimidium lucratus est. Secundus de tertij pecunia partem tertiam. Tertius de primi pecunia partem quintam, lusu (que) finito, discedens eorum quis (que) centum aureos deportauit. quaero, quantum quilibet initio lusus attulit? Tentans per positiones comperies primū attulisse aureos quinquaginta quin (que) et 5/9. Secundum aureos. 111 1/9. Tertium. 133 3/9. Nam primus de sua pecunia quintam partem perdidit, uidelicet. 11 1/9. quo factū est: ut ei restarēt quadraginta quatuor et 4/9. quibus dimidium de secū di pecunia accessit, nempe quinquaginta quin (que) et 5/9. ita centum deportauit. Secundus de sua pecunia dimidium perdidit: et de tertij pecunia partem tertiam lucratus est, uidelicet quadragīta quatuor et 4/9. quae si addas ad alterū dimidium: quod remansit: surgent etiam centum. Tertius de tertia parte pecuniae suae iacturam fecit. sic ei remā serūt octogintaocto et 8/9. quibus si quintam partem de primi pecunia lucrifactam, uidelicet. 11. 1/9 adiungas: fiēt etiam illi centum.

[Page] DVO VIATORES CORNELIVS ET ANtonius in itinere crumenas duas, alteram rubram, alteram nigram, subinde repererunt: in quarum altera aurei. 10. plures (quam) in altera fuerunt: at (que) in ambabus aurei centum. Cornelius secum supputans, ad Antonium inquit. Si tu mihi crumenam rubram dabis: et aureos decem de tuis: tum ego tuae pecuniae quadruplum sum habiturus. Respondit Antonius. At si tu mihi dabis crumenam nigram, et de tuis aureos uiginti: tum ego tuae pecuniae quintuplum sum habiturus. quaeritur, quot aurei in rubra crumena: quot in nigra fuerunt? et quot aureos Cornelius de suis? quot (que) Antonius habuit? Principio de centum duas partes facere oportet: quarum altera superet alteram partibus decem. hae sunt quinquaginta quin (que), et. 45. Deinde uiatorum utrius que aureos per positiones exquisiturus, finge eorum utrum (que) numerum quemlibet habere: assignans etiam eis ut libet crumenas. annota (que) errorem. Caeterum prius (quam) ad secundam positionem pergis: crumenarum assignationem (seruata ipsa eadem positione) commuta obserua (que) utra earum assignatio minorem errorem parit: ut illam, reiecta altera, etiam in secunda positione teneas. Ita scies uter crumenam rubram uter nigram habuit. Postea ad secundam positionem accingere: et regulas datas sequens deprehendes Cornelium de suis habuisse aureos. 40 5/19. [Page] Antonium. 36 6/19, atque in crumena rubra fuisse aureos 55. in nigra. 45.

MILES, QVI IN STATIONE ERAT: a uiatore interrogatus, quot in praesidio essent: respondit. Si totidem alij accederent: dimidium de totidem: et quarta pars de totidem: omnes una tecum faceremus. 100. Iuuat scire: quot milites essent in praesidio. Tenta per positiones: et inuenies fuisse triginta sex.

MERCATOR AD TRINAS NVNDInas subinde profectus, primis omnem suam pecuniam per lucrum duplicauit. et insumpsit libras auri duodecim. Secundis id, quod ex primis superfuit: per lucrum duplicauit: et iterum insumpsit libras auri duodecim. Tertijs id, quod ex secundis remansit: per lucrum [Page] duplicauit. et rursus insumpsit auri libras. 12. Quo factū est: ut nihil omnino ei restaret. Quęritur, quātum pecuniae ad primas nundinas ab initio secum extulit? Tenta per positiōes: et comperies eū extulisse aurilibras. 10 ½. Licet etiam sine ulla positione quaesitum hoc explicare: si a postremis nundinis incipiens, colligens (que) per singulas lucra quę (que), et subducens impensas, ordine retrogrado ad primas nundinas pergas. quemadmodum de sacerdote tribus mendicis pecuniam erogante libro tertio monstrauimus.

TRES pecuniam habent, aureorum quis (que) summā: quorū primus alijs duobus inquit. Si mihi dimidiū pecuniae uestrae contuleritis: habebo una cum mea pecunia aureos. 20. Secūdus uero caeteris dicit. Si mihi partē tertiam pecuniae uestrae donaueritis: habebo una cū mea aureos. 20. Tertius quo (que) reliquis affirmat: si mihi partem quartam pecuniae uestrae dederitis: habebo una cum mea aureos. 20. Quęro, quot aureos habet eorum unusquis (que)? Pone, ut libet: puta primum habere aureos. 4. alij (necesse est) habeant in summa. 32. quorum ½ primo data faciet illi aureos. 20. Iam uero, ut seorsum exquiras secundi et tertij partes: positiones alias facere oportet, ad hunc modum. Adde simul omnium partes prima positione coniectas: et fient. 36. Deinde ut partem secundi exquiras: inuestigare oportet de. 36. partes duas: quarum alteri pars tertia alterius iuncta faciat. 20. id, quod obiter per alias positiones faciendum est: et earum alteram inuenies. [Page] 12. tantum habebit secundus. Sic primus et tertius habebunt. 24. e quibus. 4. sunt primi: sicut est positum: 20. erunt tertij. Sic secundum thema partes primi et secundi congruunt. caeterum tertij pars per hanc positionem erit. 24. quippe si primus et secundus ¼ ei conferant: ea erit. 4. at ipse habet. 20. sic fiunt. 24. et. 4. excedentes in prima hac positione redundant. Iterum igitur pone: ut libet: puta primum habere. 8. quo fiet: ut secundus et tertius habeant. 24. quorum ½ faciet ei: qui primus est 20. Et ut partē secundi inuenias: adde ea omnia simul: et fient. 32. postea per alias positiones obiter inuestigare oportet de. 32. partes duas: quarum alteri pars tertia alterius iuncta faciat. 20. Et inuenies alterā esse. 14. Tantum habebit secundus in secunda hac positione: in qua primus habet. 8. primus uero et tertius habebunt. 18. quorum ⅓ secūdo collata faciet ei. 20. Sic primus et secū dus habent. 22. quorum ¼ est. 5 ½. quae addita ad. 10. faciunt. 15 ½. qua ratione desunt. 4 ½: ut fiant. 20. at (que) ita secunda positio defectum parit. Quocirca ut inter has duas falsas positiones, quarum prior excessum, secunda defectum profert: ueritas inueniatur: adde ambos errores, uidelicet. 4. et. 4 ½. et surgent. 8 ½. qui numerus diuisor erit. Deinde primus ertor. 4. ducatur in secundam positionem. 8. et producentur. 32. Item secundus error. 4 ½ ducatur in priorem positionem. 4. et fient. 18. [Page] ea addita ad. 32. creant. 50. quae sūma si secetur per. 8 ½: in numero partitionis prodibunt. 5 15/17. tātum habuit primus. Iterum pro secundi parte exquirenda, ducatur prior error. 4. in secundam positionem. 14. et crescent. 56. Itidem secundus error. 4 ½ in priorem positionem. 12. et fient. 54. quae addita ad. 56. creant. 110. ea si secentur per. 8 ½. in numero partitionis exeunt. 12 16/17. tantum habuit secundus. Rur [...]us pro tertij parte inuestiganda, ducatur prior error. 4. in secundam positionem. 10. et fiēt 40. Similiter secundus error. 4 ½ in priorem positionem 20. et fient. 90. quę addita ad. 40. creant. 130. Ea si per 8 ½ diuidantur: in numero sectionis prodibunt. 15 5/17. tantum habuit tertius. Experire secundum thema. et ita esse comperies.

Huiusmodi positiones duplices uocantur: ꝙ ad confirmandas prae cipuas positiones, alię obiter fiant: quas spectandas oculis hic subiecimus: ut lector melius intelligat.

[Page] [...]

IN SV MMA, per falsarum positionū regulas uniuersae questiones, quae in negociationibus interuenire solent: facile explicantur. Quae uero radicum supputationem, aut quadraturas requirunt: altiorem poscunt artem: quam Arabes Algebram uocant. Ea mōstrat radicum quadratarum cubicarum (que) additionem, subductionem, [Page] multiplicationem, et diuisionem. per quam uniuersa quantumuis ardua, quae ad numeros attinent: possunt expediri. Caeterum nos tantum ea, quae ad uitam communem transigendam necessaria sunt: studiosis explicanda suscepimus.

EXPLICITVS EST LIBER QVARTVS ET VLTIMVS.

[Page]

APPENDIX EX BVDAEI LIBRO DE ASse excerpta: in qua prisca Latinorum et Gręcorū supputatio, ad aestimationem pecunię, tum Gallicae, tum Anglicae reuocatur.

[Page]

OPERAEPRECIVM esse putauimus nostrates studiosos admonere: quemadmodū prisca uel Romana uel Graeca nummismata eorum (que) summae quaelibet pecunia nostrate possint aestimari: ut cum ueteres authores in manus legendos sumunt: si qua pecunię summa interuenit: eius aestimationem protinus agnoscāt. Id, quod BVDAEVS uir cum primis ętatis nostrę eruditus in eo libro, quem de Asse et partibus eius mira industria composuit: de pecunia gallica suam gentem admonuit. Quo nomine non tantum gallorum, sed omnium nationum posteritas ei plurimum debet: ꝙ priscorum thesauros refractis barbariei uinculis, quibus conclusi erant: aperuerit. Ita (que) quibus pecunia gallica nota est: satis ab illo sūt edocti: quanti uetera quę (que) nummismata, at (que) eorū summę quęlibet occurrentes ęstimentur. Nostrates uero, quibus ea ignota est: per quędam, quę exillius libro excerpta hic subnotauimus: facile idem cognoscent.

APVD Romanos, dum floreret imperium: auri libra nummos aureos quadragenos octonos capiebat: quorū singuli ualebant denarios uicenos quinos. Ex his aurei quatuor unciam pendebant: postea partim luxu, partim bellis ciuilibus, extenuatis opibus, imminuti sunt aurei: ut tertia pars pōderi decederet: et septuaginta duo ex aurilibra [Page] fierent. Hi solidi uocari cepti sunt, quasi integri: quibus nihil deesset. solidum enim antiqui integrum uocabant. At (que) sextulę etiam nuncupati sunt: ꝙ eorum sex unciam complerent. Nunc, quod sciam: nus (quam) gentium illorum aureorū instar aliquod manet: nisi apud nostrates Anglos: quorū aurei quatuor, quos Nobiles Rosatos uulgo uocāt: pendent unciam. qui ueteres aureos Romanos et pondere ęquant: et auri probitate parum aut nihil cedūt. Itē sex nostrates aurei, quos Nobiles Angelos appellamus: complent unciam: et ueteres solidos, qui sextulę nuncupati fuerunt: et pondere et indicatura ęquiparāt. Porro Romani nummariam argenti libram cētum denarios argenteos, quorum singuli drachmae pondus aequabant: complecti uoluerunt. Denarius apud eos dictus, ꝙ denos ęreos asses ualeret. ut inquit Varro. Huius dimidiū Quinarius argenteus ualebat aereos asses quin (que). At nummus Sestertius argenteus duos asses et semissem, dictus quasi semis tertius. Horum quatuor denarium ualebant. quo fit: ut quadringenti sestertij denarios centū, hoc est, libram nummariam ualerent. Qua ratione Sestertium neutro genere, quod duas argenti libras et semissem complectebatur: mille sestertios genere masculino capiebat. Sestertius autem ipse nūmus ęris duas libras et selibrā cō plectebatur: hoc est duos asses et semissem. Nam As ęris librā duodecim uncias cōplectentem ualebat. Sextās nū misma paruū ualebat duos asses. Quadrās nūmus aereus quartā assis partem: ut Triens tertiam. Semis autem duos ualebat quadrantes. Huic nummariae rationi, quod ad denarios quinarios et sestertios attinet: uetus pecunia nostra, [Page] quam Sterlingam uocamus: per omnia similis est. Quod enim ueterem Grossum Sterlingū nostrate lingua dicimus: id pondere et indicatura denarium Romanum ęquat. Quod ueterem Semigrossum uocamus: Quinariū. Quod nostratiū uulgus ueterem denarium Sterlingū appellat: sestertium nummū ęquiparat. Cęterum nos librā Sterlingā uocamus: quod apud Romanos librę dimidiū, selibra erat. At quod Romani neutro genere sestertiū uocabant, duas argenti libras et semissem complectens: nos quin (que) libras uocamꝰ: ꝙ librę nostrę sint selibrę Romanę. ILLVD obseruandum uidetur: ueteres Sesteritum, ꝙ duas libras et semissem caperet: per duo. L. etunum. S. notare solere, ad hūc modū. LLS. siue de sestertijs nummis, siue de alijs sestertijs intelligas. Id quod adhuc extantes libri ueteres testantur.

Sestertiū neutri generis. Viginti quin (que) aurei coronati. | Quinq: librae sterlingę.
Decē sestertia. Ducēti quinquaginta coronati. | Quinquaginta librę sterlingae.
Viginti sestertia. Quingenti coronati. | Centum librae sterlingae.
Triginta sestertia. Septingē ti et quinqu aginta coronati. | Centum et quinquaginta li-brae sterlingae.
Quadraginta sestertia. Mille coronati. | Ducentę librę sterlingae.
Quinquaginta sestertia. Mille ducenti quinquaginta coronati. | Ducentae quinquaginta librae sterlingae.
Centum sestertia. Duo millia et quingenti coronati. | Quingentae librę sterlingę.
Ducēta sestertia. Quin (que) millia coronatorum. | Mille librae sterlingae.
Quadringenta sestertia. Decem millia coronatorum. | Duo millia librarum sterlingarum.
Quingenta sestertia. Duodecim millia et quigēti corōati. | Duo millia et quingētae librae sterlingae.
Sexcenta sestertia. Quindecim millia coronatorum. | Tria millia librarum sterlingarum.
Octingenta sestertia. Viginti millia coronatorum. | Quatuor millia librarū sterlingarum.
Mille sestertia. Viginti quin (que) millia coronatorum. | Quin (que) millia librarum sterlingarum.
Decies sestertium Romani quodam sermonis compendio dicebant pro decies centena millia sestertiorum. quo significabant idem: quod mille sestertia. et fere supra mille per aduerbia loquebantur: infra mille, nun (quam). |
Duodecies sestertiū. Triginta millia coronatorum. | Sex millia librarum sterlingarum.
Quindecies sestertiū. Triginta septem millia et quingenti coronati. | Septem millia et quingentae librę sterlingę.
Vicies sestertiū. Quinquagin ta millia coronatorum. | Decem millia librarum sterlingarum.
Trities sestertiū. Scptuaginta quin (que) millia coronatorū. | Quindecim millia librarum sterlingarum.
Quadragies sestertiū. Centū millia coronatorum. | Viginti millia librarum sterlingarum.
Sexagies sestertium. Centum quinquaginta millia coronat. | Triginta millia librarū sterlingarum.
Octogies sestertium. Ducenta millia coronatorum. | Quadraginta millia librarū sterlingarum.
Centies sestertiū. Ducēta quī quaginta millia coronatorū. | Quinquaginta millia librarū sterlingarum.
Ducenties sestertiū. Quingē ta millia coronatorum. | Centum millia librarum sterlingarum.
Quadringētres sostertiū. Decies centena millia coronat. | Ducēta millia librarum sterlingarum.
Quingēties sestertium. Duodecies centena quinquaginta millia coronatorum. | Ducēta quinquaginta millia librarum sterlingarum.
Octingenties sestertiū. Vicies centena millia coronato rum. | Quadringenta millia librarū sterlingarum.
Millies sestertiū. Vicies quin quies centena millia coronat. | Quingenta millia librarum sterlingarum.
Bis millies sestertium. Quinquagies centena millia coronatorum. | Decies centena millia librarum sterlingarū, siue millies millenę librae.
Ter millies sestertiū. Septuagies quinquies cētena millia coronatorum. | Quindecies centena millia librarum sterlingarum.
Quater millies sestertiū. Centies centena millia coronatorum. | Vicies cētena millia, hoc est, bis millena millia librarum sterlingarum.
Sexies millies sestertiū. Centies quinquagies centena millia coronatorum. | Trities cētena millia, hoc est, ter millena millia librarum sterlingarum.
Octies millies sestertrum. Ducenties centena millia coronatorum. | Quadragies centena millia, hoc est, quater millena millia librarum sterlingarum.
Decies millies sestertiū. Ducenties quinquagies centena millia coronatorum. | Quinquagies centena millia, hoc est, quiquies millena millia librarum sterlingarum.
Vicies millies sestertiū. Quin genties centena millia coronatorum. | Centies centena millia, hoc est, decies millena millia librarum sterlingarum.
Quadragies millies sestertiū. Millies centena millia coronatorum. | Ducenties cētena millia, hoc est, uicies millena millia libra rum sterlingarum.

GRAECORVM SVPPVTATIO.

MINA APVD Graecos idem est: quod libra, et pō do apud Romanos. hęc centum drachmas continebat: hoc est centum denarios romanos, siue quadringentos sestertios. Drachma enim et denarius paris erant ęstimationis. Mina decē coronatos ualebat: siue duas libras sterlingas. Drachma in sex obolos diuidebatur: at (que) in trientes, quadrantes (que). Sesquiobolus Athenis, erat Romae sestertius.

[Page] TALENTVM multiplex fuit: sed Atticum maxime ab historicis celebratum sexaginta libras siue minas ualuit: hoc est: sexcentos coronatos: siue centum uiginti libras sterlingas.

Decem talenta. Sex millia co ronatorum. | Mille et ducentę librę sterlingae.
Viginti talenta. Duodecim millia coronatorum. | Duo millia et quadringentae librae sterlingae.
Quadraginta talēta. Viginti quatuor millia coronatoR. | Quatuor millia noningentae librae sterlingae.
Quinquaginta talenta. Triginta millia coronatorum. | Sex millia librarum▪ sterlingarum.
Centum talenta. Sexaginta millia coronatorum. | Duodecim millia librarum sterlingarum.
Ducenta talenta. Centum uiginti millia coronatorum. | Viginti quatuor millia librarum sterlingarum.
Trecēta talenta. Centū octuaginta millia coronatorum. | Triginta sex millia librarum sterlingarum.
Quadringenta talēta. Ducē ta quadraginta millia coron. | Quadraginta octo millia librarum sterlingarum.
Quingenta talenta. Trecenta millia coronatorum. | Sexaginta millia librarum sterlingarum.
Sexcenta talenta. Trecenta sexaginta millia coron. | Septuaginta duo millia libra rum sterlingarum.
Septingenta talenta. Quadrigēta uiginti millia coron. | Octuaginta quatuor millia librarum sterlingarum.
Octingenta talēta. Quadringēta octuaginta millia coron. | Nonaginta sex millia librarum sterlingarum.
Noningenta talenta. Quingēta quadraginta millia cor. | Centum et octo millia librarū sterlingarum.
Mille talenta. Sexcenta millia coronatorum. | Centum uiginti millia librarum sterlingarum.
Duo millia talentū. Duodecies centena millia coronat. | Ducenta quadraginta millia librarum sterlingarum.
Tria millia talētū. Duodeuicies centena millia coronat. | Trecenta sexaginta millia librarum sterlingarum.
Quatuor millia talentū. Vicies et quater centena millia coronatorum. | Quadringenta octuaginta millia librarum sterlingarum.
Sex millia talentū. Trities sexies centena millia coron. | Septingenta uiginti millia] librarum sterlingarum.
Octo millia talētū. Quadragies octies cētena millia cor. | Noningenta sexaginta millia librarum sterlingarum.
Decem millia talentū. Sexagies centena millia coronat. | Mille et ducenta millia librarum sterlingarum.
Quīdecim millia talētū. Nonagies centena millia coron. | Mille et sexcenta millia librarum sterlingarum.
Viginti millia talentū. Centies uicies cētena millia cor. | Bis millena et quadringenta millia librarum sterlingarū.

MENSVRAE EX BVDAEI LIBRO DE ASSE.

CYathus, duodecima pars sextarij, pendet uncias duas: drachmas sexdecim.

Acetabulum, quod dicitur Oxybaphus: quarta pars Cotylę, continet Cyathum et dimidium. pendet uncias tres.

Cotyla, quae Hemina dicitur: dimidiū sextarij cōtinet: Cyathos sex. pendet libram unam.

Sextarius, sexta pars Congij, cōtinet Cotylas duas: Cyathos duodecim. pendet libras duas.

Congius continet Sextarios sex: Heminas duodecim: Cyathos septuaginta duos.

Modius, tertia pars Amphorę, capit Sextarios sexdecim: Heminas quadraginta octo.

Amphora, quę Quadrantal dicitur: capit Vrnas duas: Modios tres: Congios octo: Sextarios quadraginta octo: Heminas nonaginta sex.

Cadus, qui etiam Metreta dicitur: capit Cōgios decem: Sextarios sexaginta: Amphoram et quadrantem.

Culeus capit Amphoras uiginti: Vrnas quadraginta: Modios sexaginta.

Medimnus capit Modios sex: Amphoras duas.

HACTENVS ex Budęi libro de Asse excerpsimus. Nunc ętate nostra apud singulas pene nationes aurei pro regum aut principum arbitrio uarium habent precium. [Page] sic librę, sic solidi, ut nunc sunt uocabula: magnam pro regionibus diuersitatem habent. Caeterum illud mirum uidetur: quomodo in tanta librarum et solidorum aestimationis differentia, pro suo cuius (que) regionis more, multae tamen nationes consentiunt: ut uulgari lingua solidum uocent: quod denariolos duodecim uulgares complectitur. libram: quod solidos uiginti. Quocirca mercatorijs supputationibus in hac aetate nostra plurimum conducet: si quis in promptu teneat: quot solidos quęlibet denariolorum summa procreet us (que) ad mille. Id, quod ante oculos per gradus quosdam, numerorum notis signandum duximus.

QVOMODO EX DENARIIS FIANT SOLIDI.

12. d. | 1. s.
18. d. | 1. s. 6. d.
24. d. | 3. s.
30. d. | 2. s. 6. d.
36. d. | 3. s.
42. d. | 3. s. 6. d.
48. d. | 4. s.
54. d. | 4. s. 6. d.
60. d. | 5. s.
66. d. | 5. s. 6. d.
72. d. | 6. s.
78. d. | 6. s. 6. d.
84. d. | 7. s.
90. d. | 7. s. 6. d.
96. d. | 8. s.
100. d. | 8. s. 4. d.
200. d. | 16. s. 8. d.
300. d. | 25. s.
400. d. | 33. s. 4. d.
500. d. | 41. s. 8. d.
600. d. | 50. s.
700. d. | 58. s. 4. d.
800. d. | 66. s. 8. d.
900. d. | 75. s.
1000. d. | 83. s. 4. d.
1100. d. | 91. s. 8. d.
1200. d. | 100. s.

FINIS APPENDICIS.

§

§

[Page] IMPRESS. LONDINI IN AEDIBVS RICHARDI PYNSONI. ANNO VERBI INCARNATI. M. D. XXII. PRIDIE IDVS OCTOBRIS. CVM PRIVILEGIO A REGE INDVLTO.

Information about this book

Title statement

De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

Tunstall, Cuthbert, 1474-1559.

Edition statement

1522

Publication

Publisher

Text Creation Partnership,

Place of publication

Ann Arbor, MI ; Oxford (UK) :

Date

2007-01 (EEBO-TCP Phase 1).

ID [DLPS]

A14010

ID [STC]

STC 24319

ID [STC]

ESTC S118552

ID [EEBO-CITATION]

99853759

ID [PROQUEST]

99853759

ID [VID]

19154

Availability

This keyboarded and encoded edition of the work described above is co-owned by the institutions providing financial support to the Early English Books Online Text Creation Partnership. This Phase I text is available for reuse, according to the terms of Creative Commons 0 1.0 Universal. The text can be copied, modified, distributed and performed, even for commercial purposes, all without asking permission.

Series

Early English books online.

Notes

(EEBO-TCP ; phase 1, no. A14010)

Transcribed from: (Early English Books Online ; image set 19154)

Images scanned from microfilm: (Early English books, 1475-1640 ; 155:6)

Source

— De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli, Tunstall, Cuthbert, 1474-1559., Budé, Guillaume, 1468-1540..

Extent

[408] p.

In aedibus Richardi Pynsoni,. [Impress. Londini :: Anno Verbi incarnati. M.D.XXII. pridie idus Octobris [1522 (14 Oct.)]]. (Signatures: A-S⁴ T⁶ TV⁶ V⁶ X-Z⁴ a⁴ ab⁶ b-z⁴ &⁴.) (Imprint from colophon.) ("Appendix ex Budaei libro De asse excerpta", z4r-&3v.) (Title page verso has errata. Variant: title page verso is blank.) (Quires C and Z are each in three settings. C1r has (1) no catchword, or catchword (2) "Qu[a]estio" or (3) "Verum,". Z1r lines 12 and 21 have (1) "communis #5FD\ addit[a]e" or (2) com̄unis #5FD\ addit[a]e" or (3) "communis #5FD\ additæ".) (Reproduction of the original in the Henry E. Huntington Library and Art Gallery.)

Creation

Created by converting TCP files to TEI P5 using tcp2tei.xsl, TEI @ Oxford.

Editorial practices

EEBO-TCP is a partnership between the Universities of Michigan and Oxford and the publisher ProQuest to create accurately transcribed and encoded texts based on the image sets published by ProQuest via their Early English Books Online (EEBO) database (http://eebo.chadwyck.com). The general aim of EEBO-TCP is to encode one copy (usually the first edition) of every monographic English-language title published between 1473 and 1700 available in EEBO.

EEBO-TCP aimed to produce large quantities of textual data within the usual project restraints of time and funding, and therefore chose to create diplomatic transcriptions (as opposed to critical editions) with light-touch, mainly structural encoding based on the Text Encoding Initiative (http://www.tei-c.org).

The EEBO-TCP project was divided into two phases. The 25,363 texts created during Phase 1 of the project have been released into the public domain as of 1 January 2015. Anyone can now take and use these texts for their own purposes, but we respectfully request that due credit and attribution is given to their original source.

Users should be aware of the process of creating the TCP texts, and therefore of any assumptions that can be made about the data.

Text selection was based on the New Cambridge Bibliography of English Literature (NCBEL). If an author (or for an anonymous work, the title) appears in NCBEL, then their works are eligible for inclusion. Selection was intended to range over a wide variety of subject areas, to reflect the true nature of the print record of the period. In general, first editions of a works in English were prioritized, although there are a number of works in other languages, notably Latin and Welsh, included and sometimes a second or later edition of a work was chosen if there was a compelling reason to do so.

Image sets were sent to external keying companies for transcription and basic encoding. Quality assurance was then carried out by editorial teams in Oxford and Michigan. 5% (or 5 pages, whichever is the greater) of each text was proofread for accuracy and those which did not meet QA standards were returned to the keyers to be redone. After proofreading, the encoding was enhanced and/or corrected and characters marked as illegible were corrected where possible up to a limit of 100 instances per text. Any remaining illegibles were encoded as <gap>s. Understanding these processes should make clear that, while the overall quality of TCP data is very good, some errors will remain and some readable characters will be marked as illegible. Users should bear in mind that in all likelihood such instances will never have been looked at by a TCP editor.

The texts were encoded and linked to page images in accordance with level 4 of the TEI in Libraries guidelines.

Copies of the texts have been issued variously as SGML (TCP schema; ASCII text with mnemonic sdata character entities); displayable XML (TCP schema; characters represented either as UTF-8 Unicode or text strings within braces); or lossless XML (TEI P5, characters represented either as UTF-8 Unicode or TEI g elements).

Keying and markup guidelines are available at the Text Creation Partnership web site.